Wybrane wzory matematyczne A

J X-

' tg

CL

1

(A A B C -bD E F )

= ax + b b =f ( x 0) - f ' ( x 0)-x0 p

( a ) = p ( a \b 1) p ( b 1) + p ( a \b 2 ) p ( b 2 ) + . . . + p ( a \b i i ) p ( b ii) ya= f ' ( x" ) ' < ' x ~ x' ^ + f ( x' ) S i l l G J

a, < a 2 < a , < . . . < a n A ' = ( x , - y )

, 2 n +flf_ X “f tg a + tg B a* 0 (AABC-ADEF) '

tg a tg/3 tg ( a + /3 ) = — ------ cos B t g ( a - p ) = — ------------- < n6. \ V 1 - t g a -tgjS „ , V -r.i ^ l + t g a - t g j 8

i ° ] A'=(x’- y )P=il J g? j l g+$ p=(w »)

-

P \-°~\p = ( X0, y 0 )

-

sin ( a + £ -3 6 0 °) = sin a o ,005(0 + &-360°) = c o sa 2 tg (a + £•180°) = tg a , V3 _ y /?[ ] ^ 0 tg a

“ę ł -

k

tg a

całkowite

f )( 5 ; ) ^ 0 d la 1 < i < n AB

( A A B C ~ A D E F ) A B sin“ (

ax + b V3

p tg a P [']

l° g ,o X

COS

(& A B C - A D E F ) S-t

1

' ' -

' -

U «+l

2

2

w

Mw„)A ' = (x ,- y )

x > 0

73

/(4=4*-*i)(*-*2) 2 72+ 1 sin«

.s a +c =b +d 2'ga T log|0* tg a

2 tg «

P = (Wo) 0 ) + /( * o ) A> 0

A: + Sy + C = 0.

W, - a , + W, • a „ + . . . + W,

A > 0

w, + w9 +

P ( Ą ) > 0 d la 1 < / < /

a n+\

2 1

(AABC ~ ADEF) , -

^

y = ax + b?LŁ

a

-

2,

m

O A ' = s- O A

y = ax + b

4

a x • a2 ■

an

y = f { x 0)- (x - x 0) + f ( x 0) \

•j

,

(A A B C - A D E F )

v

\

A

r

— + a ^ ’7 2a < o 2 l 2 A > o f +1j £>0 a +c =6+rf_y = £VC+ b

KAPITAŁ LUDZKI N A R O D O W A S T R A T E G IA S P O J N O Ś C I

MINISTERSTWO EDUKACJI NARODOWEJ

CEN TRA LN A KOM ISJA EG ZA M IN A CYJN A

UNIA EUROPEJSKA

EUROPEJSKI FUNDUSZ SPOŁECZNY

Spis treści

1.

Wartość bezwzględna liczby............................................................................................................................ 1

2.

Potęgi i pierwiastki............................................................................................................................................ 1

3.

Logarytmy...........................................................................................................................................................2

4.

Silnia. Współczynnik dwumianowy................................................................................................................ 2

5.

Wzór dwumi anowy Newtona........................................................................................................................... 2

6.

Wzory skróconego mnożenia........................................................................................................................... 3

7.

C iągi.................................................................................................................................................................... 3

8.

Funkcj a kw adratow a......................................................................................................................................... 4

9.

Geometria analityczna....................................................................................................................................... 4

10.

Planim etria......................................................................................................................................................... 6

11.

Stereometria..................................................................................................................................................... 12

12.

Trygonometria..................................................................................................................................................14

13.

Kombinatoryka.................................................................................................................................................16

14.

Rachunek prawdopodobieństwa.....................................................................................................................17

15.

Parametry danych statystycznych................................................................................................................. 18

16.

Granica ciągu.................................................................................................................................................... 18

17.

Pochodna funkcj i ..............................................................................................................................................19

18.

