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Capitulo VI: Funciones . Funciones o Aplicaciones: Ejemplo de función: Sean: A = { 1, 2, 3 }

B = { a, b, c, d, e }

F = { (1;a) (2;b) (3;e) } es una función de A en B, porque a cada elemento de A, le corresponde uno y solamente uno de B. A f B A B f 1 a x f(x) =y 2 b 3

c e

•

Definición: Dados dos conjuntos no vacíos A y B y una relación F ⊂ A x B entonces se define: F es una función de A en B ⇔ para cada elemento “x” de A existe a lo más un elemento “y” de B que le corresponde a “x”. Desde: A = es el conjunto de partida. B = es el conjunto de llegada. x = es preimagen o variable independiente. y ó f(x) es imagen de x o variable dependiente. El ejemplo siguiente no es función: f = { (1,a), (2,c), (2,d) } Porque al 2 le está correspondiendo dos elementos de B. A

B

1

a

2

b

3

c d e

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN Ejemplo: Sea f = { (1,a), (3,e) } Conjunto de partida : A = { 1, 3 } Conjunto de llegada

:

B = { a, e }

Dominio de f

:

Dom f = { 1, 3 }

Rango de f

:

Ran f = { a, e }

Entonces el dominio de la función f AxB es el conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de f y el rango, es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de f.

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Aplicación: •

Definición: Se llama aplicación de A en B, a toda función de A en B, donde el dominio de la función coincide con el conjunto de partida A. Dicho de otro modo, si de todo elemento “x” de A, sin excepción tienen una imagen “y” en B, aunque el Rango de f no coincida con B, se denota por: Ejemplo: A

f

B F:A

B

A

B

2

1

2

1

4

3

4

3

6

5

6

5

8

7

8

7

10

10

No es aplicación Porque Dom f ≠ A

Si es función y aplicación Porque Dom f = A

Toda aplicación es una función y toda función no siempre es aplicación.

Funciones Inyectivas, Suryectivas y Biyectivas: Ejemplo: En f = { (1;3), (2;4), (3;1), (4;2) } ¡Es uno a uno! Es inyectiva 1 2 3 4

3 4 1 2

•

Inyectiva: Sean f:A Æ B/y = f(x), una función. Se dice que f es inyectiva o uno a uno si cumple que para elementos diferentes en el dominio de A, las imágenes son también diferentes en B. A C Este ejemplo no es Inyectiva: g = { (a;c), (d:c), (e;c) } D E Porque en esta función a los elementos de a, d, e tienen una misma imagen; no es uno a uno.

•

Suryectiva o Sobreyectiva: Sea f : A Æ B / R(f) = B Ejemplo: Si: A = { 1; 2; 3; 4; 5 } y B = { 2; 3; 4; 5 } F = { (1;2), (3;3), (2;5), (4;3), (5;4) } A

B f

1 2 3 4 5

2 3 4 5

Ran f = B

Analizando el Ran f = { 2; 3; 4; 5 } es igual que el conjunto de llegada B, entonces f es una función suryectiva. •

Biyectiva: Sea f: A Æ B/y = f(x) una función. Se dice que f es una función biyectiva ó una correspondencia biunívoca, si f es inyectiva y suryectiva. A B

f

1 2 3 4

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a b c d

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Composición de Funciones: Ejemplo: f Si:

f:x g: x

x-3 x–1

f x 2 5 6

x

g x3

x3-1

g g(f(x)) = f (x) - 1

f(x)

x3

x3 6 15

-1

x3 5 14

18

17

gof = 3x - 1 •

Definición: Sean las aplicaciones: f:A

B

y

g:B

C

Tales que para x ∈ A la aplicación f le hace corresponder f(x) IB y para f(x) IB la aplicación g le hace corresponder g [ f (x) ] ∈ C. Si para cada x ∈ A le hacemos corresponder el elemento g [ f (x) ] ∈ C se obtiene una aplicación: H:A

C

que recibe el nombre de aplicación o función compuesta de f y g, y se denota con gof: x

f (x)

g [ f (x) ]

gof

Función Inversa: Ejemplo: Sea: Su inversa: •

f = { (1;3), (2;4), (3;5) } f-1 = { (3;1), (4;2), (5;3) }

Definición: Dada una función biyectiva f : A Æ B, se llama inversa de f, aquella denotada por f-1 : B Æ A.

