Cap´ıtulo 4 Transformada de Laplace La Transformada de Laplace es la herramienta de preferencia en el an´alisis de sistemas lineales e invariantes en el tiempo. Se le atribuye a Pierre-Simon de Laplace (1749–1827), a pesar de que se ha sugerido que esta transformaci´on integral fue propuesta por Leonhard Euler (1707–1783) [24]. El uso difundido de la ahora llamada transformada de Laplace en ingenier´ıa se debe al ingeniero ingl´es Oliver Heaviside (1850-1925) quien utiliz´o un m´etodo similar para la soluci´on de ecuaciones diferenciales ordinarias con coeficientes constantes. Sus desarrollos carec´ıan de rigor matem´atico, por lo que no fue sino hasta que sus m´etodos demostraron gran utilidad pr´actica que los matem´aticos prestaron atenci´on a sus m´etodos y buscaron justificaci´on te´orica, que fue encontrada en el trabajo de Laplace [8]. La transformada de Laplace puede interpretarse como una generalizaci´on de la transformada de Fourier, que permite manejar problemas no tratables con esta u ´ltima. El paso clave ocurre con la observaci´on de que muchas de las propiedades de la transformada de Fourier se conservan si en vez de utilizar una frecuencia puramente imaginaria jω, se utiliza una frecuencia compleja s = σ + jω, con σ = Re{s} y ω = Im{s}. As´ı, la frecuencia pasa de ser un valor en una recta, a un valor en el plano complejo s. Puede demostrarse que las funciones exponenciales complejas est siguen siendo funciones propias de un sistema LTI, hecho en el cual se basa toda la aplicaci´on pr´actica de esta transformada. Se distinguen dos versiones de la transformada de Laplace: bilateral y unilateral. La primera est´a directamente relacionada con la transformada de Fourier, y la segunda es la herramienta ampliamente utilizada en ingenier´ıa, que se deriva de la transformada bilateral para se˜ nales causales. Aqu´ı se revisar´an ambas para brindar el panorama completo. En la literatura de ingenier´ıa, la mayor´ıa de las veces en que se habla de “transformada de Laplace” se hace impl´ıcitamente referencia a su versi´on unilateral.
197
198
4.1
4.1 Transformada bilateral de Laplace
Transformada bilateral de Laplace
En el cap´ıtulo anterior se defini´o la transformada de Fourier como Z ∞ x(t)e−jωt dt X(jω) = −∞
La transformada de Laplace se obtiene ampliando la recta de frecuencias complejas jω al plano complejo s = σ + jω, donde σ es ahora un nuevo componente real de la frecuencia. As´ı, la transformada de Laplace se define como: Z ∞ X(s) = x(t)e−st dt (4.1) −∞
De forma similar a la transformada de Fourier, se utiliza aqu´ı la notaci´on L {·} para denotar al operador que transforma la se˜ nal en el tiempo, a su equivalente en el plano de frecuencia compleja s: X(s) = L {x(t)} La relaci´on entre el dominio temporal y de frecuencia compleja se denota como L
x(t) ◦−→• X(s) o simplemente x(t) ◦−→• X(s) si el contexto lo permite. N´otese entonces que se cumple L {x(t)}|s=jω = X(s)|s=jω = F {x(t)} Por otro lado L {x(t)} = X(s) = X(σ + jω) =
Z
∞
Z−∞ ∞ =
x(t)e−(σ+jω)t dt x(t)e−σt e−jωt dt
Z−∞ ∞
x(t)e−σt e−jωt dt −∞ = F x(t)e−σt =
lo que quiere decir que la transformada de Laplace puede interpretarse como la transformada de Fourier de la funci´on x(t) multiplicada por una se˜ nal exponencial real e−σt que ser´a creciente o decreciente dependiendo del signo de σ. De hecho, este producto entre x(t) y la funci´on “de ponderaci´on” e−σt fue el punto de partida de Heaviside para su propuesta inicial: si x(t) no tiene directamente transformada de Fourier, puede conseguirse indirectamente la tenga si se multiplica por una funci´on monot´onicamente decreciente (o creciente) conocida, como e−σt . c
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Ejemplo 4.1 Calcule la transformada de Laplace de la funci´on x(t) = e−at u(t). Soluci´ on: Se tiene que Z
L {x(t)} =
∞
e−at u(t)e−st dt
Z−∞ ∞ =
e−at e−st dt
Z0 ∞
e−(a+s)t dt 0 ∞ e−(a+s)t =− a + s 0 =
1 − e−(a+s)∞ a+s
=
Se debe evaluar la convergencia del t´ermino e−(a+s)∞ . Descomponiendo el exponente en sus partes real e imaginaria y considerando s = σ + jω se tiene e−(a+s)∞ = e−(Re{a}+σ)∞ e−j(Im{a}+ω)∞ donde el segundo factor no converge; sin embargo, puesto que su magnitud es uno, la convergencia del producto depende del primer factor: si Re{a} + σ > 0, esta expresi´on converge a cero, si Re{a} + σ < 0 diverge hacia infinito, y si Re{a} + σ = 0 entonces el producto simplemente no converge. Esto quiere decir que L {x(t)} =
1 , a+s
σ > − Re{a} 4.1
Este ejemplo pone en evidencia que la transformada de Laplace involucra no solo la expresi´on algebraica en el dominio s, sino adem´as la regi´on de convergencia en dicho plano, abreviada con ROC, por sus siglas en ingl´es (Region of Convergence). Obs´ervese que el caso Re{a} < 0 representa una regi´on de convergencia que excluye al eje jω, y por tanto la funci´on x(t) no tiene transformada de Fourier. Este caso corresponder´ıa en el tiempo a una exponencial monot´onicamente creciente, lo que viola las condiciones de Dirichlet de integrabilidad absoluta. El pr´oximo ejemplo pone en evidencia la importancia de la regi´on de convergencia. Ejemplo 4.2 Calcule la transformada de Laplace de la funci´on x(t) = −e−at u(−t). Soluci´ on: Se tiene que L {x(t)} =
Z
∞
−e−at u(−t)e−st dt
−∞ 0
Z =
−e−at e−st dt
−∞
c
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4.1 Transformada bilateral de Laplace
Z
0
=
−e−(a+s)t dt
−∞
0 e−(a+s)t = a + s −∞ =
1 − e(a+s)∞ a+s
Se debe evaluar la convergencia del t´ermino e(a+s)∞ . Descomponiendo el exponente en sus partes real e imaginaria y considerando s = σ + jω se tiene e(a+s)∞ = e(Re{a}+σ)∞ ej(Im{a}+ω)∞ y a pesar de que el segundo factor no converge, puesto que su magnitud es uno, la convergencia del producto depende del primer factor: si Re{a} + σ < 0, esta expresi´on converge a cero, si Re{a} + σ > 0 diverge hacia infinito, y si Re{a} + σ = 0 entonces el producto simplemente no converge. Esto quiere decir que L {x(t)} =
1 , a+s
σ < − Re{a} 4.2
Plano s
Plano s
jω
-Re{a}
σ
jω
-Re{a}
σ
Figura 4.1: Regiones de convergencia para ejemplos 4.1 (izquierda) y 4.2 (derecha).
Los ejemplos anteriores muestran un hecho fundamental en el manejo de la transformada de Laplace: la misma expresi´on algebraica en el dominio s puede representar funciones diferentes en el dominio temporal, dependiendo de la regi´on de convergencia utilizada. La figura 4.1 muestra las ROC de los dos ejemplos anteriores en el plano s. N´otese que la regi´on de convergencia puede interpretarse como el conjunto de puntos del plano s = σ + jω para los cuales la transformada de Fourier de x(t)e−σt existe. Ejemplo 4.3 Encuentre la transformada de Laplace de la funci´on x(t) = e−bt u(t) + e−t cos(at)u(t) c
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con a y b reales. Soluci´ on: La funci´on puede reescribirse utilizando la ecuaci´on de Euler como jat e + e−jat −bt −t x(t) = e + e u(t) 2 1 −(1−ja)t 1 −(1+ja)t −bt u(t) + e = e + e 2 2 y calculando la transformada de Laplace se obtiene Z ∞ 1 −(1−ja)t 1 −(1+ja)t −bt e + e X(s) = u(t)e−st dt + e 2 2 Z−∞ ∞ 1 −(1−ja)t 1 −(1+ja)t −st −bt e + e = + e e dt 2 2 0 Z ∞ Z ∞ Z ∞ 1 −(1−ja)t −st 1 −(1+ja)t −st −bt −st = e e dt + e e dt + e e dt 2 2 0 0 0 que son tres transformaciones id´enticas a las del ejemplo 4.1, por lo que X(s) =
1 1 1 1 1 + + + s} 2 (1 − ja) + s 2 (1 + ja) + s |b {z | {z } | {z }
ROC:σ>−b
ROC:σ>−1
ROC:σ>−1
Puesto que los tres t´erminos deben converger, se utiliza como regi´on de convergencia total a la intersecci´on de las tres ROC individuales, y por tanto la ROC de x(t) es σ > max{−1, −b}. Finalmente x(t) = e−bt u(t) + e−t cos(at)u(t) ◦−→•
2s2 + (3 + b)s + 1 + a2 + b (b + s)(1 + a2 + 2s + s2 ) 4.3
Los ejemplos anteriores son casos particulares donde la transformada de Laplace es una funci´on racional, es decir, un cociente de polinomios N (s) y D(s) de variable compleja s X(s) =
N (s) D(s)
En estos casos en que X(s) es racional, x(t) es siempre una combinaci´on lineal de exponenciales reales o complejas. Adem´as, este tipo de funciones racionales aparecen, como se analizar´a posteriormente, cuando se describen sistemas especificados a trav´es de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. En las funciones racionales, los ceros corresponden a las ra´ıces de N (s) y los polos a las ra´ıces de D(s). Puesto que la ubicaci´on de estas ra´ıces, excepto por un factor de escala, son suficientes para especificar X(s), se acostumbra utilizar un diagrama de polos y ceros para indicar la transformada de Laplace, donde con “×” se demarcan los polos, y con “◦” los ceros, y se denota adem´as la regi´on de convergencia en uso. As´ı, el diagrama de polos y ceros para los ejemplos 4.1 y 4.3 se muestra en la figura 4.2. c
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4.1 Transformada bilateral de Laplace jω
Plano s
jω
Plano s
−1 + ja −a
σ
−b −1
σ
−1 − ja
Figura 4.2: Regiones de convergencia para ejemplos 4.1 (izquierda) y 4.3 (derecha).
