II Expresa los siguientes exponentes en su forma logarítmica 1.
4 3 = 64
2.
8 -2 = 1/64
3.
25 1/2 = 5
III Evalúa los siguientes logarítmos. 1.
log 8 8 =
2. log 8 1 = 3. log 2 32 = Cuando en una expresión logarítmica no se escribe la base, entendemos que la base es diez. Ejemplo Si
log 100 x
, entonces x = 2, porque la base es diez y tenemos
Llamamos logarítmo natural , Ejemplo
10
2
100
ln , a un logaritmo cuya base es e ( e 2.71828).
Si ln 2.718 = x entonces
x =.99998, porque
la base es e,
e
1
e
Podemos resolver algunas ecuaciones exponenciales o logarítmicas directamente en la calculadora.
1. 2. 3.
4. ln 27 5. ln 3 6. ln 0 . 5
log 35 log 0 . 4
log 80
Su calculadora solo puede calcular logarítmos naturales o base 10, por lo tanto ,si desea resolver un logarítmo con base distinta tiene que realizar un cambio de base.
FÓRMULA PARA EL CAMBIO DE BASE Si u > 0 y si a y b son números reales Ejemplo positivos distinto de uno, entonces log
u = b
log
a
log
a
u
log
2
5
log
5
log
2
2 . 322
b
Resuelve las siguientes ecuaciones. 1. log
9
.3 = x
2. log 2 20 = p
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Leyes de los logarítmos: Sean M y N valores positivos, b 0
I
log
b 1. ,
y
MN log
b
entonces: b
M log
b
Simplifica las siguientes expresiones expresándolas en término de un solo logaritmo de ser posible. 1. log b ( x+1) - log b (x+2)
N
2. log b x + 2 log b (x-1) log
II III
log
M b
log
N
b
N
b
M log
b
N
3. log b (x-1) + log b 3 - log b (x+1) k
k log
b
N
4. 2logb(x-3) + logb (5x) – logb(x)
Resolver las siguientes ecuaciones utilizando las propiedades de logarítmos. PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER UNA ECUACIÓN CON LOGARITMOS #1 Aplicar las propiedades de logaritmos que sean necesarias para expresar la ecuación con un solo logaritmo. #2 Simplificar de ser necesario #3 Expresar el logaritmo en notación exponencial utilizando la definición de logaritmos. #4 Despejar para la variable #5 Verificar que el argumento del logaritmo sea positivo en los valores encontrados.
1.
log 8 (x-6) + log 8 (x+6) = 2
#1 Utilizamos la propiedad de la multiplicación log
8
[( x 6 )( x 6 )] 2
#2 Expandimos el argumento del logaritmo ( x 6 )( x 6 ) x
2
36
#3 Utilizar la definición de logaritmos log 8 x
(x 8
2
36 ) 2
2
36
2
x
2
36 64
#4 Resolver la ecuación
#5 IMPORTANTE Por definición el argumento de un logaritmo debe ser positivo, por lo tanto verificamos las respuestas en el logaritmo correspondiente y la solución serán los valores que cumplan con la definición log si
ECUACIONES EXPONENCIALES QUE SE RESUELVEN CON LOGARITMOS Aquellas ecuaciones exponenciales que no se pueda expresar en términos de bases iguales, se utilizan los logaritmos y sus propiedades para hallar la solución.
EJEMPLO 1 17
x
3
EJEMPLO 2
log
17 x
3
x
1. Aplica la definición de logaritmo. 2. Se evalúa el logaritmo usando la fórmula de cambio de base.
log 17 log 3
x
1 . 23
2 . 56
. 48
3
x2
7
log 3
x2
log 7
( x 2 ) log 3 log 7 ( x 2 ) log 3
log 3
log 7 log 3
1. Aplica la definición de logaritmo. 2. Aplica la propiedad del exponente. 3. Despejar para la variable
. 85
x 2
. 48
4. Se evalúa el logaritmo usando la fórmula de cambio de base.
x 1 . 77 2 x . 23
EJEMPLO 3 PRÁCTICA PARA DISCUTIR EN CLASE 5
23x
log 5
4 x 1
8 23x
log 8
4 x 1
( 2 3 x ) log 5 ( 4 x 1 ) log 8
( 2 3 x ) log 5
( 4 x 1 ) log 8
log 5 2 3x ( 4 x 1)
2 3x 4x 1 2 3x 4x 1
log 5
( 4 x 1 ) log 8 ( 4 x 1 ) log 5
log 8 log 5
1 . 29
2 3 x 1 . 29 ( 4 x 1 ) 2 3 x 5 . 17 x 1 . 29 3 x 5 . 17 x 1 . 29 2 2 . 17 x 3 . 29 x
3 . 29 2 . 17
1 . 52
1. Aplica logaritmo a ambos lados de la ecuación. 2. Aplica la propiedad del exponente. 3. Despeja para la variable Reúne los logaritmos a un lado de la ecuación y al otro lado los términos con la variable. Se evalúan los logaritmos
Evalúa 1.
log
2. log 3. 10 4.
e
8
8
9
9
17
log 87
ln 4
5. log 4 192 log 6. log 50
9
3
Resuelve para x
1. log 2 x 5 4 2. ln e x x x 1 3. 5 4 3x 4. 2 34 5. log 6. log 7. log 8. 9.
log
2
x 5
5
x log
5
( x 1 ) log
x log( x 3 ) 1 3
5 log
3
2
5
x
log x log( x 3 ) 1
5
20
FUNCIóN LOGARíTMICA Para toda b > 0 y b 1, la ecuación
f ( x ) = log
b
x
es una función logarítmica con base b y Dominio x > 0. PROPIEDADES 1. Dominio
{x>0}
2. Rango consiste en todos los números reales. 3. Para b > 1: la gráfica de esta función es creciente y cóncava hacia abajo. 4. Para 0 < b < 1: la gráfica de esta función es decreciente y cóncava hacia arriba 5. Es una función uno a uno, por consiguiente tiene función inversa.. 6. No tiene intercepto en y. 7. El par ordenado
(1, 0) pertenece a su gráfica.
8. El eje de y es asíntota vertical de la función. Observe que las propiedades de las funciones logarítmicas son similares a las funciones exponenciales. La función logarítmica es función inversa de la función exponencial.
