2. CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR a. PROCESO DE CARGA La manera más sencilla de cargar un condensador de capacidad C es aplicar una diferencia de potencial V entre sus terminales mediante una fuente de c.c. Con ello, cada placa del condensador tomará una carga Q = CV . Teóricamente, la carga se producirá de forma instantánea:
q
Pero en un circuito real, debido a la existencia de resistencias (en los cables, generador, etc…), el condensador no se carga inmediatamente, sino que tarda un cierto tiempo en alcanzar la carga final, produciéndose un transitorio. Si el condensador se encuentra inicialmente descargado y en un instante considerado como t=0 se conecta a una d.d.p. ε, tal y como se muestra en la figura
durante el tiempo que dura el transitorio, la tensión y la carga en el condensador Vc y q variarán en el tiempo, hasta que se alcanzan la tensión y carga finales. La ecuación que gobierna la carga del condensador, según la escribamos en términos de q ó Vc (recordar que Vc=q/C) es:
q( t ) = εC( 1 − e
−t
RC
)
ó
VC ( t ) = ε ( 1 − e
−t
RC
)
Para poder entender cómo se llega a esta ecuación, es necesario escribir la ecuación del circuito anterior, conforme se verá en la lección de circuitos de c.c. No obstante, como ampliación, se muestra cómo se llega a ella. Ecuación de carga de un condensador En el circuito de la figura anterior, en un instante t cualquiera durante el proceso de carga, la tensión dada por la fuente se repartirá entre el condensador y la resistencia: ε = i( t )R + VC ( t ) Pero
i( t ) =
dq( t ) dt
y
VC ( t ) =
q( t ) C
q( t ) dq( t ) Luego ε = R+ C dt
Rdq( t ) = dt . Si integramos esta q( t ) ε− C ecuación dese el instante inicial (t=0) en el que la carga es nula (q=0) hasta un instante cualquiera t en el que la carga del condensador es q, tendremos: q( t ) t Rdq( t ) −t −t RC RC ó = dt ⇒ q ( t ) = ε C ( 1 − e ) V ( t ) = ε ( 1 − e ) c ∫0 q( t ) ∫0 ε− C
Esta última ecuación se puede escribir en la forma
Experimentalmente es difícil medir la carga de un condensador, pero como la carga es proporcional a la d.d.p. del condensador (q=CV), la magnitud que estudiaremos es la tensión en bornes del condensador, Vc(t). El parámetro RC que aparece en esta ecuación se llama constante de tiempo del circuito (τ=RC) (se puede comprobar que tiene dimensiones de un tiempo, por lo que se mide en segundos), y nos informa de la “rapidez” del proceso de carga; su valor nos dice el tiempo que tarda en alcanzarse el 63 % de la carga final, ya que Vc ( t = τ ) = ε ( 1 − e −1 ) = 0 ,63ε
La constante de tiempo se puede medir, experimentalmente, a partir de la curva de carga, buscando el instante en el que se ha alcanzado el 63 % de la carga máxima. Esta ecuación es una exponencial, y teóricamente se tardaría un tiempo infinito en alcanzarse la carga máxima; por ello, se suele considerar al condensador cargado cuando se ha alcanzado el 99 % de la carga máxima, lo que ocurre tras un tiempo aproximadamente igual a 5 veces la constante de tiempo (comprobar que Vc(t=5τ)=0,99ε). b. PROCESO DE DESCARGA Si, una vez cargado el condensador, retiramos la fuente de tensión, la carga del condensador produce una corriente y la energía almacenada se disipa por efecto Joule en la resistencia del circuito, hasta que la corriente cesa. Análogamente al proceso de carga, la ecuación de la tensión en terminales del condensador es Vc ( t ) = εe( − t / RC )
Y la constante de tiempo del circuito corresponde, ahora, al instante en el que el condensador se ha descargado hasta un 37 % de la carga que tenía cuando estaba completamente cargado, ya que Vc ( t = τ ) = ε ( e −1 ) = 0 ,37 ε . Análogamente a la carga, como ampliación, se muestra cómo obtener la ecuación del proceso de descarga. Ecuación de descarga de un condensador En el circuito de la figura anterior, en un instante t cualquiera durante el proceso de descarga, como no hay fuente de tensión: VC ( t ) = i( t )R q( t ) dq( t ) = − R C dt dq( t ) Esta última ecuación se puede escribir en la forma RC = − dt . Si integramos esta q( t ) ecuación dese el instante inicial (t=0) en el que el condensador estaba completamente cargado (q=εC) hasta un instante cualquiera t en el que la carga del condensador es q, tendremos: q( t ) t RCdq( t ) −t −t RC RC ó = − dt ⇒ q ( t ) = ε Ce V ( t ) = ε e c ∫εC q( t ) ∫0
Pero
i( t ) = −
dq( t ) dt
y
VC ( t ) =
q( t ) C
Luego
El proceso de descarga también duraría un tiempo infinito, y se suele admitir que el condensador se ha descargado cuando ha perdido un 99% de la carga que tenía, lo que ocurre, aproximadamente, tras 5 veces la constante de tiempo. Así pues, si queremos representar los procesos de carga y descarga de un condensador, deberíamos dibujar ese proceso durante un tiempo igual a 10 veces la constante de tiempo del circuito (5 veces para la carga y 5 para la descarga).
