TEMA 3: CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD DE FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL.

Concepto de funci´ on. on (real de variable real) a toda aplicaci´ on Definici´ on Se llama funci´ f:

→R 7→ f (x)

R x

que a cada n´ umero x le hace corresponder otro valor f (x). Definici´ on Se llama dominio de una funci´ on f (lo denotaremos por Dom f ) al conjunto de valores para los que est´ a bien definida f (x) : Domf = {x ∈ R : ∃f (x) ∈ R}. f : Domf ⊂ R → R : x 7→ f (x). Ejemplo √ Domf = {x ∈ R : x > 0 } = 0, +∞ ) = f (x) = x + 1 Domf = {x ∈ R : x = 1 } = R − { 1} f (x) = x −1 Imagen o rango o recorrido de f ≡ valores que toma f :

R

\

Imf = {f (x) : x ∈ Domf }. Sea f : Domf ⊂ R → R Se dice que es: Par si f (−x) = f (x) ∀x ∈ Domf.

Impar si f (−x) = −f (x) ∀x ∈ Domf.

Peri´ odica si ∃T > 0 : f (x + T ) = f (x) ∀x ∈ Domf.

(Representaci´ on) Gr´ afica de f al conjunto de puntos {(x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ Domf }. Funciones elementales Funciones polin´omicas: p : R → R : x 7→ p(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn donde ai ∈ R i = 0, 1, 2, . . . , n. Domp = R Caso n = 1 Recta y 6











 





  •a  0









 

La recta y = a0 + a1 x x

1

Caso n = 2 Par´abola p(x) = ax2 + bx + c Puede tener hasta dos puntos de corte con el eje OX. y

6

A, B =

-

• B

• A

−b ±

√

b2 − 4ac 2a

b b , p(− 2a ) V = − 2a

x

• V




puntos de corte con el eje OX

Vértice

Funciones racionales: p(x) con p y q funciones polin´omicas. q(x) Domf = {x ∈ R : q(x) 6= 0} = R −{ x ∈ R : q(x) = 0}. f (x) =

Funci´on exponencial: f (x) = ax , a ∈ R a > 0, x ∈ R. Domf = R. Propiedades: ar+s = ar as ,

(ar )s = ar·s ,

Si x, y ∈ R, x < y :

(a · b)r = ar · br

ax < ay cuando a > 1 (creciente).

ax > ay cuando a < 1 (decreciente).

x

2 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 −6

−4

−2

0 x

2

2

4

6

Nota: la representaci´on de funciones inversas respecto de la composici´on (intercambiar papeles de las variables x e y) tiene simetr´ıa respecto la bisectriz del primer cuadrante: y 6

y = x2

 y=x

y=

√

Simetr´ıa respecto la bisectriz

x

x Funci´on logar´ıtmica (a > 0, a 6= 1): f : R+ → R : x 7→ f (x) = loga x

loga x = y ⇔ ay = x inversa exponencial.

Domf = {x ∈ R : x > 0 } Propiedades: loga 1 = 0, loga a = 1, loga (x · y) = loga x + loga y, loga (xm ) = m · loga x, loga

a > 1 y 0 < x < y ⇒ loga x < loga y. (funci´on creciente)

x y

= loga x − loga y.

a < 1 y 0 < x < y ⇒ loga x > loga y. (funci´on decreciente)

log(x) 2

1.5

1

0.5

0

−0.5

−1

−1.5

−2 0

1

2

3

3

x

4

5

6

Funciones trigonom´etricas f (x) = sen x Domf = R, Imf = [−1, 1], 2π−peri´odica. sin(x)

1

0.5

0

−0.5

−1

−6

−4

−2

0 x

2

4

6

2

4

6

f (x) = cos x Domf = R, Imf = [−1, 1], 2π−peri´odica. cos(x)

1

0.5

0

−0.5

−1

−6

−4

−2

0 x

(sen x)2 + (cos x)2 = 1. 4

Funci´on tangente: sen x cos x π Domf = R−{ 2 + kπ : k ∈ Z}, Imf = R, π−peri´odica.

f (x) = tg x =

tan(x)

6

4

2

0

−2

−4

−6

−6

−4

−2

0 x

2

4

6

Otras funciones destacables: cosec x =

1 1 1 , sec x = , cotg x = . sen x cos x tg x

Funciones inversas arcsen x, arccos x, arctg x. L´ımites de funciones: Definici´ on Sean f : D ⊂ R → R y x0 ∈ D. Decimos que l ∈ R es el l´ımite de f cuando x tiende a x0 , y lo denotamos l´ım f (x) = l si x→x0

∀ε > 0 ∃δ : ∀x ∈ D con 0 < |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − l| ≤ ε. El l´ımite, si existe, es u ´nico.

