SISTEMAS DE TRES ECUACIONES

6.1.1 – 6.1.5

Este capítulo comienza con los alumnos utilizando la tecnología para explorar la graficación en tres dimensiones. Al utilizar las mismas estrategias que utilizaron para graficar en dos dimensiones, los alumnos amplían sus conocimientos para trazar puntos y graficar planos representados por ecuaciones de tres variables. Esto hace que se produzca una intersección entre múltiples planos, y que se utilice el álgebra para hallar ya sea la ecuación de la recta de los planes que se intersecan, o el punto de intersección del sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas. Para mayor información, consulta los recuadros de Apuntes de matemáticas en las Lecciones 6.1.2 y 6.1.4.

Ejemplo 1 Grafica el punto en 3D y la ecuación a continuación. (3, 4, 5)

2x + 3y + 4z = 24

Si bien vivimos en un mundo tridimensional, visualizar objetos tridimensionales en una hoja de papel bidimensional no es tarea fácil. En clase, los alumnos utilizaron la computadora para ayudarles a visualizar los gráficos. (Pueden acceder al software en casa ingresando a http://technology.cpm.org/general/3dgraph/. Haga clic sobre el ítem del Capítulo 6 que desea ver). Los alumnos comienzan trazando puntos sobre los ejes como se muestra a la derecha. Como ocurre al trazar puntos en dos dimensiones, cada número de la coordenada nos dice cuánto desplazarnos por el eje x, luego el eje y, y finalmente el eje z. Aquí solo estamos mostrando la dirección positiva de cada eje; estos ejes se extienden también en dirección negativa.

z

x

y

Para marcar el punto (3, 4, 5), nos movemos por el eje x tres unidades, cuatro unidades por la dirección del eje y, y luego cinco unidades por el eje z. Para ayudar a ilustrar esto, el punto se marca con un círculo. El camino hacia el punto muestra una línea punteada a lo largo de las dirección x e y, y una línea continua que muestra la elevación (variación vertical) en la dirección z. Para algunos alumnos, podría ser útil pensar en el punto como la esquina de una caja más alejada al origen. Esta caja imaginaria está levemente sombreada en el gráfico de arriba. Para graficar la ecuación con tres variables en el gráfico tridimensional, podría ser de gran ayuda buscar dónde se cruza cada eje. Esto se hace dejando que las diferentes variables sean iguales a cero, lo cual nos permite hallar los puntos de corte con los ejes x, y, y z. z 2x + 3y + 4z = 12 x = 0, y = 0 ⇒ 0 + 0 + 4z = 12, z = 3 x = 0, z = 0 ⇒ 0 + 3y + 0 = 12, y = 4 y = 0, z = 0 ⇒ 2x + 0 + 0 = 12, x = 6 Al marcar estos puntos de corte, vemos cómo el plano corta este cuadrante del espacio. El plano sombreado continúa; no se detiene en el borde del triángulo. 64

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x

y

Core Connections en español, Álgebra 2

Capítulo 6

Ejemplo 2 Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones y tres incógnitas. Explica qué dice tu solución sobre los gráficos de cada ecuación. 2x + y − 3z = 13 x − 3y + z = −21 −2x + y + 4z = −7

Antes de comenzar, es útil recordar cómo los alumnos resuelven dos ecuaciones con dos incógnitas. Si una ecuación se escribió en forma y =, los alumnos sustituyeron la y por la expresión en la otra ecuación. Ese método no funcionará así de fácil con tres ecuaciones. En otros momentos con dos ecuaciones y dos incógnitas, los alumnos debían sumar o restar dos ecuaciones para hacer desaparecer a la variable. A veces, debían multiplicar una ecuación por un número antes de sumar o restar. En cualquiera de los procedimientos, el objetivo siempre era el mismo; eliminar la variable. Utilizaremos el mismo enfoque aquí. Al agregar la primera y la tercera 2x + y − 3z = 13 ecuación arriba, eliminamos la x. El problema es que seguimos teniendo dos −2x + y + 4z = −7 variables. El objetivo ahora es encontrar otro par de ecuaciones de las cuales 2y + z = 6 eliminar la x. Existen distintos modos de hacerlo. Aquí, multiplicaremos la segunda ecuación por dos, luego agregamos el resultado a la tercera ecuación. 2(x − 3y + z) = 2(−21) ⇒ 2x − 6y + 2z = −42 −2x + y + 4z = −7 −5y + 6z = −49

