Capítulo 17.

Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.

CAPITULO 17 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS Ejercicio. Dibuja la gráfica de la función y=2x , para esto llena la siguiente tabla: x y

0

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

Veamos el siguiente ejemplo. Ejemplo. El secreto: Supongamos que una persona conoce un secreto y por alguna razón se lo platica a tres amigos y les pide que no se lo cuenten a nadie, pero estos por una extraña razón cada uno se lo platica a otros tres amigos y a continuación cada uno de estos otros se lo platica a otros tres amigos y así continúan hasta 10 veces. Al final de estos ciclos de diez. ¿Cuántos amigos conocen el secreto? Supongamos que en cada ciclo se tardan 5 minutos. ¿Cuánto tiempo se tardan en total para que todos conozcan el secreto? Obtenga una fórmula para calcular el número de personas en cada fase.

Dibuja la gráfica de la función y=3x, podemos llenar la siguiente tabla: Y X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Dibuja la gráfica de la función y=log3 x. para esto notemos que es equivalente a graficar x=3y, podemos llenar la siguiente tabla: Y X

0

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

131

Capítulo 17.

Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.

EL NÚMERO e El número e es importante y aparece en biología, química, física, matemáticas puras, etc. APARECE EN: LAS LEYES DE CRECIMIENTO -Biología: Cuando se reproduce una bacteria y aumenta la población. Para la mosca de la fruta con población inicial de 33 y después de 4 días hay 300. Y=33e 0.5493t. -Economía: Cuando se invierte cierto capital y se cobre determinado interés, éste junto con el capital se vuelve a invertir y así se continua, (interés compuesto). Producción de madera que en cierta región está dada por 0.8 t

v=100000 e , con t=0 a t=1998 - Medicina: En la estatura de una persona, por ejemplo el modelo de Jenss (1937) que predice la altura en términos del tiempo h= 79.04+ 6.39 t – e3.26-0.99t (3 a 6 años) LAS LEYES DE DECRECIMIENTO -Química: Cuando se desintegra un elemento radiactivo, la cantidad de 10 gramos del isotopo del plutonio Pu239 y cantidad final 1 gramo y=10e-0.000028454t. - Medicina: Cuando se administra un medicamento a una persona, su organismo lo asimila a determinada rapidez. Física: Cuando se enfría un cuerpo caliente que se expone a la temperatura ambiente (Ley de enfriamiento de Newton) con temperatura del medio de 600 y el cuerpo cambia de 1000 a 900 en 10 minutos: y=60+40e0.02877t. Analicemos la función y= (1+x)1/x , cuando x tiende a cero, es decir tome valores muy cercanos a cero. n

1) Lím1  1  

n

n  n

N  1 1    n

10

100

1000

50000

100000

n

 1 Lím1    2.718 , este límite se conoce como el  n n número e y es la base de los logaritmos naturales

Tenemos la función exponencial y=ex y su función inversa logaritmo natural y=Lnx La Función Exponencial y=ex y la Función Logaritmo Natural y=Lnx

Utiliza el programa winplot y obtén estas gráficas.

132

Capítulo 17.

Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.

Algunos Límites importantes Ejercicio: Utiliza la calculadora y calcula los siguientes límites n

2) Lím1  sen(/4)  

n

1) Lím1  2   n  n N

10

 2 1    n

100

1000

50000

N

100000

 h  3) Lím 5 - 1  

100

1000

50000

100000

n

 h  4) Lím 2 - 1  

 h  h0

.1



10

 sen(/4)  1   n  

n

H

n

 n

 h  h0

.01

.001

.0001

0.00001

H

5h - 1 h

.1

.01

.001

.0001

0.00001

2h - 1 h

 h  5) Lím 3 - 1  

 h  6) Lím e - 1  

 h  h0

h

.1

 h  h0

.01

.001

.0001

0.00001

h

7) Lím1   1 /   e  0



1   

.1

.01

.001

.0001

0.00001



133

.1

.01

.001

.0001

0.00001

Capítulo 17.

Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.

