R-C CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR

CONTENIDOS Estado transitorio de carga y descarga. Cálculo de la constante de tiempo. Método de cuadrados mínimos. Errores que se cometen durante la evaluación de τ OBJETIVOS
Determinar la capacidad equivalente de un circuito RC.
Calcular la constante de tiempo en un circuito RC en el proceso de carga y de descarga.
Obtener gráfica y analíticamente la constante de tiempo.

VI.1

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

VI.1.1 Introducción Supongamos que tenemos dos placas paralelas de área A, separadas una distancia d, y a un potencial V1 y V2 distintos y con cargas + Q y - Q. Un sistema de esta naturaleza constituye lo que se denomina capacitor o condensador, y se define la capacidad o capacitancia de un condensador a la cantidad de carga por unidad de potencial; esto es : C = Q/V

(1)

( la cantidad de carga Q que aparece es la de cualquiera de las placas pues ambas son iguales en módulo ) Evidentemente C es una constante del sistema cuya cantidad depende del material dieléctrico y de la geometría del mismo (por ejemplo, una esfera cargada rodeada de π ∈.R, siendo un material dieléctrico constituye un condensador y la capacidad vale C = 4 /π R el radio de la esfera). Si la carga del condensador se expresa en coulombios y la diferencia de potencial en voltios, la unidad de capacidad resultante es el Faradio; esto es : 1 Faradio = 1 Coulombio / 1 Voltio Puesto que el Faradio es una unidad muy grande, se utilizan otras menores como el microfaradio (1µF = 10-6 F), o también una unidad aún menor como el micromicrofaradio o picofaradio (1pF = 10-12 F). Para dar una idea de los ordenes de magnitud, un amplificador a transistores posee capacitores cuyos valores oscilan entre las decenas de pF y algunos miles de µF. Teniendo en cuenta la relación entre potencial y campo eléctrico ε = - Grad V, en el medio que separa a las placas se crea un campo eléctrico

1

ε

=

(V

1

−V2 )

(2)

d

Por otro lado, usando la ley de Gauss, se puede obtener que : Q = ∈ A

ε =

σ ∈

(3)

donde σ es la densidad superficial de carga y ∈ es la constante dieléctrica del medio entre las placas que puede ser inclusive vacío; reemplazando en la (2) y llamando V = V1 - V2 esta queda : V Q V1 V2 = (4) d ∈A + + + + + +

-

Q ∈ A = =C V d

(5)

De aquí podemos concluir lo siguiente : 1) dadas dos placas de área A separadas una distancia d por un medio de constante dieléctrica ∈, la relación carga a diferencia de potencial permanece constante; esto es, son proporcionales : a mayor diferencia de potencial, mayor d carga. 2) cuanto mayor sea ∈.A / d, mayor será la cantidad de carga que tendrá el sistema por unidad de diferencia de potencial; y dados el dieléctrico, la separación de las placas y su área, esta cantidad permanece constante. La representación de un condensador en un circuito puede ser :

CAPACITORES FIJOS

CAPACITORES VARIABLES

Consideremos un conjunto de capacitores conectados en serie; esto es, la placa positiva de uno con la negativa del siguiente, a una diferencia de potencial V, y con capacidades C1 , C2 , C3 , ... , Cn . + + + + + + C1

-

+ + + + + + C2

-

+ + + + + + C3

-

Q

FEM

2

+ + + + + + Cn

Al conectar la fuente V, y estando descargados, se produce un desplazamiento de cargas o corrientes de cargas negativas desde la placa derecha del condensador n a la placa izquierda del primero; entonces se puede concluir que la carga del primero es igual a la del último; también hay movimiento de cargas positivas desde la placa derecha del primero a la izquierda del segundo, esto es, la carga del primero y el segundo capacitor son iguales; aplicando el mismo razonamiento para los demás se concluye que cuando se conectan en serie todos adquieren la misma carga, a la cual denominaremos Q. + + + + +

C1

-

+ + + + +

C2

-

+ + + + +

C3

-

Entonces, si llamamos Ceq a la capacidad equivalente, se tiene: V=

Q

q2

q3

Q

+ + + + + + + + + + + + + + +

y:

1 1 1 1 1 = + + +Λ + Ceq C1 C2 C3 Cn

FEM

q1

Q , Ceq

- C1 - C2 - C3 -

(6)

Si consideramos ahora que los capacitores mencionados, se encuentran conectados en paralelo, y si Ceq es la capacidad equivalente, será : Q = V . Ceq