PRACTICA 4. CARGA Y DESCARGA DEL CONDENSADOR. REALIZACION DE LA PRACTICA 1. OBJETIVOS El objetivo de esta práctica es comprender los procesos de carga y descarga de un condensador y el significado de la constante de tiempo. También se plantea como objetivo valorar la importancia de una planificación previa del experimento. 2. MATERIAL • Generador de funciones • Resistencias de 1500 y 560 Ω
• •
Osciloscopio analógico Hameg Condensadores de 2,2 y 1 μF
3. REALIZACION Los procesos de carga y descarga que se producen en muchas de las aplicaciones de los condensadores, son tan rápidos que no se pueden medir con un cronómetro. Para poder medirlos y estudiarlos en esta práctica, utilizaremos el generador de funciones suministrando una onda cuadrada; de este modo, en la parte de la onda de tensión “alta”, el condensador se cargará, y en la parte “baja” de la onda, el condensador se descargará. En los dos canales del osciloscopio podremos ver la tensión suministrada por el generador (onda cuadrada) y la existente entre los terminales del condensador (curvas de carga y descarga). Para ello, montaremos el circuito de la figura, recordando las precauciones indicadas en la práctica anterior.
Precauciones antes de empezar a medir. • Los terminales negativos de los dos canales del osciloscopio y negativo de la salida del generador de funciones deben estar conectados al mismo punto del circuito, ya que internamente están conectados a través de la conexión de tierra. • Ninguno de los botones del panel de mandos debe estar pulsado. • El cero de ambos canales debe estar correctamente ajustado. • Todos los mandos con un triángulo en el centro, deben tener dicho triángulo en la posición horizontal (ligero “click”). • La imagen debe estar correctamente enfocada y con poco brillo. Una vez montado el circuito, con el generador suministrando una onda cuadrada y de amplitud máxima, configurar correctamente los mandos para ver la salida del generador en el Canal I y la tensión en el condensador en el Canal II. Midiendo sobre la pantalla del osciloscopio en la curva de carga:
a) Medir la tensión máxima a la que se carga el condensador. b) Medir el instante de tiempo en el que se alcanza el 63% de la tensión máxima (τ). Compárala con la teórica y busca posibles causas de error. c) Calcula el período T=1/f de la señal del generador, y comprueba que, de forma aproximada, se cumple que T=10τ. ¿Qué ocurriría si el período de la señal del generador fuera mucho mayor o menor que 10τ? d) Sustituye el condensador del circuito por la asociación de los dos condensadores (2,2 y 1 µF) en serie. Calcula teóricamente la capacidad equivalente, y estima la frecuencia que debes dar al generador para poder visualizar correctamente las curvas de carga y descarga. Visualiza ambas curvas y comprueba que la constante de tiempos experimental y la teórica coinciden razonablemente. e) Sustituye los dos condensadores en serie por la asociación de los dos condensadores (2,2 y 1 µF) en paralelo. Calcula teóricamente la capacidad equivalente, y estima la frecuencia que debes dar al generador para poder visualizar correctamente las curvas de carga y descarga. Comprobarás que la frecuencia es baja, por lo que no te será posible medir cómodamente sobre la pantalla del osciloscopio (la pantalla parpadeará). Para resolver este problema, puedes sustituir la resistencia por otra más pequeña (560 Ω) y recalcular la frecuencia a la que debes ajustar el generador. En estas condiciones, comprueba que la constante de tiempos experimental y la teórica coinciden razonablemente. 4. MEMORIA De esta práctica no es necesario hacer memoria.