Aplicación: 1)

2)

Si R = { (1;2), (2;2), (3;7) } es una función, su dominio = { 1;2;3 }, su rango = { 2; 7 } la función no es Inyectiva porque: A R B Como observamos que para 1 y 2 de A le corresponde 2 la única imagen 2 d B, no es uno a uno. 1 7 2 La ecuación y = 2x + 4 define una función y es inyectiva porque: 3 R Si x = 0; y = 4 0 4 x = 1; y = 6 x = 2; y = 8 1 6 2

3)

Sea g (x) = 1 – x2 entonces

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g (x) = 1 – (4)2 g (x) = 1 – 16 g (4) = -15

8

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4)

Indicar si cada relación es o no función: R1 Dominio Rango -1 1 Sí 0 2 Sí 1 3 R3 Dominio 1 No 3 5 R5 Dominio -1 Sí 0 1 2

Rango 3 5 7 9 Rango

No

3

Sí

y

R2 Dominio 2 4 6

Rango 1 3 5

R4 Dominio -1 -2 -3

Rango 0 5 8

R6 Dominio 2 3 4 5

Rango 8

y

x

9

y

x

Sí R7

x

No R8

No R9

Función Real: Una función recibe este nombre, cuando el dominio Dom (f) y el Ran (f) son conjunto de números reales (R). Ejemplo: F = { ( 7,4), (9,-6), (5, •

2 ), (π, 1/5) }

Función Polinómica: Su notación es: F = { (x,y) ∈ R2/y = a0 + a1x + a2x2+ a3x3+ ... anxn } Donde a0, a1, a2, a3, ... an son coeficientes

•

Función Lineal: Su notación es: F = { (x,y) ∈ R2/y = ax + b } a ≠ 0 Su gráfico es una línea recta. Ejemplo: Graficar y = 2x + 1 Si x = 0 ; y = 1 Si y = 0 ; x = -½ Con estos dos puntos pertenecientes a la recta trazamos su gráfica:

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x -½

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•

Función Identidad: Su notación es: y = x La gráfica, es una recta que forma un ángulo de 45° con el eje x de abcisas. Ejemplo: Si y = x 5 Si Si Si Si

x y y y

= = = =

0 1 5 -5

⇒ ⇒ ⇒ ⇒

y= x= x= x=

0 1 5 -5

-5

5 -5

•

Función Constante: Su notación es: y = b La gráfica es una recta paralela al eje x de abscisas. El punto b es cualquier número real representado sobre el eje Y de ordenadas. Ejemplo: Si y = 5 Si x = 0 ⇒ y = 5 Si y = 1 ⇒ y = 5 Si y = 2 ⇒ x = 5 Si y = -1 ⇒ x = 5 Si y = -2 ⇒ x = 5

•

y y=5

-2

-1

1

2

x

Función Cuadrática: Su notación es: F = { (x,y) ∈ R2/y = ax2 + bx + c }; a ≠ 0 Su gráfico es una línea curva llamada parábola. Ejemplo: y = 2x2 + 4x + 5 Si x = 0 y y y y Si x = 2

= = = =

y

y = 2(2)2 + 4(2) + 5 y = 2(4) + (8) + 5 y = 21

Si x = -1 y y y y Si x = -2

2(0)2 + 4(0) + 5 2(0) + (0) + 5 (0) + (0) + 5 5

= = = =

2(-1)2 + 4(-1) + 5 2(1) - (4) + 5 2–4+5 3

-2

-1

1

x

y = 2(-2)2 + 4(-2) + 5 y = 2(4) + (8) + 5 y=5

Si a > 0 entonces la parábola se abre hacia arriba. Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo. El discriminante (D) es igual: b2 – 4ac El vértice V de la parábola tiene como coordenadas: V (b/2a: -D/4a)

