2 Polynome und rationale Funktionen Gleichungen spielen auch in der Ingenieurmathematik eine große Rolle. Sie beschreiben zum Beispiel • Bedingungen, unter denen Vorgänge ablaufen, • Gleichgewichtszustände, • Punktmengen. Gleichungen für eine unbekannte Variable kann man auf die Form f (x) = 0 mit einer Funktion f : D( f ) ⊆ R → R bringen. Gesucht sind dann alle x0 ∈ D( f ) mit f (x0 ) = 0. Solche Zahlen x0 heißen Nullstellen von f . Gleichungen zu lösen ist also gleichbedeutend damit, Nullstellen von Funktionen zu berechnen. Eine Lösung einer Gleichung heißt auch Wurzel der Gleichung. Im folgenden beschäftigen wir uns zunächst mit dem einfachsten Typ von Funktionen, den Polynomen und versuchen, zu diesen Nullstellen zu berechnen.

2.1 Polynome Ein Polynom f ist eine Funktion f : R → R mit f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + . . . + an xn

für x ∈ R ,

wobei n ∈ N, und a0 , . . . , an ∈ R. Die Zahlen ai heißen Koeffizienten des Polynoms, falls an 6= 0 oder n = 0, heißt n der Grad des Polynoms, n = deg( f ). Beispiel 2.1.1. f : R → R mit f (x) = 2 ist ein Polynom nullten Grades, g : R → R mit g(x) = 3x2 + 5 ist ein Polynom zweiten Grades. ♦

23

2 Polynome und rationale Funktionen

2.1.1 Koeffizientenvergleich Polynome sind in ihrer Darstellung eindeutig: Satz 2.1.2 (Eindeutigkeit der Darstellung). Seien f , g R → R Polynome mit f (x) = a0 + a1 x + . . . + an xn ,

g(x) = b0 + b1 x + . . . + bm xm .

Gilt f (x) = g(x) für alle x aus einem offenem Intervall ]a, b[, a < b, dann gilt m = n, ai = bi für alle i = 0, . . . , n, und damit auch f (x) = g(x) für alle x ∈ R. Die im Satz beschriebene Feststellung der Gleichheit der Koeffizienten beider Polynome nennt man Koeffizientenvergleich.

2.1.2 Hornerschema Satz 2.1.3. Seien ein Polynom f (x) = a0 + a1 x + . . . .. + an xn und eine Zahl x0 ∈ R gegeben. Dann gilt f (x) = (x − x0 )(c1 + c2 x + . . . + cn xn−1 )+c0 für x ∈ R , wobei die Zahlen c0 , . . . , cn sich in folgender Weise bestimmen: cn := an ,

ck := ck+1 x0 + ak

für k = n − 1, n − 2, . . . , 0

(2.1.1)

Beweis. Durch Ausmultiplizieren findet man (x − x0 )(c1 + c2 x + . . . + cn xn−1 ) + c0 = c1 x + c2 x2 + . . . + cn xn − c1 x0 − c2 xx0 − . . . − cn xn−1 x0 + c0 = (c0 − c1 x0 ) + (c1 − c2 x0 )x + · · · + (cn−1 − cn x0 )xn−1 + cn xn = a0 + a1 x + · · · + an−1 xn−1 + an xn . Bemerkung 2.1.4. Es gilt f (x0 ) = c0 mit c0 aus (2.1.1). Man kann also den Funktionswert c0 = f (x0 ) eines Polynoms f an der Stelle x0 durch (2.1.1) berechnen. Dazu sind nur n Multiplikationen und n Additionen nötig. Insbesondere muß so keine einzige höhere Potenz berechnet werden. Damit ist dieses Verfahren numerisch sehr günstig. ♦ Für die praktische Berechnung der Zahlen c0 , . . . , cn ist ein spezielles Rechenschema, das Hornerschema, üblich: an + =

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cn

an−1 cn x0 cn−1

an−2 cn−1 x0 cn−2

... a1 . . . c2 x0 ... c1

a0 c1 x0 c0

2.1 Polynome Beispiel 2.1.5. Mit f (x) = x2 − 6x + 9, x0 = 3 erhalten wir 1 + = 1

−6 1·3 −3

9 −3 · 3 0

und damit f (x) = (x − 3)(x − 3) + 0 = (x − 3)2 , also f (3) = c0 = 0.

