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FOURIERREIHEN N

fN ( x) := a0 +

∑

n

( an ⋅ cos(n ⋅ x) + bn ⋅ sin(n ⋅ x))

N = 10

=1 1

fN( x) f ( x) 0

5

10

x

Autor: Wolfgang Kugler Datum: 26.09.02

INHALTSVERZEICHNIS: 1

Etwas Physik: Töne und Klänge ............................................................................................. 3

2

Grundlagen .............................................................................................................................. 5 2.1 Fourieranalyse und Fouriersynthese................................................................................ 5 2.2 Trigonometrische Form................................................................................................... 6 2.3 Amplituden–Phasen Form............................................................................................. 12 2.4 Exponentialform............................................................................................................13 2.5 Kenngrößen ................................................................................................................... 14

3

Durchgerechnete Beispiele.................................................................................................... 16 3.1 Beispiel 1....................................................................................................................... 16 3.2 Beispiel 2....................................................................................................................... 19 3.3 Beispiel 3....................................................................................................................... 22 3.4 Beispiel 4....................................................................................................................... 25 3.5 Beispiel 5....................................................................................................................... 28 3.6 Beispiel 6....................................................................................................................... 31 3.7 Beispiel 6....................................................................................................................... 35 3.8 Beispiel 8....................................................................................................................... 38 3.9 Beispiel 9....................................................................................................................... 44 3.10 Beispiel 10..................................................................................................................... 48 3.11 Beispiel 11..................................................................................................................... 52 3.12 Beispiel 12..................................................................................................................... 57 3.13 Beispiel 13..................................................................................................................... 66 3.14 Beispiel 14..................................................................................................................... 71

4

Ein Mathcadprogramm zur Berechnung eines Fourierpolynoms .........................................76

5

Übungsteil ............................................................................................................................. 79 5.1 Aufgaben ....................................................................................................................... 79

6

Anhang .................................................................................................................................. 82 6.1 Die komplexen Fourierkoeffizienten ............................................................................ 82 6.2 Effektivwert und Klirrfaktorberechnung....................................................................... 83 6.3 Links.............................................................................................................................. 86

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1

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Etwas Physik: Töne und Klänge

Die Fourier-Analyse schält aus unserer akustischen Umwelt als Grundelement den Ton, eine reine Sinusschwingung a sin (ω0 t + ϕ) heraus, charakterisiert durch Amplitude, Frequenz und Phase. Er entspricht im Spektrum (in der Fourier-Transformierten) einer einzelnen Spektrallinie bei der Kreisfrequenz ω0. Ein musikalischer "Ton" ist physikalisch bereits ein Klang, nämlich die Überlagerung mehrerer Sinustöne, eines Grundtons und einiger Obertöne. Im Spektrum eines Klanges liegen diskrete gleichabständige Linien ωn = n⋅ω0. Ein Klang ist ein streng periodischer Vorgang beliebiger Form. Ein nichtperiodischer Vorgang ergibt ein kontinuierliches Frequenzspektrum und heißt Geräusch. Strenggenommen trifft dies auch für jeden Vorgang zu, dessen Amplitude mit der Zeit anschwillt oder abklingt. Nur ein unendlicher Sinuston ist wirklich ein Ton. Das Frequenzspektrum eines nicht zu kurzen abbrechenden Klanges ist aber schmal genug, dass das Ohr und jedes Analysegerät ihn noch als reinen Klang empfindet Physikalisch besteht der Unterschied zwischen einem musikalischen Einzel"ton" und einem Akkord nur in der relativen Amplitude der Oberschwingungen: Im Akkord sind einige von ihnen besonders betont, nämlich die musikalischen Einzeltöne. Bis zu einem gewissen Grade kann man so das Harmoniesystem unserer Musik aus der Obertonreihe ableiten. Wie Pythagoras mit mystischer Befriedigung fand, klingen Akkorde angenehm, wenn die Saitenlängen oder die Frequenzen der Teiltöne im Verhältnis kleiner ganzer Zahlen stehen. Für Oktave, Quint, Quart, große Terz, kleine Terz sind diese Verhältnisse 2:1, 3:2, 4:3, 5:4, 6:5. Solche Verhältnisse bestehen naturgemäß zwischen geeigneten Obertönen jedes Einzeltones. So steckt der Dur-Dreiklang als 3ω, 4ω, 5ω in jedem "Ton" ω. Die Töne 4ω, 5ω, 6ω, 7ω bilden fast genau den Dominantseptakkord. Höhere Obertöne geben die ganze Touleiter wieder, aber mit Abweichungen. Untertöne, d.h. die Frequenzen ω/2, ω/3 usw. entstehen in den klassischen Instrummenten nur ausnahmsweise, werden dagegen in elektronischen Instrumenten bewusst durch Frequenzteilung erzeugt. Musikalisch bilden sie die "Umkehrung" der Obertonreihe und enthalten den MollDreiklang der gleichen Stelle wie diese den Dur-Dreiklang. Jedes Blasinstrument erzeugt ohne besondere Tricks (Stopfen, Ventile, Mundakrobatik) nur die Obertonreihe als "Naturtöne": Man kann die Luftsäule im Rohr so anregen, dass l, 2, 3,... halbe Wellenlängen hineinpassen. Unser Tonsystem muss überall auf Physik und Mathematik Rücksicht nehmen. Wenn man die Intervalle z.B. von C aus durch die reinen Frequenzverhältnisse 3/2, 4/3 usw. definiert (reine Stimmung), könnte man auf einem so gestimmten Klavier eigentlich nur C-Dur spielen. Seit J.S. Bach stimmt man daher die Tasteninstrumente temperiert, d.h. man verteilt die unvermeidliche Falschheit auf alle Töne und Tonarten in gleichmäßiger, aber erträglicher Weise. Die zwölf Halbtöne einer Oktave haben zum Nachbarton das gleiche Frequenzverhältnis 21/12. Kleine Terz und große Sext weichen am meisten von der reinen Stimmung ab. Im Moll-Akkord hört man daher auch beim gut gestimmten Klavier Schwebungen, die anzeigen, dass die Fourier-Synthese nicht ganz stimmt. Die Klangfarbe eines Klanges wird bestimmt durch die Amplitudenverhältnisse von Grund- und Obertönen. Die Phasen der Teilschwingungen sind dagegen ohne Einfluss auf die Klangfarbe. Das Ohr ist ein Fourier-Analysator ohne Phasenempfindlichkeit. Ein Ton mit überwiegend geraden Obertönen (2ω,4ω,...;), wie ihn viele Holzblasinstrumente, besonders Oboe und Flöte liefern, klingt hohl und näselnd. Er enthält nämlich zunächst nur reine Oktaven und eine Quint. Die ungeraden Obertöne der Streicher machen den Ton "hell" oder "warm", denn schon ω, 3ω und 5ω konstituieren den vollen Dur-Dreiklang. Zu zahlreiche und intensive Obertöne klingen "rauh", als wenn man alle Töne der Tonleiter auf einmal anschlägt. Das folgende Bild zeigt Oszillogramme der Töne von a) einer Violine, b) Klarinette und c) Trompete mit ihrer Obertonentwicklung.

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Violine

Klarinette

Trompete

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2

Grundlagen

2.1

Fourieranalyse und Fouriersynthese

Der Grundgedanke der Fourieranalyse besteht darin, dass man ein (fast) beliebig kompliziertes periodisches Signal in eine Summe einfacher Bestandteile zerlegen kann. Die Bestandteile sind dabei die uns geläufigen Sinus– und Kosinusfunktionen. Sie heißen auch harmonische Funktionen. Durch die Bezeichnung Signal wird der unabhängigen Variablen sofort die Bedeutung der Zeit t zugeordnet. Periodische Funktionen treten in erster Linie als periodische Signale auf. f(t) f(x)

0 0

2T 4π

T 2π

t x

Vom Standpunkt der physikalischen Interpretierbarkeit wäre es daher sinnvoll von einer zeitlichen Beschreibung auszugehen. Diese stellt sich jedoch mathematisch etwas schwieriger dar. Anstatt Signale mit der Periodendauer T0 zu beschreiben, können wir dies auch einfacher für 2π periodische Funktionen tun. Jede T0 periodische Funktion f(t) kann mittels der Variablen– transformation 2π ⋅t x= T0 als 2π periodische Funktion f(x) geschrieben werden. Es ändert sich praktisch nur die Beschriftung auf der t–Achse. Speziell gilt für t = T0 ⇔ x = 2π. Durch die Einführung der neuen Variablen x kann jeder Zeitwert t in einen Winkelwert x umgerechnet werden. Beispiel: Ein Signal besitzt eine Periodendauer von T0 = 12s . Dem Zeitwert t1 = 9s entspricht in der x– 2π 2π 3 ⋅ t1 = ⋅ 9 = 2π ⋅ rad. Darstellung ein Winkelwert von x1 = T0 12 4 Wenn wir eine 2π periodische Funktion f(x) durch eine Summe einfacher periodischer Funktionen darstellen wollen, so muss jeder Bestandteil dieser Beschreibung selbst eine 2π periodische Funktion sein. Ansonsten kann das Summensignal nie mit 2π periodisch sein. In eine Periodenlänge von 2π passen die ungeraden Sinusfunktionen sinx , sin 2x , sin 3x,... und die geraden Kosinusfunktionen cos x , cos 2x , cos 3x, usw. hinein. Man nennt diese Funktionen zueinander harmonisch verwandt. Sie stellen die „Basisfunktionen“ dar, aus denen sich eine 2π periodische Funktion f(x) aufbaut. Unsere Aufgabe wird es sein, festzustellen, mit welchen Amplituden diese einzelnen Basisfunktionen in einer gegebenen Funktion enthalten sind.

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Jede mit 2π periodische Funktion kann als Summe geeignet skalierter harmonischer Funktionen dargestellt werden. Warum müssen allgemein Sinus– und Kosinusfunktionen in der Beschreibung enthalten sein? Die Antwort ergibt sich aus den Symmetrieeigenschaften dieser Funktionen. Mit den harmonisch verwandten Sinusfunktionen sinx , sin 2x , sin 3x,... alleine ließe sich immer nur eine ungerade Funktion beschreiben. Die Summe von lauter ungeraden Funktionen kann wieder nur eine ungerade Funktion ergeben. Genauso kann mit lauter harmonisch verwandten Kosinusfunktionen nur eine gerade Funktion „aufgebaut“ werden. Eine 2π periodische Funktion f(x), die weder gerade noch ungerade ist, wird daher gerade und ungerade Basisfunktionen enthalten. Wir sind aber noch immer nicht ganz fertig. Die Mittelwerte über eine Periode der soeben beschriebenen Funktion besitzen alle den Wert Null. Damit könnte die Summenfunktion ebenfalls nur den Mittelwert Null annehmen. Um auch Funktionen mit nichtverschwindendem Mittelwert beschreiben zu können, muss noch ein konstanter, d.h. von x unabhängiger Summand enthalten sein. Er repräsentiert den arithmetischen Mittelwert der Funktion. Die Zerlegung einer 2π periodische Funktion in ihre harmonischen Anteile nennt man Fourieranalyse. Die Umkehrung, d.h. die Zusammensetzung einer 2π periodische Funktion aus den harmonischen Bestandteilen heißt Fouriersynthese.

