Instituto Superior de Engenharia de Lisboa Área Departamental de Matemática - Álgebra Linear e Geometria Analítica ADM – Secção de Álgebra

Semestre de Inverno

Ano Lectivo: 2017-2018

1. Programa da unidade curricular 1.1. Matrizes: Definição e tipos especiais; transposição; operações algébricas e suas propriedades; operações elementares; matrizes equivalentes; algoritmo de eliminação de Gauss (condensação); característica de uma matriz; resolução e discussão de sistemas de equações lineares; inversa de uma matriz quadrada: definição e propriedades; inversão de matrizes por condensação. 1.2. Determinantes: Definição de determinante de uma matriz quadrada; regra de Sarrus; propriedades dos determinantes; cálculo de determinantes por condensação; teorema de Laplace; regra de Cramer; cálculo da inversa pela matriz adjunta.

  1.3. Espaços vectoriais: Axiomática dos espaços vectoriais; consequências algébricas dos axiomas; exemplos de espaços vectoriais; combinações lineares; dependência e independência lineares de um conjunto de vectores; subespaços: definição e critério de subespaço; subespaço gerado por um conjunto de vectores; base e dimensão de um espaço vectorial. 1.4. Aplicações lineares: Definição e exemplos; propriedades; núcleo e imagem, nulidade e característica de uma função linear; teorema da dimensão; condição necessária e suficiente de injectividade; matriz de uma aplicação linear em relação a duas bases; operações com funções lineares (soma, multiplicação por escalar, composição, inversão) e sua tradução matricial. 1.5. Valores e vectores próprios: Definição e exemplos; subespaço próprio; polinómio característico e equação característica; espectro de um endomorfismo; diagonalização. Aplicações. 1.6. Espaços euclidianos: Produto interno: definição e consequências; exemplos; norma, ortogonalidade e ângulo de 2 vectores; complemento ortogonal; bases ortogonais e ortonormadas; método de ortogonalização de Gram-Schmidt; produto externo; produto misto. Revisões da recta e do plano: equações vectoriais, paramétricas e cartesianas, posição relativa.

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2. Avaliação de conhecimentos 2.1. Em todas as classificações atribuídas é usada uma escala de 0 a 20. 2.2. A avaliação consiste em: 2.2.1. Dois testes de frequência com a duração de 1h:30m, aqui designados por T1 e T2, realizados aproximadamente a meio e no fim do período de aulas e versando respectivamente sobre as 1ª e 2ª metades da matéria leccionada.

2.2.2. Dois exames com a duração de 2h:30m: uma época normal e uma época de recurso, aqui designadas por E1 e E2 respectivamente, a efectuar após o término das aulas e ainda uma época especial (igualmente de 2h:30m), aqui designada por EE e cujas condições de acesso podem ser consultadas em: http://www.isel.pt/pInst/OrgaosdeGoverno/ConselhoPedagogico /docs/REGRAS_EXAME_EPOCA_ESPECIAL.pdf Estes exames E1, E2 e EE versam sobre toda a matéria leccionada no semestre (e apenas essa). Na 1ª chamada – e somente nesta – existe ainda a possibilidade de fazer uma – e só uma – de duas repetições com a duração de 1h:30m, que designaremos por R1 e R2, versando respectivamente sobre a matéria do 1º e do 2º testes de frequência T1 e T2 mencionados em 2.2.1 e cujas condições de acesso serão definidas adiante.

2.3. A presença nos testes de frequência não é obrigatória, podendo o aluno realizar a sua avaliação apenas numa das épocas de exame (E1, E2 ou EE) ou nas três, se satisfizer as respectivas condições de acesso. 2.4. O aluno presente nas duas frequências T1 e T2 será considerado aprovado se for verificada a condição T1  8 e T2  8 e T1  T2 19 A nota final será a média (T1 T2) / 2, arredondada ao inteiro mais próximo. 2.5. Os acessos às várias formas de avaliação obedecem às regras seguintes: 2.5.1. Acesso a T1 e T2: não existem restrições.

