GUIA 7
La transformada de Laplace 1.
Concepto de la transformada de Laplace
Definici´ on. Una funci´on u(t) definida en 0R ≤ t < ∞ tiene transformada de ∞ Laplace si existe un real a > 0 tal que la integral 0 e−st u(t) dt converge para s > a. En este caso, la transformada de Laplace de la funci´on u es la funci´on uˆ definida en el intervalo a < s < ∞ cuyo valor en cada s est´ a dado por Z ∞ uˆ(s) = e−st u(t) dt. (1) 0
A veces conviene denotar la transformada R ∞ de−stLaplace uˆ de u mediante L {u}. Recu´erdese que la integral impropia 0 e u(t) dt converge si la integral finita R B −st RB e u(t) dt existe para todo B > 0 y si l´ımB→∞ 0 e−st u(t) dt existe y es finito. 0 Entonces, por definici´on, Z ∞ Z B −st e u(t) dt = l´ım e−st u(t) dt B→∞
0
0
Ejemplos. (Funci´ on constante). La funci´on constante u(t) = 1 tiene transformada de Laplace uˆ(s) = 1s definida en 0 < s < ∞. En efecto, Z
Z
∞
uˆ(s) =
e
−st
B
dt = l´ım
B→∞
0
e−st dt = l´ım (− B→∞
0
e−sB 1 1 + )= , s s s
R∞ para 0 < s < ∞. Se observa que la integral 0 e−st dt diverge para s ≤ 0. (Funci´ on exponencial). La funci´on u(t) = eat tiene transformada de Laplace 1 uˆ(s) = s−a definida en a < s < ∞ . En este caso, Z
Z
∞
uˆ(s) =
e 0
∞
−st at
e dt =
e(a−s)t dt =
0
1 s−a
para s > a.
(Funci´ on tn , n > 0 entero). La funci´on u(t) = tn (n > 0 entero) tiene transformada n! de Laplace uˆ(s) = sn+1 definida en 0 < s < ∞. Primero, para n = 1, integrando por partes obtenemos Z Z ∞ 1 ∞ −st 1 t −st ¯¯t=B −st e dt = 2 L {t} = t e dt = l´ım (− e t=0 ) + B→∞ s s 0 s 0 1
para 0 < s < ∞. Para n > 1, la integraci´on por partes da Z ∞ ¯ tn n L {t } = tn e−st dt = l´ım (− e−st ¯t=B t=0 B→∞ s 0 Z ª n ∞ n−1 −st n © + t e dt = L tn−1 . s 0 s Y aplicando esto repetidamente, obtenemos L {tn } = = ··· =
).
n © n−1 ª n(n − 1) © n−2 ª L t = L t s s2
n(n − 1)(n − 2) . . . 1 n! L {1} = sn sn+1
para 0 < s < ∞. (Funciones seno y coseno). Se tiene L {cos at} =
s2
s , + a2
L {sen at} =
s2
a + a2
para 0 < s < ∞, donde a 6= 0. Integrando por partes obtenemos Z ∞ ¯ 1 L {cos a t} = e−s t cos a t dt = e−s t sen a t ¯t=∞ t=0 a 0 Z ∞ s s e−s t sen a t dt = L {sen a t} . + a 0 a
(2)
Y volviendo a integrar por partes, Z ∞ ¯ 1 L {sen a t} = e−s t sen a t dt = − e−st cos at ¯t=∞ t=0 a 0 Z ∞ s 1 s − e−s t cos a t dt = − L {cos a t} . a 0 a a Luego
1 s2 − L {sen a t} a a2 De aqu´ı se obtiene la expresi´on para L{sen a t} y de (2) se obtiene la expresi´on para L {cos a t}. (Funci´ on de Heaviside). La funci´on escal´on de Heaviside o salto unitario es la funci´on H definida para todo t, −∞ < t < ∞, por ½ 0, t < 0 H(t) = 1, t ≥ 0 L {sen a t} =
2
1
t
a
Figura 1: Funci´on de Heaviside de salto unitario
La funci´on salto unitario en a es la translaci´on H(t − a) de H (v´ease figura 1): ½ 0, t < a H(t − a) = 1, t ≥ a Para a > 0 y 0 < s < ∞, se tiene Z
∞
L{H(t − a)} =
e−st dt =
a
En general
Z
∞
L{H(t − a) u(t − a)} =
e−as . s
e−st u(t − a) dt
a
Z
∞
=
e−s(x+a) u(x) dx = e−as L {u} .
