Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko

Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f (x) = xx

x

(b) f (x) = logsin4 x−cos4 x

q

sin(π + x)

(c) f (x) = sin sin x · logx2 (2x) 



(d) f (x) = tg x + (e) f (x) = x

π 2

cos(π−x)

ln x x

(f) f (x) = tg(|x − x2 | cos(x2 )) W punkcie (b) podaj też dziedzinę pochodnej. Zadanie 2. 00 Rozwiąż nierówność: (xln x ) < 0. Zadanie 3. Dla jakich par parametrów (A, B) podana funkcja jest różniczkowalna w x0 ?   

eAx + B dla x ­ 0 , x0 = 0 (a) f (x) = Bx   dla x < 0, x−1 x

xe dla x > 1 Ax (b) f (x) = , x0 = 1 e   dla x ¬ 1, B   

Zadanie 4. 



Korzystając z twierdzenia Darboux uzasadnij, że istnieje x0 ∈ 0, π2 taki, że styczna do wykresu funkcji f (x) = arctg(x + cos x) wyznaczona w (x0 , f (x0 )) jest równoległa do prostej 3y = x. Zadanie 5. W jakich punktach przecinają oś 0y te styczne do wykresu funkcji y = ln(tg2 x), które są prostopadłe do prostej 4y + x = 1? 1

Zadanie 6. Wyznacz te styczne do wykresu funkcji y = 2x + 4−x , które są równoległe do podanej prostej: (a) y + x ln 2 = 0; (b) y + ln 2 = 0. Zadanie 7. Wyznacz równanie stycznej do wykresu podanej funkcji we wskazanym punkcie (a) f (x) = (cos(−3x))− cos(π−3x) ,





π , f ( π9 ) 9

(b) f (x) = xln x , (e, f (e)) (c) f (x) = xln x , (e3 , f (e3 )) Zadanie 8. 2 W jakich punktach (styczności) należy wytyczyć styczne do wykresu funkcji f (x) = xln (2x) , aby nie przechodziły one przez czwartą ćwiartkę układu współrzędnych? Zadanie 9. Wyznacz punkty przecięcia wykresów funkcji f (x) = log2 x oraz g(x) = logx 2. Wybierz dowolny z nich i wykaż, że wyznaczone w nim styczne do wykresów tych funkcji odcinają wraz z osią 0y trójkąt równoramienny. