SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Tema 2: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

Índice: 1. Expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales. 2. Métodos de resolución. 2.1. Resolución por el método de la matriz inversa. 2.2. Método de Gauss. 2.3. Método de Cramer. 3. Teorema de Rouché. Conjunto de soluciones. 4. Sistemas homogéneos. 5. Interpretación geométrica.

1

1. EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES. Consideremos un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas:

 x  y  z  3   x yz 7  x  y  z 1  Se puede escribir de forma matricial, como una igualdad entre dos matrices de orden 3x1:   x  y  z   3      x  y  z   7  x  y  z  1     o bien:  1 1 1   x   3       1  1 1    y  7  1 1  1  z   1   Por tanto, todo sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:  a11 x  a12 y  a13 z  b1  a 21 x  a 22 y  a23 z  b2 equivale a a x  a y  a z  b 32 33 3  31

 a11   a 21 a  31

a12 a 22 a32

a13   x   b1       a 23    y    b2   A  X  B a33   z   b3 

donde A, X y B son, respectivamente, las matrices de los coeficientes, de las incógnitas y de los términos independientes. Una notación similar podemos emplear para sistemas de m ecuaciones con n incógnitas:

 a11 x1  a12 x2  .....  a1n xn  b1  a x  a x  .....  a x  b  21 1 22 2 2n n 2    a m1 x1  am 2 x2  .....  a mn xn  bm

 a 11   a 21    a m1

2

a12 a 22 am2

.... ....

a 1n   x1   b1       a 2 n   x 2   b2        A X  B      a mn   x n   bm 

Si llamamos C1, C2,.....,Cn, a las columnas de la matriz A, también podemos usar la notación por columnas: C1 x1  C 2 x2  ........  C n xn  B 2. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN. 2.1.Resolución por el método de la matriz inversa.

Volvamos al sistema de ecuaciones propuesto en el punto 1 de este tema:  x  y  z  3   x yz 7  x  y  z 1  Como ya hemos visto este sistema se puede expresar de forma matricial como A  X  B , siendo A la matriz de coeficientes, X la matriz de las incógnitas y B la matriz de los términos independientes. 1 1 1  x  3       A   1  1 1 ; X   y  y B   7  1 z 1 1  1      Para resolverlo multiplicamos los dos miembros de la igualdad por la matriz inversa de A, por la izquierda, resultando: 1 1 1    1 1 1    1 1  1 

1

1   x 1 1 1 1 1         1 1 1    y   1 1 1   1 1  1  z   1 1  1 

1 1 0 0  x    1 1       0 1 0 1 1 1    y       0 0 1  z   1 1  1     

1

1

 3   7  1  

1  3  x 1 1        7   y   1  1 1  1 z  1 1  1     

1

 3    7 1  

cuya solución es: x=4; y=2; z=5. En general, sea A  X  B la representación matricial de un sistema de ecuaciones, su resolución por el método de la matriz inversa consiste en multiplicar dicha ecuación por la matriz inversa A-1 de A, si existe, de la siguiente forma: 3





A 1  AX   A 1 B  A 1 A X  A 1 B  IX  A 1 B  X  A 1 B con lo que la solución es el producto por la izquierda de la matriz inversa de la matriz de coeficientes, por la matriz de términos independientes. Si no existe A-1 el sistema no tiene solución Ejercicio resuelto:

x  y  z  3  Resuelve, utilizando este método el siguiente sistema: 2 y  3 z  15  3 x  y  12 

La solución es x=y=z=3. 2.2.Método de Gauss.