Tablica wartości funkcji trygonometrycznych.............................................................................................20

Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie. Warszawa 2015

1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY Wartość bezwzględną liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem: x

d la x > 0

-x dla x < 0 Liczba |x| jest to odległość na osi liczbowej punktu x od punktu 0. Dla dowolnej liczby x mamy: |x| > 0

|x| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0

|—x| = |x|

Dla dowolnych liczb x, y mamy: |x +jyl < |x| + |_y| Ponadto, jeśli y ^ 0, to

x - y \< x + \y\ X

|x-_y| = x •\y\

X

\ y Dla dowolnych liczb a oraz r > 0 mamy: y

|x - a\ < r wtedy i tylko wtedy, gdy a - r < x < a + r |x - a | > r wtedy i tylko wtedy, gdy x < a - r lub x > a + r

2. POTĘGI I PIERWIASTKI Niech n będzie liczbą całkowitą dodatnią. Dla dowolnej liczby a definiujemy jej n-tą potęgę: a" = n razy

Pierwiastkiem arytmetycznym yfa stopnia n z liczby a > 0 nazywamy liczbę b> 0 taką, że bn = a. W szczególności, dla dowolnej liczby a zachodzi równość:

= \a\.

Jeżeli a < 0 oraz liczba n jest nieparzysta, to yfa oznacza liczbę b < 0 taką, że b" = a. Pierwiastki stopni parzystych z liczb ujemnych nie istnieją. Niech m, n będą liczbami całkowitymi dodatnimi. Definiujemy: 1 dla a *0: a "= n a m

dla a >0: o A

dla a

a n - =Va* ii

1 ”=— —

Niech r, s będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli a> 0 i b > 0, to zachodzą równości: a r • a s = a r+s

r-s (( a rrY] == aa rs

a

= a r~s

\ r ar a -—— br Kb)

f ( a - b j = a r -br

Jeżeli wykładniki r, s są liczbami całkowitymi, to powyższe wzory obowiązują dla wszystkich liczb a 0 i b 0.

1

3. LOGARYTMY Logarytmem loga c dodatniej liczby c przy dodatniej i różnej od 1 podstawie a nazywamy wykładnik b potęgi, do której należy podnieść a, aby otrzymać c: loga c - b wtedy i tylko wtedy, gdy a - c Równoważnie: a log„ c = c Dla dowolnych liczb x > 0 , y > 0 oraz r zachodzą wzory: log„(*■ y ) = loga x + loga y

loga x = r - loga x

Jt loga - - loga x - loga y

Wzór na zamianę podstawy logarytmu: jeżeli a > 0 , a ^ l , b > 0 , b ^ l oraz c > 0, to i loga c lo%bc = >og„ b Logarytm log10 x można też zapisać jako log x lub lg x.

4. SILNIA. WSPÓŁCZYNNIK DWUMIANOWY Silnią liczby całkowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od 1 do n włącznie: nl - 1 -2 Ponadto przyjmujemy umowę, że 0! = 1. Dla dowolnej liczby całkowitej n > 0 zachodzi związek: (n + 1)! = «!•(«+1) Dla liczb całkowitych w, k spełniających warunki 0 < k < n definiujemy współczynnik dwumianowy yk) (symbol Newtona): r n\ n\ ykj

k\(n-k)\

Zachodzą równości: f

—1 )(/7 —2 )

Kk j

—A: + l )

kl I n 1 Vn - k J

I”} lo J

5. WZÓR DWUMIANOWY NEWTONA Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy:

6. WZORY SKRÓCONEGO MNOŻENIA Dla dowolnych liczb

a ,

b\

'2 -> r , r.2 (a + 6)“ = a. 22 +, lab + b2

/ _ , r \3 3 (a + b j = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

[ a - b y = a2 - 2 ab + b2

(a - b f = a3 - 3 a 2b + 3ab2 - b3

Dla dowolnej liczby całkowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzór: . n-2 i . . . i n-l\ a w - bi n - y( a - bl j\[i a h -1 +a b + ... +, a n - k bj k - 1 +... +. abi n-2 +b I

W szczególności: a2 - b 2 = ( a - b ) ( a + b)

a2 -1 = ( a - l ) ( a +1)

a3 - b 3 = ( a - 6 ) ( a 2 +ab + b2^J

a3 -1 = ( a - l ) ( a 2 + a + l)

a3 +b3 = (a + 6 )(a 2 - a b + b2^j

a3 +1 = (a + l) ( a 2 - a +1) a" -1 = ( a - l ) ( a ,,_1 + a ”~2 + ... + a + l)