Ahora que tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas, utilizaremos este problema similar para resolver y y z. 6 ⋅ (2y + z = 6) ⇒ 12y + 6z = 36                        −(−5y + 6z = −49)

y=5

                            17y         = 85                                          y = 5

⇒

2y + z = 6 2(5) + z = 6 10 + z = 6 z = −4

Ahora que conocemos y y z, podemos reemplazarlas en cualquiera de nuestras ecuaciones originales para determinar el valor de x.

y = 5, z = −4

⇒ x − 3y + z = −21 x − 3(5) + (−4) = −21 x − 15 − 4 = −21 x = −2

Por lo tanto, la solución a este sistema es (–2, 5, –4) que nos dice que los tres planos se intersecan en un punto. Guía para padres con práctica adicional

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65

Ejemplo 3 Pizza Planet vende tres tamaños de pizzas combinadas. Pequeña (diámetro de 8") Mediana (diámetro de 10") Grande (diámetro de 13")

$8.50 $11.50 $17.50

Supón que el precio de la pizza puede modelarse o representarse con una función cuadrática, donde el precio depende del diámetro de la pizza. Utiliza la información para escribir tres puntos de datos, y determina una ecuación que represente los puntos de datos. Si Pizza Planet está considerando vender una pizza combinada Extra Grande, con un diámetro de 18", ¿cuánto costaría esa pizza? Si quisieran vender una pizza combinada a $50.00, ¿cuál debería ser el tamaño para que se ajustara al resto de los datos de precios de las pizzas? Si x representa el diámetro de la pizza en pulgadas, e y representa el costo de la pizza en dólares, los tres puntos de datos son (8, 8.50), (10, 11.50), y (13, 17.50). Utilizamos esos tres puntos de datos en la ecuación general para la ecuación cuadrática, y = ax2 + bx + c. Nuestro objetivo es determinar los valores adecuados para a, b, y c de modo que el gráfico de la ecuación cuadrática pase por los tres puntos de datos. Para poder hacerlo, necesitamos resolver tres ecuaciones con tres incógnitas. Primero, debemos sustituir las variables por los puntos de datos en la ecuación general. (8, 8.50)

⇒

y = ax 2 + bx + c

(10, 11.50)

8.50 = a(8)2 + b(8) + c 8.50 = 64a + 8b + c (13, 17.50)

⇒

y = ax 2 + bx + c

11.50 = a(10)2 + b(10) + c 11.50 = 100a + 10b + c ⇒

y = ax 2 + bx + c

17.50 = a(13)2 + b(13) + c 17.50 = 169a + 13b + c

Esto nos da las tres ecuaciones que se muestran a la derecha. (Para mejor referencia, hemos numerado las ecuaciones). Ahora, esto es similar al último ejemplo, debemos resolver tres ecuaciones con tres incógnitas. Las incógnitas aquí son a, b, y c, en vez de x, y, y z. Comenzaremos eliminando c, restando pares de ecuaciones. La ecuación (2) menos la ecuación (1) arroja 3 = 36a + 2b; la ecuación (3) menos la ecuación (2) arroja 6 = 69a + 3b. Ahora, volvemos a las dos ecuaciones con dos incógnitas que nos son más familiares. Para resolverlas a y b, multiplicaremos la primera por –3 y la segunda por 2 y luego sumamos los resultados. 66

3 = 36a + 2b 6 = 69a + 3b

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8.50 = 64a + 8b + c (1) 11.50 = 100a + 10b + c (2) 17.50 = 169a + 13b + c (3)

×(−3)

⇒

×2

⇒

− 9 = −108a − 6b 12 = 138a + 6b 3 = 30a a=

3 30

1 = 10

Core Connections en español, Álgebra 2

Capítulo 6

Ahora que conocemos el valor de a, los volvemos a sustituir en la primera (o segunda) ecuación para hallar el valor de b. Por último, utilizamos los valores de a y b para hallar c. Podemos usar cualquiera de las tres ecuaciones (1), (2), o (3). Para que sea más simple, utilizaremos (1). 1 , b=− 3 a = 10 10