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•

Función Valor Absoluto: Su notación es:

y

F = { (x,y) ∈ R2/ y = | x | } x si x > 0 Sabiendo que: | x | = -x si x < 0 Entonces la gráfica es: x Valores Negativos

Valores Positivos

DOM (F) = R RAN (F) = [0;∞> •

Función Máximo Entero: Su notación es: F = { (x,y) ∈ R2/ y = x } x

significa “máximo entero no mayor que x”

Ejemplos: a) 6,9 = 6

b) –10,31

= -11

c)

0,0715 4

Para n ∈ Z se tiene que: n < x < n + 1 entonces

x

3

=n

2

Su Dom (f) = R; Ran (f) = Z

y= x =

=0

2;

Si 2 < x < 3

1;

Si 1 < x < 2

0;

Si 0 < x < 1

-1;

Si -1 < x < 0

-2;

Si -2 < x < -1

1 -3

-2

-1

1

2

3

-1 -2

•

-3 Función Par: Es una función cuya gráfica es simétrica con respecto al eje vertical.

•

Función Impar: Es una función cuya gráfica es simétrica con respecto al origen. Ejemplos: Las funciones constantes son pares Las funciones cuadráticas son pares Las funciones identidad son impares Las funciones cúbicas son impares y

y

x x Función Par (Simétrica con respecto al eje vertical)

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Función Impar (Simétrica con respecto al origen)

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Función Raíz Cuadrada: Es una función definida por definida por: f(x) = Ejemplo: X

y=

0 1 4 9 16

y= 0 y= 1 y= 4 y= 9 y = 16

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x

Si x > 0 (0;0) (1;1) (4;2) (9;3) (16;4)

x ó

y = x; si x > 0

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Ejercicios 1. Si f es una función real de variable real tal que: f ( x – 1 ) = x2 + 2x – 3 , hallar f ( 2x + 1 ) Solución: (1)

Primer Método: Haciendo el cambio de variable: x–1=u

Æ x = 1 + u2

Si f ( x – 1) = x2 + 2x – 3 Æ f (u) = (1 + u2) 2 + 2 (1 + u2) – 3 = u4 + 4u2 Haciendo ahora que: u = f( (2)

2.

2x + 1 ) = (

2x + 1 , se tiene:

2x + 1 ) 4 + 4 (

2x + 1 ) 2 = 4x2 + 12x + 5

x – 1 ) = x2 + 2x – ↓ ↓ ↓ 2x + 2 2x + 2 2x + 2

Segundo Método: f (

3

Entonces: f (

2x + 2 – 1 ) = (2x + 2)2 + 2 (2x + 2) – 3

De donde: f (

2x + 1 ) = 4x2 + 12x + 5

Si A={x/x ∈ Z | x2 < 50} y f: A Æ R donde f(x) = (x – 1) 2, x ∈ A. Hallar el valor de verdad de las afirmaciones siguientes: i. ii. iii.

Existe un único valor x0 tal que: f(x0) = 36 f (2 + f (0)) = 4 la solución de f (x+8)=f (- x – 8) está en el conjunto A. Solución: b.

Si f(x) = (x – 1)2 Æ f (x0) = (x0 – 1)2 = 36 De donde: x0 - 1 = 6 ó x0 – 1 = -6 ↔ x0 = 7 ó x0 = -5 Vemos que x0 no es único, por lo tanto, la afirmación es falsa.

c.

(f0) = (0 – 1)2 = 1 Æ f (2 + f(0)) = f (2+ 1) = f (3) = (3 – 1) Luego, la afirmación es verdadera.

d.

3.

2

=4

Si f (x + 8) = f (- x – 8) Æ (x + 8 – 1)2 = (- x – 8 – 1)2 Æ (x + 7) 2 = (x + 9) 2 De donde: x = -8 ∉ A. Luego, la afirmación es falsa.