2.1.3 Faktorisierung von Polynomen Aus Satz 2.1.3 folgt: Ist x0 eine Nullstelle von f , so gilt immer c0 = f (x0 ) = 0 und f besitzt die Darstellung f (x) = (x − x0 ) · g(x) , wobei g ein Polynom (n − 1)-ten Grades g(x) = c1 + c2 x + . . . . . . .. + cn xn−1 ist. Iterierte Anwendung dieser Aussage führt zu folgendem Satz. Satz 2.1.6 (Faktorisierungssatz). Jedes Polynom n-ten Grades, n ≥ 1, besitzt eine Darstellung f (x) = (x − x1 )`1 · (x − x2 )`2 · . . . · (x − xs )`s · g(x) , wobei x1 , . . . , xs genau die Nullstellen von f sind, `1 + . . . . . . + `s ≤ n gilt und g ein nullstellenfreies Polynom vom Grad n − (`1 + `2 + . . . + `s ) ist. Diese Darstellung ist bis auf Vertauschung der Faktoren eindeutig. Bezeichnung: Wir nennen die Faktoren (x − xi ), i = 1, . . . , s, die Linearfaktoren des Polynoms. Ferner nennen wir ` j die Vielfachheit der Nullstelle x j von f . Folgerung 2.1.7. Jedes Polynom n-ten Grades, n ≥ 1, hat höchstens n Nullstellen. In Erweiterung des Faktorierungssatzes 2.1.6 kann bewiesen werden: Satz 2.1.8. Ist g ein nichtkonstantes nullstellenfreies Polynom, so gibt es eine Darstellung von g als Produkt von lauter Polynomen zweiten Grades (i.a. nicht eindeutig). Folgerung 2.1.9. Jedes Polynom ungeraden Grades besitzt mindestens eine Nullstelle.

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2 Polynome und rationale Funktionen

2.2 Nullstellenberechnung 2.2.1 Polynome nullten Grades Ein Polynom f nullten Grades ist eine konstante Funktion, f (x) = a0

für x ∈ R .

Sie hat genau dann eine Nullstelle, wenn a0 = 0. In diesem Fall ist jedes x ∈ R Nullstelle von f .

2.2.2 Polynome ersten Grades Ein Polynom f ersten Grades hat die Form für x ∈ R

f (x) = a0 + a1 x mit a1 6= 0. Aus der Gleichung

0 = f (x0 ) = a0 + a1 x0 erhalten wir a1 x0 = −a0 ,

x0 = −

a0 a1

für die einzige Nullstelle von f .

2.2.3 Polynome zweiten Grades Ein Polynom f zweiten Grades hat die Form f (x) = a0 + a1 x + a2 x2

für x ∈ R

mit a2 6= 0. Mit Division durch a2 bringt man die Gleichung f (x) = 0 in folgende Normalform: x2 + px + q = 0 (2.2.1) mit p := Genau dann, wenn

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p2 4

a1 , a2

q :=

a0 . a2

− q ≥ 0, hat (2.2.1) die Lösungen x1 und x2 mit r p p2 x1,2 = − ± −q, 2 4

2.2 Nullstellenberechnung wobei x1 = x2 , wenn

p2 4

= q (in diesem Fall ist x1 = − 2p zweifache Nullstelle).

Daß x1 und x2 tatsächlich Lösungen sind, sieht man durch ! ! r r p p2 p p2 (x − x1 )(x − x2 ) = [x + ] − −q [x + ] + −q 2 4 2 4 p p2 p2 p2 = (x + )2 − ( − q) = x2 + px + − + q 2 4 4 4 2 = x + px + q . Ist

p2 4

− q < 0, so ist g(x) = x2 + px + q nullstellenfrei.