⇒

1 ⇒ 3 = 36a + 2b a = 10

3 = 36

( 101 ) + 2b

3 = 3.6 + 2b −0.6 = 2b b = −0.3 = − 103

8.50 = 64a + 8b + c

8.50 = 64

( 101 ) + 8 ( − 103 ) + c

8.50 = 6.4 − 2.4 + c 8.50 = 4 + c c = 4.50 Nota: cualquiera de las tres ecuaciones originales habrían funcionado y, de hecho, la ecuación (2) habría eliminado las fracciones y decimales del problema. Ahora que hemos hallado a, b, y c, podemos escribir la ecuación que modela este dato: 1 x 2 − 3 x + 4.50 . Utilizamos esta ecuación para determinar el costo de una pizza y = 10 10 combinada de 18 pulgadas de diámetro. x = 18

⇒

1 x 2 − 3 x + 4.50 y = 10 10

1 (18)2 − 3 (18) + 4.50 y = 10 10

y = 32.4 − 5.4 + 4.50 y = $31.50

Por lo tanto, una pizza combinada de 18 pulgadas debería costar $31.50. ¿Cuál debería ser el tamaño de una pizza que cuesta $50.00 para ajustarse a estos datos? Para responder, debemos suponer que y = 50, y resolver x. Para llegar a la solución habrá que resolver una ecuación cuadrática. Si bien los alumnos conocen distintas formas de resolver ecuaciones cuadráticas, en este caso el mejor enfoque es usar la Fórmula cuadrática. Para comenzar, multiplicamos todo por 10 para eliminar las fracciones y decimales.

1 x 2 − 3 x + 4.50 50 = 10 10

500 = x 2 − 3x + 45 x 2 − 3x − 455 = 0 x=

3± (−3)2 − 4(1)(−455) 2(1)

x=

3± 9+1820 2 3± x ≈ 42.77 2

x ≈ 22.89 Por lo tanto, para vender una pizza a $50.00, Pizza Planet debe hacer una pizza con un diámetro aproximado de 22.89 pulgadas. ¡Un diámetro de 23 pulgadas sería suficiente! Guía para padres con práctica adicional

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67

Problemas Resuelve cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones para x, y, y z. Explica qué te dice la respuesta sobre los gráficos de las ecuaciones. 1.

3x − 2y + z = 3 5x + y + 2z = 8 −3x − y + 3z = −22

2.

−4x − 6y + 5z = 21 3x + 4y − 2z = −15 −7x − 5y + 3z = 15

3.

3x + 4z = 19 3y + 2z = 8 4x − 5y = 7

4.

9x + 6y − 12z = 14 3x + 2y − 4z = −11 x+ y+ z =1

5.

x 3

+

+

z 2

= 24

6.

x 2

+ +

z 4

= 29

21x − 7y + 14z = 70 15x − 5y + 10z = 50

x 4

+

z 3

= 25

y 4 y 3 y 2

+

−3x + y − 2z = −10

7.

Halla la ecuación de la parábola que pasa por los tres puntos (–2, –32), (0, –10), y (2, –12).

8.

Halla la ecuación de la parábola que pasa por los tres puntos (2, 81), (7, 6), y (10, 33).

9.

Mientras lees un estudio reciente realizado sobre personas de distintas edades, observaste una tendencia. El estudio contaba el número de veces dentro de un período de 24 horas que la gente malinterpretó o comprendió mal un enunciado, comentario o pregunta. El estudio ofrece los números que se muestran a continuación. Edad (años) 20 30 40

Malinterpretaciones o errores de comprensión 44 28 20

Crees que el número de malinterpretaciones o errores de comprensión debería llegar a su mínimo a una determinada edad y luego volver a subir para la gente muy mayor. Por lo tanto, supones que una función cuadrática sería lo mejor para modelar estos datos. Halla la ecuación que mejor se ajuste a estos datos. Utiliza tu ecuación para predecir cuántas veces una persona de 80 años malinterpretará o entenderá mal un enunciado, comentario, o pregunta. ¿Y una persona de un año? ¿Quién entiende más? 68

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Capítulo 6

10.

En el tiro con arco, la flecha parece viajar en línea recta cuando se lanza. Sin embargo, la flecha en realidad tiene un recorrido levemente ascendente antes de volver a curvarse hacia abajo en dirección al suelo. Para un arquero en particular, la flecha comienza a 5.4 pies sobre el nivel del sueldo. Después de 0.3 segundos, la flecha está a una altura de 5.5 pies sobre el nivel del suelo. La flecha llega al blanco después de un total de 2 segundos a una altura de 5 pies sobre el suelo. Halla la ecuación particular que modela estos datos.