Ceq = C1 + C2 + C3 + ... + Cn

FEM

VI.1.2 Estado transitorio de carga del condensador Hasta aquí no se consideró lo que ocurría físicamente durante el tiempo de carga del condensador; es decir, el estado transitorio y su relación con las corrientes, las cargas que van variando y las diferencias de potencial. Para hacer este análisis se partirá de considerar el siguiente circuito R-C : FEM

Vab

(1)

a

(2)

R (3)

A

Vax x (4)

Vxb

C

b

3

Con la llave interruptora general abierta no circula corriente, encontrándose el condensador descargado. Al cerrar la llave general, estando las otras dos en las posiciones 1 y 4, circulará corriente por la Resistencia y por el Condensador, comenzando a cargarse lentamente. El proceso no es instantáneo. Supongamos estar a un tiempo t del inicio, cuando el condensador tiene una carga q, y circula una corriente i instantánea; siendo Vax la diferencia de potencial entre los bornes de la resistencia, y Vxb la diferencia de potencial entre los bornes del capacitor, se tendrá : Vab = V = Vax + Vxb V = i. R +

q C

q −V = 0 C i. R q V + − =0 R RC R

i. R +

dq q V + − =0 dt RC R

(8)

Esta última es una ecuación diferencial para la carga de un condensador; es del tipo lineal, a coeficientes constantes y la condición inicial es que q = 0 al tiempo t = 0. Es decir, el condensador se encuentra descargado inicialmente. La solución de la misma se obtiene proponiendo una función del tipo q = u (t). v (t); reemplazando ésta en la (8) queda  du u  dv V  + u⋅ + v − =0  dt RC  dt R El valor de u se extrae de la condición : du u + =0 dt RC De allí resulta :

du/u = -dt/RC ; integrando y eligiendo la constante de integración nula, ln u = -t /RC ; u= e-t/RC por lo que reemplazando en la anterior se obtiene : dv =V/R e-t/RC dt; -t/RC

v =VC. e

integrando:

+ cte

La solución resulta ser : q = u.v = e-t/RC (VC. e-t/RC + cte) El valor de la constante se obtiene de la condición inicial q = 0 en t = 0, entonces, 0 = VC + cte y de allí cte = - VC , y la solución finalmente es q = VC(1 - e-t/RC )

(9)

4

La ecuación q = f(t) se gráfica de la manera siguiente: q

(Coulombios) q = VC = Qmáx

Gráfica de q = f (t) q = 0,63 Qmáx

t (seg) τ Se observa que la carga máxima se alcanza para tiempos infinitamente grandes y vale Q = VC. La carga además, crece rápidamente al comienzo; cuando t = RC = τ se alcanza el (1 - 1/e) = 0,63 de la carga final. Este tiempo se denomina "constante de tiempo del circuito" (τ) y su unidad es segundos, si la capacidad se expresa en Faradios y la resistencia en Ohms. La corriente de carga correspondiente se obtiene haciendo la derivada con respecto a t de la carga q : t =

i = dq/dt = Imáx e-t/RC

(10)

Donde I = V/R es la corriente inicial y es la misma que si sólo hubiese conectada una resistencia. Los potenciales sobre la resistencia y el condensador son : Vax = i.R = I Re-t/RC = Vmáx e-t/RC -t/RC

Vxb = q/C = = Vmáx e

(11) (12)

La ecuación (10) se representa gráficamente así : i (Amp) i = Imáx

Gráfica de i = f (t)

t (seg)

5

Las representaciones gráficas de las dos diferencias de potencial, Vax (en la resistencia) y Vxb (en el condensador), en función del tiempo, son las siguientes : V (Volt)

V = Vxb + Vax

Vxb Gráfica de V = f (t) Vax t (seg)

En la misma gráfica se representó también la suma de Vax + Vxb = V (tensión aplicada total).

VI.1.3 Estado transitorio de descarga del condensador Suponiendo el mismo circuito representado anteriormente, con el capacitor totalmente cargado, estudiaremos el estado transitorio de la descarga del mismo, la variación de la intensidad y las diferencias de potencial en los bornes de la resistencia y en el condensador en función del tiempo. Colocando las llaves interruptoras en las posiciones 2 y 4, la corriente circulará por la resistencia disipandose en forma de calor (efecto Joule), a partir de las cargas acumuladas en el condensador, que ahora actuaría de f.e.m. La tensión V será ahora cero, quedando la suma de caídas de potencial de la siguiente manera : Vab = 0 = Vax + Vxb = i.R + q/C

(13)

Siendo q e i , los valores instantáneos de carga y corriente. Ordenando dq q + =0 dt RC