2.2.4 Polynome höheren Grades Für Polynome dritten und vierten Grades gibt es Lösungsformeln, aber wesentlich komplizierter als für Polynome zweiten Grades. Für Polynome höheren als vierten Grades gibt es im allgemeinen keine Formel für die Nullstellen nur unter Verwendung von Radikalen, d.h., Ausdrücken welche neben den Grundrechenoperation auch Wurzeln enthalten können. Für Polynome von höherem als zweiten Grades gibt es daher im wesentlichen nur zwei Methoden: 1. Methode: Raten einer Nullstelle und Abspalten eines Linearfaktors (z.B. mit Hornerschema). Das entstehende Restpolynom hat dann einen um 1 verringerten Grad. Beispiel 2.2.1. Das Polynom f (x) = 4 − 4x − 3x2 + 2x3 + x4 hat augenscheinlich die Nullstelle x1 = 1. Mit dem Hornerschema erhält man f (x) = (x − 1)(4 − 3x2 + x3 ). Der Faktor h(x) = 4 − 3x2 + x3 hat ebenfalls die Nullstelle x2 = 1. Mit dem Hornerschema ergibt sich h(x) = (x − 1)(x2 + 4x + 4) und über die (p, q)-Formel erhält man weiter x2 + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2). Damit ergeben sich für f zwei zweifache Nullstellen x1 = 1, x2 = −2 und ♦ die Zerlegung f (x) = (x − 1)2 (x + 2)2 . 2. Methode: Verwendung numerischer Näherungsverfahren zur näherungsweise Berechnung der Nullstellen. 2.2.4.1 Raten von Nullstellen

Wir betrachten ein Polynom f (x) = an xn + an−1 xn−1 · · · + a1 x + a0 ,

an = 1

27

2 Polynome und rationale Funktionen und nehmen an, daß es n Nullstellen besitzt, d.h. n

f (x) = ∏(x − xi ) i=1

mit xi als den (eventuell mehrfach aufgeführten) Nullstellen von f . Durch Ausmultiplizieren des Produktes erhält man Satz 2.2.2 (Vietascher Wurzelsatz). Unter obigen Voraussetzungen sind x1 , . . . , xn genau dann Nullstellen von f , wenn n

∑ xi = −an−1 ,

i=1

··· ,

n

∑

n

xi x j = an−2 ,

i, j=1 ,i< j

∑

xi x j xk = −an−3 ,

i, j,k=1 ,i< j 0 gelte. Dann muß nach dem Zwischenwertsatz (siehe später!) zwischen a und b eine Nullstelle von f liegen! Sei c das arithmetische Mittel von a und b, d.h., c = a+b 2 . Wir haben nun drei Fälle zu unterscheiden: • Gilt f (c) = 0, so ist eine Lösung der Gleichung gefunden. • Gilt f (c) > 0, so liegt nach dem gleichen Argument eine Nullstelle von f zwischen a und c. Man betrachtet nun [a, c] als Ausgangsintervall und untersucht als Nächstes das arithmetische Mittel von a und c. • Gilt f (c) < 0, so liegt eine Nullstelle zwischen c und b. Hier betrachtet man [c, b] als neues Ausgangsintervall und untersucht als Nächstes das arithmetische Mittel von c und b. Führt man dies iteriert fort, so halbiert sich bei jedem Schritt die Breite des Intervalls, in dem eine Nullstelle liegen muß. Durch diese Art der Intervallschachtelung kann daher eine Lösung der Gleichung beliebig angenähert werden. Beispiel 2.2.6. Wir betrachten das Polynom f (x) = x3 + x + 1. Als Polynom 3. Grades besitzt f mindestens eine Nullstelle. Man stellt durch Einsetzen fest: f (−1) = −1

und

f (1) = 3.

