Katrin Hiemer/Elisabeth Vogt

Vorbereitung auf den Hauptschulabschluss Mathematik

MANZ VERLAG

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Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu § 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk gestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen.

Manz Verlag © Klett Lernen und Wissen GmbH, Stuttgart 2006 Alle Rechte vorbehalten Lektorat: Jürgen Grimm, Braunschweig Herstellung und Grafiken: PER Medien+Marketing, Braunschweig Illustrationen: Gerd Bauer, Nürnberg Umschlagkonzept: KünkelLopka, Heidelberg Umschlagfoto: Fotostudio Maurer, Bamberg Druck: Finidr s.r.o., Cˇ eský Teˇ sˇ ín ISBN 10: 3-7863-3051-4 ISBN 13: 978-3-7863-3051-6 www.manz-verlag.de

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Tipps zum Training mit diesem Buch Dieses Buch hilft dir bei der gezielten Vorbereitung auf die Abschlussarbeit im Fach Mathematik. Du kannst es aber auch während des letzten Schuljahrs nutzen, um das in der Schule Gelernte zu festigen, Themen zu wiederholen oder um dich gezielt auf Klassen­arbeiten bzw. Schulaufgaben vorzubereiten. Im Kapitel „A Grundrechenarten“ findest du alle wichtigen Rechenregeln von den natürlichen Zahlen bis zu den Potenzen und Wurzeln. Das Kapitel „B Zuordnungen“ bietet dir eine Fülle von Text- und Sachaufgaben. Die Prozent- und Zinsrechnung wird ausführlich in Kapitel C behandelt. Das Lösen von Gleichungen kannst du in Kapitel D trainieren. Alle wichtigen Themen der Geometrie findest du in Kapitel E. Alle Kapitel sind gleich aufgebaut: Zunächst werden die wichtigen Begriffe erklärt und Regeln zusammengefasst, dann werden Beispiele vorgestellt. Im Anschluss folgen Übungsaufgaben mit ansteigendem Schwierigkeitsgrad. Mit diesen kannst du deine Fähigkeiten testen bzw. die Inhalte an geeigneten Aufgaben wieder­ holen. Mithilfe der ausführlichen Lösungen (ab Seite 103) kannst du überprüfen, ob du die Aufgaben richtig gelöst hast oder auch herausfinden, was du falsch gemacht hast. Im Kapitel F (ab Seite 91) findest du zwei Abschlussarbeiten aus verschiedenen Bundesländern. Mit ihnen kannst du den „Ernstfall“ durchspielen. Alles, was du dazu wissen musst, ist bei den jeweiligen Arbeiten gesagt. Auch zu diesen ­Arbeiten gibt es sehr ausführliche Lösungen ab Seite 153.

Viel Erfolg und einen guten Abschluss wünschen dir die Autorinnen und der Verlag.



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Inhalt A

Grundrechenarten

1 2 3 4 5

B

Der Prozentbegriff36 Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz40 Vermehrter und verminderter Grundwert46 Zinsrechnung 54

Gleichungen

1 2

E

Proportionale Zuordnungen 24 Umgekehrt proportionale Zuordnungen 26 Anwendungen 28 Zusammengesetzte Größen30 Mischungsverhältnisse34

Prozent- und Zinsrechnen

1 2 3 4

D

6 9 11 16 20

Zuordnungen

1 2 3 4 5

C

Grundwissen Dezimalbrüche (Dezimalzahlen) Brüche Rationale Zahlen Potenzen und Wurzeln

Terme umformen Rechnen mit Gleichungen

60 62

Geometrie

1 2 3 4

Zeichnen und Konstruieren Der Satz des Pythagoras Flächen Körper

70 75 77 83



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F

Testarbeiten



1 2

Abschlussarbeit Mathematik des Jahres 2005 in Hessen Qualifizierender Hauptschulabschluss 2005 Bayern

91 97

Lösungen A B C D E F

Grundrechenarten Zuordnungen Prozent– und Zinsrechnen Gleichungen Geometrie Testarbeiten

103 109 116 128 135 153



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A Grundrechenarten

A Grundrechenarten 1 Grundwissen Rechenarten Addition und Subtraktion Addieren heißt „zusammenzählen“, „plus“ rechnen oder die „Summe bilden“. 418 + 2 987 = 3 405 + 2 987   418 Umkehraufgabe 3 405 Summe Ergebnis der Summe – 2 987

Subtrahieren heißt „abziehen“, „minus“ rechnen oder die „Differenz bilden“. 3 405 – 2 987 = 418   Differenz Ergebnis der Differenz

Multiplikation und Division Multiplizieren heißt „malnehmen“ oder das „Produkt bilden“.

807 · 74

 

= 59 718 · 74 807 Umkehraufgabe 59 718 Produkt Ergebnis des Produkts : 74

Dividieren heißt „geteilt“ rechnen oder den „Quotienten bilden“. 59 718 : 74 = 807   Quotient Ergebnis des Quotienten

Runden und überschlagen Die Rundungsregel lautet: Bei 0, 1, 2, 3, 4 wird abgerundet, bei 5, 6, 7, 8, 9 wird aufgerundet. Die Stelle rechts neben der zu rundenden Zahl entscheidet dies. Hier im Beispiel wird auf ganze Zahlen gerundet, die erste Stelle nach dem Komma („Zehntel“) entscheidet das Auf- oder Abrunden.

17,5

0

1

2

3

abrunden 17 17,0

17,1

17,2

17,3

4

5

17,6

6

17,7

17,8

17,9

18 aufrunden

7

8

9

17,4



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1 Grundwissen

Beispiele

Runde 83 063 auf „Hunderter“.  Die 6 entscheidet das „Aufrunden“ – aus der 0 wird eine 1. Die gerundete Zahl heißt 83 100. Runde 173,84 auf eine Stelle nach dem Komma („Zehntel“).  Die 4 entscheidet das „Abrunden“ – die 8 bleibt. Die gerundete Zahl heißt 173,8.

Tipp

Wenn bei Aufgaben nicht angegeben ist, wie du runden sollst, dann runde ­„sinnvoll“, z. B. bei Euro auf zwei Stellen nach dem Komma, denn ein Euro hat nur 100 Cent. Der Überschlag bei einer Aufgabe ist sinnvoll, denn er gibt an, wie groß ein Ergebnis ungefähr ist, d. h. wie viele Stellen das Ergebnis haben muss. Runde dabei großzügig und verwende Zahlen, mit denen du einfach im Kopf rechnen kannst. So hast du eine gute Kontrollmöglichkeit. 4 273,72 + 506 ø 4 300 + 500 = 4 800 523,8 – 12,73 ø 520 – 10 = 510 17,397 · 4,91 ø 17 · 5 = 85 923 : 17,55 ø 900 : 18 = 50

Beispiele

1. Runde die Zahlen zuerst auf ganze Zahlen, dann auf zwei Stellen nach dem Komma. a) 18,7553 b) 124,907 c) 73,195 d) 728,378 e) 8,792 f) 13,048

Aufgaben

2. Wandle in die angegebene Einheit um und runde auf ganze Zahlen. km 2 486 m

318 Ct 9 642 kg

2,486 km ø 2 km

t

1

m 98 cm

1

cm

kg

1 559 Ct 4,264 m 2,5902 t

km

t

738 m

4 073 kg

1 ø

1

3. Mach den Überschlag und a) 4 270,89 + 379,13 d) 2 108,3 – 11,98 g) 7 176,4 : 189,83

notiere dein Ergebnis. b) 973,758 + 128 e) 69,58 · 7,09 h) 12 429 : 3 750,76

c) 13,4 – 0,792 f) 121,2 · 0,84



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A Grundrechenarten

Rechenregeln Klammerregeln: Was in Klammern steht, wird zuerst berechnet. Steht ein Minus vor der Klammer, kannst du die ­Klammer weglassen, musst aber die Rechenzeichen in der Klammer umkehren. Aus + wird –, aus – wird +. Die Rechenzeichen · und : bleiben unverändert. Punkt-vor-Strich-Regel: „Punkt“ – Rechnungen (· und :) werden vor „Strich” – Rechnungen (+ und –) gerechnet. „Punkt – vor – Strich“ gilt auch in einer Klammer.

Beispiele



9 · (5 + 3) = 9· 8 = 72

(32 – 17) : 3 = 15 :3=5

4 86 – (32 + 59) = 18 : 3 + 24 = 86 –   32 – 59 = 395 4  6   + 24 = 3

Aufgaben

4. Berechne. a) 356 – 18 ∙ 6 c) 173 + 96 : 8 – 91 e) 36 ∙ (42 + 3) : 9 + 107

252 – (56 – 98) = 252 –   56 + 98   = 294 113 – (17 + 81 : 9) = 113 – (17 + 9 ) = 113 – 17 – 9 = 87

b) 17 ∙ 28 + (789 – 469 : 7) ∙ 2 d) 215 + (64 – 56) : 4 f) 2 738 – (563 + 65 ∙ 3) – 47

5. Löse die Textaufgaben. Schreibe zunächst die genaue Form mit Rechen­ zeichen auf. a) Addiere die Zahlen 713 und 5 109 und subtrahiere die Zahl 812. b) Subtrahiere vom Produkt der Zahlen 13 und 7 die Zahl 52. c) Bilde den Quotienten aus den Zahlen 108 und 12 und addiere dann 33. d) Multipliziere 15 mit einer unbekannten Zahl (x); das Ergebnis des Produkts ist 195. e) Dividiere die Differenz aus den Zahlen 513 und 88 durch die Summe der Zahlen 16 und 9. f) Bilde das Produkt der Zahlen 18 und 6; subtrahiere davon den Quotienten aus diesen Zahlen.



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2 Dezimalbrüche (Dezimalzahlen)

2 Dezimalbrüche (Dezimalzahlen) Du findest beide Bezeichnungen. Die Bezeichnung „Brüche“ kommt daher, dass nach dem Komma „Zehntel“, „Hundertstel“, etc. folgen.

Addieren und Subtrahieren Beim schriftlichen Addieren und Subtrahieren musst du Komma unter Komma schreiben. Schreibe jede Ziffer in ein Kästchen, dann machst du keinen Fehler. Die fehlenden Dezimalstellen nach dem Komma kannst du mit Nullen auffüllen, dann geht das Rechnen leichter. Vergiss das Komma nicht, wenn du mit dem Taschenrechner rechnest. 53,07 + 714,851 + 0,3

425,8 – 13,92 – 7,001

53,070 714,851 +   0,300 768,221

425,800 oder: –   13,920 –   7,001 404,879

6. Schreibe richtig untereinander und berechne. a) 672,89 + 37,9 + 0,24 b) 11 – 7,2 + 328,09 d) 468,32 – 52,87 e) 0,798 – 0,45 f) 59,14 – 22,68 – 3,044 g) 12 344,07 – 0,008

Beispiele 13,920 425,800 +  7,001 –   20,921 20,921 404,879

c) 156,02 + 3,718 – 0,6

Aufgabe

Multiplizieren und Dividieren Beim Multiplizieren rechnest du zunächst wie mit ganzen Zahlen. Dann musst du bei beiden Dezimalbrüchen die Stellen nach den Kommas zusammenzählen und vom Ergebnis abstreichen.

Beispiel

16,37 · 18,2 163 700 130 960 3 274   297,934 Beim Dividieren eines Dezimalbruchs durch eine ganze Zahl rechnest du wie mit ganzen Zahlen. Wenn du das Komma beim Rechnen „über­schreitest“, musst du im Ergebnis das Komma setzen. Sind beide Zahlen Dezimalbrüche, werden sie so lange „erweitert“, bis du durch eine ganze Zahl teilen kannst. Das Komma „wandert“ nach rechts.



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A Grundrechenarten

Tipp

Wenn die erste Dezimalzahl weniger Kommastellen als die zweite hat, musst du Nullen anhängen (z. B. 23,1 : 4,72 = 2 310 : 472).

Beispiele

17,832 : 4 = 4,458 7,137 : 2,08 = 713,7 : 208 = 3,43125 ø 3,43 624 16   18   897   16   832    23  650    20   624     32    260     32    208      0     520     416     1040     1040        0

Aufgaben

7. Multipliziere die Dezimalbrüche. a) 47,3 · 0,25 b) 519,7 · 12,3 d) 22,931 · 0,17 e) 1,007 · 6,4

c) 17,03 · 0,9 f) 0,89 · 0,7

8. Berechne; die Aufgaben a) bis d) kannst du vielleicht auch im Kopf schaffen. a) 1,8 : 2 b) 14,4 : 12 c) 5,6 : 7 d) 160,88 : 4 e) 1 253,96 : 16 f) 702,6 : 8 g) 2,306 : 5 h) 9  641,85 : 15 9. Dividiere die Zahlen. Runde, wenn nötig, auf zwei Stellen nach dem Komma. a) 1,28 : 0,4 b) 39,2 : 3,5 c) 377 : 1,45 d) 10,508 : 0,37 e) 13,957 : 2,94 f) 2 504,5 : 73,47 g) 78,32 : 0,6 h) 0,9 : 12,9

10. Löse die Textaufgaben. Setze Klammern, wo es notwendig ist. a) Subtrahiere vom Quotienten aus den Zahlen 915 und 18,3 die Zahl 23,24. b) Addiere zum Produkt aus den Zahlen 17,9 und 4,83 die Differenz aus den Zahlen 18,3 und 9,02. c) Dividiere die Zahl 225 durch 12 und subtrahiere davon 17,3. d) Multipliziere die Zahl 24 mit der Summe aus den Zahlen 29,87 und 18,9. e) Subtrahiere von der Summe aus den Zahlen 408,91 und 58,13 die Diffe­ renz aus diesen Zahlen. f) Bilde die Summe aus der Zahl 713 und der Differenz aus den Zahlen 183,3 und 17,08. 11. Beachte die Rechenregeln und berechne. a) 627,68 : 4 – 2 · 17,3 b) 43 873,2 – (2 156,03 + 17,17) c) 0,18 · 6 – (0,38 + 0,07) d) (12,7 + 3,78 : 9) – 8,35

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