Wzory – matematyka finansowa Maciej Romaniuk∗ 29 września 2009 K(t) – funkcja opisująca akumulację w chwili czasu t, K(0) – kapitał, i – stopa zysku w chwili t: K(t) − K(0) i= (1) K(0) K – kapitał, i – stała stopa procentowa dla ustalonego okresu czasu T , • Procent prosty – t=0:K – t = 1 : K(1) = K + iK = K(1 + i) – t = 2 : K(2) = K + iK + iK = K(1 + 2i) – ... – t = n : K(n) = K(1 + ni) • Procent składany (złożony) – t=0:K – t = 1 : K(1) = K + iK = K(1 + i) – t = 2 : K(2) = K(1 + i) + iK(1 + i) = K(1 + i)2 – ... – t = n : K(n) = K(1 + i)n Definicja 1. Stopa nominalna w chwili t dla okresu h (oznaczana symbolem ih (t)) to K(t + h) = K(t)(1 + hih (t)) , (2) czyli ih (t) = Dla h =

1 p

K(t + h) − K(t) . hK(t)

mamy !   i p1 1 K t+ = K(t) 1 + . p p

Stopę taką oznaczamy symbolem i(p) . ∗ e-mail:

(3)

[email protected]

1

(4)

Definicja 2. Stopą efektywną ief w okresie bazowym w chwili t dla okresu h nazywamy stopę, która spełnia równanie K(t + h) = K(t)(1 + ief )h

(5)

Definicja 3. Niech s ¬ t (s, t – momenty czasu). Czynnik akumulacji A(s, t) to akumulacja jednostki pieniężnej do chwili t zainwestowanej w chwili s K(t) = A(s, t)K(s) .

(6)

Definicja 4. Powiemy, że czynnik akumulacji spełnia warunek zgodności, jeśli dla dowolnych r, s, t (momenty czasu), gdzie r < s < t zachodzi A(r, t) = A(r, s)A(s, t) .

(7)

Definicja 5. Chwilową stopą zysku (ciągłą stopą procentową) w chwili t nazywamy stopę określoną równością δ(t) = lim+ h→0

A(t, t + h) − A(t, t) , h

(8)

przy założeniu, że granica ta istnieje. Twierdzenie 6. Jeśli δ : [t0 ; ∞) → R i A(t0 , .) : [t0 ; ∞) → R są ciągłe oraz A spełnia warunek zgodności, to dla dowolnych t1 , t2 ∈ [t0 ; ∞) zachodzi Z t2  A(t1 , t2 ) = exp δ(s)ds . (9) t1

Definicja 7. Czynnikiem dyskontującym nazywamy wartość obecną jednostki płatnej w chwili t: 1 v(t) = , (10) A(0, t) a przy ciągłej stopie procentowej δ(t)  Z t  v(t) = exp − δ(s)ds

(11)

0

Skończony lub nieskończony ciąg chwil czasu: 0 ¬ t1 < t2 < . . .. Z tymi chwilami czasu związany jest też ciąg płatności c1 , c2 , . . . (w chwili ti następuje płatność ci ). Wartość obecna tego strumienia to Φ0 =

∞ X

cj v(tj ) ,

(12)

i=1

o ile ten szereg jest zbieżny (suma może też być oczywiście po skończonej ilości elementów). Płatność chwilowa – płatność w chwili czasu t przypadająca na jednostkę czasu, określona za pomocą funkcji ρ(t), t.ż. w okresie od t do t + dt płatność wynosi ρ(t)dt.

2

Wartość obecna strumienia płatności określonego funkcją ρ(t) dana jest przez Φ0 =

Z

T

ρ(t)v(t) dt ,

(13)

0

o ile całka jest zbieżna. Wartość przyszła – wykorzystujemy wtedy symbol FV. Dla strumienia dyskretnego mamy T X FVT = cj A(tj , T ) , (14) i=1

a dla strumienia ciągłego

FVT =

Z

T

ρ(t)A(t, T ) dt .