 x  y  z 1  Dado el sistema de ecuaciones  x  y  z  1 vamos a resolverlo aplicando el  x  y  z  1  método de reducción que conocemos de cursos anteriores. Si a la segunda ecuación le restamos la primera y a la tercera le sumamos la primera obtenemos el siguiente sistema: x  y  z  1   2 y  2z  0  2z  2  Tenemos un sistema en el que la tercera ecuación es de primer grado con una incógnita, su solución es z=1. Si sustituimos este valor en la segunda ecuación, obtenemos y=1. Por último, sustituyendo en la primera tenemos,x=1. En todo este proceso podemos prescindir le las incógnitas y trabajar sólo con los coeficientes y mas concretamente con la matriz que formamos a partir de la matriz del sistema y la matriz de términos independientes a la que llamaremos matriz ampliada.  1  1 1 | 1    1 1 1 | 1     1 1 1 | 1   4

Si a la segunda fila le restamos la primera y a la tercera le sumamos la primera, obtenemos la siguiente matriz: 1 1 1 | 1   0 2  2 | 0 0 0 2 | 2   Pasamos ahora a ver el significado de cada una de las filas: - Volviendo a poner las incógnitas, la tercera fila nos dice que 2z=2 ; z=1. - Con ese valor de z, entramos en la segunda ecuación, 2y-2=0 ; y=1 - Sustituyendo estos valores en la primera ecuación tenemos x=1 El método de Gauss está basado en la aplicación sistemática de transformaciones elementales a un sistema de ecuaciones hasta obtener un sistema triangular equivalente al inicial. Estas transformaciones son: a) Reordenar las ecuaciones y/o las incógnitas del sistema. b) Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número distinto de cero. c) Sumar a una ecuación otra multiplicada por un número. Concretando para el caso de tres ecuaciones con tres incógnitas, el método consiste en transformar el sistema:  a11 x  a12 y  a13 z  b1  a11   a 21 x  a 22 y  a 23 z  b2   a 21 a a x  a y  a z  b 32 33 3  31  31

a12 a 22 a32

a13 | b1   a 23 | b2  a33 | b3 

a12 a´22 0

a13 | b1   a´23 | b2´  ´´ a33 | b3´´ 

en otro equivalente y triangular: a11 x  a12 y  a13 z  b1  a11   ´ ´ ´   0  a 22 y  a 23 z  b2 ´´  0  a33 z  b3´´  

5

Ejercicio resuelto:

Aplicando el método de Gauss resuelve el siguiente sistema:  2x  y  z  3    x  2z  1  2 y  6 z  4   2 1 1 | 3    La matriz ampliada del sistema es   1 0 2 | 1   0  2 6 |  4   En un primer paso cambiamos el orden de las dos primeras filas y dividimos la tercera por: 2 | 1 2 | 1  1 0  1 0         2 1 1 | 3 0 1 5 | 5      0 1  3 | 2  F2  F2  2 F1  0 1  3 | 2  F3  F3  F2      1 0 2 | 1   0 1 5 | 5     0 0 2 | 7   Obtenemos ahora la solución resolviendo de abajo a arriba: x=6, y=25/2, z=7/2 2.3.Método de Cramer.

Consideremos el siguiente sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:  a11 x  a12 y  b1  a 21 x  a22 y  b2

Resolvemos por el método de reducción, multiplicando la primera ecuación por a22, la segunda por a12 t restando:

a11a22  a21a12 x  b1a22  b2 a12

; x

6

b1a 22  b2 a12 a11a 22  a 21a12

y análogamente para la y: y

b2 a12  b1a21 a11a 22  a 21a12

Los denominadores de ambos resultados son iguales y coinciden con el determinante de la matriz de coeficientes del sistema: a A   11  a21

a12   a22 

A

a11 a21

a12  a11a22  a12 a 21 a22

Por otro lado, el numerador de la solución para x, resulta de sustituir la columna de los coeficientes de la x en el determinante de la matriz de coeficientes, por la columna de términos independientes. El numerador de la solución para y, resulta de sustituir la columna de los coeficientes de la y en el determinante de la matriz de coeficientes, por la columna de términos independientes. b1 x

a12

a11

b2 a22 a11 a12 a 21

; y

a22

b1

a 21 b2 a11 a12 a 21

a 22

Expresiones que corresponden a la regla de Cramer para la solución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas Ejercicio resuelto:

Resuelve, utilizando la regla de Cramer, el siguiente sistema: 3 x  y  10   x  2y 1

La solución es x=3 ; y=1. Esta regla se puede generalizar para sistemas de n ecuaciones con n incógnitas. Dado el sistema:  a11 x1  a12 x2  .....  a1n xn  b1 a x  a x  .....  a x  b  21 1 22 2 2n n 2   an1 x1  an 2 x2  .....  ann xn  bn 7

Si A  0 , siendo A la matriz de coeficientes, el r(A)=n y también r(A/B)=n, la solución del sistema viene dada por: xi 

  Det A , A ,...., A ,.... A  Det A1 , A 2 ,...., B,.... A n 1

2

i

n

Ejercicio resuelto:

Resuelve el sistema: 2 x  3 y  4 z  2u  6  x y z u 3     x  y  3z  4u  2  2 x  2 y  z  u  8 El primer paso es calcular el determinante de la matriz de coeficientes, en este caso A  55 . Como este determinante es distinto de cero y se cumplen el resto de las condiciones, podemos aplicar la regla de Cramer:

6 3

x

4

2

2

6

4

2

3

1

1

3

4

3

1

1

1

1

2

1

3

4

1  2

8

8 1 1  2 ; z  1 ; u  1 55

2 2 1 1 1 ; y  55

8

3. TEOREMA DE ROUCHE. CONJUNTO DE SOLUCIONES.

En este apartado estudiaremos la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales, es decir, si tiene o no solución y en caso de tenerla, si esta es única. Este estudio lo realizaremos a partir del teorema de Rouhé. (para algunos autores teorema de Rouche-Fröbenius). Teorema de Rouché:

Dado el sistema de m ecuaciones con n incógnitas:  a11 x1  a12 x2  .....  a1n xn  b1  a x  a x  .....  a x  b  21 1 22 2 2n n 2   a m1 x1  am 2 x2  .....  a mn xn  bm en el que la matriz del sistema y la ampliada son:  a 11  a A   21   a m1

a12 a 22 am2

a 1n   .... a 2 n    a mn  ....

 a11  a A / B   21   a m1

a12

....

a1n

a 22

....

a2n

am2

.... a mn

b1   n2    bm 

entonces: a) Si r ( A)  r ( A / B) el sistema es incompatible. b) Si  r  n sistema compatible determinado r ( A)  r ( A / B)  r   r  n sistema compatible indeterminado Cuando el sistema es compatible determinado, podemos resolver por cualquiera de los métodos estudiados. En el caso de sistemas compatibles indeterminados, es conveniente proceder del siguiente modo: ∙ ∙ ∙

Si r es el rango de la matriz del sistema, se eligen r ecuaciones independientes y se pasan al segundo miembro los términos de n-r incógnitas, de modo que se obtenga un sistema de r ecuaciones independientes con r incógnitas. Las n-r incógnitas que pasan al segundo miembro, se igualan a parámetros (por ejemplo t1, t2,...., tn-r). De este modo, todas las incógnitas se pueden expresar en función de t1, t2,...., tn-r. Los parámetros t1, t2,...., tn-r pueden tomar cualquier valor real. 9

Ejercicio resuelto:

Discute y resuelve el siguiente sistema: 2x  3 y  7   3x  y  5  x  4 y  2  Como r(A)=r(A/B)=2 igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado. Para resolverlo se toma el sistema equivalente al dado, formado por las ecuaciones que generan el menor no nulo (el que nos ha dado el rango). La solución que obtenemos es x=2 ; y=-1. Ejercicio resuelto:

Discute y resuelve el siguiente sistema:  x  3 y  5z  2  3 x  4 y  2 z  1  5 x  10 y  8 z  3  Como r(A)=r(A/B)=2