2.2

Trigonometrische Form

Jede mit 2π periodische Funktion lässt sich in folgender Form schreiben: f (x) = a 0 + a1 cos x + a 2 cos 2x + a 3 cos 3x + .....+ a n cos nx + ... + b1 sin x + b2 sin 2x + b3 sin 3x + ..... + b n sin nx + ... oder kürzer: ∞

f (x) = a 0 + ∑ ( a n cos nx + b n sin nx )

(1)

n =1

Die Bedeutung der einzelnen Summanden: f (x) = a 0 + a1 cos x

+

a 2 cos 2x

+ a 3 cos 3x

+ b1 sin x

+

b2 sin 2x

+

Gleichanteil Anteil der Grundschwingung

Anteil der ersten Oberschwingung

+ … a n cos nx + ...

b3 sin 3x + … bn sin nx + ...

Anteil der zweiten Oberschwingung

Anteil der (n -1) – ten Oberschwingung

Man nennt : die Grundschwingung auch erste Harmonische ( Schwingung ), die erste Oberschwingung auch zweite Harmonische, # die ( n – 1 ) Oberschwingung auch n – te Harmonische.

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n ist die Ordnungszahl. Die n – te Harmonische besitzt die primitive Periode 2π/n. Die Koeffizienten an und bn heißen Fourierkoeffizienten. Sie stellen die Amplituden der Harmonischen dar. Sie sind also dafür verantwortlich wie stark die jeweiligen Harmonischen in der Funktion (im Signal) enthalten sind. Genauer: •

an sind die geraden Fourierkoeffizienten, sie sind für die geraden Anteile ( Symmetrie bzgl. der y – Achse ) in der Funktion f verantwortlich.

•

bn sind die ungeraden Fourierkoeffizienten, sie sind für die ungeraden Anteile ( Symmetrie bzgl. des Ursprungs ) in der Funktion f verantwortlich.

Beispiel Fourierreihe eines asymmetrischen Dreiecksignals mit Totzeit Definition und Darstellung der Funktion: A := 1 f ( x) :=

−A π

⋅ x if −π ≤ x ≤ 0

0 if 0 ≤ x ≤ π f (x − 2 ⋅ π ) if x > π f (x + 2 ⋅ π ) if x < −π 1

f ( x)

10

5

0

5

10

x

Wie später noch genau gezeigt wird, kann die dargestellte 2π periodische Funktion in genau jene harmonischen Anteile zerlegt werden, die in den folgenden Diagrammen bis zur 3.Ordnung dargestellt werden. Anschließend wird die Summenfunktion dieser sieben Funktionen gebildet. Durch die Hinzunahme weiterer harmonischer Anteile kann die Approximation an das ursprüngliche Signal beliebig verbessert werden. an :=

A if n 4

0

 A ⋅ 1 ⋅ ( −1) n − 1  if n ≠ 0   2 2  π n 

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bn :=

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A 1 n ⋅ ⋅ ( −1) π n

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1

a0

0

10

0

10

x 1

a1⋅cos ( x)

1

b 1⋅sin ( x)

0

1

10

0

0

1

10

10

0

x

x

1

a2⋅cos ( 2x)

1

0

1

b 2⋅sin ( 2x)

10

0

10

0

1

x

0

10

1

b 3⋅sin ( 3x)

0

1

10

x

1

a3⋅cos ( 3x)

10

10

0

0

1

10

10

0

x

10

x

Bildet man nun das Summensignal dieser sieben Teilfunktionen, so erhält man eine Näherungsfunktion der ursprünglichen Funktion f(x). N

N := 3

fN ( x) := a0 +

∑

n

( an ⋅ cos(n ⋅ x) + bn ⋅ sin(n ⋅ x))

=1

1 fN( x) f ( x) 10

5

0

5

10

x

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2.2.1 Berechnungsformeln der Fourierkoeffizienten Nun stellt sich natürlich die Frage, wie die einzelnen harmonischen Funktionen skaliert werden müssen, damit sie in Summe wirklich die analysierte Funktion f(x) ergeben. M.a.W. wie findet man zu einer gegeben 2π periodischen Funktion f(x) die zugehörigen Fourierkoeffizienten an und bn? Die Berechnungsformeln lauten ( ohne Beweis ) : π

π

1 a0 = ∫ f (x)dx 2π −π

π

1 a n = ∫ f (x) cos nxdx π −π

1 b n = ∫ f (x) sin nxdx π −π

(2)

a0 kann als arithmetischer Mittelwert der periodischen Funktion gedeutet werden. Mit diesen Formeln können die Fourierkoeffizienten berechnet werden, wenn f(x) formelmäßig beschrieben ist. Da f(x) nach Voraussetzung 2π periodisch ist und jede Kreisfunktion sin nx bzw. cos nx jedenfalls 2π periodisch ist, stellt jeder Integrand in (2) ebenfalls eine 2π periodische Funktion dar. Die Integrationsgrenzen müssen daher nicht notwendigerweise –π und +π lauten. (Siehe Beispiel:11) Oft werden auch die Grenzen 0 bis 2π angegeben. Zum Verständnis der möglichen Vereinfachungen, die sich bei der Behandlung von geraden bzw. ungeraden Funktionen ergeben, ist aber die Schreibweise günstiger.

2.2.2 Vereinfachungsformeln Sehr oft treten Funktionen mit Symmetrieeigenschaften auf. Diese vereinfachen die Berechnung der Fourierkoeffizienten wesentlich. Für gerade Funktionen (gF) gilt: π

π

1 2 a n = ∫ f (x) cos nx dx = ∫ f (x) cos nxdx π −π gF π0 gF

(3)

gF

und π

bn =

1 ∫ f (x) sinuFnx dx = 0 π −π gF

(4)

uF

Eine gerade Funktion kann keine ungeraden Anteile besitzen. Für ungerade Funktionen (uF) gilt: π

π

1 a0 = ∫ f (x) dx = 0 2π −π uF

1 und a n = ∫ f (x) cos nx dx = 0 π −π uF gF

(5)

uF π

bn =

π

1 2 f (x) sin nx dx = ∫ f (x) sin nxdx ∫ π −π uF π0 uF

(6)

gF

Eine ungerade Funktion kann keine geraden Anteile besitzen.

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Erklärung: Das bestimmte Integral einer ungeraden Funktion (uF) über ein Integrationsintervall, das bzgl. des Ursprungs symmetrisch ist, ergibt immer Null. Das bestimmte Integral einer geraden Funktion (gF) über ein Integrationsintervall, das bzgl. des Ursprungs symmetrisch ist, ergibt auf beiden Seiten des Ursprungs den gleichen Wert. Man kann daher von Null bis zur oberen Grenze integrieren und dann den Wert verdoppeln.

Zur näheren Erklärung siehe auch Symmetrieüberlegungen.mcd.

2.2.3 Spektrum Das Spektrum ist die graphische Darstellung der Fourierkoeffizienten über der Ordnungszahl n, d.h. n → an ( Spektrum der geraden Anteile ) und n → bn ( Spektrum der ungeraden Anteile ) Hier werden die beiden Spektren der zu Beginn betrachteten Funktion samt ihrer Berechnungsformeln dargestellt.

an :=

A if n 4

0

 A ⋅ 1 ⋅ ( −1) n − 1  if n ≠ 0   2 2  π n 

bn := 0.5

0.2

an

0

1

2

3

4

5

6

0.2

0.4

7

8

9

10

Amplituden der ungeraden Anteile

Amplituden der geraden Anteile

0.4

A 1 n ⋅ ⋅ ( −1) π n

bn

0

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0.5 n Ordungszahl

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1

n Ordungszahl

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2.2.4 Die Fourierreihe in zeitlicher Darstellung In den meisten Fällen kann der unabhängigen Variablen x die Bedeutung der Zeit t zugeordnet werden. Damit schreiben wir die Argumente der Winkelfunktionsterme als ganzzahlige Vielfache einer Grundfrequenz ω. Der Periodelänge 2π entspricht in der Zeitdarstellung die Periodendauer T und allgemein x = ω0⋅t . f (t) = a 0 + a1 cos ω0 t + a 2 cos 2ω0 t + ...

+ a n cos nω0 t + ...

+ b1 sin ω0 t + b2 sin 2ω0 t + ...

+ b n sin nω0 t + ...

(7)

Kürzer geschrieben: ∞

f (t) = a 0 + ∑ ( a n cos nω0 t + bn sin nω0 t )

(8)

n =1

Sinus– und Kosinusterme der selben Frequenz werden zu harmonischen Anteilen zusammen– gefasst. + a n cos nω0 t +...... f (t) = a 0 + a1 cos ω0 t + a 2 cos 2ω0 t + ... + b1 sin ω0 t

+ b2 sin 2ω0 t + ...

Anteil der 1. Harmonischen

+ b n sin nω0 t + ...

Anteil der 2. Harmonischen

Anteil der n-ten Harmonischen

Die Berechnungsformeln für die Fourierkoeffizienten lauten:

a0 =

1 T

T 2

∫ f (t)dt −

T 2

an =

2 T

T 2

∫ f (t) cos nωtdt −

T 2

bn =

2 T

T 2

∫ f (t) sin nωtdt −

(9)

T 2

Die zeitliche Darstellung der Fourierreihe ist aus technischer Sicht sicherlich die geeignetere. Schließlich kann man von einem periodischen Signal auf einem Oszilloskop die Periodendauer T0 ablesen und berechnet daraus die Grundkreisfrequenz ω0. Sie ist aber auch was die konkrete Berechnung der Fourierkoeffizienten angeht etwas komplizierter. In den folgenden Beispielen sind daher die Signale in der x–Darstellung beschrieben und auch durchgerechnet. Die Fourieranalyse eines Signals macht uns klar, dass in einem nicht sinusförmigen Signal mit der Periodendauer T0 neben den harmonischen Anteilen mit Grundfrequenz ω0 = 2π/T0 auch Anteile mit ganzzahligen Vielfachen dieser Grundfrequenz enthalten sind. Sie sind für die Abweichung von der reinen Sinusform verantwortlich. Akustisch gesehen bewirken sie die Klangfarbe eines Tons. Signale mit steilen Flanken beinhalten hohe Frequenzen! Vergleichen Sie einmal den Klang eines reinen Sinustones mit dem eines Rechtecksignals.

