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PROPOSIÇÃO DAVYDOVIANA DO ENSINO DESENVOLVIMENTAL ACERCA DO CONCEITO DE NÚMERO Priscila de Mattos – FFCLRP/USP ([email protected]) Financiamento/Apoio: OBEDUC/CAPES

Modalidade: Comunicação Científica RESUMO A proposição davydoviana fez-se objeto de estudo dessa comunicação na busca de evidenciar a importância do pensamento teórico, como sendo aquele que promove as abstrações e generalizações. Para tanto, adiantamos que a ascensão do abstrato ao concreto, em relação ao conceito de grandezas, proporciona o movimento que corresponde a partir do geral para o particular. Assim sendo, contraria as tendências e práticas pedagógicas vigentes predominantes que, na verdade, assumem o pressuposto do particular para o geral. Por defendermos a perspectiva histórico-cultural é que, mais uma vez, ressaltamos nosso objeto de pesquisa, que, no limite, se localiza na organização curricular e, particularmente, no ensino dos conjuntos numéricos a partir dos números reais, utilizando a reta numérica. Discutiremos, especialmente, a proposição que aborda a introdução do conceito de número no 1º ano do EF. De maneira alguma tal assunto será esgotado, sendo retomado ao longo de todo o corpo do texto.

A PROPOSIÇÃO DAVYDOVIANA FRENTE AO MODELO DE ENSINO BRASILEIRO Trataremos, ao longo desta comunicação, dos fundamentos teórico-

metodológicos considerados por Davýdov e sua equipe de colaboradores russos. Na proposição do sistema de ensino davydoviano, evidencia-se o movimento conceitual de ascensão do abstrato ao concreto, sendo este último considerado o ponto de partida e de chegada do processo de apropriação do conhecimento. Captado inicialmente na sua forma sensorial e por meio do processo de análise mediado por abstrações, o concreto resulta na síntese, * A dissertação que deu origem a esse trabalho foi orientada pela Profa. Dra. Elaine Sampaio Araujo– FFCLRP/USP

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nova qualidade atribuída ao concreto de partida, ou seja, atinge o concreto pensado (DAMAZIO; CARDOSO; SANTOS, 2014; ROSA; MORAES; CEDRO, 2010; ROSA, 2012). Essa proposição se contrapõe ao ensino atual, pois o concreto e o abstrato são entendidos como momentos do pensamento. De tal modo, buscamos discutir o assunto partindo do movimento conceitual do sistema de ensino de Davýdov em relação ao conceito de número e expressão das significações algébricas, aritméticas e geométricas, no 1º ano do EF. Os conceitos inter-relacionados às significações revelam a preocupação com o desenvolvimento do pensamento teórico desde o 1º ano escolar. Segundo Rosa (2012), no modo davydoviano de ensino, o número apresenta-se em um sistema de representações objetal, gráfico e literal que permite ao estudante o alcance de níveis de abstrações cada vez mais complexos, isto é, permite que ele atinja o núcleo gerador do conceito de número, ou seja, a abstração primeira marcada pela relação de igualdade e desigualdade, entre grandezas de mesma espécie. Então, inicia-se neste momento o movimento de ascensão do abstrato ao concreto, o que é sucedido pela contagem oriunda do processo de medição em que uma grandeza é unidade de medida da outra. Para Davídov (1988), o início da vida escolar da criança é caracterizado por várias mudanças e responsabilidades. Nesse momento, ela inicia a “atividade de estudo” prioritária, que possibilitará a apropriação dos conceitos científicos embasados teoricamente. Seguindo a matriz teórica do materialismo histórico dialético, Davýdov toma como pressuposto, as teses do materialismo dialético: [...] a atividade prática como base do pensamento humano; o ideal como reflexo do objeto; pensamento empírico e o pensamento teórico têm suas particularidades e conteúdos específicos; a modelação como meio do pensamento científico;

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o pensamento tem seus componentes (sensorial e o racional); o procedimento da ascensão do abstrato ao concreto (ROSA, 2012, p. 37).

