1 Das Programmsystem B&B 1.1 Erganzende Informationen zu B&B Auer dem vorliegenden Theoriehandbuch sind folgende erganzende Informationen erhaltlich:  Benutzerhandbuch B&B  Instationare Temperaturberechnung { B&B T

1.2 Allgemeine Programminformation Das Programmsystem B&B (Berechnung und Bemessung) wurde an der UniversitatGesamthochschule-Essen entwickelt. Es arbeitet nach der Methode der Finiten Elemente und ermoglicht die Berechnung komplexer Strukturen aus dem Anlagen-, Stahl- und Maschinenbau sowie dem Bauwesen. Die Konstruktionen konnen mit linienhaften, achenhaften und volumenhaften Elementen abgebildet werden. Beliebige Kombinationen der Elemente sind moglich. Zum Elementumfang des Programms gehoren Federn, Stabe, Balken, Scheiben, Platten, Schalen und Volumenelemente. Fur die Berechnung wird die Verschiebungsmethode benutzt. Zur Beschrankung des Eingabeaufwandes stehen fur alle knoten- und elementbezogenen Groen umfangreiche Generierungsmoglichkeiten zur Verfugung, die im Verlauf der Datenaufbereitung automatisch in Einzeldaten umgewandelt werden (Preprocessing, s. Abs. 1.1). Logische und formale Bedingungen und Zusammenhange der Eingabedaten werden einer umfangreichen Fehlerprufung unterzogen. Auftretende Fehler werden durch selbsterlauternde Fehlermeldungen beschrieben. Ursprung und Art der Fehlerbedingung werden angegeben und ermoglichen somit eine schnelle Korrektur der Eingabedaten. Fehlerbedingungen, die nicht unbedingt zum Programmabbruch fuhren, werden als Warnungen gekennzeichnet. Als Kontrollmoglichkeit konnen die aufbereiteten Strukturdaten (Knoten-, Element- und Lastdaten) in Listenform ausgegeben werden. Die Ausgabe der Berechnungsergebnisse kann nach Art und Umfang gesteuert werden, so da die Ausgabe von Verformungen, Schnittkraften und Spannungen auf bestimmte Knoten- und Elementbereiche beschrankt werden kann. Systemdaten und Berechnungsergebnisse lassen sich uber ein Nachverarbeitungsprogramm in aufbereiteter Form graphisch darstellen. Es konnen ebene oder raumliche Tragwerke, bestehend aus Staben und Balkenelementen in beliebiger Lage berechnet werden.

Seite 1.2

1. DAS PROGRAMMSYSTEM B&B

Ebene Systeme werden vom Programm selbstandig erkannt. Der Balken enthalt optional Querschubdeformationen, die Lage der Drillruheachse kann frei gewahlt werden. Exzentrische Anschlusse an den Knoten und beliebige Stabendgelenke (Momenten-, Querkraft- und Normalkraftgelenke) sind moglich. Ihre Lage und Wirkungsrichtung kann durch lokale Knotenkoordinatensysteme frei gewahlt werden. Als Belastung sind Kombinationen aus Knotenlasten, Knotenmomenten und beliebigen Elementlasten innerhalb eines Lastfalls zulassig. Die Lasten konnen hierbei auf frei wahlbare Knotenkoordinatensysteme bezogen werden. Die Ergebnisse sind Verschiebungen und Verdrehungen der Knotenpunkte, alle Schnittgroen und Normalspannungen, sowie die Au agerkrafte. Die Berechnungsergebnisse werden auch fur Zwischenknoten an beliebigen Stellen innerhalb des Stabelementes entlang der Schwerachse optional ausgegeben. Die Berechnung von Scheibentragwerken (ebener Spannungszustand, ebener Verzerrungszustand), allgemeiner Platten- und Schalenstrukturen mit beliebigen Randbedingungen ist moglich. Als Belastungsgroen konnen Knotenkrafte, Knotenmomente, Temperaturund Flachenlasten in beliebiger Kombination innerhalb eines Lastfalls vorgegeben werden. Alle Lasten konnen bezuglich frei wahlbaren Knotenkoordinatensysteme angegeben werden. Volumenkrafte aus Eigengewicht in frei wahlbaren Richtungen werden vom Programm ermittelt und konnen mit in die Berechnung einbezogen werden. Die Ergebnisse sind Knotenverschiebungen und Knotenverdrehungen, alle Schnittgroen und Normalspannungen, sowie die Au agerkrafte. Die Berechnungsergebnisse werden fur beliebige Punkte des Elementes ausgegeben. Die Berechnung von volumenhaften Strukturen unter beliebigen Randbedingungen ist moglich. Die Belastungsgroen konnen aus Knotenkraften und Knotenmomenten, aus Eigengewicht und Temperatur in beliebiger Kombination innerhalb eines Lastfalls bestehen. Die Ergebnisse sind Knotenverschiebungen und Spannungen an beliebigen Punkten des Elementes. Unter gemischten Tragwerken werden Tragwerke verstanden, deren statische Modelle nicht durch einen Elementtyp beschrieben werden konnen. Fur die Untersuchung solcher Systeme lassen sich in B&B Federn, Stabe, Balken, Scheiben, Platten, Schalen und Volumenelemente in beliebiger Form kombinieren. Als Belastungsgroen konnen hierbei entsprechend den verwendeten Elementtypen de nierte Groen vorgegeben werden. Die Berechnungsergebnisse hangen ebenfalls in Art und Umfang von den jeweils verwendeten Elementtypen ab. Die an Knotenpunkten vorhandenen und de nierten Verschiebungsund Verdrehungsmoglichkeiten konnen in U bereinstimmung mit der Theorie vorgegeben werden. Nicht vorgeschriebene Verschiebungs- und Verdrehungsmoglichkeiten, die im Widerspruch zu den de nierten Groen der verwendeten Elemtenttypen stehen, werden vom Programm automatisch erkannt und unterdruckt.

9412

2 Elemente und Koordinatensysteme 2.1 Elementkatalog mit Berechnungsmoglichkeiten

Auf den folgenden Seiten sind die einzelnen Elemente mit den zugehorigen Einsatz- und Belastungsmoglichkeiten angegeben. Ausfuhrliche Ableitungen mit den relevanten Matrizen sind im Kapitel 4 zu nden.

Seite 2.2

2. ELEMENTE UND KOORDINATENSYSTEME

Tabelle 2.1 gibt eine U bersicht uber die verfugbaren Elemente. Typ 001 002 011 012 101 102 111 112 201 202 204 205 211 212 214 215 221 225 301 303 305 311 313 315

Element Senkfeder Senkfeder Drehfeder Drehfeder Fachwerkstab Seil Balken Balken Dreieck-Scheibe Dreieck-Membrane Rechteck-Scheibe Viereck-Scheibe Dreieck-Faltwerk Dreieck-Faltwerk Rechteck-Faltwerk Viereck-Faltwerk Dreieck-Scheibe Viereck-Scheibe Tetraeder Pentaeder Hexaeder Tetraeder Pentaeder Hexaeder

Knoten AB ABC AB ABC AB AB ABC ABC ABC ABC ABCD ABCD ABC ABC ABCD ABCD ABCDEF ABCDEFGH ABCD ABCDEF ABCDEFGH A B C D E ... H A B C D E F G H I ... P A B C D E F G H I J ... T Tabelle 2.1: Verfugbare Elemente

Auf den folgenden Seiten sind die Elemente einzeln beschrieben.

9412

2.1. ELEMENTKATALOG MIT BERECHNUNGSMO GLICHKEITEN

Seite 2.3

9412

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2. ELEMENTE UND KOORDINATENSYSTEME

2.1. ELEMENTKATALOG MIT BERECHNUNGSMO GLICHKEITEN

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2. ELEMENTE UND KOORDINATENSYSTEME

2.1. ELEMENTKATALOG MIT BERECHNUNGSMO GLICHKEITEN

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2. ELEMENTE UND KOORDINATENSYSTEME

2.1. ELEMENTKATALOG MIT BERECHNUNGSMO GLICHKEITEN

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2. ELEMENTE UND KOORDINATENSYSTEME

2.1. ELEMENTKATALOG MIT BERECHNUNGSMO GLICHKEITEN

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2. ELEMENTE UND KOORDINATENSYSTEME

2.1. ELEMENTKATALOG MIT BERECHNUNGSMO GLICHKEITEN

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9412

2. ELEMENTE UND KOORDINATENSYSTEME

2.2. KOORDINATENSYSTEME

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2.2 Koordinatensysteme Die Berechnung wird in einem oder mehreren rechtshandigen, kartesischen Koordinatensystemen durchgefuhrt. Zur Anpassung an schiefe Randbedingungen stehen lokale, auf Knoten bezogene Koordinatensysteme zur Verfugung.

Bezugssysteme

Zur De nition der Knotenkoordinaten stehen drei Arten von Bezugssystemen zur Verfugung:  rechtshandige, kartesische Koordinatensysteme,

 Zylinderkoordinatensysteme,  Kugelkoordinatensysteme.

Abbildung 2.1: Kartesische Koordinaten Das in Bild 2.1 dargestellte kartesische Koordinatensystem entspricht dem fur die rechnerinterne Darstellung verwendeten globalen Bezugssystem x, y, z sowie den fur eine komplexe Geometriebeschreibung hilfreichen lokalen Bezugssystemen xe, ye, ze. Die drei Koordinatenachsen stehen senkrecht aufeinander und bilden ein Rechtssystem. Die Lage eines Punktes P (xP ; yP ; zP ) wird in einem kartesischen Koordinatensystem durch die auf die Koordinatenachse projizierten Abstande xP , yP und zP , festgelegt. Zylinderkoordinatensysteme (Bild 2.2) beschreiben die Lage eines Punktes P (r; '; L) durch den auf die Polarebene (r; ') projizierten Abstand r zum Ursprung 0, den Polarwinkel ' und die Zylinderkoordinate L, die den rechtwinkligen Abstand des Punktes zu der Polarebene ergibt. Wenn die z-Achse mit der Zylinderlangskoordinate ubereinstimmt, gelten die folgenden Transformationsbeziehungen. 9412

2. ELEMENTE UND KOORDINATENSYSTEME

Seite 2.16

Abbildung 2.2: Zylinderkoordinaten Transformation: kartesisch ! zylindrisch p r = x + y  ' = arctan xy L=z 2

2

zylindrisch ! kartesisch x = r
cos(') y = r
sin(') z=L

In einem Kugelkoordinatensystem wird ein Punkt P (r; '; %) durch den Abstand r vom Ursprung 0 und durch die beiden raumlichen Winkel ' und % de niert. Den positiven Drehsinn der Winkel zeigt Bild 2.3. Hier lauten die zugehorigen Transformationsbeziehungen: Transformation: kartesisch ! Kugel Kugel ! kartesisch p x = r
cos(')
sin(%) r = x + y + z y ' = arctan x y = r
sin(')
sin(%) 0q 1 % = arctan @ x z+ y A z = L
cos(%) 2

2

2

2

2

Die Verwendung von verschiedenen lokalen Bezugssystemen erfordert eine Umwandlung der lokalen kartesischen xe, ye, ze in globale kartesische Koordinaten x, y, z. Diese Transformation setzt sich aus einem translatorischen und einen rotatorischen Anteil zusammen. Der translatorische Anteil dieser Transformation entsteht durch die unterschiedliche Lage der Koordinatenursprunge 0 und e0 der beiden Bezugssysteme, so wie er in Bild 2.4 dargestellt ist. Hat der Ursprung 0e in bezug auf 0 die Koordinaten
xu,
yu,
zu so gilt: 2 3 2 3 2 3 66 x 77 66 xe 77 66
xu 77 66 y 77 = 66 ye 77 + 66
y 77 64 75 64 75 64 u 75 z ze
zu 9412

2.2. KOORDINATENSYSTEME

Seite 2.17

Abbildung 2.3: Kugelkoordinaten Der rotatorische Anteil der Transformation entsteht durch die verschiedenen Achsrichtungen der beiden Bezugssysteme. Die Transformationbeziehungen lassen sich leicht uber die Richtungscosinusse cij der 9 Raumdrehwinkel ij beschreiben: cij = cos(ij ). Jeder Winkel ij wird durch den Winkel de niert, den die Achse i(i = xe; ye; ze) des lokalen Bezugssystems gegenuber der Achse j (j = x; y; z) des globalen Bezugssystems bildet (s. Bild 2.5). Die Transformationsbeziehungen lauten damit: 2 3 2 32 3 x c c c 66 77 66 77 66 xe 77 66 y 77 = 66 c c c 77 66 ye 77 64 75 64 75 64 75 z c c c ze 11

12

13

21

22

23

31

32

33

Fat man die beiden Anteile zusammen, so lat sich der folgende Zusammenhang zwischen den lokalen und den globalen kartesischen Koordinaten aufstellen: 3 2 32 3 2 3 2
x c c c x 77 66 xe 77 66 77 66 u 77 66 66 y 77 = 66
y 77 + 66 c c c 77 66 ye 77 75 64 75 64 75 64 u 75 64 z
zu c c c ze 11

12

13

21

22

23

31

32

33

Abbildung 2.4: Translation des kartesischen Koordinatensystems 9412

2. ELEMENTE UND KOORDINATENSYSTEME

Seite 2.18

Abbildung 2.5: De nition der Raumdrehwinkel In Tabelle 2.2 sind die Eingabemoglichkeiten fur Knotenkoordinaten zusammengefat. Alle Knotenkoordinaten werden fur die Berechnung in das globale Bezugssystem transformiert und unabhangig vom Koordinatensystem der Eingabe im Ausgabeprotokoll ausgegeben. Bezugssystem kartesisch zylindrisch Kugel

Eingabewerte x-Koordinate y-Koordinate z-Koordinate Radius Winkel zur Polarachse Langskoordinate Radius Winkel zur 1. Polarachse Winkel zur 2. Polarachse Tabelle 2.2: Eingabe von Knotenkoordinaten

Schiefe Randbedingungen

Die Berucksichtigung von schiefen Randbedingungen ist durch die Anwendung von den in Bild 2.6 dargestellten lokalen Knotenkoordinatensystemen moglich. Lokale Knotenkoordinatensysteme beziehen sich auf einen Knoten. Durch die Angabe eines zweiten Knotens wird die Richtung der 1-Achse des lokalen Koordinatensystems de niert. Zusammen mit einem dritten Knoten ergibt sich eine Ebene. Die 2-Achse des lokalen Bezugssystems liegt 9412

2.2. KOORDINATENSYSTEME

Seite 2.19

in dieser Ebene. Die 1- und 2-Achse bilden einen rechten Winkel. Die 3-Achse ergibt sich als Erganzung zu einem rechtshandigen, kartesischen Koordinatensystem (s. Tabelle 2.3). Das lokale Knotenkoordinatensystem dient lediglich der Transformation von Berechnungsgroen. Die Ergebnisse werden ohne Rucksicht auf lokale Bezugssysteme stets im globalen, kartesischen Koordinatensystem ausgegeben.

Abbildung 2.6: Lokales Knotenkoordinatensystem Achse Richtung 1 von Knoten A nach Knoten B 2 in der Ebene der Knoten A-B -C senkrecht auf Achse 1, positiv in der Halbebene des Knotens C 3 senkrecht zur Ebene A-B -C , positive Richtung durch Erganzung der Koordinatenachsen 1-2-3 zu einem Rechtssystem Tabelle 2.3: Beschreibung eines lokalen Knotenkoordinatensystems

Ein- und Ausgabe knotenbezogener Groen

Lasten und Vorverformungen konnen als richtungsgebundene Groen im globalen, kartesischen Koordinatensystem oder in einem knotenbezogenen lokalen Koordinatensystem eingegeben werden. Im Bild 2.7 sind Einzellasten P-x, P-y und P-z und Einzelmomente M-x, M-y und M-z im globalen, kartesischen Koordinatensystem dargestellt. Sofern fur einen Knoten ein lokales Koordinatensystem de niert wurde, konnen Beanspruchungen wahlweise im globalen oder im lokalen Koordinatensystem eingegeben werden. Die Lasten im lokalen Knotenkoordinatensystem stellt Bild 2.8 dar. Die Ausgabe der Lasten, Verformungen und Au agerkrafte erfolgt bezogen auf das globale Koordinatensystem (Bild 2.7). 9412

Seite 2.20

2. ELEMENTE UND KOORDINATENSYSTEME

Abbildung 2.7: Knotenkrafte und Au agerreaktionen im globalen Koordinatensystem

Elementkoordinatensysteme

Fur elementbezogene Daten werden grundsatzlich elementbezogene, lokale Koordinatensysteme verwendet. Auf diese Koordinatensysteme beziehen sich auch die Ergebnisse. Die Richtungen der Achsen der Koordinatensysteme fur Elemente werden analog zu den lokalen Koordinatensystemen fur Knoten aus den drei ersten Elementknoten gebildet (s. Absatz 2.1). Der Ursprung des Koordinatensystems liegt im Schwerpunkt bzw. in der Mittel ache des zugehorigen Elementes.

Abbildung 2.8: Knotenkrafte im lokalen Knotenkoordinatensystem

9412

3 Berechnungs- und Bemessungsmoglichkeiten 3.1 Freiheitsgrade Die Verformungsmoglichkeiten der Knoten konnen per Eingabe de niert und/oder automatisch vom Programm ermittelt werden. Allgemein werden in B&B folgende Freiheitsgrade unterschieden: { aktive Freiheitsgrade: der Knoten kann sich frei im abgebildeten Raum bewegen, seine Verformungsmoglichkeiten sind nicht eingeschrankt, { unterdruckte Freiheitsgrade: die Verformung des Knotens ist eingeschrankt oder behindert, { unde nierte Freiheitsgrade: die Verformung des Knotens ist nicht Bestandteil der zugrunde liegenden Idealisierung. Unterdruckte bzw. Au agerfreiheitsgrade sind immer vom Benutzer vorzugeben. Art und Anzahl hierfur sind abhangig von der zu berechnenden Struktur und der dabei verwendeten Elementtypen. Allgemein lassen sich folgende Au agerfreiheitsgrade angeben:  starre Au ager,  elastische Au ager, { Federn, { elastische Bettung.

3.1.1 Manuelle Festlegung von Freiheitsgraden

Freiheitsgrade konnen unabhangig von der Wahl des Koordinatensystems, welches fur die Beschreibung der Knotenkoordinaten benutzt wurde, de niert werden. Hierbei konnen sich die Freiheitsgrade auf das globale, zur Beschreibung der Struktur verwendete Koordinatensystem, oder auf ein beliebiges, durch die Angabe von Richtungsknoten fur jeden Knoten de niertes, lokales kartesisches Koordinatensystem (schiefe Randbedingungen) beziehen (vgl. Abs. 2.2).

3.1.2 Automatische Festlegung von Freiheitsgraden

Der Einbau der Elementstei gkeitsmatrizen in die System- oder Gesamtstei gkeitsmatrix setzt die Kenntnis moglicher Knotenverschiebungen (aktive, unterdruckte und unde nierte Freiheitsgrade) der Struktur voraus. Mit Ausnahme vorgegebener Au agerbedingungen

Seite 3.2

3. BERECHNUNGS- UND BEMESSUNGSMO GLICHKEITEN

werden diese in B&B analytisch fur jeden Knoten und unabhangig von der Art und Anzahl anschlieender Elemente bestimmt [MT91]. Grundidee hierbei ist die Identi zierung singularer Elementstei gkeitsmatrizen, nachdem diese vermittels orthogonaler A hnlichkeitstransformation vom elementeigenen auf das globale Koordinatensystem transformiert wurden. Ziel ist die Festlegung der Anzahl moglicher Knotenverformungen bzw. Freiheitsgrade zur Festlegung des Speicherplatzes fur die Gesamtstei gkeitsmatrix. Knotenweise wird fur jedes am Knoten i anschlieende Element j die Elementstei gkeitsmatrix in globalen Koordinaten aufgestellt. Fur die weiteren Untersuchungen werden nur die unmittelbar fur den Knoten i betroenen Freiheitsgrade betrachtet. Die sich so ergebende 6  6-Matrix wird in zwei 3  3 Matrizen zerlegt, deren Elemente die Elemente der Hauptdiagonalblocke der Ursprungsmatrix darstellen. In einem ersten Schritt wird untersucht, ob die Determinanten der 3  3 Untermatrizen einen Wert annehmen, der kleiner als eine zuvor in Abhangigkeit der Rechnergenauigkeit berechneten "-Umgebung ist. Ist dies der Fall, so mussen fur das nachste am Knoten anschlieende Element k die 3  3 Untermatrizen berechnet werden. Die Berechnung der Determinanten wird fur jedes anschlieende Element durchgefuhrt. Zum nachsten Knoten kann dann ubergegangen werden, wenn eine der Determinanten nicht mehr in die "-Umgebung fallt. Fur den Fall, da dies fur alle Elemente zutrit, wird fur die Summe aller 3  3 Stei gkeitsmatrizen fur jede der Hauptdiagonalblocke eine Eigenwertberechnung durchgefuhrt. Hierbei mu die Zuordnung der Eigenwerte zu den Zeilen und Spalten der Ausgangsmatrizen fur die weiteren Betrachtungen erhalten bleiben. In B&B wird das Verfahren von Jacobi verwendet, dessen Grundlage das Hauptachsentheorem bildet. Es liefert gleichzeitig in jedem Rechenschritt die Eigenvektoren als System orthonormierter Vektoren als Kolonnen der orthogonalen Transformationsmatrix. Mit den Eigenwerten und den Eigenvektoren lat sich alsdann ein lokales Knotenkoordinatensystem beschreiben, da sich unde nierte Freiheitsgrade als Nulleigenwerte darstellen. Gleichzeitig liefert die Matrix der Eigenvektoren die Drehungsmatrix des lokalen Knotenkoordinatensystems.

3.2 Lineare Berechnung Unter der Voraussetzung kleiner Verformungen und kleiner Verzerrungen sowie linearelastischen Materialverhaltens ist das lineare Gleichungssystem K er = R + J [S R , F (uz )] = Rb (3.1) zu losen. Eine ausfuhrliche Beschreibung des Gleichungslosers ist in Kapitel 5 gegeben. Mit den Knotenverformungen r als Losung von Glg. (3.1) lassen sich unter Verwendung von Glg. (3.2)

u = JTr

(3.2)

die Elementverformungen und daraus Spannungen und Schnittkrafte bestimmen (s. Kapitel 4: Elementableitungen). 9412

3.3. PHYSIKALISCH NICHTLINEARE BERECHNUNG

Seite 3.3

Die Reaktionskrafte an einem Knoten mit vorgegebenen Verformungen erhalt man durch Summation der Knotenkrafte aus der Belastung und der Beanspruchung der am Knoten anschlieenden Elemente i 2 Ik :  X Re k = ,Rk + F i , SRi (3.3) i2Ik

fur alle Knoten k mit vorgegebenen Verformungen.

3.3 Physikalisch nichtlineare Berechnung 3.3.1 Elastische Bettung

Im Falle elastisch gebetteter Elemente erweitert sich Glg. (3.1) um die Bettungsmatrix und es ist das nichtlineare Gleichungssystem [K e + B (r)] r = Rb (3.4) zu losen (s. Kapitel 5). Das Gleichungssystem ist nichtlinear in den Verformungen, da der Bettungsmodul verformungsabhangig ist (s. Bild 3.1).

Abbildung 3.1: Verformung, Bettungsspannung, Bettungsmodul Da der Bettungsmodul elementweise konstant angenommen wird (s. Kapitel 4), mu bei Verformungsnulldurchgang im Element eine Abminderung erfolgen. Dies geschieht mit Hilfe eines Wichtungsfaktors wb, der fur jedes gebettete Element wie folgt bestimmt wird: o o X n X n max ukj ; 0 j min ukj ; 0 j wb = k X bzw. wb = k X (3.5) jukj j jukj j ; k

k

wobei uber alle Knoten des betrachteten Elementes summiert wird. Der Index j bezeichnet bei Plattenelementen die lokale z-Achse und bei Balkenelementen die lokale y- oder z-Achse. Aus Glg. (3.5) ergibt sich fur wb: 0  wb  1 9412

Seite 3.4

3. BERECHNUNGS- UND BEMESSUNGSMO GLICHKEITEN

Durch Multiplikation mit dem Wichtungsfaktor b(u) = wb(u)
eb bekommt der Bettungsmodul als elementbezogene Groe einen stetigen Verlauf, und es gibt keine Konvergenzprobleme. Als Konvergenzkriterium dient im Iterationsschritt j die Bedingung max jRb i , Fbij j < "R (3.6) i

mit Fb = [F + B (rj )rj ] und vorzugebendem dimensionsbehaftetem "R.

3.3.2 Nichtlineare Spannung-Dehnung-Beziehung

Im Falle physikalischer Nichtlinearitaten ist das nichtlineare Gleichungssystem K e(r)r = Rb

(3.7)

zu losen (s. Kapitel 5). Die Iteration endet im Schritt j bei Erfullung der Bedingung max jRb i , Fij j < "R

(3.8)

i

mit vorzugebendem dimensionsbehaftetem "R.

3.4 Geometrisch nichtlineare Berechnung Im Falle geometrischer Nichtlinearitaten ist das nichtlineare Gleichungssystem i h K e + K g (r) r = Rb (r)

(3.9)

zu losen (s. Kapitel 5). Hier endet die Iteration im Schritt j bei Erfullung der Bedingung max j
rij j < "r i

(3.10)

mit vorzugebendem dimensionsbehaftetem "r .

3.5 Physikalisch und geometrisch nichtlineare Berechnung Im Falle physikalischer und geometrischer Nichtlinearitaten ist das nichtlineare Gleichungssystem [K e(r) + K g (r)]r = Rb (r) (3.11) zu losen (s. Kapitel 5). 9412

 3.6. LINEARE STABILITAT

Seite 3.5

3.6 Lineare Stabilitat Bei einem Stabilitatsproblem sind die mageblichen Eigenwerte des Problems (K e , K g )r = 0

(3.12)

positiv. Hier wurde sich das Verfahren von Mises eignen, welches fur das umgekehrte Eigenwertproblem e e )r = 0 (K g , K (3.13) den betragsmaig groten Eigenwert liefert. Fur Eigenwertprobleme mit doppeltem Eigenwert oder auch betragsmaig gleichem Eigenwert kann es mit dem Verfahren von Mises Schwierigkeiten bei der Ermittlung von Eigenwerten und Eigenvektoren geben. Auch wenn der oder die betragsmaig kleinsten Eigenwerte negativ sind, ist das Verfahren von Mises nur geeignet, wenn diese negativen Eigenwerte eliminiert werden. Ein geeignetes Verfahren zur Bestimmung des kleinsten positiven Eigenwertes ist die Unterraumiteration (s. Kapitel 6). Wendet man fur den Unterraum einen Eigenwertloser an der positive und negative Eigenwerte liefert (s. Kapitel 6), so kann eine Aussage daruber getroen werden, wo die kleinsten positiven Eigenwerte liegen. Liegen diese auerhalb des untersuchten Bereiches, so wird eine Spektralverschiebung in diese Richtung durchgefuhrt.

3.7 Dynamische Berechnung Die Bewegungsgleichung lautet allgemein M r(t) + C r_(t) + K r(t) = Rb (t) :

(3.14)

Dieses Dierentialgleichungssystem kann auf zwei Arten gelost werden, namlich durch

 modale Analyse,  numerische Integration.

3.7.1 Modale Analyse

Betrachtet man zunachst das ungedampfte System, so liefert die Losung des linearen Eigenwertproblems (K e , ! M )r = 0

(3.15)

2

mit Hilfe der Unterraum-Iteration (s. Kapitel 6) die Spektralmatrix n o

= diag ! ; ! ; : : : ; !% mit !  !  : : :  !% 2

2

1

2

2

1

2

9412

3. BERECHNUNGS- UND BEMESSUNGSMO GLICHKEITEN

Seite 3.6

und die auf die Massenmatrix normierte Modalmatrix rE = [rE ; rE ; : : : ; rE% ]; wobei gilt (s. [LT83]): (rE )T K erE =

(rE )T M rE = I Durch Einfuhrung von Normalkoordinaten q mit r(t) = rE q(t) und Linksmultiplikation mit (rE )T lat sich das Dierentialgleichungssystem (3.14) entkoppeln q + q = (rE )T Rb (3.16) und durch analytische bzw. numerische Berechnung des Duhamel-Integrals losen, wobei die Dampfung berucksichtigt werden kann. 1

2

3.7.2 De nition der Dampfungsmatrix

Eine konsistente Dampfungsmatrix in Form einer Kombination von Massenmatrix M und elastischer Stei gkeitsmatrix K e wird verwendet: C = amM + ak K e (3.17) Um eine konstante Dampfungsmatrix zu erhalten, wird im nichtlinearen Fall die elastische Stei gkeitsmatrix K e0 in Gleichung (3.17) verwendet. Die Parameter a, b mussen folgende Bedingung erfullen: i = 0!:5a + 0:5 b !i (3.18) i mit i : Lehr'sches Dampfungsma

3.7.3 Numerische Integration der dynamischen Gleichgewichtsbedingungen

Hierbei wird Gleichung (3.7.1) numerisch mit Hilfe des Verfahrens von Newmark (s. Kapitel 7) gelost, wobei auch physikalische und geometrische Nichtlinearitaten berucksichtigt werden konnen.

3.8 Stahlbetonbemessung Grundlagen des Stahlbetonbemessungsteiles bilden die Annahmen und Forderungen der Vorschriften [DIN1045]. Ausgehend von den in einer linearen Berechnung ermittelten Schnittkraften wird der Bruchsicherheitsnachweis gefuhrt bzw. die Biegelangsbewehrung ermittelt, wobei die Spannungs-Dehnungs-Beziehungen nach Bild 3.2 verwendet werden, und es werden Schubbewehrung und -spannungen ermittelt. 9412

3.8. STAHLBETONBEMESSUNG

Seite 3.7

Bild 3.2a: Rechnerische Spannungs-Dehnungs-Beziehung des Betons

Bild 3.2b: Rechnerische Spannungs-Dehnungs-Beziehung des Stahls Auer den Volumenelementen (Elementtyp > 300) und den Federelementen (Elementtyp < 100) konnen alle Elementtypen des Berechnungsteiles bemessen werden.

Bemessung von Balkenelementen

Bei Balkenelementen wird eine Bemessung nur fur Standardquerschnitte (s. Bild 3.3) durchgefuhrt. Diese Bemessung erfolgt durch iterative Losung eines nichtlinearen Optimierungsproblems (s. Abs. 3.9.1). An Stelle des Knicksicherheitsnachweises wird eine nichtlineare Berechnung durchgefuhrt, wobei mit beanspruchungs- und bewehrungsabhangigen Stei gkeiten gearbeitet wird. Die Langsbewehrung aus der Bemessung fur die lineare Berechnung dient hierbei als Mindestbewehrung. Fur die Stei gkeitsberechnung werden die Spannungs-Dehnungs-Beziehungen nach [DIN 1056] verwendet. 9412

3. BERECHNUNGS- UND BEMESSUNGSMO GLICHKEITEN

Seite 3.8

Abbildung 3.3: Balkenstandardquerschnitte

Bemessung von Scheibenelementen

Scheibenelemente werden nach [BN72] bemessen, wobei bei orthogonaler Bewehrung eine Bestimmung des Winkels der aussteifenden Druckkraft iterativ durch Losung von Glg. (1.19) in [LM275] erfolgt.

Bemessung von Schalenelementen

Eine Schale wird in 2 Scheiben aufgeteilt. Damit werden aus den 3 Momenten jeweils 2 Scheibenkrafte mit untereinander fest angenommenem Hebelarm tm, namlich

tm = 0:75 hm mit hm = mittlere Nutzhohe bei einer spateren Rucktransformation auf Krafte und Momente bzw. tm = hm bei einer Bemessung fur die beiden Scheiben nach [BN72]. Die Scheibenkrafte in den Scheiben (in positiver und negativer z-Richtung) ergeben sich zu n,ij = 21 nij , t1m mij i; j = 1; 2 nij = 21 nij + t1m mij Nach einer Transformation der Scheibenkrafte n,ij , nij auf die Hauptrichtungen +

+

n, ; n, ; n, 11

22

12

n ;n ;n +

+

+

11

22

12

! !

n,I ; n,II ; , nI ; nII ;  +

+

+

kann eine Bemessung nach [BN72] fur beide Scheiben erfolgen. Andernfalls werden die Hauptkrafte auf die Bewehrungsrichtungen transformiert. Mit  : Winkel zwischen Richtung I und 1. Bewehrungsrichtung ' : Winkel zwischen Richtung I und 2. Bewehrungsrichtung 9412

3.9. OPTIMIERUNG

Seite 3.9

ergibt sich z.B. fur zweibahnige Bewehrung mit

n,c = jn,I sin() sin(') + n,II cos() cos(')j h i n, = sin ('1 , ) n,I sin (') + n,II cos (') + n,c h i n, = sin ('1 , ) n,I sin () + n,II cos () + n,c 2

1

2

2

2

2

2

2

n , n ergeben sich analog. +

+

1

2

In den Bewehrungsrichtungen erhalt man Langskraft und Biegemoment aus

m = 12 tm(n , n, ) n = n + n, m = 12 tm(n , n, ) und es wird fur jede Richtung eine Balkenbemessung durchgefuhrt. n = n + n,

+

+

1

1

1

1

2

2

1

+

2

2

1

+ 2

2

3.9 Optimierung

3.9.1 Zweistufenoptimierung im Stahlbetonbau (s. [BOW85], [BT88])

3.9.1.1 Optimierungsprobleme (PG1) und (PL1)

Geht man von vorgegebenen Werkstoeigenschaften und vorgegebener Geometrie des zu dimensionierenden Tragwerks aus, so bleiben als Variable des Optimierungsproblems (PG1) auf Tragwerksebene

yc 2  : ky GA y 8 >  : kz GA z 2

3

; wenn Ay ! 1 sonst ; wenn Az ! 1 sonst

= 1 + 12y y  = 1 + 12z z   = (GA y z)    = L1  12  = L1  12  ,  ,   = L1  144  , Nk = 144   , (GA1 ) yz 2

23

3

2

3

2

2

2

2

3

2

3

2

23

2

23

3

2

3

3

3

23

23

9412

2

2

3

3 23

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN)

Seite 4.31

elastische Stei gkeitsmatrix, ohne Koppelterm der Schubdeformation (Ay z = 0) ohne Gelenke

keij (1; 1) = EA L sisj x keij (4; 4) = GJ L sisj keij (2; 2) = 12EJz sisj L ! EJ z 3 keij (6; 6) = L + sisj  keij (2; 6) = , 6EJz si L 6 keij (6; 2) = , EJz sj L keij (3; 3) = 12EJy sisj L ! EJ y 3 + sisj keij (5; 5) = L  keij (3; 5) = 6EJy si L keij (5; 3) = 6EJy sj L 3

2

2

2

2

2

2

3

3

3

2

3

2

3

mit Gelenken Ort: Anfangsknoten b = ,1 Endknoten b = 1 1 Momentengelenk, kein Querkraftgelenk Mz = 0 keij (2; 2) = 12EJz sisj L (3 +  ) keij (6; 6) = 3EJz (1 , si b)(1 , sj b) L(3 +  ) keij (2; 6) = , 6EJz si(1 , sj b) L (3 +  ) keij (6; 2) = , 6EJz sj (1 , sib) L (3 +  ) 3

2

2

2

2

2

2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.32

My = 0 keij (3; 3) =

12EJy s s L (3 +  ) i j keij (5; 5) = 3EJy (1 , sib)(1 , sj b) L(3 +  ) keij (3; 5) = 6EJy si(1 , sj b) L (3 +  ) keij (5; 3) = 6EJy sj (1 , sib) L (3 +  ) 3

3

3

2

3

2

3

elastische Stei gkeitsmatrix, mit Koppelterm der Schubdeformation (Ay z 6= 0) ohne Gelenke

keij (2; 2) = L N sisj k keij (6; 6) = 4LN k keij (2; 6) = 2 N si k keij (6; 2) = 2 N sj k keij (3; 3) = L N sisj k keij (5; 5) = 4LN k keij (3; 5) = 2 N si k  keij (5; 3) = 2 N sj 2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

k

sisj keij (2; 3) = , GA1 LN yz k keij (3; 2) = keij (2; 3) keij (2; 5) = , GA1 2sNi yz k 1 keij (5; 2) = , GA 2sNj yz k keij (3; 6) = ,keij (2; 5) keij (6; 3) = ,keij (5; 2) 9412

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN)

Seite 4.33

keij (5; 6) = GAL 4N1 yz k keij (6; 5) = k eij (5; 6) mit Gelenken Ort: Anfangsknoten b = ,1 Endknoten b = 1 1 Momentengelenk, kein Querkraftgelenk Mz = 0 yy + 1 keij (2; 2) = L Nk sisj keij (6; 6) = L(4y yN+ 1) (1 , sib)(1 + sisj ) k keij (2; 6) = ,y y + 21  Nk si(1 , sj b) keij (6; 2) = ,y y + 21  Nk sj (1 , sib) zz + 4 keij (3; 3) = L Nk sisj y keij (5; 5) = L(4z zN+ 4) + EJ L sisj k 4s keij (3; 5) = 2zz + Nk i 4s keij (5; 3) = 2zz + Nk j sisj keij (2; 3) = , GA1 LN 2

2

2

2

3

3

3

3

yz

k

yz

k

keij (3; 2) = k eij (2; 3) keij (2; 5) = , GA1 2sNi yz k keij (5; 2) = , GA1 2sNj

si (1 , s b) keij (3; 6) = GA1 2N j yz k keij (6; 3) = GA1 2sNj (1 , sib) yz k keij (5; 6) = GAL 4N1 (1 , sib) yz k keij (6; 5) = GAL 4N1 (1 , sj b) yz

k

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.34

My = 0 yy + 4 keij (2; 2) = L Nk sisj z keij (6; 6) = L(4y yN+ 4) + EJ L sisj k 4s keij (2; 6) = , 2yy + Nk i 4s keij (6; 2) = , 2yy + Nk j zz + 1 keij (3; 3) = L Nk sisj keij (5; 5) = L(4z zN+ 1) (1 , si b)(1 + sisj ) k 1 keij (3; 5) = z z + 2  Nk si(1 , sj b) keij (5; 3) = z z + 21  Nk sj (1 , sib) sisj keij (2; 3) = , GA1 LN k yz keij (3; 2) = keij (2; 3) 2

2

2

2

3

3

3

3

keij (2; 5) = , GA1 Nsi (1 , sj b) yz k keij (5; 2) = , GA1 Nsj (1 , sib) yz k 1 keij (3; 6) = GA 2sNi yz k 1 keij (6; 3) = GA 2sNj yz k L keij (5; 6) = GA 4N1 (1 , sib) yz k L keij (6; 5) = GA 4N1 (1 , sj b) yz

k

1 Querkraftgelenk, kein Momentengelenk

Qy = 0 z keij (6; 6) = EJ L sisj keij (2; 2) = keij (2; 6) = keij (6; 2) = 0 9412

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN)

Seite 4.35

Qz = 0 y keij (5; 5) = EJ L sisj keij (3; 3) = k eij (3; 5) = k eij (5; 3) = 0 2 Momentengelenke oder 1 Momentengelenk, 1 Querkraftgelenk Mz = 0 keij (2; 2) = k eij (6; 6) = k eij (2; 6) = keij (6; 2) = 0

My = 0 keij (3; 3) = k eij (5; 5) = k eij (3; 5) = keij (5; 3) = 0

Belastung im Element

Knotenlasten fur den Knoten A Last px (x) in der Schwerachse S R(1) = L1 hpbx i S R(i) = 0 i = 2; : : : ; 6 2

Last py (x) in der Schwerachse S R(1) = 0 ! by i + L ! 1 ,h p 1 1 S R(2) =  EJ +  GA ,  GA hpby i 2hpby i ! z z yz ! b 1 h p 1 1 yi , L S R(3) =  EJ 2hpb i +  GA ,  GA hpby i z yz y y 3 hpb i S R(4) = ,hSM3 SR(2) + hSM2 S R(3) + hSM L y S R(5) = , L2 S R(3) S R(6) = L2 S R(2) , L1 hpby i 4

2

3

3

3

23

4

2

23

3

2

23

2

3

Last pz (x) in der Schwerachse S R(1) = 0 ! ! bz i , L 1 h p 1 1 S R(2) =  EJ +  GA ,  GA hpbz i 2hpbz i y yz z 4

2

23

3

3

23

9412

Seite 4.36

S R(3) = S R(4) = S R(5) = S R(6) =

4. ELEMENTABLEITUNGEN ! bz i + L ! 1 ,h p 1 1  EJ +  GA ,  GA hpbz i 2hpbz i y z yz 2 b ,hSM3 S R(2) + hSM2 S R(3) , hSM L hpz i , L2 S R(3) + L1 hpbz i L S (2) 2 R 4

2

2

2

3

2

3

Momente mx(x) 1 S R(4) = Lhm cx i S R(i) = 0

2

i = 1; 2; 3; 5; 6

Moment my (x)

S R(1) = 0 ! cy i , L 1 h m S R(2) =  EJ cy i ! 2hm y cy i + L S R(3) =  EJ1 ,hmc 2hmy i y S R(4) = ,hSM3 S R(2) + hSM2 S R(3) cy i S R(5) = , L2 S R(3) + L1 hm S R(6) = L2 S R(2) 3

23

2

3

2

2

2

Moment mz (x)

S R(1) = 0 ! cz i , L 1 h m S R(2) =  EJ cz i 2hm z ! cz i + L 1 ,h m S R(3) =  EJ cz i 2hm z S R(4) = ,hSM3 S R(2) + hSM2 S R(3) S R(5) = , L2 S R(3) cz i S R(6) = L2 S R(2) + L1 hm 3

3

2

3

23

2

2

9412

23

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN)

Seite 4.37

Knotenlasten fur den Knoten B S R(7) = ,SR(1) + hpbx i S R(8) = ,SR(2) + hpby i S R(9) = ,SR(3) + hpbz i cxi S R(10) = ,SR(4) + hm cy i S R(11) = ,SR(5) , LS R(3) + hpbz i + hm cz i S R(12) = ,SR(6) + LS R(2) , hpby i + hm 1

1

1

1

2

1

2

1

Temperatur

Anfangsverzerrung, -krummungen " =
TsT , T , T y = d T ,  z = T d, T T 0

+

2

2

0

2

+

3

3

0

3

Knotenlasten S R(1) = ,EA" S R(i) = 0 S R(5) = ,EJy  z S R(6) = EJz  y S R(7) = EA" S R(i) = 0 S R(11) = EJy  z S R(12) = ,EJz  y 0

i = 2; 3; 4

0

0

0

i = 8; 9; 10

0

0

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.38

Schnittkrafte bei homogenen Verformungsrandbedingungen 2  3 2 3 x ) N ( , EA" 66 7 6 7 66 Qy (x) 777 666 0 777 66 77 66 77  6 7 6 Q (x) 0 77 S (x) = 666 z 777 = 666 7 66 Mx (x) 77 66 0 777 66  77 66 7 64 My (x) 75 64 ,EJy  z 775 Mz(x) ,EJz  y 0

0

0

9412

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN)

Seite 4.39

Vorspannung

9412

Seite 4.40

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN)

Seite 4.41

Elastische Bettung

Senkbettungsmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen ohne Gelenke L (35 + 17s s ) bij (2; 2) = by 140 i j L (1 + 7s s ) bij (6; 6) = by 840 i j L (9s + 35s ) bij (2; 6) = ,by 840 i j L (35s + 9s ) bij (6; 2) = ,by 840 i j L (35 + 17s s ) bij (3; 3) = bz 140 i j L (1 + 7s s ) bij (5; 5) = bz 840 i j L (9s + 35s ) bij (3; 5) = bz 840 i j L (35s + 9s ) bij (5; 3) = bz 840 i j 3

2

2

3

2

2

mit Gelenken Ort: Anfangsknoten b = ,1 Endknoten b = 1 1 Momentengelenk, kein Querkraftgelenk Mz = 0 L [140 + 62s s , 35b(s + s )] bij (2; 2) = by 560 i j i j L [1 + s s , b(s + s )] bij (6; 6) = by 210 i j i j L (1 , s b)(13s + 35s ) bij (2; 6) = ,by 1120 j i j L (1 , s b)(35s + 13s ) bij (6; 2) = ,by 1120 i i j My = 0 L [140 + 62s s , 35b(s + s )] bij (3; 3) = bz 560 i j i j L [1 + s s , b(s + s )] bij (5; 5) = bz 210 i j i j L (1 , s b)(13s + 35s ) bij (3; 5) = bz 1120 j i j L (1 , s b)(35s + 13s ) bij (5; 3) = bz 1120 i i j 3

2

2

3

2

2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.42 1 Querkraftgelenk, kein Momentengelenk Qy = 0 bij (2; 2) = by L4 [1 + sisj , b(si + sj )] L [20 + 2s s , 5b(s + s )] bij (6; 6) = by 240 i j i j bij (2; 6) = ,by L24 (1 , sib)(3si + sj ) bij (6; 2) = ,by L24 (1 , sj b)(si + 3sj ) 3

2

2

Qz = 0 bij (3; 3) = bz L4 [1 + sisj , b(si + sj )] L [20 + 2s s , 5b(s + s )] bij (5; 5) = bz 240 i j i j bij (3; 5) = bz L24 (1 , sib)(3si + sj ) bij (5; 3) = bz L24 (1 , sj b)(si + 3sj ) 3

2

2

Momentengelenke Mz = 0 L (3 + s s ) bij (2; 2) = by 12 i j bij (6; 6) = bij (2; 6) = bij (6; 2) = 0

My = 0 L (3 + s s ) bij (3; 3) = bz 12 i j bij (5; 5) = bij (3; 5) = bij (5; 3) = 0 1 Momentengelenk, 1 Querkraftgelenk auf derselben Seite

Qy = 0 und bij (2; 2) = bij (6; 6) = bij (2; 6) = bij (6; 2) = 9412

Mz = 0 by L4 [1 + sisj , b(si + sj )] by L12 [1 + sisj , b(si + sj )] ,by L8 [si + sj , b(1 + sisj )] ,by L8 [si + sj , b(1 + sisj )] 3

2

2

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN) Qz = 0 und bij (3; 3) = bij (5; 5) = bij (3; 5) = bij (5; 3) =

Seite 4.43

My = 0 bz L4 [1 + sisj , b(si + sj )] bz L12 [1 + sisj , b(si + sj )] bz L8 [si + sj , b(1 + sisj )] bz L8 [si + sj , b(1 + sisj )] 3

2

2

1 Momentengelenk, 1 Querkraftgelenk auf verschiedenen Seiten c = , 1: Querkraftgelenk links, Momentengelenk rechts c = 1: Querkraftgelenk rechts, Momentengelenk links

Qy = 0 und bij (2; 2) = bij (6; 6) = bij (2; 6) = bij (6; 2) =

Mz = 0 by L4 (c , si)(c , sj ) by L12 (c + si )(c + sj ) ,by L8 si(c , si)(c + sj ) ,by L8 si(c , si)(c + sj )

Qz = 0 und bij (3; 3) = bij (5; 5) = bij (3; 5) = bij (5; 3) =

My = 0 bz L4 (c , si)(c , sj ) bz L12 (c + si)(c + sj ) bz L8 si(c , si)(c + sj ) bz L8 si(c , si)(c + sj )

3

2

2

3

2

2

Senkbettungsmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen L (3 + s s ) bij (2; 2) = by 12 i j L (3 + s s ) bij (3; 3) = bz 12 i j

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.44

Dynamische Berechnung

konsistente Massenmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen ohne Gelenke L (3 + s s ) mij (1; 1) = %A 12 i j L (3 + s s ) mij (4; 4) = %J 12 i j L (35 + 17s s ) mij (2; 2) = %A 140 i j L (1 + 7s s ) mij (6; 6) = %A 840 i j L (9s + 35s ) mij (2; 6) = ,%A 840 i j L (35s + 9s ) mij (6; 2) = ,%A 840 i j mij (3; 3) = mij (2; 2) mij (5; 5) = mij (6; 6) mij (3; 5) = ,mij (2; 6) mij (5; 3) = ,mij (6; 2) mit Gelenken Ort: Anfangsknoten b = ,1 Endknoten b = 1 Momentengelenk, kein Querkraftgelenk Mz = 0 L [140 + 62s s , 35b(s + s )] mij (2; 2) = %A 560 i j i j L [1 + s s , b(s + s )] mij (6; 6) = %A 210 i j i j L (1 , s b)(13s + 35s ) mij (2; 6) = ,%A 1120 j i j L (1 , s b)(35s + 13s ) mij (6; 2) = ,%A 1120 i i j My = 0 L [140 + 62s s , 35b(s + s )] mij (3; 3) = %A 560 i j i j L [1 + s s , b(s + s )] mij (5; 5) = %A 210 i j i j L (1 , s b)(13s + 35s ) mij (3; 5) = %A 1120 j i j L (1 , s b)(35s + 13s ) mij (5; 3) = %A 1120 i i j 0

3

2

2

3

2

2

3

2

2

9412

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN)

Seite 4.45

Querkraftgelenk, kein Momentengelenk Qy = 0 mij (2; 2) = %A L4 [1 + si sj , b(si + sj )] L [20 + 2s s , 5b(s + s )] mij (6; 6) = %A 240 i j i j mij (2; 6) = ,%A L24 (1 , sib)(3si + sj ) mij (6; 2) = ,%A L24 (1 , sj b)(si + 3sj ) 3

2

2

Qz = 0 mij (3; 3) = %A L4 [1 + si sj , b(si + sj )] L [20 + 2s s , 5b(s + s )] mij (5; 5) = %A 240 i j i j mij (3; 5) = %A L24 (1 , sib)(3si + sj ) mij (5; 3) = %A L24 (1 , sj b)(si + 3sj ) 3

2

2

Momentengelenke Mz = 0 L (3 + s s ) mij (2; 2) = %A 12 i j mij (6; 6) = mij (2; 6) = mij (6; 2) = 0

My = 0 L (3 + s s ) mij (3; 3) = %A 12 i j mij (5; 5) = mij (3; 5) = mij (5; 3) = 0 1 Momentengelenk, 1 Querkraftgelenk auf derselben Seite

Qy = 0 und mij (2; 2) = mij (6; 6) = mij (2; 6) = mij (6; 2) =

Mz = 0 %A L4 [1 + sisj , b(si + sj )] %A L12 [1 + sisj , b(si + sj )] ,%A L8 [si + sj , b(1 + sisj )] ,%A L8 [si + sj , b(1 + sisj )] 3

2

2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.46

Qz = 0 und mij (3; 3) = mij (5; 5) = mij (3; 5) = mij (5; 3) =

My = 0 %A L4 [1 + sisj , b(si + sj )] %A L12 [1 + si sj , b(si + sj )] %A L8 [si + sj , b(1 + sisj )] %A L8 [si + sj , b(1 + sisj )] 3

2

2

1 Momentengelenk, 1 Querkraftgelenk auf verschiedenen Seiten c = , 1: Querkraftgelenk links, Momentengelenk rechts c = 1: Querkraftgelenk rechts, Momentengelenk links

Qy = 0 und mij (2; 2) = mij (6; 6) = mij (2; 6) = mij (6; 2) =

Mz = 0 %A L4 (c , si)(c , sj ) %A L12 (c + si )(c + sj ) ,%A L8 si(c , si)(c + sj ) ,%A L8 si(c , si)(c + sj )

Qz = 0 und mij (3; 3) = mij (5; 5) = mij (3; 5) = mij (5; 3) =

My = 0 %A L4 (c , si)(c , sj ) %A L12 (c + si )(c + sj ) %A L8 si (c , si)(c + sj ) %A L8 si (c , si)(c + sj )

3

2

2

3

2

2

konsistente Massenmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen (auer Torsion) L (3 + s s ) mij (1; 1) = %A 12 i j mij (2; 2) = mij (3; 3) = mij (1; 1) L (3 + s s ) mij (4; 4) = %J 12 i j 0

9412

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN)

Seite 4.47

4.2.3.2 Quadratisch veranderliche Stei gkeiten (Elementtyp 112)

Moglichkeiten  Berucksichtigung der Verformungsanteile aus Normalkraft, zweiachsiger Biegung, St.-Venant'scher Torsion  uber die Stablange quadratisch veranderliche Flachenmomente  exzentrische Lage der Systemachse gegenuber der Schwerachse  Anordnung von Gelenken in den Schwerpunkten der Endquerschnitte  Knotenlasten und Schnittkrafte infolge homogener Verformungsrandbedingungen durch Bestimmung der Au agerkrafte mit Hilfe der Gauss-Quadratur

Lineare Berechnung

elastische Stei gkeitsmatrix ohne Gelenke

E 6L G 6L E 5L E 30L

keij (1; 1) keij (4; 4) keij (2; 2) keij (6; 6)

= = = =

keij (2; 6) keij (6; 2) keij (3; 3) keij (5; 5)

= , 5EL = , 5EL = 5EL = 30EL

keij (3; 5) = keij (5; 3) =

3

2

2

3

E 5L E 5L

2

2

(Al + 4Am + Ar)sisj (Jxl + 4Jxm + Jxr )sisj (18Jzl + 24Jz m + 18Jz r )sisj f[32 , 15(si + sj ) + 5(sisj , 1)]Jzl + [16 + 10(si + sj ) ]Jzm +[32 + 15(si + sj ) + 5(si sj , 1)]Jzr g [(9 , 5sj )Jzl + 12Jz m + (9 + 5sj )Jzr ]si [(9 , 5si)Jzl + 12Jzm + (9 + 5si )Jzr ]sj (18Jy + 24Jy m + 18Jyr ) n l [32 , 15(si + sj ) + 5(sisj , 1)]Jyl + [16 + 10(si + sj ) ]Jym o +[32 + 15(si + sj ) + 5(si sj , 1)]Jyr [(9 , 5sj )Jyl + 12Jym + (9 + 5sj )Jyr ]si [(9 , 5si)Jyl + 12Jym + (9 + 5si)Jyr ]sj 2

2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.48 mit Gelenken Ort: Anfangsknoten b = ,1 Endknoten b = 1 1 Momentengelenk, kein Querkraftgelenk

Mz = 0 keij (2; 2) = 20EL [(12 + 15b)Jz l + 36Jzm + (12 , 15b)Jz r ]sisj keij (6; 6) = 80EL [(12 , 15si )Jzl + 36Jzm + (12 + 15si )Jzr ](1 , si b)(1 + sisj ) keij (2; 6) = , 80EL f[3(3 , 5sj ) + 15b(1 , sj )]Jzl + 12(1 , 5sj b)Jzm +[3(3 + 5sj ) , 15b(1 + sj )]Jzr g si(1 , sj b) keij (6; 2) = , 80EL f[3(3 , 5si) + 15b(1 , si)]Jzl + 12(1 , 5sib)Jzm +[3(3 + 5si ) , 15b(1 + si)]Jzr g sj (1 , sib) 3

2

2

My = 0 keij (3; 3) = 20EL [(12 + 15b)Jyl + 36Jym + (12 , 15b)Jyr ]sisj keij (5; 5) = 80EL [(12 , 15si )Jyl + 36Jym + (12 + 15si)Jyr ](1 , sib)(1 + sisj ) n keij (3; 5) = 80EL [3(3 , 5sj ) + 15b(1 , sj )]Jyl + 12(1 , 5sj b)Jym o +[3(3 + 5sj ) , 15b(1 + sj )]Jyr si(1 , sj b) n keij (5; 3) = 80EL [3(3 , 5si) + 15b(1 , si)]Jyl + 12(1 , 5sib)Jym o +[3(3 + 5si ) , 15b(1 + si)]Jyr sj (1 , sib) 3

2

2

1 Querkraftgelenk, kein Momentengelenk Qy = 0 keij (6; 6) = 6EL (Jzl + 4Jzm + Jzr )sisj keij (2; 2) = keij (2; 6) = keij (6; 2) = 0

Qz = 0 keij (5; 5) = 6EL (Jyl + 4Jym + Jyr )sisj keij (3; 3) = keij (3; 5) = keij (5; 3) = 0

9412

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN)

Seite 4.49

2 Momentengelenke oder 1 Momentengelenk, 1 Querkraftgelenk Mz = 0 keij (2; 2) = k eij (6; 6) = k eij (2; 6) = keij (6; 2) = 0

My = 0 keij (3; 3) = k eij (5; 5) = k eij (3; 5) = keij (5; 3) = 0

Knotenlasten infolge Belastung im Element mit Hilfe des Kraftgroenverfahrens Last in x-Richtung

N (x) = ,hpxi N (x) = ,1 infolge S R(1) = 1 0

1

1

Einzellast Px ZL hpx i 1  = E A(x) dx xa 1

10

Streckenlast px(x) 3 2 xb L Z Z  = E1 64 hAp(xxi) dx + hAp(xxi) dx75 1

10



11

xa

1

xb

ZL 1 1 = E A(x) dx 0

Gauss-Quadratur mit 4 Stutzstellen S R(1) = ,  S R(7) = ,S R(1) + hpx i 10

11

1

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.50 Last in y-Richtung

M (x) = ,hpy i M (x) = ,x infolge S R(2) = 1 M (x) = 1 infolge S R(6) = 1 0

2

1

2

Einzellast Py ZL hpy i x 1  = E J (x) dx xa z ZL ,hpy i 1  = E J (x) dx xa z 2

10

2

20

Streckenlast py (x) 2 xb 3 L Z Z  = E1 64 hJpy(ix)x dx + hJpy(ixx) dx75 z xb z 2xaxb 3 L Z Z  = E1 64 Jhp(yxi ) dx + Jhpy(xi ) dx75 2

2

10

2

20



11



12

= E1

xa ZL 0

22

0

9412

x dx Jz (x) 2

ZL ,x 1 = E J (x) dx z ZL 1 1 = E J (x) dx z 0



z

2

xb

z

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN)

Seite 4.51

Gauss-Quadratur mit 4 Stutzstellen S R(2) = ,  +,  S R(6) =     ,,   S R(8) = ,SR(2) + hpby i S R(12) = ,SR(6) + LS R(2) , hpby i 10

22

11

10

12

2 12

22

12

11

20

20

22

11

2 12

1

2

Last in z-Richtung

M (x) = ,hpz i M (x) = ,x infolge S R(3) = 1 M (x) = ,1 infolge S R(5) = 1 0

2

1

2

Einzellast Pz ZL hpz i x 1  = E J (x) dx xa y ZL ,hpz i 1  = E J (x) dx xa y 2

10

2

20

Streckenlast pz (x) 2 xb 3 L Z Z  = E1 64 hJpz(ixx) dx + hJpz(ixx) dx75 y xb y 2xaxb 3 L Z Z i i 1 h p h p  = E 64 J (zx) dx + J z(x) dx75 2

2

10

2

20



11

= E1

xa ZL 0

y

x dx Jy (x)

2

xb

y

2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.52



12

ZL x 1 = E J (x) dx y ZL 1 1 = E J (x) dx y 0



22

0

Gauss-Quadratur mit 4 Stutzstellen S R(3) = ,  +,  S R(5) =     ,,   S R(9) = ,S R(3) + hpbz i S R(11) = ,S R(5) , LS R(3) + hpbz i 10

22

11

10

12

2 12

22

12

11

20

20

11

2 12

22

1

2

Momente um die x-Achse

M (x) = ,hmxi M (x) = ,1 infolge S R(4) = 1 0

1

1

Einzelmoment Mx ZL hmxi 1  = G J (x) dx xa x 1

10

Streckenmoment mx(x) 2 xb 3 L Z Z  = G1 64 hJm(xxi) dx + hJm(xxi) dx75 1

10



11

xa L Z

= G1 J 1(x) dx x 0

9412

x

1

xb

x

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN)

Seite 4.53

Gauss-Quadratur mit 4 Stutzstellen S R(4) = ,  cxi S R(10) = ,SR(4) + hm 10 11

1

Momente um die y-Achse

M (x) = ,hmy i M (x) = ,x infolge S R(3) = 1 M (x) = ,1 infolge S R(5) = 1 0

1

1

2

Einzelmoment My ZL hmy i x 1  = E J (x) dx xa y ZL hmy i 1  = E J (x) dx xa y 1

10

1

20

Streckenmoment my (x) 3 2 xb L Z Z  = E1 64 hJmy(ix)x dx + hJmy(ix)x dx75 y xb y 2xaxb 3 L Z Z  = E1 64 hJm(yxi) dx + hJm(yxi) dx75 xa y xb y ZL x 1  = E J (x) dx y ZL x 1  = E J (x) dx y ZL 1 1  = E J (x) dx y 1

1

10

1

1

20

2

11

0

12

0

22

0

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.54 Gauss-Quadratur mit 4 Stutzstellen S R(3) = ,  +,  S R(5) =     ,,   S R(9) = ,S R(3) cy i S R(11) = ,S R(5) , LS R(3) + hm 10

22

11

10

20

22

12

11

12

2 12

20

11

2 12

22

1

Momente um die z-Achse

M (x) = ,hmz i M (x) = ,x infolge S R(2) = 1 M (x) = 1 infolge S R(6) = 1 0

1

1

2

Einzelmoment Mz ZL hmz i x 1  = E J (x) dx xa z ZL ,hmz i 1  = E J (x) dx xa z 1

10

1

20

Streckenmoment mz (x) 2 xb 3 L Z Z  = E1 64 hJmz(ix)x dx + hJmz(ix)x dx75 z xb z 2xaxb 3 L Z Z i i 1 ,h m ,h m  = E 64 J (xz) dx + J (xz) dx75 z xa z xb ZL x 1  = E J (x) dx z 1

1

10

1

20

2

11

0

9412

1

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN) 

12

Seite 4.55

ZL ,x 1 = E J (x) dx z ZL 1 1 = E J (x) dx z 0



22

0

Gauss-Quadratur mit 4 Stutzstellen S R(2) = ,  +,  S R(6) =     ,,   S R(8) = ,SR(2) cz i S R(12) = ,SR(6) + LS R(2) + hm 10

22

11

10

22

12

2 12

22

12

11

20

20

11

2 12

1

9412

Seite 4.56

Temperatur

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN)

Seite 4.57

Vorspannung

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.58

Elastische Bettung

Senkbettungsmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen ohne Gelenke

bij (2; 2) = bij (6; 6) = bij (2; 6) = bij (6; 2) = bij (3; 3) = bij (5; 5) = bij (3; 5) = bij (5; 3) =

L n[105 , 126(si + sj ) + 83si sj ]byl + 140(3 + sisj )bym 2520 o + [105 + 126(si + sj ) + 83si sj ]byr L n[1 , 3(si + sj ) + 3si sj ]by + + 4(1 + 9sisj )by l m 5040 o +[1 + 3(si + sj ) + 3sisj ]byr n L , 5040 (,21 + 11si + 21sj , 27si sj ]byl + 8(4si + 21sj )bym o +(21 + 11si + 21sj + 27si sj ]byr L n(,21 + 21si + 11sj , 27si sj ]by + 8(21si + 4sj )by , 5040 l m o + (21 + 21si + 11sj + 27si sj ]byr L 2520 f[105 , 126(si + sj ) + 83si sj ]bzl + 140(3 + sisj )bzm + [105 + 126(si + sj ) + 83si sj ]bzr g L 5040 f[1 , 3(si + sj ) + 3si sj ]bzl + + 4(1 + 9si sj )bzm +[1 + 3(si + sj ) + 3sisj ]bzr g L 5040 f(,21 + 11si + 21sj , 27si sj ]bzl + 8(4si + 21sj )bzm +(21 + 11si + 21sj + 27si sj ]bzr g L 5040 f(,21 + 21si + 11sj , 27si sj ]bzl + 8(21si + 4sj )bzm + (21 + 21si + 11sj + 27si sj ]bzr g 3

2

2

3

2

2

mit Gelenken Ort: Anfangsknoten b = ,1 Endknoten b = 1 1 Momentengelenk, kein Querkraftgelenk

Mz = 0 L nh 64 , 3:2(7 + b)(si + sj ) +  4544 + 48 b si sj i by bij (2; 2) = 512 l 315 i 7 h3256 8768 + 3 , 25:6b(si + sj ) + 315 sisj bym h  4544 48  i o + 64 + 3 : 2(7 , b )( s + s ) + i j 3 315 , 7 b sisj byr

h 1 1  41 by +  1 , 1 b by i
bij (6; 6) = L40 72 + 112 b byl + 252 m 72 112 r
[1 , b(si + sj ) + sisj ] 3

9412

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN) L nh 1  368 + 128b si , 16(1 + b)i byl bij (2; 6) = , 5120 730089  + 63 si , 128b bym h   i o + 17 368 , 128 b s + 16(1 , b ) byr (1 , sj b) i 9

Seite 4.59

2

L nh 1  368 , 128b sj , 16(1 + b)i byl bij (6; 2) = , 5120 730089  + 63 sj , 128b bym h   i o + 71 368 , 128 b s + 16(1 , b ) byr (1 , sib) j 9 2

My = 0 L nh 64 , 3:2(7 + b)(si + sj ) +  4544 + 48 b sisj i bzl bij (3; 3) = 512 315 i 7 h3256 8768 + 3 , 25:6b(si + sj ) + 315 sisj bzm h  4544 48  i o + 64 + 3 : 2(7 , b )( s + s ) + i j 3 315 , 7 b si sj bzr bij (5; 5) =

L h 1 + 1 b bzl + 41 bzm +  1 , 1 b bzr i
40 72 112 252 72 112
[1 , b(si + sj ) + si sj ] 3

L nh 1  368 + 128b si , 16(1 + b)i bzl bij (3; 5) = 5120 730089  + 63 si , 128b bzm h   i o + 17 368 , 128 b s + 16(1 , b ) bzr (1 , sj b) i 9 2

L nh 1  368 , 128b sj , 16(1 + b)i bzl bij (5; 3) = 5120 730089  + 63 sj , 128b bzm h   i o + 17 368 , 128 b s + 16(1 , b ) bzr (1 , sib) j 9 2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.60 1 Querkraftgelenk, kein Momentengelenk

Qy = 0 L , b(si + sj ) + sisj ](by + 4by + by ) bij (2; 2) = l m r 24 [1 n L [224 , 280b + 28(1 , b)(si + sj ) + 8sisj ]byl + bij (6; 6) = 13440 +[672 , 224b(si + sj ) + 96si sj ]bym o + [224 + 280b , 28(1 + b)(si + sj ) + 8sisj ]byr L n[10(1 , b) + 2sj ]by + 8(,5b + 2sj )by bij (2; 6) = , 480 l m o + [,10(1 , b) + 2sj ]byr (1 , sib) L n[10(1 , b) + 2si]by + 8(,5b + 2si)by bij (6; 2) = , 480 l m o + [,10(1 , b) + 2si]byr (1 , sj b) 3

2

2

Qz = 0 L bij (3; 3) = 24 [1 , b(si + sj ) + sisj ](bzl + 4bzm + bzr ) L f[224 , 280b + 28(1 , b)(si + sj ) + 8si sj ]bzl + bij (5; 5) = 13440 +[672 , 224b(si + sj ) + 96si sj ]bzm + [224 + 280b , 28(1 + b)(si + sj ) + 8sisj ]bzr g L f[10(1 , b) + 2sj ]bzl + 8(,5b + 2sj )bzm bij (3; 5) = 480 + [,10(1 , b) + 2sj ]bzr g (1 , si b) L f[10(1 , b) + 2si]bzl + 8(,5b + 2si )bzm bij (5; 3) = 480 + [,10(1 , b) + 2si]bzr g (1 , sj b) 3

2

2

2 Momentengelenke

Mz = 0 bij (2; 2) =

L n[5 , 5(si + sj ) + 3sisj ] byl + 4(5 + sisj )bym 120 o + [5 + 5(si + sj ) + 3si sj ] byr bij (6; 6) = bij (2; 6) = bij (6; 2) = 0 My = 0 bij (3; 3) =

L 120 f[5 , 5(si + sj ) + 3sisj ] bzl + 4(5 + sisj )bzm + [5 + 5(si + sj ) + 3si sj ] bzr g bij (5; 5) = bij (3; 5) = bij (5; 3) = 0 9412

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN)

Seite 4.61

1 Momentengelenk, 1 Querkraftgelenk fehlt noch! Senkbettungsmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen L n[5 , 5(si + sj ) + 3si sj ]by + 4(5 + sisj )by bij (2; 2) = 120 l m o +[5 + 5(si + sj ) + 3sisj ]byr L f[5 + 5(si + sj ) + 3sisj ]bzl + 4(5 + sisj )bzm bij (3; 3) = % 120 +[5 + 5(si + sj ) + 3sisj ]bzr g

Dynamische Berechnung

konsistente Massenmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen ohne Gelenke

mij (1; 1) = mij (4; 4) =

L f[5 , 5(si + sj ) + 3sisj ]Al + 4(5 + sisj )Am % 120 +[5 + 5(si + sj ) + 3sisj ]Ar g L f[5 , 5(si + sj ) + 3sisj ]J l + 4(5 + sisj )J m % 120 +[5 + 5(si + sj ) + 3sisj ]J r g L f[105 , 126(si + sj ) + 83si sj ]Al + 140(3 + sisj )Am % 2520 +[105 + 126(si + sj ) + 83si sj ]Arg L f[1 , 3(si + sj ) + 3sisj ]Al + 4(1 + 9si sj )Am % 5040 +[1 + 3(si + sj ) + 3sisj ]Ar g L [(,21 + 11si + 21sj , 27si sj )Al + 8(4si + 21sj )Am ,% 5040 +(21 + 11si + 21sj + 27si sj )Ar] L [(,21 + 21si + 11sj , 27si sj )Al + 8(21si + 4sj )Am ,% 5040 +(21 + 21si + 11sj + 27si sj )Ar] mij (2; 2) mij (6; 6) ,mij (2; 6) ,mij (6; 2) 0

0

0

mij (2; 2) = mij (6; 6) = mij (2; 6) = mij (6; 2) = mij (3; 3) mij (5; 5) mij (3; 5) mij (5; 3)

= = = =

3

2

2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.62 mit Gelenken Ort: Anfangsknoten b = ,1 Endknoten b = 1 1 Momentengelenk, kein Querkraftgelenk

Mz = 0 mij (2; 2) =

L nh 64 , 3:2(7 + b)(si + sj ) +  4544 + 48 b sisj i Al % 512 315 i 7 h3256 8768 + 3 , 25:6b(si + sj ) + 315 sisj Am h  4544 48  i o + 64 + 3 : 2(7 , b )( s + s ) + i j 3 315 , 7 b siisj Ar h   1 b Al + 41 Am + 1 , 1 b Ar
mij (6; 6) = % L40 721 + 112 252 72 112
[1 , b(si + sj ) + sisj ] nh L 1  368 + 128b si , 16(1 + b)i Al mij (2; 6) = ,% 5120 730089  + 63 si , 128b Am  i o h  , 128 b s + 16(1 , b ) Ar (1 , sj b) + 17 368 i 9 nh   i L 1 368 , 128b sj , 16(1 + b) Al mij (6; 2) = ,% 5120  730089 + 63 sj , 128b Am h   i o + 17 368 , 128 b s + 16(1 , b ) Ar (1 , sib) j 9 3

2

2

My = 0 L nh 64 , 3:2(7 + b)(si + sj ) +  4544 + 48 b sisj i Al mij (3; 3) = % 512 315 i 7 h3256 8768 + 3 , 25:6b(si + sj ) + 315 si sj Am  4544 48  i o h + 64 + 3 : 2(7 , b )( s + s ) + i j 3 315 , 7 b siisj Ar h   1 + 1 b Al + 41 Am + 1 , 1 b Ar
mij (5; 5) = % L40 72 112 252 72 112
[1 , b(si + sj ) + sisj ] L nh 1  368 + 128b si , 16(1 + b)i Al mij (3; 5) = % 5120 730089  + 63 si , 128b Am h   i o + 17 368 , 128 b s + 16(1 , b ) Ar (1 , sj b) i 9 nh   i L 1 368 , 128b sj , 16(1 + b) Al mij (5; 3) = % 5120 730089  + 63 sj , 128b Am  i o h  , 128 b s + 16(1 , b ) Ar (1 , sib) + 17 368 j 9 3

2

2

9412

4.2. LINIENELEMENTE (2 KNOTEN)

Seite 4.63

1 Querkraftgelenk, kein Momentengelenk

Qy = 0 L [1 , b(si + sj ) + sisj ](Al + 4Am + Ar) mij (2; 2) = % 24 L f[224 , 280b + 28(1 , b)(si + sj ) + 8si sj ]Al+ mij (6; 6) = % 13440 +[672 , 224b(si + sj ) + 96si sj ]Am + [224 + 280b , 28(1 + b)(si + sj ) + 8sisj ]Arg L f[10(1 , b) + 2sj ]Al+ 8(,5b + 2sj )Am mij (2; 6) = ,% 480 + [,10(1 , b) + 2sj ]Arg (1 , sib) L f[10(1 , b) + 2si ]Al+ 8(,5b + 2si )Am mij (6; 2) = ,% 480 + [,10(1 , b) + 2si ]Arg (1 , sj b) 3

2

2

Qz = 0 L [1 , b(si + sj ) + sisj ](Al + 4Am + Ar) mij (3; 3) = % 24 L f[224 , 280b + 28(1 , b)(si + sj ) + 8si sj ]Al+ mij (5; 5) = % 13440 +[672 , 224b(si + sj ) + 96si sj ]Am + [224 + 280b , 28(1 + b)(si + sj ) + 8sisj ]Arg L f[10(1 , b) + 2sj ]Al+ 8(,5b + 2sj )Am mij (3; 5) = % 480 + [,10(1 , b) + 2Aj ]Arg (1 , sib) L f[10(1 , b) + 2si ]Al+ 8(,5b + 2si )Am mij (5; 3) = % 480 + [,10(1 , b) + 2si ]Arg (1 , sj b) 3

2

2

2 Momentengelenke

Mz = 0 mij (2; 2) =

L f[5 , 5(si + sj ) + 3sisj ]Al+ 4(5 + sisj )Am % 120 + [5 + 5(si + sj ) + 3si sj ]Arg mij (6; 6) = mij (2; 6) = mij (6; 2) = 0 My = 0 mij (3; 3) =

L f[5 , 5(si + sj ) + 3sisj ]Al+ 4(5 + sisj )Am % 120 + [5 + 5(si + sj ) + 3si sj ]Arg mij (5; 5) = mij (3; 5) = mij (5; 3) = 0 9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.64 1 Momentengelenk, 1 Querkraftgelenk fehlt noch!

konsistente Massenmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen (auer Torsion)

L f[5 , 5(si + sj ) + 3sisj ]Al + 4(5 + sisj )Am % 120 + [5 + 5(si + sj ) + 3si sj ]Arg mij (2; 2) = mij (3; 3) = mij (1; 1) L f[5 , 5(si + sj ) + 3sisj ]J l + 4(5 + si sj )J m mij (4; 4) = % 120 + [5 + 5(si + sj ) + 3si sj ]J r g mij (1; 1) =

0

0

0

9412

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.65

4.3 Flachenelemente

4.3.1 Koordinaten, Integration, Materialkennwerte, veranderliche Dicke 4.3.1.1 Dreieck { lineare Abbildung

Einheitskoordinaten der Elementknoten 1=A 2=B 3=C r(x = xi) = ri 0 1 0 s(y = yi) = si 0 0 1 Abbildungsfunktion

x = x (1 , r , s) + x r + x s y = y (1 , r , s) + y r + y s 1

2

1

2

Jacobi-Matrix 2 @y 66 @x @r @r J =4 @x @y @s @s

3

3

3 2 3 x , x y , y 77 6 75 5=4 x ,x y ,y 2

1

2

1

3

1

3

1

det J = (x , x )(y , y ) , (x , x )(y , y ) = 2A 2

1

3

3

1

1

2

1

naturliche (Dreiecks-) Koordinaten 2 3 2 3 2 3 66 1 77 66 1 1 1 77 66 s 77 66 x 77 = 66 x x x 77 66 s 77 64 75 64 75 64 75 y y y y s 1

1

2

3

2

1

2

3

3

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.66 Umkehrabbildung 2 3 66 1 1 1 77 det 666 x x x 777 = x y 4 5 y y y 2 3 2 66 s 77 66 a b c 1 66 s 77 = 66 a b c 64 75 2A 64 s a b c 1

2

3

1

2

3

2

3

1

1

1

1

2

2

2

2

3

3

3

3

+ x y + x y , x y , x y , x y = 2A 1

2

3

2

1

1

1

3

32 3 77 66 1 77 77 66 x 77 75 64 75 y

mit

3 2 x y ai = (,1)i det 64 j j 75 = (,1)i (xj yk , xk yj ) xk yk +1

+1

2 3 1 yj 7 bi = (,1)i det 64 5 1 yk +2

= (,1)i (yk , yj ) +2

2 3 1 xj 7 ci = (,1)i det 64 5 = (,1)i (xk , xj ) 1 xk i; j; k = 1; 2; 3; 2; 1; 3; 3; 1; 2 +3

+3

oder ausgeschrieben si = 21A (ai + bix + ciy) = AAi mit a = x y , x y a =x y ,x y a =x y ,x y 1

2

3

3

2

2

3

1

1

3

3

1

2

2

1

b =y ,y b =y ,y b =y ,y 1

2

3

2

3

1

3

1

2

und s + s + s = 1 1

9412

2

3

i = 1; 2; 3

c =x ,x c =x ,x c =x ,x 1

3

2

2

1

3

3

2

1

3

2

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.67

Abbildung: naturliche Koordinaten { Einheitskoordinaten s =1,r,s s =r s =s 1 2 3

Inverse der Jacobi-Matrix 2 @r @s 3 2 @y 2 3 @y 3 , 6 7 6 @r 77 = 1 64 b b 75 J , = 64 @x @x 75 = det1 J 64 @s @r @s @x @x 5 2A c c , @y @y @s @r 1

2

3

2

3

Integration im Einheitsdreieck analytisch Z Z,r rp1 sp2 dr ds = (2 +pp!p+! p )! 1 1

1

0

1

0

oder Z Z,s2 1 1

0

2

sp1 sp2 sp3 ds ds = (2 + pp !+p p!p +! p )! 1

1

0

2

2

3

2

2

3

3

1

2

3

numerisch durch Gauss-Quadratur (s. [SF73]) Z Z,r X f (r; s)dr ds  21 wif (ri; si) i 1

0

1

0

9412

Seite 4.68

4. ELEMENTABLEITUNGEN

GenauigStutzstellen Wichtungsfaktoren wi keitsgrad r-Koordinate s-Koordinate 1 0.33333 33333 33333 0.33333 33333 33333 1.00000 00000 00000 2 0.50000 00000 00000 0.00000 00000 00000 0.33333 33333 33333 0.50000 00000 00000 0.50000 00000 00000 0.33333 33333 33333 0.00000 00000 00000 0.50000 00000 00000 0.33333 33333 33333 3 0.33333 33333 33333 0.33333 33333 33333 -0.56250 00000 00000 0.20000 00000 00000 0.20000 00000 00000 0.52083 33333 33333 0.60000 00000 00000 0.20000 00000 00000 0.52083 33333 33333 0.20000 00000 00000 0.60000 00000 00000 0.52083 33333 33333 4 0.09157 62135 09771 0.09157 62135 09771 0.10995 17436 55322 0.81684 75729 80459 0.09157 62135 09771 0.10995 17436 55322 0.09157 62135 09771 0.81684 75729 80459 0.10995 17436 55322 0.44594 84909 15965 0.44594 84909 15965 0.22338 15896 78011 0.10810 30181 68070 0.44594 84909 15965 0.22338 15896 78011 0.44594 84909 15965 0.10810 30181 68070 0.22338 15896 78011 5 0.33333 33333 33333 0.33333 33333 33333 0.22500 00000 00000 0.10128 65073 23456 0.10128 65073 23456 0.12593 91805 44827 0.79742 69853 53087 0.10128 65073 23456 0.12593 91805 44827 0.10128 65073 23456 0.79742 69853 53087 0.12593 91805 44827 0.47014 20641 05115 0.05971 58717 89770 0.13239 41527 88506 0.47014 20641 05115 0.47014 20641 05115 0.13239 41527 88506 0.05971 58717 89770 0.47014 20641 05115 0.13239 41527 88506

9412

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.69

4.3.1.2 Viereck { bilineare Abbildung

Einheitskoordinaten der Elementknoten 1=A 2=B 3=C 4=D r(x = xi) = ri ,1 1 1 ,1 s(y = yi) = si ,1 ,1 1 1 Jacobi-Matrix Abbildungsfunktionen i = 1; : : : ; 4 hi = 14 (1 + rir)(1 + sis) X x = xih = d + d r + d s + d rs 4

1

i

2

3

4

=1

y =

X 4

yih = e + e r + e s + e rs 1

i

2

3

4

=1

mit d = 14 ( x + x + x + x ) e e d = 14 (,x + x + x , x ) d = 14 (,x , x + x + x ) e d = 14 ( x , x + x , x ) e 2 3 @y 3 2 @x d +d s e +e s 7 6 7 J = 64 @r @r 75 = 64 5 @x @y d +d r e +e r @s @s 1

1

2

3

4

1

2

1

2

3

4

2

3

1

2

3

4

3

4

1

2

3

4

4

det J = c + c r + c s 1

2

3

2

4

2

4

3

4

3

4

= 14 ( y = 14 (,y = 14 (,y = 14 ( y

1

1

1

1

+y +y ,y ,y

2

2

2

2

+y +y +y +y

3

3

3

3

+y ) ,y ) +y ) ,y ) 4

4

4

4

mit c = d e , d e c =d e ,d e c =d e ,d e 1

2

3

3

2

2

2

4

4

2

3

4

3

3

4

9412

Seite 4.70 4. ELEMENTABLEITUNGEN 2 @r 2 @y 3 @y 3 @s , 6 6 7 @r 77 = J , = 64 @x @x 75 = det1 J 64 @s @r @s @x @x 5 , @y @y 2 @s @r 3 2 3 e + e r , e , e s j j 1 75 = 64 75 = c + c r + c s 64 ,d , d r d + d s j j 1

3

1

2

3

4

3

2

4

4

2

4

11

12

21

22

Abkurzungen

e i = , 14 (rid , sid ) e i = r4i (sid , d ) e i = , s4i (rid , d )

d i = 41 (rie , sie ) d i = , r4i (sie , e ) d i = s4i (rie , e ) 3

1

2

2

2

3

3

1

4

3

2

4

2

3

2

4

3

4

i = 1; : : : ; 4

Integration in Einheitskoordinaten analytisch Z Z ,1)p1 1 + (,1)p2 rp1 sp2 dr ds = 1 +p (+ 1 p +1 , , 1

1

1

1

1

2

numerisch durch Gauss-Quadratur Z Z X f (r; s)dr ds  wiwj f (ri ; sj ) 1

1

, , 1

1

i;j

Genauigkeit, Stutzstellen, Wichtungsfaktoren s. Abs. 4.2.1

9412

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.71

4.3.1.3 Rechteck als Sonderfall des Vierecks

Einheitskoordinaten r = L2 x , 1 $ x = L2 (r + 1) s = L2 y , 1 $ y = L2 (s + 1) 1

1

2

2

Jacobi-Matrix 2 @y 66 @x @r @r J =4 @x @y @s @s det J = 14 L L 1

3 2 3 77 6 L2 0 7 5 5=4 0 L2 1

2

2 @r @s 3 2 3 2 0 6 7 J , = 64 @x @x 75 = 64 L 2 75 @r @s 0 L @y @y 1

1

2

2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.72

4.3.1.4 Materialkennwerte (s. [BU88]) Materialmatrix 2 3 66 E E E 77 E = 666 E E E 777 4 5 E E E 11

12

13

21

22

23

31

32

33

E =E E =E E =E 12

21

13

31

23

32

orthotropes Material ! Entkopplung in den Hauptrichtungen x0 und y0 2 3 isotrop: 0 0 E 0 = E 0 = 1 ,E  66 E E 0 77 E 0 = 666 E 0 E 0 0 777 E 0 = E 0 4 5 0 0 E0 E 0 = 12 (E 0 , E 0 ) 11

12

11

21

22

12

33

2

22

11

33

11

12

Transformations-Matrix c = cos( ) s = sin( ) 2 3 s sc 77 66 c 6 T = 66 s c ,sc 777 4 5 ,2sc 2sc c , s 2

2

2

2

2

2

E = T T E0 T isotropes Material Elastizitatsmodul Querdehnzahl ebener Spannungszustand E  E  ebener Verzerrungszustand 1, 1, 2

9412

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.73

Spannungs-Dehnungs-Beziehung

Anfangsverzerrungen, -krummungen aus Temperatur 2 3 2 3 66 T1 77 66 c T1 + s T2 77 " =
TsT 666 T2 777 =
Ts 666 s T1 + c T2 777 4 5 4 5 0 2cs(T1 , T2 ) 2 3 2 3 66 T1 77 66 c T1 + s T2 77
T
T  = t h T 666 T2 777 = t h 666 s T1 + c T2 777 4 5 4 5 0 2cs(T1 , T2 ) 0

0

2

2

2

2

2

2

2

2

mit T1 , T2 Temperaturausdehnungskoezienten in den Hauptrichtungen
Ts Temperaturanderung in der Mittel ache
Th Temperaturdierenz uber die Dicke

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.74

4.3.1.5 Veranderliche Dicke

Dreieck (linear veranderlich) t(r; s) = t (1 , r , s) + t r + t s 1

2

3

Viereck (bilinear veranderlich) hi = 14 (1 + ri r)(1 + sis) i = 1; : : :; 4 X t(r; s) = tihi = t + t r + t s + t sr 4

1

i

2

3

=1

mit t = 14 ( t t = 14 (,t t = 14 (,t t = 14 ( t

9412

1

1

2

1

3

1

4

1

+t +t +t ) 2

3

4

+t +t ,t ) 2

3

4

,t +t +t ) 2

3

4

,t +t ,t ) 2

3

4

4

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.75

4.3.2 Scheiben-, Membranelemente Freiheitsgrade je Knoten lokal tx, ty global tx, ty , tz

Verzerrungen 2 ! @v 1 @v e = @x + 2 4 @x + 2 ! 1 @v @v 4 e = @y + 2 @y + ! 1 @v @v e = 2 @y + @x + 21 2

1

1

2

1

11

2

22

1

2

12

!3 @v 5 @x !3 @v 5 @y ! @v @v + @v @v @x @y @x @y 2

2

2

2

1

1

2

2

Lineare Berechnung

linearer Anteil der Verzerrungen " = @v @x @v " = @y ! 1 @v @v " = 2 @y + @x 1

11

2

22

1

2

12

Matrix der Dierentialoperatoren 2 3 @ @ 0 6 77 DTe = 64 @x @ @y @ 5 0 @y @x Interpolationsmatrix 2 3 h 0 0 i 75 H ei = 64 0 hi 0

i = 1 ; : : : ; nk

Spannungen 2 3 66  (r; s) 77 X 66  (r; s) 77 = nk C e (r; s)ui , E " i 64 75 i  (r; s) 11

0

22

=1

12

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.76 Schnittkrafte 2 3 2 3 66 n (r; s) 77 6  (r; s) 7 66 n (r; s) 77 = t(r; s) 666  (r; s) 777 64 75 64 75 n (r; s)  (r; s) 11

11

22

22

12

12

9412

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.77

Veranderliche Flachenlast

Vektor der Lastordinaten in den Knoten (global)

P Ti = [Pi ; Pi ; Pi ] 1

2

3

i = 1 ; : : : ; nk

Interpolationsmatrix fur die Last 2 3 66 hi 0 0 77 H Pi = 666 0 hi 0 777 i = 1; : : :; nk 4 5 0 0 hi Integrand

2 66 hihj 0 0 H TPi H ej = 666 0 hihj 0 4 0 0 hihj Knotenlasten Z S Ri = H TPi H ej dA
P i A

3 77 77 75

i; j = 1; : : : ; nk

i; j = 1; : : : ; nk

Veranderliche Linienlast

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.78

Temperatur

Knotenlasten Z S Ri = B Tei dV
E "

i = 1; : : : ; nk

0

V

Vorspannung

Knotenlasten Z S Ri = B Tei dV
1t v V

i = 1; : : : ; nk

Geometrisch nichtlineare Berechnung

nichtlinearer Anteil der Verzerrungen 2 ! !3 @v @v 1  = 2 4 @x + @x 5 2 ! !3 1 @v @v  = 2 4 @y + @y 5 ! 1 @v @v @v @v  = 2 @x @y + @x @y 2

2

1

2

11

2

2

1

2

22

1

1

2

2

12

Matrix der Dierentialoperatoren 2 3 @ @ 0 0 0 0 77 6 DTnl = 64 @x @y @ @ 5 0 0 @x @y 0 0 Interpolationsmatrix H nli = H ei i = 1; : : : ; nk Cauchy'sche Spannungsmatrix 3 2 2 66  0 0 77   = 666 0  0 777 mit  i = 64  5 4 0 0 0 1

11

2

21

9412

3  7 5  12

22

i = 1; 2

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.79

Dynamische Berechnung Interpolationsmatrix 2 3 66 hi 0 0 77 H mi = 666 0 hi 0 777 4 5 0 0 hi Integrand

2 66 hihj 0 0 T H mi H mj = 666 0 hihj 0 4 0 0 hihj

i = 1; : : : ; nk

3 77 77 75

i; j = 1; : : : ; nk

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.80

4.3.2.1 Dreieckscheibe, -zugmembrane ohne Zwischenknoten

Vektor der Knotenverformungen im Element-KOS

uTi = [ui ; ui ; ui ] 1

2

3

Formfunktionen hi = si i = 1; 2; 3

9412

i = 1; 2; 3

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.81

Lineare Berechnung Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix 2 3 66 bi 0 0 77 1 B ei = 2A 666 0 ci 0 777 i = 1; 2; 3 4 5 ci bi 0 Spannungs-Verschiebungs-Matrix 2 3 E b + E c E c + E b 0 i i i i 66 77 1 6 C ei = 2A 66 E bi + E ci E ci + E bi 0 777 4 5 E bi + E ci E ci + E bi 0 11

13

12

13

21

23

22

23

31

33

32

33

i = 1; 2; 3

elastische Stei gkeitsmatrix

keij (1; 1) = 4tA [E keij (2; 2) = 4tA [E keij (1; 2) = 4tA [E keij (2; 1) = 4tA [E

11

22

12

12

bibj + E (bicj + cibj ) + E cicj ] 13

33

cicj + E (bicj + cibj ) + E bibj ] 23

33

bicj + E bibj + E cicj + E cibj ] 13

23

33

cibj + E bibj + E cicj + E bicj ] 13

23

33

keij (1; 3) = k eij (3; 1) = k eij (2; 3) = keij (3; 2) = keij (3; 3) = 0

i; j = 1; 2; 3

mit t = t fur t konstant 1 t = 3 (t + t + t ) fur t linear veranderlich 1

2

3

Linear veranderliche Flachenlast Knotenlasten

2 0 66 1 + ij 0 Z A S Ri = H TPi H ej dA
P i = 12 666 0 1 + ij 0 4 A 0 0 1 + ij

3 77 77
P i 75

i; j = 1; 2; 3

8 > < 1 fur i = j mit ij = > : 0 fur i 6= j 9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.82

Linear veranderliche Linienlast Temperatur Integral

2 3 66 bi 0 0 77 Z t Bei dV = 2 666 0 ci 0 777 4 5 V ci bi 0

i = 1; 2; 3

Knotenlasten Z S Ri = B Tei dV
E "

i = 1; 2; 3

0

V

Dynamische Berechnung

konsistente Massenmatrix 2 3 66 cij 0 0 77 %A mij = 12 666 0 cij 0 777 i; j = 1; 2; 3 4 5 0 0 cij mit cij = (1 + ij )t fur t konstant 1 +  ij cij = 5 (t + t + t + ti + tj ) fur t linear veranderlich 8 > < 1 fur i = j und ij = > : 0 fur i 6= j 1

2

3

Dreieckscheibe (Elementtyp 201) Vorspannung Integral

2 3 66 bi 0 0 77 Z t Bei dV = 2 666 0 ci 0 777 4 5 V ci bi 0 Knotenlasten 2 66 bivx x + civxy 1 S Ri = 2 666 civy y + bivx y 4 0 9412

3 77 77 75

i = 1; 2; 3

i = 1; 2; 3

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.83

Schnittkrafte S = 0

Geometrisch nichtlineare Berechnung Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix 2 3 66 bi ci 0 0 0 0 77 1 B Tnli = 2A 666 0 0 bi ci 0 0 777 4 5 0 0 0 0 0 0

i = 1; 2; 3

geometrische Stei gkeitsmatrix 2 3 66 cij 0 0 77 i; j = 1; 2; 3 kgij = 666 0 cij 0 777 4 5 0 0 0 mit cij = 4tA (bibj  + cicj  + bicj  + bj ci ) 11

22

12

21

Dreieckzugmembrane (Elementtyp 202) Spannungs-Dehnungs-Beziehung

Verzerrungen

2 ! @v 1 @v = @x + 2 4 @x + 2 ! @v 1 @v = @y + 2 4 @y + ! 1 @v @v = 2 @y + @x + 21 2

e

11

e

1

1

1

1

2

22

e

12

1

2

! !3 @v + @v 5 @x @x ! !3 @v + @v 5 @y @y ! @v @v + @v @v + @v @v @x @y @x @y @x @y 2

2

2

3

2

2

2

1

3

1

2

2

3

3

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.84

Vorspannung

Knotenlasten 2 66 bivxx + ci vxy 1 S Ri = 2 666 civy y + bivx y 4 0

3 77 77 75

i = 1; 2; 3

Schnittkrafte 2 3 6 vxx 77  6 S = 666 vy y 777 4 5 vxy

Nichtkonservative Belastung Geometrisch nichtlineare Berechnung nichtlinearer Anteil der Verzerrungen 2 ! ! !3 1 @v @v @v  = 2 4 @x + @x + @x 5 2 ! ! !3 1 @v @v @v  = 2 4 @y + @y + @y 5 ! 1 @v @v @v @v @v @v  = 2 @x @y + @x @y + @x @y 2

2

1

2

2

3

11

2

2

1

2

2

3

22

1

1

2

2

3

3

12

Matrix der Dierentialoperatoren 2 @ @ 66 @x @y 0 0 0 0 @ @ 0 0 DTnl = 666 0 0 @x @y 4 @ @ 0 0 0 0 @x @y Interpolationsmatrix 2 3 66 hi 0 0 77 H nli = 666 0 hi 0 777 4 5 0 0 hi 9412

3 77 77 75

i = 1; 2; 3

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.85

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix 2 3 66 bi ci 0 0 0 0 77 1 B Tnli = 2A 666 0 0 bi ci 0 0 777 4 5 0 0 0 0 bi ci

i = 1; 2; 3

Cauchy'sche Spannungsmatrix 3 2 2 66  0 0 77  mit  i = 64  = 666 0  0 777 5  4 0 0  1

11

2

21

3  7 5 

i = 1; 2; 3

12

22

3

geometrische Stei gkeitsmatrix 2 3 66 cij 0 0 77 kgij = 666 0 cij 0 777 i; j = 1; 2; 3 4 5 0 0 cij mit cij = 4tA (bibj  + cicj  + bicj  + bj ci ) 11

22

12

21

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.86

4.3.2.2 Rechteckscheibe ohne Zwischenknoten

Vektor der Knotenverformungen im Element-KOS uTi = [ui ; ui ; ui ] i = 1; : : : ; 4 1

2

3

Formfunktionen hi = 41 (1 + ri r)(1 + sis)

i = 1; : : :; 4

Lineare Berechnung

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix 2 r 3 i (1 + si s) 0 0 66 2L 77 6 s i (1 + ri r) 0 7 Bei = 66 77 0 2 L 4 si ri (1 + sis) 0 5 (1 + r r ) i 2L 2L 1

2

2

1

Spannungs-Verschiebungs-Matrix Cei (j; 1) = Ej 2rLi (1 + si s) + Ej Cei (j; 2) = Ej 2sLi (1 + ri r) + Ej 1

3

1

2

2

Cei (j; 3) = 0 9412

i = 1; : : : ; 4

si (1 + r r) i 2L ri (1 + s s) i 2L 2

3

1

j = 1; 2; 3 i = 1; : : : ; 4

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.87

elastische Stei gkeitsmatrix, t konstant   keij (1; 1) = 4t E LL ri3rj (3 + sisj ) + E risj + E rj si + E LL si3sj (3 + rirj )   r s L L t i rj i sj keij (1; 2) = 4 E risj + E L 3 (3 + sisj ) + E L 3 (3 + rirj ) + E rj si   keij (2; 1) = 4t E rj si + E LL si3sj (3 + rirj ) + E LL ri3rj (3 + sisj ) + E risj  L sisj  L r t i rj keij (2; 2) = 4 E L 3 (3 + rirj ) + E rj si + E risj + E L 3 (3 + sisj ) keij (1; 3) = k eij (3; 1) = k eij (2; 3) = keij (3; 2) = keij (3; 3) = 0 i; j = 1; : : : ; 4 elastische Stei gkeitsmatrix, t bilinear veranderlich i rj L keij (1; 1) = E r12 L [(3 + sisj )t + (si + sj )t ] i sj +E r36 [9t + 3rj t + 3sit + rj sit ] j si +E r36 [9t + 3rit + 3sj t + risj t ] i sj L +E s12 L [(3 + rirj )t + (ri + rj )t ] i sj L keij (2; 2) = E s12 L [(3 + rirj )t + (ri + rj )t ] j si +E r36 [9t + 3rit + 3sj t + risj t ] i sj [9t + 3rj t + 3sit + rj sit ] +E r36 +E rirj L [(3 + sisj )t + (si + sj )t ] 12L r i sj keij (1; 2) = E 36 [9t + 3rj t + 3sit + rj sit ] i rj L +E r12 L [(3 + sisj )t + (si + sj )t ] i sj L +E s12 L [(3 + rirj )t + (ri + rj )t ] j si +E r36 [9t + 3rit + 3sj t + risj t ] j si keij (2; 1) = E r36 [9t + 3rit + 3sj t + risj t ] i sj L +E s12 L [(3 + rirj )t + (ri + rj )t ] i rj L +E r12 L [(3 + sisj )t + (si + sj )t ] +E risj [9t + 3rj t + 3sit + rj sit ] 36 2

1

11

13

31

33

1

2

2

12

1

13

32

1 1

21

33

2

2

23

31

2

33

1

1

2

22

23

32

33

2

1

2

11

1

3

1

13

1

2

3

4

31

1

2

3

4

1

33

1

2

2

1

22

1

2

2

23

1

2

3

4

32

1

2

3

4

2

33

1

3

1

12

1

2

3

4

2

13

1

3

1

2

1

1

32

2

33

21

1

1

2

3

2

3

4

4

1

23

1

2

1

3

2

2

31

1

33

1

2

3

4

keij (1; 3) = k eij (3; 1) = k eij (2; 3) = keij (3; 2) = keij (3; 3) = 0

i; j = 1; : : : ; 4 9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.88

Bilinear veranderliche Flachenlast Knotenlasten

2 3 66 cij 0 0 77 Z A T S Ri = H Pi H ej dA
P i = 144 666 0 cij 0 777
P i 4 5 A 0 0 cij mit cij = 9 + 3(rirj + sisj ) + rirj sisj

i; j = 1; : : : ; 4

Linear veranderliche Linienlast Temperatur, Vorspannung Integral

2 3 66 riL 0 0 77 Z t Bei dV = 2 666 0 siL 0 777 4 5 V siL riL 0 2

1

1

i = 1; : : :; 4

2

Knotenlasten aus Temperatur Z S Ri = B Tei dV
E " i = 1; : : : ; 4 0

V

Knotenlasten aus Vorspannung 2 3 66 riL vxx + siL vxy 77 1 S Ri = 2 666 siL vy y + riL vxy 777 4 5 0 2

1

1

2

i = 1; : : : ; 4

Dynamische Berechnung

konsistente Massenmatrix 2 66 cij 0 0 %L L mij = 144 666 0 cij 0 4 0 0 cij 1

2

3 77 77 75

i; j = 1; : : : ; 4

mit cij = t[9 + 3(ri rj + sisj ) + ri rj sisj ] fur t konstant cij = t [9 + 3(ri rj + sisj ) + rirj sisj ] +t [(ri + rj )(3 + sisj )] +t [(si + sj )(3 + rirj )] +t [(ri + rj )(si + sj )] fur t bilinear veranderlich 1

2 3 4

9412

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.89

4.3.2.3 Viereckscheibe ohne Zwischenknoten

Vektor der Knotenverformungen im Element-KOS uTi = [ui ; ui ; ui ] i = 1; : : :; 4 1

2

3

Formfunktionen hi = 14 (1 + rir)(1 + si s)

i = 1; : : : ; 4

Lineare Berechnung

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix 2 3 0 07 66 d i + d ir + d is 7 1 6 B ei = det J 66 0 e i + e ir + e is 0 777 4 5 e i + e ir + e i s d i + d i r + d i s 0 1

1

2

3

2

3

1

2

3

1

2

3

i = 1; : : : ; 4

Spannungs-Verschiebungs-Matrix Cei (j; 1) = det1 J [Ej (d i + d ir + d is) + Ej (e i + e ir + e is)] Cei (j; 2) = det1 J [Ej (e i + e ir + e is) + Ej (d i + d ir + d is)] Cei (j; 3) = 0 1

1

2

1

1

2

3

3

3

3

1

1

2

3

2

3

j = 1; 2; 3 i = 1; : : : ; 4 9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.90 elastische Stei gkeitsmatrix

keij =

Z Z 1

, , 1

1

B Tei E Bej t det Jdr ds

i; j = 1; : : : ; 4

1

Gauss-Quadratur mit 2  2 Stutzstellen

Bilinear veranderliche Flachenlast Knotenlasten

2 3 66 cij 0 0 77 Z 1 S Ri = H TPi H ej dA
P i = 36 666 0 cij 0 777
P i 4 5 A 0 0 cij

mit cij = c [9 + 3(ri rj + sisj ) + rirj sisj ] +c [(ri + rj )(3 + si sj )] + c [(3 + rirj )(si + sj )] 1

2

3

Linear veranderliche Linienlast Temperatur, Vorspannung Integral

3 2 66 d i 0 0 77 Z Bei dV = 4t 666 0 e i 0 777 5 4 V ei di 0 1

1

1

i = 1; : : : ; 4

1

Knotenlasten aus Temperatur Z S Ri = B Tei dV
E " i = 1; : : : ; 4 0

V

Knotenlasten aus Vorspannung 3 2 66 d ivx x + e ivx y 77 S Ri = 4 666 e ivy y + d ivx y 777 5 4 0 9412

1

1

1

1

i = 1; : : : ; 4

i; j = 1; : : : ; 4

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.91

Geometrisch nichtlineare Berechnung

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix 2 3 d + d r + d s 0 i 66 i i 77 66 e i + e ir + e is 77 0 66 77 6 0 d + d r + d s i i i 7 77 B nli = det1 J 666 66 0 e i + e ir + e is 777 66 77 0 0 64 75 0 0 1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

geometrische Stei gkeitsmatrix Z Z kgij = BTnli  Bnlj t det Jdr ds 1

1

i; j = 1; : : : ; 4

, , 1

i = 1; : : : ; 4

1

Gauss-Quadratur mit 2  2 Stutzstellen

Dynamische Berechnung konsistente Massenmatrix 2 3 66 cij 0 0 77 % mij = 6 666 0 cij 0 777 4 5 0 0 cij

i; j = 1; : : : ; 4

mit cij = 6t fc [9 + 3(rirj + sisj ) + rirj sisj ]+ +c [(ri + rj )(3 + sisj )] +c [(3 + rirj )(si + sj )]g fur t konstant 1 [5t c (3 + r r + s s ) + 5(t c + t c ) cij = 10 i j i j + 35 (si + sj )(3t c + 3t c + t c ) +t c ( 53 sisj + 3ri rj ) + t c ( 35 rirj + 3sisj ) + 95 (ri + rj )(3t c + 3t c + t c ) + 35 (t c + t c + t c )(ri + rj )(si + sj ) + 95 risj (rj + si)(t c + t c + 35 t c ) + 53 rirj (si + sj )(t c + t c + t c ) +rirj sisj ( 53 t c + t c + t c )] fur t bilinear veranderlich 1

2

3

1

1

2

1

2

2

3

3

3

1

2

1

2

3

1

3

3

1

2

4

4

3

4

2

3

2

2

1

1

1

3

2

1

1

2

3

1

2

3

3

4

4

4

2

3

2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.92

4.3.2.4 Isoparametrische Scheibenelemente mit Zwischenknoten Dreieck (3 { 6 Knoten)

Einheitskoordinaten der Elementknoten 1=A 2=B 3=C 4=D 5=E 6=F r(x = xi) = ri 0 1 0 1=2 1=2 0 s(y = yi) = si 0 0 1 0 1=2 1=2 Abbildungsfunktionen h = 1 , r , s , 21 (g + g ) h = r , 12 (g + g ) h = s , 21 (g + g ) hi = gi 4

1

2

4

5

3

5

6

6

mit g = 4r(1 , r , s) g = 4rs g = 4s(1 , r , s)

i = 4; 5; 6 wenn Knoten i vorhanden gi = 0 sonst

4

5

6

Ableitungen   @h = ,1 , 1 @g + @g @r 2 @g@r @g@r @h = 1 , 1 + @r 2 @g @r @g @r @h = , 1 2 @r + @r @r @hi = @gi @hi = @gi @r @r @s @s 4

1

4

2

3

9412

6

5

5

6

  @h = ,1 , 1 @g + @g 2 @s @s @s  @g @h = , 1 + @g 2 @s @s  @g @s@g  @h = 1 , 1 2 @s + @s @s 4

1

2

3

i = 4; 5; 6

4

6

5

5

6

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.93

@g = 4(1 , 2r , s) @r @g = 4s @r @g = ,4s @r

@g = ,4r @s @g = 4r @s @g = 4(1 , r , 2s) @s

4

4

5

5

6

6

i @gi bzw. @g @r = @s = 0, wenn Zwischenknoten i nicht vorhanden.

Viereck (4 { 8 Knoten)

Einheitskoordinaten der Elementknoten 1=A 2=B 3=C 4=D 5=E 6=F 7=G 8=H r(x = xi) = ri ,1 1 1 ,1 0 1 0 1 s(y = yi) = si ,1 ,1 1 1 ,1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 rei = 1 , ri 0 0 0 0 0 1 0 1 sei = 1 , si 2

2

Abbildungsfunktionen

h = g , 12 (g + g ) h = g , 12 (g + g ) h = g , 12 (g + g ) h = g , 12 (g + g ) hi = gi i = 5; : : : ; 8 mit gi = 14 [1 + rir + rei(1 , 2r )][1 + sis + sei(1 , 2s )] und gi = 0, wenn Zwischenknoten i nicht vorhanden 1

1

5

8

2

2

5

6

3

3

6

7

4

4

7

8

2

2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.94 Ableitungen  @h = @g , 1 @g @r @r 2  @r @h = @g , 1 @g @r @r 2  @r @h = @g , 1 @g @r @r 2  @r @h = @g , 1 @g @r @r 2 @r @hi = @gi ; @hi = @gi @r @r @s @s 1

1

5

2

2

5

3

3

6

4

4

7

 @g + @r  @g + @r  @g + @r  + @g @r

@h @s @h @s @h @s @h @s

8

1

6

2

7

3

8

4

= = = =

@g @s @g @s @g @s @g @s

1

2

3

4

 @g 1 , 2 @s  1 , 2 @g  @s 1 , 2 @g  @s 1 , 2 @g @s

5

5

6

7

 @g + @s  @g + @s  @g + @s  + @g @s 8

6

7

8

i = 5; : : : ; 8

1 (r , 2re r) h1 + s s + se (1 , 2s )i i = mit @g i i i @r 4 i @gi = 1 (s , 2se s) h1 + r r + re (1 , 2r )i i i i @s 4 i @gi = 0; i bzw. @g = wenn Zwischenknoten i nicht vorhanden @r @s 2

2

Jacobi-Matrix (4 : 3  nk  6; 2 : 4  nk  8) 3 2 n nk @h P @y 3 2 P i k y @hi @x x i i 6 7 6 @r i @r 77 J = 64 @r @r 75 = 64 iP n nk @h P 5 i k y @hi @x @y x i i @s i @s @s @s i =1

=1

=1

=1

nk nk @h X n nk @h X X i X i k @hi ,
xi @ri
yi @h x i @s i @s i yi @r i i 2 P nk @h nk @h 3 P i i 66 i yi @s , i yi @r 77 1 , J = det J 4 P n n 5 i Pk xi @hi , i k xi @h @s i @r

det J =

=1

=1

=1

1

=1

=1

=1

=1

=1

Vektor der Knotenverformungen im Element-KOS

uTi = [ui ; ui ; ui ] 1

9412

2

3

i = 1; : : : ; nk mit 3  nk  8

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.95

Lineare Berechnung

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix 2 3 66 c i 0 77 B ei = 666 0 c i 777 i = 1; : : : ; nk 4 5 ci ci 0 nk 1 nk @h X X @h @h @h 1 mit c i = det J @ @ri yj @sj , @si yj @rj A j 0 j nk 1 nk @h X X 1 @h @h @h c i = det J @, @ri xj @sj + @si xj @rj A j j 1

2

2

1

1

=1

=1

2

=1

=1

Spannungs-Verschiebungs-Matrix 2 3 66 E c i + E c i E c i + E c i 0 77 1 C ei = det J 666 E c i + E c i E c i + E c i 0 777 4 5 E c i+E c i E c i+E c i 0 11

1

13

2

12

2

13

1

21

1

23

2

22

2

23

1

31

1

33

2

32

2

33

1

elastische Stei gkeitsmatrix Z Z,r B Tei E Bej t det Jdr ds 4 : keij = 1

0

1

i = 1; : : :; nk

i; j = 1; : : : ; nk

0

Gauss-Quadratur mit 6 Stutzstellen Z Z 2 : keij = BTei E B ej t det Jdr ds 1

1

, , 1

i; j = 1; : : :; nk

1

Gauss-Quadratur mit 3  3 Stutzstellen

Veranderliche Flachenlast

Knotenlasten Z Z,r 4 : S Ri = H TPi H ej det Jdr ds
P i 1

0

1

0

Gauss-Quadratur mit 7 Stutzstellen Z Z H TPi H ej det Jdr ds
P i 2 : SRi = 1

1

, , 1

i; j = 1; : : :; nk

i; j = 1; : : : ; nk

1

Gauss-Quadratur mit 4  4 Stutzstellen 9412

Seite 4.96

Veranderliche Linienlast

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.97

Temperatur, Vorspannung

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.98

Geometrisch nichtlineare Berechnung Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix 2 3 66 c i c i 0 0 0 0 77 BTnli = 666 0 0 c i c i 0 0 777 4 5 0 0 0 0 0 0 1

2

1

mit c i 1

2

0 nk 1 nk @h X X 1 @h @h @h = det J @ @ri yj @sj , @si yj @rj A j 0 j nk 1 nk @h X X 1 @h @h @h = det J @, @ri xj @sj + @si xj @rj A j j =1

ci 2

i = 1 ; : : : ; nk

=1

geometrische Stei gkeitsmatrix Z Z,r 4 : kgij = B Tnli  B nlj t det Jdr ds 1

1

0

=1

=1

i; j = 1; : : : ; nk

0

Gauss-Quadratur mit 6 Stutzstellen Z Z 2 : kgij = B Tnli  Bnlj t det Jdr ds 1

1

, , 1

i; j = 1; : : :; nk

1

Gauss-Quadratur mit 3  3 Stutzstellen

Dynamische Berechnung

konsistente Massenmatrix Z Z,r 4 : mij = % H Tmi H mj t det Jdr ds 1 1

0

Gauss-Quadratur mit 7 Stutzstellen Z Z 2 : mij = % H Tmi H mj t det Jdrds 1

1

, , 1

1

Gauss-Quadratur mit 4  4 Stutzstellen

9412

i; j = 1; : : : ; nk

0

i; j = 1; : : : ; nk

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.99

4.3.3 Faltwerkelemente ohne Zwischenknoten Grundlage: Kirchhosche Plattentheorie Freiheitsgrade je Knoten lokal tx, ty , tz , rx, ry global tx, ty , tz , rx, ry , rz Verschiebungen eines Punktes bei Verdrehungsansatzen x bzw. y um die y- bzw. xAchse ve = v + z x ve = v + z y ve = v 1

1

2

2

3

3

Verzerrungen auf der Grundlage der Mindlinschen Plattentheorie 2 ! ! !3 @v @ @v @v x 1 4 @v " = @x + z @x + 2 @x + @x + @x 5 2 ! ! !3 @ @v @v @v y 1 4 @v " = @y + z @y + 2 @y + @y + @y 5 2