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2.3

FOURIERREIHEN

Amplituden–Phasen Form

Die Überlagerung von gleichfrequenten Sinus– und Kosinusfunktionen ergibt wieder eine harmonische Funktion gleicher Frequenz. Der gerade ( Kosinus ) und der ungerade ( Sinus ) Anteil einer bestimmten Frequenz kann in der Fourierentwicklung als eine gegenüber dem Sinusanteil um ϕn phasenverschobene Funktion mit der Amplitude An dargestellt werden. a n ⋅ cos nω0 t + b n ⋅ sin nω0 t = A n ⋅ sin ( nω0 t + ϕ n )

an

An ϕn bn

Für die Umrechnung gilt: 2

A n = a n + bn

2

und

a  ϕ n = arctan  n   bn 

(10)

Die Darstellung erfolgt in einem Amlitudenspektrum n → An und eine Phasenspektrum n → ϕn Siehe Beispiel:

( an) 2 + ( bn) 2

An :=

a0 if n

if n > 0

0

0.4

Amplitudenspektrum

0.2

An

0

5

10

15

20

n

 an   if n > 0  bn 

atan

φ n :=

0 if n

0

Phasenspektrum

1 φn

0.5

0

5

10

15

20

n

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2.4

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Exponentialform

Sie eignet sich für weiterführende theoretische Überlegungen ( → Fouriertransformation) und soll hier nur in kurzer Form angegeben werden. ∞

∑c

f (t) =

n =− ∞

n

(11)

⋅ e jnωo t

Die komplexen Fourierkoeffizienten cn berechnen sich zu: T

cn =

1 f (t) ⋅ e − jnω0 t dt T ∫0

(12)

Die Integrationsgrenzen in (12) können wegen der Periodiziiät von e–jnωt auch –T/2 bis +T/2 lauten. Formal tauchen in dieser Darstellung der Fourierreihe positive und negative Frequenzen auf. Daher rührt die Bezeichnung zweiseitiges Spektrum. Es gilt: •

Der Koeffizient c0 stellt den Gleichanteil dar, d.h. c0 = a0

•

Der spekrale Anteil einer Harmonischen mit der Kreisfrquenz nω0 beträgt: c n ⋅ e jnω0 t + c − n ⋅ e − jnω0t

•

Die komplexen Fourierkoeffizienten berechnen sich aus den reellen Fourierkoeffizienten durch: 1 1 (1.13) cn = ⋅ ( a n − j ⋅ bn ) c − n = ⋅ ( a n + j ⋅ bn ) 2 2

•

Die Spektralkoeffizienten cn und c–n sind konjugiert komplex.

•

Die komplexen Fourierkoeffizienten sind betragsmäßig gerade halb so groß wie die zugehörigen Amplitudenfaktoren der Amplituden–Phasenform: A cn = n 2

Details siehe: Die komplexen Fourierkoeffizienten im Anhang.

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2.5

FOURIERREIHEN

Kenngrößen

Der Effektivwert und der Klirrfaktor eines Signals können auch aus den Amplituden der Harmonischen bestimmt werden.

2.5.1 Effektivwert Zusammenhang zwischen den Amplituden der harmonischen Anteile An und dem Effektivwert des gesamten Signals 2

f eff = A 0 +

1 ∞ 2 An ∑ 2 n =1

(1.14)

2.5.2 Der Klirrfaktor und der Grundschwingungsgehalt Zur Kennzeichnung des Anteils der Oberschwingungen und somit der Abweichung von der Sinusform benutzt man den Klirrfaktor k: Klirrfaktor :=

Effektivwert der Oberschwingungen Effektivwert des Wechselanteils ∞

k=

∑A n =2 ∞

∑A n =1

2 2

n

= 2

n

2

A 2 + A 3 + ... 2 2 2 A1 + A 2 + A 3 + ...

(1.15)

Beachten Sie, dass in den Effektivwert und in den Klirrfaktor nur die Verteilung der Amplituden An eingeht. Das Phasenspektrum hat hier keinen Einfluss. Weiters wird auch noch der Grundschwingungsgehalt g definiert: Grundschwingungsgehalt =

Effektivwert der Grungschwingung Effektivwert des Wechselanteils g=

y1,eff y eff ,∼

Zusammenhang zwischen k und g : k² + g² = 1 Die detaillierte Herleitung findet sich im Anhang 6.2 Effektivwert und Klirrfaktorberechnung

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Beispiel: Wir wollen nun aus dem oben betrachteten Signal den Effektivwert und den Klirrfaktor bestimmen. Dabei berücksichtigen wir nur die ersten 20 Fourierkoeffizienten. Mathcad liefert: N = 20

feff :=

( A0) 2 +

1 ⋅ 2

N

∑

n

( An) 2

=1

feff = 0.405

Der exakte Wert beträgt 1

6

= 0, 408 .

Berechnung des Klirrfaktors k und des Grundschwingungsgehalts g:

N

∑

k :=

n

( An) 2

=2 N

∑

n

g :=

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k = 0.548

( An)

2

=1 2

1−k

g = 0.837

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3

Durchgerechnete Beispiele

3.1

Beispiel 1

f(x) A

3.1.1 Funktionsbeschreibung: −π

1. f (x) = f (x+k⋅2π)

0

π

2π

x

–A

2. f (–x) = –f (x) d.h. f ist eine ungerade Funktion 3. f(x) = A für 0 ≤ x < π

3.1.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten: Für die geraden Fourierkoeffizienten gilt: a0 = 0 , an ≡ 0 weil f ungerade ist. Für die ungeraden Fourierkoeffizienten gilt: π

1 b n = ∫ f (x) sin nxdx π −π

weil f ungerade ist

=

π

π

2 f (x) sin nxdx = π ∫0

π

2 2A = ∫ A ⋅ sin nxdx = sin nxdx = π0 π ∫0 π

2A  1 2A 1  = ⋅  − cos nx  = − [cos nπ − cos 0] = π  n π n 0 =− Ergebnis:

2A 1  n ⋅ ⋅ ( −1) − 1  π n 

 4A 1 ⋅ , wenn n ungerade ist.  bn =  π n 0 , wenn n gerade ist. Ausgeschrieben: f (x) =

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4A  1 1 1   sin x + sin 3x + sin 5x + … + sin nx + …  π  3 5 n 

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3.1.3 Mathcad Fourierreihe Bsp 1 FHEW.mcd Im diesem Punkt soll das gegebene Signal zuerst mit MATHCAD dargestellt werden. Dann werden die Fourierkoeffizienten nach der soeben hergeleiteten Formel berechnet und abschließend wird ein Näherungspolynom definiert und dargestellt. Diese Seiten sollen als Vorlage zu selbständigen Durchführung dienen.

Fourierreihe eines ungeraden Rechtecksignals Definition und Darstellung der Funktion: A := 1 f ( x) :=

A if 0 ≤ x ≤ π −f ( −x) if −π ≤ x < 0 f (x − 2 ⋅ π ) if x > π f (x + 2 ⋅ π ) if x < −π

1

f ( x)

10

5

0

5

10

1

x

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FOURIERREIHEN x

Berechnung der Amplituden N := 10

bn :=

Mit N wird die höchste Ordnung der Polynomannäherunsfunktion festgelegt.Hier wird eine Variable n definiert, die die Werte 1 bis N in Einerschritten annimmt.

n := 1 .. N

2A 1  n ⋅ ⋅  1 − ( −1)  π n

Eingabe des Index mit " [ ". Dadurch wird die n-te Koordinate eines Vektors b definiert. Der gesamte Vektor besteht hier aus N Zeilen. Durch die Eingabe von " b= " könnte man sich den gesamten Amplitudenvektor a ansehen. ( Vorsicht:MATHCAD reagiert hier "sensibel". Zuerst speichern... ) Will man z.B. nur b 5 wissen, so gibt man " b 5 = " ein.

Amplituden der ungeraden Anteile

Amplitudenspektrum 1.2

0.6

bn

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n Ordungszahl

Das Näherungspolynom Hier wird eine Polynomannäherungsfunktion definiert. Der hier verwendete Index N ist nur ein Literalindex, d.h. er dient nur der Namensgebung. Er wird durch die Eingabe des Punktes nach f ermöglicht.

N

∑

gN ( x) :=

n

bn ⋅ sin( n ⋅ x)

=1

Polynomannäherung vom Grad N

1

g N( x)

0

2

4

6

8

10

12

1

x

WOLFGANG KUGLER

TGM SKRIPTUM

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3.2

FOURIERREIHEN

Beispiel 2

f(x) A

3.2.1 Funktionsbeschreibung: 1. f (x) = f (x+k⋅2π) −π

2. f(–x) = f(x) d.h. f ist eine gerade Funktion π   A für 0 ≤ x ≤ 2 3. f ( x ) =   0 für π ≤ x ≤ π  2

–π/2

0

π/2

π

2π

3.2.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten: π

1 Für die ungeraden Fourierkoeffizienten gilt: b n = ∫ f (x) sin nxdx = 0 , weil f eine gerade π −π Funktion ist. Für die geraden Fourierkoeffizienten gilt: π

a0 =

1 1 A ⋅A⋅π = f (x) dx = ∫ 2π −π 2π 2

⇒

A 2

a0 =

weil f

π π π π gerade ist  1 2 22 = ⋅ + ⋅ a n = ∫ f (x) cos nxdx = f (x) cos nxdx A cos nxdx 0 cos nxdx  = ∫ π −π π ∫0 π  ∫0 π  2 π 2 π 2A 1 2A 1   = ⋅ sin nx = ⋅ sin n − 0 = 0 π n π n  2 

= Ergebnis:

π 2A 1 ⋅ sin n π n 2

an =

       

0 für

n = 2, 4, 6.,....

2A 1 ⋅ für n = 1, 5, 9... π n 2A 1 − ⋅ für n = 3, 7,11,.. π n

und

bn ≡ 0

Ausgeschrieben: f (x) =

WOLFGANG KUGLER

A 2A  1 1 1 1 +  cos x − cos 3x + cos 5x − cos 7x + cos 9x....... π  2 3 5 7 9

TGM SKRIPTUM

  

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FOURIERREIHEN

3.2.3 Mathcad Fourierreihe Bsp 2 FHEW.mcd

Gerades Rechtecksignal mitGleichanteil: Definition der Funktion A := 1 f ( x) :=

A if 0 ≤ x ≤ 0 if

π 2

π 2

≤ x≤ π

f ( −x) if −π ≤ x ≤ 0 f (x − 2 ⋅ π ) if x > π f (x + 2 ⋅ π ) if x < −π

1 f ( x)

10

5

0

5

10

x

N := 20

Mit N wird die höchste Ordnung der Polynomannäherunsfunktion festgelegt.

n := 0 .. N

an :=

2 π 1 2

⋅

1  π ⋅ sin n ⋅  if n > 0 n  2 if n

a5 = 0.127

WOLFGANG KUGLER

Hier wird eine Variable n definiert, die die Werte 1 bis N in Einerschritten annimmt. Eingabe des Index mit " [ ". Dadurch wird die n-te Koordinate eines Vektors a definiert. Der gesamte Vektor besteht hier aus N+1 Zeilen.

