PROBLEMA

a) b) c)

EXAMEN B2. CURSO 2007-2008. MODELO A

Un cilindro hueco y homogéneo, de radio interior r y radio exterior R, rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado un ángulo θ sobre la horizontal. Suponiendo que inicialmente se encontraba en reposo, se pide: Determinar la aceleración del CM y la aceleración angular del cilindro. Calcular la velocidad del CM cuando el cilindro ha recorrido una distancia L sobre el plano inclinado y la velocidad angular del sólido en ese instante. Calcular las componentes vectoriales de velocidades y aceleraciones de los puntos A, B y P indicados en el dibujo cuando el cilindro ha recorrido una distancia L sobre el plano inclinado, con respecto al sistema coordenado que se muestra en el esquema cuyo origen es el CM.

R Valores numéricos -2

g (m.s ) = r (m) = R (m) = L (m) = θ (º) =

9,80 0,20 0,25 1,00 30

Y

L

A

r

R r Posición del CM al inicio del movimiento

P

B

X

θ 1

PROBLEMA

a) b) c)

EXAMEN B2. CURSO 2007-2008. MODELO B

Un cilindro hueco y homogéneo, de radio interior r y radio exterior R, rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado un ángulo θ sobre la horizontal. Suponiendo que inicialmente se encontraba en reposo, se pide: Determinar la aceleración del CM y la aceleración angular del cilindro. Calcular la velocidad del CM cuando el cilindro ha recorrido una distancia L sobre el plano inclinado y la velocidad angular del sólido en ese instante. Calcular las componentes vectoriales de velocidades y aceleraciones de los puntos A, B y P indicados en el dibujo cuando el cilindro ha recorrido una distancia L sobre el plano inclinado, con respecto al sistema coordenado que se muestra en el esquema cuyo origen es el CM.

R Valores numéricos -2

g (m.s ) = r (m) = R (m) = L (m) = θ (º) =

9,80 0,05 0,20 1,00 30

Y

L

A

r

R r Posición del CM al inicio del movimiento

P

B

X

θ 2

PROBLEMA

a) b) c)

EXAMEN B2. CURSO 2007-2008. MODELO C

Un cilindro hueco y homogéneo, de radio interior r y radio exterior R, rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado un ángulo θ sobre la horizontal. Suponiendo que inicialmente se encontraba en reposo, se pide: Determinar la aceleración del CM y la aceleración angular del cilindro. Calcular la velocidad del CM cuando el cilindro ha recorrido una distancia L sobre el plano inclinado y la velocidad angular del sólido en ese instante. Calcular las componentes vectoriales de velocidades y aceleraciones de los puntos A, B y P indicados en el dibujo cuando el cilindro ha recorrido una distancia L sobre el plano inclinado, con respecto al sistema coordenado que se muestra en el esquema cuyo origen es el CM.

R Valores numéricos -2

g (m.s ) = r (m) = R (m) = L (m) = θ (º) =

9,80 0,20 0,25 0,50 15

Y

L

A

r

R r Posición del CM al inicio del movimiento

P

B

X

θ 3

PROBLEMA

a) b) c)

EXAMEN B2. CURSO 2007-2008. MODELO D

Un cilindro hueco y homogéneo, de radio interior r y radio exterior R, rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado un ángulo θ sobre la horizontal. Suponiendo que inicialmente se encontraba en reposo, se pide: Determinar la aceleración del CM y la aceleración angular del cilindro. Calcular la velocidad del CM cuando el cilindro ha recorrido una distancia L sobre el plano inclinado y la velocidad angular del sólido en ese instante. Calcular las componentes vectoriales de velocidades y aceleraciones de los puntos A, B y P indicados en el dibujo cuando el cilindro ha recorrido una distancia L sobre el plano inclinado, con respecto al sistema coordenado que se muestra en el esquema cuyo origen es el CM.

