Tema 1: Circuitos Combinacionales Contenidos 1.1 Introducción 1.2 Aritmética 1.3 Álgebra de Boole
1
1.1 Introducción Señales y Sistemas
Entrada
Salida
(Excitación)
(Respuesta)
Sistema
Un sistema es un conjunto de partes o elementos que interactúan entre sí para lograr un objetivo. Los sistemas abiertos reciben (entrada) datos, energía o materia del ambiente y proveen (salida) información, energía o materia. El sistema establece una relación entre las salidas y las entradas En nuestro campo un Sistema es una función matemática que se aplica a la entrada
T : T (
: Alfabeto de entrada : Alfabeto de salida 2
1.1 Introducción Clasificación de las Señales Variable Continua
Discreta
Variable
Variable
Continuo
Tiempo
Tiempo Variable
Tiempo
Variable
Discreto Tiempo
Tiempo 3
1.1 Introducción Clasificación de Señales Señales Analógicas Variable Continua Tiempo Continuo
Variable
Señales Digitales Variable Discreta Tiempo Discreto
Variable
Tiempo
Tiempo 4
1.1 Introducción Interconexión entre Sistemas Analógicos y Digitales
Sistema Analógico
Conversor Digital/Analógico
Conversor Analógico/Digital
Sistema Digital
5
1.1 Introducción Clasificación de los Sistemas Electrónicos Digitales • Sistemas Combinacionales No tienen memoria
yn T ( xn )
xn Sistema Combinacional
Ejemplo : yn1 xn1 2
• Sistemas Secuenciales Tienen memoria
xn
yn T ( xn , yn j ) Sistema Secuencial
Ejemplo: yn1 xn1 2 yn 6
1.2 Aritmética • Representaciones numéricas en distintas BASES •Operaciones Aritméticas con números positivos •Números negativos. Representación en Complemento A2 •Operaciones Aritméticas con números negativos
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Definición
1.3 Álgebra de Boole
Se define álgebra de Boole como: •Un conjunto finito B con al menos 2 elementos, N (elemento nulo), U (elemento universal) •Dos operaciones (*,+) que cumplen los siguientes axiomas: • Las operaciones *,+, , deben ser cerradas
x yB x, y B x y B • Las operaciones con los elementos N,U deben cumplir las siguientes propiedades
x N N
xN x
x U x
x U U
• Propiedad distributiva:
x ( y z ) ( x y) ( x z )
x ( y z) ( x y) ( x z) • Propiedad conmutativa:
x y y x
x y yx • Corolario de complementación:
x x N x B, x B x x U 8
1.3 Álgebra de Boole Propiedades deducidas de los postulados • Propiedad de Idempotencia:
xx x Dem:
x x x
x x U x( x x) x x x x x x N x x • Propiedad Asociativa:
x ( y z ) ( x y) z x ( y z ) ( x y) z
• Propiedad de Absorción:
x ( x y) x x ( x y) x • Propiedad del Consenso:
x ( x y) x y x ( x y) x y • Leyes de De Morgan:
• Propiedad del Involución:
x x
( x y) x y
( x y) x y 9
1.3 Álgebra de Boole Conjunto y Operaciones • Conjunto Binario:
B 0,1
N 0 U 1
• Operaciones: Suma Lógica OR
Producto Lógico AND
Negación Lógica NOT
+
0
1
·
0
1
─
0
0
1
0
0
0
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0 10
1.3 Álgebra de Boole Implementación de funciones booleanas
AND z x1 x2
NAND z x1 x2
x1 x2
z
00
0
01
1
0
10
1
11
1
11
1
x1 x2
z
x1 x2
z
00
1
00
1
01
1
01
0
10
1
10
0
11
0
11
0
x1 x2
z
00
0
01
0
10
OR z x1 x2
NOR z x1 x2
NOT z x1
x1
z
0
1
1
0
x1 x2
z
z x1 x2
00
0
z x1 x2 x1 x2
01
1
10
1
11
0
XOR
11
1.3 Álgebra de Boole Equivalencias x
x
z ZX
x
Z X X X
z
y Z X Y X Y
x
x
z
z
y Z X Y X Y
x y x y x y x y
z
ZXX X
z
z
x y x y
z
x y x y
z
12
1.3 Álgebra de Boole Formas normales de una función booleana • Mintérmino: Producto de todas las variables de la función, negadas o no • Maxtérmino: Suma de todas las variables de la función, negadas o no m0 x1 x2 x3 m1 x1 x2 x3 m 2 x1 x2 x3 m3 x1 x2 x3 m 4 x1 x2 x3 m5 x1 x2 x3 m6 x1 x2 x3 m7 x1 x2 x3
M 0 x1 x2 x3 M 1 x1 x2 x3 M 2 x1 x2 x3 M 3 x1 x2 x3 M 4 x1 x2 x3 M 5 x1 x2 x3 M 6 x1 x2 x3 M 7 x1 x2 x3
13
1.3 Álgebra de Boole Formas normales de una función booleana • Forma normal conjuntiva: Producto de maxtérminos
Mi Mj Mk
x1 x2 x1 x2
• Forma normal disyuntiva: Suma de mintérminos
mi mj mk ml 2 n 1
mi( x , x ,, x i 1
1
2
n
) 1
x1 x2 x1 x2 2 n 1
Mi( x , x ,, x 1
2
n
)0
i 1
14
1.3 Álgebra de Boole Tabla de verdad Mintérminos
x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3
Maxtérminos
x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3
x1 x 2 x3
z
000
0
001
0
010
1
011
1
100
0
101
0
110
1
111
0
z x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3
z x1 x2 x3 x1 x2 x3 x1 x2 x3
x1 x2 x3 x1 x2 x3
15
1.3 Álgebra de Boole Ejemplo (Diseño de sumador binario) Tabla de verdad x1 x2
Acarreo
Suma
00
0
0
01
0
1
10
0
1
11
1
0
Formas canónicas Acarreo x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2
Suma x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2
Realización x1 x1 x2
Acarreo
x2
x1
Suma
x2
Acarreo
x1 x2
Suma
16
1.3 Álgebra de Boole Simplificación de funciones booleanas (Mapas de Karnaugh) 2 variables x1
0
x2 0
x2x1
1
x3 0
1
0
1
3 variables
1
3
2
00
01
Código Gray
11
10
4 variables 0
1
3
2
x2x1 x4x3
4
5
7
5 variables
x2x1 x4x3 00 01 11 10
00
01
11
x2x1
10
x4x3
0
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
00 01 11 10
01
x5 1 00
01
11
11
10
10 16
17
19
18
20
21
23
22
28
29
31
30
27
26
24
25
01
11
10
6
00
x5 0
00
0
1
3
2
4
5
7
6
12
13
15
14
8
9
11
10
17
1.3 Álgebra de Boole Mapas de Karnaugh Ejemplo Sumador:
Suma x1 x2 x1 x2 m(1,2) x1
Acarreo x1 x2 m(3) x1 x2
0
1
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
0
x2
x4x3x2x1 Valor
Ejemplo Comparador: x2 x1 x4 x3 Comparador m(0,1,2,3,5,6,7,15,11,10)
x2x1
0000 1 0001 1 0010 1 0011 1 0100 0 0101 1 0110 1 0111 1 1000 0 1001 0 ………………