Adem´as de los ceros y polos en la expresi´on algebraica de la transformada de Laplace, si esta es racional, y el orden del numerador es en un orden k menor que el denominador, se dice que hay un cero de orden k en infinito, puesto que si s tiende a infinito, entonces X(s) tiende a cero. De forma similar, si el numerador es en un orden k mayor que el denominador, entonces se considera que hay un polo de orden k en el infinito, puesto que si s tiende a infinito, tambi´en lo har´a X(s). En otras palabras, para las funciones racionales puede considerarse que siempre hay el mismo n´ umero de polos y ceros, si se toman en cuenta aquellos en el infinito.
4.1.1
Regiones de convergencia
La regi´on de convergencia contiene aquellos puntos del plano s para los que la transformada de Fourier de x(t)e−σt existe, lo que implica que x(t)e−σt debe ser absolutamente integrable: Z ∞
|x(t)|e−σt dt < ∞
−∞
Esto depende u ´nicamente de la componente real σ de la frecuencia compleja s. Por esta raz´on, la ROC de X(s) consiste en bandas paralelas al eje jω en el plano s. Puesto que la integral de Laplace debe converger, la ROC no puede contener ning´ un polo, por indefinirse all´ı el valor de la expresi´on algebraica. Esto sugiere que los l´ımites de las bandas verticales que conforman la ROC estar´an determinados por las componentes reales de los polos. Sea x(t) una funci´on de duraci´on finita, es decir, con valores diferentes de cero dentro de un intervalo finito [t1 , t2 ], y fuera de all´ı siempre cero. Sea x(t) adem´as absolutamente integrable dentro de dicho intervalo: Z t2 |x(t)| dt < ∞ . (4.2) t1
c
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Si s = σ + jω est´a dentro de la ROC, eso quiere de decir que x(t)e−σt es tambi´en absolutamente integrable Z t2 |x(t)|e−σt dt < ∞ (4.3) t1
Con σ = 0 (4.3) se reduce a (4.2) por lo que σ = 0 se encuentra en la ROC. Si σ > 0 entonces el valor m´aximo de e−σt se obtiene para t = t1 y por tanto Z
t2
−σt
|x(t)|e
−σt1
Z
t2
|x(t)| dt < ∞
dt ≤ e
t1
t1
por lo que todo σ > 0 se encuentra en la ROC. De forma similar para σ < 0 se cumple que el mayor valor de e−σt ocurre para t = t2 , por lo que Z t2 Z t2 −σt −σt2 |x(t)| dt < ∞ |x(t)|e dt ≤ e t1
t1
y as´ı todo σ < 0 se encuentra en la ROC. De esta forma se ha demostrado que si x(t) es finita y absolutamente integrable entonces todo el plano s constituye su ROC.
Ejemplo 4.4 Calcule la transformada de Laplace de la funci´on finita x(t) =
( e−at , 0 < t < T 0,
en otro caso
Soluci´ on: Utilizando la definici´on de transformada de Laplace se obtiene Z X(s) =
T
e−at e−st dt =
0
1 1 − e−(s+a)T s+a
lo que aparenta tener un polo en s = −a. Esto ser´ıa sin embargo contradictorio con la propiedad anteriormente descrita. Sin embargo, si s = −a el numerador tambi´en se hace cero, por lo que debe evaluarse la convergencia en este punto utilizando, por ejemplo, la regla de l’Hˆopital: " # d −(s+a)T 1 − e lim X(s) = lim ds d = lim T e−aT e−sT = T s→−a s→−a s→−a (s + a) ds que al ser un valor finito concuerda con la propiedad de convergencia completa del plano 4.4 s. Una se˜ nal acotada por su izquierda, o tambi´en llamada una se˜ nal derecha es aquella para la que se cumple x(t) = 0 para t < t1 . Si la transformada de Laplace converge para alg´ un valor σ = σ0 entonces Z ∞
|x(t)|e−σ0 t dt < ∞
−∞
c
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4.1 Transformada bilateral de Laplace
Puesto que la se˜ nal es derecha entonces lo anterior se puede reescribir como Z ∞ |x(t)|e−σ0 t dt < ∞ t1
y para todo σ1 > σ0 Z Z ∞ −σ1 t |x(t)|e dt = t1
∞ −σ0 t −(σ1 −σ0 )t
|x(t)|e
e
−(σ1 −σ0 )t1
Z
∞
dt ≤ e
|x(t)|e−σ0 t dt < ∞
t1
t1
es decir, para una se˜ nal derecha su ROC contendr´a siempre el semiplano derecho de s a partir de un cierto valor σ0 . Un razonamiento similar se sigue para se˜ nales izquierdas o acotadas por la derecha, que converger´an para todo un semiplano izquierdo delimitado por la recta vertical que pasa por σ0 . Una se˜ nal bilateral es aquella de extensi´on infinita tanto a la izquierda, como a la derecha. Una se˜ nal de este tipo puede descomponerse como la suma de una se˜ nal izquierda y otra derecha, parti´endola en dos en alg´ un punto finito. En este caso la ROC contendr´a la intersecci´on de las ROC individuales. Si dicha intersecci´on es vac´ıa, entonces la transformada de Laplace no existe. En caso contrario, como es la intersecci´on de un semiplano izquierdo y otro derecho, la ROC corresponder´a a una banda vertical. La figura 4.3 muestra los cuatro casos anteriores en forma esquem´atica. Ejemplo 4.5 Encuentre la transformada de Laplace de x(t) = e−a|t| con su respectiva regi´on de convergencia, para a ∈ IR. Soluci´ on: Esta ecuaci´on puede reescribirse como la suma de una se˜ nal derecha y otra izquierda acotadas en el punto t = 0. x(t) = e−at u(t) + e+at u(−t) De los ejemplos 4.1 y 4.2 1 , s+a −1 eat u(−t) ◦−→• , s−a e−at u(t) ◦−→•
ROC: σ > −a ROC: σ < a
N´otese que si a < 0 entonces no hay una regi´on de convergencia com´ un a ambos t´erminos y por tanto no existe la transformada de Laplace. Si a > 0 entonces e−a|t| ◦−→•
1 1 2a − =− 2 , s+a s−a s − a2 c
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ROC: − a < σ < a
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205 jω
x(t) ROC
σ t1
t2
t
(a) jω
x(t)
ROC σ t
t1 (b)
jω
x(t) ROC
σ t2
t
(c) jω
x(t)
ROC
σ t (d)
Figura 4.3: Regiones de convergencia correspondientes a se˜ nales (a) finita, (b) derecha, (c) izquierda y (d) bilateral.
4.5
Si la transformada de Laplace X(s) de x(t) es racional, entonces si x(t) es una funci´on derecha, su ROC ser´a el semiplano derecho limitado a la izquierda por el polo de X(s) con mayor componente real. Por otro lado, si x(t) es izquierda, su ROC ser´a el semiplano izquierdo limitado a la derecha por el polo de X(s) con menor componente real. La figura 4.4 muestra las posibles regiones de convergencia de una funci´on X(s) con varios polos. N´ote que en el caso de la figura solo la ROC correspondiente a una funci´on derecha permite la existencia de la transformada de Fourier, puesto que solo ella incluye al eje imaginario jω. c
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4.1 Transformada bilateral de Laplace jω
jω
σ
σ
jω
σ
Figura 4.4: Regiones de convergencia limitados por polos de transformada de Laplace X(s).
N´otese que en todo el an´alisis anterior se ha supuesto que x(t) es de orden exponencial, es decir, que cuando t → ±∞ existen n´ umero reales constantes σ, M , t1 y t2 tales que |x(t)| < M eσt para todo t > t1 y x(t) una se˜ nal derecha, o para t < t2 y x(t) una se˜ nal izquierda. En caso contrario, no existe la transformada de Laplace al no converger la integral de definici´on.
4.1.2
Propiedades de la transformada de Laplace
Por su estrecha relaci´on con la transformada de Fourier, muchas de las propiedades de esta u ´ltima se mantienen. Sin embargo, en la transformada de Laplace debe tenerse cuidado con las implicaciones para la regi´on de convergencia. En el caso de funciones racionales, por ejemplo, si la modificaci´on de la funci´on altera la posici´on de los polos, la ROC se trasladar´a con ellos, en concordancia con los conceptos discutidos anteriormente.