Sea A={X|X es una proposición}. Se define la función: f: AÆR por: 1, si x es V f(x) = 0, si x es F Según esto, de las siguientes afirmaciones ¿cuáles son verdaderas? (1) f (p ∧ q) = f (p). f (q) (2) f (∼p) = 1 – f (p) (3) f (p Æ q) = 1 – f (p) + f (q) – f (∼p) f (q) Solución: (1) Supongamos que V (p) = V y V (q) = V Æ f (p ∧ q) = f (V ∧ V) = f (V) = 1 ∴ f (p ∧ Si V (p) = V y V (q) = F Æ f (p) = 1 y f (q) f (p ∧ q) = f (V ∧ F) = f (F) = 0 ∴ f (p ∧ Luego, la afirmación es verdadera.

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f (p) = 1 y f (q) = 1 q) = f (p) . f (q) = 0 Æ f (p). f (q) = 0 q) = f (q) . f (q)

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” (2) Si V (p) = V Æ f (∼p) = f (F) = 0 y 1 - f (p) = 1 – 1 = 0 ∴ La afirmación es verdadera. Luego, f (∼p) = 1 – f (p) (3) Si V (p) = V , V (q) = V Æ f (p Æ q) = f (V) = 1 1 – f (p) + f (q) – f (∼p) . f (q) = 1 – 1 + 1 – (0) (1) = 1 Si V (p) = V, V (q) ) F Æ f (p + q) = f (F) = 0 1 – f (p) + f (q) – f (∼p) . f (q) = 1 – 1 + 0 – (0) (0) = 0 Luego, la afirmación es verdadera. Por lo tanto, todas las afirmaciones son verdaderas. 4.

Sea f una función de N en N tal que: f (x) = 2x + 3. Hallar el valor de verdad de cada afirmación. i. ∀y ∈ N, ∃x ∈ N | f (x) = y ii. Si f (ax) = af (x) y f (b + x) = (b+2) + f (x), ∀x ∈ N Æ a + b = 3 iii. Si f (a) = f (b), entonces a = b Solución: (1) Si y = 0 ∈ N Æ 0 = 2x + 3 ↔ x = -3/2 ∉N y = 1 ∈ N Æ 1 + 2x + 3 ↔ x = -1 ∉N Luego, ∃x ∈ N, ∀y ∈ N | y = 2x + 3 ∴ La afirmación es falsa. (2) Si f (ax) = af (x) Æ 2ax + 3 = a (2x + 3), de donde: a = 1 f (b + x) = 2 (b + x) + 3 = 2x + 2b + 3 Si f (b + x) = (b + 2) + f (x) Æ 2x + 2b + 3 = b + 2 + 2x + 3, de donde: b = 2 Luego: a + b = 3 ∴ La afirmación es verdadera. (3) Si f(a) = f(b) Æ 2a + 3 = 2b + 3 ÅÆ a = b Luego, la afirmación es verdadera.

5.

Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la función: f (x) =

x2 – 3x – 4

Solución: Si f es una función real, entonces: x2 – 3x – 4 > 0 Æ (x – 4) (x + 1) > 0 ÅÆ (x > 4 ∧ x > -1) ∨ (x < 4 ∧ x < -1) ÅÆ (x > 4) ∨ (x < -1) ∴ Dom (f) = Para hallar el rango despejamos x = f (y) y2 = x2 – 3x – 4

25 + 4y2 2 Entonces: ∃x ÅÆ (y > 0) (25 + 4y > 0) ÅÆ (y > 0) ∧ (R) ∴ Ran (f) = [ 0 , + ∞ > +

x =

3±

y

1

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0

4

x

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Hallar el rango y trazar el gráfico de la función: f (x) = |x – 1| + |x - 2| Solución: Por definición de valor absoluto: (x – 1) , si x > 1 |x - 1| =

(x – 2) , si x > 2 ; |x – 2| =

-(x – 1), si x < 1

-(x – 2), si x < 2

Si x < 1

Æ |x – 1| = - (x – 1) y |x – 2| = - (x – 2) Æ f (x) = - (x - 1) – (x – 2) = 3 – 2x

1 2

f (x) =

1 0

1

2

x

Graficando f en cada intervalo encontramos que: Ran(f) = [1 , + ∞ > 7.

