Cap´ıtulo 7 Transformada de Laplace En esta secci´on introduciremos y estudiaremos la transformada de Laplace, desarrollaremos algunas de sus propiedades mas b´asicas y u ´tiles. Despu´es veremos algunas aplicaciones.

7.1 Definiciones y resultados b´ asicos Definici´ on 7.1 (Transformada de Laplace) Sea f una funcion definida para t > 0. Se dice que la integral Z ∞ e−st f (t) dt L [f (t)] =

P. S. de Laplace

0

se llama la transformada de Laplace de f siempre que la integral converja.

Teorema 7.1 Si f es una funci´on continua por pedazos de orden exponencial, entonces existe L [f (t)] = F (s) , s > α Nota 7.1 f (t) = t−1/2 ∈ / PC[0, +∞] sin embargo su transformada de Laplace si existe. Teorema 7.2 La transformada de Laplace es un operador lineal. ´ n. Se sigue directamente de las propiedades de la integral. Demostracio  La transformada de Laplace de algunas funciones usuales se muestra en la siguiente tabla. 73

f (t) 1 t tn t−1/2 t1/2 tα

F (s) = L {f } (s) 1 s 1 s2 n! , n∈N n+1 s r π s √ π 3/2 2s Γ (α + 1) , α > −1 sα+1

Teorema 7.3 Teoremas de traslaci´on. TTL1: Si L(f (t)) = F (s) entonces


L eat f (t) = F (s − a) ;

TTL2: Si L(f (t)) = F (s) y a > 0 entonces

L(f (t − a)H(t − a)) = e−as F (s).

Teorema 7.4 (Teorema de Lerch)

con

R t0 0

L [f1 (t)] = L [f2 (t)] ⇐⇒ f1 (t) − f2 (t) = N (t) N (t) dt = 0; es decir es una funci´on nula.

La utilizaci´on pr´actica de la transformada de Laplace requiere no s´olo el c´alculo de la misma a partir de una funci´on dada, sino tambi´en el problema inverso, es decir, encontrar una funci´on f conocida su transformada de Laplace L [f (t)] . Definici´ on 7.2 (Transformada inversa de Laplace) Si F (s) = L [f (t)] entonces llamaremos transformada inversa de Laplace de F (s) a f (t) y la denotaremos f (t) = L−1 [F (s)] . Teorema 7.5 Dada F (s) , su transformada inversa de Laplace esta dada por Z γ+i∞ 1 −1 f (t) = L [F (s)] = est F (s) ds 2πi γ−i∞ con Re (s) > γ; todas las singularidades de F est´ an a la izquierda de γ

Teorema 7.6 Sea H la funci´on de Heaviside, entonces L [H (t − a)] = ´ n. Demostracio

Z

e−as . s

∞

e−st H(t − a) dt Z a Z ∞ −st = e 0 dt + e−st dt 0 a ∞ −as 1 e = − e−st = , s > 0. s s a   1 L eat = s−a L [f (t − a) H (t − a)] = e−as F (s) .

L [H (t − a)] =

Teorema 7.7

0

Teorema 7.8 (Transformada de Laplace de la convoluci´ on de funciones) Z t  L f (τ ) g (t − τ ) dτ = F (s) G (s) .

 (7.1) (7.2)

(7.3)

0

El teorema anterior se puede enunciar da la siguiente manera equivalente: Teorema 7.9 (Teorema de Faltung) L−1 [F (s) G (s)] = f (t) ∗ g (t) . ´ n. Demostracio

Z

∞

e−st (f (t) ∗ g (t)) dt  Z0 ∞ Z t −st = e f (t − u) g (u) du dt 0 0 ZZ = e−st f (t − u) g (u) du dt

L [f (t) ∗ g (t)] =

R1

con R1 limitado por u = 0, u = t. Haciendo el cambio de variables τ = t − u, σ = u y denotando con R2 el cuadrante positivo del plano τ -σ tenemos ZZ L [f (t) ∗ g (t)] = e−s(τ +σ) f (τ ) g (σ) dσ dτ R Z ∞2 Z t −sτ = e f (τ ) dτ e−sσ g (σ) dσ 0

0

= F (s) G (s) .

Las integrales que hemos considerado son absolutamente convergentes para s > α.



Teorema 7.10 (Transformada de Laplace de la n-´esima derivada de una funci´ on)     L f (n) (t) = sL f (n−1) (t) − f (n−1) (0) . Corolario 7.1

´ n. Demostracio

  L f (n) (t) = sn F (s) − sn−1 f (0) − · · · − f (n−1) (0) . Por inducci´on.