7. CIĄGI • Ciąg arytmetyczny Wzór na «-ty wyraz ciągu arytmetycznego (a H) o pierwszym wyrazie c/, i różnicy r: an = ax + ( n - l ) r Wzór na sumę Sn = ax + a2 +... + an początkowych n wyrazów ciągu arytmetycznego: a +a 2a1+ ( « - l ) r 1------ •n = ------- -------— •n 2

2

Między sąsiednimi wyrazami ciągu arytmetycznego zachodzi związek: 5 tl± 5 i± l 2

dla

n>1

• Ciąg geometryczny Wzór na n-ty wyraz ciągu geometrycznego (an) o pierwszym wyrazie ax i ilorazie q: an = ax ■q"~l

dla

n >2

Wzór na sumę Sn = ax + a2 +... + an początkowych n wyrazów ciągu geometrycznego: 1- q n 1- q

S .=

n •^

dla

q* 1

dla

q -1

Między sąsiednimi wyrazami ciągu geometrycznego zachodzi związek: a 2 = an [ •an+l

dla

n >2

• Procent składany Jeżeli kapitał początkowy K złożymy na n lat w banku, w którym oprocentowanie lokat wynosi p % w skali rocznej i kapitalizacja odsetek następuje po upływie każdego roku trwania lokaty, to kapitał końcowy K n wyraża się wzorem: f K —K

\

1+ - ? V 1° ° ,

8. FUNKCJA KWADRATOWA Postać ogólna funkcji kwadratowej: / (x) = ax2 +bx + c, a ^ 0, x < e R. Wzór każdej funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci kanonicznej: / ( x ) = a ( x - p f + q , gdzie p =

, q=

A = b2 - 4 ac

Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych (p,q). Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy a > 0 ; do dołu, gdy a < 0. Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej / (x) = ax2 +bx + c (liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania ax2 +bx + c - 0 ), zależy od wyróżnika A - b 1 - 4ac : - jeżeli A < 0, to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych), - jeżeli A = 0, to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trój mian kwadratowy ma jeden b pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste): x1 - x 2 ------2a - jeżeli A > 0, to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste): —b —y[K

—b + VA

2a

2a

1

Jeśli A > 0, to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej: / ( x ) = a ( x - x 1) ( x - x 2)

• Wzory Viete’a Jeżeli A > 0, to -b a

3C-1

_ c a

9. GEOMETRIA ANALITYCZNA • Odcinek Długość odcinka o końcach w punktach A - ( xA, vA), B - [xB, yB) jest dana wzorem:

\AB\ = ^ ( xb ~ xa)2 +{yB - y a)2 Współrzędne środka odcinkami?:

v,••

y A+yB o

4

• Wektory Współrzędne wektora AB: AB = [xB - x A, y B - y A] Jeżeli u - \ux,u2], v - [v,,v2] są wektorami, zaś a jest liczbą, to u + v - [/./[ + vx,u2 + v2]

a ■u ~ [a ■ux, a ■u2]

• Prosta Równanie ogólne prostej: Ax + By + C = 0, gdzie A 2 + B 2 ^ 0 (tj. współczynniki A, B nie są równocześnie równe 0). Jeżeli A = 0, to prosta jest równoległa do osi Ox\ jeżeli B = 0, to prosta jest równoległa do osi Oy\ jeżeli C = 0, to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych. Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona równanie kierunkowe: y - ax + b Liczba a to współczynnik kierunkowy prostej: a - tg a Współczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w którym dana prosta ją przecina. Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym a, która przechodzi przez punkt P - (x0, v0): y = a { x - x 0) + y 0 Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty A = (xA, y A}, B= (xB, y By.