Linealidad Sean las funciones en el dominio del tiempo x1 (t) y x2 (t) y sus respectivas transformadas de Laplace x1 (t) ◦−→• X1 (s),
ROC: R1
x2 (t) ◦−→• X2 (s),
ROC: R2
c
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entonces α1 x1 (t) + α2 x2 (t) ◦−→• α1 X1 (s) + α2 X2 (s),
ROC: R1 ∩ R2
donde la ROC indicada representa la menor regi´on de convergencia posible, puesto que, como el problema 4.7 lo muestra, la ROC de la combinaci´on lineal puede ser mayor que la de los t´erminos por separado, puesto que algunos polos pueden desaparecer. Esta propiedad puede demostrarse f´acilmente utilizando la propiedad de linealidad de la integral, junto con la observaci´on de que la transformada total converge solo en aquella regi´on com´ un a todos los t´erminos, es decir, a su intersecci´on. N´otese que es posible, si no hay puntos comunes en las regiones de convergencia, que no exista la transformada de Laplace de una combinaci´on lineal. Desplazamiento en el tiempo y en el dominio s Con un an´alisis an´alogo al caso de la transformada de Fourier se puede demostrar que si x(t) ◦−→• X(s) con ROC R entonces x(t − t0 ) ◦−→• e−st0 X(s),
ROC: R
y es0 t x(t) ◦−→• X(s − s0 ),
ROC: {s | s = r + s0 , r ∈ R}
Es decir, la regi´on de convergencia no es alterada cuando se desplaza la se˜ nal en el tiempo. Sin embargo, si de desplaza la se˜ nal en el dominio s entonces tambi´en lo hace su regi´on de convergencia. Esto puede comprenderse considerando que en X(s − s0 ) los polos y ceros est´an desplazados en s0 con respecto a los de X(s), y por tanto tambi´en se desplaza su regi´on de convergencia. Puesto que las ROC son bandas de longitud vertical infinita, este desplazamiento puede interpretarse como un corrimiento horizontal de la ROC determinada por Re{s0 }. Un caso particular consiste en la modulaci´on, es decir ejω0 t x(t) ◦−→• X(s − jω0 ) que desplaza la transformada de Laplace en direcci´on vertical, trasladando todo polo y cero en a hacia a + jω0 . N´otese que la ROC en este caso queda inalterada. Conjugaci´ on Para x(t) ◦−→• X(s) con ROC R se cumple x∗ (t) ◦−→• X ∗ (s∗ ),
ROC: R
y por lo tanto X(s) = X ∗ (s∗ ) si x(t) es real. Consecuencia directa de este hecho es que si p es un polo complejo con parte imaginaria diferente de cero, entonces p∗ tambi´en lo es. c
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4.1 Transformada bilateral de Laplace
Escalamiento en el tiempo Si L {x(t)} = X(s) con ROC R entonces para a ∈ IR n o r 1 s , ROC: s | s = , r ∈ R x(at) ◦−→• X |a| a a es decir, al igual que con la serie de Fourier, una compresi´on en el tiempo equivale a una dilataci´on en el dominio s, donde sin embargo ahora la dilataci´on ocurre en el plano complejo. N´otese que los l´ımites de la ROC cambian. Si para x(t) estos l´ımites eran r1 y r2 , entonces para x(at) estos ser´an r1 /a y r2 /a. Para el caso en particular a = −1 se tiene entonces x(−t) ◦−→• X (−s) ,
ROC: {s | s = −r, r ∈ R}
que equivale a una rotaci´on de 180◦ del plano s como dominio de definici´on de X(s), modific´andose la posici´on de los polos y por tanto tambi´en la ROC. Convoluci´ on Si x1 (t) ◦−→• X1 (s),
ROC: R1
x2 (t) ◦−→• X2 (s),
ROC: R2
entonces x1 (t) ∗ x2 (t) ◦−→• X1 (s)X2 (s),
ROC: R1 ∩ R2
donde la regi´on de convergencia puede ser mayor a la indicada si en el producto los polos que determinan los l´ımites de las ROC individuales se cancelan. Diferenciaci´ on en el tiempo y en el dominio s Si x(t) ◦−→• X(s) con ROC R entonces d x(t) ◦−→• sX(s), dt
ROC: R
donde si X(s) tiene un polo de primer orden en s = 0 entonces la ROC puede ser mayor. Esta propiedad se puede aplicar recursivamente para llegar a dn x(t) ◦−→• sn X(s), dtn
ROC: R
d X(s), ds
ROC: R
Adem´as −tx(t) ◦−→•
c
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Ejemplo 4.6 Encuentre la transformada de Laplace de x(t) = te−at u(t) Soluci´ on: Puesto que e−at u(t) ◦−→• entonces −at
te
1 , s+a
ROC: σ > −a
d 1 1 u(t) ◦−→• − = , ds s + a (s + a)2
ROC: σ > −a 4.6
Integraci´ on en el tiempo Si x(t) ◦−→• X(s) con ROC R entonces Z t 1 x(τ ) dτ ◦−→• X(s), s −∞
ROC: R ∩ {s | Re{s} > 0}
lo que puede deducirse del hecho que Z t x(τ ) dτ = u(t) ∗ x(t) −∞
y puesto que L {u(t)} = 1/s con ROC σ > 0 entonces, con la propiedad de convoluci´on se tiene 1 u(t) ∗ x(t) ◦−→• X(s) s con una ROC igual a la intersecci´on entre σ > 0 y la ROC de X(s).
4.1.3
La transformada inversa de Laplace
Puesto que X(s) = X(σ + jω) = F x(t)e
−σt
Z
∞
=
x(t)e−σt e−jωt dt
−∞
con s = σ + jω dentro de la ROC, entonces puede de forma equivalente utilizarse la transformada inversa de Fourier para encontrar a x(t) Z ∞ 1 −σt −1 x(t)e = F {X(σ + jω)} = X(σ + jω)ejωt dω . 2π −∞ Multiplicando ambos lados por eσt se obtiene Z ∞ 1 x(t) = X(σ + jω)e(σ+jω)t dω 2π −∞ c
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4.1 Transformada bilateral de Laplace
Tabla 4.1: Propiedades de la Transformada Bilateral de Laplace Propiedad
Se˜ nal en el tiempo Transformada
ROC
Linealidad Funci´on real Desplazamiento temporal Desplazamiento en s Conjugaci´on Inversi´on en el tiempo
x(t) x1 (t) x2 (t) α1 x1 (t) + α2 x2 (t) x(t) ∈ IR x(t − τ ) es0 t x(t) x∗ (t) x(−t)
R R1 R2 ≥ R1 ∩ R2 R R R + s0 R −R
Escalamiento en el tiempo x(at) Convoluci´on Diferenciaci´on
Integraci´on
x1 (t) ∗ x2 (t) dx(t) dt n d x(t) dtn −tx(t) Z t x(τ ) dτ −∞
X(s) X1 (s) X2 (s) α1 X1 (s) + α2 X2 (s) X(s) = X ∗ (s∗ ) e−sτ X(s) X(s − s0 ) X ∗ (s∗ ) X(−s) 1 s X |a| a X1 (s)X2 (s)
R/a ≥ R1 ∩ R2
sX(s)
≥R
sn X(s) d X(s) ds 1 X(s) s
≥R R ≥ R ∩ {σ > 0}
Las operaciones aritm´eticas utilizadas en la ROC se refieren a operaciones aplicadas a cada uno de los elementos de la regi´ on. As´ı por ejemplo R + s0 denota en realidad {s | s = r + s0 , r ∈ R}. El s´ımbolo “≥” en la ROC implica que la regi´on es al menos la indicada.
que corresponde a una integral en el plano complejo s con una trayectoria de integraci´on vertical con componente real constante σ dentro de la ROC y con componente imaginaria ω que abarca desde ω = −∞ hasta ω = ∞. Esto puede expresarse tambi´en, haciendo un cambio de variable en la ecuaci´on anterior s = σ + jω, ds = jdω, como Z σ+j∞ 1 X(s)est ds (4.4) x(t) = 2πj σ−j∞ A esta ecuaci´on se le conoce como transformada inversa de Laplace, o tambi´en f´ormula integral de Bromwich. M´ etodo de inversi´ on por integraci´ on Para calcular la transformada inversa de Laplace a trav´es de la integral de Bromwich se recurre a las herramientas tratadas en el cap´ıtulo 2.6. La figura 4.5 muestra el contorno de integraci´on β denominado contorno de Bromwich, con el cual se realiza el c´alculo directo de la transformada inversa de Laplace para una se˜ nal causal. Este se compone de un segmento vertical AB con componente real σ, situado dentro de la regi´on de convergencia, c
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4 Transformada de Laplace
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y de un arco Γ de un c´ırculo de radio R centrado en el origen que pasa por BCDEA. Debe tenerse cuidado de que no existan polos en el infinito, que interfieran con el contorno de integraci´on. La elecci´on de una funci´on derecha o izquierda se hace observando la forma de la regi´on de convergencia, donde para se˜ nales anticausales se elige la reflexi´on del contorno mostrado en la figura 4.5. Una descripci´on detallada de los cuidados que debe tenerse y el procedimiento correcto para evitarlos se encuentra en [11]. Im{s} Plano s C T
B
R D σ
−T
Re{s}
A
E
Figura 4.5: Contorno de Bromwich.
