LECCIÓN

CONDENSADA

5.1

Funciones exponenciales

En esta lección escribirás una fórmula recursiva para modelar un deterioro radiactivo ● hallarás una función exponencial que pasa por los puntos de una secuencia geométrica ● aprenderás acerca de la vida media del deterioro exponencial y el tiempo de duplicación del crecimiento exponencial En el Capítulo 1, usaste fórmulas recursivas para modelar el crecimiento y el deterioro geométricos. Las fórmulas recursivas sólo generan valores discretos, tales como la cantidad de dinero en una cuenta bancaria después de 1 ó 2 años. En muchas situaciones reales, el crecimiento y el deterioro se dan de manera continua. En esta lección hallarás fórmulas explícitas que te permiten modelar los crecimientos y los deterioros continuos. ●

Investigación: El deterioro radiactivo Lee el primer párrafo y el Procedure Note (Nota del procedimiento) en la investigación. Si tienes un dado, puedes realizar el experimento por tu cuenta, siguiendo estos pasos: 1. Dibuja 30 puntos en una hoja de papel. 2. Lanza el dado una vez por cada punto. Si sacas un 1, borra o tacha el punto. 3. Cuenta y registra el número de puntos restantes. 4. Repite los Pasos 2 y 3 hasta que haya menos de tres puntos restantes. Después de reunir los datos, completa los Pasos 1 a 6 en tu libro. Los resultados dados a continuación usan los siguientes datos de muestra: Etapa

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Gente en pie (o puntos restantes)

30

26

19

17

14

11

12

9

8

8

5

5

2

Paso 1

Observa la tabla anterior.

A la derecha hay una gráfica de los datos. La gráfica se parece a una secuencia geométrica decreciente. Paso 2

El término inicial es u0  30. Para hallar la razón común, mira la razón de los valores de y consecutivos:

Paso 3

26 19 17 14 12   0.867,   0.731,   0.895,   0.824,   0.857, 30 26 19 17 14 11 9 8 8 5 5 2   0.917,   0.818,   0.889,   1,   0.625,   1,   0.4 12 11 9 8 8 5 5 Halla la media de estas 12 razones para obtener r  0.8185. Al completar la tabla en tu libro, habrás observado un patrón: u1  u0  r1, u2  u0  r 2 , y u3  u0  r 3 , ahora puedes ampliar este patrón a un  u0  r n . Por consiguiente, la fórmula explícita de los datos es un  30  0.8185n.

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(continúa)

CHAPTER 5

57

Lección 5.1 • Funciones exponenciales (continuación) Paso 4 A la derecha se muestra la gráfica de los datos de la ecuación f(x)  30  0.8185x.

Una ecuación con la misma razón común que pasa por el punto (1, 26) es f(x)  26  0.8185x1. Debes experimentar con ecuaciones diferentes para hallar la que creas que satisface mejor los datos. ¿Preferirías una gráfica que pase por más puntos de los datos o una con el mismo número de puntos por arriba y por abajo? Si es posible compara tu modelo con el de otros compañeros y coméntalo. Paso 5

La ecuación f(x)  6  r x6 representa una función exponencial con razón r que contiene el punto 6, u6. Paso 6

La fórmula de una secuencia geométrica genera un conjunto de puntos discretos. Ahora aprenderás a hallar la ecuación de una curva que pasa por los puntos. Lee la sección Science Connection acerca de la vida media en tu libro. Luego analiza el Ejemplo A en tu libro y lee el siguiente ejemplo.

䊳

EJEMPLO

Una moneda rara de la colección de Jo vale $450 en la actualidad. El valor ha aumentado en 15% cada año. Si el valor continúa aumentando a este ritmo, ¿cuánto valdrá la moneda dentro de 1112 años?

Solución

El valor se multiplica por (1  0.15) cada año: 450  (1  0.15)

Valor después de 1 año.

450  (1  0.15)  (1  0.15)  450(1  0.15)2

Valor después de 2 años.

450  (1  0.15)  (1  0.15)  (1  0.15)  450(1  0.15)3

Valor después de 3 años.

450  (1  0.15)n

Valor después de n años.

Por lo tanto, la fórmula explícita es un  450(1  0.15)n. La ecuación de la función continua que pasa por los puntos es y  450(1  0.15)x. Puedes usar la función continua para hallar el valor de la moneda en cualquier tiempo. Para hallar el valor después de 1112 años, sustituye x por 11.5. y  450(1  0.15)11.5  $2,245.11 La función continua hallada en el ejemplo es una función exponencial, que consiste en una función continua con una variable en el exponente. Lee el recuadro “Exponential Function” (Función exponencial) y el texto que sigue en la página 254 de tu libro. Luego analiza atentamente el Ejemplo B, que muestra cómo dos transformaciones diferentes de una función exponencial pueden dar como resultado la misma gráfica.