R Valores numéricos -2

g (m.s ) = r (m) = R (m) = L (m) = θ (º) =

9,80 0,05 0,20 0,50 15

Y

L

A

r

R r Posición del CM al inicio del movimiento

P

B

X

θ 4

PROBLEM

a) b) c)

EXAM B2. 2007-2008. MODEL A

A hollow homogeneous cylinder whose inner and outer radii are r and R respectively, is rolling without slipping along an incline of angle θ (see figure). We assume that the cylinder was initially at rest. Find the acceleration of the center of mass and the angular acceleration. Find the velocity of the center of mass and the angular velocity when the cylinder has moved a distance L along the incline. Find the vectorial components for velocities and accelerations of points A, B, P shown in the figure when the cylinder has moved a distance L. Use the center of mass centered reference frame shown in the figure.

R

Use the following numerical values: -2

g (m.s ) = r (m) = R (m) = L (m) = θ (º) =

9,80 0,20 0,25 1,00 30

Y

L

A

r

R r Center of mass position when the movement begins.

P

B

X

θ 5

EXAMEN B2. CURSO 2007-2008. SOLUCIONARIO PROBLEMA

a) b) c)

Un cilindro hueco y homogéneo, de radio interior r y radio exterior R, rueda sin deslizar a lo largo de un plano inclinado un ángulo θ sobre la horizontal. Suponiendo que inicialmente se encontraba en reposo, se pide: Determinar la aceleración del CM y la aceleración angular del cilindro. Calcular la velocidad del CM cuando el cilindro ha recorrido una distancia L sobre el plano inclinado y la velocidad angular del sólido en ese instante. Calcular las componentes vectoriales de velocidades y aceleraciones de los puntos A, B y P indicados en el dibujo cuando el cilindro ha recorrido una distancia L sobre el plano inclinado, con respecto al sistema coordenado que se muestra en el esquema cuyo origen es el CM.

R

Y

L

r

A R r Posición del CM al inicio del movimiento

P

B

X

θ 6

EXAMEN B2. CURSO 2007-2008. SOLUCIONARIO

PROBLEMA (Cont.)

Apartado a) Fuerzas que intervienen en el movimiento a lo largo del plano (en rojo) Y aCM m g sin θ − FR = m aCM Iα m g sin θ − = m aCM α I α R F ⋅ R = I α FR = R mg sin θ CM R Rueda sin deslizar: R I es el momento de inercia a respecto al eje principal de α = CM r R X simetría que pasa por el CM FR

θ

Momento de inercia respecto a su 1 I = m R2 + r 2 eje principal de simetría de un 2 cilindro hueco de radios r y R: Iα 1 1⎛ r2 ⎞ 2 2 aCM = m R +r = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ m aCM = C m aCM 2 R 2 2⎝ R ⎠ R

(

Sea m la masa (desconocida) del cilindro hueco

(

mg

)

)

C Iα = m aCM puede escribirse como m g sin θ − C m aCM = m aCM R 1⎛ r2 ⎞ g sin θ ⎜ donde C = ⎜1 + 2 ⎟⎟ = 2⎝ R ⎠ 1+ C

Por tanto la relación m g sin θ −

aCM

De aquí la aceleración angular vale

α=

g sin θ R(1 + C )

7

EXAMEN B2. CURSO 2007-2008. SOLUCIONARIO

PROBLEMA (Cont.) Apartado b)

Y

L

R r Posición del CM al inicio del movimiento

X

θ

Velocidad del CM y velocidad angular cuando ha recorrido una distancia L partiendo del reposo 2 vCM = 2 aCM L = 2 g sin θ L 1+ C

1⎛ r2 ⎞ donde C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

vCM =

2 g sin θ L 1+ C

ω=

vCM 1 2 g sin θ L = R R 1+ C

Observación: cuanto más próximos sean los valores de r y R, mayor es el valor de C y menor será la velocidad lineal y la velocidad angular.