Para calcular la transformada inversa, considerando que T = se puede reescribir como
√
R2 − σ 2 , la integral (4.4)
Z σ+jT 1 x(t) = lim X(s)est ds R→∞ 2πj σ−jT I Z 1 st st = lim X(s)e ds − X(s)e ds R→∞ 2πj β Γ Como ya se mencion´o anteriormente, la ROC no contiene polos de X(s). Cuando R tiende a infinito, el contorno β encerrar´a a todos los polos finitos a la izquierda de la regi´on de convergencia y esta integral cerrada se puede calcular con cualquiera de los m´etodos estudiados anteriormente, como el teorema del residuo o la f´ormula integral de Cauchy. N´otese que si la integral sobre el contorno Γ tiende a cero para R → ∞ entonces se cumple Z σ+jT I 1 1 st x(t) = lim X(s)e ds = lim X(s)est ds (4.5) R→∞ 2πj σ−jT R→∞ 2πj β Para determinar esto, se puede utilizar el Lema de Jordan (secci´on 2.7) si primero se aplica un mapeo lineal que traslade horizontalmente el plano s de modo tal que el segmento c
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4.1 Transformada bilateral de Laplace
de recta AB se sobreponga al nuevo eje imaginario. Considerando esto se obtiene que la integral sobre el contorno Γ tiende a cero para todas las funciones polinomiales N (s)/D(s) donde el grado del polinomio N (s) es menor que el de D(s) (ver problema 4.11).
Ejemplo 4.7 Calcule la transformada inversa de Laplace de X(s) =
1 , s+a
ROC: σ > − Re{a}
si Re{a} > 0. Soluci´ on: Como la funci´on es racional se cumplen los requisitos para que la integral en el arco del contorno de Bromwich desaparezca y 1 x(t) = 2πj
Z
σ+j∞
σ−j∞
1 st 1 e ds = s+a 2πj
I β
1 st e ds s+a
Puesto que σ debe estar en la ROC, y el contorno β encierra al u ´nico polo de X(s) en −a, entonces, utilizando la f´ormula integral de Cauchy: I 1 st e ds = 2πje−at β s+a y finalmente, como el resultado anterior es v´alido solo para t ≥ 0 x(t) = e−at u(t) 4.7
Ejemplo 4.8 Calcule la transformada inversa de Laplace de X(s) =
1 , (s + a)n
ROC: σ > − Re{a}
si Re{a} > 0 y n ∈ IN, n > 1. Soluci´ on: Como la funci´on es racional se cumplen los requisitos para que la integral en el arco del contorno de Bromwich desaparezca y 1 x(t) = 2πj
Z
σ+j∞
σ−j∞
1 1 est ds = n (s + a) 2πj
I β
1 est ds n (s + a)
Puesto que σ debe estar en la ROC, y el contorno β encierra al polo de n-´esimo orden de X(s) en −a, entonces, utilizando la f´ormula integral de Cauchy: I β
1 2πj dn−1 st st e ds = e (s + a)n (n − 1)! dsn−1 s=−a c
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4 Transformada de Laplace
213
Puesto que d st e = test ds d2 st e = t2 est 2 ds .. . dn−1 st e = tn−1 est dsn−1 entonces, como el resultado es v´alido solo para t ≥ 0 1 t(n−1) e−at u(t) x(t) = (n − 1)! 4.8
Ejemplo 4.9 Encuentre la transformada inversa de 1 X(s) = n s para n ≥ 1 Soluci´ on: De los ejemplos anteriores con a = 0 y n ≥ 0 se obtiene 1 1 1 •←−◦ u(t) • ← −◦ tn−1 u(t) s sn (n − 1)! 4.9
Este m´etodo basado en la integral de Bromwich es poco utilizado en la pr´actica, puesto que hay muchas sutilezas matem´aticas (no consideradas aqu´ı) que pueden llevar al resultado err´oneo. El lector puede comprobar este hecho transformado, por ejemplo, eat u(t − t0 ) al dominio de Laplace y de regreso al dominio temporal. De hecho, siempre que la expresi´on algebraica de la transformada de Laplace tenga polos en infinito o un n´ umero de polos infinito, la integral de Bromwich debe evaluarse con m´etodos alternativos por no cumplirse las condiciones necesarias para asumir que la integral en el arco circular desaparece. Los m´etodos generalmente m´as utilizados involucran el uso de tablas realizadas para funciones elementales, y la descomposici´on de funciones X(s) m´as complejas en t´erminos de estas funciones elementales. Estos m´etodos se tratan a continuaci´on. M´ etodo de series Si X(s) se puede expresar en su ROC como una serie de potencias, por ejemplo c1 c2 c3 X(s) = + 2 + 3 + ... s s s entonces, utilizando los resultados del ejemplo 4.9 y la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace se cumple que h i c3 c4 x(t) = c1 + c2 t + t2 + t3 + . . . u(t) 2! 3! c
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4.1 Transformada bilateral de Laplace
Descomposici´ on en fracciones parciales Cualquier funci´on racional de la forma X(s) = N (s)/D(s), con N (s) y D(s) polinomios tales que el orden de D(s) es estrictamente mayor que el de N (s) pueden descomponerse como una suma de t´erminos m´as sencillos con un solo polo de orden n. Si X(s) contiene u ´nicamente m polos simples en ai , entonces X(s) =
m X Ai s − ai i=1
N´otese que los numeradores de cada t´ermino son todos constantes, y que esto es v´alido solo si el orden de N (s) es menor que el de D(s), en cuyo caso a X(s) se le denomina funci´ on racional propia. En caso contrario, X(s) es una funci´on racional impropia que puede expresarse como una suma de un polinomio m´as una funci´on racional propia. Esta u ´ltima descomposici´on se puede realizar por medio de una divisi´on polinomial adecuada.
Ejemplo 4.10 Descomponga la siguiente funci´on racional impropia en una suma de un polinomio m´as una funci´on racional propia. X(s) =
s3 − 1 s2 − 1
Soluci´ on: Utilizando divisi´on polinomial se obtiene s3 −( s3
− s
− 1 )
s
− 1
s2 − 1 s
con lo que resulta X(s) = s +
s−1 1 =s+ 2 s −1 s+1
Si se desea obtener la transformada inversa de esta expresi´on, de la tabla 4.2 se tiene que s •←−◦
d δ(t) dt
1 •←−◦ e−t u(t) s+1 donde se ha asumido que la se˜ nal debe ser causal. Con la propiedad de linealidad se tiene entonces d X(s) •←−◦ x(t) = δ(t) + e−t u(t) dt 4.10
c
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4 Transformada de Laplace
215
Si X(s) contiene polos de n-´esimo orden en ai , entonces en la descomposici´on en fracciones parciales aparecer´an los t´erminos Ai1 Ai2 Ain + + ... + 2 s − ai (s − ai ) (s − ai )n Para encontrar el coeficiente Ak del polo simple ak se procede con m X
m
X Ai Ai (s − ak ) = lim (s − ak ) lim (s − ak )X(s) = lim s→a s→ak s→ak s − ai s − ai k i=1 i=1 donde, puesto que s − ak lim = s→ak s − ai
( 0 para i 6= k 1 para i = k
entonces Ak = lim (s − ak )X(s) s→ak
(4.6)
El coeficiente Ain para el polo ai orden n > 1 se obtiene de manera similar: Ain = lim (s − ai )n X(s) s→ai
Los coeficientes Aik con 1 ≤ k < n se determinan a trav´es de derivaciones sucesivas, con un razonamiento an´alogo al utilizado en la determinaci´on de los residuos en la p´agina 67. El lector puede comprobar que estos coeficientes estar´an dados por Aik = lim
s→ai
1 d(n−k) [(s − ai )n X(s)] (n − k)! ds(n−k)
Puede demostrarse que si hay un par de polos complejos conjugados ai = a∗ k , los coeficientes correspondientes tambi´en ser´an complejos conjugados, es decir Ai = A∗ k . En los ejemplos 4.1, 4.2, 4.7 y 4.8 se mostr´o la correspondencia entre los dominios temporal y de Laplace para dichos t´erminos simples, donde no debe perderse de vista la ROC de cada t´ermino. Utilizando la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace puede entonces determinarse la se˜ nal en el tiempo correspondiente a X(s). La tabla 4.2 muestra algunas funciones elementales frecuentemente encontradas. Se deja al lector como ejercicio su demostraci´on.