58

CHAPTER 5

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LECCIÓN

Propiedades de los exponentes y funciones de potencias

CONDENSADA

5.2 En esta lección ● ●

repasarás las propiedades de los exponentes resolverás ecuaciones exponenciales y ecuaciones de potencias

Recuerda que en una expresión exponencial an, a es la base y n es el exponente. Puedes decir que a está elevada a la potencia n. Si el exponente es un entero positivo, puedes escribir la expresión en forma expandida. Por ejemplo, 54  5  5  5  5. En tu primer clase de álgebra, aprendiste propiedades para volver a escribir las expresiones que contienen exponentes. En esta lección, repasarás estas propiedades y verás cómo pueden ayudarte a resolver ecuaciones.

Investigación: Propiedades de los exponentes Completa la investigación por tu cuenta. Cuando hayas terminado, compara tus resultados con los siguientes. Paso 1

a. 23  24  (2  2  2)  (2  2  2  2)  27 b. x 5  x12  (x  x  x  x  x)  (x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x  x)  x 17 c. 102  105  (10  10)  (10  10  10  10  10)  107 Paso 2

am  an  amn

Paso 3

x • x • x • x • x • x • x • x x8    x 2 b. ___ 6 x • x • x • x • x • x x

4 • 4 • 4 • 4 • 4 45    43 a. ___ 2 4 4 • 4 (0.94)15 c.  (0.94)5 

(0.94) • (0.94) • (0.94) • (0.94) • (0.94) • (0.94) • (0.94) • (0.94) • (0.94) • (0.94) • (0.94)  • (0.94)  • (0.94)  • (0.94)  • (0.94)   (0.94)  • (0.94)  • (0.94)  • (0.94)  • (0.94) 

 (0.94)10 Paso 4

am  amn __ n a

Paso 5

2 • 2 • 2 1 23 a. ___    ___ 1 • • • 2 24 2 2 2 2

4 • 4 • 4 • 4 • 4 1 45 b. ___    ___ 2 • • • • • • 4 47 4 4 4 4 4 4 4

x • x • x x3 1 c. ___    ___ 5 • • • • • • • x8 x x x x x x x x x Paso 6

a. 234  21

b. 457  42

c. x 38  x5

Paso 7

1  an __

Paso 8

Un ejemplo es 234  23232323  23333  234. Puedes

an

generalizar este resultado como anm  anm.

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CHAPTER 5

59

Lección 5.2 • Propiedades de los exponentes y funciones de potencias (continuación) Un ejemplo es (2  3)3  (2  3)(2  3)(2  3)  2  2  2  3  3  3  23  33. Puedes generalizar este resultado como (a  b)n  an  bn. a • a • a a3 a3 Paso 10 Considera la expresión __3 . Al dividir, tenemos __3    1. Por la a a a • a • a a3  a33  a0. Por consiguiente, a0  1. propiedad del Paso 4, __ a3 Paso 9

Las propiedades de los exponentes se resumen en la página 260 de tu libro. Asegúrate de leer la propiedad de la potencia de un cociente, la propiedad de la igualdad de las potencias, y la propiedad de la igualdad de las bases comunes. La investigación no incluyó estas propiedades. Intenta crear ejemplos que te convenzan de que estas propiedades son ciertas. El Ejemplo A en tu libro ilustra un método para resolver ecuaciones cuando ambos lados pueden escribirse como expresiones exponenciales con una base común. Intenta resolver cada ecuación antes de leer la solución. Éste es otro ejemplo:

EJEMPLO A

Resuelve. 1 b. 16x  6 4

a. 125x  5 䊳

Solución

Convierte cada lado de la ecuación en una base común, después usa las propiedades de los exponentes. a. 125x  5

53x  51

Ecuación original. 53  125 y 51  5.

53x  51

Usa la propiedad de la potencia de una potencia.

3x  1

Usa la propiedad de la igualdad de las bases comunes.

1 x  3 1 b. 16x  6 4 1 24x  26 24x  26 4x  6 3 x  2

Divide. Ecuación original. 24  16 y 26  64. Usa la propiedad de la potencia de una potencia y la definición de exponentes negativos. Usa la propiedad de la igualdad de las bases comunes. Divide.

Una función exponencial tiene una variable en el exponente. Una función de potencias tiene una variable en la base. Función exponencial y

ab x,

donde a y b son constantes

Función de potencias y

ax n,

donde a y n son constantes (continúa)

60

CHAPTER 5

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Lección 5.2 • Propiedades de los exponentes y funciones de potencias (continuación) El Ejemplo B en tu libro muestra cómo puedes usar las propiedades de los exponentes para resolver ecuaciones que contienen variables elevadas a una potencia. Intenta resolver cada ecuación por tu cuenta antes de leer la solución. Después lee el siguiente ejemplo.

EJEMPLO B

Resuelve. a. 8x 3  4913

䊳

Solución

b. x 4.8  706

Usa la propiedad de la igualdad de las potencias y la potencia de una propiedad de las potencias. Escoge un exponente que deshaga el exponente de x. a.