Assim, a atividade de estudo requer uma organização de ensino que contemple “tarefas de estudo” (Atividade principal (estudo) ↔ tarefas de estudo ↔ ações ↔ tarefas particulares). Estas se vinculam a “ações de estudos”, que requerem tipos especiais de “tarefas particulares” que, no momento de suas execuções, pelos estudantes, exigem determinadas operações (DAVÝDOV, 1982). Ao discutir a educação escolar e a atividade de estudo, Davídov (1988) argumenta que a criança não chega à escola sabendo estudar, tal atividade não é inata. O desenvolvimento dá-se mediante um processo de apropriação, que requer a organização da atividade de estudo. O professor, ao preparar o estudante para um prolongado trabalho de estudos, possibilita que ele tenha um desenvolvimento psíquico geral, além de uma capacidade para estudar até de forma autônoma, futuramente. Isto porque o desenvolvimento do pensamento teórico caracteriza-se pela análise, reflexão e ação mental (DAVÍDOV, 1988). O

ENSINO DESENVOLVIMENTAL:

PENSAR E

OPERAR

COM OS

CONCEITOS Para Davýdov, o conteúdo da atividade de estudo é o conceito teórico (ROSA, 2012, p. 48) e, por sua vez, o conteúdo é a base do ensino que promove o desenvolvimento (DAVÍDOV, 1988). Porém, qual conteúdo? O conhecimento científico teórico é que deve ser apropriado pelo estudante. Por isso, a importância do professor que orienta a atividade, para que haja relação geral – principal – e suas manifestações por meio de relações particulares. Relação geral e principal, a serem percebidas e relacionadas, promovem a

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generalização teórica do que está proposto para estudo. Assim, Davídov (1988, p. 178, tradução nossa), de acordo com o conceito de atividade proposto por Leontiev (1978), afirma que: [...] a necessidade da atividade de estudo estimula os estudantes a assimilarem os conhecimentos teóricos; os motivos, a assimilar os procedimentos de reprodução destes conhecimentos por meio das ações de estudo, dirigidas a resolver as tarefas de estudo (lembremos que a tarefa é a unidade do objetivo da ação e das condições para alcançá-lo).

Como já dito anteriormente, a apropriação do conhecimento produzido historicamente, para Davídov (1988), se dá por meio das ações de estudo. As ações de estudo são as que orientaram a resolução de tarefas de estudo. Em síntese, as tarefas de estudo são a “união do objetivo com a ação e das condições para o seu alcance” (ROSA, 2012, p. 54). O autor defende que a tarefa de estudos é a unidade fundamental da atividade de estudo, ou seja, é a célula. Por isso, a organização da atividade de estudo segue: tarefas gerais de estudo, ações de estudo e tarefas particulares. Pela atividade de estudo há o movimento de assimilação dos procedimentos generalizados da ação, que está relacionada com os conceitos científicos (DAVÍDOV, 1988). Vigotski (2009) retrata a importância do desenvolvimento dos conceitos científicos na idade escolar, ao mencionar seu processo de apropriação e de formação conceitual. Ao tratar do conceito, estamos em um movimento de generalização, aquele que ocorre quando há o desenvolvimento das máximas potencialidades da criança, não se reduzindo a associações mentais. O processo de formação dos conceitos promove o desenvolvimento de várias funções psicológicas que não estão atribuídos apenas à memorização e à assimilação. Esperar que o estudante esteja de posse do conhecimento científico/conceito apenas por repetição verbal é um ato equivocado por parte do professor, pois não há apropriação dos conceitos com significação.

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Assim, para cada tarefa de estudo, Davídov (1988) propõe seis ações de estudo, realizadas a partir de um sistema de tarefas particulares. As seis ações são: 1) Transformação dos dados da tarefa a fim de revelar a relação universal, geral, do objeto estudado; 2) Modelação da relação universal na unidade das formas literal, gráfica e objetal; 3) Transformação do modelo da relação universal para estudar suas propriedades em forma pura; 4) Dedução e construção de um determinado sistema de tarefas particulares que podem ser resolvidas por um procedimento geral; 5) Controle da realização das ações anteriores; 6) Avaliação da apropriação do procedimento geral como resultado da solução da tarefa de estudo dada (DAVÍDOV, 1988, p. 181, tradução nossa).

A tarefa de estudo e as tarefas particulares não são a mesma coisa. No movimento de estabelecer relações do geral para o particular, os estudantes estarão em contato com a tarefa de estudo, pois, ao dominarem o procedimento geral da ação, desenvolvem novos conceitos. Ao estarem em contato com as tarefas particulares, os estudantes dominam os procedimentos de solução para determinadas situações particulares (DAVÍDOV, 1988). Ao longo do material analisado (GORBOV; MIKULINA; SAVIELIEV, 2008; DAVÝDOV et al., 2012), podemos inferir, segundo estudos de Rosa (2012) e Damazio, Cardoso e Santos (2014), que o estudante que realiza as tarefas propostas terá contato, primeiramente, com a relação geral da matemática, a grandeza. Essas tarefas, “embora não estejam diretamente relacionadas ao conceito de número”, são as que revelam “as condições necessárias para o surgimento do referido conceito” (ROSA, 2012, p. 35). Depois, o estudante é levado à necessidade de uma nova forma de comparação, para além das características de um objeto ou figura. Ao estabelecerem as particularidades e relações de tamanho, forma e posição, os

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estudantes são capazes de estabelecer outras propriedades secundárias como, por exemplo, a cor, de forma não empírica.

O MOVIMENTO LÓGICO-CONCEITUAL ORGANIZADOR DO ENSINO EM DIREÇÃO OPOSTA AO MOVIMENTO HISTÓRICO DOS NÚMEROS REAIS.

Davýdov (1982) aponta que o estudante, ao realizar generalizações empíricas, pode não se apropriar do conhecimento teórico, pois não chegará às generalizações em nível teórico, devido ao ensino estar embasado em operações de observação, comparação e associações limitadas. Essa limitação leva à ascensão do particular para o geral. Dessa forma, o estudante não está em movimento de operar mentalmente com o conceito. Não sair da aparência do objeto implica a não revelação dos seus traços internos, portanto, não há como operar com eles em sua plenitude. Logo, a assimilação de um conceito é um movimento de ida e volta, do geral para o particular, do particular para o geral. Ao entender o conceito dos números reais, partindo do genérico, há como fazer essa relação dialética de ida e volta com os outros conjuntos numéricos. Mas como não cair na generalização empírica? A relação precisa com o objeto demonstra uma generalização genérica, saindo da situação concreta para a abstrata, do objeto ao conceito. A apropriação do conceito científico está no movimento do abstrato ao concreto, ou seja, do conceito ao objeto ao qual intencionamos (VIGOTSKI, 2009). Retomamos que o conceito científico vai em caminho oposto ao desenvolvimento dos conceitos ditos espontâneos, contradizendo a lógica formal. Partir do conhecimento teórico, dos conceitos científicos, abre caminhos e possibilidades para o conhecimento empírico, dos conceitos espontâneos,

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devido à estruturação de apreensão das propriedades superiores que os qualificam, as funções psicológicas superiores (DAVÝDOV, 1982). Davýdov (1982) confirma que a ascensão do abstrato ao concreto (pensado) configura-se como princípio didático necessário a uma organização do ensino, de modo que o estudante esteja em atividade, possibilitando a formação do pensamento teórico. O conceito essencial, a gênese grandeza, é o predominante dos números reais. Davýdov (1982) diz que os números tanto naturais quanto reais são momentos particulares do objeto matemático grandeza, por este ser o mais geral. Este permitirá a concepção de que há uma inter-relação da aritmética com a geométrica, que se manifesta na reta numérica. Essa concepção nos permite falar sobre os racionais e, logo, sobre os reais. Para Caraça (2010, p. 53), “um segmento de reta é uma grandeza geométrica”. Portanto, ao compararmos dois segmentos, estamos realizando uma operação do campo geométrico e, ao mesmo tempo, aritmético. Ao expressarmos tal comparação de forma numérica ou mesmo algébrica, utilizamos uma unidade de medida não expressa por números, mas por letras, objetos, entre outros, como forma de abstração dos números concretos. Assim, o movimento lógico-conceitual que propomos como forma de organização do ensino vai em direção oposta ao movimento histórico dos números reais. Ao desenvolver os conceitos de cima para baixo, temos que o conceito grandeza é aquele que se sobrepõe aos outros e incorpora os mais particulares em relação a ele. Por exemplo, organizar o ensino a partir das contagens discretas, das unidades naturais, é iniciar da particularidade do conceito grandeza, qualidade do número real. Ressaltamos que o conjunto dos reais, como dito anteriormente, é o que abarca todas as operações fundamentais do cálculo (excluindo o campo vetorial). Nele estão as operações do campo aditivo e multiplicativo, logo, das

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operações inversas. Quanto mais particularizamos o conjunto numérico, mais restringimos as propriedades estruturais e as operações fundamentais (ROSA; MORAES; CEDRO, 2010). As três significações matemáticas estão presentes ao longo do material analisado, como já apresentado por Rosa (2012) e Damazio, Cardoso e Santos (2014). Isso nos mostra a relevância de tal movimento. Inclusive, podemos ressaltar que a proposição davydoviana se diferencia devido ao sistema de tarefas apresentar uma nova tarefa no sistema de outras tarefas, as quais “inter-relacionam diferentes propriedades” (ROSA, 2012, p. 85). Segundo Damazio, Cardoso e Santos (2014, p. 187), a representação objetal aparece, por exemplo, na tarefa (Figura 1) em que se solicita que, a partir de fichas, o resultado entre os respectivos volumes seja indicado.

Figura 1 – Representação objetal Fonte: Damazio, Santos e Cardoso (2014, p. 187).

A tarefa agora apresentada a seguir (Figura 2), e adaptada por Damazio, Cardoso e Santos (2014 p. 188) referente ao material de Davýdov, solicita que o estudante indique, após a comparação entre a quantidade de mel dos vidros e os pares de segmento, qual das representações é a correta, justificando a afirmação.

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Figura 2 – Representação Gráfica Fonte: Damazio, Santos e Cardoso (2014, p. 188).

Já a representação literal elucida-se na tarefa em que o estudante precisa modificar o nível de água de acordo com o esquema a seguir (Figura 3).

Figura 3 – Representação gráfica Fonte: Damazio, Santos e Cardoso (2014, p. 189).

Davýdov, ao apresentar as três formas de representação (objetal, gráfica e literal), revela sua concepção acerca do “movimento do pensamento no processo de apropriação do conhecimento” (DAMAZIO; CARDOSO; SANTOS, 2014, p. 189). Destacando-se duas características importantes: o ensino desenvolvimental é aquele que orienta o pensamento do geral para o particular; e os estudantes elaboram o momento da revelação “das condições de origem dos conhecimentos, em vez de recebê-los prontos” (ROSA, 2012, p. 51-52).

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O número obtido pela contagem, discreta e contínua, isto é, como operador, apresenta-se no material didático de Davýdov mesmo sem a referência à quantidade, como acontece usualmente nas escolas, o número apresenta-se por consequência das comparações diretas entre grandezas. A tarefa propõe a construção de outras áreas, indicadas no esquema:

Figura 4 – Introdução do número no sistema davydoviano Fonte: Damazio, Santos e Cardoso (2014, p. 190).

Para tanto, na reta, estabelece-se a unidade de medida escolhida, no caso, o segmento de reta que possui uma seta (►), que indica o sentido orientado com as extremidades marcadas por letras. A representação do modelo universal do conceito de número se expressa na forma A/E = N (A = segmento, E = unidade de medida adotada como padrão, N = número de medidas E em A.), que expressa a ideia genuinamente teórica do número real. Revela-se, pois, a síntese histórico-lógica do processo de medição das grandezas (DAVÝDOV, 1982). O numeral é entendido não apenas no sentido da contagem. O estudante compreende que a representação dos numerais e valores por meio dos segmentos da reta numérica é dada pelo princípio posicional e ordenado dos numerais na reta. Assim, ao ter contato com os números, entende-se que o número 10 é aquele que “guarda consigo a memória de todos os que o antecedem”, ou seja 10=9+1, 9=8+1, e assim sucessivamente.

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Em seguida, apontamos o aparecimento da “medida intermediária”. A relação na reta numérica é representada, com a possibilidade de operar no campo da adição e subtração. Além disso, ocorre o destaque do grau de desigualdade entre os valores, ou seja, a diferença, inclusive com os valores das sentenças numéricas representados na reta numérica (DAMAZIO; CARDOSO; SANTOS, 2014). Ao final do material temos as tarefas com foco para o conceito de inteiro, relacionando o todo e as partes. Temos, pois, a sistematização do conceito de que a soma das partes revela o todo e, ao subtrair do todo uma das partes conhecidas, pode-se obter outra parte, não necessariamente igual à primeira, logo, também se inicia o estudo acerca da contagem de números até 10 – composição (ROSA, 2012). A adição e a subtração passam a ser resolvidas com números até a segunda e, por fim, aparecem enunciados mais elaborados nas tarefas de estudo, que exigem do estudante, por meio do movimento desenvolvido ao longo de todo o material didático, a colocação em movimento do próprio conhecimento elaborado e apropriado (ROSA, 2012; DAMAZIO; CARDOSO; SANTOS, 2014).

SÍNTESE

Portanto, a organização da atividade de estudo baseia-se na concepção de que o ensino-aprendizagem se volte aos conhecimentos teóricos por meio das tarefas de ensino. Também contempla a realização de um conjunto de ações de estudo que leva à apropriação do sistema conceitual científico, que Davýdov define como sendo a base do pensamento teórico que promove a apropriação da gênese dos conceitos desenvolvidos, de maneira sóciohistórica.

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Enfim, a gênese do conceito de número, a grandeza, consequentemente a relação de comparação entre duas grandezas de mesma natureza, está presente ao longo de todo o sistema de tarefas de estudo. Ao comparar grandezas de mesma espécie, é possível representar tal registro na reta numérica, ou seja, tratar de unidades de medida referente à grandeza comprimento e da “medida intermediária”. Ao identificar quantas vezes uma unidade de medida adotada cabe no todo (multiplicidade), passa-se para a introdução das operações de adição, subtração e o surgimento do 0 (zero), representados na reta numérica. A importância do surgimento do 0 (zero) como resultado de sucessivas subtrações leva a uma nova qualidade do algarismo, diferente da tratada nas propostas de ensino usuais, que o colocam com sendo a ausência de elementos de um conjunto ou mesmo como sendo o nada. Por fim, as tarefas analisadas,

acerca

da

proposição

davydoviana,

contribuem

para

o

desenvolvimento de outras esferas: as ações coletivas promovem o surgimento da capacidade de cooperação; o individualismo no momento do estudo e das resoluções não toma propriedade nessa concepção de ensino (ROSA, 2012).

REFERÊNCIAS

CARAÇA, B. de J. Conceitos fundamentais da matemática. Lisboa: Gradiva, 2010. DAMAZIO, A.; CARDOSO, E. F. M.; SANTOS, F. E. Organização do ensino da matemática no sistema de ensino Elkonin-Davidov. Revista Electrónica de Investigación y Docencia, v. 11, p. 1-20, 2014. Disponível em: . Acesso em: 10 out. 2014.

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DAVÍDOV, V. V. La enseñanza escolar y el desarrollo psíquico: investigación teórica y experimental. Tradução de Marta Shuare. Moscú: Progreso, 1988. DAVÝDOV, V. V. Tipos de generalización en la enseñanza. 3. ed. Habana: Editorial Pueblo y Educación, 1982. DAVÝDOV, V. V. et al. Matemática, 1ª série. Livro didático e de exercícios para os estudantes da 1ª série. 2012. Apresentação em Power Point. Tradução de Elvira Kim do original em russo [Moscou: MIROS, Argus, 2012]. GORBOV, S. F.; MIKULINA, G. G.; SAVIELIEV, O. V. Ensino de Matemática. 1º ano: livro do professor do ensino fundamental (Sistema do D. B. Elkonin – V. V. Davidov). 2012. Apresentação em Power Point. Tradução de Elvira Kim do original em russo [2. ed. red. Moscou: Vita-Press, 2008]. LEONTIEV, A. N. Actividad, conciencia y personalidad. Buenos Aires: Ciencias del Hombre, 1978. ROSA, J. E. Proposições de Davydov para o ensino de Matemática no primeiro ano escolar: Inter-relações dos sistemas de sistema de significações numéricas. 2012. 244 f. Tese (Doutorado em Educação)–Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2012. ROSA, J. E.; MORAES, S. P. G.; CEDRO, W. L. As particularidades do pensamento empírico e do pensamento teórico na organização do ensino. In: MOURA, M. O. (Org.). A atividade pedagógica na teoria histórico-cultural. Brasília: Líber livro, 2010. p. 67-80. VIGOTSKI, L. S. A construção do pensamento e da linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 2009.