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
0
1
1
1
11
0
0
1
0
10
0
0
1
1
x4x3
18
1.3 Álgebra de Boole Mapas de Karnaugh (Simplificación)
x2x1 x4x3
00
00
0
01
1
11
1
10
1
01
0 4 12
8
1 1 1 1
11
1
5 13 9
1 1 0 0
x2x1
10
3
7 15
11
0 0 0 0
x4x3 2
6 14
10
Agrupaciones de 2n elementos adyacentes x1·x2·x3·x4 + x1·x2·x4 + x2·x3 + x1·x3·x4 + x2·x3·x4
•Implicantes primos esenciales
•Implicantes primos
•Implicantes
00
00
0
01
1
11
1
10
1
01
0 4 12
8
1
1
1 1
11
5 13
1
9
1 1 0 0
x2x1
10
3
7 15
11
0 0 0 0
x4x3 2
6 14
10
No están totalmente incluidos en otro implicante x1·x4 + x2·x4 + x2·x3 + x1·x2
00
00
0
01
1
11
1
10
1
01
0 4 12
8
1 1 1 1
11
1
5 13 9
1 1 0 0
10
3
7 15
11
0 0 0 0
Si se eliminan la función queda algún elemento sin agrupar x1·x4 + x2·x4 + x2·x3 19
2
6 14
10
1.3 Álgebra de Boole Mapas de Karnaugh Ejemplo Comparador: x2 x1 x4 x3 Comparador m(0,1,2,3,5,6,7,15,11,10)
Simplificación Comparador x4 x3 x2 x1 x1 x4 x2 x4 x2 x3
x2 x1 x4 x3
00
01
11
10
00
1
1
1
1
01
0
1
1
1
11
0
0
1
0
10
0
0
1
1
¡¡ Ojo que el mapa es cerrado o cíclico !!
20
1.3 Álgebra de Boole Realización Ejemplo Comparador: x2 x1 x4 x3 x4 x3 x2 x1
x4 x3 x2 x1
Salida
Salida
21
1.3 Álgebra de Boole Ejemplo Diseñar un circuito con 4 entradas (a,b,c,d) y una salida s que opere de la siguiente manera: abcd s • s es 0 si 3 o más entradas son 1 salvo que a sea 0 0000 1 •Si a es 0 y otras dos entradas son 1, entonces s es 0 0001 1 •Si a es 1 y otra entrada es 1, s es 0 0010 1 0011 0 •Si una sola entrada que no sea b es 1 entonces s es 1 0100 • s es 1 si a=b=c=d=0 cd
00
01
11
10
ab
s b c d a b c a b d -,X Indiferencia
00
1
01
X
0
1 0
0
0
10
1
8
0
0 9
1
2
0 7
13
12
3
X 5
4
11
1
0
15
0
6
0 14
0 11
0101
0
0110
0
0111
-
1000
1
1001
0
1010
0
1011
0
1100
0
1101
0
1110
0
1111
0
10
22
1.3 Álgebra de Boole Ejemplo s b c d a b c a b d
a b
c d
s
23
1.3 Álgebra de Boole Ejemplo En una unidad se reciben 4 bits en BCD. Determinar mediante un circuito la presencia de los múltiplos de 3 o de 4 abcd
s3
s4
0
0000
0
0
1
0001
0
0
2
0010
0
0
3
0011
1
0
4
0100
0
1
5
0101
0
0
6
0110
1
0
7
0111
0
0
8
1000
0
1
9
1001
1
0
1010
X
X
1011
X
X
1100
X
X
1101
X
X
1110
X
X
1111
X
X
s3 a d b c d b c d cd
00
01
11
s4 a d b c d cd
10
ab
00
01
11
10
ab
00
0
01
0
11
X
10
0
0 4 12
8
0 0 X 1
1
5 13 9
1 0 X X
3
7 15
11
0 1 X X
2
6 14
10
00
0
01
1
11
X
10
1
0 4 12
8
0 0 X 0
1
5 13 9
0 0 X X
3
0 0
7
X
15
X
11
24
2
6 14
10
1.3 Álgebra de Boole Ejemplo s3 a d b c d b c d
s4 a d b c d
a
a
b
b
c
c
d
d s3
s4
Hidalgo López, José A.; Fernández Ramos Raquel; Romero Sánchez, Jorge (2014). Electrónica. OCW-Universidad de Málaga. http://ocw.uma.es. Bajo licencia Creative Commons AttributionNonCommercial-Share-Alike 3.0 Spain
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