0
Es decir, L{H(t − a) u(t − a)} = e−as L {u} , para a > 0, 0 < s < ∞. 2
(Una funci´on sin transformada de Laplace). La funci´on u(t) = et no tiene transformada de Laplace. Pues la integral Z ∞ Z ∞ s 2 s2 −st t2 e e dt = e− 4 e(t− 2 ) dt 0
0
diverge para todo s. ¿Para cu´ales funciones u(t) existe la transformada de la Laplace? Los ejemplos anteriores sugieren el siguiente criterio: Teorema 1 (Criterio de Existencia). Sup´ongase que u(t) es una funci´on definida en 0 ≤ t < ∞ que satisface las siguientes condiciones: 3
L1 Cada intervalo finito [0, B] se puede dividir en un n´ umero finito de intervalos [b0 , b1 ] = [0, b1 ], [b1 , b2 ] , . . . [bn−1 , bn ] = [bn−1 , B] tales que u(t) es continua en ( bk−1 , bk ) y l´ımt→b+ u(t), l´ımt→b− u(t) existen y son finitos. k−1
k
L2 Existen constantes, a real y M > 0 ,tales que |u(t)| ≤ M eat
para 0 ≤ t < ∞.
Entonces u(t) tiene transformada de Laplace uˆ(s) definida en el intervalo a < s < ∞. Demostraci´ on. Esto es consecuencia del criterio de comparaci´on para la convergencia de integrales impropias, pues por la condici´on (L2) se tiene Z ∞ Z ∞ Z ∞ ¯ ¯ −st M −st at ¯e u(t)¯ dt ≤ e M e dt = M e−( s−a) t dt = s−a 0 0 0 para a < s < ∞. RB La condici´on (L1) garantiza que las integrales finitas 0 e−st u(t) dt existen para todo B > 0. Funciones de orden exponencial. Las funciones u(t) definidas en 0 ≤ t < ∞ que satisfacen las condiciones (L1) y (L2) se denominan funciones continuas por tramos de orden exponencial en 0 ≤ t < ∞. Para abreviar las denominaremos funciones de orden exponencial. El Criterio de Existencia se puede enunciar brevemente diciendo: Toda funci´on u(t) de orden exponencial en 0 ≤ t < ∞ tiene transformada de Laplace uˆ(s) definida en alg´ un intervalo a < s < ∞.
El mismo argumento utilizado para establecer el Criterio de Existencia demuestra la siguiente propiedad que se observa en los ejemplos 1 al 4 (Anulaci´on de u ˆ en ∞): (Anulaci´ on de uˆ en ∞) Para toda funci´on u(t)de orden exponencial en 0 ≤ t < ∞ , la transformada de Laplace uˆ(s) satisface l´ım uˆ(s) = 0
s→∞
Utilizando argumentos un poco m´as sofisticados se puede demostrar que la propiedad de anulaci´on de uˆ en ∞ es v´alida para toda funci´on u que posea transformada de Laplace. Esta propiedad sirve para determinar que ciertas funciones no son una transformada de Laplace:
4
Si g(s) es una funci´on definida en un intervalo a < s < ∞ tal que l´ım g(s) no existe o
l´ım g(s) 6= 0,
s→∞
s→∞
entonces g(s) no es transformada de Laplace de funci´on alguna Por ejemplo, las funciones detalladas a continuaci´on no son transformadas de Laplace de funci´on alguna: Polin´omicas p(s) =
n X
ak sk ,
k=0
Trigonom´etricas, exponenciales y logar´ıtmicas cos ωs, sen ωs,
eas (a > 0), ln s,
Racionales, p(s) , con grado(p)≥grado (q). q(s)
2.
