RELACION DE ORDEN: PRINCIPALES TEOREMAS Sean a, b, c y d números reales; se tiene que: 1. Si a < b  c < d  a + c < b + d 2. Si a  0  a2 > 0 3. Si a < b  -a > -b 4. Si a > 0  a-1 > 0 ; si a < 0  a-1 < 0 5. Si 0 < a < b  a-1 > b-1 > 0 ; si a < b < 0  0 > a-1 > b-1 6. ab > 0  (a > 0 ^ b > 0)v (a < 0 ^ b < 0) 7. ab < 0  (a > 0 ^ b < 0)v (a < 0 ^ b > 0) 8. si a  0 y b  0 entonces a  b  a2  b2 9. si b > 1  bx < by  x < y 10. si 0 < b < 1  bx < by  x > y 11. si b > 0  a2 < b  - b < a < b 12. si b  0  a2 > b  a > b a < - b  13.  a  0 , a  0 14. 0 < a < b  0 < a < b 15. a < b  a  0 ^ [ b>0 ^ a < b2 ] 16. a > b  {a  0 ^ [ b< 0  ( b  0 ^ a > b2 ) ] } 17. si b > 0 , a < b  -b < a < b 18. a > b  a > b  a < -b 19. a  b  a  b  a  b 20. a  b  a 2  b 2 21. si : a  x  b  0  x  max .a , b  a : máximo entero de a, a R 22. a  n  n  a  n  1; n   23. a  a  a   24. a  p  a  p  p   25. n   :i) a  n  n  a  n  1 ii) a  n  a  n ; iii) a  n  a  n ; 26. a  a  a  1 , a  R

iv) a  n  a  n  1

Página 1 – UNMSM

CONJUNTOS ACOTADOS Para

un

conjunto

no

vacío

de

números

reales,

tenemos

las

siguientes definiciones: 1. Se

dice

que

un

conjunto

A

está

acotado

superiormente

si

existe un número real M con la propiedad de que : x  M,  x A 2. Se

dice

que

el

conjunto

A

está

acotado

inferiormente

si

existe un número real m con la propiedad de que : x  m,  x A 3. Si el conjunto A está acotado superiormente e inferiormente, entonces se dice que está acotado. Los números reales M y m son llamados cotas del conjunto A y pueden ser o no elementos de A. 4. Si A es un conjunto acotado superiormente y si M0 es una cota superior de A la cual es menor o igual a cualquier otra superior, entonces M0 recibe el nombre de menor cota superior o supremo de A. Se denota por: M0 = Sup(A). 5. Si A es un conjunto acotado inferiormente y si m0 es una cota inferior de A la cual es mayor o igual a cualquier otra cota inferior, entonces m0 recibe el nombre de mayor cota inferior o ínfimo de A. Se denota por: m0 = inf(A). Observaciones: 1. si M es una cota superior de A y M A, entonces se dice que M es máximo de A. 2. si m es una cota inferior de A y m A, entonces se dice que m es mínimo de A. 6. Axioma del supremo.- todo conjunto no vació de números reales que es acotado superiormente tiene supremo. Análogamente, todo conjunto no vació de números reales que es acotado inferiormente tiene ínfimo. Página 2 – UNMSM

LUNES 28-03-2011

1) Hallar los valores reales de r para los que el conjunto solución de la siguiente ecuación no este contenida en : ( r + 5 )x² + 3rx – 4( r - 5) = 0 2) Hallar los valores reales de x que satisfacen la ecuación: x - 3 x  1  29 3) Resolver : 4) Resolver : 5) Resolver :

x ²  3x  2 x  2  x2 x2 3

x ²  1x  1²x ³  13x  12 0 x  4³x³  8x²  4 x  48

x  1  2  x  2

6) Resolver :

x²  4 x  3  x²  7 x  12

7) Resolver :

x²  14 x  13  x  1 x²  14 x  13  x  3

8) Resolver : 9) Resolver :

x  6  2x  6 x  3  2  x  3 ²  5 x  3  16 3

10) Resolver :

 x  2  ²  2 x  2  24

x 1 1  4  1  x  2 x 1  5

11) Resolver : 12) Resolver :

0





x 1  3  5  x  4 .



x 1  3  5  4  x  x  6

13) Hallar el menor número real m con la propiedad de que : 1- 4x –2x²  m, x  14) Hallar el menor valor de m que satisfaga la desigualdad : 2x  1 1   m, si : x  4,7 x2 2

Página 3 – UNMSM

GEOMETRÍA ANALÍTICA 1.

