CORPORACION NACIONAL DE EDUCACION SUPERIOR C.U.N. LOGICA Y PENSAMIENTO MATEMATICO DOCENTE: YAMILE MEDINA GUIA N° 4: POTENCIACION
La operación de Potenciación satisface las siguientes propiedades: La Potenciación es una operación binaria que esta conformada por tres partes, a saber: BASE (a), EXPONENTE (n) y POTENCIA (p).
an p BASE (a):
Es el número que se multiplica tantas veces por sí mismo, tantas veces con los indique el exponente.
EXPONENTE (n):
Es el número de veces en que se multiplica la base por sí misma, para obtener la potencia.
POTENCIA (p):
Es el resultado de multiplicar la base por sí misma tantas veces como lo indica el exponente.
Ejemplo:
2 4 16
2 2 2 2 16
Por que
43 64
4 4 4 64
Por que
La potenciación satisface cuatro condiciones, que son: Exponentes Enteros Positivos Recordemos que una expresión algebraica consta de estos elementos: signo, coeficiente y parte variable. Ejemplo: 15x²y³ ; consta de dos variables x y y. en x² representa la expresión x*x ; y³ representa la expresión y*y*y. podemos decir, por lo tanto, que el exponente es el número que indica las veces que la base se toma como factor.
Reglas para los exponentes Regla 1: Considere el siguiente caso (y³) (y²)= (y*y*y) (y*y) que indica que la “y” (base) se ha tomado 5 (exponente) veces como factor así: y³y² = y*y*y*y*y =
y5
Se dice que para encontrar el producto de potencias de igual base, se eleva dicha base a una potencia igual a la suma de los exponentes, esto es:
aⁿ * a ⁿ = Regla 2: Considere los siguientes casos:
a 2n
i.
(a³)² = a³ * a³ (a³ dos veces como factor) = (a*a*a) (a*a*a) = (a³)² = 5
( k )³ =
ii.
a6
k 5 * k 5 * k 5 ( k 5 tres veces como factor) =(k*k*k*k*k) (k*k*k*k*k) (k*k*k*k*k) 5
=( k )³ =
k 15
Observe que para elevar una potencia a otra potencia multiplicamos los exponentes entre sí:
( a m )ⁿ =
a mn
Regla 3: En la siguiente expresión algebraica, la base es un producto:
(2 x) 4 = (2x) (2x) (2x) (2x) =(2*2*2*2) (x*x*x*x) = por propiedad asociativa =
24 x 4
Luego
(2 x) 4 = 24 x 4 = 16 x 4
Observe que cada factor de la base fue elevado al exponente considerado. En término generales, podemos afirmar que para elevar un producto o una potencia n, se eleva cada uno de los factores a dicha potencia.
(a b )ⁿ = aⁿ bⁿ Regla 4: Considere la siguiente expresión:
( x / y )3 = 3
(x/y) (x/y) (x/y) = ((x*x*x/y*y*y)) (por producto de fracciones)
=
3
x /y . Observe que ambos elementos de la fracción, fueron elevados a la misma potencia, 3 en este caso. En general, se dice que para elevar un cociente a una potencia n, se eleva tanto el numerador como el denominador de la fracción a dicha potencia; esto es:
(a /b )ⁿ = aⁿ / bⁿ para b≠o
Regla 5: Observe cada uno de los siguientes casos particulares: 5
(m
/ m4 ) = (m x m x m x m x m / m x m x m x m ) = m
Simplificando: 5
(m
/ m4 ) = m5 4 = m1 = m 3
/ x5 ) = 1/ x5 3 = 1 / x 2
(x
k 3 / k 3 = k*k*k / k*k*k = 1
Generalizando, que para encontrar el cociente de dos potencias de igual base, se eleva dicha base a una potencia igual a la diferencias de los exponentes, esto es:
( a m / a n ) = a m n para m › n › 2 y x≠0; en general se tiene que para encontrar el cociente de dos potencias de igual base, (con exponente mayor que el divisor) se
coloca dicha base en el denominador y se eleva la base a una potencia igual a la diferencia de los exponentes, estos es:
( a m / a n ) = 1 / a nm para n › m
Para el caso ( k / k ) note que las expresiones son iguales; por tanto podemos afirmar que el cociente de dos potencias de igual base y de igual exponente es igual a 1, es decir: 3
3
( a n / a m ) = 1 para m = n Regla 6: Exponente cero y exponente negativos
m5 * m 0 m5 * 1 m5 x 4 * x 0 x 4 *1 x 4 respectivamente, no se alteran. Podemos definir entonces, que para cualquier número real x distinto de cero se tiene que:
xº = 1
Considere la siguiente definición para los casos donde los exponentes son enteros negativos: Si a≠ se usa con cierta frecuencia a cambio de 1/a, luego:
a 1 = 1 / a
x 4 x 1 * x 1 * x 1 * x 1 (4 veces como factor) = (1 /x) (1/x) (1/x) (1/x)
x 4 1 / x 4
a 2 a 1 * a 1 = (1/a) (1/a) = 1 / a 2
si “a” es un número real diferente de cero y “n” es un entero positivo se tiene que:
aˉⁿ = 1 / aⁿ Se puede afirmar que las leyes de los exponentes positivos se cumplen para el caso de los exponentes negativos.