Propiedades b´ asicas de la transformada de Laplace Conviene imaginar la transformada de Laplace como un operador u → L {u} = uˆ
que a cada funci´on u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ y de orden exponencial la transforma en una funci´on uˆ(s) definida en alg´ un intervalo a < s < ∞. Este operador tiene las siguientes propiedades b´asicas que, en particular, lo hacen de utilidad en el c´alculo de soluciones de problemas de valor inicial para ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. Teorema 2 . (Propiedades b´asicas). Sean u(t), v(t) funciones de orden exponencial en 0 ≤ t < ∞ y a, b constantes reales. 1. ( Linealidad). L{au + bv} = aL{u} + bL{v}. 2. (Translaci´ on). Si uˆ(s) =L{u(t)}(s) est´ a definida en el intervalo b < s < ∞, entonces L{eat u(t)}(s) = uˆ(s − a) para a + b < s < ∞.
5
3. (Translaci´ on y truncamiento). Si a > 0 L{H(t − a) u(t − a)}(s) = e−as L {u} (s). 4. (Transformada de la derivada). L{u0 (t)} = sL{u} − u(0). En general, para n∈N L{u(n) (t)} = sn L {u} − sn−1 u(0) − sn−2 u0 (0) − . . . − s u(n−2) (0) − u(n−1) (0). d 5. (Derivada de la transformada). L{tu(t)} = − ds L{u}. En general, para n ∈ N
d L{tn−1 u(t)} ds 2 2 d = (−1) 2 L{tn−2 u(t)} ds .. =.
L{tn u(t)} = −
dn = (−1) L {u} . dsn n
6. (Transformada de la integral). L{
Rt 0
u(r) dr} = 1s L{u}.
7. (Periodicidad). Si u(t) es peri´ odica con per´ıodo p > 0 , es decir, u(t + p) = u(t) para todo t ≥ 0 , y si u(t) es continua en [0, p] , entonces R p −st e u(t) dt L {u} = 0 . 1 − e−ps Demostraci´ on. Todas estas propiedades son consecuencia directa de la definici´on. A modo de ejemplos, verificaremos desde 4 al 7. 4. Por sencillez, supondremos que u0 (t) es continua en 0 ≤ t < ∞. Integrando por partes Z ∞ Z ∞ ¯t=∞ 0 −st 0 −st L{u (t)} = e u (t) dt = e u(t) ¯t=0 + s e−st u(t) dt 0
0
L{u0 (t)} = −u(0) + sL {u} . Aqu´ı se usa el hecho de que |u(t)| ≤ M eat , esto implica que e−st u(t) |t=∞ = l´ımt→∞ e−st u(t) = 0, para s > a. La identidad para L{u(n) (t)} se obtiene aplicando repetidamente la identidad para L{u0 (t)}.
6
5. Suponiendo que es v´alido el intercambiar el orden de la derivaci´on y la integraci´on d en ds L{u}, se obtiene Z ∞ Z Z ∞ d d ∞ −st d −st L {u} = e u(t) dt = − e u(t) dt = te−st u(t) dt ds ds 0 ds 0 0 d L {u} = −L{tu(t)} ds La identidad para n > 1 se obtiene aplicando repetidamente el caso n = 1. Rt 6. Se deduce de (iv) tomando 0 u(r) dr en vez de u. 7. Se tiene
Z
∞
−st
L {u} =
e
u(t) dt =
0
L {u} =
∞ Z X k=0
∞ X
Z
p
−kps
e
−st
e
(k+1) p kp
u(t) dt =
Rp 0
0
k=0
e−st u(t) dt
e−st u(t) dt , 1 − e−ps
para s > a > 0. Aqu´ı utilizamos primero el hecho de que mediante el cambio de variable r = t − kp, Z
(k+1) p
Z −st
e
p
u(t) dt =
kp
Z −s( r+kp)
e
p
−kps
u( r + kp) dr = e
0
e−st u(r) dr,
0
y, segundo, que ∞ X k=0
xk =
1 1−x
para | x| < 1 con x = e−sp .
