Demographie III R OLAND R AU Universität Rostock, Wintersemester 2013/2014

04. November 2013

c Roland Rau

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Wichtige Konzepte der vergangenen Lehrveranstaltung(en): Bevölkerungen ohne Altersstruktur “Balancing Equation” Nt = N0 (1 + w)t (diskretes Wachstum) Nt = N0 ert (kontinuierliches Wachstum) P N(T) = N0 e¯rT ; mit ¯r = T1 t rt (variables r)

c Roland Rau

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Wie könnte man ansonsten die Grösse von Bevölkerungen vorhersagen?

c Roland Rau

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Wie könnte man ansonsten die Grösse von Bevölkerungen vorhersagen? Idee für kurze Zeit: Schätzung mittels Polynomen dritten Grades “It is often desired to represent by a mathematical equation the law connecting a series of observations for which theory gives no explanation. In such a case ignorance of the physical cause of the phenomena observed does not diminish the accuracy of the computed formula for purposes of prediction, provided the observations are accurate and there are enough of them, and provided the same causes continue to operate.” H.S. Pritchett (1891)

P = A + Bt + Ct2 + Dt3 Wie gut ist diese Idee?

c Roland Rau

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50

Bevölkerung USA, 1790−1880

Meine Schätzwerte: P = 17.474157+5.097265t+0.635831t2 +0.031024t3 Pritchett setzte t = 0 im Jahre 1840. Im Jahr 1841 war

20 0

10

P = 17.47969+5.0988t+0.634506t2 +0.0307275t3

Bevölkerung in Mio.

Pritchett (1891, p. 280):

30

40

Wie gut ist diese Idee?

“Accordingly, the population “P” for any time “t” would be represented by the equation:

● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● Schätzung RR ● ●● ● ● ● ● ● ● ●●● ● ● ● ● ● ● ● ● ●● ● ●● ● ● ●● ●● ●● ●●● ●● ● ● ●● ●● ●● ●● ●●● ●●● ● ● ● ●●● ●●●● ●●●● ●●●●● ●●●●● ●●●●●●

gemessene Werte der jeweiligen Volkszählung Schätzung Pritchett

1790

1810

t = 0.1; Im Jahr 1839 war t = −0.1; . . .

1830

1850

1870

Jahr

Quelle: Eigene Berechnungen mit Daten des R-Packages car sowie Pritchett (1891)

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Pritchett (1891, p. 280): “Accordingly, the population “P” for any time “t” would be represented by the equation: P = 17.47969 + 5.0988t + 0.634506t2 + 0.0307275t3 ”

200 150 100 0

50

Bevölkerung in Mio.

250

300

Bevölkerung USA, 1790−2000

1800

1820

1840

1860

1880

1900

1920

1940

1960

1980

2000

Jahr

Quelle: Eigene Berechnungen mit Daten des R-Packages car c Roland Rau

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Gibt es bessere Möglichkeiten als exponentielles Wachstum oder die Schätzung mittels eines Polynoms?

Logistisches Bevölkerungsmodell “Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement” (Verhulst, 1838) “On sait que le célèbre Malthus a établi comme principe que la population humaine tend à croître en progression géométrique de manière à se doubler après une certaine période par exemple tous les vingt cinq ans.[. . . ]” Verhulst (1838, S. 113) P IERRE F RANÇOIS V ERHULST (1804–1849) Quelle: Wikipedia c Roland Rau

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Logistisches Bevölkerungsmodell

Grundidee: Bevölkerung kann zu Beginn exponentiell wachsen. Es kann jedoch kein unbegrenztes Wachstum für unbestimmte Zeit geben, da diesem Grenzen gesetzt sind. Wenn die Bevölkerungsgrösse dieser Grenze entgegenstrebt, nimmt die Wachstumsrate stetig ab, bis zu einer Wachstumsrate r = 0, wenn die Bevölkerungsgrösse gleich der “carrying capacity” ist. “The theory of the logistic curve. If the relative change in any population, that is the ratio of ∆y/∆t to the population y be supposed to be always proportional to the relative remaining possibility of population, that is the ratio of (L − y) to the ultimate limit of population L say, it will become zero when the population reaches the assumed limit L.” K NIBBS (1926, 384–385)

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Logistisches Bevölkerungsmodell

Verschiedene Parametrisierungen für logistische Kurve (Beispiele)

Pearl and Reed (1920): y = Keyfitz (1968): Nt =

beax 1+ceax

a 1+be−ct

Feichtinger (1973): P(t) =

P 1+ea−cPt

Keyfitz and Beekman (1984); Keyfitz and Caswell (2005): N(t) = Impagliazzo (1985): P(t) = Dinkel (1989): Pt =

a 1+e−r(t−t0 )

A 1+B exp(−mt)

K 1+C2 er0 t

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Logistisches Bevölkerungsmodell

Es herrschen verschiedene Parametrisierungen des logistischen Modells vor. Unser Modell: P=

K 1 + ea+bt

(5)

“. . . the observations do not justify the elaboration beyond the simple form of equation (5)” R EED (1936, S. 136), IN B EZUG AUF V ERHULST (1838) leicht andere Schreibweise: N(t) =

K 1 + ea+bt

K: “carrying capacity”, oberes (asymptotisches) Limit der Bevölkerungsgrösse Was ist a?

