CAPITULO 6.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. 6.1 Introducción. 6.2 La transformada de Laplace. 6.3 La transformada de Laplace unilateral. 6.4 Inversión de...
CAPITULO 6.- LA TRANSFORMADA DE LAPLACE. 6.1 Introducción. 6.2 La transformada de Laplace. 6.3 La transformada de Laplace unilateral. 6.4 Inversión de la transformada de Laplace. 6.5 Solución de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. 6.6 La transformada de Laplace bilateral. 6.7 Análisis de sistemas mediante la transformada de Laplace.
6.1 Introducción. Generalizamos la representación senoidal compleja de la FT Caracterización más amplia de sistemas y su interacción con señales *señales no absolutamente sumables (ej. : respuesta impulso de un sistema inestable) Propiedades Función de transferencia Unilateral: solución ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales Bilateral: características del sistema (estabilidad, causalidad, resp. frec.) Análisis transitorio y estabilidad de sistemas LTI
1
6.2 La transformada de Laplace s = σ + jω e s t = eσ t e jω t = eσ t cos(ω t ) + jeσ t sen(ω t )
σ = Factor de amortiguamiento exponencial < 0 ω = Frecuencia del coseno y seno
6.2 a ∞
x(t ) = e
st
{ }= h(t ) * x(t ) = ∫ h(τ ) x(t − τ )dτ
⇒
y (t ) = H e
st
−∞
⎡ ⎤ y (t ) = ∫ h(τ )e s (t −τ ) dτ = ⎢ ∫ h(τ )e − sτ dτ ⎥ e s t = H ( s )e s t −∞ ⎣ −∞ ⎦ ∞
{ } = H ( s )e
H e
st
∞
∞
st
;
H ( s ) = ∫ h(τ )e − sτ dτ −∞
e = función característica del sistema st
H ( s ) = valor característico del sistema H ( s ) = H ( s ) e jφ ( s )
; φ ( s ) = fase de H ( s )
y (t ) = H ( s) e jφ ( s ) e s t = H (σ + jω ) eσ t e j (ω t +φ (σ + j ω ) )
2
e s t = eσ t cos(ω t ) + jeσ t sen(ω t )
6.2 b
y (t ) = H (σ + jω ) eσ t cos(ω t + φ (σ + jω ) ) + j H (σ + jω ) eσ t sen(ω t + φ (σ + jω ) ) ∞
H ( s ) = ∫ h(τ )e − sτ dτ
; s = σ + jω
−∞
∞
H (σ + jω ) = ∫ h(t )e
− (σ + j ω ) t
∞
dt =
−∞
− t
− jω t
dτ
1 2π
∫
−∞
[x(t )]e − jω t dt −∞
FT : X ( jω ) = ∫
σ ∫ [h(t )e ]e
∞
;
[x(t )] =
∞
−∞
X ( jω )e jω t dω
FT h(t )e −σ t ←⎯→ H (σ + jω ) 1 ∞ h(t )e −σ t = H (σ + jω )e jω t dω ∫ 2π −∞ 1 ∞ h(t ) = H (σ + jω )e (σ + jω ) t dω ∫ − ∞ 2π
ds 1 ∞ H (σ + jω )e (σ + jω ) t dω ; s = σ + jω ; dω = ∫ j 2π −∞ 1 σ + j∞ h(t ) = H ( s )e s t ds 2π j ∫σ − j∞ h(t ) =
6.2 c
∞
H ( s ) = ∫ h(t )e − s t dt
;
Para toda señal x(t )
−∞
x(t ) =
1
σ + j∞
2π j ∫σ ∞
X ( s) =
− j∞
∫ x(t )e
X ( s )e s t ds = Transformada inversa de Laplace de H ( s )
−st
dt
= Transformada de Laplace de h(t )
−∞
L x(t ) ←⎯→ X (s)
;
FT x(t )e −σ t ←⎯→ X (σ + jω ) = X ( s ) ∞
condición de convergencia ;
∫ x(t )e
−st
dt < ∞
−∞
ROC : Región de convergencia=intervalo de σ para converja transfor.