Componentes vectoriales en el sistema de referencia dado:

r g sin θ r aCM = i 1+ C

( )

r g sin θ −k α= R(1 + C ) r

(El eje Z positivo es normal al plano XY y saliente)

r 2 g sin θ r vCM = L i 1+ C

r

ω=

( )

r 1 2 g sin θ L −k R 1+ C 8

EXAMEN B2. CURSO 2007-2008. SOLUCIONARIO

PROBLEMA (Cont.)

Punto superior (A)

Apartado c) Y

L

(

r r r 2 g sin θ r 1 2 g sin θ vA = L i+ L ⋅R −k × j 1+ C R 1+ C

A R r Posición del CM al inicio del movimiento

P

r g sin θ r aCM = i 1+ C r r g sin θ α= −k R(1 + C )

B

X

)

r 2 g sin θ r vA = 2 L i 1+ C

r r r r r a A = aCM + α × rA / CM − ω 2 rA / CM

(

)

r r 2 g sin θ r r g sin θ r g sin θ L⋅R⋅ j R −k × j − 2 i+ aA = R(1 + C ) 1+ C R (1 + C )

( )

r vCM

θ

r r rA / CM = R j

r r r r r r v A = vCM + v A / CM = vCM + ω × rA / CM

2 g sin θ r = L i 1+ C

r 2 g sin θ ⎛ r L r ⎞ aA = ⎜i − ⋅ j ⎟ R ⎠ 1+ C ⎝

( )

r 1 2 g sin θ L −k ω= R 1+ C r

1⎛ r2 ⎞ C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

9

EXAMEN B2. CURSO 2007-2008. SOLUCIONARIO

PROBLEMA (Cont.)

Punto delantero (B)

Apartado c) Continuación Y

L

(

r r r 2 g sin θ r 1 2 g sin θ vB = L i+ L ⋅R − k ×i 1+ C R 1+ C

A R r Posición del CM al inicio del movimiento

P

r g sin θ r aCM = i 1+ C r r g sin θ α= −k R(1 + C )

B

X

)

r r 2 g sin θ r 2 g sin θ vB = L i− L j 1+ C 1+ C

r r r r r aB = aCM + α × rB / CM − ω 2 rB / CM

(

)

r r 2 g sin θ r r g sin θ r g sin θ L⋅ R ⋅i R − k ×i − 2 i+ aB = R(1 + C ) 1+ C R (1 + C )

( )

r vCM

θ

r r rB / CM = R i

r r r r r r vB = vCM + vB / CM = vCM + ω × rB / CM

2 g sin θ r = L i 1+ C

r g sin θ ⎛ 2 L ⎞ r g sin θ r aB = j ⎜1 ⎟ i− 1+ C ⎝ R ⎠ 1+ C

( )

r 1 2 g sin θ L −k ω= R 1+ C r

1⎛ r2 ⎞ C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

10

EXAMEN B2. CURSO 2007-2008. SOLUCIONARIO

PROBLEMA (Cont.)

Punto inferior (P)

Apartado c) Continuación Y

L

(

R Posición del CM al inicio del movimiento

P

r g sin θ r aCM = i 1+ C r r g sin θ α= −k R(1 + C )

( )

r 1 2 g sin θ L −k ω= R 1+ C 1⎛ r2 ⎞ C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

X

r r 2 g sin θ r 2 g sin θ vP = L i+ L (− i ) = 0 1+ C 1+ C

r r r r r aP = aCM + α × rP / CM − ω 2 rP / CM

(

2 g sin θ r = L i 1+ C

r

B

)

r r r r 2 g sin θ g sin θ r g sin θ L ⋅ R ⋅ (− j ) R − k × (− j ) − 2 i+ aP = R(1 + C ) 1+ C R (1 + C )

( )

r vCM

θ

)

r r r 2 g sin θ r 1 2 g sin θ vP = L i+ L ⋅ R − k × (− j ) 1+ C R 1+ C

A

r

r r rP / CM = − R j

r r r r r r vP = vCM + vP / CM = vCM + ω × rB / CM

r 2 g sin θ L r aP = j 1+ C R El punto P es el centro instantáneo de rotación. Su velocidad es nula pero su aceleración no.