Respuestas 1.

(3, 1, –4), estos tres planos se intersecan en un punto.

2.

(1, –5, –1), estos tres planos se intersecan en un punto.

3.

(3, 1, 2.5), estos tres planos se intersecan en un punto.

4.

Sin solución o inconsistente. Dos de estos planos son paralelos.

5.

(36, 24, 12), estos tres planos se intersecan en un punto.

6.

Cantidad infinita de soluciones. Las tres ecuaciones representan el mismo plano.

7.

y = –3x2 + 5x – 10

8.

y = 3x2 – 42x + 153

9.

La ecuación que se ajusta a estos datos es y = 0.04x2 – 3.6x + 100. Según este modelo, una persona de 80 años tendría 68 errores de comprensión en un período de 24 horas. Una persona de un año tendría aproximadamente 96 errores. La edad que mejor entiende las consignas sería la edad en la que hay el menor número de errores de comprensión. Esto se ubica en el vértice de la función. El vértice se ubica en (45, 19), por lo tanto, a los 45 años se encuentra el número más bajo con solo 19 errores.

10.

Con redondeo, y = –0.31x2 + 0.43x + 5.4.

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69

RESOLUCIÓN CON LOGARITMOS

6.2.1 y 6.2.4

Los alumnos vuelven a poner su atención en los logaritmos. Utilizando estrategias como Adivinar y Verificar, el Reconocimiento de patrones, y otras estrategias para resolver problemas, los alumnos elaboran varias propiedades de los logaritmos que les permiten resolver ecuaciones que, hasta ahora, han sido muy difíciles de resolver. Estas propiedades se enumeran en el recuadro de Apuntes de matemáticas de la Lección 6.2.2.

Ejemplo 1 Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones para obtener x. a.

5x = 67

b.

3(7x) + 4 = 124

Cada uno de estos problemas tiene la variable como exponente, algo que los diferencia de otros problemas que los alumnos han ido resolviendo. Hasta ahora, los alumnos han resuelto problemas similares a estos utilizando el método de Adivinar y Verificar. Este método lleva mucho tiempo y no resulta fácil llegar a una respuesta precisa. Ahora, los alumnos pueden usar la propiedad de los logaritmos, log(bx) = x log(b), para resolver estas ecuaciones para x. Sin embargo, como ocurre con otras ecuaciones, los alumnos deben despejar la variable de un lado de la ecuación. Nota: la respuesta decimal es una log 67 aproximación. La respuesta exacta es la fracción log 5 .

5 x = 67 log(5 x ) = log(67) x log(5) = log(67) x=

log 67 log 5

x ≈ 2.61252

Se debe hacer algo de trabajo en la segunda ecuación antes de poder incorporar logaritmos. Moveremos todo lo que se pueda a un lado de la ecuación para que la variable esté lo más despejada posible (pasos 1 a 3). 3(7 x ) + 4 = 124 3(7 x ) = 120 7 x = 40 log(7 x ) = log(40) x log(7) = log(40) x=

log 40 log 7

x ≈ 1.89571

70

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Capítulo 6

Ejemplo 2 Utilizando las propiedades de los logaritmos de productos y cocientes, reescribe cada producto como suma, cada cociente como una diferencia, y viceversa. a.

log 3 (16x) =

b.

log 6 (32) + log 6 (243) =

c.

log 8

( 3x7 ) =

d.

log12 (276) − log12 (23) =

Las dos propiedades que usaremos son log(ab) = log(a) + log(b) y log

( ba ) = log(a) − log(b) .

Estas propiedades son verdaderas para cualquier base, por tanto, podemos usar la primera para reescribir el punto (a) como log3 (16x) = log3 (16) + log3 (x). Esta nueva forma no necesariamente es mejor o más simple, es simplemente otra forma de representar la expresión. En el punto (b), podemos usar la primera propiedad para escribir log6 (32) + log6 (243) = log6 (32 ⋅ 243) = log6 7776. Si bien no es necesario, es posible simplificarla aún más. Dado que 65 = 7776, log6 7776 = 5. Escribiremos los puntos (c) y (d) usando la segunda propiedad que se indica a continuación. Por lo tanto, log 8 3x = log 8 (3x) − log 8 (7) . Nota: podríamos usar la primera propiedad para 7 ampliarlo aún más y escribir log8 (3x) como log8 3 + log8 x. Trabajando en la dirección opuesta en el punto (d), escribimos log12 (276) − log12 (23) = log12 276 . Si seguimos simplificando, 23 . log12 276 = log 12 = 1 12 23

( )

( )

( )

Ejemplo 3 El otoño llegó temprano a Piney Orchard, y la piscina de natación comunitaria estaba llena cuando la primera helada congeló las hojas. La temperatura exterior ronda los 30°. Mantenimiento apagó rápidamente la calefacción para no derrochar energía calentando una piscina que nadie usaría en los próximos seis meses. Cuando Tess pasaba por la piscina todos los días de regreso a su casa de la escuela, miraba a través del cerco y veía cómo la piscina lentamente se iba enfriando. Apenas percibía el termómetro que estaba del otro lado de la plataforma que indicaba la temperatura del agua. El primer día, la temperatura del agua era de 68°. Cuatro días después, la temperatura era de 58°. Escribe una ecuación que modele estos datos. Si la temperatura exterior sigue siendo de 30°, y se deja que la piscina siga enfriándose, ¿cuánto tiempo pasará antes de que se congele? Los problemas de calefacción y refrigeración son problemas típicos de aplicación que utilizan ecuaciones exponenciales. En clase, los alumnos resolvieron un problema del estilo, El caso del cadáver que se enfría. La ecuación que modelará este problema es una ecuación exponencial en la forma y = kmx + b. En la descripción del problema, se proporcionan dos puntos de datos: (0, 68°) y (4, 58°). También tenemos otra información importante. La temperatura exterior ronda los 30°. Es la temperatura a la que llegará el agua, es decir, y = 30 es la asíntota horizontal para esta ecuación. Conocer este hecho nos permite escribir la ecuación como y = km x + 30 . Para determinar k y m, reemplazaremos nuestros valores en la ecuación para resolver k y m. Guía para padres con práctica adicional

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71

(0, 68) ⇒ y = km x + 30 ⇒ 68 = km 0 + 30 (4, 58) ⇒ y = km x + 30 ⇒ 58 = km 4 + 30

58 = km 4 + 30 58 = 38m 4 + 30 28 = 38m 4 m4 =

28 38

Esto nos da dos ecuaciones con dos incógnitas que podemos resolver. Si simplificamos primero, el trabajo será mucho más fácil. La primera ecuación simplifica 38 = k dado que m0 = 1. Dado que k = 38, podemos reemplazar este valor en la segunda ecuación para determinar m. Por tanto, la ecuación es y = 38(0.9265)x + 30. Para determinar cuándo la piscina se congelará, queremos hallar cuándo la temperatura del agua llegará a 32°.

≈ 0.7368

m ≈ 0.9265

32 = 38(0.9265) x + 30 2 = 38(0.9265) x 2 38

= 0.9265 x

( 382 ) = log 0.9265 x 2 = x log 0.9265 log ( 38 ) log ( 2 ) 38 x= ≈ 38.57 log

En aproximadamente 38 días y medio, el agua en la piscina se congelará si la temperatura exterior sigue siendo 30° esos días. En realidad, se vaciaría la piscina para evitar posibles daños producto del congelamiento del agua.

log 0.9265

72

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Capítulo 6

Problemas Resuelve cada una de las ecuaciones a continuación para hallar x. 1.

(2.3) x = 7

2.

12 x = 6

3.

log 7 49 = x

4.

log 3 x = 4

5.

5(3.14) x = 18

6.

7x 8 = 294

7.

log x 100 = 4

8.

log 5 45 = x

9.

2(6.5) x + 7 = 21

10.

− 12 (14) x + 6 = −9.1

Reescribe cada logaritmo de un producto como la suma de logaritmos, cada diferencia de logaritmos como el logaritmo de un cociente, y viceversa.

( 3x8 )

11.

log(23 ⋅ 3)

12.

log

13.

log 2

( 607 )

14.

log 8 12 − log 8 2

15.

log 5 25 + log 5 25

16.

log(10 ⋅10)

17.

log13 15x 2

18.

log 123 + log 456

19.

log 10 8 − log 10 3

20.

log(5x − 4)

(

)

Simplifica. 21.

log 2 64

22.

log17 171/8

23.

