Teoremas del valor medio

Teorema de Rolle

Teorema de Cauchy

Teorema de Lagrange

Teorema de Rolle Sea 𝒇 𝒙 una función contínua en 𝒂; 𝒃 , derivable en 𝒂; 𝒃 y 𝒇 𝒂 = 𝒇(𝒃) entonces existe al menos un 𝒄𝝐 𝒂; 𝒃 tal que 𝒇´ 𝒄 = 𝟎

Interpretación geométrica: Este teorema asegura al menos la existencia de un punto en el intervalo cuya recta tangente es horizontal, con esas hipótesis [

]

Teorema de Lagrange (o del valor medio) Sea 𝒇 𝒙 una función contínua en 𝒂; 𝒃 , derivable en 𝒂; 𝒃 entonces existe al menos un 𝒄𝝐 𝒂; 𝒃 tal que 𝒇´ 𝒄 =

𝒇 𝒃 −𝒇(𝒂) 𝒃−𝒂

Interpretación geométrica: Este teorema garantiza la existencia de un valor 𝒄𝝐 𝒂; 𝒃 en el cual la recta tangente a 𝒇 𝒙 resulta paralela la recta que une los puntos 𝑎; 𝑓(𝑎) , 𝑏; 𝑓(𝑏)

Teorema de Cauchy Si 𝒇 𝒙 y g 𝒙 son funciones tales que son contínuas en 𝒂; 𝒃 , derivables en 𝒂; 𝒃 ; 𝒈´ 𝒙 ≠ 𝟎 ∀𝒙𝝐 𝒂; 𝒃 entonces existe al menos un 𝒄𝝐 𝒂; 𝒃 tal que 𝒇´(𝒄) 𝒈´ 𝒄

=

𝒇 𝒃 −𝒇(𝒂) 𝒈(𝒃)−𝒈(𝒂)

Interpretación geométrica del Teorema de Cauchy Este teorema tiene el mismo significado geométrico que el de Lagrange si se consideran las funciones 𝒇 𝒙 y g 𝒙 como las 𝒙 = 𝒈(𝒕) ecuaciones paramétricas de la curva: 𝒕𝝐 𝒂; 𝒃 𝒚 = 𝒇(𝒕)

𝑺𝒊 𝒕 = 𝒂 𝑨: 𝒈 𝒂 ; 𝒇 𝒂 𝑺𝒊 𝒕 = 𝒃 𝑩: 𝒈 𝒃 ; 𝒇 𝒃

Derivando en paramétricas: 𝒚′ =

𝒇′(𝒕) 𝒈′(𝒕)

Entonces si 𝑡 = 𝑐 𝑓′(𝑐) 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) = 𝑔′(𝑐) 𝑔 𝑏 − 𝑔(𝑎)

Regla de l´Hôpital Caso

𝟎 𝟎

Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704)

TEOREMA Sean 𝒇 𝒙 y g 𝒙 dos funciones que satisfacen el teorema de Cauchy en 𝒂; 𝒃 , con 𝒇´ 𝒙 𝐲 𝒈´ 𝒙 continuas, que se reducen a cero en 𝒙 = 𝟎 es decir 𝒇 𝒂 = 𝒈 𝒂 = 𝟎 entonces si existe 𝒇´(𝒙) 𝒇(𝒙) 𝒍𝒊𝒎 existirá también 𝒍𝒊𝒎 y se verifica que 𝒙→𝒂 𝒈´(𝒙)

𝒙→𝒂 𝒈(𝒙)

𝒇(𝒙) 𝒇´(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝒂 𝒈(𝒙) 𝒙→𝒂 𝒈´(𝒙)