0 Durch die Eingabe von " a= " könnte man sich den gesamten Amplitudenvektor a ansehen. ( Vorsicht:MATHCAD reagiert hier "sensibel" ) Will man z.B. nur a 5 wissen, so gibt man " a 5 = " ein.

TGM SKRIPTUM

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FOURIERREIHEN

Amplitudenspektrum

Amplituden der geraden Anteile

1

0.5 an 0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0.5 n Ordungszahl

Näherungsfunktion vom Grad N N

fN ( x) :=

∑

n

Hier wird eine Polynomannäherungsfunktion definiert. Der hier verwendete Index ist nur ein Literalindex, d.h. er dient nur der Namensgebung. Er wird durch die Eingabe des Punktes nach f ermöglicht.

an ⋅ cos ( n ⋅ x)

=0

N = 20

1

fN( x)

0.5

0

2

4

6

8

10

12

x

WOLFGANG KUGLER

TGM SKRIPTUM

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3.3

FOURIERREIHEN f(x)

Beispiel 3

A

3.3.1 Funktionsbeschreibung: −π

1. f (x) = f (x+k⋅2π)

−π/2

2. f(–x) = – f(x) d.h. f ist eine ungerade Funktion π   A für 0 ≤ x < 2 3. f ( x ) =   0 für π ≤ x ≤ π  2

0

π/2

π

2π

x

–A

3.3.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten: Da f eine ungerade Funktion ist, sind alle geraden Fourierkoeffizienten gleich Null:a0 = 0 , an ≡ 0 weil f ungerade ist

π

1 b n = ∫ f (x) sin nxdx π −π =

2A 1 ( − cos nx ) π n

=

π

2

0

=

π π π  2 22 f (x) sin nxdx A sin nxdx 0 sin nxdx = ⋅ + ⋅  = ∫ π ∫0 π  ∫0 π  2

π π 2A 1   2A 1  − + = − cos n cos 0 1 cos n  π n  π n  2 2 

Ergebnis:

bn =

       

0 für 2A 1 ⋅ π n 4A 1 ⋅ π n

n = 4,8,12.,.... für

n = 1, 3, 5, 7...

für

n = 2, 6,10,..

und

an ≡ 0

Ausgeschrieben: f (x) =

WOLFGANG KUGLER

2A  1 1 1  sin x + sin 2x + sin 3x + sin 5x + sin 6x..... π  3 5 3

TGM SKRIPTUM

  

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FOURIERREIHEN

3.3.3 Mathcad Fourierreihe Bsp 3 FHEW.mcd

Antiymmetrisches Rechtecksignal ohne Gleichanteil Definition der Funktion: A := 1 f ( x) :=

A if 0 ≤ x ≤ π

0 if

2

π 2

≤ x≤ π

−f ( −x) if −π ≤ x ≤ 0 f (x − 2 ⋅ π ) if x > π f (x + 2 ⋅ π ) if x < −π Darstellung der Funktion

f ( x)

5

0

5

10

x

bn :=

N := 20

Mit N wird die höchste Ordnung der Polynomannäherunsfunktion festgelegt.

n := 1 .. N

Hier wird eine Variable n (Ordnungszahl) definiert, die die Werte 1 bis N in Einerschritten annimmt.

2⋅A 1 ⋅ n π

 

 

⋅  1 − cos  n ⋅

π   2 

Eingabe des Index mit " [ ". Dadurch wird die n-te Koordinate eines Vektors b definiert. Der gesamte Vektor besteht hier aus N Zeilen.

Durch die Eingabe von " b= " könnte man sich den gesamten Amplitudenvektor a ansehen. ( Vorsicht:MATHCAD reagiert hier "sensibel" ) Will man z.B. nur b3 wissen, so gibt man " b3= " ein.

WOLFGANG KUGLER

b3 = 0.212

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FOURIERREIHEN

Amplitudenspektrum

Amplituden der ungeraden Anteile

0.8

0.6

bn

0.4

0.2

0 1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n Ordungszahl

Das Näherungspolynom

N

fN ( x) :=

∑

n

Hier wird eine Polynomannäherungsfunktion vom Grad N definiert.

bn ⋅ sin( n ⋅ x)

=1

Polynomannäherung vom Grad N N = 20

1

fN( x)

0

2

4

6

8

10

12

1

x

WOLFGANG KUGLER

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3.4

FOURIERREIHEN

Beispiel 4

f(x)

3.4.1 Funktionsbeschreibung:

A

1. f (x) = f (x+k⋅2π) −π

−2π

2. f (–x) = – f (x) d.h. f ist eine ungerade Funktion A 3. f ( x ) = − ⋅ x + A für 0 ≤ x < π π

π

0

2π

x

–A

3.4.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten: Da f eine ungerade Funktion ist, sind alle geraden Fourierkoeffizienten gleich Null: a 0 = 0 und a n ≡ 0 . Für die ungeraden Fourierkoeffizienten gilt: π

1 b n = ∫ f (x) sin nxdx π −π

weil f ungerade ist

=

π

2 f (x) sin nxdx = π ∫0

Nebenrechnung :  1



∫  − π ⋅ x + 1 ⋅ sin nxdx =

=

 2  A   ∫  − ⋅ x + A  ⋅ sin nxdx  = π 0  π  

=

π  2A   1   ∫  − ⋅ x + 1  ⋅ sin nxdx  = π 0  π  

π

1  1  1 =  − ⋅ x + 1  ⋅ ( − cos nx ) − ∫ ( − cos nx n  π  n 1 1 1 1  = −  − ⋅ x + 1  ⋅ cos nx − 2 ⋅ ⋅ sin nx n π n π  π

2A  1  1 1 1   = −  − ⋅ x + 1  ⋅ cos nx − 2 sin nx  =  π  n π n π  0      2A   1  1 1 1 1 1 1 1      =   −  − ⋅ π + 1  ⋅ cos nπ − 2 sin nπ  −  −  − ⋅ 0 + 1  ⋅ cos n0 − 2 sin n0   = π  n  π n π =0   n  π n π =0     =0    2A 1 = ⋅ π n Ergebnis:

WOLFGANG KUGLER

bn =

2A 1 ⋅ π n

und

an ≡ 0

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FOURIERREIHEN

Ausgeschrieben: f (x) =

2A  1 1 1 1 1  sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x + sin 5x + sin 6x..... π  2 3 4 5 6

  

3.4.3 Mathcad Fourierreihe Bsp 4 FHEW.mcd Abfallendes Sägezahnsignal Definition und Darstellung der Funktion −A

f ( x) :=

π

⋅ x + A if 0 ≤ x ≤ 2π A := 1

f (x − 2π ) if x > 2π f (x + 2π ) if x < 0

f ( x)

10

1

5

0

5

10

1 x

Fourierkoffizienten bn :=

2⋅A 1 ⋅ n π

Durch die Eingabe des Idex mit " [ "wird die n-te Koordinate eines Vektors b definiert. Man könnte sich durch die Eingabe von " b= " den gesamten Amplitudenvektor b ansehen.(Vorsicht! Zuerst speichern...) Will man z.B. nurb3 wissen, so gibt man " b3= " ein.

N := 20

Festlegung der maximalen Ordnung der Polynomnäherung

n := 1 .. N

Festlegung der Bereichsvariablen n.

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN

0.8

Amplitudenspektrum

0.6

bn

0.4

0.2

0

5

10

15

20

n

Zur Formatierung des Diagramms: Diagramm mit rechter Maustaste anklicken, Formatieren: X-Y Achsen, Achsenformat: Kreuz Spuren, Format, Schilder

N

fN ( x) :=

∑

n

Hier wird eine Polynomnäherungsfunktion definiert.

bn ⋅ sin( n ⋅ x)

=1 Polynomannäherung vom Grad N

N = 20

1

fN( x)

0

2

4

6

8

10

12

1

x

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN f(x)

3.5

Beispiel 5

A

3.5.1 Funktionsbeschreibung: 1. f (x) = f (x+k⋅2π)

−2π

−π

0

π

2π

x

2. f (–x) = f (x) d.h. f ist eine gerade Funktion A 3. f ( x ) = ⋅ x für 0 ≤ x ≤ π π

3.5.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten: π

a0 =

1 1 A ⋅A⋅π = f (x) dx = ∫ 2π −π 2π 2 π

1 a n = ∫ f (x) cos nxdx π −π π

weil f gerade ist

=

⇒ a0 =

A 2

π

2 f (x) cos nxdx = π ∫0 π

2 A 2A = ∫ ⋅ x ⋅ cos nxdx = 2 ∫ x ⋅ cos nxdx = π0 π π 0 π

2A  1 1  = 2  x sin nx + 2 cos nx  = π n n 0 =

2A  1 1 1 1  π sin nπ + 2 cos nπ − ⋅ 0 ⋅ sin n0 − 2 cos n0 = 2  π n n n n 

=

2A  1 1  2A 1 2A 1 n cos nπ − 2  = 2 2 ⋅ [cos nπ − 1] = 2 2 ⋅ ( −1) − 1 2  2   π n π n n  π n

Da f eine gerade Funktion ist, sind alle ungeraden Fourierkoeffizienten bn gleich Null. Ergebnis:   an =   

0 für 4A 1 − 2 ⋅ 2 π n

WOLFGANG KUGLER

n = 2, 4, 6,8.,... und bn ≡ 0 für

n = 1, 3, 5, 7...

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FOURIERREIHEN

Ausgeschrieben: f (x) =

A 4A  1 1 1 1 −  cos x + cos 3x + cos 5x + + cos 7x + cos 9x....... 2 2 π  9 25 49 81

  

3.5.3 Mathcad Fourierreihe Bsp 5 FHEW.mcd

Symmetrisches Dreiecksignal mit Gleichanteil Definition und Darstellung der Funktion: A := 1 f ( x) :=

A π

⋅ x if 0 ≤ x ≤ π x := −2 ⋅ π , −2 ⋅ π + 0.01 .. 4 ⋅ π

f ( −x) if −π ≤ x ≤ 0 f (x − 2 ⋅ π ) if x > π f (x + 2 ⋅ π ) if x < −π 1

f ( x)

0.5

5

0

5

10

x

N := 20

Festlegung der maximalen Ordnung der Polynomnäherung

n := 0 .. N

Festlegung der Bereichsvariablen n.

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN

Berechnung der Amplituden A if n 2

an :=

Durch die Eingabe des Idex mit " [ " wird die n-te Koordinate eines Vektors a definiert.

0

2⋅A  1 n ⋅ ( −1) − 1 ⋅ if n ≠ 0 2 2 n π Man könnte sich durch die Eingabe von " a= " den gesamten Amplitudenvektor a ansehen.(Vorsicht! Zuerst speichern...) Will man z.B. nur a0 wissen, so gibt man "a0= " ein.