1

1

2

1

2

2

2

3

11

2

2

2

2

3

22

" "

33

12

"

= 0 ! ! ! @v @v 1 @ 1 @v @v @v @v @v @v 1 x @ y = 2 @y + @x + 2 z @y + @x + 2 @x @y + @x @y + @x @y ! 1 @v = 2 @x + x ! @v 1 = 2 @y + y 1

2

1

1

2

2

3

3

3

13

"

3

23

Die Kirchhosche Plattentheorie ergibt sich aus der Mindlinschen mit @v : x = , @v ; y=, @x @y 3

3

Schnittkrafte Scheibenkrafte 2 3 1 0 2 3 66 n (r; s) 77 n k 66 n (r; s) 77 = t(r; s) B@X C S (r; s) 64 ui 75 , E " CA ei 64 75 i ui n (r; s) 11

1

0

22

=1

2

12

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.100 Momente 2 3 m ( r; s ) 66 7 66 m (r; s) 777 = t(r; s) 64 75 12 m (r; s) 11

3

22

12

2 0 66 ui BBX nk BB C P (r; s) 66 u 64 i B@i ei ui

3

4

=1

3 1 77 C 77 , E  CCC 75 CA 0

5

Querkrafte aus Gleichgewicht @m + q (r; s) = @m @x @y @m @m q (r; s) = @y + @x 11

12

22

12

1

2

Veranderliche Flachenlast

Vektor der Lastordinaten in den Knoten i = 1; : : : ; nk P Ti = [Pi ; Pi ; Pi ] 1

2

3

Interpolationsmatrix fur die Last 2 3 h 0 0 66 i 77 6 H Pi = 66 0 h i 0 777 i = 1; : : : ; nk 4 5 0 0 hi 1

1

1

Interpolationsmatrix fur die Verformungen 2 3 66 h i 0 0 0 0 0 77 fei = 66 0 h i 0 0 0 0 77 H i = 1; : : : ; nk 64 75 0 0 hi 0 0 0 1

1

1

Integrand

2 0 0 0 0 66 h ih j 0 fej = 66 0 h ih j 0 0 0 0 H TPi H 64 0 0 h ih j 0 0 0 1

1

1

1

1

Knotenlasten 2 3 Z fej dA
64 P i 75 S Ri = H TPi H 0 A 9412

3 77 77 75

1

i; j = 1; : : : ; nk

i; j = 1; : : : ; nk

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.101

Veranderliche Linienlasten Temperatur Knotenlasten

Scheibenanteil Z S SRi = (BSei )T dV
E "

0

V

Plattenanteil Z P S Ri = (BPei )T dV
E 

0

V

i = 1; : : : ; nk

i = 1; : : :; nk

Vorspannung Knotenlasten

Scheibenanteil Z S SRi = (BSei )T dV
1t v V

i = 1; : : : ; nk

Plattenanteil Z P S Ri = (BPei )T dV
etz v V

i = 1; : : : ; nk

Elastische Bettung

Senkbettungsmatrix ZZ bij = H Tbi eb H bj det Jdr ds

2 3 66 0 0 0 77 mit eb = 666 0 0 0 777 4 5 0 0 bz

i; j = 1; : : : ; nk

Interpolationsmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 66 0 0 0 0 0 0 77 H bi = 666 0 0 0 0 0 0 777 i = 1; : : : ; nk 4 5 0 0 hi 0 0 0 1

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.102

Integrand, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 3 2 0 0 0 0 0 0 77 66 66 0 0 0 0 0 0 777 66 66 0 0 h ih j bz 0 0 0 777 T e 7 i; j = 1; : : : ; nk H bi b H bj = 66 0 0 0 0 777 66 0 0 7 66 0 0 0 0 775 64 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1

Geometrisch nichtlineare Berechnung und Stabilitat

nichtlinearer Anteil der Verzerrungen 2 ! ! !3 @v @v @v 1  = 2 4 @x + @x + @x 5 2 ! ! !3 1 @v @v @v  = 2 4 @y + @y + @y 5 ! 1 @v @v @v @v @v @v  = 2 @x @y + @x @y + @x @y 2

2

1

2

2

3

11

2

2

1

2

2

3

22

1

1

2

2

3

3

12

Matrix der Dierentialoperatoren 2 @ @ 66 @x @y 0 0 0 0 @ @ 0 0 DTnl = 666 0 0 @x @y 4 @ @ 0 0 0 0 @x @y

3 77 77 75

Interpolationsmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 66 h i 0 0 0 0 0 77 H nli = 666 0 h i 0 0 0 0 777 i = 1; : : :; nk 4 5 0 0 hi 0 0 0 1

1

1

Cauchy'sche Spannungsmatrix 2 3 2 66  0 0 77   = 666 0  0 777 mit  i = 64  4 5 0 0  1

11

2

3

9412

21

3  7 5  12

22

i = 1; 2; 3

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.103

Dynamische Berechnung

Interpolationsmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 66 h i 0 0 0 0 0 77 i = 1; : : : ; nk H mi = 666 0 h i 0 0 0 0 777 4 5 0 0 hi 0 0 0 1

1

1

Integrand, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 h h 0 0 0 0 0 66 i j 7 66 0 h ih j 0 0 0 0 777 66 77 6 77 0 0 h h 0 0 0 i j H Tmi H mj = 666 7 i; j = 1; : : :; nk 66 0 0 0 0 0 0 777 66 7 0 0 0 0 0 77 64 0 5 0 0 0 0 0 0 1

1

1

1

1

1

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.104

4.3.3.1 Konforme Elemente (DK-Elemente)

j = 1; 2; 3 4 : k = 4; 5; 6 l = 2; 3; 1

j = 1; 2; 3; 4 2 : k = 5; 6; 7; 8 l = 2; 3; 4; 1

Verdrehungsansatze nk X he i(r; s) x(xi; yi) x(r; s) = i nk X y (r; s) = he i(r; s) y (xi ; yi) =1

i

=1

Nach der Kirchhoschen Plattentheorie gilt fur die Eckknoten x(xj ; yj ) = , @v @x (xj ; yj ) = uj ; y (xj ; yj ) = , @v @y (xj ; yj ) = ,uj 3

5

3

4

und fur die Seitenmittelknoten s(xk ; yk ) = , @v @sk (xk ; yk ) : 3

9412

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.105

Die Durchbiegung verlauft kubisch mit der Randkoordinate. Daraus erhalt man " # @v (x ; y ) = ,3 hv (x ; y ) , v (x ; y )i , 1 @v (x ; y ) , @v (x ; y ) : j j l l @sk k k 2Ljl 4 @sk j j @sk l l 3

3

3

3

3

Die Verdrehung normal zum Rand andert sich linear uber den Rand. Das ergibt " # @v (x ; y ) = 1 @v (x ; y ) + @v (x ; y ) : @n k k 2 @n j j @n l l 3

3

3

k

k

k

Formfunktionen

2 66 hx2i hxi = 666 hx3i 4 hx4i

hx2i hx3i hx4i

= f k+ he k+ , f k, he k, = f k+ he k+ + f k, he k, = he i , f k+ he k+ , f k, he k,

hy2i hy3i hy4i

= f k+ he k+ , f k, he k, = ,he i + f k+ he k+ + f k, he k, = ,hx3i

1

1

2

2

3

3

4

4

5

5

i = 1; 2; 3 4 : k = 4; 5; 6 k, = 6; 4; 5

3 77 77 75

2 66 hy2i hyi = 666 hy3i 4 hy4i

3 77 77 75

i = 1; 2; 3; 4 2 : k = 5; 6; 7; 8 k, = 8; 5; 6; 7

+

+

mit

f k = , 23Lxjl jl 3 x y jl f k = 4L jl jl x , jl f k = 4L 2yjl jl 3 y f k = , 2Ljl jl , 2 x jl + yjl fk = 4Ljl 1

2

2

2

2

2

3

2

2

4

2

2

5

xjl = xj , xl yjl = yj , yl Ljl = xjl + yjl 2

2

2

2

2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.106

Lineare Berechnung

linearer Anteil der Verzerrungen @ x " = @v + z @x @x @v @ " = @y + z @yy ! ! @v @v 1 1 @ x @ y " = 2 @y + @x + 2 z @y + @x 1

11

2

22

1

2

12

Matrix der Dierentialoperatoren 2 3 @ 0 @ 0 66 @x 77 @x 6 @ @ De = 66 0 @y 0 @y 777 4 @ @ @ @ 5 @y @x @y @x Interpolationsmatrix 2 66 h i 0 0 0 0 66 0 h i 0 0 0 H ei = 66 66 0 0 hx2i hx3i hx4i 4 0 0 hy2i hy3i hy4i 1

1

9412

3 07 7 0 777 7 0 77 5 0

i = 1; : : :; nk

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.107

Dreieckfaltwerkelement (Elementtyp 211) DKT{Element (s. [BA81], [BAT80], [BAT82a])

Vektor der Knotenverformungen im Element-KOS

uTi = [ui ; ui ; ui ; ui ; ui ; ui ] 1

2

3

4

5

6

i = 1; 2; 3

Formfunktionen Scheibenanteil (s. Abs. 4.3.2.1) h i = si i = 1; 2; 3 1

Plattenanteil Eckknoten he i = si(2si , 1)

i = 1; 2; 3

Seitenmitten he = 4s s he = 4s s he = 4s s 4

1

2

5

2

3

6

3

1

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.108

Lineare Berechnung

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrizen Scheibenanteil 2 3 66 bi 0 77 1 BeSi = 2A 666 0 ci 777 4 5 ci bi

i = 1; 2; 3

Plattenanteil Eckknoten 8 e < 4si , 1 @ hi = > @sj > :0

fur i = j fur i 6= j

i; j = 1; 2; 3

Seitenmitten @ he = 4s @ he = 4s @s @s @ he = 4s @ he = 0 @s @s @ he = 4s @ he = 0 @s @s 2 X @h 3 x i 66 bj @sj 77 66 j 77 X 6 77 @h 1 y BPei = 2A 66 cj @s i 77 66 j j 77 ! 64 X @hxi @h y i cj @s + bj @s 5 j j j 4

1

2

4

2

5

5

1

2

6

1

3

6

2

1

3

@ he = 0 @s @ he = 4s @s @ he = 4s @s 4

3

5

3

6

3

3

=1 3

=1 3

=1

9412

i = 1; 2; 3

2

1

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.109

Spannungs-Verschiebungs-Matrix Scheibenanteil 2 3 E b + E c E c + E b i i i i 7 66 7 1 6 S C ei = 2A 66 E bi + E ci E ci + E bi 777 4 5 E bi + E ci E ci + E bi 11

13

12

13

21

23

22

23

31

33

32

33

Plattenanteil C Pei = E B Pei

i = 1; 2; 3

i = 1; 2; 3

elastische Stei gkeitsmatrix

kSeij 0 0 0 kPeij 0 0 0 0 Scheibenanteil Z Z,r S keij = 2A (BSei )T E BSej tdrds 1

0

1

i; j = 1; 2; 3

0

analytische Integration (s. Abs. 4.3.2.1) Plattenanteil Z Z,r 2 A P keij = 12 (BPei )T E BPej t drds 1 1

3

0

i; j = 1; 2; 3

0

Gauss-Quadratur mit 3 Stutzstellen fur t konstant 6 Stutzstellen fur t veranderlich Querkrafte Eckknoten 8 e @sj > :0 2

2

Seitenmitten 8 e @si@sj > :0 2

4

fur i = j fur i 6= j

i; j = 1; 2; 3

fur i = 1 ; j = 2 sonst 9412

Seite 4.110 8 e @si@sj > :0 8 e @si@sj > :0 2

2

5

6

4. ELEMENTABLEITUNGEN fur i = 2 ; j = 3 sonst fur i = 3 ; j = 1 sonst

3 2X X @h x i 66 bj bk @s @s 77 j k 66 j k 77 66 X b X c @ hyi 77 66 j j k k @sj @sk 7 66 X X ! 777 @ hxi + b @ hyi 5 4 bj ck @s k @sj @sk j @sk j k 2X X @h 3 x i 66 cj bk @sj @sk 77 66 j k 77 66 X c X c @ hyi 77 66 j j k @sj @sk 7 66 X kX ! 777 @ hxi + b @ hyi 5 4 cj ck @s k @sj @sk j @sk j k 3

=1

@ BP = 1 @x ei 4A

2

@ BP = 1 @y ei 4A

2

3

2

=1

3

3

=1

=1

3

3

=1

=1

3

3

=1

=1

3

3

=1

=1

3

3

=1

=1

2

2

i = 1; 2; 3

2

2

2

2

i = 1; 2; 3

2

Linear veranderliche Flachenlast Knotenlasten

2 3 2 3 1 + ij 0 0 0 0 0 72 3 6 Z 6 fej dA 64 P i 75 = A 66 0 1 + ij 0 0 0 0 777 64 P i 75 S Ri = H TPi H 75 0 12 64 0 A 0 0 1 + ij 0 0 0 i; j = 1; 2; 3 8 > < 1 fur i = j mit ij = > : 0 fur i 6= j

Linear veranderliche Linienlast

9412

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.111

Temperatur, Vorspannung Scheibenanteil Integral

2 3 66 bi 0 77 Z t BSei dV = 2 666 0 ci 777 4 5 V ci bi

i = 1; 2; 3

Knotenlasten aus Temperatur Z S SRi = (BSei )T dV
E " i = 1; 2; 3 0

V

Knotenlasten aus Vorspannung 2 3 bv +c v S SRi = 12 64 i xx i x y 75 civy y + bivxy

i = 1; 2; 3

Plattenanteil Knotenlasten aus Temperatur Z t E P S Ri = (BPei )T dA
12 A 3

i = 1; 2; 3

0

Gauss-Quadratur mit 1 Stutzstelle

Knotenlasten aus Vorspannung Z t ev P S Ri = (BPei )T dA
12 z A 2

i = 1; 2; 3

Gauss-Quadratur mit 1 Stutzstelle

9412

Seite 4.112

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Elastische Bettung

Bettungsmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 66 0 0 0 0 0 0 77 66 0 0 0 0 0 0 77 66 77 6 77 0 0 1 +  0 0 0 bz 66 ij i; j = 1; 2; 3 bij = 12 66 0 0 0 0 0 0 777 66 7 66 0 0 0 0 0 0 777 4 5 0 0 0 0 0 0 8 > < 1 fur i = j mit ij = > : 0 fur i 6= j Bettungsmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen s. Abs. 4.3.3.2.1 Elementtyp 212

9412

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.113

Geometrisch nichtlineare Berechnung und Stabilitat

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 66 bi ci 0 0 0 0 77 66 0 0 bi ci 0 0 77 66 77 6 0 0 0 0 b c i i 7 77 i = 1; 2; 3 B Tnli = 21A 666 66 0 0 0 0 0 0 777 66 7 64 0 0 0 0 0 0 775 0 0 0 0 0 0 geometrische Stei gkeitsmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 66 cij 0 0 0 0 0 77 66 0 cij 0 0 0 0 77 66 7 66 0 0 cij 0 0 0 777 kgij = 66 7 i; j = 1; 2; 3 66 0 0 0 0 0 0 777 66 7 64 0 0 0 0 0 0 775 0 0 0 0 0 0 mit cij = 4tA (bibj  + cicj  + bicj  + bj ci ) geometrische Stei gkeitsmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 11

22

12

21

s. Abs. 4.3.3.2.1 Elementtyp 212

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.114

Dynamische Berechnung

konsistente Massenmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 66 cij 0 0 0 0 0 77 66 0 cij 0 0 0 0 77 66 77 %A 6 mij = 12 6 0 0 cij 0 0 0 77 i = 1; 2; 3 66 77 66 0 0 0 0 0 0 77 4 5 0 0 0 0 0 0 mit cij = (1 + ij )t fur t konstant 1 +  ij cij = 5 (t + t + t + ti + tj ) fur t linear veranderlich 8 > < 1 fur i = j und ij = > : 0 fur i 6= j 1

2

3

konsistente Massenmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen s. Abs. 4.3.3.2.1 Elementtyp 212

9412

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.115

Viereckfaltwerkelement (Elementtyp 215) DKQ{Element (s. [BAT82b])

Vektor der Knotenverformungen im Element-KOS uTi = [ui ; ui ; ui ; ui ; ui ; ui ] i = 1; : : :; 4 1

2

3

4

5

6

Formfunktionen Scheibenanteil (s. Abs. 4.3.2.3) h i = 14 (1 + rir)(1 + sis) i = 1; : : : ; 4 1

Plattenanteil Eckknoten he i = 14 (1 + rir)(1 + si s)(rir + sis , 1)

i = 1; : : :; 4

Seitenmitten he i = 12 ri (1 + rir)(1 , s ) + 12 si (1 + sis)(1 , r ) 2

2

2

2

i = 5; : : : ; 8 9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.116

Lineare Berechnung

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrizen Scheibenanteil 2 0 66 d i + d ir + d is 1 BSei = det J 666 0 e i + e ir + e i s 4 e i + e ir + e i s d i + d i r + d i s 1

2

1

3

2

3

1

2

3

1

2

3

3 77 77 75

i = 1; : : : ; 4

Plattenanteil @ he i = 1 (2r + risis + 2si rs + ris ) 4 @r i = 1; : : :; 4 e @ hi = 1 (risir + 2s + si r + 2rirs) 4 @s @ he i = 1 ri(1 , s ) , si r(1 + sis) 2 @r i = 5; : : :; 8 e @ hi = 1 si(1 , r ) , ri s(1 + rir) 2 @s 2 @h 3 @h x x i i 66 j @r + j @s 77 @h @h 6 77 P y y Bei = 66 j @r i + j @s i 75 4 @hxi @h @h @h y y x i i i j @r + j @s + j @r + j @s 2

2

2

2

2

2

11

12

21

22

21

22

11

12

Spannungs-Verschiebungs-Matrix Scheibenanteil

CeSi (j; 1) = det1 J [Ej (d i + d ir + d is) + Ej (e i + e ir + e is)] CeSi (j; 2) = det1 J [Ej (e i + e ir + e is) + Ej (d i + d ir + d is)] 1

1

2

1

1

2

Plattenanteil

CePi = E BPei

i = 1; : : : ; 4

elastische Stei gkeitsmatrix

kSeij 0 0 0 kPeij 0 0 0 0 9412

3

3

3

3

1

1

2

3

2

3

j = 1; 2; 3 i = 1; : : : ; 4

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.117

Scheibenanteil Z Z kSeij = (B Sei )T E B Sej t det Jdr ds 1

1

i; j = 1; : : : ; 4

, , 1

1

numerische Integration (s. Abs. 4.3.2.3) Plattenanteil Z Z 1 P keij = 12 (B Pei )T E B Pej t det Jdr ds , , 1

1

i; j = 1; : : : ; 4

3

1

1

Gauss-Quadratur mit 3  3 Stutzstellen fur t konstant 4  4 Stutzstellen fur t veranderlich Querkrafte @ he i = 1 (1 + sis) 2 @re @ hi = 1 (1 + rir) i = 1; : : : ; 4 2 @se @ hi 1 @r@s = 4 (risi + 2sir + 2ri s) @ he i = ,si (1 + sis) @r @ he i = ,ri (1 + rir) i = 5; : : : ; 8 @se @ hi @r@s = ,sir , ris ! !3 2 @ h @ h @ h @ h x x x x i i i i 66 j j @r + j @r@s + j j @r@s + j @s 77 66 ! ! 7 66 j j @ hyi + j @ hyi + j j @ hyi + j @ hyi 777 @r@s @r@s @ B P = 66 @r @s 77 ! e 6 77 @x i 66 j j @ hxi + j @ hxi + j @ hyi + j @ hyi 77 @r@s @r@s ! 66 @r @r 77 64 @ h @ h @ h @ h 5 y y +j j @r@sxi + j @s xi + j @r@si + j @s i 2 ! !3 @ h @ h @ h @ h x x x x i i i i 66 j j @r + j @r@s + j j @r@s + j @s 77 66 ! ! 7 66 j j @ hyi + j @ hyi + j j @ hyi + j @ hyi 777 @r@s @r@s @ B P = 66 @r !@s 777 e 6 i @y 66 j j @ hxi + j @ hxi + j @ hyi + j @ hyi 77 66 @r@s @r@s ! 77 @r @r 64 75 hxi + j @ hxi + j @ hyi + j @ hyi +j j @@r@s @r@s @s @s 2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

11

11

11

21

2

12

2

22

2

21

2

21

21

11

12

2

22

21

21

22

11

22

21

2

12

12

2

2

2

11

2

2

2

2

2

2

22

2

11

22

2

2

22

2

22

2

12

2

2

2

12

2

2

2

2

2

2

2

2

11

2

2

22

2

2

2

21

21

12

2

22

2

11

12

2

2

22

21

21

11

2

2

12

12

2

2

11

2

12

2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.118

Bilinear veranderliche Flachenlast Knotenlasten

2 3 2 3 cij 0 0 0 0 0 77 2 3 6 Z 6 fej dA 64 P i 75 = 1 66 0 cij 0 0 0 0 77 64 P i 75 S Ri = H TPi H 75 0 36 64 0 A 0 0 cij 0 0 0 mit cij = c [9 + 3(rirj + sisj ) + rirj sisj ] + c [(ri + rj )(3 + sisj )] + c [(3 + rirj )(si + sj )] 1 2

Linear veranderliche Linienlast

9412

3

i; j = 1; : : : ; 4

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.119

Temperatur, Vorspannung Scheibenanteil Integral

2 3 66 d i 0 77 Z BSei dV = 4t 666 0 e i 777 4 5 V ei di 1

1

1

i = 1; : : : ; 4

1

Knotenlasten aus Temperatur Z S SRi = (BSei )T dV
E " i = 1; : : : ; 4 0

V

Knotenlasten aus Vorspannung 2 3 d v +e v S SRi = 4 64 i x x i xy 75 e i vy y + d i v x y 1

1

1

1

i = 1; : : : ; 4

Plattenanteil Knotenlasten aus Temperatur Z t E P S Ri = (BPei )T dA
12 A 3

0

i = 1; : : :; 4

Gauss-Quadratur mit 2  2 Stutzstellen

Knotenlasten aus Vorspannung Z t ev P S Ri = (BPei )T dA
12 z A 2

i = 1; : : : ; 4

Gauss-Quadratur mit 2  2 Stutzstellen

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.120

Elastische Bettung

Senkbettungsmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 0 0 0 0 0 0 66 7 66 0 0 0 0 0 0 777 66 7 66 0 0 cij 0 0 0 777 bij = 66 7 i; j = 1; : : :; 4 66 0 0 0 0 0 0 777 66 7 64 0 0 0 0 0 0 775 0 0 0 0 0 0

bz fc [9 + 3(r r + s s ) + r r s s ] mit cij = 36 i j i j i j i j +c [(ri + rj )(3 + sisj )] + c [(3 + rirj )(si + sj )]g 1

2

3

Formfunktionen, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen (s. Abs. 4.3.3.2.2 Elementtyp 214) he i = 81 (1 + ri r)(1 + sis)(2 + rir + sis , r , s ) h i = , 81 si(1 + rir)(1 + sis)(1 , s ) h i = 81 ri(1 + rir)(1 + sis)(1 , r ) i = 1; : : : ; 4 bzw. h i he i = , 81 (1 + rir)(1 + sis) (e + e s)ri(1 , r ) + (e + e r)si(1 , s ) h i he i = 18 (1 + ri r)(1 + sis) (d + d s)ri(1 , r ) + (d + d r)si(1 , s ) i = 1; : : : ; 4 2

2

2

2

3

2

4

2

2

3

2

4

3

4

2

2

4

4

2

3

4

Interpolationsmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 h 0 0 0 0 0 66 i 77 6 fbi = 6 0 h i 0 0 0 0 77 H i = 1; : : :; 4 64 75 0 0 he i he i he i 0 1

1

2

3

4

Senkbettungsmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen Z Z T fbi eb H fbj det Jdr ds H bij = i; j = 1; : : : ; 4 1

, ,

1

1

1

Gauss-Quadratur mit 3  3 Stutzstellen 9412

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.121

Stabilitatsberechnung

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 c c 0 0 0 0 66 i i 7 66 0 0 c i c i 0 0 777 66 77 6 0 0 0 0 c c i i 7 77 B Tnli = 666 i = 1; : : : ; 4 66 0 0 0 0 0 0 777 66 7 64 0 0 0 0 0 0 775 0 0 0 0 0 0 1

2

1

2

1

2

mit c i = det1 J (d i + d i r + d is) c i = det1 J (e i + e ir + e is) 1

1

2

2

1

2

3

3

Interpolationsmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen (s. elastische Bettung) fbi fnli = H i = 1; : : : ; 4 H Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 c 0 0 0 0 0 66 i 77 66 c i 0 0 0 0 0 777 66 7 66 0 c i 0 0 0 0 77 77 i = 1; : : : ; 4 B nli = 666 0 c 77 0 0 0 0 i 66 66 0 0 @ he i @ he i @ he i 0 777 66 @x @x @x 77 4 he i @ he i @ he i 0 5 0 0 @@y @y @y 1

2

1

2

2

3

4

2

3

4

mit c i = det1 J (d i + d i r + d is) c i = det1 J (e i + e ir + e is) @ he i = 1 r (1 + s s) 3 + s s , 3r , s  i i @r 8i @ he i = 1 s (1 + r r) 3 + r r , r , 3s  i i @s 8 i 1

1

2

2

1

2

3

3

2

2

2

2

2

2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.122

@ he i = , 1 (1 + s s) n(e + e s) 1 , 2r r , 3r  i i @r 8  o + [(e + e r) ri + e (1 + ri)] si 1 , s @ he i = , 1 (1 + r r) n(e + e r) 1 , 2s s , 3s  i i @s 8  o + [(e + e s) si + e (1 + si)] ri 1 , r @ he i = 1 (1 + s s) n(d + d s) 1 , 2r r , 3r  i i @r 8  o + [(d + d r) ri + d (1 + ri)] si 1 , s @ he i = 1 (1 + r r) n(d + d r) 1 , 2s s , 3s  i i @s 8  o + [(d + d s) si + d (1 + si)] ri 1 , r 3 2 e 3 @ he ji 7 @ hji @x 77 = J , 666 @r 777 j = 2; 3 ; 4 4 @ he ji 5 @ he ji 5 @y @s 3

2

2

4

2

3

4

4

3

2

3

4

2

2

4

4

4

2

2

4

2

3

4

4

4

2

3

4

2

2

2 66 64

4

4

1

geometrische Stei gkeitsmatrix Z Z kgij = BTnli  B nli t det Jdr ds 1

1

, , 1

1

Gauss-Quadratur mit 2  2 bzw. 3  3 Stutzstellen

9412

i; j = 1; : : : ; 4

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.123

Dynamische Berechnung

konsistente Massenmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 c 0 0 0 0 0 66 ij 7 66 0 cij 0 0 0 0 777 66 77 6 77 0 0 c 0 0 0 ij mij = %6 666 7 i; j = 1; : : : ; 4 66 0 0 0 0 0 0 777 66 7 64 0 0 0 0 0 0 775 0 0 0 0 0 0 mit cij = 6t fc [9 + 3(ri rj + sisj ) + rirj sisj ] +c [(ri + rj )(3 + sisj )] +c [(3 + rirj )(si + sj )]g fur t konstant cij = 10t [5t c (3 + rirj + sisj ) + 5(t c + t c ) + 53 (si + sj )(3t c + 3t c + t c ) +t c ( 53 sisj + 3rirj ) + t c ( 53 rirj + 3si sj ) + 95 (ri + rj )(3t c + 3t c + t c ) + 53 (t c + t c + t c )(ri + rj )(si + sj ) + 59 risj (rj + si)(t c + t c + 35 t c ) + 53 rirj (si + sj )(t c + t c + t c ) +rirj sisj ( 53 t c + t c + t c )] fur t bilinear veranderlich 1

2

3

1

1

2

1

2

2

3

3

3

1

2

1

2

3

1

3

3

2

4

1

3

4

2

2

1

3

2

1

1

2

3

1

2

4

3

2

1

1

3

3

4

4

4

2

3

2

Interpolationsmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen (s. elastische Bettung) f bi H mi = H i = 1; : : : ; 4 konsistente Massenmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen Z Z mij = % H Tmi H mj t det Jdr ds i; j = 1; : : : ; 4 1