8x 3  4913 x 3  614.125

x 313  614.12513 x  1.5 b.

x 4.8  706

x 4.814.8  70614.8 x4

Ecuación original. Divide ambos lados por 8. Usa la propiedad de la igualdad de las potencias. Usa tu calculadora para hallar 614.12513. Ecuación original. Usa la propiedad de la igualdad de las potencias. Usa tu calculadora para hallar 7061/4.8.

En este libro, las propiedades de los exponentes se definen sólo para las bases positivas. Por lo tanto, el uso de estas propiedades sólo produce una solución para cada ecuación.

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CHAPTER 5

61

LECCIÓN

CONDENSADA

5.3

Exponentes racionales y raíces

En esta lección ● ●

aprenderás cómo se relacionan los exponentes racionales con las raíces escribirás ecuaciones de curvas exponenciales en forma punto-razón

Sabes que puedes considerar los exponentes enteros positivos como una multiplicación repetida. Por ejemplo, 53  5  5  5. Pero, ¿cómo puedes considerar los exponentes fraccionarios? Explorarás esta cuestión en la investigación.

Investigación: Llegar a la raíz Completa la investigación en tu libro, por tu cuenta. Después compara tus resultados con los siguientes. Una tabla de calculadora muestra que x12 es indefinido para los números enteros menores que 0, y que es un entero positivo para los valores que son cuadrados perfectos. De hecho, parece que x12  x.

Paso 1

Paso 2 Por la gráfica, parece que y  x12 es equivalente a y  x. Para verificarlo, representa gráficamente ambas

funciones en la misma ventana. Elevar un número a una potencia de 21 es lo mismo que sacar su raíz cuadrada. Por ejemplo, 4  2 y 412  2.

Paso 3

Ésta es una tabla para y  25x, en la cual x se expresa en incrementos de 12. Paso 4

Cada entrada de la tabla es la raíz cuadrada de 25, que es 5, elevada al numerador. Esto es, 2512  51, 2522  52, 2532  53, y así sucesivamente. Si el 3 mismo patrón se cumple para y  49x, entonces 49 32  49   73  343. Paso 5

27 23 es la raíz cúbica de 27 elevada a la segunda potencia: 2 5 3 3   27   32  9. De similar modo, 853   8   25  32.

Paso 6

27 23

Para hallar amn, saca la raíz enésima de a, y después eleva el resultado a m n la potencia de m. Esto es, amn   a .

Paso 7

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CHAPTER 5

63

Lección 5.3 • Exponentes racionales y raíces En tu libro, lee el párrafo que sigue a la investigación y el recuadro “Definition of Rational Exponents” (Definición de los exponentes racionales), que resume lo que has descubierto en la investigación. Después intenta resolver las ecuaciones del Ejemplo A, que incluyen exponentes racionales. 7

Observa que, dado que puedes escribir una función como y  x3 de la forma y  x 37, se la considera como una función de potencias. Puedes aplicar todas las transformaciones que aprendiste en el Capítulo 4 a las funciones de potencias. Por ejemplo, la gráfica de y  x 37  3 es la gráfica de y  x 37 corrida 3 unidades hacia arriba. Ahora, pongamos atención a las ecuaciones exponenciales. En la forma general de una ecuación exponencial, y  ab x, b es el factor de crecimiento o de deterioro. Cuando sustituyes x por 0, obtienes y  a. Esto significa que a es el valor inicial de la función al tiempo 0 (la intersección y). Existen otras formas útiles de ecuaciones exponenciales. Recuerda que si conoces un punto x1, y1 en una recta y la pendiente de dicha recta, puedes escribir una ecuación de la forma punto-pendiente: y  y1  mx  x1. Del mismo modo, si conoces un punto x1, y1 de una curva exponencial y la razón común b entre los puntos separados por 1 unidad horizontal (es decir, el factor de crecimiento o deterioro), puedes escribir una ecuación de la forma punto-razón: y  y1  b xx1. Veamos un ejemplo para comprender cómo se relacionan las formas general y punto-razón. Haz una gráfica de la ecuación general y  47(0.9)x en tu calculadora. Después halla las coordenadas de un punto de la curva. Escogeremos (2, 38.07). Con (2, 38.07) puedes escribir una ecuación de la forma punto-razón: y  38.07(0.9)x2. Un poco de álgebra muestra que esto es equivalente a la ecuación general: y  38.07(0.9)x2

Forma punto-razón.

 38.07(0.9)x(0.9)2

Usa la propiedad multiplicativa de los exponentes.

 47(0.9)x

Usa tu calculadora para multiplicar 38.07  (0.9)2.