Sean f y g dos funciones definidas por: x2 – 4 y g={ (-1, -2

f (x) =

2), (2,-1), (4,

5), (3,4), (7,

5). Hallar fog.

Solución: El rango de la función de partida es: Ran(g) = { -2 2, -1, f es real ÅÆ x2 – 4 > 0 ÅÆ x2 > 4 ÅÆ x > 2 ó x < 2

5,4}

Luego: Dom(f) = Entonces: Ran (g) ∩ Dom (f) = (-2

2,

5, 4)

Hallemos los pares ordenados de f para: x=-2 x=

2 Æy=

5

x=4 ∴ f = { (-2

(-2

2 )2 + 4 = 2 5 )2 – 4

Æy=

(

Æy=

( 4 )2 - 4

2, 2), (

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5, 1), (4, 2

= 1 =2

3

3)]

Æ

(-2

Æ

(

Æ

(4, 2

2, 2) ∈ f

5 , 1) ∈ f 3)∈f

UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” Entonces, si: (1, -2

2 ) ∈ g ∧ (-2

(4, 5 ) ∈ g ∧ (

5, 1)

(7, 5 ) ∈ g ∧ (

Æ

(1,2) ∈ fog

∈f

Æ

(4,1) ∈ fog

Æ

(7,1) ∈ fog

Æ

(3,2 3 ) ∈ fog

5, 1) ∈ f

(3, 4 ) ∈ g ∧ (4 , 2

3) ∈ f

∴ fog = { (1,2), (4,1), (2,1), (3, 2 8.

2, 2) ∈ f

Sea f: R Æ R definida por: f(x) =

3 )} 1 , hallar el rango y |x-1| - |x-2|

trazar el gráfico de f. Solución: Por definición de valor absoluto: (x – 1) , si x > 1 |x - 1| =

(x – 2) , si x > 2 ; |x – 2| =

-(x – 1), si x < 1

-(x – 2), si x < 2

Si x < 1 Æ f(x) =

1 = -1 - (x-1) + (x-2) 1 < x < 2 Æ f(x) = 1 = (x-1) + (x-2) x > 2 Æ f(x) = 1 = -1 - (x-1) + (x-2)

-1 2x-3

En el intervalo [1,2> la gráfica de f presenta una asíntota: x = 3/2; por lo que la curva se extiende encima de la recta y = 1 y debajo de la recta y = -1. Por lo tanto: Ran(f) =

-2

∪ |x| - x Solución: a.

Si x > 0 Æ |x| = x, entonces: f1(x) =

2–x x– x

, x ∈ [0,4>

Para intervalos de longitud unitaria, en [0,4], se tiene:

b.

0 f2 (x) = x, x ∈ [3,7> g1 (x) = x-3, x ∈ [2,5> g2 (x) = 4, x ∈ [5,7>

= { x ∈ R | x ∈ Dom (g1) ∧ g1 (x) ∈ Dom (f1) } = x ∈ [2,5> ∧ (x-3) ∈ [1,3> = (2 < x < 5) ∧ ( 1 < x – 3 < 3) = (2 < x < 5) ∧ ( 4 < x < 6) = [4,5> ∴ (f1og1) (x) = f1 (x-3) = (x-3) + 3 = x, x ∈ [4,5>

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(2)

Dom (f1og2)

= { x ∈ R | x ∈ Dom (g2) ∧ g2 (x) ∈ Dom (f1) } = x ∈ [5,7 > ∧ 4 ∈ [1,3> = [5,7> ∩ Φ = Φ

∴ (f1og2) (x) no está definida. (3)

