Introducción Transformada de Laplace Un par de modelos

Algunas Aplicaciones de la Transformada de Laplace Dr. Andrés Pérez Escuela de Matemática Facultad de Ciencias Universidad Central de Venezuela

11 de marzo de 2016

A. Pérez

Algunas Aplicaciones de la Transformada de Laplace

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Contenido 1

Introducción Transformadas Introducción a las Transformadas de Laplace Orígenes Históricos Transformada Integral

2

Transformada de Laplace Definición Condiciones suficientes para la existencia Transformada Inversa Resultados Importantes

3

Un par de modelos Sistema de suspensión de un automóvil Circuitos RLC A. Pérez

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Transformadas Introducción a las Transformadas de Laplace Orígenes Históricos Transformada Integral

¿Qué es una Transformada? Sean E y E 0 espacios vectoriales con leyes de composición interna (operaciones) T y T 0 , las cuales conforman las estructuras (E, T) y (E 0 , T 0 ). Definición Una transformada, es una aplicación biyectiva f : E → E 0 , que establece un isomorfismo entre (E, T) y (E 0 , T 0 ).

A. Pérez

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Transformadas Introducción a las Transformadas de Laplace Orígenes Históricos Transformada Integral

Ejemplo El cálculo del logaritmo del producto de dos números positivos. En efecto, tomando al espacio E = R+ , con la operación del producto y al espacio E 0 = R, con la operación de la suma, obtenemos que:

A. Pérez

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Transformadas Introducción a las Transformadas de Laplace Orígenes Históricos Transformada Integral

En general, podemos establecer que la Transfromada de Laplace, es una aplicación entre espacios de funciones cuya utilidad principal, es la de reducir ecuaciones diferenciales ordinarias lineales o sistemas de ellas, en ecuaciones algebraicas lineales o sistemas de ellas, siendo una herramienta útil en el análisis de sistemas dinámicos lineales.

A. Pérez

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Transformadas Introducción a las Transformadas de Laplace Orígenes Históricos Transformada Integral

Historia 1744, Leonhard Euler (1707 - 1783) investiga integrales de la Z forma: z = X(x)eax dx como soluciones de EDO, pero luego abandona estas investigaciones. Joseph-Louis Lagrange (1736 - 1813), también investigó este tipo de integrales y las vinculó a la teoría de la probabilidad, en un trabajo sobre funciones de densidad de probabilidad, de la Z forma: X(x)e−ax ax dx las que algunos interpretan como auténticas transformadas de Laplace. 1782, Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827) siguiendo las ideas de Euler, emplea a estas integrales como solución de EDO. A. Pérez

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Transformadas Introducción a las Transformadas de Laplace Orígenes Históricos Transformada Integral

Historia 1785, Laplace da un paso más allá y refuerza el problema, usando integrales de la forma: Z X(x)φ(s)dx 99K EDOL EAL dando pie a las transformadas de Laplace. Olivier Heaviside (1850 - 1925) ingeniero inglés, en la segunda mitad del siglo XIX intenta resolver problemas de ED en la teoría de vibraciones, retomando los trabajos de Laplace y dándole forma a la aplicación moderna de las Transformadas de Laplace. Observación Heaviside, descubre que los operadores diferenciales pueden ser tratados como variables algebraicas A. Pérez

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Transformadas Introducción a las Transformadas de Laplace Orígenes Históricos Transformada Integral

Ejemplo y 0 (t) − ay(t) = f (t)

=⇒

Notación Operador

(D − a)y(t) = f (t)

⇓

⇓

y(t) = eat e−at f (t)dt + C1 eat

1 f (t) D−a (Obs. de Heaviside)

Z

(Solución General)

y(t) =

De donde obtenemos que: Z 1 f (t) = eat e−at f (t)dt + C1 eat D−a

(1)

Usando estos argumentos, podemos entonces resolver la EDO dada por: y 00 − 5y 0 + 6y = 3e2t Veamos: A. Pérez

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y 00 − 5y 0 + 6y = 3e2t

=⇒

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Notación Operador

(D2 − 5D + 6)y(t) = 3e2t

de donde y(t) =

D2

3e2t 3e2t =⇒ y(t) = (D − 3)(D − 2) − 5D + 6

Finalmente, y(t) =

1  2t  1  2t  3e − 3e D−3 D−2

Al sustituir (1) en la expresión anterior, nos queda:     Z Z 3t −3t 2t 3t 2t −2t 2t 2t y(t) = 3e e e dt + C1 e − 3e e e dt + C2 e Z Z = 3e3t e−t dt + C1 e3t − 3e2t dt − C2 e2t =

e 2 e2t − 3te2t −3e2t + C1 e3t − 3te2t − C2 e2t = C1 e3t + C A. Pérez

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z

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Transformadas Introducción a las Transformadas de Laplace Orígenes Históricos Transformada Integral

Sea f : D ⊂ R2 → R. Una integral definida de f , con respecto a una de las variables produce una función de la otra variable. A saber, Zb Zd f (x, y)dx = F(y) o bien f (x, y)dy = F(x) a

En efecto,

c

Z2

2xy2 dx = 3y2

1

Más aún,

Zb k(s, t)f (t)dt a

transforma a una función f de variable t, en una función F de variable s.