3
Figure 6.2 (p. 485) The Laplace transform applies to more general signals than the Fourier transform does. (a) Signal for which the Fourier transform does not exist. (b) Attenuating factor associated with Laplace transform. (c) The modified signal x(t)e-σt is absolutely integrable for σ > 1. x(t )e −σ t
e −σ t σ >1
σ >1
X ( jω ) = X ( s ) |σ =0 Si x(t) es absolutamente sumable: La transformada de Fourier está dada por la transformada de Laplace evaluada a lo largo del eje imaginario
6.2 d
bM s M + bM −1s M −1 + K + b1s + b0 bM ∏k =1 ( s − ck ) X (S ) = N = N s + a N −1s N −1 + K + a1s + a0 ∏k =1 (s − d k ) M
ck : ceros de X ( S ) ⇒ o d k : polos de X ( S ) ⇒ x
4
Figure 6.3 (p. 486) The s-plane. The horizontal axis is Re{s} and the vertical axis is Im{s}. Zeros are depicted at s = –1 and s = –4 ± 2j, and poles are depicted at s = –3, s = 2 ± 3j, and s = 4.
v⇒ω s⇒σ
σ
6.2 e Ejemplo 6.1. Determine la transformada de Laplace de
x(t ) = e a t u (t )
(causal)
y describa la ROC y la localización de polos y ceros. Suponer “a” real ∞
∞
−∞
0
X ( s ) = ∫ e a t u (t )e − s t dt = ∫ e −( s − a ) t dt =
− 1 −( s − a ) t ∞ |0 e s−a
σ >a
lim e −( s − a ) t = lim e −(σ − a ) t e − jω t = 0 t →∞
1 s−a polo s = a
X ( s) =
t →∞
, Re( s ) > a ⇒ ROC
5
Figure 6.4 (p. 487) The ROC for x(t) = eatu(t) is depicted by the shaded region. A pole is located at s = a.
v⇒ω s⇒σ
σ
6.2 f Ejemplo 6.1. Determine la transformada de Laplace de :
y (t ) = −e a t u (−t )
(anticausal)
y describa la ROC y la localización de polos y ceros. Suponer “a” real ∞
Y (s) =
∫ [− e
−∞
at
]
0
u (−t ) e − s t dt = − ∫ e −( s − a ) t dt = −∞
1 −( s − a ) t 0 e |− ∞ s−a
σ a
Lu y (t ) ←⎯→ Y (s)
Lu ax(t ) + by (t ) ←⎯→ aX ( s) + bY ( s ) Lu x(at ) ←⎯→
Corrimiento en el tiempo
1 ⎛s⎞ X⎜ ⎟ a ⎝a⎠
Lu x(t − τ ) ←⎯→ e − sτ X ( s) ∀τ | x(t − τ )u (t ) = x(t − τ )u (t − τ )
7
PROPIEDADES (cont.)
6.3 a
e x(t ) ←⎯→ X ( s − s0 ) s0 t
Corrimiento en el dominio s
Lu
Lu x(t ) * y (t ) ←⎯→ X ( s )Y ( s)
Convolución
Lu − t x(t ) ←⎯→
Diferenciación en el dominio de s
d X ( s) ds
d Lu x(t ) ←⎯→ sX ( s )− x(0 + ) dt
Diferenciación en el dominio del tiempo
dn d n −1 d Lu n x ( t ) ← ⎯→ s X ( s ) − x(t ) |t =0+ − K − s n − 2 x(t ) |t =0+ − s n −1 x(0 + ) n −1 n dt dt dt
Teorema valor inicial
1 0+ X (s) x(τ )dτ + ∫−∞ ∫ s −∞ s + lim sX ( s) = x(0 )
Teorema valor final
lim sX ( s) = x(∞)
t
Integración
Lu x(τ )dτ ←⎯→
s →∞
solo si Re(polos)0 Re{s}>0 ∀s
Re{s}>-a Re{s}>-a
9
Transformadas de Laplace básicas (2)
Señal x(t ) =
1
σ + j∞
2π j ∫σ