Stimmt !

a0 = 0.5

Amplitudenspektrum

Amplituden der ungeraden Anteile

0.5

an

0

5

10

15

20

0.5 n Ordnungszahl N

fN ( x) :=

∑

n

Hier wird eine Polynomnäherungsfunktion definiert.

an ⋅ cos ( n ⋅ x)

=0

Polynomannäherung vom Grad N

N = 20

1

fN( x)

0.5

4

2

0

2

4

6

8

10

12

x

Das starke Abfallen der Amplituden und zusätzliche Ausfallen aller geradzahligen 1 1 Harmonischen spiegelt die Ähnlichkeit der Funktion f(x) mit g( x) = − ⋅ cos x wieder. 2 2

WOLFGANG KUGLER

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3.6

FOURIERREIHEN f(x)

Beispiel 6

A

3.6.1 Funktionsbeschreibung:

−π/2 −π

0

π/2

π

x

2π

1. f (x) = f (x+k⋅2π) 2.

f (–x) = f (x) d.h. f ist eine ungerade Funktion π  2A ⋅ x für 0 ≤ x ≤  π 2 3. f ( x ) =   − 2A ⋅ x + 2A für π ≤ x ≤ π  π 2

3.6.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten: Da f eine ungerade Funktion ist, sind alle geraden Fourierkoeffizienten gleich Null: a 0 = 0 und an ≡ 0 . Für die ungeraden Fourierkoeffizienten gilt: π

1 bn = ∫ f (x) sin nxdx π −π

weil f ungerade ist

=

π

2 f (x) sin nxdx = π ∫0

π π  2  2  2A   2A  = ∫  ⋅ x  ⋅ sin nxdx + ∫  − ⋅ x + 2A  ⋅ sin nxdx  = π  0  π π   π  2 

π π π  4A  1 2 1 =  ∫ x ⋅ sin nxdx − ∫ x sin nxdx + ∫ sin nxdx  π  π 0 π π2 π  2

Der Übersicht halber berechnen wir die drei Integralwerte einzeln in Nebenrechnungen und summieren dann:

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN

NR1: π

π

2 1  1  ⋅ = = − ⋅ + ⋅ x sin nxdx … x cos nx sin nx ∫0  n  = n2 0 2

1 π 1 π  1  1π  = − ⋅ cos n + 2 ⋅ sin n  −  − 0 ⋅ cos n0 + 2 ⋅ sin n0  = 2 n 2  n n  n2  =−

1π π 1 π ⋅ cos n + 2 ⋅ sin n n2 2 n 2

NR2: π

π

1  1  ∫π x ⋅ sin nxdx = … =  − n x ⋅ cos nx + n 2 ⋅ sin nx  π = 2 2 π 1 π 1  1   1π =  − π ⋅ cos nπ + 2 ⋅ sin nπ  −  − ⋅ cos n + 2 ⋅ sin n  = n 2 n 2 =0  n   n2 =− NR3:

π 1 π 1 1π π ⋅ cos nπ + ⋅ cos n − 2 ⋅ sin n n n2 2 n 2 π

π

1 1 1  ∫π sin nxdx =  n ( − cos nx ) π = − n ( cos nπ − cos n π2 ) = n ( cos n π2 − cos nπ ) 2 2 Die Summe der drei Integrale ergibt: π

π

π

1 2 1 x ⋅ sin nxdx − ∫ x sin nxdx + ∫ sin nxdx = ∫ π0 π π2 π 2 =

π 1 π 1  1 π 1 π 1 1 π 1 π − ⋅ ⋅ cos n + 2 ⋅ sin n  −  − π ⋅ cos nπ + ⋅ ⋅ cos n − 2 ⋅ sin n  +  π n 2 2 n 2 π  n n 2 2 n 2 +

=− =

π 1   cos n − cos nπ  = n 2 

π 1 1 π 1 π 1 1 π 1 π 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ cos n + 2 ⋅ ⋅ sin n + ⋅ cos nπ − ⋅ ⋅ cos n + 2 ⋅ ⋅ sin n + cos n − cos nπ = n 2 2 n π 2 n n 2 2 n π 2 n 2 n

π 1 2 ⋅ ⋅ sin n 2 n π 2

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN

4A multipliziert erhalten wir das Ergebnis: π π 8A 1 b n = 2 ⋅ 2 ⋅ sin n 2 π n π Werten wir den Term sin n numerisch aus, so erhalten wir: 2  0 für n = 2, 4, 6,8,....   8A 1  bn =  für n = 1, 5, 9... und 2 2 n π  8A 1   − π2 n 2 für n = 3, 7,11,.. Ausgeschrieben: Mit

f (x) =

an ≡ 0

8A  1 1 1 1 sin x − sin 3x + sin 5x − sin 7x + sin 9x..... 2  π  9 25 49 81

  

Jede zweite Amplitude ist hier also gleich Null, die restlichen fallen mit 1/n², dh. sehr schnell, gegen Null ab. So spiegelt sich im Spektrum die große Ähnlichkeit dieses Dreiecksignals mit einer Sinusfunktion im Zeitbereich wider.

3.6.3 Mathcad Fourierreihe Bsp 6 FHEW.mcd Ungerades Dreiecksignal ohne Gleichanteil Definition und Darstellung der Funktion: A := 1 f ( x) :=

2A π

⋅ x if 0 ≤ x ≤

−2A π

⋅ x + 2A if

π 2

π 2 ≤ x≤ π

−f ( −x) if −π ≤ x ≤ 0 f (x − 2 ⋅ π ) if x > π f (x + 2 ⋅ π ) if x < −π 1

f ( x)

5

0

5

10

1 x

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN

N := 20

Festlegung der maximalen Ordnung der Polynomnäherung

n := 1 .. N

Festlegung der Bereichsvariablen n.

Berechnung der Amplituden bn :=

8⋅A 1  π ⋅ ⋅ sin n ⋅  2 2  2 n π

Durch die Eingabe des Idex mit " [ " wird die n-te Koordinate eines Vektors a definiert. Man könnte sich durch die Eingabe von " b= " den gesamten Amplitudenvektor a ansehen.(Vorsicht! Zuerst speichern...) Will man z.B. nur b 7 wissen, so gibt man " b 7 = " ein.

b7 = −0.017

Amplitudenspektrum

Amplituden der ungeraden Anteile

1

0.5 bn 0

5

10

15

20

0.5 n Ordnungszahl

Polynomannäherung vom Grad N N

∑

fN ( x) :=

n

bn ⋅ sin( n ⋅ x)

Hier wird eine Polynomnäherungsfunktion definiert.

=1 N = 20

1

fN( x)

4

2

0

2

4

6

8

10

12

1 x

WOLFGANG KUGLER

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3.7

FOURIERREIHEN f(x)

Beispiel 6

A

3.7.1 Funktionsbeschreibung: 1. f (x) = f (x+k⋅2π)

−π/2

π/2

0

π

2π

3π/2

x

2. f (–x) = f (x) d.h. f ist eine gerade Funktion   3. f ( x ) =   

−

π 2A ⋅ x + A für 0 ≤ x ≤ π 2 π ≤x≤π 0 für 2

3.7.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten: π

a0 =

1 1 A A f (x) dx = ⋅ ⋅π = ∫ 2π −π 2π 2 4 π

1 a n = ∫ f (x) cos nxdx π −π

weil f gerade ist

=

⇒ a0 =

A 4

Nebenrechnung:

π

2 f (x) cos nxdx = π ∫0



2



∫  − π ⋅ x + 1 ⋅ cos nx dx =

π π 1  2 1  2  2  2  2A  = − ⋅ + − ⋅ x 1 sin nx sin nx    −  dx = ∫ = ∫  − ⋅ x + A  ⋅ cos nxdx + ∫ 0 ⋅ cos nxdx  = π n n    π π  0  π  π  2 1 2 1 2  =  − ⋅ x + 1  sin nx − 2 ⋅ cos nx π n π n π  2 2A  1  2 2 1   =  − ⋅ x + 1  sin nx − ⋅ 2 cos nx  = π  n  π π n  0

=

π 2 1 π 1 2 2A  1  2 π 2 1     − ⋅ + 1  sin n − ⋅ 2 cos n −  − ⋅ 0 + 1  sin n0 + ⋅ 2 cos n0 =  π n  π 2 π n 2 π n 2 n π   

=

π 2 1  4A 1 2A  2 1 − ⋅ 2 cos n + ⋅ 2  = 2 2  π  π n 2 π n  π n

=

π 4A 1  ⋅ 1 − cos n  2 2  π n  2

π  ⋅ 1 − cos n  2 

π

Für die ungeraden Fourierkoeffizienten gilt: b n =

1 ∫ f (x) sin nxdx = 0 , weil f eine gerade π −π

Funktion ist. WOLFGANG KUGLER

TGM SKRIPTUM

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FOURIERREIHEN

Ergebnis:     an =    

0 für

n = 4,8.12,....

4A 1 ⋅ für n = 1, 3, 5,... π2 n 2 8A 1 ⋅ für n = 2, 6,10,.. π2 n 2

bn ≡ 0

und

Ausgeschrieben: f (x) =

A 4A  1 1 1 1 1 1 + 2  cos x + cos 2x + cos 3x + cos 5x + cos 6x + cos 7x + cos 9x....... 4 π  2 9 25 18 49 81

3.7.3 Mathcad Fourierreihe Bsp 7 FHEW.mcd

Definition und Darstellung der Funktion: A := 1 −2A

f ( x) :=

π

⋅ x + A if 0 ≤ x ≤

0 if

π 2

π 2

≤ x≤ π

f ( −x) if −π ≤ x < 0 f (x − 2 ⋅ π ) if x > π f (x + 2 ⋅ π ) if x < −π

1

f ( x)

10

5

0

5

10

x

WOLFGANG KUGLER

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  

ANGEWANDTE MATHEMATIK

N := 20

FOURIERREIHEN Mit N wird die höchste Ordnung der Polynomannäherunsfunktion festgelegt.

A := 1

n := 0 .. N

Hier wird eine Variable n definiert, die die Werte 1 bis N in Einerschritten annimmt.

A if n 4

an :=

Durch die Eingabe des Index mit " [ " wird die n-te Koordinate eines Vektors a definiert. Der gesamte Vektor besteht hier aus N+1 Zeilen.

0

4 ⋅ A 1   π    2 ⋅ 2 ⋅  1 − cos  n ⋅ 2   if n ≠ 0     π n  Durch die Eingabe von " a= " könnte man sich den gesamten Amplitudenvektor a ansehen. ( Vorsicht:MATHCAD reagiert hier "sensibel". Zuerst speicher.... ) Will man z.B. nur a 3 wissen, so gibt man " a 3 = " ein.

a3 = 0.045

Amplitudenspektrum

Amplituden der geraden Anteile

0.6

0.4 an 0.2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

n Ordungszahl

Polynomannäherung vom Grad N N

fN ( x) :=

∑

n

an ⋅ cos ( n ⋅ x)

Hier wird eine Polynomnäherungsfunktion definiert.Der hier verwendete Index N ist nur ein Literalindex , d.h. er dient nur zur Namensgebung. Er wird durch die Eingabe des Punktes nach f ermöglicht.