Analogámente se pueden definir los límites: l´ım f (x) = +∞ ⇔ ∀M > 0 ∃ δ > 0 : ∀x ∈ D con 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) > M.

x→x0

l´ım f (x) = −∞ ⇔

x→x0

∀M > 0 ∃ δ > 0 : ∀x ∈ D con 0 < |x − x0 | < δ ⇒ f (x) < −M.

5

1 = +∞. x→0 |x|

Ejemplo

l´ım

An´alogamente,

l´ım f (x) = l ⇔

∀ε > 0 ∃ M > 0 : ∀x ∈ D con M < x ⇒ |f (x) − l| < ε.

l´ım f (x) = l ⇔

∀ε > 0 ∃ M > 0 : ∀x ∈ D con x < −M ⇒ |f (x) − l| < ε.

x→+∞

x→−∞

1 1 = l´ım = 0. x→−∞ x x A veces no podemos asegurar la existencia de l´ımite en torno a un punto, pero s´ı estudiar los l´ımites laterales (por la derecha e izquierda respectivamente):

Ejemplo

l´ım

x→+∞

l´ım f (x) = l ⇔

∀ε > 0 ∃δ : ∀x ∈ D con 0 < x − x0 < δ ⇒ |f (x) − l| ≤ ε.

l´ım f (x) = l ⇔

∀ε > 0 ∃δ : ∀x ∈ D con 0 < x

x→x+ 0

x→x− 0

Teorema

x < δ ⇒ |f (x)

l| ≤ ε.

Dada f D ⊂ R → R se cumple que l´ım f (x) existe y vale l ∈ R si y solo si existen los l´ımites laterales x→x0

l´ım+ f (x) y l´ım− f (x) y tienen el mismo valor. x→x0

x→x0

El resultado, le´ıdo de forma negativa, dice que si los l´ımites laterales no coinciden, no existe l´ımite de la funci´on en ese punto.

Teorema Sean f, g : D ⊂ R → R tales que existen l´ım f (x) = l, l´ım g(x) = l0 . Entonces existen los siguientes l´ımites: x→x

0

x→x

0

l´ım [f (x) ± g(x)] = l ± l0 ,

x→x0

l´ım f (x) · g(x) = l · l0 ,

x→x0

Si l0 6= 0 l´ım

x→x0

f (x) l = 0. g(x) l

Funciones continuas Definici´ on

Sea f : D ⊂ R → R y x0 ∈ D . Se dice que f es continua en x0 cuando ∃ l´ım f (x) = f (x0 ). x→x0

Esto equivale a decir que ∀ε > 0, ∃δ > 0 : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε. Igual que los l´ımites laterales, podemos hablar de continuidad por la derecha e izquierda en x 0 : ∃ l´ım f (x) = f (x0 ), ∃ l´ım f (x) = f (x0 ). x→x+ 0

x→x− 0

f es continua en x0 ⇔ lo es a derecha e izquierda en x0 . Dado A ⊂ D, se dice que f es continua en A si lo es en todo punto de A. Si A = [a, b], entendemos que continuidad en a (resp. b) es por la izquierda (resp. derecha).

6

Ejemplo

f (x) = |x| es continua en todo R.

f (x) =



xsen x1 0

f (x) =



|x| x

0

si x 6= 0, es continua en todo R. si x = 0

si x 6= 0, no es continua en x = 0. si x = 0

Las funciones elementales vistas antes (polinomiales, racionales, exponenciales, logar´ıtmicas y trigonom´etricas) son continuas en sus dominios de definici´ on. ´ Algebra de funciones continuas. Composici´ on Teorema Sean f, g : D ⊂ R → R funciones continuas en x0 ∈ D. Entonces f ± g y f · g son continuas en x0 . Si g(x0 ) 6= 0, tambi´en lo es fg . Teorema Sean f : D ⊂ R → R, g : E ⊂ R → R tales que f (D) ⊂ E. Si f es continua en x 0 ∈ S y g es continua en f (x0 ), entonces la funci´ on compuesta g ◦ f es continua en x0 . La funci´on compuesta g ◦ f : S ⊂ R → R : x 7→ (g ◦ f )(x) = g(f (x)). Ejemplo En general g ◦ f 6= f ◦ g. Sean f (x) = x2 , g(x) = x + 1. g(f (x)) = x2 + 1, f (g(x)) = (x + 1)2 . Definici´ on LLamamos funci´ on inversa o rec´ıproca respecto de la composici´ on de una funci´ on dada f : D → R y notamos f −1 , a una funci´ on f −1 : f (D) → R tal que y ∈ f (D) 7→ f −1 (y) = x con f (x) = y. Se cumple entonces que (f ◦ f −1 )(x) = x ∀x ∈ D, (f −1 ◦ f )(y) = y ∀y ∈ f (D).

Discontinuidad Definici´ on Decimos que f es discontinua en x0 si no es continua en x0 . Los posibles motivos: x0 6∈Domf. 6 ∃ l´ım f (x). x→x0

∃ l´ım f (x) 6= f (x0 ). x→x0

Clasificaci´ on de discontinuidades: a) Discontinuidad evitable: ∃ l´ım f (x) (un valor finito) pero x→x0

Dos ejemplos: f (x) =



|x| 1

si x 6= 0, si x = 0.

(

6 ∃f (x0 ), l´ım f (x) 6= f (x0 ).

x→x0

2

g(x) =

x −1 . x+1

b) Discontinuidad de salto (finito): ∃ l´ım f (x) que notaremos f (x+ ım f (x) que notaremos f (x− 0 ), y ∃ l´ 0 ) pero son x→x+ 0

x→x− 0

distintos. (Al valor f (x+ ) − f (x− on f en x0 ). 0 ) se le llama salto de la funci´  0  1 si x > 0, 0 si x = 0, f (x) =  −1 si x < 0. 7

c) Discontinuidad de salto infinito: cuando alguno de los l´ımites laterales (o ambos) valen ±∞. 1 1 Ejemplos: f (x) = , g(x) = . x |x| d) Discontinuidad esencial: 6 ∃ l´ım f (x). x→x0  sen x1 si x 6= 0, Por ejemplo, f (x) = 0 si x = 0. Maximos y mınimos Definici´ on Sea f : D ⊂ R → R. Se dice que f tiene un m´ aximo absoluto en c ∈ D (resp. m´ınimo) si f (x) ≤ f (c) para todo x ∈ S (resp. f (x) ≥ f (c)). Se dice que tiene un m´ aximo (resp. m´ınimo) relativo o local en c ∈ S cuando existe δ > 0 tal que f (x) ≤ f (c) (resp. f (x) ≥ f (c)) para todo x ∈ (c − δ, c + δ). En general hablamos de extremos para referirnos a m´aximos y m´ınimos. Teorema •[Weierstrass] Sea f : [a, b] → R continua. Entonces alcanza m´ aximo y m´ınimo absolutos. • [Bolzano] f : [a, b] → R continua y con signo distinto en los extremos f (a) y f (b), entonces ∃c ∈ (a, b) tal que f (c) = 0. • [Darboux, valores intermedios] f : [a, b] → R continua. Entonces f alcanza todos los valores comprendidos entre su m´ aximo y su m´ınimo.

Funciones mon´ otonas: Definici´ on Sea f : D ⊂ R → R. f creciente si ∀x, y ∈ D : x < y ⇒ f (x) ≤ f (y). f decreciente si ∀x, y ∈ D : x < y ⇒ f (x) ≥ f (y). f estrictamente creciente si ∀x, y ∈ D : x < y ⇒ f (x) < f (y). f estrictamente decreciente si ∀x, y ∈ D : x < y ⇒ f (x) > f (y). En general, decimos f mon´ otona si cumple alguno de los casos anteriores.

8

Concepto de derivada.