C´ alculo de transformadas de Laplace. Con ayuda de la definici´on, de un peque˜ no repertorio o tabla de transformadas de Laplace, y de las propiedades b´asicas se puede calcular f´acilmente la transformada de Laplace de las funciones elementales de uso corriente en la soluci´on de problemas de valor inicial para ecuaciones lineales con coeficientes constantes. Ejemplos. (Polinomios). © ª © ª L t3 − 10t + 1 = L t3 − 10L {t} + L {1} 3! 10 1 6 10 1 − 2 + = 4− 2 + 4 s s s s s s n! n para s > 0, utilizando la linealidad de L y L {t } = sn+1 . =
7
1
2
3
4
5
Figura 2: Funci´on encendido-apagado
at
(Seno y coseno hiperb´ olicos). Si cosh at = e +e 2 por la linealidad y el ejemplo (1) de la secci´on 1,
−at
y senh at =
eat −e−at , 2
entonces
© ª¢ 1 ¡ © at ª L e + L e−at = 2 µ ¶ 1 1 1 s + = 2 , para s > |a| 2 s−a s+a s − a2 L {cosh at} =
a An´alogamente, L {senh at} = s2 −a para s > |a|. 2 (Onda cuadrada entre a y b , 0 < a < b). La funci´on u(t) definida (conviene trazar su gr´afica) ½ 0 si t < a ´o t ≥ b u(t) = 1 si a ≤ t < b
se puede expresar en t´erminos de la funci´on de Heaviside como u(t) = H(t − a) − H(t − b). Entonces por la linealidad de L y el ejemplo (4) de la secci´on 1, uˆ(s) =
e−as − e−bs s
(Otras funciones de inter´es) d d a 2as L {sen at} = − ds ( s2 +a L {tsen at} = − ds 2 ) = ( s2 +a2 )2 ¡ ¢ n n 1 n! d at n d = (s−a) L {tn eat } = (−1)n ds n L {e } = (−1) dsn n+1 s−a
s>a
(Funci´ on encendido-apagado). La funci´on (ve´ase figura 2.) 1 u(t) = (1 + (−1)[|at|] ) = 2
½
1, 2ka ≤ t < (2k + 1) a 0, (2k + 1) a ≤ t < 2(k + 1) a
k entero.
es peri´odica con per´ıodo p = 2a. Aqu´ı [| x |] denota el mayor entero n menor o igual que x. 8
Por la propiedad de periodicidad (vii), Z 2a Z a 1 1 −st L {u} = e u(t) dt = e−st dt 1 − e−2as 0 1 − e−2as 0 1 − e−as 1 = −2as s(1 − e ) s (1 + e−as ) Producto de transformadas de Laplace. El ejemplo de u(t) = v(t) = t muestra que, en general, L{u v} 6= L{u} L{v}. Sin embargo, se puede expresar L{u}L{v} como transformada de Laplace de una funci´on obtenida a partir de u y v como sigue. Primero, µZ ¶ µZ ¶ L {u} =
∞
∞
L{u}L{v} = e u(x) dx e−sy v(y) dy 0 Z ∞ 0Z ∞ = { e−s(x+y) u(x)v(y) dx}dy 0
−sx
0
Ahora, para cada y fijo (0 ≤ y ≤ ∞), hacemos el cambio de variable t = x + y en la integral interna, de modo que x = t − y , dt = dx, t = y cuando x = 0, t = ∞ cuando x = ∞, y Z ∞
e−st u(t − y) v(y) dt.
y
Luego
Z
∞
L{u}L{v} =
Z {
∞
e−st u(t − y) v(y) dt}dy.
y
0
Supongamos ahora que es posible considerar esta integral iterada como una integral doble sobre la regi´on R = {(t, y)| 0 ≤ y < ∞, y ≤ t < ∞} = {(t, y)| 0 ≤ t < ∞, 0 ≤ y ≤ t}, y que es posible invertir el orden de integraci´on. Entonces ZZ L{u}L{v} = e−st u(t − y) v(y) dt dy R
Z ∞ Z t ∞ Z t −st −st e { u(t − y) v(y) dy}dt = { e u(t − y) v(y) dy}dt = 0 0 0 0 Z t =L{ u(t − y) v(y) dy}. Z
0
Definici´ on.(Convoluci´on). La convoluci´on de dos funciones u(t), v(t) continuas por tramos de orden exponencial en 0 ≤ t < ∞ es la funci´on u ∗ v definida en 0 ≤ t < ∞ por Z t
(u ∗ v)(t) =
u(t − y) v(y) dy. 0
Suponiendo v´alido el cambio de orden en la integraci´on indicado antes podemos establecer el siguiente teorema. 9
Teorema 3 ( Propiedad de convoluci´ on) L{u ∗ v} = L{u}L{v} Ejemplo. Sea u(t) = t y v(t) = sen at. Entonces Z t t 1 u ∗ v(t) = (t − y) sen ay dy = − 2 sen at, a a 0 1 a t . L{u ∗ v} = L{ − 2 sen at} = L{t}L{sen at} = 2 2 a a t (t + a2 )
3.