PLANO CARTESIANO

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS 4.1.

Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dos puntos en el plano. La distancia entre los puntos P1 y P2 está dada por:

d =d(P1,P2)=

(x2 - x1)2  (y2 - y1)2

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO Sean A(x1, y1) y B(x2, y2) dos puntos en el plano. Si P(x, AP y) divide al segmento AB en la razón r = >0, PB entonces x  rx 2 y  ry 2 x 1  y 1 A 1 r 1 r ,y1) (x 1 CONSECUENCIAS 1)

y2) (x 2,

P y (x,

)

Punto medio de un segmento Si

x = 2)

B

M(x, y) es el punto medio del segmento de extremos

x1 + x 2 2



y =

A(x 1, y1)

y

B(x2, y2), entonces

y1 + y 2 2

Baricentro de un triángulo Si A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) son los vértices de un triángulo, el baricentro G(x,y) del triángulo ABC

 x1 + x2 + x3 y1 + y 2 + y3  ,  3 3  

es G  

2.

LA RECTA

PENDIENTE DE UNA RECTA La pendiente de la recta L es

y  y1 m  tg  2 x 2  x1

Página 4 – UNMSM

FORMAS DE ECUACIONES DE LA RECTA a)

Forma punto pendiente. La recta que pasa por el punto dado P 1 (x1 , y1) y tiene la pendiente dada m tiene por ecuación y  y1 = m(x  x1)

b)

Forma pendiente ordenada. La recta cuya pendiente es m y cuya ordenada en el origen es b tiene por ecuación y = mx + b

c)

Forma simétrica. La recta que pasa por los puntos (a, 0) y (0, b) con a  0 y b  0, respectivamente, tiene por ecuación

x y   1 a b d)

Forma general. La forma general de la ecuación de una recta es

Ax  By  C  0

m

A B

3. RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES Dadas dos rectas no verticales L1 y L2, de pendientes m1 y m2 respectivamente.

A1 B1 L2: A 2 x  B2 y  C2  0 ; m2   A 2 B2 Se tiene: L1: A1x  B1y  C1  0 ; m1  

L1 // L2 

m1 = m2

L1  L2  m 1 . m 2 =  1

Página 5 – UNMSM

VECTORES  Se define al vector a , como la n – upla a  (a1 , a2 , a2 ,..., an ) , siendo las componentes ai números reales para i  1,2,..., n . Esta caracterizado porque posee módulo (longitud), dirección (recta de aplicación) y sentido (la cabeza de flecha).  En el plano: Es el par ordenado a  (a1 , a2 ) . Gráficamente se representa en el plano, mediante un segmento de recta dirigido o flecha, que tiene un punto de partida y un punto de llegada. Y P2 P1

 a

Tal que:

a  PP 1 2  P2  P1

Donde:

P1  punto de partida o inicial

P2  Punto de llegada o final X

En el espacio: Es la terna ordenada a  (a1 , a2 , a3 ) . Gráficamente se representa en el SCR, mediante un segmento de recta dirigido o flecha, que tiene un punto de partida y un punto de llegada. Z P

2

P1

Tal que:

a  PP 1 2  P2  P1

Donde:

P1  punto de partida o inicial

Y

P2  Punto de llegada o final X

1.

LONGITUD DE UN VECTOR (MÓDULO O NORMA)

Para hallar el módulo ó norma de un vector a  (a1 , a2 , a2 ,..., an ) se aplica: a  a12  a22  a32  ....  an2

Nota. 1) 2)

2.

Un vector fijo es un vector que tiene un punto fijo de aplicación. Un vector libre es un vector que puede trasladarse paralelamente a otra posición conservándose su longitud y sentido.

LINEALIDAD DE VECTORES

SUMA DE VECTORES Formalmente la suma es: a  b  (a1,a2 ,...,an )  (b1,b2,...,bn )   a1  b1,a2  b2,...,an  bn 

Página 6 – UNMSM

PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UN VECTOR Formalmente la suma es: r a  r (a1,a2,...,an )   r a1,r a2,...,r an 

3.