− j∞
Transformada
ROC
X ( s )e s t ds X ( s ) = ∞ x(t )e − s t dt ∫ −∞
s s + ω12
[cos(ω1t )]u (t )
2
ω1 s + ω12
[ sen(ω1t )]u (t ) [e − at cos(ω1t )]u (t )
2
s+a ( s + a) 2 + ω12
ω1
[e − at sen(ω1t )]u (t )
( s + a) 2 + ω12 n! s n +1
t n u (t )
Re{s}>0 Re{s}>0 Re{s}>-a Re{s}>-a Re{s}>0
6.4 b
Problema 6.8 3s + 2 Encontrar la transformada inversa de Laplace de X ( s) = s 2 + 4s + 5 3s + 2 3s + 2 B1s + B2 X ( s) = 2 ; B1 = 3 ; B2 = 2 = = 2 2 s + 4s + 5 ( s + 2) + 1 ( s − α ) 2 + ω0 2 X ( s) =
3( s + 2) − 4 12 + ( s + 2) 2 + 12 ( s + 2) 2 + 12
2
Lu C1eα t cos(ω0t )u (t ) ←⎯→
C1 ( s − α ) 2 ( s − α ) 2 + ω0
Lu C2 eα t sen(ω0t )u (t ) ←⎯→
C2ω0 2 ( s − α ) 2 + ω0 2
x(t ) = 3e −2t cos(t )u (t ) − 4e − 2t sen(t )u (t )
10
6.5 Solución de ecuaciones diferenciales con condiciones iniciales. dN d N −1 d ( ) + y t a y (t ) + K + a1 y (t ) + a0 y (t ) = N − 1 N N −1 dt dt dt M M −1 d d d = bM M x(t ) + bM −1 M −1 x(t ) + K + b1 x(t ) + b0 x(t ) dt dt dt LLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLLL aN
A( s ) = a N s N + a N −1s N −1 + K + a1s + a0 B( s ) = bM s M + bM −1s M −1 + K + b1s + b0 k −1
C ( s ) = ∑∑ ak s k −1−l
dl y (t ) |t =0 + dt l
M k −1
dl x(t ) |t =0 + dt l
N
k =1 l = 0
D( s ) = ∑∑ bk s k −1−l k =1 l = 0
A( s )Y ( s ) − C ( s ) = B ( s ) X ( s ) − D( s )
6.5 a A( s )Y ( s ) − C ( s ) = B ( s ) X ( s ) − D( s ) B( s) X ( s) − D( s) C ( s) Y ( s) = + A( s ) A( s ) condiciones iniciales nulas ⇒ C ( s ) = 0 ⇒ Y ( s ) = Y ( f ) ( s ) entrada nula ⇒ B ( s ) X ( s ) − D( s ) = 0 ⇒ Y ( s ) = Y ( n ) ( s ) B( s) X ( s) − D( s ) Y ( f ) ( s) = A( s ) C ( s) ; A( s ) = 0 ⇒ raices = pi ; A( s ) pi = frecuencias naturales del sistema
Y ( n) (s) =
y (t ) = ∑ e pi t i
Y (s) = Y ( f ) (s) + Y ( n) (s)
Frecuencias naturales del sistema : raíces de A(s)=0
11
Problema 6.38
Problema 6.38 Determine la respuesta natural y forzada para el sistema LTI descrito por la siguiente ecuación diferencial
6.6 La transformada de Laplace bilateral. ∞ L x(t ) ← ⎯→ X ( s) =
∫ x(t )e
−st
dt ; x(t ) no causal
−∞
Propiedades de la región de convergencia ROC Si x(t) es de orden exponencial. La ROC de una señal lateral izquierda es de la forma σ b] La ROC de una señal lateral derecha es de la forma σ>σn [x(t ) = 0, ∀t < a ] La ROC de una señal bilateral es de la forma σp −1 X (S ) =
2
c)Con ROC − 2 < Re( s ) < −1 −s−4 −3 2 = + s 2 + 3s + 2 s + 1 s + 2 a) x(t ) = (3e −t − 2e − 2t )u (−t ) X (S ) =
b) x(t ) = (−3e −t + 2e − 2t )u (t ) c) x(t ) = −3e −t u (−t ) + 2e − 2t u (t )