, , 1

1

1

Gauss-Quadratur mit 3  3 Stutzstellen 9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.124

4.3.3.2 Nichtkonforme Elemente Lineare Berechnung

linearer Anteil der Verzerrungen @v " = @v z , @x @x @v " = @v , z @y @y ! @v , z @ v + " = 21 @v @y @x @x@y 2

1

3

11

2

2

2

3

22

2

2

1

2

3

12

Matrix der Dierentialoperatoren 3 2 @ @ 0 , 77 66 @x 66 0 @ , @x @ 777 De = 6 @y @y 7 64 @ @ , @ 5 @y @x @x@y 2

2

2

2

2

Interpolationsmatrix 2 3 66 h i 0 0 0 0 0 77 H ei = 666 0 h i 0 0 0 0 777 4 5 0 0 hi hi hi 0 1

i = 1 ; : : : ; nk

1

2

3

4

Elastische Bettung

Interpolationsmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen H bi = H ei i = 1; : : : ; nk Integrand, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 0 0 0 0 0 0 66 77 66 0 0 0 0 0 0 777 66 66 0 0 h ih j h ih j h ih j 0 777 T e H bi b H bj = bz 66 7 i; j = 1; : : : ; nk 66 0 0 h ih j h ih j h ih j 0 777 66 7 64 0 0 h ih j h ih j h ih j 0 775 0 0 0 0 0 0 9412

2

2

2

3

2

4

3

2

3

3

3

4

4

2

4

3

4

4

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.125

Geometrisch nichtlineare Berechnung und Stabilitat Interpolationsmatrix H nli = H ei i = 1; : : : ; nk

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 3 2 @h i 0 0 0 07 66 @x 0 77 66 @h i 0 0 0 0 0 77 66 @y 77 66 0 @h i 0 0 0 0 77 @x B nli = 66 i = 1; : : : ; nk 77 i 66 0 @h 0 0 0 0 77 @y 66 i @h i @h i 0 7 66 0 0 @h @x @x @x 775 4 i @h i @h i 0 0 @h @y @y @y 0 1

1

1

1

2

3

4

2

3

4

Dynamische Berechnung

Interpolationsmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen H mi = H ei Integrand, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 h h 0 0 0 0 0 66 i j 77 66 0 h ih j 0 0 0 0 777 66 7 66 0 0 h ih j h ih j h ih j 0 77 T H mi H mj = 66 7 66 0 0 h ih j h ih j h ih j 0 777 66 7 0 h ih j h ih j h ih j 0 77 64 0 5 0 0 0 0 0 0 1

1

1

1

2

2

2

3

2

4

3

2

3

3

3

4

4

2

4

3

4

4

i; j = 1; : : : ; nk

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.126

4.3.3.3 Dreieckfaltwerkelement (Elementtyp 212) (s. [SW80], [ZI84])

Vektor der Knotenverformungen im Element-KOS uTi = [ui ; ui ; ui ; ui ; ui ; ui ] i = 1 ; 2; 3 1

2

3

4

5

6

Formfunktionen Scheibenanteil (s. Abs. 4.3.2.1) h i = si 1

Plattenanteil h i = si (3 , 2si ) + 2s s s 2

2

1

2

3

ohne zyklische Vertauschung he = ,s s , 21 s s s he = s s + 12 s s s he = ,s s , 12 s s s he = s (s , 1) , s s s 2

31

3

1

1

2

2

3

1

2

3

2

41

1

2

1

2

32

3

2

3

2

42

9412

2

2

1

2

3

i = 1; 2; 3

 4.3. FLACHENELEMENTE he he

Seite 4.127

= ,s (s , 1) , s s s = s s + 12 s s s 2

33

3

3

1

2

3

2

43

2

1

3

2

3

mit zyklischer Vertauschung he i = ,si si , 12 s s s he i = si si + 12 s s s     1 1 h i = bi si si + 2 s s s , bi si si + 2 s s s     1 1 h i = ci si si + 2 s s s , ci si si + 2 s s s 2

3

+2

1

2

2

3

3

i = 1; 2; 3

2

4

1

+1

2

3

+1

4

+1

2

+2

1

2

3

+2

+2

1

2

3

+2

+1

1

2

3

+1

1

2

3

i = 1; 2; 3

2

2

Lineare Berechnung

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrizen Scheibenanteil 2 3 66 bi 0 77 1 BeSi = 2A 666 0 ci 777 4 5 ci bi

i = 1; 2; 3

Plattenanteil n h i BePi (1; 1) = , (2A2 ) si 2bi (bi + bi ) , bi , bi +sih bi(bi , 2bi ) + si bi(bi , 2ibi )g n BePi (2; 1) = , (2A2 ) si 2ci (ci + ci ) , ci , ci +si ci(ci , 2ci ) + si ci(ci , 2ci )g BePi (3; 1) = , (2A4 ) fsi [bi(ci + ci ) + bi (ci , ci )+ bi (ci , ci )] +si (bici , bici , bi ci) +si (bici , bici , bi ci)g BePi (1; 2) = , (2A1 ) fsi [(bi , bi )bi bi ] h i +si ,2bi bi + (bi , bi )bibi h io + si 2bi bi + (bi , bi )bibi 2

+1

2

+2

+1

2

+1

+1

+2

+2

+2

2

+1

2

+2

+1

+1

+1

+1

2

+2

+1

+2

+2

+2

+2

+2

+1

+1

+1

+2

+2

+1

2

2

+1

+1

+2

+2

+2

2

+1

+2

+1

+2

+2

2

+2

+1

+1

+2

+1

BePi (2; 2) = , (2A1 ) fsi [4ci(bi ci , bi ci )+ (bi , bi )ci ci ] h i +si ,2bi ci + (bi , bi )cici h io + si 2bi ci + (bi , bi )cici +1

2

+2

+2

+1

+1

+2

+1

+2

2

+1

+2

+1

+2

+2

2

+2

+1

+1

+2

+1

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.128

BePi (3; 2) = , (2A2 ) fsi [2bi (bi ci , bi ci )  + 21 (bi , bi )(bi ci + bi ci )   1 +si ,2bibi ci + 2 (bi , bi )(bici + bi ci)   1 +si 2bibi ci + 2 (bi , bi )(bici + bi ci) BePi (1; 3) = , (2A1 ) fsi [4bi (bi ci , bi ci )+ (ci , ci )bi bi ] h i +si ,2bi ci + (ci , ci )bibi h io + si 2bi ci + (ci , ci )bibi BePi (2; 3) = , (2A1 ) fsi(ci , ci )ci ci h i +si ,2ci ci + (ci , ci )cici h io + si 2ci ci + (ci , ci )cici BePi (3; 3) = , (2A2 ) fsi [2ci (bi ci , bi ci )  + 21 (ci , ci )(bi ci + bi ci )   +si ,2bicici + 12 (ci , ci )(bici + bi ci )   1 +si 2bicici + 2 (ci , ci )(bici + bi ci) i = 1; 2; 3 +1

2

+2

+1

+2

+2

+1

+1

+1

+2

+1

+2

+1

+2

+1

+1

+1

+2

+1

+1

2

+2

+2

+2

+2

+1

+1

+2

+2

+1

+1

+2

2

+1

+2

+1

+2

+2

2

+2

+1

+1

2

+1

+2

+1

+2

+1

+2

2

+1

+2

+1

+2

+2

2

+2

+1

+2

2

+1

+1

+1

+1

+2

+1

+1

+2

+2

+1

+2

+1

+2

+2

+1

+1

+2

+1

+2

+2

+2

+1

Spannungs-Verschiebungs-Matrix Scheibenanteil 2 3 66 E bi + E ci E ci + E bi 77 1 C Sei = 2A 666 E bi + E ci E ci + E bi 777 4 5 E bi + E ci E ci + E bi Plattenanteil C Pei = E BPei

11

13

12

13

21

23

22

23

31

33

32

33

i = 1; 2; 3

elastische Stei gkeitsmatrix

kSeij 0 0 0 kPeij 0 0 0 0 9412

i = 1; 2; 3

+2

+1

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.129

Scheibenanteil Z Z,r S keij = 2A (BSei )T E BSej tdrds 1

0

1

0

analytische Integration (s. Abs. 4.3.2.1) Plattenanteil Z Z,r 2 A P keij = 12 (BPei )T E BPej t drds 1 1

3

0

i; j = 1; 2; 3

0

Gauss-Quadratur mit 3 Stutzstellen fur t konstant 6 Stutzstellen fur t veranderlich

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.130 Querkrafte

@ P @x Bei (1; 1) = @ P @y Bei (2; 1) = @ P @y Bei (1; 1) =

, (2A6 ) bi(bibi + bibi , (2A6 ) ci(cici + cici nh , (2A2 ) 2bi(bi + bi + bi [(bi , 2bi

, bi , bi ) , ci , ci ) i ) , bi , bi ci )ci + (bi , 2bi )ci ]g

3

+1

+2

3

+1

+2

+1

3

2

2

+2

+1

2

+1

+2

2

+1

+2

2

2

+1

+2

+1

+2

+2

+2

+2

@ P @ P @x Bei (3; 1) = 2 @y Bei (1; 1) nh i 2 @ BeP (2; 1) = , 2 c ( c + c ) , c , c i i i i i bi @x i (2A) + ci [(ci , 2ci )bi + (ci , 2ci )bi ]g @ P @ P @y Bei (3; 1) = 2 @x Bei (2; 1) @ P , (2A3 ) (bi , bi )bibi bi @x Bei (1; 2) = @ P , (2A3 ) (ci , ci )cici ci @y Bei (2; 3) = @ P , (2A3 ) ci [2ci(bi ci , bi ci ) + (ci , ci )bi bi ] @y Bei (2; 2) = @ P , (2A3 ) bi [2bi (ci bi , ci bi ) + (ci , ci )bi bi ] @x Bei (1; 3) = @ P , (2A1 ) [2bi (bi ci , bi ci ) @y Bei (1; 2) = +1

3

2

+2

2

+1

+1

+2

+1

3

+1

+2

+1

+2

3

+1

+2

+1

+2

3

+1

+2

+2

+1

+1

+2

+1

+2

3

+1

+2

+2

+1

+1

+2

+1

+2

2

3

+1

+2

+2

+1

+(bi , bi )(bi bi ci + bibi ci +bibi ci )g +1

+2

+1

+2

+1

+2

+2

+1

+1

+2

@ P @ P @x Bei (3; 2) = 2 @y Bei (1; 2) @ P , (2A1 ) [2ci (bi ci , bi ci ) @x Bei (2; 3) = +(ci , ci )(bici ci + bi cici +bi cici )g @ P @ P @y Bei (3; 3) = 2 @x Bei (2; 3) @ P , (2A1 ) [4bici (bi ci , bi ci ) @x Bei (2; 2) = 2

3

+2

+1

+2

+1

3

+1

+2

+1

+2

+2

+1

+1

+2

+2

+1

+(bi , bi )(bici ci + bi ci ci +bi cici )] +1

+2

+1

+2

+2

+1

+1

+2

+2

+1

@ P @ P @y Bei (3; 2) = 2 @x Bei (2; 2) @ P , (2A1 ) [4bici (ci bi , ci bi ) @y Bei (1; 3) = +(ci , ci )(bi bi ci + bibi ci +bibi ci )] @ P @ P @x Bei (3; 3) = 2 @y Bei (1; 3) +1

3

+1

Belastung s. Abs. 4.3.3.1.1 Elementtyp 211 9412

+2

+2

+1

+2

+2

+1

+1

+2

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.131

Elastische Bettung

Senkbettungsmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen s. Abs. 4.3.3.1.1 Elementtyp 211 Senkbettungsmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen Z Z,r bij = 2A H Tbi eb H bj drds i; j = 1; 2; 3 1

0

1

0

Gauss-Quadratur mit 7 Stutzstellen

Geometrisch nichtlineare Berechnung und Stabilitat

geometrische Stei gkeitsmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen s. Abs. 4.3.3.1.1 Elementtyp 211 Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 3 2 b 0 0 0 0 0 77 66 i 66 ci 0 0 0 0 0 777 66 77 66 0 bi 0 0 0 0 77 7 B nli = 666 0 c 0 i = 1; 2; 3 0 0 0 77 i 66 66 0 0 @h i @h i @h i 0 777 66 @x @x @x 77 4 i @h i @h i 0 5 0 0 @h @y @y @y mit @h i @si @h i @si @h i @si @h i @si @h i @si @h i @si @h i @si @h i @si 2

2

+1 2

+2 3

3

+1 3

+2 4

4

+1

2

3

4

2

3

4

= 1 + 2si (si + si ) , si , si 2

+1

+2

2

+1

+2

= si (si , 2si ) +1

= si (si , 2si )     1 1 = bi si 2si + 2 si , bi si 2si + 2 si  1  1 = 2 bi sisi , bi si si + 2 si   = bi si si + 12 si , 21 bi sisi     = ci si 2si + 21 si , ci si 2si + 12 si  1  1 = 2 ci sisi , ci si si + 2 si +2

+1

+2

+1

+1

+2

+1

+1

+1

+2

+2

+2

+1

+2

+1

+2

+2

+1

+2

+2

+2

+1

+1

+2

+2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.132

@h i = c s s + 1 s i i i @si 2 i 1 b @hji + b ji und @h = @x 2A i @si i @hji = 1 c @hji + c @y 2A i @si i 4

+1

+2

+1

 1 , 2 ci sisi ! @hji + b @hji i @si @si ! @hji + c @hji i @s @s +2

+1

+1

+2

+1

+1

i

+2

+2

+1

i

+2

j = 2; 3; 4

geometrische Stei gkeitsmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen Z Z,r kgij = 2A B Tnli  B nlj tdr ds i; j = 1; 2; 3 1

0

1

0

Gauss-Quadratur mit 6 Stutzstellen

Dynamische Berechnung

konsistente Massenmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen s. Abs. 4.3.3.1.1 Elementtyp 211 konsistente Massenmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen Z Z,r mij = 2A% H Tmi H mj tdr ds i; j = 1; 2; 3 1

0

1

0

Gauss-Quadratur mit 7 Stutzstellen

9412

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.133

4.3.3.4 Rechteckfaltwerkelement (Elementtyp 214)

Vektor der Knotenverformungen im Element-KOS

uTi = [ui ; ui ; ui ; ui ; ui ; ui ] 1

2

3

4

5

i = 1; 2; 3

6

Formfunktionen Scheibenanteil (s. Abs. 4.3.2.2) h i = 14 (1 + rir)(1 + sis) 1

Plattenanteil h i = 18 (1 + rir)(1 + si s)(2 + rir + sis , r , s ) he i = , 18 si(1 + ri r)(1 + sis)(1 , s ) he i = 18 ri(1 + rir)(1 + sis)(1 , r ) 2

2

2

2

3

2

4

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.134 bzw. h i = , L16 si(1 + rir)(1 + sis)(1 , s ) h i = L16 ri(1 + rir)(1 + sis)(1 , r ) 2

2

3

1

2

4

i = 1; 2; 3

Lineare Berechnung

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrizen Scheibenanteil 2 r 66 2Li (1 + sis) BSei = 666 0 4 si 2L (1 + rir) 1

2

si 2L ri 2L

2

1

3 0 77 (1 + rir) 777 5 (1 + sis)

i = 1; : : : ; 4

Plattenanteil BePi (1; 1) = 3Lri (1 + sis)r BePi (2; 1) = 3Lsi (1 + rir)s BePi (3; 1) = , LrisLi (4 , 3r , 3s ) BePi (1; 2) = 0 BePi (2; 2) = , 2sLi (1 + rir)(1 + 3sis) BePi (3; 2) = 2rLi (1 + sis)(1 , 3si s) BePi (1; 3) = 2rLi (1 + sis)(1 + 3ri r) BePi (2; 3) = 0 BePi (3; 3) = , 2sLi (1 + rir)(1 , 3ri r) 2 1

2 2

2

1

2

2

2

1

1

2

i = 1; : : : ; 4

Spannungs-Verschiebungs-Matrix Scheibenanteil CeSi (j; 1) = Ej CeSi (j; 2) = Ej Plattenanteil C Pei = E BPei 9412

1

2

ri 2L (1 + sis) + Ej si 2L (1 + rir) + Ej 1

2

i = 1; : : : ; 4

3

3

si 2L (1 + rir) ri 2L (1 + sis) 2

1

j = 1; 2; 3 i = 1; : : : ; 4

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.135

elastische Stei gkeitsmatrix

kSeij 0 0 0 kPeij 0 0 0 0 Scheibenanteil Z Z L L S keij = 4 (B Sei )T E B Sej tdrds , , 1

1

1

1

1

2

i; j = 1; : : : ; 4

analytische Integration (s. Abs. 4.3.2.2) Plattenanteil Z Z L L P keij = 24 (B Pei )T E B Pej t drds , , 1

1

1

2

3

1

i; j = 1; : : : ; 4

1

Gauss-Quadratur mit 3  3 Stutzstellen fur t veranderlich

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.136

fur t konstant " P t E L rirj (3 + sisj ) + E 2 rirj sisj keij (1; 1) = 12 LL L  L 5 ; 6 +E sisj (3 + rirj ) +E L L rirj sisj L  t ,E 1 rirj (si + sj ) , E L sj (3 + rirj ) kPeij (2; 1) = 12 2L 2L  ,E 5L2 rirj sj ,E L1 sisj (ri + rj ) " P t keij (3; 1) = 12 E L rj (3 + sisj ) + E 2L1 si sj (ri + rj ) 2L  +E 2 rj sisj +E 1 rirj sj (si , sj ) L  5L1 L s (3 + r r ) P t ,E keij (1; 2) = 12 r i rj (si + sj ) , E 2L 2L i  i j ,E 5L2 rirj si ,E L1 sisj (ri + rj )  t E L (3 + rirj + sisj + 1 rirj sisj ) kPeij (2; 2) = 12 4L  3   2 1 1 L +E L rirj 5 + 3 sisj ,E 2 (risi + rj sj )  t ,E 1 (risi + rj sj + risj + rj si) kPeij (3; 2) = 12 4  L L ,E 6L rirj sisj ,E 6L rirj sisj " P t E L ri(3 + sisj ) + E 1 sisj (ri + rj ) keij (1; 3) = 12 2L 2L  2 1 +E 5L ri sisj +E L rirj (sj , si)  P t keij (2; 3) = 12 ,E 14 (risi + rj sj + risj + rj si)  ,E 6LL rirj sisj ,E 6LL rirj sisj  L   1 P t keij (3; 3) = 12 E 4L 3 + rirj + sisj + 3 rirj sisj    +E LL sisj 52 + 13 rirj +E 12 (risi + rj sj ) 3

2

11

12

3 1

1

2

1

2

1

22

33

3 2

3

1

12

22

2

1

2

23

33

1

3

2

2

11

12

2

2

1

33

13

2

1

3

1

12

22

2

1

33

2

23

1

3

2

1

22

2

2

23

33

1

3

12

2

1

23

13

1

3

2

2

11

12

2

2

1

33

13

2

1

3

12

2

1

13

23

2

3

1

2

11

1

1

13

33

2

9412

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.137

Querkrafte 2 0 66 6Lri (1 + sis) @ B P = 666 6ri si s , risi (1 + 3s s) i LL @x ei 66 L L 4 6ri si r 0 LL 2 0 66 L6riLsi r @ B P = 666 6si (1 + r r) , 3 (1 + r r) i i L @y ei 66 L 4 6ri si s , 2risi (1 + 3sis) LL LL 3 1

2

1

2

1

2

2 1

2

2 1

2

3

2

2

2

2

1

2

1

2

3 3 (1 + sis) 7 L 77 77 0 77 5 2risi L L (1 + 3rir) 3 risi (1 + 3rir) 7 LL 77 77 0 77 5 0 2 1

1

2

1

2

Bilinear veranderliche Flachenlast Knotenlasten

2 3 2 3 cij 0 0 0 0 0 77 2 3 6 Z 6 fej dA 64 P i 75 = A 66 0 cij 0 0 0 0 77 64 P i 75 S Ri = H TPi H 75 0 144 64 0 A 0 0 cij 0 0 0

i; j = 1; : : : ; 4

mit cij = 9 + 3(rirj + sisj ) + rirj sisj

Linear veranderliche Linienlast

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.138

Temperatur, Vorspannung Scheibenanteil s. Abs. 4.3.2.2 Plattenanteil Integral

2 3 66 0 0 riL 77 Z t BPei dV = 2 666 0 ,siL 0 777 4 5 V 0 0 0 2

1

i = 1; : : : ; 4

Knotenlasten aus Temperatur Z t E S Ri = (BPei )T dV
12 i = 1; : : :; 4 V 2

0

Knotenlasten aus Vorspannung Z S Ri = (BPei )T dV
12t ez v i = 1; : : : ; 4 V

Elastische Bettung

Senkbettungsmarix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 3 2 0 0 0 0 0 0 7 66 66 0 0 0 0 0 0 777 7 66 66 0 0 cij 0 0 0 777 i; j = 1; : : :; 4 7 bij = 66 66 0 0 0 0 0 0 777 7 66 64 0 0 0 0 0 0 775 0 0 0 0 0 0 mit cij = bz L L [9 + 3(rirj + sisj ) + rirj sisj ] 1

2

Senkbettungsmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen Z Z bij = L 4L H Tbi eb H bj drds i; j = 1; : : : ; 4 , , Gauss-Quadratur mit 3  3 Stutzstellen 1

9412

1

1

1

1

2

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.139

Stabilitatsberechnung

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 c 0 0 0 0 0 i 66 7 66 c i 0 0 0 0 0 777 66 7 66 0 c i 0 0 0 0 777 7 i = 1; : : : ; 4 B nli = 66 66 0 c i 0 0 0 0 777 66 7 64 0 0 c i 0 0 0 775 0 0 ci 0 0 0 1

2

1

2

1

2

mit c i = 2rLi (1 + sis) ; c i = 2sLi (1 + ri r) 2

1

1

2

geometrische Stei gkeitsmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 3 2 c 0 0 0 0 0 7 66 ij 66 0 cij 0 0 0 0 777 7 66 66 0 0 cij 0 0 0 777 i; j = 1; : : : ; 4 7 kgij = 66 66 0 0 0 0 0 0 777 7 66 64 0 0 0 0 0 0 775 0 0 0 0 0 0  L  1   1   1 L mit cij = 4  L rirj 1 + 3 sisj +  L sisj 1 + 3 rirj +  (risj + rj si) 2

1

11

22

1

12

2

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 0 0 07 66 c i 0 0 77 66 c i 0 0 77 0 0 0 66 77 66 0 c i 0 0 0 0 77 B nli = 666 0 c i = 1; : : : ; 4 0 0 0 0 777 i 66 66 0 0 @h i @h i @h i 0 777 66 @x @x @x 77 4 i @h i @h i 0 5 0 0 @h @y @y @y 1

2

1

2

2

3

4

2

3

4

mit c i = 2rLi (1 + sis); 1

1

c i = 2sLi (1 + rir) 2

2

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.140

@h i @x @h i @y @h i @x @h i @y @h i @x @h i @y 2

2

3

3

4

4

= 4L1 ri(1 + sis)(3 + sis , 3r , s ) = 4L1 si(1 + rir)(3 + rir , r , 3s ) = , 8LL risi(1 + sis)(1 , s ) = , 81 (1 + rir)(1 , 2si s , 3s ) = 18 (1 + sis)(1 , 2rir , 3r ) = 8LL risi(1 + rir)(1 , r ) 2

2

1

2

2

2

2

2

1

2

2

1

2

2

geometrische Stei gkeitsmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen Z Z L L BTnli  B nlj tdr ds kgij = 4 i; j = 1; 2; 3 , , Gauss-Quadratur mit 3  3 Stutzstellen 1

1

1

1

1

2

Dynamische Berechnung

konsistente Massenmatrix, ohne Berucksichtigung der Knotenverdrehungen 2 3 66 cij 0 0 0 0 0 77 66 0 cij 0 0 0 0 77 66 77 6 77 0 0 c 0 0 0 ij mij = %L144L 666 7 i; j = 1; : : :; 4 66 0 0 0 0 0 0 777 66 7 64 0 0 0 0 0 0 775 0 0 0 0 0 0 1

2

mit cij = t[9 + 3(ri rj + sisj ) + rirj sisj ] fur t konstant

cij = t [9 + 3(rirj + sisj ) + rirj sisj ] + t [(ri + rj )(3 + sisj )] +t [(si + sj )(3 + rirj ) + t [(ri + rj )(si + sj )] fur t bilinear veranderlich 1

2

3

4

konsistente Massenmatrix, mit Berucksichtigung der Knotenverdrehungen Z Z L L i; j = 1; : : : ; 4 mij = % 4 H Tmi H mj tdr ds , , Gauss-Quadratur mit 3  3 Stutzstellen 1

9412

1

1

1

1

2

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.141

4.3.4 Gekrummte Schalenelemente Beschreibung der Geometrie

Ortsvektor: r = r(xi) = x i + x i + x i = xk ik 2

1

3

1

2

3

Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention mit  griechischen Indizes , , , : : : uber 1, 2  lateinischen Indizes i, j , k, : : : uber 1, 2, 3 Die Koordinaten xi sind Funktionen zweier Parameter : r = r() = xk ()ik mit  : naturliche Koordinaten 9 x = x () = P hi xi > > i : Anzahl der Knoten > i = P x = x () = hi xi > xki : Koordinate des Knotens i in xk -Richtung i > hi : Ansatzfunktion fur Knoten i ; x = x () = P hi xi > 1

1

1

2

2

2

3

3

3

i

Tangentenvektoren: a = r; = @@r 

(; ) : partielle Ableitung

@x ( ;  ) i ; ) ; ) + @x ( + @x ( @ @  i @  i ;  ) x i + P @hi( ;  ) x i + P @hi( ;  ) x i r;( ;  ) = P @hi(  i i i @ @ @ i i i  ( ) xk i r;() = P @h@i i k i r;( ;  ) = 1 0

2 0

1

2

0

0

1

1

2

0

0

1

2

0

0

2

1

1

1

1

2

0

0

1

2

0

0

3

2

2

1

2

0

0

1

2

0

0

2

3

3

3

0

0

a: kovariante Basisvektoren (Tangentenvektoren) Matensor (kovariant): a = a  = a
a auch: Metriktensor oder metrischer Fundamentaltensor Determinante des kovarianten Matensors: a = ja j = a a , (a ) 2

11

22

12

Kontravarianter Matensor: 2 3 2 a ,a 7 6 a a = a  = a1 64 5=4 ,a a a 22

12

21

11

11

21

3 a 7 5 a 12

22

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.142 Determinante des kontravarianten Matensors: ja j = a a , (a ) = a1 11

22

12

2

Kontravariante Basisvektoren: a = a a ; a
a =   a = a
a Lange der Basisvektoren: jaj = pa
a = p a p p  ja j = a
a = a Dierential des Ortsvektors r: dr = dsh i + dsh i ; dsh i = a d ; dsh i = a d 1

1

2

1

1

2

2

2

dsh i = jdsh ij = pa d dsh i = jdsh ij = pa d dr
dr = ad
a d = aa dd = a dd : erste Grundform der Flachentheorie 1

1

1

11

2

2

22

2

1

2

Eingeschlossener Winkel: cos ' = pa
pa = p a a a pa aa q sin ' = 1 , cos ' = p a a ! orthogonale Parameterlinien: a = a = 0 1

12

2

11

22

11

22

2

11

22

12

12

Flache(nelement): dF = jdsh i  dsh ij = dsh idsh i sin ' 1

pa p p = a d a d
pa a p = ad d

2

1

2

1

2

11

22

11

1

dF = ja d  a d j = jpa  a jd d ! a = ja  a j 1

2

1

2

1

1

1

9412

2

2

2

2

22

 4.3. FLACHENELEMENTE

Seite 4.143

Normaleneinheitsvektor: a = a p a a = a = jaa  a j a a
a = 0 ; a
a = 0 a
a =1 3

1

2

1

2

1

2

3

3

3

3

3

Normierte Basisvektoren:  ahi = paa ; ahi = pa  ; ah i = ah i = a a  3

3

3

h::i: physikalische Vektorkomponente "-Tensor: 2 " " = 64 " 2 " " = 64 "

11

21

11

21

" " " "