Analiza el Ejemplo B en tu libro. Pon especial atención a la técnica utilizada para hallar el valor de b. El texto que sigue al Ejemplo B explica otro modo de hallar la ecuación, sin tener que resolver para b. Lee dicho texto atentamente. Éste es un resumen del método: 1. En la parte a del Ejemplo B, la gráfica pasa por (4, 40) y (7.2, 4.7). 2. La razón de valores y para los dos puntos es 44.07 . Observa que no es el valor de b, porque los valores de x 4 y 7.2 no son enteros consecutivos; la razón 44.07 está distribuida en 3.2 unidades horizontales, en vez de 1 unidad. 3. Escribe la ecuación de la curva que pasa por (4, 40) y que sí tiene un valor 7 x4 de b de 44.07 : y  4044. . 0 4. Empieza con la ecuación del paso anterior. Divide el valor x por 3.2 para 7 (x4)3.2 dilatar la gráfica 3.2 unidades horizontalmente: y  4044. . 0

64

CHAPTER 5

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LECCIÓN

Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales y de potencias

CONDENSADA

5.4 En esta lección ●

resolverás problemas de aplicación con funciones exponenciales y de potencias

Los ejemplos en tu libro son aplicaciones de funciones exponenciales y de potencias. En ambos ejemplos, el problema se resuelve al escribir una ecuación y después deshacer el orden de las operaciones. Analiza el Ejemplo A en tu libro. Después lee el texto que le sigue y asegúrate de que entiendes el término asíntota. Lee el siguiente ejemplo. Intenta resolver el problema por tu cuenta, antes de leer la solución.

EJEMPLO A

La empresa Computer Central cerrará sus operaciones en 10 semanas. El dueño desea bajar el precio de cada producto de la tienda por el mismo porcentaje cada semana, de modo que, al final de las 10 semanas, la mercancía restante tenga un valor de 25% de su precio original. ¿En qué porcentaje necesita bajar los precios cada semana para obtener tal resultado?

䊳

Al final de las 10 semanas, el precio de una computadora, originalmente de $1,000, debe reducirse a $250. La tasa de descuento, r, no se conoce. Escribe una ecuación y resuélvela para r.

Solución

250  1000(1  r)10

Ecuación original.

0.25  (1  r)10

Deshace la multiplicación por 1000, dividiendo ambos lados por 1000.

0.25110  (1  r)10 110

Deshace la potencia de 10, elevando ambos lados a la potencia

0.25110  1  r

Usa las propiedades de los exponentes.

r  1  0.25110

Suma r y 0.25110 a ambos lados.

r  0.1294

Usa una calculadora para evaluar 1  0.25110.

1 . 10

El dueño necesita reducir los precios en aproximadamente 13% cada semana. Observa que no importa cuál sea el precio original con que empieces. Por ejemplo, si empiezas con un precio de $2,400, tu ecuación sería 600  2,400(1  r)10. Después de dividir ambos lados por 2,400, tendrías la misma ecuación del segundo paso anterior. El Ejemplo B en tu libro es una aplicación de la forma punto-razón de una ecuación exponencial. Sin embargo, este problema tiene una modificación, la función exponencial debe trasladarse de modo que se aproximea un valor a largo plazo que no sea cero. Resuelve el ejemplo usando lápiz y papel. Después analiza el ejemplo en la página siguiente. (continúa)

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CHAPTER 5

65

Lección 5.4 • Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales y de potencias (continuación) La tabla muestra la cantidad de cloro que hay en la piscina cada cuatro días. Halla una ecuación que modele los datos de la tabla. 0

Día x

300

Cloro (g) y 䊳

Solución

4

8

12

16

20

24

252.20 227.25 214.22 207.43 203.88 202.02

Representa gráficamente los datos. La gráfica muestra una curva, por lo tanto los datos no son lineales. El patrón parece ser una secuencia geométrica decreciente, por lo tanto una ecuación de deterioro exponencial sería el mejor modelo. Sin embargo, observa que el valor a largo plazo parece ser 200, no 0.

y 300

Cloro (g)

EJEMPLO B

La función de deterioro exponencial en forma de punto-razón es y  y1  b xx1. Sin embargo, debido a que esta función a largo plazo se aproxima a cero, debe ser trasladada 200 unidades, para que tenga una asíntota horizontal de y  200. Para hacer esto, sustituye y por y  200. Debido a que el coeficiente, y1, también es un valor y, debe sustituirse y1 por y1  200 para tomar en cuenta la traslación.

250

200 x 0

8

16 24 Día

32

La ecuación punto-razón es ahora y  200  y1  200  b xx1. Para hallar el valor de b, sustituye x1, y1 por el valor de cualquier punto, digamos (20, 203.88), y resuelve para b. y  200   y1  200  b xx1

Ecuación original.

y  200  203.88  200  b x20

Sustituye x1, y1 por (20, 203.88).

y  200  3.88  b x20

Resta lo que está entre paréntesis.

y  200 x20  8 b 3.8

Divide ambos lados por 3.88.

y  200  3.8 8

1(x20)

b

Eleva ambos lados a la potencia para resolver para b.