Definici´ on Sea f : D ⊂ R → R, a ∈ (b, c) ⊆ D. Decimos que f es derivable en a si existe: l´ım

x→a

f (x) − f (a) ∈ R. x−a

Dicho valor se denota como f 0 (a), se llama derivada de f en a y tambi´en se puede escribir como l´ım

h→0

f (a + h) − f (a) , h

donde x = a + h Nota Para que la derivada exista tiene que existir el l´ımite, es decir, deben existir los l´ımites laterales y coincidir. Definici´ on Una funci´ on f se dice derivable en A si lo es en todo punto a ∈ A. Ejemplo a) f (x) = x2 es derivable en a = 2 y su derivada vale f 0 (2) = 4, ya que: f 0 (2) = =

(2 + h)2 − 22 f (2 + h) − f (2) = l´ım h→0 h→0 h h l´ım

h2 + 4h = l´ım (h + 4) = 4. h→0 h→0 h l´ım

b) f (x) = |x| no es derivable en a = 0, pues 0 f+ (0) = l´ım

h→0+

h |h| − |0| = l´ım =1 h h→0+ h

pero

|h| − |0| −h = l´ım = −1. h h→0− h Luego existen las derivadas laterales, pero los l´ımites no coinciden. Entonces, la funci´ on valor absoluto no es derivable en a = 0. 0 f− (0) = l´ım

h→0−

c) f (x) = x1/3 no es derivable en a = 0, ya que: 1 h1/3 − 01/3 = l´ım 2/3 = +∞ h→0 h h→0 h

f 0 (0) = l´ım

luego no se trata de un n´ umero real. En este caso, se dice que la funci´ on tiene derivada +∞ en a = 0.

Definici´ on(Funci´ on derivada).

Sean f : D ⊂ R → R y T = {x ∈ D / f x∈T

f 0 (x) ∈ R

7→

se llama funci´ on derivada primera de f y se representa por f 0 . An´ alogamente se pueden definir las derivadas sucesivas: f 00 = (f 0 )0 ,

f 000 = (f 00 )0 ,

f iv) = (f 000 )0 ,

9

...

posee derivada en x}. La funci´ on:

Interpretaci´ on geom´ etrica de la derivada Si f es derivable en a, f 0 (a) es un n´ umero real que coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva y = f (x) en el punto (a, f (a)).

funci´on y = x2

4 3

tangente en el punto (1 , 1), y = 2x − 1

2 1 recta normal en el punto (1 , 1), y = (3 − x)/2

0

0.5 1 1.5 2 x

–1

Definici´ on Si f es derivable en a y f 0 (a) 6= 0, entonces la pendiente de la recta tangente en el punto (a, f (a)) es 0 f (a), y la pendiente de la recta normal es − f 01(a) .

y − f (a) = f 0 (a) (x − a)

y − f (a) = −

1 f 0 (a)

es la recta tangente a y = f (x) en el punto (a, f (a)).

(x − a)

es la recta normal a y = f (x) en el punto (a, f (a)).

Nota Si f 0 (a) = 0, entonces la recta tangente es horizontal. Si f 0 (a) = ±∞, entonces la recta tangente es vertical. Teorema

Si f es derivable en a, entonces f es continua en a.

Nota El rec´ıproco no es cierto, es decir, una funci´ on continua en un punto no tiene por qu´e ser derivable en ese punto. Ejemplo: f (x) = |x| en a = 0.

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´ Algebra de derivadas Teorema

Sean f , g : D ⊂ R → R dos funciones derivables en a. Entonces, se verifica:

1. f ± g es derivable en a, siendo

(f ± g)0 (a) = f 0 (a) ± g 0 (a)

2. Si λ ∈ R, entonces λ · f es derivable, siendo: (λ · f )0 (a) = λ · f 0 (a) 3. f · g es derivable en a, siendo: (f · g)0 (a) = f 0 (a) · g(a) + f (a) · g 0 (a) f es derivable en a, siendo: 4. Si g (a) 6= 0, g 0

µ ¶0 f 0 (a) · g(a) − f (a) · g 0 (a) f (a) = g (g(a))2

Derivadas de las funciones elementales Derivadas de funciones elementales Potencia (xn )0 = nxn−1

Regla de la cadena (f (x)n )0 = nf (x)n−1 f 0 (x)

Exponenciales (ex )0 = ex

¡ ¡

(ax )0 = ax · (ln a) Logar´ıtmicas 1 (ln x)0 = , x > 0 x 1 1 (loga (x))0 = ln a x

¢0

= ef (x) f 0 (x) ¢ 0 af (x) = (ln a)af (x) f 0 (x) ef (x)