Ejemplo 4.11 Encuentre la transformada inversa de Laplace de X(s) =
s2
1 + 2αs + β
asumiendo primero que la se˜ nal correspondiente x(t) es causal, y luego que es una se˜ nal izquierda, y que α, β ∈ IR. c
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4.1 Transformada bilateral de Laplace
Tabla 4.2: Transformadas Bilaterales de Laplace de funciones elementales Se˜ nal
Transformada ROC
δ(t)
1 1 u(t) s 1 −u(−t) s tn−1 1 u(t) (n − 1)! sn n−1 1 t u(−t) − (n − 1)! sn 1 e−at u(t) s+a 1 −e−at u(−t) s+a tn−1 −at 1 e u(t) (n − 1)! (s + a)n n−1 1 t e−at u(−t) − (n − 1)! (s + a)n δ(t − τ ) e−sτ [cos(ω0 t)]u(t)
s + ω02 ω0 s2 + ω02 s+a (s + a)2 + ω02 ω0 (s + a)2 + ω02 s2
[sen(ω0 t)]u(t) [e−at cos(ω0 t)]u(t) [e−at sen(ω0 t)]u(t) dn δ(t) dtn
sn
todo s σ>0 σ0 σ −a σ < −a σ > −a σ < −a todo s σ>0 σ>0 σ > −a σ > −a todo s
Soluci´ on: Los polos a1 y a2 de X(s) equivalen a las ra´ıces del denominador: p a1 = −α + α2 − β p a2 = −α − α2 − β que pueden ser dos valores reales diferentes, dos valores reales iguales, que equivaldr´ıa a un polo doble, o un par de polos complejos conjugados, dependiendo si el t´ermino ∆ = α2 − β es positivo, cero, o negativo, respectivamente. En el caso que ∆ = 0 entonces a1 = a2 = −α X(s) =
1 (s + α)2
c
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4 Transformada de Laplace
217
y con el ejemplo 4.8 se tiene para la regi´on de convergencia σ > −α x(t) = te−αt u(t) . Utilizando la tabla 4.2 se obtiene para la regi´on de convergencia σ < −α x(t) = −te−αt u(−t) En el caso que ∆ 6= 0 se cumple X(s) =
1 A1 A2 = + (s − a1 )(s − a2 ) s − a1 s − a2
Para encontrar Ai puede utilizarse (4.6) o simplemente se multiplica ambos lados de la ecuaci´on anterior por (s − a1 )(s − a2 ) que resulta en 1 = (s − a2 )A1 + (s − a1 )A2 Con s → a2 , y luego con s → a1 se obtiene A1 =
1 1 = √ a1 − a2 2 ∆
A2 =
1 1 = −A1 = − √ a2 − a1 2 ∆
por lo que finalmente 1 1 1 X(s) = √ − 2 ∆ s − a1 s − a2 Si ∆ > 0 entonces ambos polos son reales y se cumple a1 > a2 por lo que para la ROC σ > a1 se obtiene 1 x(t) = √ ea1 t − ea2 t u(t) 2 ∆ y para la ROC σ < a2 1 x(t) = − √ ea1 t − ea2 t u(−t) 2 ∆ Si ∆ < 0 se cumple a1 = a2 ∗ y entonces para la ROC σ > −α se obtiene x(t) =
1 p
eRe{a1 }t ej Im{a1 }t − e−j Im{a1 }t u(t)
|∆| 1 Re{a1 }t =p e sen(Im{a1 }t)u(t) |∆| p 1 −αt = p e sen |∆|t u(t) |∆| 2j
y para la ROC σ < −α p 1 x(t) = − p e−αt sen |∆|t u(−t) |∆| La figura 4.6 muestra ejemplos para cada uno de los casos citados.
c
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4.11
218
4.1 Transformada bilateral de Laplace
Anticausales
Causales x(t)
x(t)
∆=0
∆=0
t
x(t)
t
x(t)
∆>0
∆>0
t
x(t)
t
x(t)
∆ 0, que por ser una funci´on izquierda implica un semiplano izquierdo como ROC. De igual modo que para sistemas causales, solo si H(s) es racional se puede inferir que si su ROC es un semiplano izquierdo entonces su respuesta al impulso es anticausal. Estabilidad En la secci´on 3.4.4 se estableci´o que un sistema estable BIBO tiene una respuesta al impulso absolutamente integrable, y por lo tanto tiene transformada de Fourier. Esto implica entonces a su vez que si h(t) es la respuesta al impulso de un sistema estable, entonces H(s) debe incluir en su ROC al eje imaginario jω del plano s. Ejemplo 4.13 Sea
s−2 (s + 1)(s − 1) la funci´on de transferencia de un sistema estable. Determine su respuesta al impulso. H(s) =
Soluci´ on: La figura 4.11 muestra el diagrama de polos y ceros de X(s) junto con las tres posibles regiones de convergencia. Puesto que de las tres ROC mostradas solo la banda de convergencia al centro contiene al eje jω, se deriva que la respuesta al impulso es una funci´on bilateral. jω
−1
jω
+1
+2
σ
−1
jω
+1
+2
σ
−1
+1
+2
σ
Figura 4.11: Diagrama de polos y ceros y posibles regiones de convergencia en el ejemplo 4.13.
Descomponiendo a H(s) en fracciones parciales se obtiene 1 3 1 H(s) = − 2 s+1 s−1 c
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4 Transformada de Laplace
223
y de este modo 3 1 h(t) = e−t u(t) + et u(−t) 2 2 lo que se muestra en la figura 4.12.
4.13
h(t)
1.5
1
0.5
t
0 -5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
Figura 4.12: Gr´afica de la respuesta al impulso h(t) en el ejemplo 4.13.
En el ejemplo 4.13 la ROC correspondiente al semiplano derecho corresponde a una respuesta causal, pero inestable, al no incluir al eje jω. El semiplano izquierdo corresponde a una se˜ nal anticausal, tambi´en inestable. De lo anterior se deduce que, para que un sistema causal, con funci´on de transferencia racional, sea estable, entonces todos sus polos deben estar localizados al lado izquierdo del eje imaginario.
Ejemplo 4.14 Eval´ ue la estabilidad del sistema causal de segundo orden con funci´on de transferencia 1 H(s) = 2 s + 2αs + β donde α, β ∈ IR. Soluci´ on: En el ejemplo 4.11 se analizaron las posibles transformaciones causales y anticausales de una funci´on igual a H(s). Para la estabilidad del sistema causal se deben considerar tres casos: un polo de orden dos, dos polos reales, o un par de polos complejos conjugados. Si el discrimiante ∆ = α2 − β es cero se tiene un polo de orden dos en −α. Este polo se encuentra del lado izquierdo del eje jω solo si α > 0. Si ∆ > 0 los polos son reales, y el polo m´as a la derecha se encuentra en a1 = −α + c
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p
α2 − β Uso exclusivo ITCR
224
4.1 Transformada bilateral de Laplace
Este polo se encuentra a la izquierda del eje imaginario solo si α > 0 y p −α + α2 − β < 0 p α2 − β < α α2 − β < α2 β>0 Si ∆ < 0 entonces la componente real del polo es −α, que se encontrar´a del lado izquierdo del eje imaginario solo si α > 0. Estos tres casos se resumen gr´aficamente en la figura 4.13. β
∆0 α
Figura 4.13: Valores de α y β que dan origen a un sistema de segundo orden causal y estable. Solo valores en las regiones sombreadas conducen a la estabilidad. 4.14
4.1.5
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes
El comportamiento de muchos sistemas f´ısicos, entre ellos los circuitos lineales (es decir, circuitos RLC, con amplificadores operacionales lineales) puede describirse a trav´es de ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes de la forma M
N X
dk y(t) X dk x(t) = bk ak k dt dtk k=0 k=0
Aplicando la transformada de Laplace a ambos lados ( N ) (M ) X dk y(t) X dk x(t) L ak =L bk dtk dtk k=0 k=0 y con la propiedad de linealidad N X k=0
ak L
dk y(t) dtk
=
c
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M X k=0
bk L
dk x(t) dtk
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4 Transformada de Laplace
225
Utilizando ahora la propiedad de diferenciaci´on N X
k
ak s Y (s) =
k=0
Y (s)
M X
bk sk X(s)
k=0 N X
k
ak s = X(s)
k=0
M X
b k sk
k=0
Puesto que la funci´on de transferencia del sistema es H(s) =
Y (s) X(s)
entonces se cumple PM
k=0 H(s) = PN
b k sk
ak s k que es una funci´on racional con un numerador igual a un polinomio de grado M , cuyos coeficientes son iguales a aquellos que multiplican las derivadas de la funci´on de entrada, y con un denominador igual a un polinomio de grado N con coeficientes iguales a los de las derivadas de la funci´on de salida. Los ceros de H(s) son entonces las ra´ıces de PM k an determinados entonces por los coeficientes de las derivadas de la entrada k=0 bk s y est´ P k an determinados u ´nicamente. Los polos de H(s) equivalen a las ra´ıces de N k=0 ak s y est´ por los coeficientes de las derivadas de la salida. Note que esta deducci´on es v´alida tambi´en utilizando la transformada de Fourier, y se sustituye simplemente s por jω. k=0
Ejemplo 4.15 La figura 4.14 muestra un circuito RLC interpretado como sistema con tensi´on el´ectrica de entrada x(t) y tensi´on el´ectrica de salida y(t). Determine la funci´on R
L
+
+
x(t)
C
−
y(t) −
Figura 4.14: Circuito RLC.