1  x  20

Ahora tienes b en términos de x e y. Al evaluar b para todos los demás puntos, se obtienen los siguientes valores: Día x Cloro (g) y b

0

4

8

12

16

24

300

252.20

227.25

214.22

207.43

202.02

0.850

0.8501

0.8501

0.8501

0.8501

0.8494

Todos los valores de b se acercan a 0.85, por lo tanto usa tal valor para b. Por consiguiente, un modelo para estos datos es y  200  (203.88  200)  0.85x20, ó y  200  3.88(0.85)x20.

66

CHAPTER 5

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LECCIÓN

Construcción de los inversos de funciones

CONDENSADA

5.5 En esta lección ● ● ●

hallarás los inversos de las funciones aprenderás cómo la gráfica y la ecuación de una función se relacionan con la gráfica y la ecuación de su inverso compondrás una función con su inverso

Mira las dos gráficas al inicio de la Lección 5.5 en tu libro. Esas gráficas representan los mismos datos. Sin embargo, la variable independiente de la gráfica de la izquierda es la variable dependiente de la gráfica de la derecha, y la variable dependiente de la gráfica de la izquierda es la variable independiente de la gráfica de la derecha. Una relación que es resultado de intercambiar las variables independiente y dependiente de una función se llama inverso de la función.

Investigación: El inverso En esta investigación descubrirás cómo se relacionan la ecuación de una función y su inverso. Completa por tu cuenta los pasos de la investigacion y después compara tus resultados con los siguientes. Paso 1

A la derecha se muestran la gráfica y la tabla de f(x)  6  3x.

Para completar la tabla del inverso, completa los valores de f(x) del Paso 1 como los valores de x. Paso 2

x

3

6

9

12

15

y

1

0

1

2

3

Los puntos están en una recta con pendiente _13 e intersección y 2. La recta con la ecuación y  _13 x  2 (o con cualquier ecuación equivalente) pasa por los puntos. Paso 3

Paso 4

i.

A la derecha se muestran la tabla y la gráfica de g(x)   x  1  3. Para completar la tabla del inverso de g(x)   x  1  3, completa los valores de g(x) como los valores de x. x y

3 1

2

1.59

1.27

1

0

1

2

3 (continúa)

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CHAPTER 5

67

Lección 5.5 • Construcción de los inversos de funciones (continuación) La gráfica de los valores inversos de la tabla muestra que los puntos parecen estar en una parábola con vértice (3, 1). La gráfica de la derecha muestra que la ecuación y  (x  3)2  1 se ajusta a los puntos. Tu ecuación debe ser equivalente. ii. A la derecha se muestra la tabla y la gráfica de h(x)  (x  2)2  5. Para completar la tabla del inverso de h(x), escribe los valores de h(x) como los valores de x. x

4

1

4

5

4

y

1

0

1

2

3

Cuando representas gráficamente los valores inversos de la tabla, la gráfica parece mostrar una parábola horizontal. Como los puntos (4, 1) y (4, 3) tienen el mismo valor de x, pero dos valores de y diferentes, esta gráfica no representa una función. Necesitarás usar dos ecuaciones para describir esta gráfica. La mitad inferior de la gráfica puede describirse con una ecuación radical que se refleja verticalmente. El vértice está en (5, 2), por lo tanto, la ecuación es y   x  5  2. Para representar gráficamente la mitad superior, usa la ecuación y   x  5  2. Las gráficas se ajustan a los puntos, como lo puedes ver a la derecha. La gráfica de cada inverso es una reflexión de la función original sobre la recta y  x. Mira la gráfica de f(x)  6  3x y la de su inverso y  _13 x  2 a la derecha. Imagina que y pliegas el plano de coordenadas por la recta y  x. 10 Las gráficas se corresponderían exactamente. Podrías intentarlo sobre papel cuadriculado con cada par de gráficas del Paso 4. 5 Paso 6 Empieza con la función original, f(x)  6  3x. f (x)  6  3x Cambia las variables independiente y dependiente para obtener x  6  3y. Ahora resuelve la ecuación x 6 para y. Debes obtener y  ____ 3 . Puedes verificar con –6 una gráfica o mediante métodos simbólicos que ésta 1 _ es equivalente a la ecuación y  3 x  2. Intenta este método con las ecuaciones del Paso 4. Debes hallar que al cambiar las variables x e y, y al resolver para y, –6 obtienes la ecuación inversa de la ecuación original. Paso 5

y=x

5

10

x

y  (1/3)x  2

Resuelve el problema planteado en el Ejemplo A de tu libro y después lee la solución. Tal vez notaste en la investigación que es posible que el inverso de una función no sea una función. Por ejemplo, el inverso de la función y  (x  2)2  5 es y   x  5  2, que empareja cada valor de x (excepto 5) con dos valores de y. (continúa)

68

CHAPTER 5

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Lección 5.5 • Construcción de los inversos de funciones (continuación) Cuando tanto la función como su inverso son funciones, la función se llama función uno a uno (debido a que hay una correspondencia de uno a uno entre los valores del dominio y los valores del rango). Una función es uno a uno si su gráfica pasa tanto la prueba de la recta vertical como la prueba de la recta horizontal. El inverso de la función f(x) uno a uno se escribe como f 1(x). El Ejemplo B en tu libro ilustra que cuando compones una función con su inverso, obtienes x. El siguiente ejemplo utiliza una función diferente para ilustrar lo mismo.