12

22

12

22

2 3 p 75 = a 64 0 ,1 3 2 75 = p1 64 0 a ,1

3 17 p 5 = ae 0 3 1 7 1  5 = pa e 0

Krummungseigenschaften:

r; = a ; = a;  X r; () = @ hi( ) xki ik i @ @ a
a; = ,a ;
a da = a ; d 2

0

0

3

3

3

3

dr
da = aa ; dd = ,b dd : zweite Grundform der Flachentheorie 3

3

Kovarianter Krummungstensor:

b = b  = = =

,a
a ; = ,a
a ; a;
a = a ;
a 1 a + a 
a (! symmetrisch) 2 ; ; 3

3

3

3

3

Determinante des kovarianten Krummungstensors:

b = jb j = b b , (b )

2

11

22

12

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.144 Gemischt- und kontravarianter Krummungstensor: b = b a b = ba = baa Mittlere Krummung: H = a b , 2a2ab + a b = 12 a b = 12 b H = ( +  )=2 mit : Hauptkrummungen 11

22

1

12

12

22

11

2

Die mittlere Krummung H verschwindet (H = 0) bei Minimal achen. Gau'sche Krummung: K = ab K = 
 1

2

Ableitungen/Ableitungsgleichungen: a ;
a = ,a
a; a ;
a = 0 3

3

a; a ; a; a ; 3

3

= = = =

, a + , a ,a , a + b a ,ba 3

3

3

3

Kovariante Ableitung: aj = b a aj = b a a j = a ; = ,ba aj = a; , , a aj = a; + , a 3

3

3

9412

3

(,) : Christoelsymbol

  b = ,    ,b = ,  3

3

(j) : kovariante Ableitung

4.4. VOLUMENELEMENTE

Seite 4.145

4.4 Volumenelemente

4.4.1 Koordinaten, Integration, Materialmatrix 4.4.1.1 Tetraeder - lineare Abbildung

Einheitskoordinaten der Elementknoten 1=A 2=B 3=C 4=D r(x = xi) = ri 0 1 0 0 s(y = yi) = si 0 0 1 0 t(z = zi) = ti 0 0 0 1 Abbildungsfunktion x(r; s; t) = x (1 , r , s , t) + x r + x s + x t y(r; s; t) = y (1 , r , s , t) + y r + y s + y t z(r; s; t) = z (1 , r , s , t) + z r + z s + z t 1

Jacobi-Matrix 2 @y 66 @x @r @r @y J = 666 @x @s @s 4 @x @y @t @t

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

@z @r @z @s @z @t

3 2 3 77 66 x , x y , y z , z 77 77 = 66 x , x y , y z , z 77 75 64 75 x ,x y ,y z ,z 2

1

2

1

2

1

3

1

3

1

3

1

4

1

4

1

4

1

det J = (x , x )(y , y )(z , z ) + (x , x )(y , y )(z , z ) + (x , x )(y , y )(z , z ) , (x , x )(y , y )(z , z ) , (x , x )(y , y )(z , z ) , (x , x )(y , y )(z , z ) = 6V 2

1

3

1

4

1

3

1

4

1

2

1

4

1

2

1

3

1

4

1

3

1

2

1

2

1

4

1

3

1

3

1

2

1

4

1

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.146 naturliche (Tetraeder-) Koordinaten 2 3 2 32 3 1 1 1 1 1 66 77 66 77 66 s 77 66 x 77 66 x x x x 77 66 s 77 66 77 = 66 76 7 66 y 77 66 y y y y 777 666 s 777 4 5 4 54 5 s z z z z z 1

1

2

3

4

2

1

2

3

4

3

1

2

3

4

4

Umkehrabbildung 2 3 1 1 1 1 66 7 66 x x x x 777 7 = 6V det 66 66 y y y y 777 4 5 z z z z 2 3 2 s 66 77 66 a b c d 66 s 77 1 66 a b c d 66 77 = 66 66 s 77 6V 66 a b c d 4 5 4 s a b c d 1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

1

1

1

1

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

32 3 77 66 1 77 77 66 x 77 77 66 77 77 66 y 77 54 5 z

mit

2 3 66 xj yj zj 77 ai = (,1)i det 666 xk yk zk 777 4 5 x y z l l l 2 3 1 x z j j 7 66 7 6 i ci = (,1) det 66 1 xk zk 777 4 5 1 xl zl +1

+3

2 66 1 bi = (,1)i det 666 1 4 21 66 1 di = (,1)i det 666 1 4 1 +2

+4

i; j; k; l = 1; 2; 3; 4 ; 2; 1; 3; 4 ; 3; 1; 2; 4 ; 4; 1; 2; 3 oder ausgeschrieben si = 61V (ai + bix + ciy + di z) = VVi und s + s + s + s = 1 1

9412

2

3

4

i = 1; : : : ; 4

yj yk yl xj xk xl

3 zj 77 zk 777 5 zl 3 yj 77 yk 777 5 yl

4.4. VOLUMENELEMENTE

Seite 4.147

Abbildung: naturliche Koordinaten { Einheitskoordinaten s =1,r,s,t s =r s =s s =t 1 2 3 4

Integration im Einheitstetraeder analytisch Z Z,r ,Zr,s rp1 sp2 tp3 dr ds dt = (3 + pp !+p p!p +! p )! 1 1

1

1

0

0

1

0

oder Z Z,s2 ,Zs2 ,s3 1

1

1

0

0

3

2

3

sp1 sp2 sp3 sp4 ds ds ds = (3 + p p +!pp!p+!pp ! + p )! 1

1

0

2

2

3

4

2

3

2

3

4

4

1

2

3

4

numerisch durch Gauss-Quadratur (s. [ZI84]) Z Z,r ,Zr,s X f (r; s; t)drdsdt  61 wif (ri; si; ti) i 1

0

1

0

1

0

Genauigkeitsgrad 1 2

3

Stutzstellen

r-Koordinate s-Koordinate t-Koordinate 0.25000000 0.25000000 0.25000000 0.58541020 0.13819660 0.13819660 0.13819660 0.58541020 0.13819660 0.13819660 0.13819660 0.58541020 0.13819660 0.13819660 0.13819660 0.25000000 0.25000000 0.25000000 0.33333333 0.16666667 0.16666667 0.16666667 0.33333333 0.16666667 0.16666667 0.16666667 0.33333333 0.16666667 0.16666667 0.16666667

Wichtungsfaktoren wi

1.00000000 0.25000000 0.25000000 0.25000000 0.25000000 -0.80000000 0.45000000 0.45000000 0.45000000 0.45000000 9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.148

4.4.1.2 Pentaeder { bilineare Abbildung

Einheitskoordinaten der Elementknoten 1=A 2=B 3=C 4=D 5=E 6=F r(x = xi) = ri 0 1 0 0 1 0 s(y = yi) = si 0 0 1 0 0 1 t(z = zi) = ti ,1 ,1 ,1 1 1 1 Jacobi-Matrix Abbildungsfunktionen hi = 12 (1 , r , s)(1 + tit) hi = 12 r(1 + tit) hi = 12 s(1 + tit)

x=

X 6

xihi = d + d r + d s + d t + d rt + d st 1

i

i = 1; 4 i = 2; 5 i = 3; 6

2

3

4

5

6

=1

y=

X 6

yihi = e + e r + e s + e t + e rt + e st 1

i

2

3

4

5

6

=1

z=

X 6

=1

9412

zihi = f + f r + f s + f t + f rt + f st 1

i

2

3

4

5

6

4.4. VOLUMENELEMENTE mit

d d d d d d

1 (x + x ) 2 1 (,x + x , x + x ) 2 1 (,x + x , x + x ) 2 1 (,x + x ) 2 1 (x , x , x + x ) 2 1 (x , x , x + x ) 2

= = = = = =

1

2

3

4

5

6

Seite 4.149

1

e e e e e e

1

2

4

5

1

3

4

6

1

4

1

2

4

5

1

3

4

6

1 (y + y ) 2 1 (,y + y , y + y ) 2 1 (,y + y , y + y ) 2 1 (,y + y ) 2 1 (y , y , y + y ) 2 1 (y , y , y + y ) 2

= = = = = =

1

4

2

3

4

5

6

1

4

1

2

4

5

1

3

4

6

1

4

1

2

4

5

1

3

4

6

= 21 (z + z ) = 12 (,z + z , z + z ) = 12 (,z + z , z + z ) = 12 (,z + z ) = 12 (z , z , z + z ) = 12 (z , z , z + z ) 2 3 e +e t f +f t 66 d + d t 77 6 77 J = 66 d + d t e +e t f +f t 75 4 d +d r+d s e +e r+e s f +f r+f s

f f f f f f

1

1

4

2

1

2

4

5

3

1

3

4

6

4

1

4

5

1

2

4

5

6

1

3

4

6

2

5

2

5

2

5

3

6

3

6

3

6

4

5

4

5

4

5

6

6

6

Integration im Einheitsbereich analytisch Z Z,rZ ,1)p3 rp1 sp2 tp3 dr ds dt = (2 +pp!p+! p )! 1 +p (+ 1 1 1

1

1

0

0

,

1

1

oder Z Z,s2 Z 1

0

1

0

2

1

1

3

,1)p4 sp1 sp2 sp3 tp4 ds ds ds dt = (2 + pp !+p p!p +! p )! 1 +p (+ 1 1

1

,

2

2

3

2

3

2

3

4

1

2

3

4

numerisch durch Gauss-Quadratur Z Z,rZ X f (r; s; t)  21 wiwj f (ri ; si; tj ) i;j , 1

0

1

1

0

1

Genauigkeit, Stutzstellen, Wichtungsfaktoren s. Abs. 4.2.1 und 4.3.1.1 9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.150

4.4.1.3 Hexaeder { trilineare Abbildung

Einheitskoordinaten der Elementknoten 1=A 2=B 3=C 4=D 5=E 6=F 7=G 8=H r(x = xi) = ri ,1 1 1 ,1 ,1 1 1 ,1 s(y = yi) = si ,1 ,1 1 1 ,1 ,1 1 1 t(z = zi) = ti ,1 ,1 ,1 ,1 1 1 1 1 Jacobi-Matrix Abbildungsfunktionen i = 1; : : :; 8 hi = 81 (1 + rir)(1 + sis)(1 + tit) X x = xihi = d + d r + d s + d t + d rs + d rt + d st + d rst 8

1

i

2

3

4

5

6

7

8

=1

y =

X 8

yihi = e + e r + e s + e t + e rs + e rt + e st + e rst 1

i

2

3

4

5

6

7

8

=1

z =

X 8

i

=1

9412

zihi = f + f r + f s + f t + f rs + f rt + f st + f rst 1

2

3

4

5

6

7

8

4.4. VOLUMENELEMENTE mit

d d d d d d d d

= = = = = = = =

1 (+x 8 1 (,x 8 1 (,x 8 1 (,x 8 1 (+x 8 1 (+x 8 1 (+x 8 1 (,x 8

e e e e e e e e

= = = = = = = =

1 (+y 8 1 (,y 8 1 (,y 8 1 (,y 8 1 (+y 8 1 (+y 8 1 (+y 8 1 (,y 8

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

+x +x ,x ,x ,x ,x +x +x

+x +x +x ,x +x ,x ,x ,x

+y +y ,y ,y ,y ,y +y +y

+y +y +y ,y +y ,y ,y ,y

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

3

3

3

3

3

3

3

3

4

4

4

4

4

4

4

4

= 18 (+z + z + z + z = 18 (,z + z + z , z = 18 (,z , z + z + z = 18 (,z , z , z , z = 18 (+z , z + z , z = 18 (+z , z , z + z = 18 (+z + z , z , z = 18 (,z + z , z + z 2 66 d + d s + d t + d st J = 666 d + d r + d t + d rt 4 d + d r + d s + d rs

f f f f f f f f

1

1

2

3

4

2

1

2

3

4

3

1

2

3

4

4

1

2

3

4

5

1

2

3

4

6

1

2

3

4

7

1

2

3

4

8

1

2

3

4

2

5

6

8

3

5

7

8

4

6

7

8

4

4

4

3

3

4

4

3

3

4

4

3

3

4

+y ,y +y ,y ,y +y ,y +y

3

3

+x ,x +x ,x ,x +x ,x +x

Seite 4.151 +x ,x ,x +x +x ,x ,x +x

5

5

5

5

5

5

5

5

+x +x ,x +x ,x +x ,x ,x

6

6

6

6

6

6

6

6

+x +x +x +x +x +x +x +x

7

7

7

7

7

7

7

7

+x ) ,x ) +x ) +x ) ,x ) ,x ) +x ) ,x ) 8

8

8

8

8

8

8

8

+y ,y ,y +y +y ,y ,y +y

+y +y ,y +y ,y +y ,y ,y

+y +y +y +y +y +y +y +y

+y ) ,y ) +y ) +y ) ,y ) ,y ) +y ) ,y )

+z ,z ,z +z +z ,z ,z +z

+z +z ,z +z ,z +z ,z ,z

+z +z +z +z +z +z +z +z

+z ) ,z ) +z ) +z ) ,z ) ,z ) +z ) ,z )

2

5

6

8

2

5

6

8

3

5

7

8

3

5

7

8

4

6

7

8

4

6

7

8

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

5

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

6

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

7

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

8

3 e + e s + e t + e st f + f s + f t + f st 77 e + e r + e t + e rt f + f r + f t + f rt 777 5 e + e r + e s + e rs f + f r + f s + f rs

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.152 Integration in Einheitskoordinaten

analytisch Z Z Z p1 1 + (,1)p2 1 + (,1)p3 1 + ( , 1) p p p 1 2 3 r s t dr ds dt = p + 1 p + 1 p + 1 1

1

1

, , , 1

1

1

1

2

3

numerisch durch Gauss-Quadratur Z Z Z X f (r; s; t)  wiwj wk f (ri ; sj ; tk ) 1

1

, , , 1

1

1

1

i;j;k

Genauigkeit, Stutzstellen, Wichtungsfaktoren s. Abs. 4.2.1

9412

4.4. VOLUMENELEMENTE

Seite 4.153

4.4.1.4 Quader als Sonderfall des Hexaeders

Einheitskoordinaten r = L2 x , 1 $ x = L2 (r + 1) s = L2 y , 1 $ y = L2 (s + 1) t = L2 z , 1 $ z = L2 (t + 1) 1

1

2

2

3

3

Jacobi-Matrix 2 66 L2 0 0 J = 666 0 L2 0 4 0 0 L2 det J = 18 L L L 1

2

3

1

2

3 77 77 75

2 66 L2 0 0 J , = 666 0 L2 0 4 0 0 L2 1

1

2

3 77 77 75

3

3

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.154

4.4.1.5 Materialkennwerte Materialmatrix 2 66 E E 66 E E 66 6E E E = 666 66 E E 66 64 E E E E 11

12

21

22

31

32

41

42

51

52

61

62

E E E E E E

13

23

33

43

53

63

E E E E E E

14

24

34

44

54

64

E E E E E E

15

25

35

45

55

65

E E E E E E

16

26

36

46

56

3 77 77 77 77 77 77 77 75

66

Isotropes Material

2  0 0 0 66 1 ,   66  1 ,   0 0 0 66 66   1, 0 0 0 E E = (1 +  )(1 6 , 2 ) 66 0 0 0 1 ,2 2 0 0 66 1 , 2 66 0 0 0 0 0 4 1 , 2 0 0 0 0 0 2 2

Anfangsverzerrungen aus Temperatur

"T =
TsT [1; 1; 1; 0; 0; 0] 0

Spannungen aus Anfangsverzerrungen  = ,E " 0

9412

3 77 77 77 77 77 77 77 75

4.4. VOLUMENELEMENTE

Seite 4.155

4.4.2 Elementmatrizen Freiheitsgrade je Knoten lokal tx, ty , tz global tx, ty , tz

Vektor der Knotenverschiebungen im Element-KOS uTi = [ui1 ; ui2 ; ui3 ] i = 1; : : :; nk Verzerrungen

e

=

e

=

11

22

e

=

e

=

33

12

e

=

e

=

13

23

2 ! @v + 1 4 @v + @x 2 @x 2 ! @v + 1 4 @v + @y 2 @y 2 ! @v + 1 4 @v + @z 2 @z ! 1 @v + @v + 1 2 @y @x ! 2 1 @v + @v + 1 2 @z @x ! 2 1 @v + @v + 1 2 @z @y 2 2

1

1

2

1

3

1

2

2

1

2

1

3

2

3

! !3 @v + @v 5 @x @x ! !3 @v + @v 5 @y @y ! !3 @v + @v 5 @z @z ! @v @v + @v @v + @v @v @x @y @x @y @x @y ! @v @v + @v @v + @v @v @x @z @x @z @x @z ! @v @v + @v @v + @v @v @y @z @y @z @y @z 2

2

2

3

2

2

2

3

2

2

2

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

Lineare Berechnung

linearer Anteil der Verzerrungen ! @v 1 @v @v " = @x " = 2 @y + @x ! @v 1 @v @v " = @y " = 2 @z + @x ! @v 1 @v @v " = @z " = 2 @z + @y 1

11

2

22

2

1

3

2

3

13

3

33

1

12

23

Matrix der Dierentialoperatoren 2 @ @ @ 66 @x 0 0 @y @z 0 @ 0 @ 0 @ DTe = 666 0 @y @x @z 4 @ @ @ 0 0 @z 0 @x @y

3 77 77 75 9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.156 Interpolationsmatrix 2 3 h 0 0 66 i 77 6 H ei = 66 0 hi 0 777 4 5 0 0 hi

i = 1; : : : ; nk

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix

2 3 2 3 c 0 0 c c 0 i i 66 i 77 66 c i 77 BTei = 666 0 c i 0 c i 0 c i 777 mit 666 c i 777 = J , 4 5 4 5 0 0 ci 0 ci ci ci 1

2

2

3

1

1

3

1

3

2

2

3

Spannungs-Verschiebungs-Matrix

C ei = E Bei

i = 1; : : : ; nk

Spannungen 2 3  ( r; s; t ) 66 7 66  (r; s; t) 777 66 7 nk 66  (r; s; t) 777 X 66 77 = C ei (r; s; t)ui , E " 66  (r; s; t) 77 i 66 7 64  (r; s; t) 775  (r; s; t) 11

22

33

0

=1

12

13

23

Volumenlast Vektor der Lastordinaten in den Knoten (global)

P Ti = [Pi ; Pi ; Pi ] = [gx; gy ; gz ] 1

2

3

Knotenlasten Z = H ei dV
P i S Ri V

9412

i = 1; : : : ; nk

i = 1; : : : ; nk

1

2 66 66 66 64

@hi @r @hi @s @hi @t

3 77 77 77 i = 1; : : : ; nk 75

4.4. VOLUMENELEMENTE

Seite 4.157

Veranderliche Flachenlast Veranderliche Linienlast Temperatur Knotenlasten Z S Ri = B Tei dV
E "

i = 1; : : : ; nk

0

V

Geometrisch nichtlineare Berechnung und Stabilitat nichtlinearer Anteil der Verzerrungen 2 ! ! !3 @v + @v 5 +  = 12 4 @v @x @x @x 2 ! ! !3 1 @v @v @v  = 2 4 @y + @y + @y 5 2 ! ! !3 1 @v @v @v  = 2 4 @z + @z + @z 5 ! 1 @v @v @v @v @v @v  = 2 @x @y + @x @y + @x @y ! 1 @v @v @v @v @v @v  = 2 @x @z + @x @z + @x @z ! @v @v @v @v @v @v 1  = 2 @y @z + @y @z + @y @z 2

2

1

2

2

3

11

2

2

1

2

2

3

22

2

2

1

2

2

3

33

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

1

1

2

2

3

3

12

13

23

Matrix der Dierentialoperatoren

2 @ @ @ 66 @x @y @z 0 @ DTnl = 666 0 0 0 @x 4 0 0 0 0

0 @ @y 0

0 @ @z 0

0 0 @ @x

0 0 @ @y

0 0 @ @z

3 77 77 75

Interpolationsmatrix

H nli = H ei

i = 1; : : : ; nk 9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.158 Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix 2 3 66 c i c i c i 0 0 0 0 0 0 77 BTnli = 666 0 0 0 c i c i c i 0 0 0 777 4 5 0 0 0 0 0 0 ci ci ci 1

2

3

1

2

i = 1; : : : ; nk

3

1

Cauchy'sche Spannungsmatrix 3 2 2 66  66  0 0 77  = 666 0  0 777 mit  i = 666  5 4 4 0 0  

2

1

11

21

2

31

3

3

  

12

22

32

3  77  777 5  13

23

33

Dynamische Berechnung

Interpolationsmatrix H mi = H ei i = 1; : : : ; nk Integrand

2 66 hi hj 0 0 H Tmi H mj = 666 0 hi hj 0 4 0 0 hi hj

9412

3 77 77 75

i; j = 1; : : : ; nk

i = 1; 2; 3

4.4. VOLUMENELEMENTE

Seite 4.159

4.4.2.1 Tetraederelement ohne Zwischenknoten

Formfunktionen hi = si i = 1; : : : ; 4

Lineare Berechnung

Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix 2 3 66 bi 0 0 ci di 0 77 1 B Tei = 6V 666 0 ci 0 bi 0 di 777 4 5 0 0 di 0 bi ci Spannungs-Verschiebungs-Matrix 2 66 E bi + E ci + E di 66 E bi + E ci + E di 66 6 E bi + E ci + E di C ei = 61V 666 66 E bi + E ci + E di 66 64 E bi + E ci + E di E bi + E ci + E di 11

14

15

21

24

25

31

34

35

41

44

45

51

54

55

61

64

65

i = 1; : : : 4

E E E E E E

12

22

32

42

52

62

ci + E ci + E ci + E ci + E ci + E ci + E

14

24

34

44

54

64

bi + E bi + E bi + E bi + E bi + E bi + E

16

26

36

46

56

66

di di di di di di

E E E E E E

13

23

33

43

53

63

di + E bi + E di + E bi + E di + E bi + E di + E bi + E di + E bi + E di + E bi + E i = 1; : : : 4 15

16

25

26

35

36

45

46

55

56

65

66

ci ci ci ci ci ci

3 77 77 77 77 77 77 77 75

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.160 elastische Stei gkeitsmatrix

keij (1; 1) = 361V [bi(E bj + E cj + E dj ) + ci(E +di (E bj + E cj + E dj )] keij (2; 1) = 361V [ci(E bj + E cj + E dj ) + bi(E +di (E bj + E cj + E dj )] 1 keij (3; 1) = 36V [di(E bj + E cj + E dj ) + bi(E +ci(E bj + E cj + E dj )] keij (1; 2) = 361V [bi(E cj + E bj + E dj ) + ci(E +di (E cj + E bj + E dj )] keij (2; 2) = 361V [ci(E cj + E bj + E dj ) + bi(E +di (E cj + E bj + E dj )] keij (3; 2) = 361V [di(E cj + E bj + E dj ) + bi(E +ci(E cj + E bj + E dj )] keij (1; 3) = 361V [bi(E dj + E bj + E cj ) + ci(E +di (E dj + E bj + E cj )] 1 keij (2; 3) = 36V [ci(E dj + E bj + E cj ) + bi(E +di (E dj + E bj + E cj )] keij (3; 3) = 361V [di(E dj + E bj + E cj ) + bi(E +ci(E dj + E bj + E cj )] 11

51

21

61

31

61

12

52

22

62

32

62

13

53

23

63

33

63

14

15

54

24

41

34

64

14

41

24

35

34

64

15

55

25

65

35

65

44

51

65

42

56

26

64

42

54

44

46

cj + E bj + E dj ) 44

46

66

36

52

66

16

43

56

26

43

cj + E bj + E dj ) 54

56

dj + E bj + E cj ) 45

46

dj + E bj + E cj ) 45

46

66

36

53

dj + E bj + E cj )

66

Linear veranderliche Flachenlast Linear veranderliche Linienlast Temperatur Integral

9412

55

cj + E bj + E dj )

i = 1; : : : ; 4

2 3 66 bi 0 0 ci di 0 77 Z 1 BTei dV = 6 666 0 ci 0 bi 0 di 777 4 5 V 0 0 di 0 bi ci

45

bj + E cj + E dj )

Volumenlast Knotenlasten S TRi = V4 [gx; gy ; gz ]

45

bj + E cj + E dj )

65

16

54

44

55

25

64

bj + E cj + E dj )

i = 1; : : : ; 4

55

56

4.4. VOLUMENELEMENTE Knotenlasten Z S Ri = B Tei dV
E "

Seite 4.161

i = 1; : : : ; 4

0

V

Geometrisch nichtlineare Berechnung und Stabilitat

geometrische Stei gkeitsmatrix 2 3 66 cij 0 0 77 1 kgij = 36V 666 0 cij 0 777 4 5 0 0 cij

i; j = 1; : : : ; 4

mit cij = bj (bi + ci + di  ) + cj (bi + ci + di  ) + dj (bi + ci + di  ) 11

21

31

12

22

32

13

23

33

Dynamische Berechnung

konsistente Massenmatrix 2 3 66 cij 0 0 77 %V mij = 20 666 0 cij 0 777 4 5 0 0 cij mit

cij = 1 + ij

i; j = 1; : : :; 4

2 1 fur i = j und ij = 64 0 fur i 6= j

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.162

4.4.2.2 Pentaederelement ohne Zwischenknoten

Formfunktionen hi = 21 (1 , r , s)(1 + tit) hi = 12 r(1 + tit) hi = 12 s(1 + tit)

i = 1; 4 i = 2; 5 i = 3; 6

Ableitungen

@hi = , 1 (1 + tit) 2 @r @hi = , 1 (1 + tit) 2 @s @hi = 1 (1 , r , s) ti 2 @t i = 1; 4

@hi = 1 (1 + tit) 2 @r @hi = 0 @s @hi = 1 rti 2 @t i = 2; 5

@hi = 0 @r @hi = 1 (1 + tit) 2 @s @hi = 1 sti 2 @t i = 3; 6

Lineare Berechnung

elastische Stei gkeitsmatrix Z Z,rZ BTei E B ej det Jdr ds dt keij = 1 1

0

0

1

,

i; j = 1; : : : ; 6

1

Gauss-Quadratur mit 6 Stutzstellen in der Dreieck ache und 2 Stutzstellen uber t

Volumenlast

Knotenlasten Z Z,rZ H ei det Jdr ds dt
P i S Ri = 1 1

0

0

1

,

i = 1; : : :; 6

1

Gauss-Quadratur mit 6 Stutzstellen in der Dreieck ache und 2 Stutzstellen uber t 9412

4.4. VOLUMENELEMENTE

Seite 4.163

Linear bzw. bilinear veranderliche Flachenlast Linear veranderliche Linienlast Temperatur

Knotenlasten Z Z,rZ S Ri = B Tei det Jdr ds dt
E " 1 1

0

1

,

0

0

i = 1; : : : ; 6

1

Gauss-Quadratur mit 1 Stutzstelle in der Dreieck ache und 1 Stutzstelle uber t

Geometrisch nichtlineare Berechnung und Stabilitat

geometrische Stei gkeitsmatrix Z Z,rZ B Tnli  B nlj det Jdr ds dt kgij = 1 1

0

1

,

0

i; j = 1; : : : ; 6

1

Gauss-Quadratur mit 6 Stutzstellen in der Dreieck ache und 2 Stutzstellen uber t

Dynamische Berechnung

konsistente Massenmatrix Z Z,rZ mij = % H Tmi H mj det Jdr ds dt 1

0

1

0

1

,

i; j = 1; : : : ; 6

1

Gauss-Quadratur mit 6 Stutzstellen in der Dreieck ache und 2 Stutzstellen uber t

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.164

4.4.2.3 Hexaederelement ohne Zwischenknoten

Formfunktionen hi = 81 (1 + ri r)(1 + sis)(1 + tit)

i = 1; : : : ; 8

Ableitungen

@hi = 1 r (1 + s s) (1 + t t) i i @r 8i @hi = 1 s (1 + r r) (1 + t t) i i @s 8 i @hi = 1 t (1 + r r) (1 + s s) i i @t 8i

i = 1; : : :; 8

Lineare Berechnung elastische Stei gkeitsmatrix

keij =

Z Z Z 1

1

, , , 1

1

1

BTei E B ej det Jdr ds dt

i; j = 1; : : : ; 8

1

Gauss-Quadratur mit 3  3  3 Stutzstellen

Volumenlast Knotenlasten

S Ri =

Z Z Z 1

1

1

, , , 1

1

H ei det Jdr ds dt
P i

i = 1; : : : ; 8

1

Gauss-Quadratur mit 2  2  2 Stutzstellen 9412

4.4. VOLUMENELEMENTE

Seite 4.165

Bilinear veranderliche Flachenlast Linear veranderliche Linienlast Temperatur

Knotenlasten Z Z Z S Ri = BTei det Jdr ds dt
E " 1

1

1

0

, , , 1

1

i = 1; : : : ; 8

1

Gauss-Quadratur mit 1 Stutzstelle

Geometrisch nichtlineare Berechnung und Stabilitat geometrische Stei gkeitsmatrix Z Z Z B Tnli  B nlj det Jdr ds dt kgij = 1