de transferencia del sistema, y eval´ ue la estabilidad del mismo. Soluci´ on: En un condensador y en una bobina se cumple para su tensiones u(t) y sus corrientes i(t) d d i(t) = C u(t) u(t) = L i(t) dt dt Para el circuito de la figura 4.14 en particular, la tensi´on en el condensador es y(t) y por tanto d i(t) = C y(t) dt c
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4.2 Transformada unilateral de Laplace
Adem´as, se cumple que d i(t) + y(t) dt d d2 = RC y(t) + LC 2 y(t) + y(t) dt dt
x(t) = Ri(t) + L
y expresando esto en el dominio de Laplace X(s) = sRC Y (s) + s2 LC Y (s) + Y (s) = Y (s) LCs2 + RCs + 1 por lo que para la funci´on de transferencia se cumple 1 Y (s) = X(s) LCs2 + RCs + 1 # " 1 1 1 1 = = 1 LC s2 + R LC (s − α1 )(s − α2 ) s + L LC
H(s) =
donde
r R 4L R ± 1− 2 α1,2 = − 2L 2L R C y puesto que R, L, y C son siempre reales positivos se puede decir que el t´ermino dentro de la ra´ız es siempre menor que uno, por lo que la parte real de los polos es siempre menor que cero. Puesto que, como sistema real, el circuito es causal, entonces se puede deducir que el sistema es estable al estar incluido en la ROC de H(s) el eje imaginario jω. La respuesta al impulso se puede calcular a partir de H(s), pero su forma depender´a del signo del discriminante de la ecuaci´on cuadr´atica anterior, tal y como se mostr´o en el ejemplo 4.11. 4.15
4.2
Transformada unilateral de Laplace
Sistemas reales que modifican se˜ nales x(t) definidas en el tiempo son siempre causales. Estos sistemas pueden modificar se˜ nales solamente a partir del instante en que estas “ocurran”, pero es imposible reaccionar a ellas antes de que la se˜ nal aparezca, o adelantarlas en el tiempo. Estas limitantes conducen a que en ingenier´ıa se utilice una modificaci´on de la transformada de Laplace que ignora lo que ocurre antes del instante de tiempo t = 0. As´ı, se define la transformada unilateral de Laplace como Z ∞ Lu {x(t)} = x(t)e−st dt = L {x(t)u(t)} 0
es decir, la transformada unilateral de Laplace es id´entica a la transformada bilateral de la funci´on x(t)u(t), o en otras palabras, si x(t) es causal sus transformadas unilateral y bilateral son id´enticas. Ambas transformadas difieren si x(t) 6= 0 para t < 0. Puesto x(t)u(t) es una se˜ nal derecha, su ROC es siempre un semiplano derecho. c
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4 Transformada de Laplace
227
Cuando ocurren singularidades en el instante t(0), entonces se acostumbra especificar si estas se deben considerar, en cuyo caso se integra desde cero por la izquierda, lo que se indica con 0− , o si se desea ignorar dicha singularidad se integra desde 0+ . Usualmente si no hay indicaci´on expl´ıcita respecto a la inclusi´on o no del cero se asume 0− . Esto es de fundamental importancia por ejemplo para el c´alculo de la transformada del delta Dirac δ(t). Tabla 4.3: Transformadas Unilaterales de Laplace de funciones elementales Se˜ nal
Transformada
δ(t)
1 1 1 s tn−1 1 (n − 1)! sn 1 e−at s+a 1 tn−1 −at e (n − 1)! (s + a)n δ(t − τ ), τ > 0 e−sτ cos(ω0 t) sen(ω0 t) e−at cos(ω0 t) e−at sen(ω0 t) dn δ(t) dtn
s + ω02 ω0 2 s + ω02 s+a (s + a)2 + ω02 ω0 (s + a)2 + ω02 s2
sn
ROC todo s σ>0 σ>0 σ > −a σ > −a todo s σ>0 σ>0 σ > −a σ > −a todo s
La tabla 4.3 muestra las transformadas unilaterales de algunas funciones elementales. N´otese que estas funciones equivalen a las funciones causales de la tabla 4.2 de la p´agina 216, solo que ahora no es necesario multiplicarlas por u(t) al estar esto impl´ıcito en el ´ındice inferior de integraci´on de la transformada.
4.2.1
Propiedades
Las propiedades de la transformada unilateral de Laplace se resumen en la tabla 4.4. Algunas de ellas son id´enticas a sus contrapartes en la transformada bilateral, pero otras difieren considerablemente. Todas aquellas propiedades que conducen a una regi´on de convergencia igual a un semiplano izquierdo del plano s no tienen equivalencia en la transformada unilateral, puesto que ´esta u ´ltima permite u ´nicamente semiplanos derechos c
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4.2 Transformada unilateral de Laplace
en su ROC. Es por ello que propiedades como inversi´on, o escalado en el tiempo con magnitudes negativas no tienen equivalente en la transformada unilateral. Tabla 4.4: Propiedades de la Transformada Unilateral de Laplace Propiedad
Se˜ nal en el tiempo Transformada
ROC
Linealidad Funci´on real Desplazamiento temporal Desplazamiento en s Conjugaci´on
x(t) = x(t)u(t) x1 (t) = x1 (t)u(t) x2 (t) = x2 (t)u(t) α1 x1 (t) + α2 x2 (t) x(t) ∈ IR x(t − τ ), τ > 0 es0 t x(t) x∗ (t)
R R1 R2 ≥ R1 ∩ R2 R R R + s0 R
Escalamiento en el tiempo x(at), a > 0 Convoluci´on Diferenciaci´on Diferenciaci´on m´ ultiple
x1 (t) ∗ x2 (t) dx(t) dt dn x(t) dtn
X(s) X1 (s) X2 (s) α1 X1 (s) + α2 X2 (s) X(s) = X ∗ (s∗ ) e−sτ X(s) X(s − s0 ) X ∗ (s∗ ) 1 s x a a X1 (s)X2 (s) sX(s) − x(0− )
R/a ≥ R1 ∩ R2 ≥R
sn X(s)− n X sn−i x(i−1) (0− ) i=1
Diferenciaci´on en s Integraci´on
−tx(t) Z t x(τ ) dτ 0−
Teorema de valor inicial Teorema de valor final
x(0+ ) lim x(t)
t→∞
d X(s) ds 1 X(s) s lim sX(s)
R ≥ R ∩ {σ > 0}
s→∞
lim sX(s)
s→0
Las operaciones aritm´eticas utilizadas en la ROC se refieren a operaciones aplicadas a cada uno de los elementos de la regi´ on. As´ı por ejemplo R + s0 denota en realidad {s | s = r + s0 , r ∈ R}. El s´ımbolo “≥” en la ROC implica que la regi´on es al menos la indicada.
Linealidad Sean las funciones en el dominio del tiempo x1 (t) y x2 (t) y sus respectivas transformadas unilaterales de Laplace x1 (t) ◦−→• X1 (s),
ROC: R1
x2 (t) ◦−→• X2 (s),
ROC: R2
entonces α1 x1 (t) + α2 x2 (t) ◦−→• α1 X1 (s) + α2 X2 (s),
ROC: R1 ∩ R2
Esto se puede demostrar utilizando la propiedad de linealidad del operador de integraci´on. c
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4 Transformada de Laplace
229
Desplazamiento temporal y en el dominio s El desplazamiento temporal de una se˜ nal x(t) puede tener implicaciones en la causalidad de x(t) y por tanto debe tratarse con cuidado cuando se manejan desplazamientos con la transformada unilateral de Laplace. Si x(t) es causal, es decir x(t) = x(t)u(t), entonces un atraso en el tiempo de x(t) puede expresarse utilizando la propiedad x(t − τ ) ◦−→• e−sτ X(s) donde τ debe ser mayor que cero. Esto se demuestra del mismo modo que para la transformada bilateral y la transformada de Fourier. Si x(t) no es causal, el retraso en el tiempo hace que aparezca un nuevo segmento de x(t) en el intervalo [0, τ ], no considerado en la transformaci´on unilateral de x(t). En este caso se debe agregar la transformada para ese nuevo t´ermino finito: x(t − τ ) ◦−→• e−sτ X(s) + Lu {x(t − τ )u(τ − t)u(t)} donde u(τ − t)u(t) es una ventana rectangular que recorta el segmento no considerado de x(t). Un adelanto en el tiempo puede causar que parte de x(t) sea desplazado antes del instante t = 0, lo que no ser´ıa considerado por la transformada unilateral. Utilizando la definici´on: Lu {x(t + τ )} =
Z
∞
x(t + τ )e−st dt
0
y con ξ = t + τ , dξ = dt Z
∞ −s(ξ−τ )
=
sτ
x(ξ)e dξ = e τ Z ∞ Z sτ −sξ =e x(ξ)e dξ − 0
Z
∞
x(ξ)e−s(ξ) dξ τ τ −sξ x(ξ)e dξ
0
= e [X(s) − Lu {x(t)u(t)u(τ − t)}] sτ
lo que indica que debe eliminarse la componente correspondiente al segmento desplazado antes de t = 0. Un desplazamiento en el dominio s tiene un efecto id´entico al caso de la transformada bilateral, puesto que no causa ninguna alteraci´on en la causalidad de la se˜ nal x(t): es0 t x(t) ◦−→• X(s − s0 ) donde la regi´on de convergencia se desplaza en s0 . c
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230
4.2 Transformada unilateral de Laplace
Ejemplo 4.16 Calcule la transformada unilateral de Laplace de una funci´on peri´odica x(t). Soluci´ on: As´ umase que xˆ(t) =
( x(t) para 0 ≤ t < T 0
en el resto
es una funci´on finita causal igual al primer periodo T de la funci´on x(t). Se cumple entonces que ∞ X x(t)u(t) = xˆ(t − nT ) n=0
y la transformada unilateral de Laplace es, utilizando la propiedad de desplazamiento y de linealidad ∞ X Lu {x(t)} = Lu {ˆ x(t − nT )} n=0
= =
∞ X n=0 ∞ X
e−snT Lu {ˆ x(t)} ˆ ˆ e−snT X(s) = X(s)
∞ X
e−snT
n=0
n=0
Utilizando el resultado del problema 2.63 con z = e−sT se tiene que lim
N →∞
N −1 X
1 − e−sN T N →∞ 1 − e−sT
e−snT = lim
n=0
=
1 1 − e−sT
para Re{s} = σ > 0, con lo que finalmente se obtiene Lu {x(t)} =
ˆ X(s) 1 − e−sT 4.16