Transformada inversa de Laplace Una propiedad fundamental de la transformada de Laplace es:
Teorema 4 . (Propiedad de inversi´on). Sean u1 (t) y u2 (t) funciones continuas por tramos de orden exponencial en 0 ≤ t < ∞ . Si L{u1 }(s) = L{u2 }(s) en un intervalo a < s < ∞ , entonces en cada intervalo finito [0, B]se tiene u1 (t) = u2 (t), salvo a lo m´as en un n´ umero finito de puntos. La demostraci´on de este resultado requiere t´ecnicas de an´alisis que no est´an al alcance de este curso. (Ver: R.V. Churchill. Operational Mathematics ., McGraw-Hill, New York, 1972.) La propiedad de inversi´on implica que dada una funci´on v(s) definida en un intervalo a < s < ∞, si existe una funci´on u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tal que L{u} = v, entonces la funci´on u es esencialmente u ´nica. Esto significa que si u1 es otra funci´on tal que L{u1 } = v, entonces en cada intervalo [0, B] las funciones u y u1 coinciden, con la posible excepci´on de un n´ umero finito de puntos. Por ejemplo, es f´acil verificar que, para a > 0, las funciones ½ ½ 0, t < a 0, t ≤ a H(t − a) = , H1 (t) = , 1, t ≥ a 1, t > a ½ 0, t < a ´o t ∈ Z H2 (t) = 1, en otra parte
10
son tres funciones diferentes esencialmente iguales en 0 ≤ t < ∞ tales que 1 L{H(t − a)} = L{H1 } = L{H2 } = . s En lo que sigue no distinguiremos entre funciones que sean esencialmente iguales. Definici´ on. Una funci´on v(s) definida en un intervalo a < s < ∞ tiene transformada inversa de Laplace si existe una funci´on u(t) definida en 0 ≤ t < ∞ tal que L{u} = v, En este caso se dice que u es la transformada inversa de Laplace de v y se denota por L−1 {v}. Recordamos que por la propiedad de anulaci´on de las transformadas de Laplace en ∞, una condici´on necesaria para que una funci´on v(s) posea transformada inversa de Laplace es que l´ım v(s) = 0. s→∞
Tambi´en, las propiedades b´asicas de la transformada de Laplace implican propiedades de la transformada inversa de Laplace. Por ejemplo, si v y w tienen transformada inversa , se tiene: (Linealidad) L−1 {av + bw} = aL−1 {u} + bL−1 {w}. (Translaci´ on) L−1 {v(s − a)} = eas L−1 {v}. (Derivada) L−1 {
dn v(s)} = (−1)n tn L−1 {v}. n ds
(Integraci´ on 1) v(s) L { }= s
Z
t
−1
L−1 {v}(r) dr .
0
(Convoluci´on) L−1 {v(s)w(s)} = L−1 {v} ∗ L−1 {w}. (Integraci´ on 2)
Z
∞
1 v(r) dr} = L−1 {v}. t s La u ´ltima relaci´on es consecuencia de: (Integral de una transformada). Z ∞ u(t) }. L{u}(γ) dγ = L{ t s −1
L {
La cual es v´alida para u(t) tal que l´ımt→0+ 11
u(t) t
exista y sea finito.
4.