(14)

Esta es la ecuación diferencial de la descarga del condensador. La solución de esta ecuación es la siguiente : q = Q e-t/RC

(15)

i = - Q/RC. e-t/RC = - I e-t/RC

(16)

Donde : Q = carga máxima adquirida por el capacitor (Coulomb) I = intensidad máxima que circuló por el circuito (Ampere) RC = τ = constante de tiempo del sistema (seg) Las diferencias de potencial serán iguales y de signos distintos : Vax = - Vxb = Q/C e-t/RC

(17)

6

Las respectivas representaciones gráficas de las ecuaciones (15), (16) y (17), se muestran a continuación : q

i

Qmáx

Imáx

t(seg)

t(seg)

+V

Vax

Suma = 0 resistivo

V=0 t(seg) capacitivo Vxb -V

VI.1.4 Determinación de la constante de tiempo ( τ ) Si para el circuito en carga del condensador, teníamos que la corriente en función del tiempo era : i = Imáx. e-t/RC = V/R e-t/RC Aplicando logaritmos neperianos a ambos miembros: ln i = ln Imáx + ln (e-t/RC ) ln i = ln Imáx - t/RC

(18)

con RC = τ. La cual es equivalente a una ecuación lineal como la siguiente : y = b - m.x (19)

7

Que es la ecuación de una recta de ordenada al origen "b" y pendiente negativa "m" ; siendo "x" el tiempo, "y" la corriente eléctrica instantánea, y "m" igual a la inversa de "τ". Dicha ecuación se puede representar por :

t (seg) 14 13 12 11 10

b = ln Imáx

9 8 7 6 5 4 3 2

α

m = -1/τ

1

y = ln i

En la práctica, se pueden tomar valores de i en función del tiempo t, y confeccionar la siguiente tabla de datos :

n

xi= t(s)

i (A)

yi= ln i

xi.yi

1

0 seg

I máx

yi = ln Imáx

0

0

2 ..... 10

.....

…..

…..

…..

…..

∑n

∑xi

∑yi

∑xi.yi

∑x2

x2

Gráficamente podemos obtener el valor de la constante de tiempo τ , determinando el valor de la pendiente de la recta. Luego, además si conocemos R, podemos determinar el valor de C (capacidad equivalente del circuito); y a la inversa, conociendo C, podemos determinar R a partir de τ Esta gráfica se puede realizar ya sea tomando los valores de intensidad cuando va variando el tiempo en la carga del condensador, o en su descarga. Existe un problema, y es el de obtener el valor de Imáx (a tiempo cero). Debido a la inercia del instrumento de medición, la respuesta del mismo no es instantánea, por lo que el equilibrio del sistema de medición se alcanza luego de haber transcurrido un cierto tiempo, cuando la corriente es algo menor que la máxima. Este problema se soluciona midiendo la corriente que circula por el circuito conectando solamente la resistencia.

8

La gráfica que se muestra a continuación, indica con línea de puntos la situación mencionada antes, referida a la inercia del instrumento de medición y su valor desplazado del tiempo cero. i (A)

En el instrumento

t (seg)

VI.1.5 Determinación del valor de la constante de tiempo τ por el método de cuadrados mínimos Supongamos haber obtenido experimentalmente un conjunto de "n" medidas de la magnitud "y" y "n" medidas de la magnitud "x" a las cuales suponemos relacionadas entre sí linealmente a través de la ecuación y = m.x + b . Nos proponemos averiguar cual es la recta que más se aproxima a todos los puntos; o lo que es lo mismo, los valores de "m" y "b" (pendiente y ordenada al origen) a partir de la siguiente tabla de valores : y = ln i

x x1 x2 x3 ...... ...... ....... xn

yi

y y1 y2 y3 ..... .... .... yn

t (seg) xi

Consideremos el par (xi , yi); a xi le corresponde el valor experimental yi el cual debido a la dispersión no será el mismo que el determinado por la recta propuesta como se indica en la gráfica de arriba yi = f (xi). El dado por la función valdrá y(xi) = mxi + b ; y la diferencia será : yi - y(xi) = yi - (mxi + b) que corresponde a la separación entre el punto experimental y el dado por la recta teórica. De esta forma, podemos formar n diferencias, una para cada par de valores (xi , yi) y a las cuales deseamos hacer mínimas. El problema es que individualmente es imposible; tampoco podríamos hacerlo con la suma de 9

ellas porque cualquier recta igualmente distanciada de los puntos por defecto y por exceso dará una suma nula. Una solución es minimizar la suma de los cuadrados de estas diferencias; esto es :