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2 Polynome und rationale Funktionen Also liegt eine Nullstelle von f im Intervall ] − 1, 1[. Wir starten das Bisektionsverfahren und bezeichnen den linken, rechten und mitteleren Punkt jeweils mit a, b beziehungsweise c: a b c f (c) −1 1 0 1 −1 0 −0.5 0.375 −1 −0.5 −0.75 −0.1719 −0.75 −0.5 −0.625 0.1309 −0.75 −0.625 −0.6875 −0.0125 −0.6875 −0.625 −0.65625 0.0611 . Nach weiteren Schritten ermittelt man (auf 4 gesicherte Dezimalen) als Nullstelle x0 = −0.6823 .

♦

Bemerkung 2.2.7. 1. Das Verfahren funktioniert nur schlecht, wenn die Nullstelle eine mehrfache Nullstelle ist. 2. Das Verfahren funktioniert nicht nur bei Polynomen. Benötigt wird die Stetigkeit von f und zwei Stellen a und b mit f (a) f (b) < 0. ♦

2.3 Rationale Funktionen Addiert, subtrahiert oder multipliziert man Polynome, so entstehen wieder Polynome. Anders ist dies bei der Division. Eine Funktion f : D( f ) ⊆ R → R mit f (x) =

an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 p(x) = q(x) bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0

für x ∈ D( f ) := {t ∈ R : q(t) 6= 0}

nennen wir rationale Funktion. Polynome sind spezielle rationale Funktionen, die mit q(x) = 1 entstehen. Fragen: • Vereinfachung des Bruches (Zerlegung in ganzen Anteil und echt gebrochenen Anteil, Kürzen) • Nullstellen, Polstellen • Zerlegung in Elementarbrüche (Partialbruchzerlegung)

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2.3 Rationale Funktionen

2.3.1 Polynomdivision Eine Vereinfachung von rationalen Funktionen ergibt sich über die Polynomdivision, bei der man entsprechend der schriftlichen Division reeller Zahlen vorgeht. Dabei teilt man den Zähler p einer rationalen Funktion durch den Nenner q, sofern ersterer keinen niederen Grad besitzt: deg(p) ≥ deg(q) ≥ 1. Dadurch entsteht eine Darstellung der rationalen Funktion als Summe eines ganzen Anteils h (ein Polynom vom Grad < deg(p)) und eines (gebrochen) rationalen Anteils qr (bei dem deg(r) < deg(q) gilt): f (x) =

Beispiel 2.3.1. Für f (x) =

3x3 +2x2 −x+1 x−3

p(x) r(x) = h(x) + . q(x) q(x)

rechnet man

97 2x2 − x + 1) : (x − 3) = 3x2 +11x+32+ x−3 . 2 9x ) 11x2 − x 2 − (11x − 33x) 32x + 1 − (32x − 96) 97

(3x3 + − (3x3 −

97 Daher ist f (x) = 3x2 + 11x + 32 + x−3 .

♦

2.3.2 Nullstellen rationaler Funktionen Eine Nullstelle einer rationalen Funktion f = qp ist wieder eine Zahl x0 ∈ D( f ) mit f (x0 ) = 0. Dafür ist p(x0 ) = 0 notwendig aber nicht hinreichend. Ist nämlich gleichzeitig q(x0 ) = 0, so ist x0 6∈ D( f ). Zu fragen wäre nun, ob man dann nicht in p und q den Faktor (x − x0 ) abspalten und damit kürzen könnte. Damit wird aber der Definitionsbereich von f und damit eigentlich auch f verändert. Damit dieser Effekt nicht auftritt, nehmen wir nun an, daß wir f = qp mit teilerfremden Polynomen p und q haben. Dabei nennen wir p und q teilerfremd, wenn kein Polynom d mit deg(d) > 0 existiert, so daß p(x) = d(x) · p1 (x) ,

q(x) = d(x) · q1 (x)

mit Polynomen p1 und q1 gilt. Unter diesen Voraussetzungen haben wir nun:

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2 Polynome und rationale Funktionen • Ist x0 eine Nullstelle von p, so ist x0 auch eine Nullstelle von f . Ist x0 eine `-fache Nullstelle von p, so nennen wir x0 auch eine `-fache Nullstelle von f . • Ist x0 eine `-fache Nullstelle von q, so nennen wir x0 eine `-fache Polstelle von f .