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Logistisches Bevölkerungsmodell Was ist a? N(t) =

N(t) =

K 1 + ea+bt

K K = 1 + ea+bt 1 + ea ebt

falls: t = 0 (also der Startpunkt unserer Betrachtungsweise): K K K K = = = 1 + ea ebt 1 + ea eb0 1 + ea e0 1 + ea 1   K K K ⇒ 1 + ea = ; ea = − 1; ⇒ a = ln −1 N(0) N(0) N(0) N(0) =

Damit drückt a das (transformierte) Verhältnis zwischen der “carrying capacity” K und der Startbevölkerung aus. Benutzen wir eine andere Parametrisierung der logistischen Gleichung, so drückt die neue Konstante genau das Verhältnis zwischen der “carrying capacity” K und der Startbevölkerung aus (minus 1). bt ist damit der einzige Teil der Gleichung, der zeitabhängig ist und somit die Wachstumsrate der Bevölkerung kontrolliert. c Roland Rau

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Logistisches Bevölkerungsmodell Bevölkerungsentwicklung mit der Zeit t

K 1 + ea+bt

0

N(t) =

Bevölkerungsgrösse N(t)

K

Logistisches Bevölkerungsmodell

Zeit t

Zeit t c Roland Rau

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Logistisches Bevölkerungsmodell absolute Zuwächse in der Bevölkerung

K 1 + ea+bt

bKea+bt dN(t) =− dt (1 + ea+bt )2

dN/dt

N(t) =

(danke xmaxima — http: //maxima.sourceforge.net/)

Zeit t

Zeit t c Roland Rau

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Logistisches Bevölkerungsmodell relativer Zuwachs in der Bevölkerung ⇒ Wachstumsrate

dN(t) dt

N(t)

=

K 1 + ea+bt

ln N(t) bea+bt = dt 1 + ea+bt

dN/dt 1/N

N(t) =

(danke xmaxima — http: //maxima.sourceforge.net/)

Zeit t

Zeit t c Roland Rau

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Logistisches Bevölkerungsmodell

Das logistisches Bevölkerungsmodell war das Modell zur Vorhersage der Bevölkerungsgrösse in den USA – in etwa zwischen 1920 und 1940 insbesondere Raymond Pearl und Lowell Reed (z.B. Pearl and Reed, 1920, 1922; Pearl et al., 1940; Reed, 1936) Raymond Pearl: Erster Präsident der “IUSSP” (http://www.iussp.org)

R AYMOND P EARL (1879–1940) Quelle: Wikipedia

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Logistisches Bevölkerungsmodell

Wie gut war/ist nun das Modell von Pearl & Reed? Jahr

Beobachtet

1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900 1910

3.929 5.308 7.240 9.638 12.866 17.069 23.192 31.443 39.818 50.156 62.948 75.995 91.972

Logistic-1

Fehler Logistic-2 Logistic-1 (Angaben in Mio.) 3.929 -0.000 3.928 5.336 0.028 5.332 7.228 -0.012 7.220 9.757 0.119 9.742 13.109 0.243 13.085 17.506 0.437 17.468 23.192 -0.000 23.136 30.412 -1.031 30.331 39.372 -0.446 39.260 50.177 0.021 50.029 62.769 -0.179 62.583 76.869 0.874 76.647 91.972 -0.000 91.719

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Fehler Logistic-2 -0.001 0.024 -0.020 0.104 0.219 0.399 -0.056 -1.112 -0.558 -0.127 -0.365 0.652 -0.253

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K=197 Mio

60 10

20

30

40

50

Beobachtet Schätzung Pearl/Reed (1920)

0

Bevölkerung (in Mio.)

70

80

90

Logistisches Bevölkerungsmodell

1790

1810

1830

1850

1870

1890

1910

Jahr c Roland Rau

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K=197 Mio

70 40

50

60

Beobachtet Schätzung Pearl/Reed (verbessert)

0

10

20

30

Bevölkerung (in Mio.)

80

90 100

Logistisches Bevölkerungsmodell

1790

1810

1830

1850

1870

1890

1910

Jahr

“Soon after the original paper was published the notation was improved, and the curve took the definitive form, still, however, without the use of the 1920 count: 197.27 y= −0.0313x ” 1+67.32e

Pearl et al. (1940, p. 486)

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Logistisches Bevölkerungsmodell

250 200 0

50

100

150

Bevölkerungsgrösse

300

350

400

450

Prognostische Fähigkeiten?

1800

1850

1900

1950

2000

2050

2100

2150

2200

Jahr

Quelle: Eigene Berechnungen auf Basis von Daten des R-Packages car. Die vertikalen Referenzlinien zeigen den Zeithorizont der Datenschätzung an. Z.B. bedeutet die rote vertikale Linie im Jahr 1900, dass als Datengrundlage die Bevölkerungsgrössen von 1790 bis 1900 genommen wurden.

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Zusammenfassung Zentrales Thema:

?

Nt1 ⇒ Nt2

Bisher: Nt = N0 (1 + w)t Nt = N0 ert Nt = α + β1 t + β2 t2 + β3 t3 Nt =

K 1 + eα+βt

also, keine weitere Differenzierung als die Bevölkerungsgrösse ⇒ Differenzierung der Bevölkerung nach dem Alter

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Die Sterbetafel Die Hauptmethode zur Beschreibung der Mortalität in einer Bevölkerung Mittels der Sterbetafel erhält man altersspezifische Werte für die Sterberate m(x) Sterbewahrscheinlichkeit q(x) Anzahl der Überlebenden l(x) durchschnittlich durchlebten Jahre L(x) durchschnittlich noch zu durchlebenden Jahre T(x) die (Rest-)Lebenserwartung e(x)

Wir behandeln hier nur eine Sterbetafel für alle einzelnen Altersstufen, sprich keine abgekürzte Sterbetafel (z.B. 85+) oder Altersklassen (z.B. 10–14, 15–19, . . . ) ⇒ eigene Problematik (“complete life table” vs. “abridged life table”) Typischerweise handelt es sich um Periodensterbetafeln, sprich um die Werte einer synthetischen Kohorte (also keine Kohorten-/Generationensterbetafeln)

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8 7 6 5 Alter

4 3 2 1 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Periode c Roland Rau

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Die Sterbetafel

2 1 0

Alter

3

4

Ausgangspunkt: Basiseinheiten: “Lexis-Rechtecke” (Lexis-Diagramm bekannt?) Durchschnittliche, alterspezifische Bevölkerung in einem Jahr t: N(x, t), üblicherweise der Durchschnitt der Bevölkerungzahlen vom 31.12. von zwei aufeinanderfolgenden Jahren. Anzahl der altersspezifischen Sterbefälle in einem Jahr t: D(x, t) Da wir uns nur auf ein einziges Jahr t beziehen, lassen wir ab jetzt t weg. D(x) Sterberate M(x) = N(x)

0

1

2

3

4

Jahr/Periode

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Die Sterbetafel Sterberate (death rate): M(x) =

D(x) N(x)

Beispiel: Deutschland, 2006, Frauen und Männer zusammen x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

N(x) 679878 698258 709477 717365 732845 758153 775510 784731 805481 810803

D(x) 2579 206 130 105 87 77 68 68 73 69

M(x) 0.003794 0.000295 0.000183 0.000146 0.000119 0.000102 0.000088 0.000087 0.000091 0.000085

Quelle: Selbst gerundete Werte von Daten der Human Mortality Database

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Die Sterbetafel

0.001

0.01

m(x)

0.6 0.4

1e−04

0.2 0.0

m(x)

0.8

0.1

1.0

1

Die Sterberate m(x) im Jahr 2006 in Deutschland

0 10

30

50

70

90

110

0 10

Alter x

30

50

70

90

110

Alter x

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Die Sterbetafel Sterbewahrscheinlichkeit (probability of dying): q(x) q(x) =

m(x) 1 + (1 − (a(x))m(x)

Erster Stolperstein: a(x) a(x) Die durchschnittliche Anzahl an Jahren, die eine Person, die im Alter x gestorben ist, im Alter x gelebt hat. Annahme für die meisten Altersstufen: a(x) = 0.5 Annahme für Alterstufe 0: a(x) = 0.06 x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

N(x) 679878 698258 709477 717365 732845 758153 775510 784731 805481 810803

D(x) 2579 206 130 105 87 77 68 68 73 69

M(x) 0.003794 0.000295 0.000183 0.000146 0.000119 0.000102 0.000088 0.000087 0.000091 0.000085

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a(x) 0.06 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50

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q(x) 0.003780 0.000295 0.000183 0.000146 0.000119 0.000102 0.000088 0.000087 0.000091 0.000085 26 / 34

Die Sterbetafel

1

Die Sterberate m(x) und die Sterbewahrscheinlichkeit q(x) im Jahr 2006 in Deutschland