VECTOR UNITARIO o VERSOR

Si el vector dado por e a 

4.

a

es no nulo, el vector unitario en la dirección de

a

esta

a a

VECTORES PARALELOS Y PERPENDICULARES

Vectores paralelos

  Dos vectores a y b

no nulos, son paralelos, si uno de ellos es múltiplo

escalar del otro:

    a // b  a  r b

  a // b 



 a  b   0   a  b  0

 a

 b

     Nota. El vector nulo 0 es paralelo a todo vector: 0 // a  a // 0 . Vectores perpendiculares  b

Dos

vectores

 a

y

 b

son

perpendiculares

si

forman entre ellos un ángulo de 90°, y se cumple 90°

 a

que:     ab  a  b  0

Vector ortogonal Dado

 a

el

vector

 a  (a1 , a2 )

se

define

como

 a

ortogonal a:      a   (a 2 , a1 ) tal que a  a   a   a  0  a

CIRCUNFERENCIA Es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro y a la distancia constante se le llama radio.

Página 7 – UNMSM

Y

ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA

( x ; y)

ECUACION ORDINARIA

r

Centro: (h;k) Radio: r Aplicando la fórmula de distancia entre dos puntos

PC 

 x  h

2

 y  k 

 x  h

2

2

( h;k)

0

 y  k  r 2

X

Elevando al cuadrado

 x  h

2

  y  k   r2 2

Esta es la ecuación de la circunferencia con centro C(h,k) y radio r > 0. Y

ECUACIÓN CANÓNICA Centro: (0;0) Radio: r

x y r 2

2

r

2

0

X

ECUACIÓN GENERAL

C: x  y  Dx  Ey  F  0 2

2

2

D  E  C:  x     y   2  2 

2



y

D2  E2  4F 4

P(x, y) r

Existe circunferencia, si D² + E²  4F > 0. Su centro y su radio es: E 1  D C ,   , r 2 2  2

O

x

C(h, k)

D2  E2  4F

CONDICIÓN DE TANGENCIA La ecuación de la circunferencia C y una recta tangente LT a C forman un sistema de ecuaciones que lleva a la ecuación cuadrática ax² + bx + c = 0. Se cumple que

y P(x , 1 y ) 1

=b²  4ac = 0 (condición de tangencia)

C(h, k)

O Página 8 – UNMSM

x

LUNES 28-03-2011

1) El punto A = (-1,6) es uno de los vértices del cuadrado ABCD 3 5 cuyo centro es el punto  ,  . Hallar los vértices B,C y D.  2 2

2) Sean A, B = (3,2) y C = (4,2) puntos colineales diferentes. Si x  R y A + B = xC + x²B , hallar A y x.¿ x es único ? 3) Sea ABCD un rectángulo, una de cuyas diagonales tiene por extremos A = ( 3,4 ) y C = ( 9,16 ). Si los lados de mayor longitud son paralelos al vector ( 1,1 ) , determinar los vértices B y D. 4) sea L1 una recta horizontal que intercepta a L2 en el punto (3,4).Hallar la ecuación de L2, sabiendo que su pendiente es negativa y que el área del triángulo formado por las rectas y el eje Y es 10u². 5) Hallar la ecuación general de recta de menor pendiente que hace un ángulo agudo de 15° con la recta x-y = 2 , sabiendo que pasa por el punto ( 2,-1 ). 6) Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta: x +3y = 2 en el punto (-1,1) y que pase por el punto (3,5). 7) Hallar la ecuación de la circunferencia C cuyo centro se encuentra sobre la recta y = 4x , si las longitudes de los segmentos que determina sobre el eje X y el eje Y son

7 2

y

4

respectivamente. 8) Sean los vectores a = ( 2,-1,3 ) y b = ( 4, -1,2 ). Expresar a como la suma de un vector paralelo a b y un vector ortogonal a b. 9) Hallar dos vectores a y b ortogonales entre si y ortogonales al vector c = ( 1,-1,3),tales que sus primeras componentes sean iguales y sus terceras componentes de igual magnitud , pero de signo contrario. 10) Hallar el área del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos : ( 4,0,1 ) , ( 5,1,3 ) , ( 3,2,5 ) y ( 2,1,3 ). 11) Identificar y graficar la cónica representada por la ecuación: 1) y² -6x + 6y + 15 = 0; 2) 3y² - 4x + 12y +16 = 0 3) 8x²+9y²+24x+ 12y+10 = 0 ; 4) 16x² +9y² - 64x +18y – 71 = 0 5) 9x²-4y²-18x–4y+44 = 0; 6) 4y² - 16x² - 48x – 4y + 1 = 0. 12) Discutir y graficar la ecuación: 1) xy² + xy –2x –2 = 0 ; 2) x³ - xy² +2y² = 0 Página 9 – UNMSM