Dom (f2og1)

= = = =

{ x ∈ R | x ∈ Dom (g1) ∧ g1 (x) ∈ Dom (f2) } x ∈ [2,5 > ∩ (x-3) ∈ [3,7> (2 < x < 5 ) ∩ (3 < x-3 < 7) (2 < x < 5 ) ∩ (6 < x < 10) = 0

∴ (f2og1) (x) no está definida. (4)

Dom (f2og2)

= { x ∈ R | x ∈ Dom (g2) ∧ g2 (x) ∈ Dom (f2) } = x ∈ [5,7 > ∩ 4 ∈ [3,7> = x ∈ [5,7 > ∩ x ∈ [3,7> = [5,7>

∴ (f2og2) (x) = f2(4) = (4) 2 = 16, x ∈ [5,7> Por lo tanto, de (1) y (4): (fog) (x) =

x, si x ∈ [4,5> 16, si x ∈ [5,7>

13. Si f(x) = x2, hallar dos funciones g para los cuales: (fog) (x) = 4x2 – 2x + 9 Solución: Tenemos: f [g(x)] = 4x2 – 12x + 9 y f (x) = x2 Haciendo u = g (x) Æ f(u) = 4x2 – 12x + 9

(1)

Pero si: f (x) = x2 Æ f (u) = u2

(2)

De (1) y (2) se deduce que: u = 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3) 2 ÅÆ u = 2x – 3 ∴ g(x) = 2x – 3

ó

ó

u = - (2x – 3)

g(x) = 3 – 2x

14. Sea la función: f(x) = 3x +

x2 + 7, x ∈ [

2,3]

Hallar: f*(x) , función inversa de f. Solución: x ∈ [ 2, 3] f(k) = y Æ y = 3x +

x2 + 7

Si x ∈ [ 2, 3] se cumple que: 2 ;

g(x) =

x2– 4x+ 8 ;

Dg = [ 0,2 > Determinar g o f. Solución: En primer lugar determinamos el dominio de gof definido por: Dgof = { x / x ∈ Df tales que f(x) ∈ Dg } Esto lo podemos expresar de la siguiente manera:

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2

x

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Dg (f(x)) = { x / x ∈ [ 0,6 > tales que x+1 ∈ [ 0,2 > } x+2 De la definición de Dg( f(x) ), como ∀ x ∈ [ 0,6 > Se cumple lo siguiente: x+1 x+2

∈

[ 0,2 >

Æ

Dg (f(x)) = [ 0,6 >

∴ La función compuesta será: gof

=

x+1 x+2

2

–

4

x+1 x+2

+ 8

Efectuando operaciones dentro del Radical se tendrá lo siguiente: gof

=

5x2 + 22x + 25 x+2

………… x ∈ [ 0,6 >

20. Sea una función “f” definida de la siguiente manera: f(x) =

4 – x2

si x < 1

………………… (1)

2 + x2

si x > 1

………………… (2)

Hallar el Dominio, el Rango y trazar la gráfica de la función f. Solución: a)

El dominio es R puesto que x toma primeramente valores menores o iguales que “UNO”, y luego mayores que “UNO”.

b)

Cálculo del Rango. De (1): x < 1 Æ x puede tomar valores positivos o negativos. Æ Si x es negativo: x < 0 Æ x2 > 0 ∴ 4 – x2 < 4 ……………… (I) ó si “x” es positivo Æ 0 < x < 1 3 < 4 – x2 < 4 ………… (II) De (2): x > 1 Æ 2 + x2 > 3 ……………… (III) Uniendo las posibilidades de (I), (II), (III) El Rango de “f” es Rf = R. Luego la gráfica será: y = 2 + x2

3

0

1 y = 4 - x2

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21. Hallar el Dominio y Rango de la función “g”, cuya Regla de Correspondencia es: g (x) =

2x x2 - 9

Solución: Indudablemente que x2 – 9 ≠ 0 (La división entre “0” no está definida) y toda expresión subradical debe ser (+): > 0 2x x2 - 9 Æ 1) x2 – 9 > 0 y 2x > 0 x>3