1 f 0 (x) f (x) 1 1 0 (loga f (x))0 = f (x) ln a f (x) (ln f (x))0 =

Trigonom´ etricas 0 (senx) = cos x

(senf (x))0 = f 0 (x) cos f (x)

(cos x)0 = −senx

(cos f (x))0 = −f 0 (x) senf (x)

(tan x)0 = 1 + (tan x)2 =

1 (cos x)2

(cotanx)0 = −(1 + (cotanx)2 ) =

−1 (senx)2

Inversas trigonom´ etricas 1 (arcsenx)0 = √ , si |x| < 1 1 − x2 −1 (arccosx) = √ , 1 − x2 0

(arctanx)0 =

1 1 + x2

(arccotanx)0 =

−1 1 + x2

si |x| < 1

(tan f (x))0 = [1 + (tan f (x))2 ] f 0 (x) (cotanf (x))0 = − [1 + (cotanf (x))2 ] f 0 (x)

(arcsenf (x))0 = p 0

f 0 (x) 1 − f (x)2

(arc cos f (x)) = p

−f 0 (x) 1 − f (x)2

(arctan f (x))0 =

f 0 (x) 1 + f (x)2

(arccotanf (x))0 =

11

−f 0 (x) 1 + (f (x))2

Teorema(Regla de la cadena). Sean f : D ⊂ R → R, g : T ⊂ R → R tales que en a ∈ D y g es derivable en f (a) ∈ T , entonces g ◦ f es derivable en a, y adem´ as,

f (D) ⊂ T . Si f es derivable

(g ◦ f )0 (a) = g 0 (f (a)) · f 0 (a)

Ejemplo Calcular la derivada de la funci´ on f (x) = (x3 + 2x + 3)4 . 0

f (x) =

4 (x3 + 2x + 3)3 . ( 3 x 2 + 2)

C´ alculo de extremos absolutos Teorema Sea f : D ⊂ R → R, derivable en a ∈ D con f 0 (a) > 0 (respectivamente, f 0 (a) < 0 ) entonces f es estrictamente creciente localmente en a ( o estrictamente decreciente localmente en a).

Teorema (Condición necesaria de extremo).

Si f : D ⊂ R → R es derivable en a ∈ (b, c) ⊂ D y f tiene un

m´ aximo o un m´ınimo relativo en x = a, entonces f 0 (a) = 0. Nota El rec´ıproco no es cierto. Consideremos, por ejemplo, la funci´ on f (x) = x3 , donde f 0 (x) = 3x2 , f 0 (0) = 0. Pero f no tiene ni m´ aximo ni m´ınimo en x = 0, siendo su representaci´ on gr´ afica:

1 0.8 0.6 0.4 0.2 –1 –0.8 –0.6 –0.4 –0.2 –0.2

0.2 0.4 x 0.6 0.8

1

–0.4 –0.6 –0.8 –1

Nota La condici´ on necesaria de extremo relativo nos proporciona un m´etodo para calcular los m´ aximos y m´ınimos relativos de una funci´ on f . Sin embargo, no todos los puntos de Dom(f ) que verifican dicha condici´ on son extremos relativos de f .

12

Aplicaci´ on: B´ usqueda de m´ aximos y m´ınimos de una funci´ on continua. Si f : [a, b] → R es una funci´on continua, sabemos que ∃ m´ax f (x) y ∃ m´ın f (x ) x∈[a,b]

x∈[a,b]

Entonces, buscaremos dichos puntos entre los siguientes: a) extremos del intervalo: a, b, b) puntos x ∈ (a, b) en los que f no es derivable, c) puntos x en los que f 0 (x) = 0. Se calculan las im´agenes de estos puntos y en el (los) punto (puntos) con imagen mayor, f alcanza el valor m´aximo absoluto. En el (los) punto (puntos) con imagen menor, f alcanza el valor m´ınimo absoluto. Ejemplo

Estudio de los extremos de la funci´ on f : [0, 4] → R, definida por: ( 2x − x2 si x ∈ [0, 2], f (x) = x − 2 si x ∈ (2, 4],

cuya gr´ afica es la siguiente:

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

1

2 x

3

4

Puede comprobarse que f es continua en [0, 4]. Estudiamos cada uno de los puntos: a) Extremos del intervalo: 0, 4, donde

f (0) = 0 ,

f (4) = 2 .