6.7 Análisis de sistemas mediante la transformada de Laplace.
L y (t ) = h(t ) * x(t ) ←⎯→ Y ( s) = H ( s) X (s) ⇒ H ( s) =
Y ( s) Función de = transferencia X ( s)
14
6.7 a Función de transferencia y las ecuaciones diferenciales N
∑ ak k =0
M N M dk dk L k ( ) = ( ) ← ⎯→ ( ) = y t b x t a s Y s bk s k X ( s ) ∑ ∑ ∑ k k k dt k dt k =0 k =0 k =0
x(t ) = e s t ⇒ y (t ) = H ( s)e s t
{ }
{ }
M d k st d k st ak k e H ( s ) = ∑ bk k e ∑ dt dt k =0 k =0 N
;
{ }
d k st e = s k e st k dt
M
Y (s) H (s) = = X (s)
∑b s
k
∑a s
k
k =0 N
k =0
k
b = M aN
k
∏ ∏
M k =1 N
k =!
( s − ck )
(s − d k )
6.7 b Descripción de función de transferencia y variables de estado ⎡ Q1 ( s ) ⎤ ⎡ q1 (t ) ⎤ ⎢ Q (s) ⎥ ⎢ q (t ) ⎥ 2 L ~ ⎥ ⎢ q(t ) = ← ⎯→ q ( s) = ⎢ 2 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ M ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣QN ( s)⎦ ⎣q N (t )⎦ d L ~ ( s ) − Aq ~ ( s ) = bX ( s ) q(t ) = Aq(t ) + b x(t ) ← ⎯→ sq dt L ~ ( s) + dX ( s) y (t ) = cq(t ) + dx(t ) ← ⎯→ Y ( s ) = cq ~ ( s ) = bX ( s ) ( sI − A ) q ~ ( s ) = ( sI − A) −1 bX ( s ) q
[
]
Y ( s) = c( sI − A) −1 b + d X ( s) = H ( s ) X ( s ) H ( s) = c( sI − A) −1 b + d
15
Causalidad y estabilidad
6.7 c
La respuesta al impulso es la transformada inversa de Laplace de la función de transferencia (¿ROC ?) La descripción de la ecuación diferencial no da información de ROC Si el sistema es causal h(t)=0 para t ωb 2
M ⎛ ⎛ jω ⎞ N jω ⎞ ⎟⎟ − ∑ arg⎜⎜1 − ⎟ arg{H ( jω )} = arg K + ∑ arg⎜⎜1 − ck ⎠ k =1 ⎝ d k ⎟⎠ k =1 ⎝ 1 un polo H d k ( jω ) = ; donde d k = −ωb real jω 1− dk
Figure 6.30 (p. 535) Bode diagram for first-order pole factor: 1/(1 + s/ωb). (a) Gain response. (b) Phase response.
ωb
ω / ωb
v⇒ω s ⇒σ
ω / ωb
6.7 g Sistema de fase mínima : “ todos los polos y ceros están en el semiplano izquierdo”
Ejemplo 6.25 Dibujar el diagrama de Bode de un sistema con función de transferencia H (s) =
5( s + 10) ( s + 1)( s + 50)
jω 10 H ( jω ) = jω ⎞ ⎛ (1 + jω )⎜1 + ⎟ ⎝ 50 ⎠ 1+
20
Figure 6.31a (p. 536) Bode diagram for Example 6.25. (a) Gain response of pole at s = –1 (solid line), zero at s = –10 (dashed line), and pole at s = –50 (dotted line). (b) Actual gain response (solid line) and asymptotic approximation (dashed line).
v⇒ω
Figure 6.31b (p. 536) (c) Phase response of pole at s = –1 (solid line), zero at s = –10 (dashed line), and pole at s = –50 (dotted line). (d) Actual phase response (solid line) and asymptotic approximation (dashed line).
v⇒ω
21
Pares de polos o ceros complejos conjugados
6.7 h
ωn2 1 = P( s) = 2 s + 2ζω n s + ωn2 1 + 2(ζ / ωn ) s + ( s / ωn ) 2 polos s = −ζω n ± jωn 1 − ζ 2 P ( jω ) =