Conjugaci´ on Al igual que con la transformada bilateral se cumple x∗ (t) ◦−→• X ∗ (s∗ ) y por tanto para funciones x(t) reales se cumple que si p es un polo complejo con parte imaginaria diferente de cero, entonces p∗ tambi´en lo es. Obs´ervese que la relaci´on X(s) = X ∗ (s∗ ) para funciones reales indica que si se hace un corte paralelo al eje jω de la superficie correspondiente a |X(s)|, entonces la funci´on en ese corte presenta simetr´ıa par. Por otro lado, la fase tiene un comportamiento impar en los cortes paralelos al eje jω. c
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4 Transformada de Laplace
231
Escalamiento en el tiempo A diferencia de la transformada bilateral, donde el escalamiento temporal puede realizarse con cualquier valor real, positivo o negativo, en la transformada unilateral solo tiene sentido utilizar valores positivos, puesto que un escalamiento por un valor negativo implica una inversi´on temporal, que convierte se˜ nales derechas en se˜ nales izquierdas, las cuales no tienen representaci´on v´alida si se ignora todo instante t < 0. Para todo a > 0 se cumple entonces 1 s x(at) ◦−→• X a a Si X(s) es una funci´on racional, entonces el escalado en el tiempo produce que los polos cambien su componente real, desplazando tambi´en la regi´on de convergencia, tal y como sucede con la transformada bilateral. Convoluci´ on La diferencia fundamental de la propiedad de convoluci´on en el caso de la transformada unilateral es la restricci´on de que las dos funciones involucradas en la operaci´on deben ser causales, es decir x1 (t) ∗ x2 (t) ◦−→• X1 (s)X2 (s) siempre y cuando x1 (t) = x2 (t) = 0, para todo t menor que cero. De no ser as´ı, en el dominio s aparecen nuevos t´erminos producidos por los segmentos de las se˜ nales que ocurren antes de t = 0. Diferenciaci´ on Una de las propiedades m´as poderosas de la transformada unilateral de Laplace es la diferenciaci´on, que permite incorporar condiciones iniciales en la soluci´on de ecuaciones diferenciales. Si x(t) tiene como transformada unilateral X(s), y x(t) es continua en x(0) y su derivada es de orden exponencial entonces Z ∞ d d Lu x(t) = x(t)e−st dt dt dt − 0 e integrando por partes =
∞ x(t)e−st 0−
Z
∞
+s
x(t)e−st dt
0−
= sX(s) − x(0− ) Para la segunda derivada se cumple 2 Z ∞ 2 d d Lu x(t) = x(t)e−st dt 2 2 dt dt − 0 c
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4.2 Transformada unilateral de Laplace
e integrando por partes ∞ Z ∞ d d e−st x(t) dt x(t) + s =e dt dt − 0− 0 d d = − x(t) + sLu x(t) dt dt t=0− d = s2 X(s) − sx(0− ) − x(t) dt t=0− −st
y para ordenes superiores esto se generaliza en n d x(t) = sn X(s) − sn−1 x(0− ) − sn−2 x(1) (0− ) − . . . − x(n−1) (0− ) Lu dtn n X n = s X(s) − sn−i x(i−1) (0− ) i=1
donde x
(n)
dn (0 ) = n x(t) dt t=0− −
Integraci´ on Puesto que el uso de la transformada unilateral se restringe al manejo de funciones causales, la propiedad de integraci´on difiere al caso de la transformada bilateral, en la cual se deb´ıa considerar que x(t) podr´ıa ser diferente de cero para t < 0. En el actual caso, si x(t) es causal, entonces se cumple Z t 1 x(τ ) dτ = x(t) ∗ u(t) ◦−→• X(s)U (s) = X(s) s 0− donde debe notarse que la integraci´on se realiza ahora a partir de 0− . Teoremas de valor inicial y valor final Sea x(t) una funci´on causal, es decir, x(t) = x(t)u(t), y sin valores singulares en el origen, como el impulso o su derivada. El teorema del valor inicial establece que x(0+ ) = lim sX(s) s→∞
Para demostrarlo se parte del hecho que Z ∞ d d Lu x(t) = e−st x(t) dt = sX(s) − x(0− ) dt dt 0− por lo que Z
−
∞
lim [sX(s) − x(0 )] = lim
s→∞
s→∞
0− 0+
Z = lim
s→∞
e−st
d x(t) dt dt
−st
e 0−
c
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d x(t) dt + lim s→∞ dt
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Z
∞
0+
e−st
d x(t) dt dt
4 Transformada de Laplace
233
Si x(t) es discontinua en 0 entonces en la vecindad de 0 esta funci´on puede aproximarse por [x(0+ ) − x(0− )]u(t) y su derivada ser´a [x(0+ ) − x(0− )]δ(t). Por ello, para el primer t´ermino se cumple Z 0+ lim e−st [x(0+ ) − x(0− )]δ(t) dt = x(0+ ) − x(0− ) s→∞
0−
Por otro lado, como la transformada unilateral de dx(t)/dt existe, entonces debe ser de orden exponencial y en la ROC Z ∞ d e−st x(t) dt = 0 lim s→∞ 0+ dt con lo que finalmente lim [sX(s) − x(0− )] = x(0+ ) − x(0− )
s→∞
lim sX(s) = x(0+ )
s→∞
Ahora, si x(t) es continua en 0 entonces Z 0+ d lim e−st x(t) dt = 0 s→∞ 0− dt y puesto que x(0+ ) = x(0− ) se tiene tambi´en lim [sX(s) − x(0− )] = 0
s→∞
lim sX(s) = x(0+ )
s→∞
El problema 4.29 presenta otra alternativa para demostrar este teorema. El teorema del valor final indica lim x(t) = lim sX(s)
t→∞
s→0
lo que se puede demostrar tambi´en a trav´es de la propiedad de diferenciaci´on: Z ∞ Z ∞ d −st d − e lim[sX(s) − x(0 )] = lim x(t) dt = x(t) dt = x(t)|∞ 0− s→0 s→0 0− dt 0− dt = lim x(t) − x(0− ) t→∞
por lo que lim x(t) = lim sX(s)
t→∞
4.2.2
s→0
Ecuaciones diferenciales
Los principios utilizados en la soluci´on de ecuaciones diferenciales con la transformada bilateral de Laplace pueden ser aplicados con la versi´on unilateral. Puesto que el equivalente en el dominio s de las derivadas contiene t´erminos de x(t) y sus derivadas evaluados en t = 0, esto permite ahora incorporar condiciones iniciales en la soluci´on. c
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4.2 Transformada unilateral de Laplace
Ejemplo 4.17 Encuentre la respuesta de un sistema LTI caracterizado por la ecuaci´on diferencial de segundo orden con coeficientes constantes d2 d y(t) + 2α y(t) + βy(t) = x(t) 2 dt dt bajo las condiciones iniciales −
y(0 ) = η
d y(t) =γ dt t=0−
a la entrada x(t) = ζu(t). Soluci´ on: Aplicando la transformada unilateral de Laplace a ambos lados se obtiene: d 2 − s Y (s) − sy(0 ) − y(t) + 2α sY (s) − y(0− ) + βY (s) = X(s) dt t=0− y reagrupando 2 d − + 2αy(0− ) Y (s) s + 2αs + β = X(s) + sy(0 ) + y(t) dt t=0− de donde se obtiene (s + 2α)y(0− ) + dtd y(t) t=0− X(s) + Y (s) = 2 s + 2αs + β s2 + 2αs + β Aqu´ı se observa claramente que la salida tiene dos componentes: la primera depende de la entrada X(s) y se conoce como respuesta forzada; la segunda est´a determinada por las condiciones iniciales y se conoce como respuesta natural del sistema. Si el sistema est´a en reposo, es decir, todas sus condiciones iniciales son cero, entonces solo presentar´a respuesta forzada ante la entrada. Por otro lado, si no se aplica ninguna entrada, entonces el sistema reaccionar´a dependiendo de las condiciones iniciales. Para los valores iniciales dados y la entrada indicada x(t) = ζu(t) ◦−→• X(s) =
ζ s
se obtiene Y (s) =
s(s2
ζ (s + 2α)η + γ + 2 + 2αs + β) s + 2αs + β
El t´ermino cuadr´atico fue analizado en los ejemplos 4.11 y 4.14. Aqu´ı deben considerarse los tres casos aplicables a un sistema causal. Si ∆ = 0 entonces Y (s) = η
s2 + 2αs + γη s + s(s +
ζ η
α)2
c
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=
A1 A2 A3 + + s s + α (s + α)2 Uso exclusivo ITCR
4 Transformada de Laplace
con A1 =
235
ζ α2
A2 = η −
ζ α2
A3 = γ + αη −
ζ α
con lo que y(t) = A1 u(t) + A2 e−αt u(t) + A3 te−αt u(t) Si ∆ > 0 entonces a1 y a2 son reales y Y (s) =
A1 A2 A3 + + s s − a1 s − a2
por lo que y(t) = A1 u(t) + A2 ea1 t u(t) + A3 ea2 t u(t) con ζ β a2 η − 2a1 αη − a1 γ + ζ A2 = 1 a1 (a1 − a2 ) 2 −a2 η + 2a2 αη + a2 γ − ζ A3 = a2 (a1 − a2 )
A1 =
Si ∆ < 0 entonces a2 = a∗ 1 y A3 = A2 ∗ con lo que p |∆|t + ∠A2 u(t) y(t) = A1 u(t) + 2|A2 |e−αt cos 4.17
c
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4.3
4.3 Problemas
Problemas
Los siguientes ejercicios est´an basados en [8, 14], algunos con leves modificaciones, otros nuevos para profundizar en los conceptos introducidos en este cap´ıtulo. Problema 4.1. Encuentre la transformada de Laplace de 1. x(t) = cos(at)u(t)
3. x(t) = sa(at)
2. x(t) = sen(at)u(t)
4. x(t) = sa(at)u(t)
Problema 4.2. Encuentre las regiones de convergencia de las transformadas de Laplace de las siguientes funciones 1. e−3t u(t)
4. e−3t u(−t)
2. e−3t u(−t + 3)u(t + 3)
5. e−3t
3. e−3|t|
6. e−3|t| u(−t)
Problema 4.3. Dada la se˜ nal x(t) = e−3t u(t − 1) Encuentre su transformada de Laplace X(s) y su regi´on de convergencia. Si g(t) = Ae−3t u(−t − t0 ) entonces encuentre los valores de A y t0 para los cuales la expresi´on algebraica de G(s) = L {g(t)} = X(s). Indique la regi´on de convergencia de G(s) Problema 4.4. Dada la se˜ nal x(t) = e−3t u(t) + e−βt u(t) encuentre su transformada de Laplace y los valores de β ∈ C necesarios para que la regi´on de convergencia de X(s) sea σ > −1. Problema 4.5. Encuentre los polos y regi´on de convergencia de la transformada de Laplace de la funci´on x(t) = et sen(2t)u(−t) Problema 4.6. Grafique las funci´ones 1. eαt u(t) para α > 0 2. eαt u(t) para α < 0 c
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3. 4. 5. 6. 7. 8.