(15)

0

Niech ai oznacza naszą inwestycję w chwili ti (czyli ai ¬ 0), zaś bi – zwrot z inwestycji w chwili ti (bi ­ 0), przy czym rozpatrujemy tylko ciągi skończone chwil czasowych t1 , t2 , . . . , tm . Zatem ci = ai + bi . Rozwiązanie Φ0 (δ) = 0 (16) jest nazywane wewnętrzną stopą zwrotu. Załóżmy, że inwestor może lokować i pożyczać pieniądze na pewien procent iI . Wtedy wartość obecna strumienia płatności wynikających z inwestycji przy procencie iI m X NPV(iI ) = cj (1 + iI )−tk (17) j=1

nazywana jest wartością obecną (zdyskontowaną) netto przy stopie iI . Wypłata z pojedynczego kuponu obliczana jest względem stopy procentowej i oraz wartości nominalnej V jak przy schemacie procentu prostego dla kapitału V , tzn. jest ona równa i I =V . (18) p Niech cj – wypłata w chwili tj wynikająca z posiadania obligacji (np. kupon lub wypłata końcowa). Wtedy P =

np X j=1

(1 +

cj iYTM tj p )

(19)

nazywamy wewnętrzną wartością obligacji. C=

np X j=1

cj , (1 + iR )tj

(20)

gdzie C – cena rynkowa obligacji. C=

np X

cj e−δtj .

j=1

3

(21)

Dla ułatwienia zakładamy, że P = C (wewnętrzna wartość obligacji jest równa jej cenie rynkowej). Niech δ – stopa zwrotu związana z tą obligacją. Pnp −δtj j=1 tj cj e (22) D(δ) = Pnp −δtj j=1 cj e nazywamy czasem trwania obligacji (w j. ang. duration) lub średnim terminem wykupu. Możemy też zdefiniować czas trwania względem stopy procentowej iYTM : Pnp iYTM −ptj j=1 tj cj (1 + p ) D(iYTM ) = Pnp (23) iYTM −ptj j=1 cj (1 + p ) W dalszym ciągu zakładać będziemy dla ułatwienia obliczeń, że kupony są wypłacane nie częściej niż co okres podstawowy, co np. daje P (δ) =

n X

cj e−δtj ,

(24)

j=1

a z rozwinięcia Taylora mamy ′

′′

P (δ) − P (δ0 ) P (δ0 ) 1 P (δ0 ) 2 = (δ − δ0 ) + (δ − δ0 ) + . . . . P (δ0 ) P (δ0 ) 2 P (δ0 )

(25)

Zauważmy, że ′

P (δ0 ) = −D(δ0 ) , P (δ0 ) czyli

(26)

′

D(δ) = −(ln P (δ)) .

(27)

Jeśli czas trwania obligacji wyrazimy względem stopy iYTM , to zamiast (25) mamy P (i) − P (i0 ) 1 = −D(i0 ) (i − i0 ) + C(i0 )(i − i0 )2 , (28) P (i0 ) 1 + i0 gdzie 1 C(i0 ) = 2

Pn

−tj j=1 tj (tj + 1)cj (1 + i0 ) Pn −tj j=1 cj (1 + i0 )

1 (1 + i0 )2

(29)

jest nazywane wypukłością obligacji. Czasami zamiast czasu trwania wprowadza się zmodyfikowany czas trwania obligacji MD(i0 ) = D(i0 )

1 . 1 + i0

(30)

Z (25) mamy △P (δ) ≈ −D(δ0 )△δ P (δ0 )

(31)

dla δ dostatecznie bliskich δ0 . Wyrażając stopy procentowe poprzez stopę dochodu w terminie do wykupu, zamiast (31) mamy △P (i) ≈ − MD(i0 )△i (32) P (i0 ) 4

dla i dostatecznie bliskich i0 . Załóżmy, że posiadamy portfel obligacji zerokuponowych. Niech cj – wypłata w chwili tj dla którejś z tych obligacji (np. wypłata wartości nominalnej w terminie wykupu), δ – chwilowa stopa procentowa (stała dla całego portfela). Wtedy cj e−δtj jest wartością obecną obligacji, co utożsamiamy z jej ceną. Wartość całego portfela obligacji w chwili T0 wynosi X cj eδ(T0 −tj ) . (33) ΦT0 (δ) = j=1

Załóżmy, że przy pewnej stopie δ0 zachodzi ΦT0 (δ0 ) = D. Szukamy takiego zestawu parametrów (obligacji) cj , aby dla dowolnego δ zachodziło ΦT0 (δ) ­ D .

(34)

Jeśli taki zestaw znajdziemy, to powiemy, że portfel jest uodporniony na natychmiastową zmianę stopy δ. Twierdzenie 8. Portfel obligacji opisanych przez parametry cj o wartości D w chwili T0 przy stopie δ0 jest uodporniony na natychmiastową zmianę stopy procentowej wtedy i tylko wtedy, gdy spełnione są następujące warunki: 1. ΦT0 (δ0 ) = D 2. czas trwania portfela wynosi T0 : P tj cj e−δ0 tj Pj=1 = T0 . −δ0 tj j=1 cj e

(35)

Kontrakty forward. Niech T – czas wygaśnięcia kontraktu forward (w j. ang. maturity of contract ), f (0, T ) – cena forward, cena, po której mamy zawrzeć transakcję w chwili T (czyli cena dostarczenia K), St – stochastyczny proces ceny instrumentu podstawowego (np. akcji, kurs waluty). Wypłata przy długiej pozycji z kontraktu forward: ST − K ,

(36)

K − ST .