Σ [yi - y(xi)] 2 = Σ [yi - (mxi + b)] 2 = mínimo Las variables que hay que tener en cuenta aquí son la pendiente "m" y la ordenada al origen "b", ya que de ellas depende el que las rectas se acerquen más a todos los puntos. Las soluciones son : n

m =

n ∑ (x i . y i ) − i =1

n

n .∑ (x i )

2

i =1

b=

n

n

x i .∑ y i

∑

i =1

i =1

(20)

  − ∑ xi  2  i =1  n

n

n

n

n

i =1

i =1 n

i =1

∑ (xi )2 .∑ y i − ∑ xi .∑ (xi. y i ) n.∑ (xi )

2

i =1

i =1

(21)

  − ∑ xi  2  i =1  n

Donde "m" y "b" son los valores que determinan unívocamente una recta que más se aproxima a todos los valores experimentales ( xi , yi ) y se calculan a partir de los mismos. Con la fórmula (20) determinamos "m"; luego : m = - 1 / τ = - 1 / RC

⇒

obtenemos τ

VI.1.6 Errores que se cometen en la determinación de τ VI.1.6 .1

Error de clase del amperímetro

Afecta a la medición de i, y por lo tanto al cálculo de yi = ln i ∆i =

Clase Fondo esc. imedidas .100

Luego :

10

∆ y = ln ∆ i

VI.1.6 .2

Error de apreciación en el cronómetro

Según el tipo de cronómetro utilizado, podemos tomar por ejemplo : ∆ xi = ± 0,1 seg. (o el valor que se pueda apreciar según la calidad del instrumento)

VI.1.6.3

Errores casuales o accidentales

Los errores casuales se producen en cada lectura de las cantidades i y t; como la medición se realiza en un régimen transitorio, esto es "i" varía con el tiempo "t", no es posible determinar varias lecturas para una misma situación y por lo tanto no pueden determinarse los errores casuales para cada valor "i" leído. Por dicho motivo se aplica el método de los cuadrados mínimos m = -1/τ + ∆m Si se propagan los errores que se cometen al calcular "m", tendremos : ∆m=

∆m =

(n− 1)

∂f ∂ f ∆ xi + ∆y i ∂x ∂y

siendo f = f (x,y) = y = mx + b

∑ ∑ (∑ x ) − 2(n− 1)∑ x ∆x + (n− 1)∑ x     n∑ x − (∑ x )  n∑ x − (∑ x )  yi − n

xi2 −

2

i

i

2

2

i

i

2

2

2

i

2

∆y i

i

El verdadero valor de τ será : τ = τ calculado ± ∆τ τ calculado = - 1 / m Como ∆τ ∆τ =

(m se calcula con la ecuación 20)

varía con "m", tendremos que :

∆m ∂τ ∆m = 2 m ∂m

Por lo tanto :

∆τ =

esto es así, ya que la derivada : ∂ (τ =− 1 / m) = 12 ∂m

∆m = [ecuación.(22)](1 /m 2 ) 2 m

y finalmente quedará :

τ = τ calculado + [ecuación (22) ] (1 /m 2 )

11

m

(23)

(22)

VI.2

PROCEDIMIENTOS

Instrumentos y equipos necesarios : - Fuente de tensión continua - Amperímetro - Resistencias y capacitores - Llaves interruptoras - Cronómetro - Conductores y elementos de conexión. Circuito práctico :

Datos de la experiencia : Fuente de tensión : ................ volts c.c. Amperímetro : Clase .......... Rango medición .............. Amp. Ra : ............. Ω Capacitor/es : ........................ en conexión ...................... Cronómetro : apreciación .....................................seg Resistencias : ................. en conexión .................... Tabla de valores obtenidos en la experiencia n

-6

i x 10 (A)

xi = t(seg)

yi = ln i

Σ xi =

Σ yi =

12

2

xi yi

x

Σ xi yi

Σ x2

Determinación gráfica de τ CALCULOS a) Determinación analítica de τ : m =

b =

b) Cálculo de la capacidad equivalente del sistema :

c) Cálculo del error cometido en el cálculo de τ: c.1) Error de clase :

∆y = ln ∆ i ∆i =

fondo escala clase amp. = 100 i

∆ y = ln ........... c.2) Error de apreciación del cronómetro : x = + ...........seg

c.3) Errores casuales (propagación de errores) : m= -1/τ ±

∆m

τ = τ calculado + ∆τ τ =τ calcu. ± (ecuación22)

1 τ = τ calc. ± ( ecuación 22 ) 1/m2 m2

13