11

EXAM B2. 2007-2008. SOLUTION

PROBLEM (Continued)

a) FBD: Forces along the direction of the incline are shown as red arrows. Y aCM m g sin θ − FR = m aCM Iα m g sin θ − = m aCM α I α R FR ⋅ R = I α FR = mg sin θ CM R R r

FR

X

θ

Rolling without slipping:

I is the momentum of inertia about the main symmetry axis passing through the center of mass.

α=

Momentum of inertia for a hollow homogeneous cylinder (radii r and R):

m is the unknown mass of the hollow homogeneous cylinder.

(

I=

aCM R

(

1 m R2 + r 2 2

)

Iα 1 1⎛ r2 ⎞ 2 2 aCM = m R +r = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ m aCM = C m aCM 2 R 2 2⎝ R ⎠ R

mg

C

We can write

m g sin θ −

aCM

Iα = m aCM R

m g sin θ − C m aCM = m aCM

1⎛ r2 ⎞ where C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

g sin θ = 1+ C

We obtain the angular acceleration:

as

α=

g sin θ R(1 + C )

12

)

EXAM B2. 2007-2008. SOLUTION

PROBLEM (Continued) b)

Y

L

R r Center of mass position when the movement begins.

X

θ

Velocity of the center of mass and angular velocity when the cylinder has moved a distance L: 2 vCM = 2 aCM L = 2 g sin θ L 1+ C

1⎛ r2 ⎞ where C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

vCM =

2 g sin θ L 1+ C

ω=

vCM 1 2 g sin θ L = R R 1+ C

Note: the closer are the radii r and R, the larger is the value of C and the smaller are velocity and angular velocity.

Vectorial components in the centered reference frame:

r g sin θ r aCM = i 1+ C

( )

r g sin θ −k α= R(1 + C ) r

r 2 g sin θ r vCM = L i 1+ C

(Z – axis positive direction is the normal outgoing direction)

r

ω=

( )

r 1 2 g sin θ L −k R 1+ C 13

EXAM B2. 2007-2008. SOLUTION

PROBLEM (Continued)

Upper point (A)

c) Y

L

(

r r r 2 g sin θ r 1 2 g sin θ vA = L i+ L ⋅R −k × j 1+ C R 1+ C

A R r Center of mass position when the movement begins

P

r g sin θ r aCM = i 1+ C r r g sin θ α= −k R(1 + C )

( )

r 1 2 g sin θ L −k ω= R 1+ C 1⎛ r2 ⎞ C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

X

r 2 g sin θ r vA = 2 L i 1+ C

r r r r r a A = aCM + α × rA / CM − ω 2 rA / CM

(

2 g sin θ r = L i 1+ C

r

B

)

)

r r 2 g sin θ r r g sin θ r g sin θ L⋅R⋅ j R −k × j − 2 i+ aA = R(1 + C ) 1+ C R (1 + C )

( )

r vCM

θ

r r rA / CM = R j

r r r r r r v A = vCM + v A / CM = vCM + ω × rA / CM

r 2 g sin θ ⎛ r L r ⎞ aA = ⎜i − ⋅ j ⎟ R ⎠ 1+ C ⎝

Numerical values: see page 17

14

EXAM B2. 2007-2008. SOLUTION

PROBLEM (Continued)

Forward point (B)

c) Continued Y

L

(

r r r 2 g sin θ r 1 2 g sin θ vB = L i+ L ⋅R − k ×i 1+ C R 1+ C

A R r Center of mass position when the movement begins

P

r g sin θ r aCM = i 1+ C r r g sin θ α= −k R(1 + C )

( )

r 1 2 g sin θ L −k ω= R 1+ C 1⎛ r2 ⎞ C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

