UNIDAD 5.- LOGARITMOS. APLICACIONES (tema 5 del libro) 1.

LOGARITMO DE UN NÚMERO

Consideremos la ecuación: 2  8 . Como vemos la incógnita está en el exponente, lo que la hace diferente a todos los tipos vistos hasta ahora. “x” es el exponente al que tenemos que elevar 2 para que de cómo resultado 8. En matemáticas diremos que “x” es el logaritmo en base 2 de 8 x

En este ejemplo es fácil ver que x = 3 pues

23  8

Definición: Llamamos logaritmo en base un nº real “a”(positivo y distinto de 1) de un nº real “b” (positivo) como el exponente al que tenemos que elevar “a” para que de cómo resultado “b”.

log a b  z  a z  b

Matemáticamente se representa así: Veamos ejemplos para entenderlo mejor: Ejemplos:

a) log 216  z  2  16  2  2  z  4 z

z

4

Por tanto concluimos que log 216  4

z

1 2

1 Por tanto concluimos que 2 1 log 2 2  2 1 1 z z 2 e) log 3    z  3   3  3 9 9  z  2 Por tanto concluimos que 1 log 3    2 9 z z 0 f) log 7 1  z  7  1  3  7  z  0 Por tanto concluimos que log 7 1  0

5

 z  5 Por tanto concluimos que log 3 243  5

c) log10100  z  10  100  10  10 z

2 2 2 z

z

b) log 3 243  z  3  243  3  3 z

d) log 2 2  z  2  z

z

2

 z  2 Por tanto concluimos que log10100  2 Propiedades inmediatas de los logaritmos:  El logaritmo en cualquier base del nº 1 es 0

log a 1  0 pues a 0  1 

El logaritmo en cualquier base de la base es 1

log a a  1 pues a1  a 

El logaritmo en cualquier base de un nº que sea una potencia de la base es el exponente de dicha potencia

log a a p  p que resulta evidente 

Sólo tienen logaritmos los números positivos, pues como sabemos el resultado de una potencia siempre es positivo. No tiene sentido, por ejemplo, log 2 (4) , no existe

1

UNIDAD 5.- Logaritmos. Aplicaciones

Logaritmos decimales Se llaman logaritmos decimales a aquellos cuya base es 10. También se les conoce como vulgares y en su representación no se pone la base 10, por tanto se notan log x Ejemplos: a) log 100  2

6 4

b) log 1000000  log 10  4

c) log 0´0001  log 10

-4

6 3  4 2

 4

Estos logaritmos se pueden obtener con la calculadora, usando la tecla LOG que aparece en ella Ejemplos: a) log 3  0´4777121... b) log 254  2´404833.... c) log

d) log - 100  Error No existes logaritmos de números negativos

805  1´452897...

Logaritmos neperianos El nº irracional e = 2´71828182… se usa muy a menudo como base de logaritmos. Se llaman logaritmos neperianos a aquellos cuya base es e. También se les conoce como naturales y su representación es ln x ó L x Habitualmente habrá que obtenerlos mediante la calculadora usando la tecla correspondiente ln ó L según el modelo de calculadora. Ejemplos: a) ln 3  1´098612...

b) L

1 2

e  Le 

c) ln 179´28  5´188948...

1 2

2. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS a) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores

log a m  n  log a m  log a n Ejemplo: Obtener sin calculadora

log 6 4  log 6 9  log 6 4  9  log 6 36  2

Ejemplo: Sabiendo que Como

log 5 x  3´4

obtener sin calculadora

log 5 5 x

log 5 5x  log 5 5  log 5 x  1  3´4  4´4

b) El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del dividendo y del divisor

m log a    log a m  log a n n Ejemplo: Obtener sin calculadora 2

UNIDAD 5.- Logaritmos. Aplicaciones

 6  1 log 2 6  log 2 48  log 2    log 2    log 2 2 3  3  48  8 c) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base

log a m n  n  log a m Ejemplo: Calcular

  e   e   ln   ln  2 2  5  e   e5

 2  3  1  3 3 3   5 5  ln e  ln e   ln e   1   5 5 5 

d) El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando dividido por el índice de la raíz

log a n m 

log a m n

Ejemplo: Calcular

log 6 12 

log 12  0´179863... 6

e) Relación entre logaritmos de distintas bases El logaritmo en base a de un número se puede transformar en el logaritmo de otra base b cualquiera mediante la expresión:

log a m 

log b m log b a

log 11 29 : log 29 1´4623... log 29    1´40427... 11 Pasando a logaritmo decimal: log 11 1´01413... ln 29 3´3672... log 29    1´40427... Pasando a logaritmo neperiano: 11 ln 11 2´3978... Ejemplo: Obtén con la calculadora de dos formas distintas