Funciones Exponenciales y logarítmicas Funciones exponenciales: y  b , donde la variable ahora está como exponente. x

y  bx

y  b x con 0  b  1

con b  1

Función Exponencial Creciente

Función Exponencial Decreciente

DERIVADA DE LA FUNCION LOGARITMO NATURAL y=Ln u Apliquemos los cuatro pasos como en el ejemplo anterior: Primer paso: valor final, tenemos: y f  f (u  u)  ln(u  u) Segundo paso: incremento de la función:

y  y f  yi  f (u  u)  f (u)  ln(u  u) - ln(u)  ln(

u  u ) u

Tercer paso: cociente:  y x

u  u ln( ) y u  u u 1 u  u 1 u u  ln( ) ln(1  ) u u u u u 1 1 u 1 u  ln(1  )  ln(1  ) u u u u u u Cuarto paso: Aplicar el límite Lim

u  0

Así tenemos la derivada:

1 u u

y u

dy y 1 1  Lim  Lim( lne)   u  0  u  0 du u u u

134

Capítulo 17.

Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.

De donde tenemos que la derivada de la función logaritmo natural y=Ln u, es: En forma general, tenemos:

dLn u 1  du u

dLn u 1 du  dx u dx

Ejemplo. Hallar la derivada de y=ln(5x+1) Apliquemos la fórmula: dLn u  1 du dx

u dx

dy dy 1 d (5 x  1) 1   (5) , tenemos: dx 5 x  1 dx 5 x  1 dx Así:

dy 5  dx 5 x  1

Ejemplo. Hallar la derivada de y=ln(3x+8)2 Apliquemos la fórmula: dLn u  1 du dx

u dx

1 d (3x  8) dy 1 d (3x  8) 2 , tenemos: dy  2(3x  8) 2 1  2 2 dx (3x  8) dx dx (3x  8) dx Así:

dy 1 2(3) 6  2(3x  8)(3)   2 dx (3x  8) (3x  8) (3x  8)

Ejemplo. Hallar la derivada de y  Ln( 3  x 2 ) Apliquemos la fórmula: dLn u  1 du dx

u dx

1 1 2 1 d (3  x ) dy 1 d (3  x 2 ) 2 1 1 2 2 , tenemos: dy   ( 3  x ) dx dx dx dx 3  x2 3  x2 2

Así:

dy 1 1 1 x x  (2 x)   2 2 2 dx 3 x 3  x2 3 x 2 3 x

Ejercicios Calcula las siguientes derivadas de las siguientes funciones y simplificar a su mínima expresión: a) y  Ln (4 x  10)

b)y=Lnx7

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Capítulo 17.

Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.

c)y=Ln5x3

d)y=(9-2x)

e)y=Ln(x2-3)

f)y=Ln(x3-x-4)

h)z=Ln 6 x 4x  5

g) y=Ln(5w-2)7

i) z=Ln 3  w 7w  1

j)y=Ln 5  2 s 7s

DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL y=ex Apliquemos los cuatro pasos como en el ejemplo anterior: Primer paso: valor final, tenemos: y f  f (u  u )  e (u u ) Segundo paso: incremento de la función:

y  y f  yi  f (u  u)  f (u )  e (u u ) - e (u) Tercer paso: cociente:

y e u  u  e u  u u y e u e u  e u e u (e u  1)   u u u Cuarto paso: Aplicar el límite Así tenemos la derivada:

y e u (e u  1) (e u  1)  Lim( )  e u Lim( )  eu u 0 u u 0  u  0 u u Lim

 h  Pues tenemos Lím e - 1   1  h  h0

136

Capítulo 17.

Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.

u En general tenemos que de  e u du

dx

dx

Ejercicio: obtenga la derivada de la función a) y=2x

b) y=3x

Similarmente tenemos la fórmula para y= au de u du  a u Lna dx dx

En general se muestra a continuación de algunas otras reglas para derivar funciones logarítmicas y exponenciales. Algunas reglas (fórmulas o teoremas) para derivar funciones logarítmicas y exponenciales se presentan a continuación

1.

Funciones Logarítmicas du d ln u  dx 1 du (base e  2.718... )   * dx u u dx d log v  log e dv (Base 10)  * dx v dx

2.

Funciones exponenciales d e  dv  ev * dx dx v

 

d av dv  a v * ln a * dx dx v d u du du 5.  v * u v 1 *  ln u * u v * dx dx dx Algunos ejemplos de estas reglas se dan a continuación en la tabla siguiente. 3.

Función

y  log v

4.