Observaciones  La regla es válida también para aquellas funciones 𝑓 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) que no estén definidas para 𝑥 = 𝑎 pero lim 𝑓 𝑥 = 0 o 𝑥→𝑎

lim 𝑔 𝑥 = 0

𝑥→𝑎

 La regla se cumple 𝑓´ 𝑥 𝑦 𝑔´(𝑥) consideradas como funciones que también cumplen las condiciones del teorema de Cauchy, luego: 𝒇(𝒙) 𝒇´(𝒙) 𝒇´´(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 = ⋯…….. 𝒙→𝒂 𝒈(𝒙)

𝒙→𝒂 𝒈´(𝒙)

𝒙→𝒂 𝒈´´(𝒙)

 La regla también se puede aplicar al caso lim 𝑓 𝑥 = 0 o

lim 𝑔 𝑥 = 0 haciendo 𝑥 =

𝑥→∞

1 𝑡

𝟏 𝒇´ 𝒇( ) 𝒇(𝒙) 𝐥𝐢𝐦 = 𝐥𝐢𝐦 𝒕 = 𝐥𝐢𝐦 𝟏 𝒙→∞ 𝒈(𝒙) 𝐭→𝟎 𝐭→𝟎 𝒈( ) 𝒈´ 𝒕

𝑥→∞

𝟏 𝟏 𝒇´(𝒙) 𝒕 . (− 𝒕𝟐 ) = 𝐥𝐢𝐦 𝟏 𝟏 𝒙→∞ 𝒈´(𝒙) . (− 𝟐 ) 𝒕 𝒕

Regla de l´Hôpital Caso

∞ ∞

Guillaume François Antoine, marqués de l'Hôpital (1661 - 1704)

Sean 𝒇 𝒙 y g 𝒙 dos funciones continuas y derivables en un entorno reducido de “a” (𝐱 ≠ 𝒂) y 𝒈´ 𝒙 ≠ 𝟎 ∀𝒙 de dicho entorno y 𝒍𝒊𝒎𝒇 𝒙 = ∞ y 𝒍𝒊𝒎𝒈 𝒙 = ∞ entonces si existe se verifica que

𝒙→𝒂 𝒇´(𝒙) 𝒍𝒊𝒎 existirá 𝒙→𝒂 𝒈´(𝒙)

𝒇(𝒙) 𝒙→𝒂 𝒈(𝒙)

𝐥𝐢𝐦

𝒙→𝒂

𝒇´(𝒙) 𝒙→𝒂 𝒈´(𝒙)

= 𝐥𝐢𝐦

(También es aplicable para 𝒙 → ∞)

𝒇(𝒙) 𝒙→𝒂 𝒈(𝒙)

también 𝒍𝒊𝒎

y

Nota La regla de l´Hopital se puede aplicar únicamente para las indeterminaciones: 0 0

𝑜

∞ ∞

Por lo que otra indeterminación:

0. ∞

∞−∞

00

1∞

+∞0

debe transformarse en alguna de ellas para aplicar dicha regla.

Aproximación de funciones Los polinomios son funciones derivables en las que intervienen operaciones algebraicas básicas. No es así en funciones como las trigonométricas o logarítmicas, por ejemplo. Es por esto que es muy conveniente aproximar dichas funciones mediante un polinomio Veremos dos ejemplos gráficos

𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒙 𝑷𝟏 = 𝒙 𝒙𝟑 𝑷𝟑 = 𝒙 − 𝟔

Polinomio de aproximación Pn un polinomio de grado n en potencias de (x-a). 𝑷𝒏 = 𝑷𝒏 𝒂 +

𝑷´𝒏 𝒂 𝟏!

𝒙−𝒂 +

𝑷´´𝒏 𝒂 𝟐!

𝒙−𝒂

𝟐

+

𝑷´´´𝒏 𝒂 𝟑!

𝒙−𝒂

𝟑

𝑷𝒏 𝒏 𝒂 +… 𝒏!

𝒙−𝒂

Polinomio de Taylor Dada 𝑦 = 𝑓(𝑥) derivable hasta el orden n+1 en el entorno de un punto x=a, existe un polinomio 𝑃𝑛 (𝑥) de grado menor o igual que n que es: 𝑷𝒏 = 𝒇 𝒂 +

𝒇´ 𝒂 𝟏!