=0

Polynomnäherungsfunktion N = 20 1

fN( x)

0.5

4

2

0

2

4

6

8

10

12

x

WOLFGANG KUGLER

TGM SKRIPTUM

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ANGEWANDTE MATHEMATIK

3.8

FOURIERREIHEN f(x)

Beispiel 8

A

-π/4

π/4

π

2π

π/2

-π/2

3.8.1 Funktionsbeschreibung: 1. f(x) = f(x + k⋅2π) 2. f(–x) = f(x) d.h. f ist eine gerade Funktion 0≤x≤

A für 3. f ( x ) =

π 4

π 4A 3π ⋅ x + 2A für ≤x≤ π 4 4 3π − A für ≤x≤π 4

−

3.8.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten: a0 = 0 π

1 a n = ∫ f (x) cos nxdx π −π

weil f gerade ist

=

2 4 =  ∫ A ⋅ cos nxdx + π0  π

2A  4  cos nxdx + 2 ⋅ = π  ∫0  π

WOLFGANG KUGLER

3π

∫

π

3π

4

∫

π

4

4

4

π

2 f (x) cos nxdx = π ∫0

π   4A  = − ⋅ + ⋅ + − ⋅ x 2A cos nxdx A cos nxdx ( )   ∫   π  π 4 

π   2   − ⋅ x + 1  ⋅ cos nxdx − ∫ cos nxdx  =   π  π 4 

TGM SKRIPTUM

SEITE: 38 / 86

ANGEWANDTE MATHEMATIK π

NR 1:

4

∫ 0

1 cos nxdx = sin nx n π

∫

NR 2:

3π

3π

4

4

∫

NR 3:

π

cos nxdx =

4

FOURIERREIHEN π

4

0

=

π π 1  1 sin n − sin 0 = ⋅ sin n  n 4 4  n

1 sin nx n

π 3π

= 4

1 3π  1 3π sin nπ − sin  = − ⋅ sin  n 4 n 4

 2   − ⋅ x + 1  ⋅ cos nxdx  π 

Zuerst das unbestimmte Integral:  2



 2

1

 2

1

∫  − π ⋅ x + 1 ⋅ cos nxdx dx =  − π ⋅ x + 1 n sin nx − ∫ n sin nx  − π  dx = 21 2 1  2 1  2 1 =  − ⋅ x + 1  sin nx + ⋅ cos nx sin nx dx =  − ⋅ x + 1  sin nx − ∫ πn π n2  π n  π n Die Grenzen eingesetzt: 3π

4

∫

π

4

2 1  2   2  1 ⋅ cos nx   − ⋅ x + 1  ⋅ cos nxdx =  − ⋅ x + 1 sin nx − 2 πn  π  n  π 

3π π

4

=

4

π 2 1 π 3π 2 1 3π   2 π  2 3π 1 1 =  − ⋅ + 1  sin n − ⋅ cos n  −  − ⋅ + 1  sin n − ⋅ 2 ⋅ cos n  = 2 4 πn 4   π 4 4 π n 4 n n  π 4 π 2 1 π 3π 2 1 3π   1 1  1 1 =  − ⋅ sin n − ⋅ cos n  −  ⋅ sin n − ⋅ 2 ⋅ cos n  = 2 4 πn 4  2 n 4 π n 4  2 n π 2 1 π 1 1 3π 2 1 3π 1 1 = − ⋅ sin n − ⋅ cos n − ⋅ sin n + ⋅ 2 ⋅ cos n 2 2 n 4 πn 4 2 n 4 π n 4

Fortsetzung der an – Berechnung:

WOLFGANG KUGLER

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an =

FOURIERREIHEN

π 2A  1 ⋅  ⋅ sin n + π n 4 3π 2 1 3π 1 1 π 2 1 π  1 1 + 2 ⋅  − ⋅ sin n − ⋅ cos n − ⋅ sin n + ⋅ 2 ⋅ cos n  + 2 4 πn 4 2 n 4 π n 4  2 n 1 3π  + ⋅ sin  = n 4

=

π 1 π 4 1 π 1 2A  1 3π 4 1 3π 1 3π  ⋅  ⋅ sin n − sin n − ⋅ cos n − sin n + ⋅ 2 ⋅ cos n + ⋅ sin  = 2 π n 4 n 4 πn 4 n 4 π n 4 n 4

=

π 4 1 2A  4 1 3π  ⋅  ⋅ 2 ⋅ cos n − ⋅ cos n  = 2 π π n 4 πn 4

=

8A 1 ⋅ π2 n 2

π 3π   cos n 4 − cos n 4 

Betrachten wir den Klammerausdruck für unterschiedliche n – Werte:

cos n

n

π 3π − cos n 4 4

1  1  2 − − = 2 = 2  2 2

1 2

0−0=0

3

−

4

0−0=0

1  1  2 − + =− 2 =− 2  2 2

1  1  2 − − = 2 = 2  2 2

5 6

0−0=0

7

−

1  1  2 − + =− 2 =− 2  2 2

Zusammengefasst:

cos n

π 3π − cos n = 4 4

2

für

n = 1, 5, 9 …

− 2 für n = 3, 7,11… 0 für n = 2, 4, 6, …

Wir erhalten daher für die geraden Fourierkoeffizienten: WOLFGANG KUGLER

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  0   8 an =    8  − 

FOURIERREIHEN

n = 2, 4, 6,8.,...

für

2 ⋅A 1 ⋅ 2 für n = 1, 5, 9... π2 n 2 ⋅A 1 ⋅ 2 für n = 3, 7,11.. π2 n

und bn ≡ 0

Die ausgeschriebene Fourierreihe lautet daher: f (x) =

8 2 ⋅A  1 1 1 1 cos 7x + cos 9x.......  cos x − cos 3x + cos 5x − 2 π 9 25 49 81 

  

3.8.3 MATHCAD Fourierreihe Bsp 8 FHEW.mcd Definition der Funktion A := 1 f ( x) :=

A if 0 ≤ x ≤

π 4

 −4 ⋅A ⋅x + 2 ⋅A if π ≤ x < 3π   4 4  π  −A if

3π 4

≤ x≤ π

f ( −x) if −π ≤ x ≤ 0 f (x − 2 ⋅π ) if x > π f (x + 2 ⋅π ) if x < −π

1.2A

f ( x)

1

10

0

5

10

1

− 1.2⋅ A − 10

WOLFGANG KUGLER

5

x

TGM SKRIPTUM

10

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FOURIERREIHEN

Hier wird die höchste Ordnung festgelegt bis zu der die Fourierkoeffizienten berechnet werden sollen.

N := 20

n := 0 .. N

Ergebnis der Rechnung an :=

0 if n

0

 8 ⋅A 1   π   3π    2 ⋅ 2 ⋅ cos  n⋅ 4  − cos  n⋅ 4   if n ≠ 0     π n  

Amplitudenspektrum

1.5

1

an

0.5

0

5

10

15

20

0.5 n

WOLFGANG KUGLER

TGM SKRIPTUM

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FOURIERREIHEN

Das Näherungspolynom N := 5

werden soll. N

p ( x) :=

∑

n

an ⋅cos ( n⋅x)

N =5

=0 1

p ( x) f ( x)

10

5

0

5

10

1

x

Animation Das Näherungspolynom N := FRAME N

Tip: Wählen Sie FRAME von 0 bis 20 mit 4 Bildern/s

p ( x) :=

∑

n

an ⋅cos ( n⋅x)

=0

----------------------------------------------N =0 1

p ( x) f ( x)

10

5

0

5

10

1

x

-----------------------------------------------

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN

f(x)

3.9

A

Beispiel 9

−π/4

−3π/4 −π/2

−π

π/4

0

π/2

3π/4

π

2π

3π/2

–A

3.9.1 Funktionsbeschreibung: 1. f (x) = f (x+k⋅2π) 2.

f (–x) = –f (x) d.h. f ist eine ungerade Funktion

     3. f ( x ) =      

0 für

0≤x≤

π 4

π π 4A ⋅ x − A für ≤x≤ π 4 2 3π π A für ≤x≤ 2 4 3π π

1

f ( x)

0.5

4

2

0

2

4

6

8

10

x

A=1

N := 20

Hier wird die höchste Ordnung festgelegt, mit der unten e Näherungspolynom dargestellt werden soll.

n := 0 .. N

Ergebnis der Rechnung an :=

3A if n 16

0

 16 ⋅A 1   π   π    2 ⋅ 2 ⋅ cos  n⋅ 8  − cos  n⋅ 4   if n ≠ 0      π n  

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN

Amplitudenspektrum

0.3

0.2 an 0.1

0

5

10

15

20

0.1 n

Das Näherungspolynom N

P ( x) :=

∑

n

an ⋅cos ( n⋅x)

=0 N = 20

1

0.5

P( x)

10

5

0

5

10

x

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN

f(x)

3.11 Beispiel 11

A

3.11.1 Funktionsbeschreibung: 1. f (x) = f (x+k⋅2π)   2. f ( x ) =  

−π

A − ⋅ x für − π < x ≤ 0 π 0 für 0 ≤ x ≤ π

π

0

2π

x

Da diese Funktion weder gerade noch ungerade ist, treten sowohl gerade als auch ungerade Fourierkoeffizienten auf.

3.11.2 Berechnung der geraden Fourierkoeffizienten: π

a0 =

1 1 A A ⋅ ⋅π = f (x) dx = ∫ 2π −π 2π 2 4

⇒ a0 =

A 4 Nebenrechnung:

π

an =

1 ∫ f (x) cos nxdx = π −π

∫ x ⋅ cos nx dx =

π 0  1  A  =  ∫  − ⋅ x  ⋅ cos nxdx + ∫ 0 ⋅ cos nxdx  = π  −π  π  0  0

A 1 1  = − 2  x sin nx + 2 cos nx  = π n n  −π A =− 2 π

=−

A π2

1 1 sin nx − ∫ sin nx dx = n n 1 1 = x sin nx + 2 ⋅ cos nx n n =x

Zur Erinnerung: 1  1 1    0 + n 2  −  n ( −π ) sin n ( −π ) + n 2 ⋅ cos n ( −π )   = cos ( − x ) = cos x     n cos nπ = ( −1) 1 1   n 2 − n 2 ⋅ cos nπ  =

sin ( − x ) = − sin x sin(nπ) = 0

=

1 A A 1 n ⋅ 2 [cos nπ − 1] = 2 2 ⋅ ( −1) − 1 2  π n  n π

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN

0   a n =  2A 1  − π 2 ⋅ n 2

Ergebnis:

für für

n = 2, 4, 6,8,.... n = 1, 3, 5, 7,...