X

r r 2 g sin θ r 2 g sin θ vB = L i− L j 1+ C 1+ C

r r r r r aB = aCM + α × rB / CM − ω 2 rB / CM

(

2 g sin θ r = L i 1+ C

r

B

)

)

r r 2 g sin θ r r g sin θ r g sin θ L⋅ R ⋅i R − k ×i − 2 i+ aB = R(1 + C ) 1+ C R (1 + C )

( )

r vCM

θ

r r rB / CM = R i

r r r r r r vB = vCM + vB / CM = vCM + ω × rB / CM

r g sin θ ⎛ 2 L ⎞ r g sin θ r aB = j ⎜1 ⎟ i− 1+ C ⎝ R ⎠ 1+ C

Numerical values: see page 17

15

EXAM B2. 2007-2008. SOLUTION

PROBLEM (Continued)

Lower point (P)

c) Continued Y

L

(

R Posición del CM al inicio del movimiento

P

r g sin θ r aCM = i 1+ C r r g sin θ α= −k R(1 + C )

X

r r 2 g sin θ r 2 g sin θ vP = L i+ L (− i ) = 0 1+ C 1+ C

r r r r r aP = aCM + α × rP / CM − ω 2 rP / CM

(

r 2 g sin θ r vCM = L i 1+ C

( )

r 1 2 g sin θ L −k ω= R 1+ C 1⎛ r2 ⎞ C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

B

)

r r r r 2 g sin θ g sin θ r g sin θ L ⋅ R ⋅ (− j ) R − k × (− j ) − 2 i+ aP = R(1 + C ) 1+ C R (1 + C )

( )

r

θ

)

r r r 2 g sin θ r 1 2 g sin θ vP = L i+ L ⋅ R − k × (− j ) 1+ C R 1+ C

A

r

r r rP / CM = − R j

r r r r r r vP = vCM + vP / CM = vCM + ω × rB / CM

r 2 g sin θ L r aP = j 1+ C R P is the instantaneous rotation center. It has zero velocity and non-zero acceleration. Numerical values: see page 17 16

EXAMEN B2. CURSO 2007-2008. SOLUCIONARIO

PROBLEMA (Cont.)

RESULTADOS NUMÉRICOS (unidades S.I.) -2

g (m.s ) = r (m) = R (m) = L (m) = θ (º) =

9,80 0,20 0,25 1,00 30

MODELO A)

Apartado c) Comp. X Comp. Y

Apartado b)

Apartado a)

aCM =

g sin θ 1+ C

g sin θ α= R(1 + C ) 1⎛ r2 ⎞ C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

vCM

ω=

2 g sin θ = L 1+ C 1 2 g sin θ L R 1+ C

2,69

10,77

0,82

2,32

r 2 g sin θ r L i vA = 2 1+ C

4,64

0,00

r 2 g sin θ ⎛ r L r ⎞ aA = ⎜i − ⋅ j ⎟ R ⎠ 1+ C ⎝

5,38

-21,54

r j

2,32

-2,32

r j

-18,85

-2,69

0,00

0,00

0,00

21,54

r 2 g sin θ 2 g sin θ r L L i− vB = 1+ C 1+ C r g sin θ ⎛ 2 L ⎞ r g sin θ aB = ⎜1 ⎟ i− 1+ C ⎝ R ⎠ 1+ C

r r 2 g sin θ 2 g sin θ r L (− i ) = 0 L i+ vP = 1+ C 1+ C r 2 g sin θ L r aP = j 1+ C R

9,28

17

PROBLEMA (Cont.)