3. ECUACIONES EXPONENCIALES Una ecuación es exponencial cuando la incógnita aparece en el exponente de una potencia Como ejemplos son ecuaciones exponenciales las siguientes.

32 x1  1 ;

2 x  2 x1  2

No hay un procedimiento general para resolver este tipo de ecuaciones, sólo con la práctica aprenderemos a resolverlas. Ejemplo: Resuelve

4  32 x1  36  32 x1  2x  1  2  x 

36  32 x1  9  32 x1  32  (igualamos exponentes) 4

3 2 3

UNIDAD 5.- Logaritmos. Aplicaciones

Ejemplo: Resuelve

5 x  12

Si nos fijamos x es el exponente al cual tenemos que elevar 5 para que de 12, es decir, x es el

logaritmo en base 5 de 12  calculadora x 

x  log 5 12  Hacemos un cambio a base decimal para poder usar la

log 12  x  1´54396 log 5

De forma general, si tenemos una ecuación exponencial del tipo definición de logaritmo.

a x  m  x  log a m

por la propia

Ejemplo: Resuelve

3x  3x1  3x2  13  Transformamos la ecuación para que 3 x aparezca sólo 3x 3x 3x 3x x x 3   2  13  3    13 Ahora hacemos lo que se llama un cambio de variable 3 3 3 9 z z z  3 x Con lo cual sustituyendo en la ecuación nos queda otra más fácil de resolver z    13  3 9 9 z  3z  z 117   13z  117  z  9 Hacemos común denominador y operamos 9 9 x x x 2 Por último deshacemos el cambio y resolvemos: z  3  3  9  3  3  x  2 Ejemplo: Resuelve

4 x  2 x2  32 

2 

2 x

Transformamos la ecuación para que

 

 2 x2  32  2 x

2

 2 x  22  32 

z  z  4  32  z  4 z  32  0  z  2

2

2 x aparezca sólo, nos queda:

Hacemos el cambio

z  2 x y sustituyendo nos queda:

 z 8 4  12  1 2  z 2  4

Deshacemos los cambios para

cada solución

z1  8  2 x  8  x  3 es una solución de la ecuación exponencial z1  4  2 x  4  x  log 2 (4) , que como sabemos no existe pues no hay logaritmos de



Si



Si números negativos o cero

4. SISTEMAS DE ECUACIONES EXPONENCIALES Un sistema de ecuaciones es exponencial si al menos una de sus ecuaciones es exponencial. No existen métodos fijos de resolución, la práctica nos aportará la experiencia para resolverlos.

2 x  2 2 y  32  x2 y 2  25  3x  x  2y  5  2   Se   Ejemplo: Resuelve (igualamos exponentes)  3 x 5 y 4 3 x  5 y  4 2  2   25 y  16  x  3 resuelve por el método que queramos y la solución es  y 1

4

UNIDAD 5.- Logaritmos. Aplicaciones

Ejemplo: Resuelve

3  5 x  2  6 y 1  807  x 1 y  15  5  6  339

Operamos para dejar preparado el sistema sólo con

5x

y

3  5 x  2  6 y  6  807 6y   x 1 y 15  5  5  6  339

 3  5 x  12  6 y  807 3  5 x  12  6 y  807 1   Hacemos ahora un cambio de variables o x y 15  5 x   6 y  339 3  5  6  339   5 5 x  z 3z  12t  807 incógnitas:   y y sustituimos, quedándonos el sistema como   Resolvemos por  3z  t  339 6  t 3z  12t  807 3z  12t  807  z  125       Gauss (E2-E1) Por último deshacemos el t  36   13t  468   t  36 5 x  125  x  3 5 x  z  y  cambio y resolvemos:   y 6 6  36  t y  2   5. ECUACIONES LOGARÍTMICAS Una ecuación es logarítmica cuando la incógnita aparece afectada por un logaritmo. Para resolverlas tampoco hay un método fijo, pero principalmente usaremos:

log a m  z  a z  m log a m  log a p  m  p



La definición de logaritmo:

 

Igualdad de logaritmos: Propiedades de los logaritmos

Ejemplo: Resuelve

2 log x  logx  16  2

Aplicando las propiedades de los logaritmos,

 x2    2  log x  logx  16  2  log x  16   2

x2  10 2  x 2  100( x  16)  Aplicamos la definición de logaritmo x  16  x1  80 100  60 2  x  100 x  1600  0  x  2  x2  20

 5 x  13    Por la ln( x  1)  ln(5x  13)  ln( x  3)  ln( x  1)  ln  x  3   5 x  13  x 2  2 x  3  5x  13  x 2  7 x  10  0  igualdad de logaritmos, x  1  x3 Ejemplo: Resuelve

5

UNIDAD 5.- Logaritmos. Aplicaciones

x

73  2

 x1  5   x2  2

NOTA: La solución x2  2 no es válida pues al sustituir salen logaritmos

negativos que no existen en el campo real. 6. SISTEMAS DE ECUACIONES LOGARÍTMICAS Un sistema de ecuaciones es logarítmico si, por lo menos, una de las ecuaciones es logarítmica.

Ejemplo: Resuelve

 x  y  22  log x  log y  1

En la segunda ecuación, aplicamos las propiedades de los logaritmos y su definición

 x  y  22   log x  1   y

 x  y  22  x    10  y

Ejemplo: Resuelve

log( x  y )  log( x  y )  log 33  2 x  2 y  211 

 x  y  22   x  10 y  Y ya resolvemos por sutitución

 x  20  y2

log[( x  y )( x  y )]  log 33 ( x  y )·( x  y )  33 ( x  y )·( x  y )  33    x y 11 2 x y  11  x   y 2  11    Lo resolvemos por sustitución:

 11·(2 x  11)  33  22x  154  x  7  y  4

Ejemplo: Resuelve

2 log x  3 log y  7   log x  log y  1

Vamos a resolverlo de dos maneras distintas: 1ª Forma: Haciendo un cambio de variables y resolviendo el sistema lineal de dos ecuaciones resultante y después deshaciendo el cambio. Hacemos

log x  z   log y  t 

2 z  3t  7 E1  2·E2  z  t  1  

  5t  5 t  1   z  t  1  z 2

Deshacemos el cambio: 2  x  10  100   log x  z  2   y  10 1  1  log y  t   1   10

2ª Forma: Convirtiendo cada ecuación logarítmica en una ecuación algebraica

  x2 x2 log 3  7  3  10 7 2 log x  3 log y  7 log x  log y  7   y  y  log x  log y  1 log( x · y )  1  x·y  10   x·y  10  2

3

6

UNIDAD 5.- Logaritmos. Aplicaciones

 x2 7  y 3  10   y  10  x

x2

Sustituimos y nos queda

7 x5  10  3  107  x 5  1010  3  10  10    x

x  5 1010  x  102  100 y Y por tanto:

1 10 y   10 2 10

7. INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTO Cuando depositamos dinero en un banco, éste nos paga un interés de un determinado tanto por ciento, por la cantidad depositada. Habitualmente se suele pagar anualmente el interés. Así, por ejemplo, si depositamos 5.000 € en una libreta de ahorros al 1´5 % anual, al cumplirse el año recibimos como pago de intereses la cantidad de:

5000  1´5  75€ 100

La cantidad que hemos depositado (5000 €) se llama capital. El beneficio obtenido (45 €) se llama interés. El 1´5 % se llama rédito o tanto por ciento, que es también la cantidad de intereses que producen 100 €. A la cantidad que produce de intereses 1 € se le llama tanto por uno y en este ejemplo es 0´015. Definiciones: 

Se llama capital, C, a la cantidad de dinero que depositamos en una entidad financiera.