RESUMEN
PROPIEDAD
OPERACIÓN
EJEMPLO
POTENCIA DE IGUAL BASE
a n a m a nm
23 2 4 26 2346 210
POTENCIA DE UNA POTENCIA
a
n m
a nm
3
4 5
3
45
3
20
a bn
POTENCIA DE UN
3 45 35 45
an bn
PRODUCTO POTENCIA DE UN COCIENTE
an a n b b
32 9 3 2 16 4 4
POTENCIA DE UN COCIENTE
an a nm , n m m a
58 5 8 3 5 5 3 5
2
n
DE IGUAL BASE
POTENCIA DE UN COCIENTE
39 1 315 3159
an 1 mn , n m m a a
DE IGUAL BASE
1
36
EJERCICIOS DE POTENCIAS 1. ¿QUE SIGNO TIENEN LAS SIGUIENTES POTENCIAS? B) 3
C) 3 21 D) 3
12
63
E) 2
21
4
F) 5 32
G) 3
5
2. CALCULA LAS SIGUIENTES POTENCIAS B) 2
A) 3
4
D) 3
C) 3
3
21
E) 2
5
4
F) 3
3
3) REALIZA LOS SIGUIENTES PRODUCTOS, UTILIZANDO LAS PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS: 3
4
4
A) 2 * 2 * 2
2
2
1 1 1 B) * * 2 2 2
5
3
3 3 3 D) * * 4 4 4
3
5
2
5
3
5 3 G) 4 5 3
2 2 2 C) * * 3 3 3
4
E) (m) 4 * (m) 4 * (m) 5
4) CALCULA LOS SIGUIENTES COCIENTES: 3
A)
26 23
B)
74 76
C)
42 23
D)
57 52
1 2 E) 5 1 2
2 3 F) 2 2 3
2
5) REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES UTILIZANDO LAS PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS:
4
2
3 3
A) (2 * 3 * 5 )
2 3 * 32 E) 3 3 4 *3
3
2
B) 3 * 5
3 3
2
C) 5 * 2 * 4
23 * 33 F) 4 2 * 32
6) ESCRIBE CON EXPONENTE POSITIVO
3
3
3 2
22 * 5 2 D) 3 3 * 53
2
3 A) 5
2
2 B) 3
3
1 C) 2
1
3 D) 5
5
E) 5
4
3 F) 5
7) EXPRESA COMO POTENCIA LOS SSIGUIENTES PRODUCTOS: A) 2*2*2*2
B)a*a*a*a*a
C)a*a*b*a*b*b
D)(a+b)*(a+b)*(a+b)
8) REALIZA LAS SIGUIENTES OPERACIONES, APLICANDO LAS PROPIEDADES:
42 * 4 42 * 53 * 36 2 5 2 2 4 * 4 3 * 5 * 4 4 7 2 53 * 5 65 * 63 * 9 * 7 * 540 * 54 * 53 67 * 7 * 9 * 9 2
2.
3
4 2 53 2 0 7 4 7 3 5 4 4 2 3
1 1 5 5 3. 2 3 4.
5.
(−3) 1 · (−3) 3 · (−3) 4
1 6. 2
7.
2
2 3
2
3 5 2 3 2
3
3 2 2 3
1
BIBLIOGRAFIA
1. http://www.vitutor.com/di/r/pt_e.html
2. WWW.JULIOPROFE.NET
2