M´ etodo de Heaviside
Este m´etodo se aplica al c´alculo de soluciones de problemas lineales de valor inicial. Sup´ongase que se desea hallar la soluci´on x(t) en 0 ≤ t < ∞ de un problema de valor inicial para una ecuaci´on lineal con coeficientes constantes x00 + ax0 + bx = f (t),
x(0) = x0 , x0 (0) = x00
(3)
El f´ısico-matem´atico e ingeniero ingl´es Oliver Heaviside propuso la siguiente idea. Primero, se aplica transformada de Laplace a la ecuaci´on L{x00 + ax0 + bx} = L{f (t)}. Entonces, por las propiedades (i) y (iv) de transformada de Laplace, la ecuaci´on se reduce a s2 L{x} − sx(0) − x0 (0)) + a(sL{x} − x(0)) + bL{x} = L{f } (s2 + as + b)L{x} = L{f } + x(0)s + ax(0) + x0 (0). As´ı, la transformada de Laplace de la soluci´on x(t) de (3) es L{x} =
L{f } x(0)s + ax(0) + x0 (0) + . (s2 + as + b) (s2 + as + b)
La soluci´on x(t) de (3) en 0 ≤ t < ∞ se obtiene mediante la transformada inversa ½ ¾ L{f } x(0)s + ax(0) + x0 (0) −1 x(t) = L + . (s2 + as + b) (s2 + as + b) Ejemplos. Buscaremos la soluci´on de dx + 2x = 1, dt
x(0) = 10.
Aplicando transformada a la ecuaci´on, se obtiene 1 sL{x} − x(0) + 2L{x} = . s De donde (usando fracciones parciales) 1 10 1 L{x} = + = s(s + 2) s + 2 2 1 1 19 L{x} = ( + ) 2 s s+2 12
µ
1 1 − s s+2
¶ +
10 , s+2
para 0 ≤ t < ∞.
Finalmente, la soluci´on x(t) en 0 ≤ t < ∞ es 1 1 19 1 1 19 1 )} = L−1 { } + L−1 { } x(t) = L−1 { ( + 2 s s+2 2 s 2 s+2 1 19 −2t + e . 2 2 Ejemplo. Nos proponemos determinar el movimiento desde el equilibrio de un oscilador lineal no amortiguado con masa m y constante de rigidez k sometido a una fuerza externa variable F (t) que se anula antes del instante t0 > 0 y que es constante e igual a F0 despu´es del instante t0 : ½ 0, t < 0 F (t) = F0 H(t − t0 ) = . F0 , t ≥ t0 x(t) =
El problema de valor inicial correspondiente es F0 d2 x 2 + ω x = H(t − t0 ), dt2 m
q con ω =
k . m
x(0) = 0, x0 (0) = 0,
Tomando transformada de Laplace, la ecuaci´on se reduce a s2 L{x} − sx(0) − x0 (0) + ω 2 L{x} =
F0 L{H(t − t0 )}. m
Utilizando las condiciones iniciales, x(0) = x0 (0) = 0 , se obtiene L{x}(s) =
F0 1 L{H(t − t0 )}, m s2 + ω 2
y por tanto
F0 −1 1 L { 2 L{H(t − t0 )}}. m s + ω2 Por la propiedad de convoluci´on de L y observando que x(t) =
1 1 = L{ sen ωt}, s2 + ω 2 ω se tiene que 1 1 L{H(t − t0 )} = L{sen ωt}L{H(t − t0 )}} = 2 +ω ω Z t 1 1 L{ sen ωt ∗ H(t − t0 )} = L{ sen ω(t − z)H(z − t0 )dz} ω ω 0 s2
Luego, F0 x(t) = mω
Z
t
sen ω(t − z)H(z − t0 )dz, para 0 ≤ t < ∞. 0
13
FO H( t−tO )
FO
t
xO x(t)
FO mω 2
t
tO
Figura 3: Oscilaciones bajo una fuerza repentina
Para evaluar la integral en esta expresi´on para x(t), observamos que cuando 0 ≤ t < t0 ,0 ≤ z ≤ t < t0 implica H(z −t0 ) = 0, y cuando t ≥ t0 0 ≤ z ≤ t implica 0 ≤ z < t0 con H(z − t0 ) = 0 ´o t0 ≤ z ≤ t con H(z − t0 ) = 1. As´ı que ½ Z t 0, t < t0 sen ω(t − z)H(z − t0 ) dz = R t sen ω(t − z) dz, t ≥ t0 , 0 t0 Z
½
t
sen ω(t − z)H(z − t0 ) dz =
1 (1 ω
0
0, t < t0 − cos ω(t − t0 ) ), t ≥ t0 ,
Se concluye que la soluci´on x(t) en 0 ≤ t < ∞ est´a dada por ½ 0, t < t0 x(t) = F0 (1 − cos ω(t − t0 ) ), t ≥ t0 . m ω2 Esta soluci´on representa un movimiento del oscilador en el cual en ausencia de fuerzas externas la masa permanece en reposo en la posici´on de equilibrio x = 0 hasta el instante t0 cuando empieza a obrar la fuerza constante F0 . A partir del instante t0 , la masa inicia una oscilaci´on arm´onica con frecuencia igual a la frecuencia natural ω unidades de tiempo se desplaza m2Fω02 del oscilador libre en la cual la masa cada 2π ω unidades de distancia en la direcci´on de la fuerza F0 y vuelve luego a la posici´on de equilibrio x = 0 ( v´ease figura 3).