237
e−αt u(t) para α > 0 e−αt u(t) para α < 0 eαt u(−t) para α > 0 eαt u(−t) para α < 0 e−αt u(−t) para α > 0 e−αt u(−t) para α < 0
Problema 4.7. Encuentre la transformada de Laplace de la funci´on x(t) = x1 (t) − x2 (t) si x1 (t) ◦−→• X1 (s) =
1 , s+1
x2 (t) ◦−→• X2 (s) =
1 , (s + 1)(s + 2)
ROC: σ > −1 ROC: σ > −1
Problema 4.8. Encuentre la transformada de Laplace de x(t) = x1 (t) + x2 (t) x1 (t) = eat u(t) x2 (t) = −e−at u(−t) si a ∈ IR. Problema 4.9. Utilizando la propiedad de desplazamiento en el dominio s encuentre la transformada de Laplace de x(t) cos(ω0 t) si L {x(t)} = X(s). Problema 4.10. Utilizando las demostraciones de las propiedades de la transformada de Fourier como referencia, demuestre todas las propiedades de la transformada de Laplace. Problema 4.11. Demuestre que si Γ representa el arco circular en el contorno de Bromwich (figura 4.5), entonces, si se cumple sobre dicho contorno |X(s)|
0, y n ∈ IN+ , entonces Z X(s)est ds = 0 lim R→∞
Γ
Problema 4.12. Demuestre que en la descomposici´on en fracciones parciales de un polo de orden n > 1 los coeficientes Aik est´an dados por Aik = lim
s→ai
1 d(n−k) [(s − ai )n X(s)] (n−k) (n − k)! ds
c
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4.3 Problemas
Problema 4.13. Demuestre que si X(s) es una funci´on racional propia, entonces si tiene un par de polos complejos conjugados ai = a∗ k , entonces los coeficientes correspondientes tambi´en son complejos conjugados, es decir Ai = A∗ k . Problema 4.14. Demuestre que un par de polos simples complejos conjugados con la expresi´on algebraica de Transformada de Laplace: X(s) =
A A∗ + s − p1 s − p1 ∗
corresponde a las expresiones en el tiempo continuo dadas por x(t) = 2|A|eσ1 t cos(ω1 t + ∠A) = 2 Re{A}eσ1 t cos(ω1 t) − 2 Im{A}eσ1 t sen(ω1 t)
donde p1 = σ1 + jω1 , y se ha asumido que la regi´on de convergencia es el semiplano derecho Re{s} > σ1 . Problema 4.15. En el ejemplo 4.11 se trataron diferentes posibilidades de transformadas inversas para un t´ermino de orden cuadr´atico sin ceros finitos. Indique cu´al regi´on de convergencia no ha sido considerada y determine la funci´on en el tiempo equivalente. Problema 4.16. Demuestre que en un sistema LTI la funci´on x(t) = es0 t es tambi´en una funci´on propia, con s0 = σ0 + jω0 . (Ayuda: utilice para ello la equivalencia de la transformada de Laplace como transformada de Fourier de x(t)e−σt ) Problema 4.17. Encuentre el n´ umero y ubicaci´on de ceros y polos, finitos e infinitos, de las siguientes expresiones algebraicas de transformadas de Laplace. 1.
1 1 + s+1 s+3
2.
s+1 s2 − 1
3.
s3 − 1 s2 + s + 1
Problema 4.18. Se sabe que una se˜ nal x(t) es absolutamente integrable, y su transformada de Laplace tiene un polo en s = 2. Indique cu´ales de las siguientes afirmaciones son ciertas o falsas, y las razones para ello. 1. x(t) es de duraci´on finita
3. x(t) puede ser derecha
2. x(t) puede ser izquierda
4. x(t) puede ser bilateral
Problema 4.19. Cu´antas se˜ nales pueden tener una transformada de Laplace con expresi´on algebraica (s − 1) X(s) = (s + 2)(s + 3)(s2 + s + 1) c
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239
Problema 4.20. Si x(t) es una funci´on cuya transformada de Laplace es racional con exactamente dos polos en s = −1 y s = −3. Se sabe que para otra funci´on g(t) = e2t x(t) existe su transformada de Fourier G(jω). Indique si x(t) es izquierda, derecha o bilateral. Problema 4.21. Calcule la transformada inversa de Laplace tanto con la integral de Bromwich como por medio de descomposici´on en fracciones parciales de
X(s) =
2(s + 2) , s2 + 7s + 12
ROC: σ > −3
Problema 4.22. Para una se˜ nal x(t) se conoce que 1. x(t) = 0 para todo t < 0 2. x(k/10) = 0 para todo k ∈ IN+ 3. x(k/20) = e−15 Indique cu´ales enunciados son congruentes con la informaci´on proporcionada para x(t), si X(s) es su transformada de Laplace y se sabe que X(s) es racional: 1. X(s) tiene un solo polo finito. 2. X(s) tiene solo un par de polos finito. 3. X(s) tiene m´as de dos polos finitos Problema 4.23. Para una se˜ nal g(t) = x(t) + αx(−t) con x(t) = βe−t u(t), se sabe que su transformada de Laplace es G(s) =
s2
s , −1
−1 < σ < 1
Determine entonces los valores v´alidos de las constantes α y β. Problema 4.24. Se conocen los siguientes datos de la se˜ nal x(t) con transformada de Laplace X(s): 1. 2. 3. 4.
x(t) es real y par X(s) tiene cuatro polos y ning´ un cero en el plano finito de s. √ jπ/4 X(s) tiene un polo en s = 2e R∞ x(t) dt = 1 −∞
Encuentre entonces la expresi´on para X(s) y su ROC. Problema 4.25. Dado el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales de dos se˜ nales c
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4.3 Problemas
derechas x(t) y y(t) dx(t) = −2y(t) + δ(t) dt dy(t) = 2x(t) dt
Encuentre X(s) y Y (s) junto con sus regiones de convergencia. Encuentre entonces las soluciones en el dominio del tiempo x(t) y y(t). Problema 4.26. Un sistema LTI causal tiene respuesta al impulso h(t). Encuentre esta respuesta si el sistema de entrada x(t) y salida y(t) se rige por la ecuaci´on diferencial d3 y(t) d2 y(t) dy(t) + (1 + α) + α(α + 1) + α2 y(t) = x(t) 3 2 dt dt dt Determine adem´as para qu´e valores de α el sistema es estable. Si
dh(t) + h(t) dt indique cu´antos polos tiene su transformada de Laplace G(s). g(t) =
Problema 4.27. Analice la existenca de la transformada de Laplace bilateral de las funciones x(t) = 1, x(t) = sen(ωt) y x(t) = cos(ωt). Problema 4.28. Sea x1 (t) = e−at u(t)
x2 (t) = e−2at+1 u(t + 1)
y
con a ∈ IR, a > 0. 1. Determine las transformadas bilateral y unilateral de x1 (t) y x2 (t). 2. Calcule la transformada bilateral inversa del producto Lb {x1 (t)} Lb {x2 (t)} para encontrar g(t) = x1 (t) ∗ x2 (t) 3. Calcule la transformada unilateral inversa del producto Lu {x1 (t)} Lu {x2 (t)} y compare con el resultado obtenido para g(t).
Problema 4.29. Demuestre el teorema del valor inicial x(0+ ) = lim sX(s) s→∞
para x(t) = x(t)u(t) (es decir, x(t) causal). c
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4 Transformada de Laplace
241
Para ello exprese primero x(t) como serie de Taylor centrada en t = 0+ . Luego, determine la transformada de Laplace para cada t´ermino dn tn x(t) + n! u(t) dtn t=0 Demuestre entonces que
∞ X dn 1 X(s) = x(t) n+1 dtn t=0+ s n=0
a partir de lo cual se puede demostrar el teorema. Problema 4.30. Encuentre la transformada unilateral de Laplace para 1. x(t) = e−2t u(t + 1) 2. x(t) = δ(t + 1) + δ(t) + e−2(t+3) u(t + 1) 3. x(t) = e−2t u(t) + e−4t u(t) Problema 4.31. Resuelva utilizando la transformada unilateral de Laplace la ecuaci´on diferencial d2 x(t) dx(t) +4 + 5x(t) = 8 cos(t) 2 dt dt si x(t) = dx(t)/dt = 0 en t = 0. Problema 4.32. Resuelva utilizando la transformada unilateral de Laplace la ecuaci´on diferencial dx(t) d2 x(t) − 3 − 2x(t) = 6 5 dt2 dt si x(t) = 1 y dx(t)/dt = 1 en t = 0.
c
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4.3 Problemas
c
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