A. Pérez

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Transformadas Introducción a las Transformadas de Laplace Orígenes Históricos Transformada Integral

Nuestro interés, se centra en los procesos dinámicos y al depender de variables temporales, buscamos transformadas integrales definidas en [0, ∞), donde si f está definida para t ≥ 0, entonces, Z∞ Za k(s, t)f (t)dt = l´ım k(s, t)f (t)dt a→∞ 0

0

Escogemos entonces,

k(s, t) = e−st la cual nos garantiza la existencia del límite anterior en un espectro más amplio de casos, para valores de s. En especial, para funciones f de la forma: ekt

,

sen(kt) ,

A. Pérez

p(t)[polinomios]

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Definición Condiciones suficientes para la existencia Transformada Inversa Resultados Importantes

Definición Sea f : [0, ∞) → R. Entonces, la integral Z∞ L{f (t)} = e−st f (t)dt = F(s)

,

(s > 0)

0

se denomina, Transformada de Laplace de f , siempre y cuando la integral converja. En realidad, las condiciones suficientes para que la transformada de Laplace de una función converja son justamente: Orden Exponencial

Continua a Trozos

En efecto, A. Pérez

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Definición Condiciones suficientes para la existencia Transformada Inversa Resultados Importantes

Teorema Si f es continua a trozos y de orden exponencial C en [0, ∞), entonces, L{f (t)} existe para todo s > C. ¿Será cierto el recíproco del Teorema?

Respuesta:

NO!

Contraejemplo 2

Sea f (t) = e−t , entonces, L{f (t)} existe. Veamos, Z∞ Z∞ s 2 s2 2 2 L{e−t } = e−(t+ 2 ) dt e−st e−t dt = e 4 0

0

1 la cual existe para todo s ∈ R. Ahora bien, la función f (t) = √ no t es de orden exponencial pero, Z1 Z 1 −st dt e √ converge =⇒ √ dt también converge t t 0 0 para s > 0. Ahora consideremos, A. Pérez

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Definición Condiciones suficientes para la existencia Transformada Inversa Resultados Importantes

Contraejemplo Z∞ 0

e−st √ dt t

Za

=

=

=

√ Z e−st 2 a −(√st)2 s √ dt = √ √ dt l´ım l´ım e s ε 2 t a→∞ ε t a→∞ ε → 0+ ε → 0+ Z √sa Z 2 2 2 ∞ −v2 √ √ e−v dv = √ l´ım e dv s sε s 0 a→∞ ε → 0+ r r √ 2 π π π −1/2 √ · = =⇒ L{t }= s s s 2

Además, una condición importante viene dada por Teorema Si f es continua a trozos en [0, ∞) y de orden exponencial para t > T, entonces l´ım L{f (t)} = 0 s→∞

A. Pérez

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Definición Condiciones suficientes para la existencia Transformada Inversa Resultados Importantes

El operador de Laplace, entre otras propiedades, satisface que es un operador lineal e invertible, pero por no abordar fórmulas complicadas en variable compleja, no presentaremos la transformada inversa (Fórmula de Mellin o integral de Bromwich). Ahora bien, la unicidad de la fórmula inversa de Mellin, está garantizada por: Teorema (Lerch) Si f y g son funciones continuas a trozos en [0, ∞) y de orden exponencial y además, existe s0 ∈ R tal que, L{f (t)} = L{g(t)}, para todo s > s0 . Entonces, f (t) = g(t) para todo t > 0, salvo en los puntos de discontinuidad. Observación En virtud del Teorema de Lerch, usaremos la tabla de transformadas para revertir los procesos

A. Pérez

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Definición Condiciones suficientes para la existencia Transformada Inversa Resultados Importantes

Función de Heaviside La Función de Heaviside o Función de Paso unitario, la denotaremos por U(t − a) y se define por: U(t − a) =

0 1

si 0 ≤ t < a si t ≥ a

, ,

Pero,

Para no perder información, es conveniente trasladar f (t − a)U(t − a) =

0, 0 ≤ t < a f (t − a) , t ≥ a

A. Pérez

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Definición Condiciones suficientes para la existencia Transformada Inversa Resultados Importantes

Teoremas Importantes Teorema (Traslación en t) Si f (t) es tal que, F(s) = L{f (t)} existe y a > 0, entonces, se tiene que: L{f (t − a)U(t − a)} = e−as F(s) Teorema (Traslación en s) Si f (t) es tal que, F(s) = L{f (t)} existe y a ∈ R, entonces, se tiene que: L{eat f (t)} = F(s − a) ¿Utilidad? Ejemplo Consideremos la función  t , 0≤t