14
5. 5.1.
Resumen Transformada de Laplace
1. Definici´on: L{f (t)}(s) =
R∞ 0
e−s t f (t) dt.
2. Linealidad: L{α f (t) + β g(t)}(s) = α L{f }(s) + β L{g}(s). 3. Translaci´on: si uˆ(s) = L{u(t)}(s) entonces uˆ(s − a) = L{eat u(t)}(s). 4. Translaci´on y truncamiento: L{H(t − a)u(t − a)}(s) = e−as L{u}(s). 5. Derivada n-esima: L{f 0 (t)}(s) = 00 L{f (t)}(s) = (n) L{f (t)}(s) =
s L{f }(s) − f (0+ ). s2 L{f }(s) − s f (0+ ) − f 0 (0+ ). sn L{f }(s) − sn−1 f (0+ ) − sn−2 f 0 (0+ ) − · · · − f (n−1) (0+ ).
6. Transformada de la integral: nR o Ra t L a f (r) dr (s) = 1s L{f }(s) − 1s 0 f (t) dt. Z t Z t ··· f (t)dt . . . dt (s) = s1n L{f }(s). L | 0 {z 0} R ∞ n-veces } (s) . L{u}(γ) dγ = L{ u(t) t s 7. Producto y convoluci´on Rt L{u}L{v} = L{ 0 u(t − y)v(y) dy}. Rt L{u ∗ v} = L{u}L{v} , donde (u ∗ v)(t) = 0 u(t − y)v(y) dy. 8. Transformada de una funci´on peri´odica f (s) con per´ıodo p > 0 R p −s t e f (t) dt . L{f (t)}(s) = 0 1 − e−p s 9. Propiedades varias L{eat f (t)}(s) L{tn f (t)}(s) L{H(t − a)g(t)}(s) L{ f (t) }(s) t
= L(f )(s − a). dn = (−1)n ds n L{f }(s). = e−as L{g(t + a)}(s). R∞ = s L{f }ds , si l´ımt→0+ 15
f (t) t
existe.
5.2.
Transformada inversa de Laplace
1. Linealidad de la transformad inversa: L−1 {α f (t) + β g(t)} = α L−1 {f } + β L−1 {g}. 2. Translaci´on: L−1 {v(s − a)} = eas L−1 {v}. 3. Derivada de la transformada inversa: L−1 {
dn v(s)} = (−1)n tn L−1 {v}. n ds
4. Integral v(s) L−1 {©R } s∞ ª = −1 L v(r) dr = s
Rt
L−1 {v}(r) 0 1 −1 L {v}. t
dr.