1

1

, , , 1

1

i; j = 1; : : : ; 8

1

Gauss-Quadratur mit 2  2  2 Stutzstellen

Dynamische Berechnung

konsistente Massenmatrix Z Z Z mij = % H Tmi H mj det Jdr ds dt 1

1

, , , 1

1

1

i; j = 1; : : : ; 8

1

Gauss-Quadratur mit 2  2  2 Stutzstellen

9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.166

4.4.2.4 Isoparametrisches Volumenelement mit Zwischenknoten Elementtyp 311: Tetraeder mit 4 { 10 Knoten Elementtyp 313: Pentaeder mit 6 { 15 Knoten Elementtyp 315: Hexaeder mit 8 { 20 Knoten

Einheitskoordinaten der Elementknoten Knoten ri si ti rei = 1 , ri sei = 1 , si tei = 1 , ti

2

2

2

1 2 3 4 ,1 1 1 ,1 ,1 ,1 1 1 ,1 ,1 ,1 ,1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Abbildungsfunktionen h = g , 21 (g + g h = g , 12 (g + g h = g , 12 (g + g h = g , 12 (g + g h = g , 12 (g + g

+g )

1

1

9

12

2

2

9

10

3

3

10

11

4

4

11

12

5

5

13

16

9412

5 67 8 ,1 1 1 ,1 ,1 ,1 1 1 1 11 1 0 00 0 0 00 0 0 00 0

17

+g ) 18

+g ) 19

+g ) 20

+g ) 17

9 10 11 12 0 1 0 ,1 ,1 0 1 0 ,1 ,1 ,1 ,1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0

13 14 15 16 0 1 0 ,1 ,1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0

17 18 19 20 ,1 1 1 ,1 ,1 ,1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1

4.4. VOLUMENELEMENTE

Seite 4.167

h = g , 12 (g + g + g ) h = g , 12 (g + g + g ) h = g , 12 (g + g + g ) hi = gi 6

6

13

14

18

7

7

14

15

19

8

8

15

16

20

i = 9; 20

h  i h  i h  i mit gi = 18 1 + rir + rei 1 , 2r 1 + sis + sei 1 , 2s 1 + tit + tei 1 , 2t und gi = 0; wenn Zwischenknoten i = 9; 10; : : : ; 20 nicht vorhanden 2

2

2

Ableitungen

@gi = 1 (r , 4re r) h1 + s s + se 1 , 2s i h1 + t t + te 1 , 2t i i i i i i @r 8 i @gi = 1 (s , 4se s) h1 + r r + re 1 , 2r i h1 + t t + te 1 , 2t i i i i i i @s 8 i @gi = 1 t , 4te t h1 + r r + re 1 , 2r i h1 + s s + se 1 , 2s i i i i i i @t 8 i 2

2

2

2

2

2

Jacobi-Matrix (4  nk  20) 2 3 2P 3 nk @h P n n @y i k yi @hi Pk zi @hi @x @z x i 66 @r @r @r 77 66 i @r i @r i @r 77 66 @x @y @z 77 66 P nk @h P nk @h P nk @h 7 yi @si zi @si 777 J = 66 @s @s @s 77 = 66 xi @si i i i 64 7 6 nk nk @h P nk @h 7 P @h i i 5 i @x @y @z 5 4 P x y z i i i @t @t @t @t @t @t i i i =1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

nk n n n n n i
Pk yi @hi
Pk zi @hi + Pk xi @hi
Pk yi @hi
Pk zi @hi det J = P xi @h @r i @s i @t i @s i @t i @r i nk @h P nk @h P nk @h nk @h P nk @h P nk P P i + xi @ti
yi @ri
zi @si , xi @ti
yi @si
zi @h @r i i i i i i n n n n n n i
Pk yi @hi
Pk zi @hi , Pk xi @hi
Pk yi @hi
Pk zi @hi , iPk xi @h @r i @t i @s i @s i @r i @t =1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

=1

Lineare Berechnung elastische Stei gkeitsmatrix

keij =

Z Z Z 1

1

, , ,

1

1

1

BTei E B ej det Jdr ds dt

i; j = 1; : : : ; nk

1

Gauss-Quadratur mit 3  3  3 Stutzstellen 9412

4. ELEMENTABLEITUNGEN

Seite 4.168

Volumenlast

Knotenlasten Z Z Z H ei det Jdr ds dt
P i S Ri = 1

1

1

i = 1; : : : ; nk

, , , 1

1

1

Gauss-Quadratur mit 2  2  2 Stutzstellen

Veranderliche Flachenlast Veranderliche Linienlast Temperatur

Knotenlasten Z Z Z S Ri = B Tei det Jdr ds dt
E " 1

1

1

0

, , , 1

1

i = 1; : : : ; nk

1

Gauss-Quadratur mit 2  2  2 Stutzstellen

Geometrisch nichtlineare Berechnung und Stabilitat

geometrische Stei gkeitsmatrix Z Z Z kgij = BTnli  Bnlj det Jdr ds dt 1

1

1

, , , 1

1

i; j = 1; : : : ; nk

1

Gauss-Quadratur mit 3  3  3 Stutzstellen

Dynamische Berechnung

konsistente Massenmatrix Z Z Z mij = H Tmi H mj det Jdr ds dt 1

1

, , ,

1

1

1

1

Gauss-Quadratur mit 3  3  3 Stutzstellen

9412

i; j = 1; : : : ; nk

5 Losen von Gleichungssystemen 5.1 Lineare Gleichungssysteme Der in B&B verwendete \out of core"-Gleichungsloser ist ein Hypermatrizenalgorithmus, d.h. eine Cholesky-Zerlegung in Blocken unter Ausnutzung der Skyline der Matrix. Die Berechnungsvorschrift fur diese Zerlegung lautet: i, X LTii Lij = K ij , LTkiLkj (5.1) 1

k

=1

Damit ergibt sich fur die Nebendiagonalblocke ! i,  T , X T K ij , LkiLkj Lij = Lii 1

1

k

und fur die Hauptdiagonalblocke mit i = j i, X T Lii Lii = K ii , LTkiLki; 1

k

(5.2)

=1

(5.3)

=1

d.h. man kommt fur die Dreieckszerlegung mit drei Untermatrizen gleichzeitig im Kernspeicher aus. Da man zusatzlich noch frei ist in der Wahl der Kantenlange der Untermatrizen, konnen mit dem Hypermatrizenalgorithmus beliebig groe Gleichungssysteme gelost werden. Das Unterprogramm GLEICH ist der Steuermodul des Gleichungslosers bei der linearen Berechnung. Nachdem die Dateien vorbereitet sind, hat das Unterprogramm BIGK die Aufgabe, aus den Elementstei gkeitsmatrizen die Gesamtstei gkeitsmatrix aufzubauen. Die Anzahl der fur das Einsortieren zur Verfugung stehenden Blocke wird vom aufrufenden Programm als Parameter ubergeben. Fur die Verwaltung der variablen Anzahl von Blocken fur das Gleichungssystem wird das \ rst in rst out"-Prinzip benutzt. Man benotigt dazu einen Integervektor, in dem die aktuellen, d.h. sich im Hauptspeicher be ndenden Blocknummern gespeichert sind, und zusatzlich einen Kenner, der auf ein Element des Integervektors zeigt. Jeder Position des Integervektors ist ein Speicherbereich zugeordnet, dessen Anfangsadresse und Groe durch die Kantenlangen der Blocke eindeutig de niert sind. Der Kenner verweist auf den Speicherbereich, der als nachster zum Tauschen der Blocke benutzt werden soll. Vor dem Beginn des Einsortierens wird der Kenner auf Eins und der Integervektor bis zur Anzahl der zum Einsortieren zur Verfugung stehenden Blocke auf Null gesetzt. Wird nun zu Beginn des Einsortierens der erste Block benotigt, so wird die Blocknummer in dem Integerfeld gesucht, aber nicht gefunden. Es wird dann gepruft, ob an der Stelle des

Seite 5.2

 5. LOSEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN

Integervektors, auf den der Kenner fur das Tauschen zeigt, eine Blocknummer steht. Ist dies der Fall, wird der alte Block auf die Platte zuruckgeschrieben, ansonsten wird der Schreibbefehl ubersprungen. Anschlieend wird auf den Hauptspeicherbereich, auf den durch die Position in dem Integervektor verwiesen wird, der angeforderte Block von der Platte eingelesen. Die alte Blocknummer wird durch die neue uberschrieben und der Kenner fur das Tauschen um Eins erhoht. Wird der Kenner dabei groer als die Anzahl der vorhandenen Blocke, wird er auf Eins zuruckgesetzt. Zu Beginn des Einsortierens wird der Hauptspeicherbereich sukzessive mit Blocken gefullt, bis die Anzahl der zur Verfugung stehenden Blocke erreicht ist. Erst wenn danach ein Block angefordert wird, der nicht im Hauptspeicherbereich vorhanden ist, wird der Block, der zuerst in den Hauptspeicher geholt wurde, auf die Datei geschrieben, und der entsprechende Hauptspeicherblock wird durch den neuen Block uberschrieben. Dieser Proze setzt sich fort, bis alle Elementstei gkeitsmatrizen einsortiert sind. Abschlieend mussen alle Blocke, die sich noch im Hauptspeicher be nden, auf die Datei geschrieben werden. Dies geschieht, wenn BIGK mit dem Kenner KEN = 3 aufgerufen wird. Eine Besonderheit beim Sortieren ist die Vorgehensweise, erst die zu den Blocken des Gleichungssystems gehorenden Untermatrizen der Elementstei gkeitsmatrizen zu berechnen und diese Untermatrizen dann geschlossen einzusortieren. Dadurch wird verhindert, da ein fur das Einsortieren notwendiger Block zwischenzeitlich beim gleichen Element durch Tauschoperationen wieder ausgelagert wird und anschlieend neu gelesen werden mu, wie es beispielsweise beim zeilenweisen Einsortieren passieren konnte. Ein weiterer Vorteil ergibt sich dadurch, da die Berechnung der Blocknummer und das Suchen des Blockes immer fur eine Gruppe von Elementen und nicht fur jedes Element einzeln erfolgen. Dadurch wird Rechenzeit gespart. Das Unterprogramm BISY steuert das Lesen und Schreiben der Datei fur das Gleichungsystem sowie die Matrizenoperationen bei der Dreieckszerlegung. Es arbeitet mit einer variablen Anzahl von Blocken. Fur ein korrektes Funktionieren sind mindestens vier Blocke erforderlich. Die Blocke werden nach einem modi zierten \ rst in rst out"-Prinzip verwaltet. Die Vorgehensweise fur das Tauschen der Blocke wird beim Algorithmus fur das Einsortieren (s. Unterprogramm BIGK) ausfuhrlich erlautert. Die Modi kation bezieht sich darauf, da bei der Dreieckszerlegung die Bloke, auf denen die Summenbildung fur die Nebendiagonalblocke statt ndet, bis zum Abschlu der Summenbildung vom Tauschen ausgenommen werden mussen. Nach Abschlu der Summenbildung werden sie wieder zum Tauschen freigegeben. Das Unterprogramm BISYUN ist der Steuermodul fur das Vorwarts-, und Ruckwartseinsetzen. Da dabei das Gleichungssystem zweimal sequentiell gelesen wird, lat sich durch eine groere Anzahl von Blocken keine Einsparung an IO-Operationen erzielen. Deshalb wird hier fur das Gleichungssystem mit nur einem Block gearbeitet. Die ubrigen zur Verfugung stehenden Blocke werden fur die Datei mit den rechten Seiten verwendet, da auf diese Datei \random" zugegrien wird. Die Verwaltung der Blocke erfolgt im Unterprogramm IOF14B. Das Verfahren fur die Blockverwaltung arbeitet nach einem modi zierten \ rst in rst out"-Prinzip. Wegen des modularen Programmaufbaus konnen bei anderen Berechnungen wie z.B. Eigenwertberechnungen mit Spektralverschiebung (s. Kapitel 9) oder nichtlineare Berechnungen (s. Kapitel 8) die Module zum Aufbau und zur Dreieckszerlegung der Gesamtstei gkeitsmatrix sowie zum Vorwarts-, Ruckwarts-Einsetzen einzeln nach Bedarf aufgerufen werden. 9412

5.1. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

Seite 5.3

Dynamik und Stabilitat Modi zierte Cholesky-Zerlegung in Blocken

Problem: Dreieckszerlegung einer inde niten Matrix, die durch eine Spektralverschiebung entstanden sein kann.

Dreieckszerlegung (Unterprogramm BISY) A = L D LT A: sym., inde nit, regular

mit Lii = 1 i, Di = Aii , P Lik Dk k j, Lij = (Aij , P Lik Ljk Dk )=Dj 1

2

=1

1

k

=1

9 > > > = > > ; i>j >

i = 1; n

Vorwarts-/Ruckwartseinsetzen (Unterprogramm BISYUN) L D LT x Ly y T Lx

b b mit y = D LT x D, y y i, mit yi = bi , P Lij yi = = = =

1

1

j

=1

yi = yi=Di n xi = yi , P Lij xj j i

= +1

Die Unterprogramme BISY und BISYUN wurden um diese Teile erweitert, um { optional { eine solche Zerlegung durchfuhren zu konnen.

Ablauf Unterprogamm BISY:

do is = 1,ndq (Anzahl Hauptdiagonalblocke) lese Diagonalblock auf I4 do in = 1,mn (Anzahl Nebendiagonalblocke uber Diagonalblock) lese Nebendiagonalblock auf I1 (auerer ND-Block zuerst) do ia = 1,nd (Anzahl der zwischenliegenden ND-Blocke) lese L-Block auf I2 lese L-Block auf I3 lese L-Block auf I5 Fall 3 enddo lese Diagonalblock L0 auf I2 Fall 2 9412

 5. LOSEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN

Seite 5.4 enddo Fall 1 enddo

Es werden 3 Falle unterschieden:  Dreieckszerlegung eines Hauptdiagonalblockes bzw. eines modi zierten Hauptdiagonalblockes,  auerer Nebendiagonalblock,  beliebiger Nebendiagonalblock. Fall 1: Hauptdiagonalblock 9 > Lii = 1 > > iP , = Di = Aii , Lik Dk i = 1; n > k jP , > ; Lij = (Aij , Lik Ljk Dk )=Dj i > j > 1

2

=1

1

k

=1

Programm: do i = 1,n do j = 1,i x = ,a(i; j ) if j  2 Do k = 1; j , 1 x = x + aik  ajk  akk enddo endif if j = i x = ,x if jxj  eps goto error aii = x else aij = ,x=ajj endif enddo enddo

9412

5.1. LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

Seite 5.5

Fall 2: auerer Nebendiagonalblock

Lij = (Aij ,

jX , 1

k

Lik Ljk Dk )=Dj

=1

i = 1; n j = 1; n

und modi zieren des Hauptdiagonalblockes

Aij = Aij ,

n X k

Lik Ljk Dk

=1

i = 1; n j = i; i

Programm: do j = 1,n do i = 1,n x = ,Nij if j  2 do k = 1,j-1 x = x + Ljk  Nik  Lkk enddo endif Nij = ,x=Ljj enddo enddo do i = 1,n do j = 1,i x = ,aij do k = 1,n 9412

 5. LOSEN VON GLEICHUNGSSYSTEMEN

Seite 5.6

x = x + Nik  Njk  Lkk enddo aij = ,x enddo enddo Fall 3: beliebiger Nebendiagonalblock

Nij = Nij ,

n X k

=1

Lik Ljk Lkk

i = 1; n j = 1; n

Programm: do i = 1,n do j = 1,n x = ,Nij do k = 1,n x = x + Lij  Lij  Lkk enddo Nij = ,x enddo enddo 9412

5.2. NICHTLINEARE GLEICHUNGSSYSTEME

Seite 5.7

5.2 Nichtlineare Gleichungssysteme    !

Newton-Raphson modi ziertes Newton-Raphson Lastinkremente durch Parametervorgabe von auen steuerbare Kombination

automatische Inkrementhalbierung, wenn Matrix nicht positiv de nit oder zuviele Iterationen/Inkrement

Physikalisch nichtlinear  Seil, Zug-Membran (! geometrisch nichtlinear)  elastische Bettung { Neuaufbau { rechte Seite

8 > < Kombination > : von auen steuerbar

9412

6 Losen von Eigenwertproblemen Das allgemeine Eigenwertproblem A x = B x (6.1) bei linearen Stabilitatsproblemen und bei dynamischen Problemen wird in B&B mit Hilfe der Unterraumiteration gelost.

6.1 Die Unterraumiteration zur Losung von groen Eigenwertproblemen Das folgende Ablaufschema ist [BOG85] entnommen. Dort sind auch weitergehende Informationen zu nden. Vorlauf Cholesky-Zerlegung Startvektoren

A = LT L h i z = z; z; : : : ; zq 1

2

Iterationsschleife (Iterationszahler i) Vorwarts-Ruckwarts-Einsetzen LT L yi = zi,  T Inneres Produkt Aei = yi zi, Matrizenmultiplikation zei = B yi  T Inneres Produkt Be i = yi zei Eigenwertproblem Aeiai = ei Be i ai ( i i, )  ,  j j Abbruchkriterium max ij : j = 1; : : : ; p < " Linearkombination zi = zeiai 1

1

1

Nachlauf Eigenvektoren

x = yiai

Die Eigenwerte brauchen nicht transformiert zu werden.

 6. LOSEN VON EIGENWERTPROBLEMEN

Seite 6.2

Wahl der Startvektoren X (s. BA80) 0

Der erste Schritt in der Unterraum-Iterationsmethode ist die Wahl der StartIterationsvektoren in X . 1

Nach Moglichkeit sollten linear unabhangige und orthogonale Startvektoren gewahlt werden, die alle Massen berucksichtigen. X = [x ; x ; : : :; xq ] q : Dimension des Unterraums xT = f1; 1; : : : ; 1g x = q Tx x Mx 1 xk = sX X mij 1

2

1

1

i

j

x : : : xq, = diag [xi (,1)i] xq : Zufallszahlen 2

1

1

Konvergenz k  i = k , i i , i

k : Iterationsschritt i : genauer Eigenwert i

( +1)

ri k

( +1)

( )

lim r k!1 i

k

( +1)

bzw.

( +1)

2

+1

k k = ik , k,i i , i ( +1)

ri k

!

= i q ( )

( )

(

1)



i = 1; : : : ; p pq

k ) q =: qi k

( +1)

ri wobei k aber knur ri zugelassen werden, die ri , ri r k  "r i erfullen. +1

( +1)

( +1)

( )

( +1)

U berrelaxation zur Konvergenzbeschleunigung statt: X k = X k Qk   X k = X k + X k Qk , X k  mit i = 1 , 1= i q +1

+1

+1

+1

+1

9412

+1

+1

 6.1. DIE UNTERRAUMITERATION ZUR LOSUNG ...

Seite 6.3

Kontrolleigenwerte zur Konvergenzbeschleunigung q: Dimension des Unterraums p: Anzahl der gesuchten Eigenwerte q  min(2p; p + 8) ik , ik  " i = 1; : : : ; p ik ( +1)

( )

( +1)

p



0

1

!

Konvergenz: r =  q

2

1

1

+1

q

!

: : : rp = p q

2

+1

q



0

+1

1

+1

gute Konvergenz

q



0

1

+1

schlechte Konvergenz

Konvergenzbeschleunigung durch Spektralverschiebung 

0

1

s

q

+1

neue Konvergenzrate: ri = jji ,,s j j mit folgenden Bedingungen: s ,  < q , s bzw. s   + 31 (q ,  ) s = s +2s, 1:01s,  s  0:99s ) (A , s B)X =  B X 1

q

+1

s

+1

+1

1

1

1

1

9412

 6. LOSEN VON EIGENWERTPROBLEMEN

Seite 6.4

Eigenwertproblem nach einer Spektralverschiebung (A , s B )X =  B X A : pos. def., sym. A , s B : indef., sym. somit 1. Schritt der Iteration: AX = B mit A = A , s B B = BX

) Losung des Gleichungssystems A = L D LT

mit Lii = 1 i, Di = Aii , P (Lik Dk ) k ! jP , Lij = Aij , (Lik Ljk Dk ) =Dj 1

2

=1

1

k

=1

Vorwarts-, Ruckwarts-Einsetzen: L D LT X = B LY = B mit Y = D LT X Y = D, Y LT X = Y mit i, X yi = bi , (Lij yj ) 1

1

xi = y i ,

n X j i

yi = (Ljixj )

j yi=Di

=1

= +1

Kontrolle der Eigenwerte

Spektralverschiebung um s = p +2p Dreieckzerlegung: A = L D LT p = Anzahl der negativen Elemente von D +1

!

9412

9 > > > > = i = 1; : : : ; n > > > i>j > ;

 6.1. DIE UNTERRAUMITERATION ZUR LOSUNG ...

Seite 6.5

Eigenwertloser fur den Unterraum (s. [GB77])

a) alle Eigenwerte und zugehorige Eigenvektoren eines allgemeinen reellen symmetrischen Eigenwertproblems:

A x = B x Voraussetzung: A, B : symmetrisch B : positiv de nit REDUC: reduziert das allgemeine symmetrische Eigenwertproblem A x = B x auf das spezielle Eigenwertproblem unter Gebrauch der Cholesky-Zerlegung der Matrix B . TRED2: reduziert eine reelle symmetrische Matrix auf eine symmetrische tridiagonale Matrix mit Hilfe von orthogonalen Transformationen. TQL2: ermittelt die Eigenwerte und Eigenvektoren einer symmetrischen tridiagonalen Matrix. TQL2 benutzt die QL-Methode, um die Eigenwerte zu ermitteln, und die QL-Transformation, um die Eigenvektoren zu berechnen. REBAK: bestimmt die Eigenvektoren eines allgemeinen symmetrischen Eigenwertproblems aus den Eigenvektoren der symmetrischen Matrix, die durch REDUC ermittelt wurden. b) alle Eigenwerte und zugehorige Eigenvektoren eines allgemeinen reellen Eigenwertproblems:

A x = B x QZHES: reduziert ein allgemeines reelles Eigenwertproblem der Form A x = B x auf ein aquivalentes Problem mit A in oberer Hessenberg-Form und B in oberer Dreieck-Form mit Hilfe von orthogonalen Transformationen. QZIT: reduziert eine Matrix A, die in oberer Hessenberg-Form vorliegt, auf eine \quasi"-obere Dreieck-Form. QZVAL: reduziert das Eigenwertproblem A x = B x, bei dem A in \quasi"-oberer Dreieck-Form und B in oberer Dreieck-Form vorliegt, auf ein aquivalentes Problem, bei dem A weiter reduziert wird. Das Unterprogramm ermittelt Werte, aus deren Kehrwerten die Eigenwerte bestimmt werden konnen. QZVEC: bestimmt die Eigenvektoren eines allgemeinen reellen Eigenwertproblems der Form A x = B x, bei dem A in \quasi"-oberer Dreieck-Form und B in oberer Dreieck-Form vorliegt, mit Hilfe von Ruckwarts-Einsetzen.

9412

7 Losen eines Systems von Dierentialgleichungen durch numerische Integration Zur Losung dynamischer Probleme (Glg. (3.6.1)) durch numerische Integration wird das Newmark-Verfahren angewendet, da sich hiermit auch nichtlineare Probleme losen lassen.

7.1 Lineare Probleme

Im linearen Fall sind die Matrizen M , C , K e sowie der Vektor Rb unabhangig von r, r_, r. In einem Zeitintervall [tn; tn ] lassen sich mit Hilfe des Newmark'schen Integrationsschemas die Verformungen rn berechnen aus (s. [BA86]): +1

+1

! 1

K e +
t M +
t C rn = Rb n n n " ! # 1 1 1 +M
t rn +
t r_n + 2 , 1 rn n n ! ! # "


t

n +C
t rn + , 1 r_n + 2 , 2 rn +1

2

+1

2

n

(7.1)

mit
tn = tn , tn aktuelles Zeitinkrement,

, Integrationsparameter. +1

Mit rn und den bekannten Werten rn, r_n und rn des vorhergehenden Schrittes lassen sich rn und r_n bestimmen zu ! 1 1 1 rn =
t (rn , rn ) ,
t r_n , 2 , 1 rn ; n n r_n = r_n +
tn (1 , ) rn +
tnrn : (7.2) Fur die Integrationsparameter gilt: 0   1 ; 0   12 ; (7.3) wobei das Verfahren fur

 12 ;  14 (7.4) +1

+1

+1

+1

+1

2

+1

+1

 7. LOSEN EINES SYSTEMS V. DGL DURCH NUMER. INTEGR.

Seite 7.2

unbedingt stabil ist. Bei bestimmter Wahl der Integrationsparameter ergeben sich (s. [AM88]) mit

= 21 , = 0 die Methode der zentralen Dierenzen,

= 12 , = 14 die Methode der gemittelten Beschleunigungen,

= 21 , = 16 die Methode der linearen Beschleunigungen, 1 die Fox-Goodwin-Methode.

= 21 , = 12

7.2 Nichtlineare Probleme Bei allgemeinen nichtlinearen Problemen konnen die Matrizen M , C und K sowie der Vektor Rb von r, r_ und r abhangig sein. Wir wollen uns hier zunachst auf geometrisch nichtlineare Probleme beschranken, bei denen das Newmark-Verfahren (s. Abs. 7.1) in jedem Zeitschritt mit den entsprechenden Algorithmen zur Losung nichtlinearer Gleichungssysteme (s. Abs. 5.2) gekoppelt wird. Folgendes erweiterte Gleichungssystem ist somit im i-ten Iterationsschritt des Zeitintervalls [tn; tn ] zu losen: ! 1

i , K Tn+1 +
t M +
t C
rin = R^ n n ! # "n 1 1 1 +M
t rn +
t r_n + 2 , 1 rn n n " ! ! #


t

n +C
t rn + , 1 r_n + 2 , 2 rn n !

1 i , ,F ,
t M +
t C rin, (7.5) +1

1

+1

2

+1

2

1

1

n 2

n

+1

Mit der Losung von Glg. (7.5) ergibt sich der neue Verformungsvektor zu rin = rin, +
rin (7.6) Die Startvektoren rn werden durch Extrapolation aus der Losung des vorherigen Zeitpunktes ermittelt: (7.7) rn = rn +
tnr_n Hierdurch wird die Anzahl der Iterationen erheblich reduziert. Sollte zu einem Zeitschritt keine Losung gefunden werden, so wird der Zeitschritt und nicht die Last halbiert, wie es bei statischen Problemen geschieht (s. Abs. 5.2). 1

+1

+1

+1 0

+1

0

+1

7.3 Anfangsbedingungen Als Startwerte des Anfangswertproblems (7.1) mussen die Knotenverformungen, -geschwindigkeiten und -beschleunigungen zum Zeitpunkt t = t bestimmt werden. Hierzu 0

9412

7.3. ANFANGSBEDINGUNGEN

Seite 7.3

gibt es zwei Moglichkeiten: Bei der ersten Moglichkeit werden alle Startvektoren zu Null angenommen:

r = r(t = t ) = 0 ; (7.8) r_ = r_(t = t ) = 0 ; r = r(t = t ) = 0 : Bei der zweiten Moglichkeit werden aus zwei statischen Berechnungen mit den rechten Seiten Rb (t = t ) und Rb (t = t +
t ) Anfangsgeschwindigkeiten ermittelt: 0

0

0

0

0

0

0

0

0

r = r(t = t ) ; r_ = r_(t = t ) =
1t [r(t = t +
t ) , r ] ; r = r(t = t ) = 0 : 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

(7.9)

9412

8 Optimierungsalgorithmen Ein allgemeines beschranktes Optimierungsproblem lat sich mathematisch wie folgt beschreiben: Zu minimieren ist eine Zielfunktion Z (x) mit einem Variablenvektor x 2