䊳

EJEMPLO

Considera la función f(x)   x  1  3. Halla f  f 1(x) y f 1( f(x)).

Solución

En la investigación hallaste que f 1(x)  (x  3)2  1. Primero, halla f f 1(x). Dado que f(x) tiene el rango y  3, debes restringir el dominio para f 1(x) a x  3. f  f 1(x) 

(x  3)2  1  1  3 

2  6x  9  3  x

Sustituye x por f 1(x). Desarrolla (x  3)2 y simplifica la expresión que está dentro del signo de la raíz cuadrada.

  (x  3)2  3

Factoriza la expresión que está dentro del signo de la raíz cuadrada.

x33

Porque x  3,  (x  3)2  x  3.

x

Suma.

Ahora halla f 1(f(x)). x  1  3  32  1 f 1(f(x))     x  12  1

Resta.

x11

x  12  x  1 

x

Resta.

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Sustituye x por f(x).

CHAPTER 5

69

LECCIÓN

CONDENSADA

5.6

Funciones logarítmicas

En esta lección ● ●

aprenderás el significado de un logaritmo usarás logaritmos para resolver ecuaciones exponenciales

En la Lección 5.2, resolviste ecuaciones en las cuales x es un exponente. En todas las ecuaciones, pudiste escribir ambos lados con una base común. Desafortunadamente, por lo general esto no es posible. En esta lección, descubrirás un método poderoso para resolver para x en una ecuación exponencial. Este método implica una nueva función llamada logaritmo, cuya abreviatura es log.

Investigación: Exponentes y logaritmos En esta investigación explorarás la conexión entre exponentes de base 10 y los logaritmos. Resuelve por tu cuenta los pasos de la investigación. Después compara tus resultados con los siguientes. A continuación está la gráfica de f(x)  10x, junto con la información acerca de la función.

Paso 1

Dominio Rango Intersección x Intersección y Ecuación de la asíntota

todos los números reales y0 no hay 1 y  0 (eje x).

Recuerda que una vez que hayas completado los valores de salida para la función original, puedes hallar los valores de entrada para el inverso. A continuación están las tablas completas. Paso 2

x

1.5

f (x) x

1

0.032 0.032

f 1(x) 1.5

0.5

0.1 0.1 1

0.316 0.316 0.5

0

0.5

1

1.5

1

3.162

10

31.62

1

3.162

10

31.62

0

0.5

1

1.5

Ingresa los puntos de la tabla inversa en una gráfica de dispersión. Ajusta tu ventana de modo que se puedan ver los siete puntos. A continuación está la gráfica, junto con su tabla de información. Paso 3

Dominio Rango Intersección x Intersección y Ecuación de la asíntota

x0 todos los números reales 1 no hay x  0 (eje y) (continúa)

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CHAPTER 5

71

Lección 5.6 • Funciones logarítmicas (continuación) Este inverso se llama logaritmo de x, o log(x). A continuación están las respuestas para 4a–h. Asegúrate de que puedes hallar estos valores usando tu calculadora. Consulta Calculator Note 5C para aprender cómo trabajar con logaritmos en la calculadora.

Paso 4

a. 101.5  31.6 e. 101.2  15.8

b. log 101.5  1.5 f. log 101.2  1.2

c. log 0.32  0.49 g. loglog 25  25

d. 10log 0.32  0.32 h. log 10 2.8  2.8

Paso 5 Examina las respuestas de b, f y h. Parece que el logaritmo da el exponente en base 10. Por lo tanto, log 10x debe ser x.

Mira las respuestas de d y g. El logaritmo parece “deshacer” el exponente. Por lo tanto, 10log x  x.

Paso 6

Si no pudiste completar estos enunciados por tu cuenta, inténtalo ahora antes de comprobar los siguientes resultados. Puedes verificar estas respuestas con tu calculadora. Paso 7

a. Si 100  102, entonces log 100  2. b. Si 400  102.6021, entonces log 400  2.6021. c. Si 500  102.6990, entonces log 500  2.6990. Paso 8

Si y  10x, entonces log y  x.

Log x es el exponente que colocas en la base 10 para obtener x. Por ejemplo, log 1000  3 porque 103  1000. También puedes hallar logaritmos para otras bases. La base se especifica como subíndice después de la palabra “log.” Por ejemplo, log2 32 es 5, el exponente que tienes que ponerle a 2 para obtener 32. Si no se especifica ninguna base, se supone que log x es el logaritmo base 10 (o sea, log x significa log10 x). Los logaritmos con base 10 se llaman logaritmos comunes. Resuelve la ecuación dada en el Ejemplo A de tu libro y después lee la solución. Luego, lee el párrafo corto que sigue al Ejemplo A y la definición de logaritmo. El Ejemplo B muestra cómo usar logaritmos para resolver una ecuación exponencial cuando la base no es 10. Léelo atentamente y asegúrate de comprender cada paso de la solución. Verifica tu comprensión resolviendo la ecuación del siguiente ejemplo.