Se llama interés, I, a la cantidad de dinero producida por un capital en un tiempo determinado.



Se llama rédito o tanto por ciento, R, a la ganancia que producen 100 euros en un año.



Se llama tanto por uno, r, a la ganancia que produce un euro en un año. Se verifica que: R r 100

Un capital colocado al R % en un año produce I

C·R de interés, luego en t años producirá un interés de: 100

C·R·t R o bien, como r  tenemos que I  C·r·t 100 100

7

UNIDAD 5.- Logaritmos. Aplicaciones

NOTA IMPORTANTE: A veces los intereses se devengan mensualmente, o trimestralmente o semestralmente o en días, de donde resultan las expresiones siguientes: C·R C·R C·R Mensualmente: En un año sabemos que el interés producido es , por tanto en un mes será 100 = 12 1200 100 C·R·T C·r·T Si tenemos el capital invertido T meses, obtenemos de interés I  o bien I  1200 12

Trimestralmente: De forma análoga a lo anterior tenemos que el interés devengado es, puesto que un año tiene C·R·T C·r·T 4 trimestres: I  o bien I  , donde T es el nº de trimestres 400 4

Semestralmente: De forma análoga a lo anterior tenemos que el interés devengado es, puesto que un año tiene 2 C·R·T C·r·T semestres: I  o bien I  , donde T es el nº de semestres 200 2

Diariamente: De forma análoga a lo anterior tenemos que el interés devengado es, puesto que un año tiene 365 C·R·T C·r·T días: I  o bien I  , donde T es el nº de días 36500 365

De manera general, cuando los intereses se devengan n veces a lo largo de un año (cada año con n periodos C·R·T r iguales), la expresión del interés es: I  o bien I  C   T siendo T el nº de periodos por los que n  100 n devengamos los intereses.

Ejemplo: Colocamos en un banco 9 000 € al 4´5 %, percibiendo los intereses semestralmente. Si hemos cobrado 607´5 € en concepto de intereses, ¿cuánto tiempo hemos tenido el dinero en el banco? C·r·T 9000·0´045·T Tenemos por la fórmula que I   Sustituimos cada valor 607´5   Despejamos T 2 2 2  607´5 T  T  3 semestres. Es decir, año y medio ó 18 meses. 9000·0´045

Esto que hemos visto es interés simple. Pasemos ahora a estudiar el interés compuesto.

Definición: Colocar un capital a interés compuesto significa que el capital se va incrementando con los intereses producidos en cada periodo de tiempo. Al capital existente en cada momento se le llama montante Supongamos que tenemos un capital, C, colocado al tanto por uno, r, al final del primer año tenemos un montante de: M 1  C  C·r  M 1  C  1  r 1 , si seguimos otro año más, este será el nuevo capital y por tanto el montante al final del 2º año será: 8

UNIDAD 5.- Logaritmos. Aplicaciones

M 2  C  1  r   C  1  r   r  Sacamos factor común C  1  r  y nos queda

M 2  C  1  r 1  r   M 2  C  1  r  De forma análoga, al final del tercer año tendremos un montante de: 3 M 3  C  1  r  Así al final de t años tendremos montante de: 2

M  C  1  r 

t

Cuando capitalizamos n veces a lo largo de un año o en n periodos cada año, entonces la fórmula nos queda:

 r M  C  1    n

T

siendo T el nº de periodos

Ejemplo: ¿Durante cuánto tiempo ha de invertirse un capital de 12 000 € al 6 % de interés compuesto para llegar a obtener un montante de 13 926´49 € si la capitalización se produce trimestralmente? Como es trimestralmente tenemos que n = 4 y ahora hemos de calcular cuánto trimestres se necesitan aplicando la fórmula T

T

T

 r  4´06  13926´49  0´06  M  C  1    13926´49  12000  1       4  12000   n  4  T

 4´06  13926´49  1´015T  1´160540833  Tomamos, por ejemplo, logaritmos neperianos,    12000  4  ln 1´015  ln(1´160540833)  T·ln 1´015  ln(1´160540833)  T  ln(1´160540833)  T

ln 1´015

T  10 trimestres, es decir, 30 meses

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