(7.4) 

Nota 7.2 Este teorema permite decir que al aplicar la transformada de Laplace podemos reemplazar la derivaci´on respecto a t por la multiplicaci´ on por s, lo que permite transformar una ecuaci´ on diferencial en una ecuaci´ on algebraica. Teorema 7.11 Si L [f (t)] = F (s) , entonces Z t  F (s) L f (u) du = . s 0 ´ n. Integrando por partes: Demostracio ∞ Z t  Z Z 1 ∞ −st 1 −st t f (u) du + e f (t) dt L f (u) du = − e s s 0 0 0 0 F (s) = . s

(7.5)



Nota 7.3 Este teorema se puede demostrar tambi´en tomado g (t) = 1 en el teorema de la transformada de una convoluci´ on. Teorema 7.12 L [tn f (t)] = (−1)n

dn F (s) . dsn

(7.6)

´ n. Demostracio d ds

Z

0

∞

e

−st

f (t) dt =

Z

∞

0

Z = −


∂ −st e f (t) dt ∂s

∞

t e−st f (t) dt

0

= −L [tf (t)] . Por inducci´on se obtiene la conclusi´on del teorema.



f (t) Teorema 7.13 Sea f una funci´on tal que existe L [f (t)] = F (s) . Si existe lim t→0+ t entonces  Z ∞  f (t) = F (u) du. (7.7) L t s ´ n. Demostracio

Integrando:

Sea g tal que f (t) = tg (t) . Entonces F (s) = L [f (t)] = L [tg (t)] = − s Z Z s G (u) = − F (u) du =

Pero lim G (s) = 0. Entonces s→∞

F (u) du.

s

∞

∞

∞

dG . ds

 Z ∞ f (t) = F (u) du. L t s 



Teorema 7.14 Si f es una funci´on continua por pedazos y de orden exponencial α , entonces lim L [f (t)] = 0. s→∞

´ n. Por hip´otesis se tiene que |f (t)| 6 M eαt , t > t0 . Entonces e−st |f (t)| 6 Demostracio M e−(s−α)t . Por la Zmonoton´ıa de la integral Z ∞ se sigue que ∞ M , s > α. e−st |f (t)| dt 6 M e−(s−α)t dt = s−α 0 0 Por otro lado Z ∞ Z ∞ −st |L [f (t)]| = e−st |f (t)| dt. e f (t) dt 6 0

0

M Entonces |L [f (t)]| 6 , s−α

s > α, de donde se sigue que lim |L [f (t)]| = 0. s→∞

Teorema 7.15 Si f es una funci´on peri´odica de per´ıodo T, entonces Z T 1 e−st f (t) dt. L [f (t)] = 1 − e−sT 0 ´ n. Demostracio

L [f (t)] =

Z

0

T

e

−st

f (t) dt +

Z

∞

T

Haciendo t = u + T enZ la u ´ltima integral: Z ∞ −st −sT e f (t) dt = e T

Entonces

e−st f (t) dt.

0

∞

e−su f (u) du.



L [f (t)] = y de aqu´ı se sigue el teorema.

Z

T

e−st f (t) dt + e−sT L [f (t)] ,

0



Teorema 7.16 (Transformada de Laplace de la delta de Dirac) L [δ (t − a)] = e−as , ´ n. Demostracio

L [δ (t − a)] =

Z

∞

e

0

−st

con

δ (t − a) dt =

de aqu´ı se sigue que L [δ (t − a)] = e−as .

a > 0. Z

+∞

−∞

e−st δ (t − a) dt; 

Corolario 7.2 L [δ (t)] = 1.

7.2

Algunas Aplicaciones

Problema 7.1 Determinar L [t sen bt] . b , encontramos que + b2 dF 2bs . =− 2 ds (s + b2 )2

´ n. Partiendo de L [sen bt] = F (s) = Solucio

s2

Por tanto L [t sen bt] = −

(s2

2bs . + b2 )2

Problema 7.2 Demostrar que F (s) = s2 no es la transformada de Laplace de funci´ on alguna. ´ n. Si existiera una funci´on f tal que L [f ] = s2 deber´ıa ocurrir que lim s2 = 0. Solucio s→∞ Esto no sucede por lo tanto no existe tal funci´on.  sen t . Problema 7.3 Calcular L t 



 Z ∞ sen t 1 π ´ n. L Solucio = du = − arctan s. 2 t 2 s 1+u Resolvamos una ecuaci´on diferencial con coeficientes variables y condicionas iniciales.

Problema 7.4 Resolver la ecuaci´ on diferencial y ′′ +2ty−4y = 1 con condiciones iniciales ′ y (0) = y (0) = 0. ´ n. Sabemos que Solucio d d d L [ty ′ ] = − L [y ′ ] = − (sL [y] − y (0)) = − (sY (s)) = −sY ′ (s) − Y (s) ds ds ds y que L [y ′′ ] = s2 Y (s) . Entonces, sustituyendo   1 3 s ′ − Y (s) = − 2 . Y (s) + s 2 2s La soluci´on de esta ecuaci´on lineal en Y (s) es 1 c 1 2 Y (s) = 3 + 3 e 4 s . s s La constante de integraci´on c se determina al requerir que Y (s) → 0 si s → ∞. Se obtiene que c = 0, y entonces 1 Y (s) = 3 , s de donde se concluye que t2 y (t) = . 2