Æ ó

x < -3

y x > 0 de donde se tiene que: x ∈ < 3, ∞ > ………………… (I) ó 2) x2 – 9 < 0 Æ

y 2x < 0

x -3

y x < 0 de donde: x ∈ < -3,0 ] ………………… (II) De (I) y (II): Dg =

< -3,0 ] ∪ < 3, ∞ >

Para hallar el Rango, igualamos toda la expresión a un “k” genérico, k ∈ R. g (x) =

=

2x x2 - 9

k

Æ

2x = k2 (x2 – 9)

Æ k2x2 – 2x – 9k2 = 0 de donde: x =

2±

4 + 36k4 2k2

Como g(x) es una función real de variable real: Æ x ∈ R y el discriminante debe ser (+) Æ 4 + 36 k4 > 0 lo cual cumple ∀ k ∈ R. Pero como en el cálculo se considera que: a >0 y- a

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22. Si g(x) =

x 1 + |x|

;

h(x) =

x _ 1 - |x|

Hallar (hog), la Regla de Correspondencia y el Dominio de hog. Solución: Se tiene que: h = { (x, h(x) ) / x ∈ Dh } hog = { (x, (hog)(x) ) / x ∈ Dhog } ∴ hog = { (X, H (g(x)) / x ∈ Dg } Æ h(g(x)) = h

x 1 + |x|

Y como 1 + |x| > 0 Æ h(g(x)) =

x 1 + |x| 1x _ 1 + |x|

=

_

∀ x ∈ R | 1 + |x| | = 1 + |x|

x 1 + |x| - |x|

Æ

h (g (x) ) = x ∀ x ∈ R

∴ hog = { (x, x) / x ∈ R } Æ hog = { (x,x) / x ∈ R } Regla de Correspondencia: (hog) (x) = x Dominio de hog = Dhog = R 23. Hallar el Dominio y Rango de la función f cuya Regla de Correspondencia es: | x2 – 4x + 4 | x2 + 4

f(x) = Solución: f(x) =

| ( x – 2 )2 | = x2 + 4

(x – 2) x2 + 4

2

Como se puede observar no hay restricciones para los valores de “x”; pues para ningún x ∈ R. x2 + 4 = 0 ∴ Df = R Para hallar el Rango, igualamos f(x) en un “k” genérico. Æ (x – 2) 2 = k Æ (k-1) x2 + 4x + 2 (k-1) = 0 x2 + 4 Æx =

-4 ±

16 – 16 (k-1)2 2 (k-1)

Y como “x” debe pertenecer a los reales el discriminante debe ser (+) Æ 16 – 16 (k-1) > 0 k(k-2) < 0 k ∈ [0,2] ∴ Rf = [0,2]

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Ejercicios Propuestos 1.

Sean A: { 4, 5 , 6 , 7 , 8 } y B = { 1, 2, 3, 4}. Definimos las relaciones: R = { (x,y) ∈ A x B / x + y < 7 }; S = { (x,y) ∈ A x B/x2 + y2 < 36} Indicar la verdad o falsedad de las siguientes afirmaciones: I) Si C = {x ∈ A/ (x,1) ∈ R}, entonces card (C) = 2 II) Si D = {y ∈ B/ (4,y) ∈ S}, entonces card (D) = 4 III) card (C∪D) = 6 Rpta: FVV

2.

Sean:

A = { (x,y)/ ∈ R2 / 4x2 + y2 = 43 } B = { (x,y) ∈ R2 / x2 + y2 – 16 = 0 }

Hallar card (C), donde: C = { (x,y) ∈ R2 / (x,y) ∈ A ∩ B} Rpta : card (C) = 4 3.

Dada la relación R = { (x,y) ∈ R2 / x2 + y2 < 100, x < ¾ y } Hallar: Dom(R), dando como respuesta la suma de los extremos finitos del intervalo solución. Rpta: -4

4.