䊳

EJEMPLO

Resuelve 7x  211.

Solución

Vuelve a escribir cada lado de la ecuación como una potencia de base 10. 7x  211

10log 7x  10log 211 log 7  x  log 211 log 211  x log 7 x  2.7503

Ecuación original. Usa el dato que a  10log a. Usa la propiedad de la igualdad de las bases comunes. Divide ambos lados por log 7. Usa una calculadora para comprobarlo.

Mira la ecuación original, 7x  211, del ejemplo anterior. La solución de esta ecuación es el exponente que tienes que poner en 7 para obtener 211. En otras log 211  palabras, x  log7 211. El cuarto paso de la solución indica que log7 211   log 7 . Esto ilustra la propiedad del cambio de bases de los logaritmos. Lee acerca de esta propiedad en tu libro. Después analiza el Ejercicio C en tu libro. 72

CHAPTER 5

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LECCIÓN

CONDENSADA

5.7

Propiedades de logaritmos

En esta lección ● ●

usarás logaritmos como ayuda para hacer cálculos complejos explorarás las propiedades de los logaritmos

Lee el primer párrafo de la lección en la página 293 de tu libro. Después, lee el ejemplo, resolviéndolo con lápiz y papel. Las soluciones de las tres partes consideran el hecho de que m  10log m. El siguiente ejemplo te dará más práctica. Resuelve cada parte por tu cuenta antes de leer la solución.

EJEMPLO

Convierte los números en logaritmos para resolver estos problemas. a. Halla 37.678  127.75 sin usar la tecla de multiplicación de tu calculadora. 37.678 b. Halla _____ 127.75 sin usar la tecla de división de tu calculadora.

c. Halla 9.31.8 sin usar la tecla de exponenciación de tu calculadora. 䊳

Solución

a. 37.678  127.75  10log 37.678  10log 127.75  10log 37.678  log 127.75  4813.3645 37.678 b. _____ 127.75 

10log 37.678  10log 127.75 1.3

c. 10log 9.3

 10log 37.678log 127.75  0.2949

 10(log 9.3)1.3  18.1563

Antes de que hubiera calculadoras, las personas hacían cálculos como los anteriores usando tablas de logaritmos base 10. Por ejemplo, para hallar 37.678  127.75, buscaban log 37.678 y log 127.75, y sumaban esos números. Después, resolvían en sentido inverso para hallar el antilog, o antilogaritmo, de la suma. El antilog de un número es 10 elevado a ese número. Por ejemplo, el antilog de 3 es 103, ó 1000.

Investigación: Propiedades de los logaritmos En esta investigación explorarás las propiedades de los logaritmos. Completa la investigación. Después, compara tus resultados con los siguientes. Paso 1

A la derecha está la tabla completa.

Paso 2

Éstas son seis respuestas de muestra. Puedes hallar otras.

log 2  log 3  log 6

log 2  log 5  log 10

log 2  log 6  log 12

log 2  log 8  log 16

log 3  log 5  log 15

log 3  log 9  log 27

Paso 3

La suma de log a y log b es igual al logaritmo del producto

de a y b. Paso 4

Éstas son tres respuestas posibles. Puedes hallar otras.

log 9  log 10  log 90

log 3  log 10  log 30

log 8  log 9  log 72

Puedes representar el patrón con la ecuación: log a  log b  log ab.

Forma Logaritmos decimal Log Log Log Log Log Log Log Log Log Log Log Log

2 3 5 6 8 9 10 12 15 16 25 27

0.301 0.477 0.699 0.778 0.903 0.954 1.000 1.079 1.176 1.204 1.398 1.431 (continúa)

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CHAPTER 5

73

Lección 5.7 • Propiedades de logaritmos (continuación) Éstas son seis respuestas de muestra. Hay muchas otras. Intenta hallar algunas más. Paso 5

log 6  log 2  log 3

log 6  log 3  log 2

log 10  log 2  log 5

log 10  log 5  log 2

log 12  log 2  log 6

log 15  log 3  log 5

Puedes representar el patrón con la ecuación: log a  log b  log _ab . Paso 6

Éstas son cuatro respuestas posibles. Puedes hallar otras.

3 log 2  log 8

3 log 3  log 27

4 log 2  log 16

2 log 5  log 25

Puedes representar el patrón con la ecuación b log a  log ab. Paso 7 Como los logaritmos son exponentes, tienen propiedades similares a las de los exponentes que ya estudiaste. Por ejemplo, la propiedad que descubriste acerca de la suma de logaritmos, log a  log b  log ab, se relaciona con la propiedad del producto de los exponentes: am  an  am+n. ¿Qué otras conexiones puedes hallar entre las propiedades de los logaritmos y las propiedades de los exponentes?