3.11.3 Berechnung der ungeraden Fourierkoeffizienten: Nebenrechnung:

π

bn =

1 ∫ f (x) sin nxdx = π −π

∫ x ⋅ sin nxdx =

0 π  1  A  =  ∫  − ⋅ x  ⋅ sin nxdx + ∫ 0 ⋅ sin nxdx  = π  −π  π  0 

1 1 ( − cos nx ) − ∫ ( − cos nx ) dx = n n 1 1 = − ⋅ x cos nx + 2 ⋅ sin nx n n = x⋅

0

=

1 A  −  ∫ x ⋅ sin nxdx = π  π  −π

Zur Erinnerung:

0

=−

A π2

1  1   − n x cos nx − n 2 sin nx  = −π

=−

A π2

 1   − n π cos nπ  =

=

sin ( n ( −π ) ) = − sin ( nπ ) = 0 cos ( n ( −π ) ) = cos ( nπ ) = ( −1)

n

A1 n ⋅ ( −1) π n

Ergebnis:

bn =

A1 n ⋅ ( −1) π n

3.11.4 Mathcad Fourierreihe Bsp 11 FHEW.mcd und Fourierreihe Bsp 11a FHEW.mcd

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN

Definition und Darstellung der Funktion: A := 1 −A

f ( x) :=

π

⋅ x if −π ≤ x ≤ 0

0 if 0 ≤ x ≤ π f (x − 2 ⋅ π ) if x > π f (x + 2 ⋅ π ) if x < −π 1

f ( x)

10

5

0

5

10

x

N := 20

Mit N wird die höchste Ordnung der Polynomannäherunsfunktion festgelegt.

A := 1

n := 0 .. N

Hier wird eine Variable n definiert, die die Werte 1 bis N in Einerschritten annimmt.

A if n 4

an :=

0

 A ⋅ 1 ⋅ ( −1) n − 1  if n ≠ 0   2 2  π n 

Amplituden der geraden Anteile

0.4

0.2

an

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.2

0.4 n Ordungszahl

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN

n := 1 .. N bn :=

A 1 n ⋅ ⋅ ( −1) π n

Amplituden der ungeraden Anteile

0.5

bn

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0.5 n Ordungszahl

N

fN ( x) := a0 +

∑

( an ⋅ cos(n ⋅ x) + bn ⋅ sin(n ⋅ x))

n=1

Polynomannäherung vom Grad N

Hier wird eine Polynomnäherungsfunktion definiert. Der hier verwendete Index N ist nur ein Literalindex, d.h. er dient nur zur Namensgebung. Er wird durch die Eingabe des Punktes nach f ermöglicht.

N = 20

Mit "N =" wird der momentan aktuell N Wert angezeigt. Die Festlegung des N Wertes erfolgte weiter oben.

1

fN( x)

4

2

0

2

4

6

8

10

12

x

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN

Darstellung durch Amplituden und Phasenspektrum n := 0 .. N

( an) 2 + ( bn) 2

An :=

a0 if n

if n > 0

Definition eines Ampitudenvektors A.

0

0.4

Amplitudenspektrum An

0.2

0

5

10

15

20

n

φ n :=

 an   if n ≥ 1 ∧ an < 0 ∧ bn > 0  bn   an  atan  + π if n ≥ 1 ∧ an < 0 ∧ bn < 0  bn  atan

0 if n

Hier muss man mit den Vorzeichen aufpassen, daher die Fallunterscheidung!

0 Phasenspektrum

4

φn

2

0

5

10

15

20

n

Näherungsfunktion N

fN ( x) := A0 +

∑

n

Wir erhalten also das selbe Ergebnis!

An ⋅ sin(n ⋅ x + φ n )

=1 1

0.5

fN( x)

10

5

0

5

10

x

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN

3.12 Beispiel 12

f(x) A

3.12.1 Funktionsbeschreibung: 1. f (x) = f (x+k⋅2π) −2π

2. f (x) =

    

−

3π/2

0

2π

x

π 2A ⋅ x für − ≤ x ≤ 0 π 2 2A 3π ⋅ x für 0 ≤ x ≤ 3π 2

Da diese Funktion weder gerade noch ungerade ist, treten sowohl gerade als auch ungerade Fourierkoeffizienten auf.

3.12.2 Berechnung der geraden Fourierkoeffizienten: π

a0 =

1 1 A ⋅ 2π A ⋅ = f (x) dx = ∫ 2π −π 2π 2 2

⇒ a0 =

A Geometrisch ermittelt! 2

3π

π

1 1 2 a n = ∫ f (x) cos nxdx = ∫ f (x) cos nxdx = π −π π −π

Nebenrechnung:

2

1   2A   − ⋅ x  ⋅ cos nxdx + π  −π∫  π   2 0

=

2A  1 = 2  − ∫ x ⋅ cos nxdx + ⋅ π  −π 3  2 0

3π

2

∫ 0

3π

2

∫ 0

 2A ⋅ cos nxdx  = 3π  

 x ⋅ cos nxdx   

∫ x ⋅ cos nx dx = 1 1 sin nx − ∫ sin nx dx = n n 1 1 = x sin nx + 2 ⋅ cos nx n n =x

Jetzt sollten einige Detailrechnungen durchgeführt werden:

WOLFGANG KUGLER

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FOURIERREIHEN

1. 0

∫

−π

2

1 1  x ⋅ cos nxdx =  x sin nx + 2 ⋅ cos nx  n n 

0 −π

= 2

 1  1 π  π 1  π   =  0 + 2 ⋅ 1  −   −  sin n  −  + 2 ⋅ cos n  −    = n  n 2  2 n  2   

Zur Erinnerung:

sin ( − x ) = − sin x cos ( − x ) = cos x

π 1 π   1 1 π sin n + 2 ⋅ cos n   = =  2 − 2 n 2  n  n 2 π 1 π 1 1π − sin n − 2 ⋅ cos n 2 n n2 2 n 2

= 2. 3π

2

∫ 0

1 1  x ⋅ cos nxdx =  x sin nx + 2 ⋅ cos nx  n n 

3π 0

2

=

3π 1 3π   1   1 3π =  + 2 cos n  −  0 + 2 ⋅ 1  = sin n 2 n 2   n   n 2 3π 1 3π  1   1 3π =  + 2 cos n  − 2  = sin n 2 n 2  n   n 2 =

1 3π 3π 1 3π 1 + 2 cos n − =⊗ sin n n 2 2 n 2 n2

Es gilt nun für alle n∈N: sin n

3π π = − sin n 2 2

Daher folgt: ⊗=−

und

cos n

3π π = cos n 2 2

( Nachrechnen! )

π 1 π 1 1 3π sin n + 2 cos n − 2 n 2 2 n 2 n

Wir setzen nun die Ergebnisse der Detailrechnungen zusammen und erhalten für die geraden Fourierkoeffizienten:

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FOURIERREIHEN

2A  1 a n = 2  − ∫ x ⋅ cos nxdx + ⋅ 3 π  −π 2  0

3π

2

∫ 0

 x ⋅ cos nxdx  =  

=

π 1 π  1  1 3π π 1 π 1  2A   1 1 π − 2 − sin n − 2 ⋅ cos n  + ⋅  − sin n + 2 cos n − 2   = 2  π  n n2 2 n 2 3  n 2 2 n 2 n 

=

π 1 π 1π π 1 1 π 1 1 2A  1 1 π − 2 + sin n + 2 ⋅ cos n − sin n + ⋅ 2 cos n − ⋅ 2  = 2  π  n n2 2 n 2 n2 2 3 n 2 3 n 

=

π 2A  4 1 4 1 − ⋅ 2 + ⋅ 2 cos n  = 2  π  3 n 3 n 2

=

2A 4 1 ⋅ ⋅ π2 3 n 2

=

8A 1 ⋅ 3π2 n 2

π    cos n − 1  = 2  

π    cos n − 1  2  

Da:   π  cos n =  2  

0 für

n = 1, 3, 5,...

1 für

n = 4,8,12,...

−1 für

n = 2, 6,10,...

ist, werden genau jene Amplituden der geraden Anteile Null, bei denen n ein ganzzahliges Vielfaches von 4 ist. Dort liegen also Nullstellen im Spektrum. Wir können für die geraden Fourierkoeffizienten daher schreiben:    an =    

8A 1 ⋅ für n = 1, 3, 5,... 3π 2 n 2 8A 2 − 2 ⋅ 2 für n = 2 3π n 0 für n = 4,8,12,...

−

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3.12.3 Berechnung der ungeraden Fourierkoeffizienten: 3π

π

1 1 2 bn = ∫ f (x) sin nxdx = f (x) sin nxdx = π −π π − ∫π 2

1   2A  =  ∫ − ⋅ x  ⋅ sin nxdx + π − π  π   2 0

2A  1 = 2  − ∫ x ⋅ sin nxdx + π  −π 3  2 0

3π

2

∫ 0

3π

2

∫ 0

 2A ⋅ x ⋅ sin nxdx  = 3π  

 x ⋅ sin nxdx   

Detailrechnungen: 1. 0

∫

−π

2

1  1  x ⋅ sin nxdx =  − ⋅ x cos nx + 2 ⋅ sin nx  n  n 

Nebenrechnung :

0 −π

=

∫ x ⋅ sin nxdx =

2

 1  π  π 1  π  = [ −0 + 0] −  − ⋅  −  cos n  −  + 2 ⋅ sin n  −   =  2 n  2   n  2 =−

1 1 ( − cos nx ) − ∫ ( − cos nx n n 1 1 = − ⋅ x cos nx + 2 ⋅ sin nx n n = x⋅

1 π π 1 π ⋅ ⋅ cos n + 2 ⋅ sin n n 2 2 n 2

2. 3π

2

∫ 0

1  1  x ⋅ sin nxdx =  − ⋅ x cos nx + 2 ⋅ sin nx  n  n 

3π

2

0

=

3π 1 3π   1 3π =  − ⋅ cos n + 2 ⋅ sin n  − [ −0 + 0] = 2 n 2  n 2 =−

π 1 π 1 3π ⋅ cos n − 2 ⋅ sin n n 2 2 n 2

Wir setzen nun die Ergebnisse der Detailrechnungen zusammen:

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bn =

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2A   1 π π 1 π  1  1 3π π 1 π  ⋅  −  − ⋅ ⋅ cos n + 2 ⋅ sin n  + ⋅  − ⋅ cos n − 2 ⋅ sin n   = 2 π   n 2 2 n 2 3  n 2 2 n 2 

=

π 1 π 1 π π 1 1 π 2A  1 π ⋅ ⋅ cos n − 2 ⋅ sin n − ⋅ cos n − 2 ⋅ ⋅ sin n  = 2  π n 2 2 n 2 n 2 2 n 3 2

=

π 2A  4 1 ⋅  − ⋅ 2 ⋅ sin n  = 2 2 π  3 n π 8A 1 ⋅ 2 ⋅ sin n 2 3π n 2

=−

Die Nullstellen im Spektrum liegen nun dort, wo sin n

π = 0 ist. Dies ist genau dann der Fall, 2

π = k ⋅ π ist, wobei k eine beliebige natürliche Zahl ist. ( k ∈ N ) Für die 2 entsprechenden n – Werte gilt also: n = 2 ⋅ k . Immer wenn n gerade ist, wird die Amplitude Null. wenn n

Die ausgeschriebene Form dieser Fourierreihe lautet: f (x) =

A 8A 2 1 1 2 1 1 cos 7x + cos 9x... + − 2 (cos x + cos 2x + cos 3x + cos 5x + cos 6x + 2 3π 4 9 25 36 49 81 1 1 1 + sin x − sin 3x + sin 5x − sin 7x + …) 9 25 49

3.12.4 Mathcad Fourierreihe Bsp 12 FHEW.mcd

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Definition und Darstellung der Funktion: A := 1 f ( x) :=

−2A π 2A 3π

−π

⋅ x if

⋅ x if

2 π 2

≤ x≤ 0

0≤ x≤

3π 2

f (x − 2 ⋅ π ) if x >

3π 2

f (x + 2 ⋅ π ) if x
0  2 2  3 ⋅ π n   2   A if n 2

a7 = −5.514 × 10

Durch die Eingabe des Idex mit " [ " wird die n-te Koordinate eines Vektors a definiert.