𝒙−𝒂 +

𝒇´´ 𝒂 𝟐!

𝒙−𝒂

𝟐

𝒇´´´ 𝒂 + 𝟑!

𝒙−𝒂

Fórmula del polinomio de Taylor

𝒇(𝒙) ≈ 𝑷𝒏 (𝒙)

𝒏 𝟑 +……𝒇 𝒂 𝒏!

𝒙−𝒂

𝒏

𝒏

Observaciones El polinomio de Taylor existe y es único. Cuantas más derivadas se calculen mejor será la aproximación en un entorno de x = a

El único caso en el que no se comete error en la aproximación es cuando se aproxima un polinomio

Definición Se llama En (x) a la diferencia entre los valores de la función y los del polinomio de aproximación: 𝐸𝑛 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑃𝑛 𝑥 → 𝑓 𝑥 = 𝑃𝑛 𝑥 + 𝐸𝑛 (𝑥)

Fórmula del polinomio de Taylor Donde

𝐸𝑛 𝑥 =

𝑓 𝑛+1 𝛿 .(𝑥−𝑎)𝑛+1 𝑛+1 !

𝛿𝜖(𝑎; 𝑏)

es el término complementario

Polinomio de Mc. Laurin Caso particular del polinomio de Taylor para a=0

𝑃𝑛 = 𝑓 0

𝑓´ 0 ++ 1!

𝑥

𝑓´´ 0 + 2!

𝑥2

+

𝑓´´´ 0 3!

El polinomio queda expresado en potencias de x

𝑓 3 𝑥 +……

𝑛

0 𝑛!

𝑥𝑛

Estudio de funciones Función creciente Una función definida en un intervalo I es CRECIENTE sii 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2 ) siempre que 𝑥1 < 𝑥2 , para todo 𝑥1 , 𝑥2 pertenecientes al intervalo I.

Observación

𝒇 𝒙𝟐

Si 𝑓 𝑥 es creciente en un intervalo, el ángulo que forman las rectas tangentes con el eje “x” es agudo, en consecuencia las pendientes de esas rectas son positivas.

𝒇 𝒙𝟏

𝒙𝟏

𝒙𝟐

∝ 𝑎𝑔𝑢𝑑𝑜 → 𝑡𝑔𝛼 > 0 → 𝑓 ′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼 𝒇 𝒙

Estudio de funciones Función decreciente Una función definida en un intervalo I es DECRECIENTE sii 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2 ) siempre que 𝑥1 > 𝑥2 , para todo 𝑥1 , 𝑥2 pertenecientes al intervalo I.

Observación 𝒇 𝒙𝟏

𝒇 𝒙𝟐

∝ 𝒙𝟏

𝛽

Si 𝑓 𝑥 es decreciente en un intervalo, el ángulo que forman las rectas tangentes con el eje “x” es obtuso, en consecuencia las pendientes de esas rectas son negativas

𝒙𝟐

∝ 𝑜𝑏𝑡𝑢𝑠𝑜 → 𝑡𝑔𝛼 < 0 → 𝑓 ′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ 𝐼

TEOREMA 1 Sea 𝑓 𝑥 derivable en el intervalo 𝑎; 𝑏 entonces:

 Si 𝑓 𝑥 = 𝑦 es creciente en 𝑎; 𝑏 entonces 𝑓 ′ 𝑥 ≥ 0 ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏  Si 𝑓 𝑥 = 𝑦 es decreciente en 𝑎; 𝑏 entonces 𝑓 ′ 𝑥 ≤ 0 ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏

TEOREMA 2 Sea 𝑓 𝑥 continua en el intervalo 𝑎; 𝑏 y derivable en el intervalo 𝑎; 𝑏 entonces:  Si𝑓 ′ 𝑥 > 0 ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 → 𝑓 𝑥 es creciente en 𝑎; 𝑏  Si𝑓 ′ 𝑥 < 0 ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 → 𝑓 𝑥 es decreciente en 𝑎; 𝑏  Si𝑓 ′ 𝑥 = 0 ∀𝑥 ∈ 𝑎; 𝑏 → 𝑓 𝑥 es constante en 𝑎; 𝑏

Llamaremos:  INTERVALO DE CRECIMIENTO de f: 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 / f ′(x)>0  INTERVALO DE DECRECIMIENTO de f: 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚 𝑓 / f ′(x) 𝑓(𝑥1 ) para todo ∆𝑥 suficientemente pequeño (positivo o negativo) en valor absoluto. Es decir será un mínimo relativo si existe un entorno de 𝑥1 tal que 𝑓 𝑥1 < 𝑓 𝑥 para todo x perteneciente al entorno

𝑓(𝑥1 )

(

) 𝑥1

𝑓(𝑥1 )

(

) 𝑥1

∄𝒇′(𝒙𝟏 ) 𝒇′(𝒙𝟏 ) = 𝟎

𝑥1

𝑥1

𝒇′(𝒙𝟏 ) = 𝟎

𝑥1

𝑥3 𝑥2 𝒇′(𝒙𝟏 ) = 𝟎

𝒇′(𝒙𝟐 ) = 𝟎

𝒇′(𝒙𝟑 ) = 𝟎

∄𝒇′(𝒙𝟐 ) 𝑥1

𝒇′(𝒙𝟏 ) = 𝟎

𝑥1

𝑥2

Condición necesaria para la existencia de extremo relativo Si 𝑓 𝑥 está definida en el intervalo 𝑎; 𝑏 y tiene un valor extremo (máximo o mínimo) en 𝑥 = 𝑥1 , con 𝑎 < 𝑥1 < 𝑏 , y además 𝑓 ′ 𝑥1 existe, entonces 𝑓 ′ 𝑥1 = 0 OBSERVACIONES:

La recíproca no es cierta: una función puede no tener ni máximo ni mínimo en el punto en que la derivada se anula

En los puntos donde no existe la derivada puede haber máximo o mínimo o ninguno de los dos.

∄𝒇′ 𝟎

∄𝒇′(𝟎)

No hay ni máximo ni mínimo

Hay mínimo en (0;f(0))

Una función puede tener extremos en aquellos puntos en los cuales: ∄𝒇′(𝒙) o 𝒇′ 𝒙 = 𝟎. (Puntos críticos)

Condiciones suficientes para la existencia de extremos relativos 1) Análisis del signo de la derivada primera Si 𝑓 𝑥 es una función continua en un intervalo abierto al cual pertenece el punto crítico 𝑥1 y 𝑓 𝑥 derivable en todos los puntos del intervalo, excepto posiblemente en 𝑥1 . Entonces si al pasar por dicho punto de izquierda a derecha:

a) 𝑓′ 𝑥 cambia de positiva a negativa entonces la función admite máximo en 𝑥 = 𝑥1 𝒙𝟏

𝑏) 𝑓′ 𝑥 cambia de negativa a positiva entonces la función admite mínimo en 𝑥 = 𝑥1 𝒙𝟏

c)𝑓′ 𝑥 no cambia 𝒙𝟏

de signo entonces no hay extremo en relativo en 𝑥 = 𝑥1

2) Análisis del signo de la derivada segunda Sea 𝑥1 un valor crítico de 𝑓 𝑥 tal que 𝑓´ 𝑥1 = 0 y además 𝑓´´ 𝑥 existe para todos los valores de 𝑥 en el intervalo abierto que contiene a 𝑥1 entonces: I.