2.5.2. Acesso a E1: todos os alunos não aprovados à data da época normal e os já aprovados que desejem fazer melhoria (esta requer inscrição no portal do ISEL). A nota E1 é arredondada ao inteiro mais próximo e a

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condição de aprovação é E1  10 (são ignoradas as eventuais notas de T1 e T2). No caso de melhoria, a nota final será Max(E1, Nota já obtida)  10.

2.5.3. Acesso a R1: todos os alunos ainda não aprovados à data da época normal e com T2  8.

2.5.4. Acesso a R2: todos os alunos ainda não aprovados à data da época normal e com T1  8.

2.5.5. Acesso a E2: todos os alunos não aprovados à data da época de recurso e os já aprovados que desejem fazer melhoria de nota e não a tenham já feito na época normal. Para este exame, exige-se, em qualquer dos casos, inscrição prévia no portal do ISEL. A nota E2 é arredondada ao inteiro mais próximo e a condição de aprovação é E2  10 (são ignoradas todas as eventuais notas anteriores: T1, T2, R1, R2 ou E1). No caso de melhoria, a nota final será Max(E2, Nota já obtida)  10.

2.5.6. Acesso a EE: consultar o link http://www.isel.pt/pInst/OrgaosdeGoverno/ConselhoPedagogico /docs/REGRAS_EXAME_EPOCA_ESPECIAL.pdf A nota EE é arredondada ao inteiro mais próximo e a condição de aprovação é EE  10. 2.6. No caso dos exames parciais R1 e R2, a condição de aprovação é a mencionada em 2.4, mas substituindo aí T1 por Max(T1, R1) (ou T2 por Max(T2, R2)). A nota final será a média (T1  T2) / 2, arredondada ao inteiro mais próximo.

3. Corpo docente 3.1. 3.2. 3.3. 3.4. 3.5.

Maria Helena de Almeida Salgado Lages (LI11D) Isabel Maria Teixeira de Matos (LT11D/LT12D/LEIRT11D) Carla Margarida Campos Vicente (LI13D/LI14D) Carlos Miguel Ferreira Melro Leandro (LT13D/LT11N/LI11N) Sónia Raquel Ferreira Carvalho (LI12D/LT11N)

A direcção da Cadeira é da responsabilidade da Dra. Isabel Maria Teixeira de Matos (LEETC e LEIRT) e da Enga. Maria Helena de Almeida Salgado Lages (LEIC).

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4. Bibliografia 4.1. 4.2. 4.3. 4.4. 4.5. 4.6. 4.7. 4.8. 4.9. 4.10. 4.11. 4.12. 4.13. 4.14. 4.15. 4.16. 4.17. 4.18. 4.19. 4.20. 4.21. 4.22. 4.23. 4.24. 4.25.

Aitken, A. C. Determinants and Matrices. 1944. Apostol, T. M. Calculus, vol. 2. New York, John Wiley & Sons, 1969. Birkhoff, G. and Mac Lane, S. Algebra. New York, Macmillan, 1965. Birkhoff, G. and Mac Lane, S. A survey of Modern Algebra. New York, Macmillan, 1965. Chambadal, L. et Ovaert, J. L. Cours de Mathématiques – algèbre I. Paris, Gauthier-Villars. Chambadal, L. et Ovaert, J. L. Cours de Mathématiques – algèbre II. Paris, Gauthier-Villars. Cullen, Charles G. Linear Algebra with Applications. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1997. Dias Agudo, F. R. Introdução à Álgebra Linear e Geometria Analítica. Livraria Escolar Editora, Lisboa, 1964. Dieudonné, J. Algèbre linéaire et géométrie élémentaire. Hermann, 1964, Paris. Efimov, N. V. and Rozendorn, E. R. Linear Algebra and Multi-dimensional Geometry. MIR Publishers, Moscow, 1975. Guerreiro, J. S. Curso de Matemáticas Gerais, Volume 1 – Conjuntos. Noções de Álgebra, Livraria Escolar Editora, Lisboa, 1973. Halmos, Paul R. Finite Dimensional Vector Spaces. Springer-Verlag, New York, 1987. Halmos, Paul R. Linear Algebra Problem Book. The Mathematical Association of America, Washington, 1995. Hanselman, Duane and Littlefield, Bruce. The Student Edition of MATLAB. Prentice Hall, New Jersey. Hoffman, K. and Kunze, R. Linear Algebra. 1961. Jacobson, N. Lectures in Abstract Algebra. Van Nostrand, Princeton, 1951. Kolmogorov, A. N. and Fomin, S. V. Elements of Function Theory and Functional Analysis. MIR Publishers, Moscow, 1975. Lang, S. Algebra. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1965. Lay, David, Linear Algebra and its Applications. 3rd Edition, Addison Wesley, 2003. Lipschutz, Seymour Álgebra Linear. Schaum McGraw-Hill. Magalhães, Luís T. Álgebra Linear como introdução à Matemática Aplicada. Texto Editora, Lisboa, 1990. Matos, Isabel Maria Teixeira, Tópicos de Álgebra Linear, no site do ISEL em http://pwp.net.ipl.pt/deetc.isel/hsalgado/teoria.htm Monteiro, António Álgebra Linear e Geometria Analítica. McGraw-Hill. Monteiro, António Álgebra Linear. Verlag Dashöfer, Lisboa, 2011. Monteiro, António Matrizes. Verlag Dashöfer, Lisboa, 2011.

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4.26. Monteiro, António Geometria Analítica-Espaços Euclidianos. Verlag Dashöfer, Lisboa, 2011. 4.27. Messias, Manuel Joaquim Alves Sebenta de Álgebra Linear. Reprografia do ISEL, Lisboa. 4.28. Poole, David. Linear Algebra: a modern introduction. Thomson Brooks/Cole, USA, Canada, Mexico, Spain, 2006. 4.29. Ribeiro, Carlos Álgebra Linear (teoria), no site do ISEL em http://pwp.net.ipl.pt/deetc.isel/hsalgado/teoria.htm 4.30. Ribeiro, Carlos Exercícios propostos, no site do ISEL em http://pwp.net.ipl.pt/deetc.isel/hsalgado/teoria.htm 4.31. Ribeiro, Carlos Resoluções de Testes/Exames, no site do ISEL em http://pwp.net.ipl.pt/deetc.isel/hsalgado/enunciados2014.htm 4.32. Sommerville, D. M. Y. Analytical Geometry of Three Dimensions. 4.33. Wolfram Stephen. The MATHEMATICA Book, Fourth Edition. Wolfram Media – Cambridge University Press.

5. Software matemático 5.1. MATHEMATICA 10.3, http://www.wolfram.com/mathematica/ 5.2. MATLAB R2016a, http://www.mathworks.com/products/matlab/ 5.3. MAPLE 2016, http://www.maplesoft.com/products/maple/

6. Calendário escolar para 2017/2018 (Inverno) Início do período lectivo ........................................ Fim do período lectivo .......................................... Férias de Natal .................................................... Exames (Época Normal) ....................................... Exames (Época de Recurso) .................................. Exames (Época Especial) ......................................

2017.09.11 2017.12.21 2017.12.22 2018.01.04 2018.01.22 2018.02.15

a a a a

2018.01.02 2018.01.20 2018.02.03 2018.02.28

7. Links úteis 7.1. Página Principal do ISEL: http://www.isel.pt/ 7.2. Página Pessoal da Engª Helena Salgado: http://pwp.net.ipl.pt/deetc.isel/hsalgado/

7.3. Informações lectivas: http://www.adeetc.isel.pt/pt/ensino/16-informaes-lectivas/36 7.4. Serviços académicos: http://www.isel.pt/pInst/Servicos/ServAcademicos/ServicosAcadem icos.html 7.5. Portal do ISEL (novo): https://portal.ipl.pt/isel/netpa/page

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