 

Derivada

y´

y  log2 x  1

log e dv * v dx

y  ev

y´ e v *

y  ex

y´ e x

y  av

y´ a v * ln a *

Ejemplos

dv dx

dv dx

y´

log e 2 log e *2  2 x  1 2 x  1





2 y  3e x 2 

y´ 3 e x

y  ex

y´ e x

y  7 3 x 7

y´ 7 3 x7  * ln 7 * 3



2

2

 * 2 x  6 x * e x  2  2



y´ 3 7 3 x7  * ln7 

137

Capítulo 17.

Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.

Ejercicios Calcula las siguientes derivadas en tu cuaderno utilizando las reglas y simplificar a su mínima expresión. 1.

y  e5 x

2.

y  7e 2 x1

6.

y  3 x 1

7.

y  xe3 x

11. y  2

4 x  21

12. y  5 x 2 e 9 x

3.

y

8.

y

9 e3x

4e x  2e 5 x e3 x

13. y=lntan6x

138

4.

3 y  x  e 

9. y  5

2

y  27 x

10. y  ln senx

6 x 9

14. y  ln

5.

senx

15. y  ln 3  senx 3  senx

Capítulo 17.

Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.

PROYECTOS 14

14

1.-El isótopo de carbono C tiene una vida media de 5760 años(Así, si hubiera N átomos de C presentes en un cierto 14 tiempo, 5760 años después habría ½ N.) Si hay 10 mg de C al tiempo t=0, entonces la cantidad presente f(t) después de t años está dada por: t

 1  5760 f (t )  10  2 14

Determine la cantidad de C presentes después de a)100 años. b)500años. c)1000años. d)10000años e)50000años. f)Obtenga la gráfica de f(t). g)Obtenga f´(t).

2.-Un cierto tipo de bacteria duplica el tamaño de su población cada hora. El número N de bacteria presentes t horas después de que se empieza a observar cierta colonia está dada por la fórmula: N  1002 t . Determine el número de bacterias después de: a)una hora. b)tres horas y media. C)un día. D)dibuje la grafica de N. e)Obtenga N´(t)

139

Capítulo 17.

Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica. 0

0

4.-La ley de enfriamiento de Newton. Un huevo duro a 98 C se pone a enfriar en un recipiente con agua a 18 C. Después 0 de 5min, la temperatura del huevo es de 38 C. Suponiendo que el agua no se ha calentado de manera apreciable. El - 0.28t enfriamiento del huevo sigue la ley: T=18+80e . Donde T es la temperatura del huevo, t es el tiempo. Utiliza Geogebra o Winplot para obtener la gráfica de la esta función. Con base a esta gráfica obtén el tiempo que tarda en tener 0 0 0 0 una temperatura de 45 C , 30 C, 20 C, 18 C. Calcula con base a las fórmulas de derivadas la velocidad de enfriamiento. Obtén su gráfica en la computadora.

5. La Radioactividad. El radio decrece exponencialmente y tiene una vida media de aproximadamente 1600 años; es decir dada una cantidad, al cabo de 1600 años se habrá desintegrado la mitad de la cantidad original de la sustancia radioactiva. –(Ln2/1600) t Supongamos que tenemos 50mg de radio puro y que la ley de desintegración es: y= 50e . utiliza Winplot para obtener la gráfica de la esta función. Con base a esta gráfica obtén el tiempo que tarda en tener una cantidad de 44mg, 36mg, 20mg, 12mg, 4mg. Calcula con base a las fórmulas de derivadas la velocidad de desintegración radioactiva. Obtén su gráfica en la computadora.

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Capítulo 17.

Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.

Ejercicios 1.- Utiliza la computadora obtén la gráfica y en base a las fórmulas de derivadas encuentra la derivada de las siguientes funciones: a) y= senx ex

b) y=esenx

c) y=x esenx

d) y=ex/x

e) y=5cosx e2x

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Capítulo 17.

Derivada de las Funciones Exponencial, Logarítmica.

f) y=x2 ecosx

x x g) y  e  e e x  ex

h) y=5 senx e

4cosx

2.Obtenga la gráfica de . También obtén la gráfica de la función inversa en caso de existir. a)y=log2x b)y=log2(x-6) c) y  log2  1   ( x  1) 3   

142