(.y ~ y A)( xb ~ xa ) - (yB - y

A)(x ~ xa )= 0

• Prosta i punkt Odległość punktu P - (x0, v0) od prostej o równaniu Ax + By + C = 0 jest dana wzorem: \Ajc0

+By0 +C |

J a 2+b 2 • Para prostych Dwie proste o równaniach kierunkowych: v = axx + bx

v = a2x + b2

spełniają jeden z następujących warunków: - są równoległe, gdy ax = a2 - są prostopadłe, gdy axa2 = -1 - tworzą kąt ostry ę \ tg X

y = cos x

y = tg x

Związki między funkcjami tego samego kąta sin2a +cos2a =1 tg a = Sma cosa

dla

a ^ ^ r + kn, 2

całkowite

a

sina

cosa

tg a

0

0

1

0

30°

45°

o O VO

0°

^o oo

Niektóre wartości funkcji trygonometrycznych

n

n

6

n 4

n 2

1

V2

2

2

V3 2

V3

V2

1

2

2

2

V3 3

1

3

1

0 nie istnieje

15

• Funkcje sumy i różnicy katów Dla dowolnych kątów a, fi zachodzą równości: sin (a + /?) = sina cos /? + co sa sin/?

s in (a - /?) = sina cos /? -c o s a sin/?

cos(a +/? ) = cos a cos/? - s in a sin/?

co s(a -/? ) = cosa cos/? + sin a sin/?

Ponadto mamy równości: t g(a + / n =

tgn+tg/i 1-tga-tg/?

tg(a - / n =

t g n ~ tg/i 1+ tg a -tg/?

które zachodzą zawsze, gdy są określone i mianownik prawej strony nie jest zerem. • Funkcje podwojonego kąta sin 2 a = 2 sin a cosa co s2 a = cos2a - s i n 2a = 2cos2a - l = l - 2 s i n 2a tg 2 a =

2tg a 1- tg “a

Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych n ® —P s in a + sin/? = 2 sin —- — cos—- —

• ■ n / n\ / n\\ sina sin/? = - —(cos(a + / ? ) - c o s ( a -/ ?) )

„ a + P . a —P s i n a - s i n / ? = 2 c o s ------- sin--------

n 1f n. cosa cos/? = —(cos(a + /?) + c o s ( a - /? ) ) 2

co sa + cos/? = 2 cos ~ ~~~ cos

sin aco s/? = -^(sin(a +/?) + sin(a -/? ) )

a + P . a~P cos a - cos p = - 2 sin -----—sin-----— Wybrane wzory redukcyjne

sin(90° + a ) = co sa

cos(90° + a ) = - s in a

s in ( l8 0 ° - a ) = sina

c o s (l8 0 ° - a ) = - c o s a

sin(l80° + a ) = - s in a

cos(l80°+ a ) = -c o s a

ii

c o s ( 9 0 ° - a ) = sin a /”5 S i o O 00 ł-H

s in ( 9 0 ° -a ) = co sa

-tg a

tg (l8 0 °+ a ) = tg a

• Okresowość funkcji trygonometrycznych s in (a + ł-3 6 0 °) = sin a

co s(a + k -360°) = cos a

tg (a + k -180°) = tga,

ł-c a łk o w ite

13. KOMBINATORYKA • Wariacie z powtórzeniami Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k niekoniecznie różnych wyrazów, jest równa nk. • Wariacje bez powtórzeń Liczba sposobów, na które z n różnych elementów można utworzyć ciąg, składający się z k ( l < k < n ) różnych wyrazów, jest równa

• Permutacje Liczba sposobów, na które n (n > 1) różnych elementów można ustawić w ciąg, jest równa //!. •

Kombinacje

Liczba sposobów, na które spośród n różnych elementów można wybrać k (0 < k < n) elementów, jest równa

14. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA •

Własności prawdopodobieństwa

0co

n —>co

Jeżeli ponadto bn ^ 0 dla n> 1 oraz b ^ 0, to ,. a„ a lim -r- = Tb n—^co Oy, 18

•

Suma wyrazów nieskończonego ciągu geometrycznego

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny (aH) , określony dla n> 1, o ilorazie q. Niech (Sn) oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu (an), to znaczy ciąg określony wzorem Sn - ax + a2 +... + an dla n> 1. Jeżeli |