8 log8 1.3

24.

2.35 log2.3 1

25.

Escalar el Monte Everest no es tarea sencilla. No solo es una caminata difícil, sino que la presión atmosférica de la Tierra disminuye en forma exponencial a medida que se escala por encima de su superficie, y esto dificulta la respiración. La presión del aire a nivel de la superficie de la Tierra (nivel del mar) es de aproximadamente 14.7 libras por pulgada cuadrada (o 14.7 psi). En Denver, Colorado, la elevación es de 5280 pies, la presión atmosférica es de aproximadamente 12.15 psi. Escribe la ecuación particular que represente estos datos y donde la presión atmosférica se exprese como una función de la altitud. ¿Cuál es la presión del aire en la Ciudad de México, con una elevación de 7300 pies? ¿Y en la cima del Monte Everest, con una elevación de 29,000 pies? (Nota: tendrás que desplazar los valores decimales varias posiciones para obtener una ecuación precisa y las presiones atmosféricas).

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73

Respuestas 2.

x=

log 6 log 12

x = 81

5.

x=

log 3.6 log 3.14

x ≈ 3.162

8.

x=

log 45 log 5

1.

x=

4. 7. 10.

x=

13.

log 7 log 2.3

≈ 2.336

log 30.2 log 14

≈ 1.291

≈ 0.721 ≈ 1.119

≈ 2.365

11.

log 23 + log 3

log 2 60 − log 2 7

14.

log 8

16.

log 10 + log 10

19.

log

22.

1 8

25.

74

( ) = log 10 10 8 10 3

5

3.

x=2

6.

x ≈ 1.596

9.

x=

log 7 log 6.5

≈ 1.040

12.

log (3x) – log 8

( 122 ) = log8 6

15.

log 5 625

17.

log13 15 + log13 x 2

18.

log 56,088

20.

Simplificado.

21.

6

23.

1.3

24.

1

La ecuación particular es y = 14.7(0.999964)x donde x es la elevación, e y es el número de libras por pulgadas cuadradas (psi). La presión atmosférica en la Ciudad de México es de aproximadamente 11.3 psi, y en la cima del Monte Everest, la presión atmosférica llega a 5.175 psi.

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Capítulo 6

PRÁCTICA PARA LOS EXÁMENES SAT 1.

Si b + 4 = 11, entonces (b − 2)2 = a.

2.

5.

6.

25

c.

36

d.

49

0

b.

64

25P +P4 32Q

1

c.

2

d.

3

e.

4

2

b.

3

c.

5

d.

8

e.

10

Cuando un número positivo n se divide por 7, el resto es 6. ¿Cuáles de las expresiones a continuación arrojarán un resto de 1 al dividirse por 7? a.

n+1

e.

n+5

b.

n+2

c.

n+3

d.

n+4

¿Cuántos números de 4 dígitos tienen el dígito de los miles igual a 2 y el dígito de las unidades igual a 7? a.

100

e.

10005

b.

199

c.

200

d.

500

En la figura de la derecha, donde x < 6, ¿cuál es el valor de x 2 + 36 ? 10

6+x

7.

e.

Si 34 = 9 x , entonces x = a.

4.

b.

Supongamos que P y Q representan dígitos en el problema de adición de la derecha. ¿Cuál debería ser el dígito Q?

a. 3.

16

a.

10

b.

50

d.

600

e.

1296

c.

100 6–x

La medida de los ángulos de un triángulo en grados puede expresarse mediante la razón de 5:6:7. ¿Cuál es la suma de las medidas de los dos ángulos más grandes? a.

110

e.

180

b.

120

Guía para padres con práctica adicional

c.

130

d.

160

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75

8. 9.

10.

Si

r 3

7 = 10 , ¿cuál es el valor de r?

Si p y q son dos números primos diferentes mayores de 2, y n = pq, ¿cuántos factores positivos, incluidos 1 y n, tiene n? Si 12 (30x 2 + 20x 2 + 10x + 1) = ax 3 + bx 2 + cx + d , para todos los valores de x donde a, b, c, y d son todas constantes, ¿cuál es el valor de a + b + c + d ?

Respuestas 1.

B

2.

A

3.

A

4.

B

5.

A

6.

B

7.

C

8.

r = 2.1

9.

4

10.

76

30.5

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