b) Puntos x en los que la funci´ on no es derivable: f es derivable en [0, 2) ∪ (2, 4]. Veamos qu´e ocurre en el punto x = 2. (2 + h) − 2 − 0 f (2 + h) − f (2) 0 = l´ım+ = 1. f+ (2) = l´ım+ h h h→0 h→0 0 (2) f−

f (2 + h) − f (2) h 2(2 + h) − (2 + h)2 − 0 = l´ım− h h→0 −h2 − 2h = l´ım− (−h − 2) = −2. = l´ım− h h→0 h→0

=

l´ım

h→0−

0 0 Como f− (2) 6= f+ (2), entonces f no es derivable en x = 2. Luego calculamos

13

f (2) = 0 .

c) Puntos en los que x ∈ (0, 4) donde f 0 (x) = 0. ( f 0 (x) =

2 − 2x

si x ∈ (0, 2),

1

si x ∈ (2, 4).

Los puntos x ∈ (2, 4) no pueden tener derivada primera nula. Resolvemos la ecuaci´ on 2 − 2x = 0 ⇒ x = 1 ∈ (0, 2) Luego calculamos

f (1) = 1 .

Comparando las im´ agenes de los puntos calculados, obtenemos que el valor m´ aximo absoluto de f en [0, 4] es 2 y se alcanza en x = 4, y el valor m´ınimo absoluto de f en [0, 4] es 0 y se alcanza en los puntos x = 0 y x = 2.

Monoton´ıa de la funci´ on Teorema Sea f : [a, b] → R continua en [a, b] y derivable en (a, b). a) Si f 0 (x) > 0 ∀x ∈ (a, b), entonces f es estrictamente creciente en (a, b). b) Si f 0 (x) < 0 ∀x ∈ (a, b), entonces f es estrictamente decreciente en (a, b). Teorema Sea f : [a, b] → R continua en [a, b]. Supongamos que f es derivable en (a, b) y tal que f 0 (c) = 0 con c ∈ (a, b). a) Si existe δ > 0 tal que (c − δ, c + δ) ⊂ (a, b) y f 0 (x) > 0 ∀x ∈ (c − δ, c) y f 0 (x) < 0 ∀x ∈ (c, c + δ), entonces f tiene un m´ aximo relativo en c. b) Si existe δ > 0 tal que (c − δ, c + δ) ⊂ (a, b) y f 0 (x) < 0 ∀x ∈ (c − δ, c) y f 0 (x) > 0 ∀x ∈ (c, c + δ), entonces f tiene un m´ınimo relativo en c.

as un punto c ∈ (a, b). Teorema Sea f : [a, b] → R continua en [a, b]. Supongamos que f es derivable en (a, b) salvo quiz´ a) Si existe δ > 0 tal que (c − δ, c + δ) ⊂ (a, b) y f 0 (x) > 0 ∀x ∈ (c − δ, c) y f 0 (x) < 0 ∀x ∈ (c, c + δ), entonces f tiene un m´ aximo relativo en c. b) Si existe δ > 0 tal que (c − δ, c + δ) ⊂ (a, b) y f 0 (x) < 0 ∀x ∈ (c − δ, c) y f 0 (x) > 0 ∀x ∈ (c, c + δ), entonces f tiene un m´ınimo relativo en c.

Nota Este resultado se puede usar para determinar la existencia de extremos relativos en puntos en los que la funci´ on no es derivable.

Regla de L’Hˆ opital Teorema(Regla de L’Hˆ opital). Sean f y g dos funciones tales que: i) l´ım f (x) = l´ım g(x) = 0, x→a

x→a

ii) existe un entorno (a − δ, a + δ) del punto a en el que f 0 y g 0 est´ an definidas, iii) g 0 no se anula en (a − δ, a + δ)\{a}. f 0 (x) = l (finito o infinito) tambi´en x→a g 0 (x)

Entonces, si ∃ l´ım existe l´ım

x→a

f (x) = l. g(x)

14

Nota 1. El Teorema es v´ alido para x → a+ y x → a− . En esos casos, hay que aplicar el Teorema en los entornos (a, a +δ) y (a − δ, a) respectivamente. 2. El Teorema es v´ alido para x → ∞, x → +∞ y x → −∞. En estos casos, las hip´ otesis son que f 0 y g 0 existan 0 en |x| > M , x > M y x < −M , respectivamente; y que g no se anule en |x| > M , x > M y x < −M , respectivamente. 3. El Teorema es v´ alido si 4. Si

l´ım f (x) = 0 y

x→a,∞

l´ım f (x) = ∞ y

x→a,∞

l´ım g(x) = ∞.

x→a,∞

l´ım g(x) = ∞, entonces se puede intentar aplicar el Teorema de L’Hˆ opital al c´ alculo de

x→a,∞

l´ım f (x) · g(x) escribi´endolo de la forma:

x→a,∞

f (x) · g(x) =

f (x)

o

1 g(x)

f (x) · g(x) =

g(x) 1 f (x)

.

5. Si l´ım f (x) = ∞ = l´ım g(x), entonces se puede usar el Teorema para hallar l´ım (f (x)−g(x)) = ”∞−∞”. x→a,∞

x→a,∞

x→a,∞

Para ello, se escribe:

f (x) − g(x) =

1 g(x)

−

1 f (x)

1 f (x)·g(x)

.

6. Para las indeterminaciones 00 , ∞0 , 1∞ , se expresa f (x)g(x) = eg(x)·ln(f (x)) y se aplica al exponente las observaciones anteriores. 0 f 0 (x) tambi´en fuese indeterminado del tipo , se puede usar de nuevo el Teorema de x→a g 0 (x) 0 L’Hˆ opital siempre que f 0 y g 0 verifiquen las 3 hip´ otesis de dicho teorema.

7. En el caso en que l´ım

Ejemplo

Calcular los siguientes l´ımites:

x3 − 3x2 + 4 x→2 x2 − 4x + 4 x3 − 3x2 + 4 l´ım 2 x→2 x − 4x + 4

1. l´ım

2.

l´ım x(arctgx −

x→+∞

l´ım x(arctgx −

x→+∞

Nota

=

µ ¶ 3x2 − 6x 6x − 6 0 ” = l´ım “ = l´ım =3 x→2 2x − 4 x→2 0 2

π ) 2

arctgx − π ) = “∞ · 0” = l´ım 1 x→+∞ 2 x

De la no existencia de l´ım

π 2

1

=

−x2 “0” 2 = l´ım 1+x1 = l´ım = −1 x→+∞ − 2 x→+∞ 1 + x2 0 x

f 0 (x) f (x) no se implica nada sobre l´ım . g 0 (x) g(x)

15

Concavidad y convexidad Definici´ on Una funci´ on f definida en un intervalo (a, b) se dice convexa en (a, b) si ∀x, y ∈ (a, b), x < y, el segmento que une los puntos (x, f (x)) e (y, f (y)) est´ a por encima de la gr´ afica de la funci´ on entre esos dos puntos.

8 6 4 2

–3

–2

–1

0

1

x

2

3

x

2

3

f es convexa en (−1, 2)

Si el segmento est´ a por debajo, se dice que f es c´ oncava en (a, b).

4 2

–3

–2

–1

0

1

–2 –4

f es c´ oncava en (−2, 1) Nota 28. Las funciones c´ oncavas y convexas no son necesariamente derivables.

Definici´ on Una funci´ on derivable en un punto a se dice que es convexa (respectivamente c´ oncava) en a si existe un entorno de dicho punto en el que la curva se mantiene por encima (respectivamente, por debajo) de la recta tangente a ella en el punto x = a. 16

8 6 4 2 –3

–2

–1

0

1

x

2

3

x

2

3

–2 –4 –6

f es convexa en (−2, 2)

10 8 6 4 2 –3

–2

–1

0

1

–2 –4

f es c´oncava en (−2, 2) Definici´ on Decimos que f tiene un punto de inflexi´ on en (a, f (a)) si f cambia en x = a de c´ oncava a convexa o de convexa a c´ oncava.