EXAMEN B2. CURSO 2007-2008. SOLUCIONARIO

RESULTADOS NUMÉRICOS (unidades S.I.) -2

g (m.s ) = r (m) = R (m) = L (m) = θ (º) =

9,80 0,05 0,20 1,00 30

MODELO B)

Apartado c) Comp. X Comp. Y

Apartado b)

Apartado a)

aCM =

g sin θ 1+ C

g sin θ α= R(1 + C ) 1⎛ r2 ⎞ C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

vCM

ω=

2 g sin θ = L 1+ C 1 2 g sin θ L R 1+ C

r 2 g sin θ r L i vA = 2 1+ C

5,06

0,00

r 2 g sin θ ⎛ r L r ⎞ aA = ⎜i − ⋅ j ⎟ R ⎠ 1+ C ⎝

6,40

-32,00

r r 2 g sin θ 2 g sin θ r L j L i− vB = 1+ C 1+ C

2,53

-2,53

-28,80

-3,20

0,00

0,00

0,00

32,00

3,20

16,00

0,53

2,53

r g sin θ aB = 1+ C

⎛ 2 L ⎞ r g sin θ r j ⎜1 ⎟ i− 1+ C ⎝ R ⎠

r r 2 g sin θ 2 g sin θ r L (− i ) = 0 L i+ vP = 1+ C 1+ C r 2 g sin θ L r j aP = 1+ C R

12,65

18

EXAMEN B2. CURSO 2007-2008. SOLUCIONARIO

PROBLEMA (Cont.)

RESULTADOS NUMÉRICOS (unidades S.I.) -2

g (m.s ) = r (m) = R (m) = L (m) = θ (º) =

g sin θ 1+ C g sin θ α= R(1 + C )

Apartado b)

Apartado a)

aCM =

1⎛ r2 ⎞ C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

vCM =

ω=

2 g sin θ L 1+ C

1 2 g sin θ L R 1+ C

9,80 0,20 0,25 0,50 15

1,39

5,57

0,82

1,18

MODELO C)

Apartado c)

r 2 g sin θ r L i vA = 2 1+ C

Comp. X Comp. Y 2,36

0,00

r 2 g sin θ ⎛ r L r ⎞ aA = ⎜i − ⋅ j ⎟ R ⎠ 1+ C ⎝

2,79

-5,57

r r 2 g sin θ 2 g sin θ r L j L i− vB = 1+ C 1+ C

1,18

-1,18

r g sin θ ⎛ 2 L ⎞ r g sin θ r aB = j ⎜1 ⎟ i− 1+ C ⎝ R ⎠ 1+ C

-4,18

-1,39

0,00

0,00

0,00

5,57

r r 2 g sin θ 2 g sin θ r L (− i ) = 0 L i+ vP = 1+ C 1+ C

r 2 g sin θ L r j aP = 1+ C R 4,72

19

EXAMEN B2. CURSO 2007-2008. SOLUCIONARIO

PROBLEMA (Cont.)

RESULTADOS NUMÉRICOS (unidades S.I.) -2

g (m.s ) = r (m) = R (m) = L (m) = θ (º) =

9,80 0,05 0,20 0,50 15

MODELO D)

Apartado c) Comp. X Comp. Y

Apartado b)

Apartado a)

aCM

g sin θ = 1+ C

g sin θ α= R(1 + C ) 1⎛ r ⎞ C = ⎜⎜1 + 2 ⎟⎟ 2⎝ R ⎠

1,66

8,28

2

vCM

ω=

2 g sin θ = L 1+ C 1 2 g sin θ L R 1+ C

0,53

r 2 g sin θ r L i vA = 2 1+ C

2,57

0,00

r 2 g sin θ ⎛ r L r ⎞ aA = ⎜i − ⋅ j ⎟ R ⎠ 1+ C ⎝

3,31

-8,28

r r 2 g sin θ 2 g sin θ r L j L i− vB = 1+ C 1+ C

1,29

-1,29

-6,63

-1,66

0,00

0,00

0,00

8,28

r g sin θ ⎛ 2 L ⎞ r g sin θ r aB = j ⎜1 ⎟ i− 1+ C ⎝ R ⎠ 1+ C

1,29

r r 2 g sin θ 2 g sin θ r L (− i ) = 0 L i+ vP = 1+ C 1+ C

r 2 g sin θ L r aP = j 1+ C R 6,44

20