Las propiedades de los exponentes y de los logaritmos se resumen en la página 296 de tu libro. Léelas atentamente.

74

CHAPTER 5

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LECCIÓN

CONDENSADA

5.8

Aplicaciones de logaritmos

En esta lección ● ●

usarás logaritmos para resolver problemas reales que se pueden modelar con ecuaciones exponenciales usarás una técnica llamada rectificación de curvas para determinar si una relación es exponencial

En esta lección usarás lo que has aprendido acerca de los logaritmos y sus propiedades para resolver problemas. Primero, analiza el Ejemplo A en tu libro. El quinto paso de esa solución implica sacar el logaritmo de ambos lados de la ecuación. Es importante recordar que sólo puedes sacar el logaritmo de ambos lados si sabes que el valor de cada lado es positivo. (La función del logaritmo no se define para cero ni para números negativos.) El siguiente ejemplo te muestra cómo resolver el Ejercicio 5c en tu libro. Intenta resolver el problema por tu cuenta antes de mirar la solución.

䊳

12,000

EJEMPLO

La ecuación f(x)  ___________ da las ventas totales x días después del 1  499(109)x lanzamiento de un nuevo juego de video. ¿Qué día se vendieron 6,000 juegos?

Solución

Sustituye f(x) por 6000 y resuelve. 12,000 6,000  ______________ 1  499(109)x 6,000 1  499(1.09)x  12,000 4991.09x  1 1  1.09x   499 1  x(log 1.09)  log  499 

Ecuación original. Multiplica ambos lados por 1  499(1.09)x. Divide ambos lados por 6,000 y luego resta 1 de ambos lados. Divide ambos lados por 499. Saca el logaritmo de ambos lados.

1 1  x   log 1.09  log  499 

1  Multiplica ambos lados por  log 1.09 .

x  72.1

Comprueba con una calculadora.

Se vendieron seis mil juegos 72 días después del lanzamiento. El Ejemplo B en tu libro ilustra una técnica llamada rectificación de curvas. Analiza este ejemplo resolviéndolo con lápiz y papel. La rectificación de curvas también se usa en la investigación. (continúa)

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CHAPTER 5

75

Lección 5.8 • Aplicaciones de logaritmos (continuación) Investigación: Enfriamiento Lee el Paso 1 de la investigación en tu libro. Si dispones de un sensor de temperatura, puedes reunir tus propios datos. Si no lo tienes, usa los siguientes datos de muestra. Paso 1

Sea t el tiempo en segundos y sea p la temperatura del sensor en °C. Dibuja una gráfica de cómo supones que serán los datos (t, p). Paso 2

Completa el Paso 3 en tu libro. A continuación hay una tabla y una gráfica con datos de muestra. Paso 3

Tiempo (s) t

Temperatura (°C) p

Tiempo (s) t

Temperatura (°C) p

0

29.7495

90

23.8745

10

28.87

100

23.6245

20

27.4995

110

23.3745

30

26.4995

120

23.187

40

25.812

130

22.9995

50

25.312

140

22.812

60

24.8745

150

22.687

70

24.437

160

22.562

80

24.062

170

22.437

180

22.312

La gráfica muestra un deterioro exponencial y el límite parece ser 22°. Si 22° es el límite, entonces una ecuación de la forma p  22  abt, ó p  22  ab t, modelará los datos. Al sacar el log de ambos lados obtienes log(p  22)  log a  t  log b, que es una ecuación lineal. Por lo tanto, si el límite es 22°, entonces la gráfica de log(p  22) será lineal. Resta 22° de cada temperatura y representa gráficamente (t, log(p  22)). Si estás usando tus propios datos, podrías borrar cualquier valor repetido al final de tu conjunto de datos. La representación gráfica de los datos de muestra da el siguiente diagrama que parece ser lineal. Por consiguiente, 22° es el límite.

Paso 4

(continúa)

76

CHAPTER 5

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Lección 5.8 • Aplicaciones de logaritmos (continuación) Ahora necesitas hallar una ecuación que modele los datos. Usa la recta mediana-mediana. Paso 5

yˆ  0.007x  0.88 log(p  22)  0.007t  0.88 p  22  100.007t0.88

Recta mediana-mediana para los datos de (t, log(p  22)). Sustituye y por log(p  22) y x por t. Definición de logaritmo.

p  100.007t0.88  22

Suma 22 a ambos lados.

p  100.007t  100.88  22

Propiedad de multiplicación de los exponentes.

p  100.007t  7.58  22

Comprueba

p  100.007t  7.58  22

Propiedad de las potencias de los exponentes.

p  0.98t  7.58  22

Comprueba 100.007.

yˆ  22  7.58(0.98)x

Vuelve a escribir de la forma y  k  ab x.

100.88.

Puedes usar una calculadora para verificar el ajuste.

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