2

2

1.8

1.8

1.6

1.6

1.4

1.4

1.2

1.2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0.2 0.4 0.6 0.8

1 x

1.2 1.4 1.6 1.8

0

2

0.2 0.4 0.6 0.8

1 x

1.2 1.4 1.6 1.8

f pasa de convexa a c´oncava en (1, 1)

f pasa de c´oncava a convexa en (1, 1)

17

2

Representaci´ on Gr´ afica de Funciones En la representaci´on gr´afica de funciones, podemos seguir los siguientes pasos: 1. Dominio: Dom(f ) = {x ∈ R/ f (x) ∈ R}. 2. Simetr´ıas: funciones pares e impares. 3. Periodicidad 4. Cortes con los ejes: a) Corte con el eje OX, es decir, puntos donde f (x) = 0, y cuyas coordenadas son (x, 0). b) Corte con el eje OY , es decir, es el punto de la forma (0, f (0)), si 0 ∈ Dom(f ). 5. Regionamiento: con las abcisas donde la funci´on se anula y aquellas donde la funci´on no es continua se forman intervalos en los que la funci´on existe y tiene signo constante (es decir, zonas donde es positiva y zonas donde es negativa). 6. As´ıntotas: a) As´ıntotas horizontales: Son las rectas horizontales de la forma y = c, donde c = l´ım f (x). x→±∞

Para conocer la posici´on de la curva respecto de la as´ıntota horizontal, tenemos que estudiar el signo de la expresi´on l´ım f (x) − c: x→±∞ ( > 0, la curva est´a sobre la as´ıntota Si l´ım f (x) − c x→±∞ < 0, la curva est´a debajo de la as´ıntota Para saber si la curva corta a la as´ıntota horizontal o no, tenemos que resolver la ecuaci´on: f (x) = c b) As´ıntotas verticales: Son las rectas verticales de la forma x = k, tales que l´ım f (x) = ±∞. x→k

Generalmente, los puntos k son puntos que no pertenecen al dominio de la funci´on f pero est´an cercanos al dominio. Por ejemplo, si Dom(f ) = (a, b), los puntos a y b son posibles valores k. c) As´ıntotas oblicuas: Son las rectas oblicuas de la forma y = mx + n, donde m = l´ım

x→±∞

f (x) x

y n = l´ım (f (x) − mx). x→±∞

Ahora bien, dependiendo del valor de m razonamos de la siguiente forma: 1) Si m = 0, se trata de una rama parab´olica en la direcci´on del eje OX (as´ıntota horizontal en y = 0), y no se calcula n. 2) Si m = ∞, se trata de una rama parab´olica en la direcci´on del eje OY , y no se calcula n. 3) Si m ∈ R\{0}, entonces Si n ∈ R, entonces y = mx + n es una as´ıntota oblicua. Si n = ∞, entonces no hay as´ıntota oblicua (se trata de una rama parab´olica en la direcci´on de la recta y = mx). Los puntos de corte de la curva con una as´ıntota oblicua de la forma y = mx + n se calculan resolviendo el sistema: ½ y = f (x) y = mx + n 7. Crecimiento y decrecimiento: Se estudian las zonas en las que la funci´on es creciente y las zonas en las que es decreciente. Para ello, estudiamos: los valores de x ∈ Dom(f ) en los que f 0 se anula (si f 0 (x) > 0 la funci´on es creciente, y si f 0 (x) < 0 la funci´on es decreciente), los puntos x ∈ Dom(f ) para los que la derivada no existe. Recordemos que si x = k ∈ / Dom(f ), entonces puede existir una as´ıntota vertical en x = k. 18

8. M´ aximos y m´ınimos: Con las herramientas estudiadas se buscan los puntos en los que se alcanzan los m´aximos y m´ınimos relativos de la funci´on. 9. Concavidad y convexidad: Como se vi´o anteriormente, se estudian las zonas en las que la funci´on es convexa (x ∈ Dom(f ) tales que f 00 (x) > 0) y las zonas en las que es c´oncava (x ∈ Dom(f ) tales que f 00 (x) < 0). Observemos que las zonas de concavidad/convexidad pueden estar separadas por: puntos x ∈ Dom(f ) donde f 00 (x) = 0, puntos x ∈ Dom(f ) donde f 00 no est´a definida, o puntos x ∈ / Dom(f ). 10. Puntos de inflexi´ on: Son los puntos en los que la funci´on pasa de c´oncava a convexa o de convexa a c´oncava. Si f es 2 veces derivable en su dominio, entonces se encuentran entre los puntos que verifican que f 00 (x) = 0, PERO no todos los que verifican dicha condici´on son puntos de inflexi´on.

19