2.3.3 Euklidischer Algorithmus Eine Idee zum Kürzen von p und q wäre, die Nullstellen von p und q zu bestimmen und p und q entsprechend Satz 2.1.6 zu faktorisieren: p(x) = (x − x1 )`1 · (x − x2 )`2 · . . . · (x − xs )`s · g(x) , q(x) = (x − y1 )m1 · (x − y2 )m2 · . . . · (x − yr )mr · h(x) . Faktoren zu gleichen Nullstellen können entsprechend der Vielfachheit gekürzt werden. Problem: 1. Auch g und h könnten noch gemeinsame Teiler besitzen. 2. Die Bestimmung der Nullstellen ist meistens kompliziert. Erfreulicherweise kann man jedoch rationale Funktion mit Hilfe der Polynomdivision in einen gekürzten Zustand überführen. Seien dazu p und q Polynome. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei deg(p) ≥ deg(q) > 0. Man bildet nun eine Kette von Divisionen mit Rest (Euklidischer Algorithmus für Polynome): Setze: Bestimme rekusiv qi für i ≥ 1 aus: Abbruchkriterium:

q−1 := p , q0 := q ; qi−2 (x) = qi−1 (x) · ti (x) + qi (x) ; qi = 0 .

Da deg(q) = deg(q0 ) > deg(q1 ) > · · · > deg(qs ), muß ein s = i < n existieren mit qs = 0, so daß das Verfahren stets abbricht. Satz 2.3.2. Seien p und q Polynome mit deg(p) ≥ deg(q) > 0. Seien die Polynome qi , i = −1, . . . , s, nach obigen Verfahren bestimmt mit qs = 0. Dann ist qs−1 gradmäßig größter gemeinsamer Teiler von p und q. Sei zum Beispiel s = 3. Wir haben dann q(x) = q0 (x) = q1 (x)t1 (x) + q2 (x) = q2 (x)t2 (x)t1 (x) + q2 (x) = q2 (x) [t2 (x)t1 (x) + 1] und p(x) = q−1 (x) = q0 (x) · t0 (x) + q1 (x) = q2 (x)(t2 (x)t1 (x) + 1)t0 (x) + q2 (x) · t2 (x) = q2 (x) · [t2 (x) · t1 (x) · t0 (x) + t0 (x) + t2 (x)] . Wir erläutern die Methode über ein Beispiel.

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2.3 Rationale Funktionen 2

Beispiel 2.3.3. Sei f (x) = xx3 −3x+2 . Wir müssen also p(x) = q−1 (x) = x3 − 2x + 1 und −2x+1 q(x) = q0 (x) = x2 − 3x + 2 betrachten. Im ersten Schritt (für i = 1) erhalten wir (x3 − 2x + 1) : (x2 − 3x + 2) = x + 3 +

5x − 5 x2 − 3x + 2

und damit t1 (x) = x + 3, q1 (x) = 5x − 5. Im zweiten Schritt (i = 2) erhalten wir 1 2 (x2 − 3x + 2) : (5x − 5) = x − 5 5 und daher t2 (x) = 15 x − 52 , q2 (x) = 0. Der gradmäßig größte gemeinsame Teiler von x2 − 3x + 2 und x3 − 2x + 1 ist demnach q1 (x) = 5x − 5 bzw. x − 1. Mit (x2 − 3x + 2) : (x − 1) = x − 2 und (x3 − 2x + 1) : (x − 1) = x2 + x − 1 erhalten wir aus f die gekürzte Form x−2 . ♦ x2 + x − 1

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2 Polynome und rationale Funktionen

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