(37)

wypłata przy krótkiej pozycji: Wycena kontraktów forward na akcje. f (0, T ) = S0 A(0, T ) .

(38)

Wartość kontraktu forward na akcje. W chwili t = 0 wartość kontraktu dla obu stron jest zerowa: Vs (0) = 0 (krótka pozycja, sprzedawca), Vl (0) = 0 (długa pozycja, kupujący). Z kolei w chwili rozwiązania kontraktu t = T mamy Vs (T ) = f (0, T )−ST i Vl (T ) = ST −f (0, T ). Dla dowolnego 0 < t < T Vl (t) = (f (t, T ) − f (0, T ))A−1 (t, T ) .

(39)

Vs (t) = (f (0, T ) − f (t, T ))A−1 (t, T ) .

(40)

Analogicznie

5

Wycena kontraktów forward na akcje z dywidendami. Przypuśćmy, że akcja wypłaca w chwili t1 dywidendę o wartości d(t1 ). S0 − d(t1 )A−1 (0, t1 ) = f (0, T )A−1 (0, T ) .

(41)

Wycena kontraktów forward na waluty. S0 A(0, T ) = AF (0, T )f (0, T ) ,

(42)

gdzie AF (0, T ) jest czynnikiem akumulacji jedynki obcej waluty na obcym rynku. Jeśli przez δ oznaczymy ciągłą stopę (wolną od ryzyka) na naszym rynku, a δF – analogiczną stopę, ale dla rynku zagranicznego, to otrzymujemy f (0, T ) = S0 e(δ−δF )T .

(43)

Wycena kontraktów forward na indeksy. Niech δ oznacza rynkową (wolną od ryzyka) stopę procentową, zaś przez δq ciągłą stopę dywidend akcji w indeksie. Wtedy cena kontraktu forward na indeks (z dywidendą) ma postać f (0, T ) = S0 e(δ−δq )T .

(44)

Podstawowe oznaczenia dla opcji: • St – proces ceny instrumentu podstawowego dla opcji • K – cena realizacji opcji • T – termin wygaśnięcia opcji Wypłaty z opcji. Jeśli nie weźmiemy pod uwagę ceny opcji (tzw. premii opcyjnej płaconej przez kupującego sprzedawcy opcji), to europejska opcja call przynosi swemu nabywcy następującą wypłatę: max{ST − K, 0} ,

(45)

max{K − ST , 0} .

(46)

a europejska opcja put Ponieważ zakup opcji kosztuje, to dokładnie rzecz biorąc wypłaty z opcji są następujące – dla nabywcy europejskiej opcji call: max{ST − K, 0} − C ,

(47)

max{K − ST , 0} − P ,

(48)

a europejskiej opcja put:

gdzie C jest ceną opcji call, P – ceną opcji put. Nabywca amerykańskiej opcji call może liczyć na wypłatę max{St − K, 0} − C .

(49)

Parytet cen opcji call – put Przez C = C(S0 , K, T ) będziemy oznaczali cenę opcji call (w chwili t = 0 znamy oczywiście tylko cenę instrumentu podstawowego w chwili obecnej), a przez P = P (S0 , K, T ) analogicznie cenę opcji put. 6

Twierdzenie 9. Dla opcji europejskich call i put na akcje nie płacące dywidendy, zachodzi związek (zwany parytetem cen opcji) C − P = S0 − Ke−rT ,

(50)

gdzie r jest ciągłą stopą wolną od ryzyka na danym rynku. Twierdzenie 10 (Uogólnienie tw. 9). Jeśli akcja płaci dywidendy, to równanie parytetu wygląda następująco: C − P = S0 − Φ0 (D) − Ke−rT ,

(51)

gdzie Φ0 (D) jest wartością obecną (zdyskontowaną) dywidend. Twierdzenie 11. Dla opcji amerykańskich call i put na akcje niepłacące dywidend, zachodzi następujące ograniczenie parytetowe S0 − Ke−rT ­ C − P ­ S0 − K .

