Kapitel 2: Abbildungen und elementare Funktionen Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universit¨ at Koblenz-Landau Campus Koblenz
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Gliederung
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Grundbegriffe
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Abbildungen
Abbildungen sind allgegenw¨artig: VL-Nr. 1 2 3 4 ... Zuh¨ orer 200 197 203 211 . . . Jedes Produkt im Supermarkt erh¨alt einen Preis, jedes Buch eine ISBN-Nr., jedes Auto ein Nummernschild . . .
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Abbildungen Definition 2.1 Eine Abbildung f von Menge A nach Menge B ordnet jedem a ∈ A genau ein b = f (a) aus der Menge f (A) ⊆ B zu. A = Df bezeichnet die Definitionsmenge, B = Wf die Wertemenge und f (A) = {b ∈ B : ∃a ∈ A : f (a) = b} das Bild der Funktion. Schreibe: f : A → B a → f (a)
A
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f
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B
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Abbildungen
Beachte: Sprachgebrauch, Vereinfachung: f (a) : Bild von a unter f (← Element) f (A) : Bild von f (← Menge) f Funktion oder Abbildung f (a) spezifiziert manchmal auch die Funktion (ohne Df und Wf anzugeben), n¨amlich dann, wenn f besonders einfach ist, z. B. f (x) = x 2
Beispiel 2.2 Tafel
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Verkettung Definition 2.3 Seien f1 : A → B und f2 : B → C Abbildungen. Dann heißt die Abbildung f2 ◦ f1 : A → C mit (f2 ◦ f1 )(x) = f2 (f1 (x)) ↑ f2 nach f1 “ oder f2 verkettet mit f1 “ ” ” Verkettung (auch: Hintereinanderausf¨ uhrung) von f1 und f2 .
Df1
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f1 (Df1 )
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Wf2 ◦f1
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Verkettung
Beispiel 2.4 Tafel
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Injektiv, Surjektiv, Bijektiv
Definition 2.5 Eine Abbildung f : A → B, a 7→ f (a) heißt injektiv, wenn aus a1 6= a2 auch immer f (a1 ) 6= f (a2 ) folgt. surjektiv, wenn auf jedes Element von Wf abgebildet wird. bijektiv, wenn f injektiv und surjektiv ist.
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Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Illustrationen: Injektivit¨at:
B A
Surjektivit¨at:
B A
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Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Illustrationen: Bijektivit¨at:
B A
Beispiel 2.6 Tafel
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Urbild
Definition 2.7 Sei f : A → B eine Abbildung. Sei Y ⊆ B. Dann enth¨alt das Urbild von Y all jene Elemente der Definitionsmenge, die nach Y abgebildet werden, d. h f −1 (Y ) = {x ∈ Df : f (x) ∈ Y } Urbild von Y
Beispiel 2.8 Tafel Achtung: Das Urbild f −1 (Y ) von Y ist nicht zu verwechseln mit der Umkehrabbildung f −1 !
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Umkehrabbildung Definition 2.9 Sei f : A → B eine Abbildung. Die Umkehrabbildung f −1 : f (A) → A ist definiert durch die Eigenschaft f −1 (y ) = x
⇔ f (x) = y
Achtung: Die Umkehrabbildung f −1 ist nicht zu verwechseln mit der Funktion 1 f (x) . Beachte: Eine Umkehrabbildung muss nicht existieren.
Satz 2.10 Zu jeder bijektiven Abbildung gibt es eine Umkehrabbildung.
Beispiel 2.11 Tafel
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Reellwertige Funktionen Definition 2.12 Eine reellwertige Funktion einer (reellen) Ver¨anderlichen ist eine Abbildung f , die jeder Zahl x ∈ Df ⊆ R genau eine Zahl f (x) ∈ R zuordnet. Die Variable x wird Argument der Funktion genannt. Wir betrachten im Folgenden reellwertige Funktionen.
Definition 2.13 Der Graph Γf einer Funktion f : Df → R ist die Menge Γf := {(x, f (x)) ∈ R × R : x ∈ Df }
Beispiel 2.14 Tafel
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Polynome, Nullstellen
Definition 2.15 Eine Funktion p : R → R heißt Polynom vom Grad n, wenn p(x) = a0 + a1 x + a2 x 2 + · · · + an−1 x n−1 + an x n mit reellen Koeffizienten a0 , a1 , . . . , an ∈ R wobei an 6= 0.
Definition 2.16 Sei f : R → R eine Funktion. xˆ ∈ R heißt Nullstelle von f , wenn f (ˆ x ) = 0 gilt.
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Polynome, Nullstellen Satz 2.17 Wenn xˆ Nullstelle eine Polynoms p vom Grad n ist, dann gibt es ein Polynom q vom Grad n − 1, sodass p(x) = (x − xˆ) · q(x) ↑ heißt Linearfaktor
gilt.
Korollar 2.18 Polynome vom Grad n besitzen h¨ochstens n Nullstellen.
Beispiel 2.19 Tafel
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Spezielle Funktionen Notation 2.20 Existiert zu einer Funktion f ihre Umkehrfunktion f −1 , so nennen wir f invertierbar.
Beispiel 2.21 Tafel
Definition 2.22 p(x) Funktionen der Form f (x) = q(x) auf Df = {x ∈ R : q(x) 6= 0} mit Polynomen p und q heißen rationale Funktionen.
Beispiel 2.23 Tafel
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Eigenschaften von Funktionen Definition 2.24 Sei f : A → R eine Funktion. Wir nennen f a) gerade (ungerade), wenn mit x ∈ A auch −x ∈ A ist und f (−x) = f (x) (f (−x) = −f (x)) f¨ ur alle x ∈ A gilt. b) monoton wachsend, wenn aus x1 , x2 ∈ A mit x1 < x2 stets f (x1 ) ≤ f (x2 ) folgt. c) streng monoton wachsend, wenn aus x1 , x2 ∈ A mit x1 < x2 stets f (x1 ) < f (x2 ) folgt. d) monoton fallend, wenn aus x1 , x2 ∈ A mit x1 < x2 stets f (x1 ) ≥ f (x2 ) folgt. e) streng monoton fallend, wenn aus x1 , x2 ∈ A mit x1 < x2 stets f (x1 ) > f (x2 ) folgt. f) (streng) monoton, wenn f (streng) monoton wachsend oder fallend ist.
Beispiel 2.25 Tafel Stefan Ruzika (KO)
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Eigenschaften von Funktionen Satz 2.26 Jede streng monotone Funktion ist injektiv.
Beweis. Tafel
Definition 2.27 a) Eine Funktion f : A → R heißt beschr¨ ankt, wenn ihr Bild f (A) beschr¨ankt ist, d. h. wenn es eine Zahl C ∈ R gibt so dass |f (x)| ≤ C f¨ ur alle x ∈ A gilt. b) Eine Funktion, die diese Eigenschaft f¨ ur keine Zahl C ∈ R besitzt, heißt unbeschr¨ ankt. c) Eine Funktion f : A → R heißt nach oben (nach unten) beschr¨ ankt, wenn es eine Zahl C ∈ R gibt, mit f (x) ≤ C (f (x) ≥ C ) f¨ ur alle x ∈ A.
Beispiel 2.28 Tafel Stefan Ruzika (KO)
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