Dada la relación S={(x,y) ∈ Z x Z / x2 + y2 < 25, y > x } Hallar card (S) Rpta: 44

5.

Dadas las relaciones: R = { (x,y) ∈ R2 / y > 0}, y T = {(x,y) ∈R2/ y < x}

S = {(x,y) ∈R2/ x< 2}

Hallar el área de la región determinada por R ∩ S ∩ T Rpta: Area = 6.

2u2

Sea: f(x+3) = f(x) + f(3), f(0) = 0, f(3) ≠ 0, x ∈ R Decir el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I) II) III)

f(3) = -f(-3) f(6) = 6 f (3) f(27) / f(3) = 9

Rpta: VVV 7.

Dada la función: f(x) = x - |x| Dom f x Rpta: {2}

8.

Sea f(x) = x + 7 – Rpta: [-7,-2] ∩ [- 5,

9.

Dada la función: f(x)= -3 + Hallar: [0, Rpta: [0,

∩ Ran f

-x – 2 una función. Hallar Domf ∩ Ranf 5 ] = [5, -2 ] x2 – 4x + 5 ,

x ∈ [-2,6]

17 + 1 ] ∩ Ranf 17 + 1 ]

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∩

[ -2,

17 – 3 ] = [0,

17 – 3]

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10. Sean las funciones:f(x)= x2 – 9 - 3, g (x) = -x + 3 + 6 x – 2 x2 - 4 Si Ranf ∩ Rang = [a , b], hallar a + b Rpta: a+b = 3 11. Dadas las funciones: f(x) = 3x2 – 18x; g(x) = -x2 + 6x – 8 Sean los conjuntos: A = {x ∈ R / f(x) > 0 } y B = {x ∈ R/g(x) > 0} Hallar (A∪B)’ Rpta : (A∪B)’ = [0,2] ∪ [4,6] 12. Dada la función: f(x) = x – 3, hallar: Domf ∩ Ranf x + 2 Rpta:

R – {-2,1}

13. Dadas las funciones:f(x + 1) = 1 y g (x-2)= 3x + 1 Hallar: Dom f ∩ Dom g Rpta:

x _ x + 2

- {2/3}

14. En el gráfico adjunto, f(x) es una función valor absoluto. Hallar a + b y 5

f(x)

3.5 3

x a

2

b

Rpta: 4 15. Dada la función f(x) = (x-1)2 + 2. Hallar f(M), donde M = 3 2 -2

1 M

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x

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16. Dada la función f(x) = Rpta: f(A) = < 0,

x2 – 4, hallar f(A), donde A=[ -6, -2 >

32 ]

17. Si: f = { (-1,0), (2,2), (-3,4), (4,3), (5,-1) } g = { (-1,3), (4,-2), (5,0), (2,4), (7,8), (8,9) } Hallar (f-g)/g; dando como respuesta su rango. Rpta: Ran f – g = { -1, - 1/2, - 5/2 } g Sean las funciones:

f = x + 4 , x ∈ [-4,4] g = {(-3,0), (1,4),(2,3),(-2,-2),(-1,-3), (3,4)}

Hallar: (f2 + g)-1, dando como respuesta: (f2 + g)-1 (3) De donde se observa que: (f2 + g)-1 (3) = 1/11 18. Dadas las funciones: f = { (1,4), (2,5), (3,-3), (4,7), (5,6) } g = { (0,3), (1,-2), (2,1), (3,0), (5,-2) } Hallar (f+g) (f-g), dando como respuesta la suma de los elementos del rango. Tenemos: Ran (f + g) (f – g) = { 12, 24, 9 ,32 } Suma de los elementos del rango: 12 + 24 + 9 + 32 = 77 19. Si f(x) = x2 + 1, hallar la función g (x) f(g(x)) = 4x2 + 12x + 12; Ran g = [

tal que:

11, ∞ >

Dar como respuesta el término independiente correspondiente a g2 (x) Rpta:11

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