Imprimir Página - División indefinida de polinomios, ¿qué alg...

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=printpag...

Foros de matemática Matemática => Cálculo 1 variable => Mensaje iniciado por: Unlimited en 19/01/2008, 07:16:54 pm

Título: División indefinida de polinomios, ¿qué algoritmo la obtiene?. Publicado por: Unlimited en 19/01/2008, 07:16:54 pm Hola a todos. En un libro de Cálculo se resuelven algunos ejercicios sobre desarrollos en serie de funciones con el siguiente procedimiento. Hallar el desarrollo en serie de la función

en x=0.

La solución dada es : Haciendo la división indefinida se tiene que

En otros ejercicios similares se resuelven análogamente y siempre se indica que se hace dicha división pero no se explica nunca cómo se realiza. ¿Cómo se determina dicha expresión?. En mi época escolar nos enseñaron que para poder realizar una división de polinomios, el grado del numerador debía de ser mayor o igual que el grado del denominador. Después de haber dado muchas vueltas, veo que hay situaciones que si comprendo por ser algo más evidentes, caso de las expresiones que tienen que ver con la suma de los términos de una progresión geométrica de razón de módulo menor que 1 como por ejemplo :

Pero en el caso del ejercicio que he citado arriba y otros similares no consigo verlo. Espero que alguien sepa cuál es el procedimiento que siguen. Muchas gracias.

Título: Re: División indefinida de polinomios, ¿qué algoritmo la obtiene?. Publicado por: León en 19/01/2008, 08:16:37 pm No sé si hay una técnica estándar que se llama división indefinida, pero adaptando las geométricas en general se pueden encontrar -con mayor o menor engorro- las series de potencias de las funciones racionales.

1 de 5

18/02/14 08:49

Imprimir Página - División indefinida de polinomios, ¿qué alg...

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=printpag...

En tu caso, por ejemplo -hay varias maneras parecidas de atacarlo-

Que era lo que querías ver. Notas: En (2) aparece la serie geométrica. En (3) se hizo el producto de series para elevar al cuadrado la serie geométrica. (Donde las series convergen este producto está bien definido.)

Título: Re: División indefinida de polinomios, ¿qué algoritmo la obtiene?. Publicado por: escarabajo en 19/01/2008, 08:47:06 pm Hola, Sea

, entonces se tiene que:

Si no me equivoco ésta última es válida integrarla término a término por convergencia uniforme. Entonces,

2 de 5

18/02/14 08:49

Imprimir Página - División indefinida de polinomios, ¿qué alg...

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=printpag...

Si derivamos la última expresión,utilizando convergencia uniforme mediante:

Ahora, notar que si

Saludos.

Título: Re: División indefinida de polinomios, ¿qué algoritmo la obtiene?. Publicado por: Unlimited en 19/01/2008, 09:31:40 pm Gracias León y Quimey sois unos auténticos maestros, he comprendido bastante ambas respuestas, quizás no las podría justificar al 100% porque por ejemplo dudo en el tema de la convergencia uniforme, (gracias a la cual obtenemos buenas propiedades) pero a veces no sé si puedo o no puedo derivar o integrar para que todo vaya bien. Saludos de alguien que intenta aprender Matemáticas.

Título: Re: División indefinida de polinomios, ¿qué algoritmo la obtiene?. Publicado por: escarabajo en 19/01/2008, 09:47:27 pm Cita de: Unlimited en 19/01/2008, 09:31:40 pm quizás no las podría justificar al 100% porque por ejemplo dudo en el tema de la convergencia uniforme, (gracias a la cual obtenemos buenas propiedades) pero a veces no sé si puedo o no puedo derivar o integrar para que todo vaya bien.

Claro, hay que asegurar que se dé la convergencia uniforme para poder realizar esas operaciones. Pero, en el caso de las series de potencias, éstas son uniformemente convergentes en cualquier intervalo Y la suma es uniformemente convergente, así que se deriva sin problemas. Saludos.

Título: Re: División indefinida de polinomios, ¿qué algoritmo la obtiene?. Publicado por: Fernando Revilla en 20/01/2008, 12:12:05 pm

3 de 5

18/02/14 08:49

Imprimir Página - División indefinida de polinomios, ¿qué alg...

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=printpag...

Cita de: Unlimited en 19/01/2008, 07:16:54 pm Hola a todos. En un libro de Cálculo se resuelven algunos ejercicios sobre desarrollos en serie de funciones con el siguiente procedimiento. Hallar el desarrollo en serie de la función

en x=0.

La solución dada es : Haciendo la división indefinida se tiene que

En otros ejercicios similares se resuelven análogamente y siempre se indica que se hace dicha división pero no se explica nunca cómo se realiza. ¿Cómo se determina dicha expresión?. En mi época escolar nos enseñaron que para poder realizar una división de polinomios, el grado del numerador debía de ser mayor o igual que el grado del denominador.

Existe un teorema que dice lo siguiente: Sea un cuerpo, y sean dos elementos de con el término constante de q distinto de cero. Para cada entero existen dos polinomios únicos tales que . A se le llama cociente y a resto de la división de por según las potencias crecientes hasta el orden El método a seguir para dividir según las potencias crecientes es "exactamente el mismo" que en la división euclídea de polinomios solo que ahora escribes los polinomios en orden creciente de potencias. Por ejemplo

.

Si hallas tres términos del cociente (es decir para

Si hallas los cuatro primeros (es decir para

), obtendrás:

), obtendrás:

Es decir, puedes hallar un número ilimitado de términos del cociente, para ello basta que selecciones el . La división según potencias crecientes proporciona un método práctico para descomponer fracciones racionales en suma de fracciones simples. Más aún, proporciona un método para desarrollar en serie de Taylor y/o de Laurent cocientes de funciones cuyos desarrollos de Taylor y/o Laurent, son conocidos. Por ejemplo, para hallar los tres primeros términos del desarrollo del desarrollo de la función tangente, puedes proceder de la siguiente manera:

4 de 5

18/02/14 08:49

Imprimir Página - División indefinida de polinomios, ¿qué alg...

http://rinconmatematico.com/foros/index.php?action=printpag...

Si usas el algoritmo de la división según las potencias crecientes vas obteniendo:

Haz la división, sale rápidamente. Saludos.

Título: Re: División indefinida de polinomios, ¿qué algoritmo la obtiene?. Publicado por: León en 20/01/2008, 02:26:04 pm Uh, que bueno. No conocía esa manera de dividir. (Y, como diría un amigo de los foros, "¡cómo no pensé en eso antes!")

Título: Re: División indefinida de polinomios, ¿qué algoritmo la obtiene?. Publicado por: Unlimited en 21/01/2008, 08:36:58 pm Gracias Phidias, tu respuesta da sentido a ese concepto de "división indefinida".

Powered by SMF 1.1.1 | SMF © 2006, Simple Machines LLC

5 de 5

18/02/14 08:49