0.01 0.001 1e−04

m(x) bzw. q(x)

0.1

m(x) q(x)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100 110

Alter x

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Die Sterbetafel

Die Überlebenswahrscheinlichkeit p(x) Da wir nur zwei Zustände kennen — lebend / tot — muss gelten: p(x) = 1 − q(x) x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

N(x) 679878 698258 709477 717365 732845 758153 775510 784731 805481 810803

D(x) 2579 206 130 105 87 77 68 68 73 69

M(x) 0.003794 0.000295 0.000183 0.000146 0.000119 0.000102 0.000088 0.000087 0.000091 0.000085

c Roland Rau

a(x) 0.06 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50

q(x) 0.003780 0.000295 0.000183 0.000146 0.000119 0.000102 0.000088 0.000087 0.000091 0.000085

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p(x) 0.996220 0.999705 0.999817 0.999854 0.999881 0.999898 0.999912 0.999913 0.999909 0.999915

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Bildquellen

Raymond Pearl: Wikipedia, 04. November 2013, die Abbildung ist in der sogenannten “Public Domain” (http://upload.wikimedia.org/wikipedia/en/e/ed/ Raymond_Pearl_o.jpg) Pierre François Verhulst: Wikipedia, 04. November 2013, die Abbildung ist in der sogenannten “Public Domain” (http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/ 04/Pierre_Francois_Verhulst.jpg)

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Zitierte und weiterführende Literatur Themen: Bevölkerungen ohne Altersstruktur, exponentielles/geometrisches Wachstum, logistisches Bevölkerungsmodell Kapitel 1.2, Preston et al. (2001) Kapitel II, Dinkel (1989) Kapitel I, Keyfitz and Beekman (1984) Kapitel I, Keyfitz and Caswell (2005) Fox (2002) Kapitel 13, Shryock and Siegel (1973) Pearl and Reed (1920) Pearl and Reed (1922) Pearl et al. (1940) Verhulst (1838) c Roland Rau

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Literatur I Dinkel, R. H. (1989). Demographie. Band 1: Bevölkerungsdynamik. München, D: Vahlen. Feichtinger, G. (1973). Bevölkerungsstatistik. Berlin: De Gruyter. Fox, J. (2002, January). Nonlinear Regression and Nonlinear Least Squares. Appendix to “An R and S-PLUS Companion to Applied Regression”. Available online at: http://cran.r-project.org/doc/contrib/Fox-Companion/ appendix-nonlinear-regression.pdf. Impagliazzo, J. (1985). Deterministic Aspects of Mathematical Demography. Berlin: Springer. Keyfitz, N. (1968). Introduction to the Mathematics of Population. Reading, MA: Addison-Wesley. Keyfitz, N. and J. A. Beekman (1984). Demography Through Problems. Problem Books in Mathematics. Springer-Verlag. Keyfitz, N. and H. Caswell (2005). Applied Mathematical Demography. Third Edition. New York, NY: Springer. Knibbs, S. G. H. (1926). The laws of growth of a population. Journal of the American Statistical Association 21(156), 381–398. Pearl, R. and L. J. Reed (1920). On the Rate of Growth of the Population of the United States since 1790 and its Mathematical Representation. Proceedings of the National Academy of Sciences 6(6), 274–288. c Roland Rau

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Literatur II

Pearl, R. and L. J. Reed (1922). A Further Note on the Mathematical Theory of Population Growth. Proceedings of the National Academy of Sciences 8, 365–368. Pearl, R., L. J. Reed, and J. F. Kish (1940). The Logistic Curve and the Census Count of 1940. Science 92, 486–488. Preston, S. H., P. Heuveline, and M. Guillot (2001). Demography. Measuring and Modeling Population Processes. Oxford, UK: Blackwell Publishers. Pritchett, H. (1891). A formula for predicting the population of the United States. Publications of the American Statistical Association 2(14), 278–286. Reed, L. J. (1936). Population Growth and Forecasts. The Annals of the American Academy of Political and Social Science 188, 159–166. Shryock, H. S. and J. S. Siegel (1973). The Methods and Materials of Demography. Second Printing (rev.). U.S. Department of Commerce. Bureau of the Census. Verhulst, P. F. (1838). Notice sur la loi que la population poursuit dans son accroissement. Correspondance mathématique et physique 10, 113–121.

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Lizenz

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Kontakt Universität Rostock Institut für Soziologie und Demographie Lehrstuhl für Demographie Ulmenstr. 69 18057 Rostock Germany Tel.: +49-381-498 4044 Fax.: +49-381-498 4395 Email: [email protected] Sprechstunde im WS 2013/2014: Mittwochs, 09:00–10:00 (und nach Vereinbarung)

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