5. Convoluci´on: L−1 {v(s)w(s)} = L−1 {v} ∗ L−1 {w}. A continuaci´on presentamos una breve tabla de las transformadas de Laplace de algunas funciones L{1} L{eat } L{tn } L{sen at} L{cos at} L{senh at} L{cosh at}
= = = = = = =
1 s
1 s−a n! sn+1 a s2 +a2 s s2 +a2 a s2 −a2 s s2 −a2
, , , , , , ,
L{δ(t)} L{δ(t − a)} n−1 eat L{ t(n−1)! } 1 L{ 2a3 (sen at − at cos at)} L{ 2a13 (sen a t + a t cos a t)} R t t −1 1 L{ 0 2n L [ (s2 +a 2 )n ] dt} t 1 −1 L{ 2n L [ (s2 +a2 )n ]}
= 1 = e−as 1 = (s−a) n (n ≥ 1) 1 = (s2 +a2 )2 2 = a2 (s2s+a2 )2 = (s2 +a12 )n+1 = (s2 +as2 )n+1
Nota:La funci´on δ(t − t0 ) es la funci´on Delta de Dirac definida como sigue ½ ∞ si t = t0 δ(t − t0 ) = 0 si t 6= t0 y adem´as
Z
∞
δ(t − t0 ) dt = 1. −∞
16
Ejercicios 1. Hallar la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones a. e2t sen 3t, b. 3e−t cos 2t, c. t3 sen 3t, d. t2 et cos t, Rt . e. e−3t cos (2t + 4) , f. a r cos r dr, g. sen2 t, h. | cos t |, 2. Calcule la transformada inversa de las siguientes funciones a. e.
1 , s (s+1) 1 , s2 +4s+29
b. f.
3 , (s−1)2 2s , (s2 +1)2
c. g.
5 , s2 (s−5)2 −s 1+e , s
d. h.
1 , (s−a)(s−b) −s e . s4 +1
a, b constantes,
3. Hallar la transformada de Laplace de ½ f (t) :=
0, t ≤ 1+t t>
1 2 1 2
½ , g(t) :=
t, t ≤ 2 . 2 t>2
4. Hallar la transformada de Laplace de la funci´on escalera f (t) = n + 1,
si n < t ≤ n + 1,
n = 0, 1, 2, ..., .
5. Resolver cada una de las siguientes ecuaciones usando transformadas de Laplace a. dy + 3y = t sen at y(0) = 1, a constante, dt dy d2 y t y(0) = 0, y 0 (0) = 0, b. dt2 − 2 dt + y = t e sen t 2 c. ddt2y + 2r dy + ω 2 y = A δ(t − t0 ) y(0) = 0, y 0 (0) = 0, t0 constante, dt ½ 4 0, t ≤ 1 d. ddt4y + y = y(0) = y 0 (0) = y 00 (0) = y 000 (0) = 0, t−1 t>1 Rt e. dy + 2y + y(s) ds = cos t y(0) = 1. dt 0 Respuestas 1.
2.
a. e.
3 , 9+(s−2)2 (s+3) cos 4−2sen 4 4+(s+3)2
b. ,
f.
3(s+1) , 4+(1+s)2 2 s+(1+s2 )s sen a − cos a+a (1+s2 )2 s
a. 1 − e−t , b. 3et t , at −ebt 5t 5t t , d. e a−b , c. 2−2e +5t+5e 25 e. 51 e−2t sen 5t , f. t sen t , g. 1 + H(t − 1) , s
3. L{f }(s) = e− 2
h. − 12 e
¡ 2+3s ¢ 2s2
t−1 √ 2
³ cos
, L{g}(s) =
π 4
+
e2s −1 e2s s2
17
t−1 √ 2
´
c. , g.
72s3 −648s (s2 +9)4 2 , s(s2 +4)
√ − t−1
− 21 e
2
³ cos
,
3π 4
d. h.
+
2s3 −6s2 +4 , (1+(s−1)2 )3 (e−π s +1)s − (eπ s −1)(1+s2 ) .
t−1 √ 2
´ H(t − 1).
4. L{f }(s) =
P∞ k=0
e−sk . s
5. a. (9+a1 2 )2 ((81 − 6 a + 18 a2 + a4 )e−3 t − a((9 + a2 )t − 6) cos a t + (a2 − 9 + 27 t + 3 a2 t)sen a t), b. y (t) = 2et − 2et cos t − et t sen t, c. y (t) =
√ A H(t−t0 ) −(t−t0 )(r− r2 −w2 ) √ (e 2 r2 −w2
d. (t − 1 − 12 e e. y (t) =
1 2et
t−1 √ 2
−
sen( π4 −
t 2et
+
t−1 √ ) 2
+ 12 e
√
− e(t−t0 )(r+
t−1 √ 2
sen( 3π + 4
cos t . 2
18
r2 −w2 )
),
t−1 √ ))H(t 2
− 1),