0 Man könnte sich durch die Eingabe von " a= " den gesamten Amplitudenvektor a ansehen.(Vorsicht! Zuerst speichern...) Will man z.B. nur a 7 wissen, so gibt man " a 7 = " ein. −3

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a0 = 0.5

a4 = 0

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Amplitudenspektren Berechnung der Amplituden

 8 ⋅ A 1   π   ⋅ ⋅  cos  n ⋅  − 1  if n > 0  2 2  n   2 ⋅ π 3 

an :=

A if n 2

0 Man könnte sich durch die Eingabe von " a= " den gesamten Amplitudenvektor a ansehen.(Vorsicht! Zuerst speichern...) Will man z.B. nur a 7 wissen, so gibt man " a 7 = " ein.

Amplituden der geraden Anteile

a7 = −5.514 × 10

−3

0

an

Durch die Eingabe des Idex mit " [ " wird die n-te Koordinate eines Vektors a definiert.

a0 = 0.5

5

a4 = 0

10

15

20

15

20

0.1

0.2

0.3 n Ordnungszahl

n := 1 .. N −8 ⋅ A 1  π ⋅ ⋅ sin n ⋅  2 2  2 n 3⋅π

Amplituden der ungeraden Anteile

bn :=

0

bn

5

10

0.1

0.2

0.3 n Ordnungszahl

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Polynomnäherungsfunktion N

fN ( x) := a0 +

∑

n

Hier wird eine Polynomnäherungsfunktion definiert. Der hier verwendete Index ist nur ein Literalindex, d.h. er dient nur zur Namensgebung. Er wird durch die Eingabe des Punktes nach f ermöglicht.

( an ⋅ cos(n ⋅ x) + bn ⋅ sin(n ⋅ x))

=1

Polynomannäherung vom Grad N

N = 20

1

fN( x)

0.5

4

2

0

2

4

6

8

10

12

x

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Darstellung durch Amplituden- und Phasenspektrum n := 0 .. N

cn :=

( an) 2 + ( bn) 2 a0 if n

if n > 0

0

0.6

Amplitudenspektrum

0.4 cn 0.2

0

5

10

15

20

n

φ n :=

 an   if n > 0  bn   an  atan  + π if an < 0 ∧ bn < 0  bn  atan

0 if n

Phasenspektrum

0

5

φn

0

5

10

15

20

5 n

Das Näherungspolynom N

gN ( x) := c0 +

∑

n

cn ⋅ sin(n ⋅ x + φ n )

Wir erhalten also das selbe Ergebnis!

=1

1

0.5

g N( x)

10

5

0

5

10

x

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3.13 Beispiel 13 Approximation einer Sinusfunktion durch eine Polynomfunktion 2.Ordnung im Bereich von 0 bis π.

3.13.1 Funktionsbeschreibung f(t) A

−π

0

π

2π

x

Für den Argumentbereich 0≤ x ≤ π soll die Sinusfunktion durch eine Polynomfunktion 2.Grades: f ( x ) = a 2 x 2 + a1x + a 0 angenähert ( approximiert ) werden. Bei x = 0, π2 , π soll die Näherungsfunktion mit der echten Sinusfunktion übereinstimmen (Stützstellen) , d.h. es soll gelten: f (0) = 0 f ( π2 ) = A f (π) = 0 Setzen wir diese drei Funktionswerte in den Ansatz für f (x) ein, so erhalten wir ein lineares Gleichungssystem von drei Gleichungen für die Unbekannten a0, a1, a2 . a 2 ⋅ 0 + a1 ⋅ 0 + a 0 = 0 a 2 ⋅ ( π2 ) + a1 ⋅ π2 + a 0 = A 2

a 2 ⋅ π 2 + a1 ⋅ π + a 0 = 0 Aus der ersten Gleichung folgt sofort: a0 = 0 Setzen wir dieses Ergebnis in die anderen zwei Gleichungen ein, so erhalten wir nur mehr zwei Gleichungen in zwei Unbekannten:

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⋅ ( −2 )  + 

a 2 ⋅ π4 + a1 ⋅ π2 = A 2

a 2 ⋅ π 2 + a1 ⋅ π = 0 a 2 ⋅ π2 = −2A

⇒ a2 = −

2

( Wir eliminieren a1 )

4A π2

Dieses Ergebnis setzen wir in a 2 ⋅ π 2 + a1 ⋅ π = 0 ein: −

4A 2 ⋅ π + a1 ⋅ π = 0 π2

⇒ a1 =

4A π

Damit lautet die Polynomfunktion f (x) = −

4A 2 4A ⋅x + ⋅x π2 π

Wir können jetzt eine vollständige Funktionsbeschreibung angeben: 1. f(x) = f(x+k⋅2π) 2. f(–x) = f(–x) d.h. f ist eine ungerade Funktion 3. f ( x ) = −

4A 2 4A ⋅x + ⋅x π π2

für

0≤x≤π

3.13.2 Berechnung der Fourierkoeffizienten: Da f eine ungerade Funktion ist, sind alle geraden Fourierkoeffizienten gleich Null: a0 = 0 und an≡ 0. π

weil f

π

ungerade ist 1 2 b n = ∫ f (x) sin nxdx = f (x) sin nxdx = π −π π ∫0

π 2  4A 2 4A  = ∫− ⋅x + ⋅ x  ⋅ sin nxdx = π 0  π2 π  π 8A  1 2  = 2 ∫  − ⋅ x + x  ⋅ sin nx dx π 0 π 

Der Übersicht halber berechnen wir den Integralwert in einer Nebenrechnung:

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 1 2  ∫  − π ⋅ x + x  ⋅ sin nx dx =  1   1   1   2x  =  − ⋅ x 2 + x  ⋅  − cos nx  − ∫  − cos nx   − + 1 dx = π π    n   n   1 1 1   2x 2   1 = −  − ⋅ x 2 + x  cos nx +   − + 1  sin nx + sin nx dx  = ∫ n π n  π nπ  n  1 1 1   2x 2   1 = −  − ⋅ x 2 + x  cos nx +   − + 1  sin nx − 2 cos nx  = π π n n  n π  n  1 1 1  2x 2   = −  − ⋅ x 2 + x  cos nx + 2  − + 1  sin nx − 3 cos nx n π n  π nπ   Nun berechnen wir das bestimmte Integral: π

 1

∫  − π ⋅ x

2

0

 + x  ⋅ sin nx dx =  π

1  2x 2  1 1    =  −  − ⋅ x 2 + x  cos nx + 2  − + 1  sin nx − 3 cos nx  = π π n  nπ    n 0    1 1  1  2π 2   =  −  − ⋅ π2 + π  cos nπ + 2  − + 1  sin nπ − 3 cos nπ  − n  π nπ   =0  n π    =0    1 1  1  0 2   −  −  − ⋅ 0 + 0  cos n0 + 2  − + 1  sin n0 − 3 cos n0 = n  π nπ   =0  n π =1    =0 2 2  2  =  3 − 3 cos nπ  = 3 [1 − cos nπ ] n π n π  nπ Damit ergibt sich : 8A 2 16A 1 n b n = 2 ⋅ 3 [1 − cos nπ] = 3 ⋅ 3 1 − ( −1)   π nπ π n  oder anders aufgeschrieben:

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      

bn =

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n = 2, 4,8,...

0 für

und a n ≡ 0 32A 1 π3 n 3

n = 1, 3, 5, 7...

für

Ausgeschrieben: f (x) =

32A  1 1 1 1 sin x + 3 sin 3x + 3 sin 5x + 7 sin 7x + 3 sin 9x..... 3  π  3 5 7 9

  

Bemerkung: Das sehr starke Abfallen der Amplituden der Oberschwingungen ( ~1/n³) , sowie das Ausfallen aller geradzahligen Oberschwingungen zeigt die große Ähnlichkeit dieser Funktion mit der echten Sinusfunktion auch im Frequenzbereich an.

3.13.3 Mathcad Fourierreihe Bsp 13 FHEW.mcd Definition der Funktion: A := 1 f ( x) :=

−4A π

2

2

⋅x +

4A π

⋅ x if 0 ≤ x ≤ π

−f ( −x) if −π ≤ x < 0 f (x − 2 ⋅ π ) if x > π f (x + 2 ⋅ π ) if x < −π

1

f ( x)

10

5

0

5

10

1

x

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ANGEWANDTE MATHEMATIK N := 10

bn :=

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n := 1 .. N

16A 1  n ⋅ ⋅  1 − ( −1)  3 3 n π

Eingabe des Index mit " [ ". Dadurch wird die n-te Koordinate eines Vektors b definiert. Der gesamte Vektor besteht hier aus N Zeilen.

Amplituden der ungeraden Anteile

1.2

bn

0.6

Amplitudenspektrum

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n Ordungszahl

Das Näherungspolynom N

∑

gN ( x) :=

n

Hier wird eine Polynomannäherungsfunktion definiert.

bn ⋅ sin( n ⋅ x)

=1

Polynomannäherung vom Grad N

1

g N( x)

0

2

4

6

8

10

12

1

x

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3.14 Beispiel 14 Der Übergang zum δ Kamm

f(x) A

3.14.1 Funktionsbeschreibung: 1. f (x) = f (x+k⋅2π)

–π/r

π/r

π

2π

2. f (–x) = f (x) d.h. f ist eine gerade Funktion   = f x ( )  3.  

π r

A für

0≤x