(52)

Ogólne warunki na ceny opcji Przez C A oznaczać będziemy cenę amerykańskiej opcji call, przez C E – cenę europejskiej opcji call, przez P A – amerykańskiej opcji put, P E – cenę europejskiej opcji put. Ceny bez dodatkowych oznaczeń odnosić się będą do obu typów opcji (amerykańskiej i europejskiej jednocześnie). • C, P ­ 0 • C < S0 , P < K • Dla opcji europejskiej call: C E − P E = S0 − Ke−rT ⇒ C E > S0 − Ke−rT • Dla opcji europejskiej put: C E = P E + S0 − Ke−rT , C E < S0 ⇒ P E − Ke−rT < 0 ⇒ P E < Ke−rT , 0 ¬ C E = P E + S0 − Ke−rT ⇒ P E ­ Ke−rT − S0 . Twierdzenie 12. Zachodzą następujące prawidłowości:



1. Jeśli K (1) < K (2) , to C E K (1) > C E K (2) i P E K (1) < P E K (2) .


2. Jeśli K (1) < K (2) , to C E K (1) − C E K (2) ¬ K (2) − K (1) i P E K (2) −
P E K (1) ¬ K (2) − K (1) .         (1) (2) (1) (2) (1) (2) 3. Jeśli S0 < S0 , to C E S0 < C E S0 i P E S0 > P E S0 .       (1) (2) (2) (1) (2) (1) (1) 4. Jeśli S0 < S0 , to C E S0 − C E S0 ¬ S0 − S0 i P E S0 −   (2) (2) (1) ¬ S0 − S0 . P E S0

Wycena opcji metodą drzewkową Przypuśćmy, że cena instrumentu podstawowego (np. akcji) może zmienić się w t = 1 do dwóch możliwych wartości – S0 (1 + d) lub S0 (1 + u), przy czym

7

d < 0, zaś u > 0, z odpowiednimi prawdopodobieństwami 1 − p lub p. W ten sposób ( S0 (1 + u) = S0u z prawd. p S1 = (53) S0 (1 + d) = S0d z prawd. 1 − p Podejście replikacji portfela zastosować można do dowolnego instrumentu pochodnego, np. dowolnego typu opcji. Przez f (.) oznaczmy funkcję wypłaty z instrumentu pochodnego. Ogólnie, niech ( f (S0u ) z prawd. p
f (S1 ) = . (54) f S0d z prawd. 1 − p Cena dowolnego instrumentu pochodnego na jeden okres Cf (S0 , 1, K) =



1 f (S0u ) p∗ + f S0d (1 − p∗ ) , 1+r

(55)

gdzie Cf jest szukaną ceną instrumentu pochodnego, a p∗ =

r−d . u−d

(56)

Mamy bowiem Cf (S0 , 1, K) =

1 Ep∗ (f (S1 )) = Ep∗ 1+r



 1 f (S1 ) . 1+r

(57)

Rozpatrzmy model dwuokresowy (tzn. T = 2). Załóżmy, że dla S0u mamy znowu dwa możliwe stany (w górę lub dół) w następnym okresie, które oznaczymy odpowiednio S0uu = S0 (1 + u)(1 + u) i S0ud = S0 (1 + u)(1 + d). Podobnie dla S0d mamy dwa możliwe stany – S0dd = S0 (1 + d)(1 + d) i S0du = S0 (1 + d)(1 + u). W najprostszym ujęciu mamy zatem S0ud = S0du . Zatem w chwili t = 1 możemy obliczyć cenę instrumentu pochodnego jak w modelu jednookresowym (

1 Cf (S0u , 2, K) = 1+r f (S0uu ) p∗ + f S0ud (1 − p∗ )


Cf (S1 , 2, K) = , (58) 1 Cf (S0d , 2, K) = 1+r f S0du p∗ + f S0dd (1 − p∗ ) stąd


1 Cf (S0u , 2, K)p∗ + Cf (S0d , 2, K)(1 − p∗ ) = 1+r


f (S0uu ) (p∗ )2 + f S0ud · 2p∗ (1 − p∗ ) + f S0dd (1 − p∗ )2 . (59)

Cf (S0 , 2, K) = =

1 (1 + r)2

Prawdopodobieństwo p∗ określa zatem rozkład dwumianowy. Przez prostą indukcję otrzymujemy zatem dla T = n i dowolnego instrumentu podstawowego, którego wypłaty zależą tylko od ceny instrumentu podstawowego w chwili T , ogólny wzór Cf (S0 , n, K) =

1 Ep∗ (f (ST )) , (1 + r)n

(60)

gdzie p∗ określa prawdopodobieństwo w rozkładzie dwumianowym z n próbami. 8