Si 𝑓´´ 𝑥1 < 0 → 𝑓(𝑥) tiene máximo en 𝑥1

II. Si 𝑓´´ 𝑥1 > 0 → 𝑓(𝑥) tiene mínimo en 𝑥1 III. Si 𝑓´´ 𝑥1 = 0 → el criterio no decide.

CONCAVIDAD

Se dice que una función 𝑓 𝑥 es concava hacia abajo en a; b si todos los puntos de la misma están por debajo de cualquier recta tangente a la curva en ese intervalo

Se dice que una función 𝑓 𝑥 es concava hacia arriba en a; b si todos los puntos de la misma están por arriba de cualquier recta tangente a la curva en ese intervalo

( a

( a

) b

) b

Otra definición de concavidad Si 𝑓 𝑥 es una función derivable en un intervalo abierto, diremos que la gráfica de 𝑓 𝑥 es cóncava hacia arriba si 𝑓´ 𝑥 es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si 𝑓´ 𝑥 es decreciente en ese intervalo Entonces para poder determinar la concavidad usaremos la segunda derivada para saber donde crece o decrece la 𝑓´ 𝑥 (de la misma forma que usamos 𝑓´ 𝑥 para saber donde crece o decrece 𝑓 𝑥 )

 𝑓´(𝑥) ´ = 𝑓´´ 𝑥 > 0 → 𝑓´ 𝑥 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 → 𝑓 𝑥

𝑐. 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎

 𝑓´(𝑥) ´ = 𝑓´´ 𝑥 < 0 → 𝑓´ 𝑥 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒 → 𝑓 𝑥 𝑐. 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜

Criterio de concavidad

Sea 𝑓 𝑥 una función cuya derivada segunda existe en un intervalo abierto 𝑎; 𝑏 y  𝑓´´ 𝑥 > 0 ∀𝑥𝜖 𝑎; 𝑏 → 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑎𝑟𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑒𝑛 𝑎; 𝑏

 𝑓´´ 𝑥 < 0 ∀𝑥𝜖 𝑎; 𝑏 → 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑐ó𝑛𝑐𝑎𝑣𝑎 𝑎𝑏𝑎𝑗𝑜 𝑒𝑛 𝑎; 𝑏  𝑓´´ 𝑥 = 0 ∀𝑥𝜖 𝑎; 𝑏 → 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 lineal

PUNTO DE INFLEXIÓN

DEFINICIÓN: Si la gráfica de una fución continua posee recta tangente en un punto donde la concavidad cambia de sentido, llamaremos a ese punto PUNTO DE INFLEXIÓN

I

I

GEOMÉTRICAMENTE Si existe ese PUNTO DE INFLEXIÓN la recta tangente atraviesa la curva, de modo que a un lado del punto la curva está por debajo de la recta tangente y al otro lado está por encima.

𝒙𝟎

∄ 𝒇′(𝒙𝟎 ) -hay recta tangente vertical -hay punto de inflexión -cambia la concavidad de𝒇

∄𝒇′(𝒙𝟎 ) -no hay recta tangente -no hay punto de inflexión -cambia la concavidad de𝒇

𝒙𝟎

TEOREMA

Si 𝑥 = 𝑥1 es un punto de inflexión de la gráfica de 𝑓 𝑥 entonces 𝑓′′ 𝑥1 = 0 𝑜 ∄𝑓 ′′ 𝑥1 ; 𝑥1 ∈ 𝐷𝑜𝑚(𝑓)

𝐱 𝟑 − 𝟑𝐱 𝐟 𝐱 = 𝟑

Gráficas

de f(x) 𝐟 ′ (𝐱) = 𝐱 𝟐 − 𝟏

f´(x)

y 𝐟′′ 𝐱 = 𝟐𝐱

f´´(x)

Comparación de las gráficas de f(x), f´(x) y f´´(x) 𝐱 𝟑 − 𝟑𝐱 𝐟 𝐱 = 𝟑

𝐟 ′ (𝐱) = 𝐱 𝟐 − 𝟏

𝐟′′ 𝐱 = 𝟐𝐱