Vorlesung Grundlagen der Videotechnik Vorlesung 7

Modulationsarten

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7. Modulationsarten Wie bekommen wir unser Signal über die Senderwelle übertragen? • wir können unser Signal (Ton, Video) nicht direkt auf eine Antenne geben. • die Wellenlängen wären zu groß [Ton: einige 1000km, mit entsprechenden Antennenausmaßen] • wir hätten auf diese Weise nur einen Sender → für die Übertragung müssen sehr viel höhere Frequenzen gewählt werden → müssen für die Übertragung günstig sein und eine Auswahl mehrerer Sender ermöglichen Wie bekommen wir unsere Nutzinformationen (Ton, Video) auf die Senderwelle? • es gibt eine Reihe von Möglichkeiten → z.B. Amplituden Modulation (AM) 2

7.1 Amplituden Modulation (AM) • die Nutzinformation steckt in der Amplitude der Senderwelle • älteste Modulationsart [Fessenden, ca. 1910-1929, erste Experimente mit Übertragung zu Schiffen. Anfangs war Nutzen unklar!] • mathematische Formulierung: • Nutzsignal: s(t ) ,∣ s (t )∣≤1 • Trägerwelle: sin (ω T t ) mit ω T als Trägerfrequenz • Amplitudenmodulation: (1+ s(t))⋅A⋅sin (ωT t ) mittlere Amplitude der Trägerwelle

Warum die 1? • um sicherzustellen, dass dieser Wert positiv bleibt (um eine positive Amplitude sicher zu stellen)

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Veranschaulichung: Signal [z.B. Ton]

s(t )

Quelle: www.elektronik-kompendium.de

Senderwelle

sin (ω T t )

Amplituden-Moduliertes Signal

(1+ s(t))⋅A⋅sin (ωT t ) .≥0 4

Welche Eigenschaften hat diese Modulation? Wie ist sie zu demodulieren? Demodulation • sehr einfach (einer der Vorteile der AM) Diode, lässt Strom „nur in eine Richtung durch“ Zwischenfrequenz (ZF) von Mischer/ ZF-Filter

Demoduliertes Signal (1+s(t)) Kondensator zur Tiefpassfilterung → entfernen der Trägerfrequenz

Beachte: die Modulation erscheint unverändert, nun auf der Zwischenfrequenz. 5

Kennlinie einer Diode Strom I

I = I s⋅(e

U n∗U T

−1) , mit I s ,U T , n = Diodenkonstanten

Spannung U ca. 0,7 V

→ Diode hat eine exponentielle Kennlinie, also sehr stark nicht linear Anschaulich: Nach Diode:

Nach Tiefpassfilterung:

Beachte: auf einfache Weise sehr präzise Rekonstruktion. 6

Eigenschaften Wie ist die Bandbreite der AM? Ansatz:

Wir können unser Nutzsignal s(t) zerlegen in eine Summe von Sinussignalen, z.B. mit Hilfe einer FourierTransformation. Das gilt für den Ton und wie wir gesehen haben auch für Bilder (Ortsfrequenzen).

Um die Bandbreite herauszufinden, können wir eine dieser SinusFrequenzen auswählen, z.B. die höchste Frequenz. Nennen wir sie ω s (Kreisfrequenz ω s=2 π f s )

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Amplitudenmodulation mit dieser höchsten Nutzfrequenz ω s :

(1+ s(t ))⋅A⋅sin (ωT t ) = (1+sin (ω S t ))⋅A⋅sin (ωT t ) = ((sin (ωT t )+sin (ω S t ))⋅sin (ωT t))⋅A Trägerfrequenz

Mult. von Träger mit Nutzfrequenz

→ Multiplikation von 2 Sinus-Termen: wir erhalten die Summenund Differenz-Frequenz

1 (sin (ωT t )+sin (ω S t))= (cos((ωT −ω S )t )−cos((ωT +ω S )t)) 2

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Veranschaulichung: Spektrum Ampl. 1 1/2

sin(ωT t) 1 cos((ωT −ω S )t) 2

ωT −ω S

1 cos((ωT +ω S )t) 2

ωT

ωT +ω S

f

Also: wie groß ist die Bandbreite des AM Signals, wenn das Nutzsignal eine Bandbreite von ωT hat? (d.h. Signalfrequenzen 0,... ,ω S ) Antwort: AM Bandbreite ist 2 ωT ! (Einmal oberhalb des Trägers, einmal unterhalb des Trägers) 9

Nochmal Demodulation: Diode ist starke Nichtlinearität. • wenn wir ein Signal aus einer Summe von Sinustermen auf eine Nichtlinearität geben, gibt es Wechselwirkungen zwischen diesen Sinus-Termen. • Mathematisch zu sehen: wenn Dioden-Kennlinie als TaylorReihe geschrieben wird → Exponentialfunktion ist bekannte Taylor-Reihe: n ∞ x e x =∑n=0 ← enthält auch x 2 Term n! • Quadrat-Term von Summenfunktion enthält Multiplikation zwischen Summanden: (a+b)2=a 2 +2ab+b 2 → hier bekommen wir wieder Multiplikation von Sinus-Termen! 10

• Bei der AM haben wir (wie gesehen) die Frequenzen: ωT , ωT +ω S ,ωT −ω S (also sin (ωT t) ) • Die Multiplikation mischt sie wieder und es ergeben sich

ωT +ωT +ω S ,ω T +ω S −ωT ... • Jetzt müssen noch die „interessanten“ Anteile herausgefiltert werden: → Tiefpassfilter: • blockiert: ωT +ωT +ω S ,... ← die hohen Frequenzen

• lässt durch: ωT +ω S −ωT =ω S ← Nutzsignal → Mathematische Begründung, warum Demodulation

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• Einsicht: Demodulation ist eigentlich eine Mischung des AM Signals mit seinem eigenen Träger! (Heruntersetzen auf die Basisfrequenz des Signals)

• Träger bei AM (Term sin (ωT t ) ) hat keine eigene Information! Er wird nur benötigt für die einfache Mischung im Empfänger mittels Diode, um Empfänger einfach zuhalten! • Wenn wir diese Frequenz im Empfänger erzeugen würden, könnten wir auf diesen Träger bei der Übertragung, im Sender verzichten. • Weglassen des Trägers hätte Vorteile: • eingesparte Senderleistung • verringertes Störpotential für z.B. Nachbarsender 12

• Weglassen des Trägers z.B. möglich durch weglassen des Terms „1“ in der Modulation → sin (ω S t)⋅sin (ωT t )⋅A • Auf diese Weise bekommen wir nur die beiden Seitenbänder mit der eigentlichen Nutzinformation. Im Empfänger können wir das Signal trotzdem demodulieren durch Hinzufügen einer lokalen erzeugten Trägerfrequenz. Beachte: Frequenz muss sehr genau stimmen, sonst gibt es Frequenzverschiebungen des demodulierten Signals! → macht Empfänger teuer.

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7.2 Modulation – Matlab/Octave Beispiel Wir haben einen Mittelwellen Sender mit 1 Mhz Trägerfrequenz (1 Mio. Schwingungen pro Sekunde), und wollen einen Ton der Frequenz 1 kHz (1000 Schwingungen pro Sekunde) mittels Amplituden-Modulation übertragen. Zunächst wollen wir sehen, wie der 1 kHz Ton klingt. Dafür nehmen wir eine Sound-Ausgabe mit einer Abtastfrequenz von 32 kHz an (32000 Abtastwerte pro Sekunde). Dies bedeutet dass jede Schwingung unseres 1 kHz Tones durch 32 Abtastwerte abgetastet wird. Um diese Abtastwerte zu erzeugen, schreiben wir in Matlab, für 2 Sekunden 1 kHz Ton: ton = sin(2*pi/32*(1:64000)); und zum anhören: sound(ton,32000);

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Um die Modulation auf den 1 MHz Träger zu simulieren, brauchen wir aber eine höhere Abtastfrequenz, z.B. 4 MHz. Damit ergeben sich für eine Trägerperiode 4 Abtastwerte, und für eine Tonperiode 4000 (=(4 Mio AW/s) /(1000 Schwingungen/s)) Abtastwerte. Nehmen wir an wir wollen eine Zeitspanne von 10 Perioden unseres Tonsignales simulieren, also 1/100 Sekunde. Dann brauchen wir 4 Mio. AW pro Sek * 1/100 Sek=40000 Abtastwerte. Der Träger wird dann traeger = sin(2*pi/4*(1:40000)); und unser 1 kHz Tonsignal: ton = sin(2*pi/4000*(1:40000)); Beachte dass wir unser Tonsignal nicht zu normalisieren zu brauchen, weil sein Betrag schon nicht größer als 1 wird.

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Um das Prinzip zu verdeutlichen, multiplizieren wir es trotzdem mit 0.5. Die Amplituden-Modulation wird nun: AM = (1+0.5*ton) .* traeger; Beachte das .* was eine elementweise Multiplikation durchführt. Mit plot(AM) erhält man den zeitlichen Verlauf des AM Signales:

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Beachte dass der Ton als einhüllende des Trägers erscheint. Dies entspricht dem Bild, dass ein Oszilloskop in einer Hardwareimplementierung erzeugen würde. Mit plot(AM(1:100)) erhält man einen Ausschnitt vom Anfang des Signals, der die Trägerwelle zeigt:

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Nun können wir den Frequenzbereichs-Plot berechnen, mit dem Befehl „freqz“. Dies kann als Entsprechung eines Spectrum-Analyzers in einer Hardwareimplementierung angesehen werden.

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Da die Seitenbänder durch die Modulation nur 1/1000 der Trägerfrequenz neben dieser erscheinen, brauchen wir eine entsprechend hohe Frequenzauflösung. Die Gesamtzahl der Abtastpunkte im Frequenzbereich lässt sich in freqz vorgeben. Wir wählen 2^16 = 65536, und erhalten daher: freqz(AM,1,65536) Nach hereinzoomen um den Träger erhalten wir folgenden Plot, in Octave z.B. mit: subplot(3,1,2) axis([0.4975 0.503 20 95])

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Hier sehen wir im oberen Plot den Betrag, im unteren die Phase (die hier uninteressant ist). Wir sehen den Träger bei der normaliserten Frequenz 0.5, welches die halbe Nyquist-Frequenz bedeutet, welches wiederum die halbe Abtastfrequenz ist. Bei 4 MHz Abtastfrequenz ist unsere Nyquistfrequenz also 2 MHz, und die normierte Frequenz 0.5 entspricht unserer 1 MHz Trägerfrequenz. Im Abstand von +/- 0.0005 um den Träger sehen wir unsere Seitenbänder, welches in der Tat dem Abstand +/- 1 kHz entspricht! 20

7.3 Modulation – Zeigerdiagramm Spektrum des Nutzsignals:

ω max

f

viele Sinus-Komponenten Amplituden moduliertes Signal:

ωT −ω max

ωT +ω max 2 π f T =ωT Frequenz der Trägerwelle

f

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Beachte: Bandbreite des AM Signals ist doppelt so groß wie die Bandbreite des aufmodulierten Nutzsignals. Beispiel AM Rundfunk: Nutzsignal ist Audiosignal mit 4 kHz Bandbreite → AM Signal hat eine Bandbreite von 8 kHz Heisst auch: Bandbreite des Nutzsignals wird beschränkt durch die Bandbreite des Übertragungskanals (Hälfte des Übertragungskanals). Mittelwelle Europa: Kanalabstand 9 kHz, benachbarte KanalSender sollten weit entfernt sein. Aber: Meiste Empfänger filtern nur die 9 kHz

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Nur etwas breiter als Telefon (3,5 kHz). Grund für geringe Bandbreite: Mittelwelle ist bei relativ niedrigen Frequenzen (550-1600 kHz), man möchte möglichst viele Sender unterbringen. Anwendung im Fernsehen: Übertragung der Helligkeitsinformation/ Luminanz TV: Basisband: ca. 5 MHz für die Luminanz → erhebliche Bandbreite, größer als z.B. gesamtes Mittelwellen Band → Brauchen breiteres Band → brauchen höhere Frequenzen: 2 VHF Bänder: 45 – 68 MHz, 175-225 MHz 1 UHF Band: 470 – 800 MHz → 330 MHz Bandbreite 7 MHz → 47 Kanäle 23

Besonders im UHF Band ist die gebrauchte Bandbreite vorhanden. Kanalabstand im UHF Band: 7 MHz (UHF = Ultra-High-Frequency) Aber: AM mit Videobandbreite 5 MHz ergibt 10 MHz Bandbreite → zu viel Lösung: Wegfiltern eines der beiden AM Seitenbänder (das untere), so dass nur ein kleiner Rest bleibt. → Rest-Seitenband Modulation

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Filter-Übertragungsfunktion für Rest-Seitenband

Amplitude

ω

ωT Rest-Seitenband

reduzierter Träger

→ Durch das Filtern: Bandbreite verringert, so dass das Signal über den Kanal passt, Nutzinformation bleibt aber die gleiche, steckt vollständig im oberen Seitenband. → könnte man auch für AM-Rundfunk verwenden. Da dafür neue Standards nötig sind (neue Empfänger) wird gleich auf digitalen Rundfunk umgestellt (DRM).

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Rest-Seitenband-Modulation ist eine einfache Möglichkeit, Bandbreite zu reduzieren, und den Empfänger trotzdem simpel zu halten. → Es gibt weitere, auch effizientere Möglichkeiten. Dafür ist mathematische Beschreibung sinnvoll: j ω ⋅t sin (ω T⋅t)=I m(e ) Eulersche Formel: j ω ⋅t e =cos (ω T⋅t)+ j⋅sin (ω T⋅t) T

T

Veranschaulichung: Im

∣(e j ϕ )∣ ← Betrag: j ϕ abs (e

j∗sin (ϕ) ϕ

cos(ϕ)

)= √ cos2 (ϕ)+sin 2 (ϕ)=1

Re

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Diese mathematische Formulierung kann für die Beschreibung der AM Demodulation verwendet werden, durch Verwenden des Betrages. → Denn: Betrag entspricht der Amplitude oder Einhüllenden Modulation: I m((1+ s(t))e

j ωT⋅t

Demodulation: abs ((1+ s(t)) e

) j ωT⋅t

)

reell-wertig

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Beachte: der Empfänger hat meist nicht beides, Imaginär und

Realteil. Aber das Ergebnis der Betragsbildung entspricht der AM Demodulation über Diode, welche die Einhüllende liefert. s(t) lässt sich auf ähnliche Weise zerlegen: Angenommen: s(t )=sin(ω s⋅t )=

1 j ω ⋅t − j ω ⋅t (e −e ) 2j s

s

1 j ω ⋅t − j ω ⋅t j ω ⋅t (e −e ))e ) 2j 1 j(ω +ω )⋅t − j(ω −ω )⋅t j ω ⋅t (e + (e −e )) = abs 2j

Demodulation: abs ((1+ T

Träger

s

s

T

s

T

T

s

oberes unteres Seitenband Seitenband 28

Veranschaulichung durch 3 Drehzeiger: j ω ⋅t : Drehzeiger mit der Winkelfrequenz des Trägers (schnell) e e j (ω +ω )⋅t ,e j (ω −ω )⋅t : Drehzeiger vom Nutzsignal T

T

S

T

S

→ erster dreht schnell, zweiter dreht langsamer als Träger-Zeiger. Im

ω T⋅t

Re

Projektion auf Im-Achse ergibt sin des Trägers

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Interessant: wie verhalten sich die Nutzsignal-Zeiger relativ zum TrägerZeiger? Im oberes Seitenband

ωS

ωS

unteres Seitenband Schwankungsbereich

ωT Träger Zeiger

Re

Beachte: Absolutwertbildung (Einhüllende bei Diodendemodulation) ist identisch mit Imaginärteil. Kein Realteil, da die Realteile der beiden Seitenbänder sich aufheben. Bei (fiktiver) Imaginärteilbildung würde daher nur eines der Seitenbänder zur korrekten Demodulation reichen. 30

Rest-Seitenband: unteres Seitenband verkleinert Im oberes Seitenband

ωS

ωS

unteres Seitenband

Summen-Zeiger

Re

→ Realteile heben sich nicht mehr auf! → Betrag (Einhüllende bei Diodendemod.) ist nicht mehr gleich dem (eigentlich korrekten) Imaginärteil, wie bei 2 vollständigen Seitenbändern → Leichte Verzerrungen bei Dioden-Demodulation! → Diese Verzerrungen können durch den Sender ausgeglichen werden, da sie bekannt sind (Vorverzerrung) 31

Beachte: Durch die Betragsbildung ist die AM unabhängig von der Phase des Zeigers der Trägerwelle → AM Demodulation ist unabhängig von der Phasenlage des Trägers. Beispiel: es ist egal, ob eine sin oder cos Funktion Träger ist (nur 90° Phasen-Diff.) → praktische Beschreibung! → können wir so die weiteren Probleme der AM lösen? → Träger (nicht wirklich für Informationsübertragung nötig) → doppeltes Seitenband (Bandbreiten-ineffizient) AM mit Träger:

(1+ s(t))sin (ωT⋅t )

AM ohne Träger: s(t )sin (ω T⋅t) → keine 1 mehr! 32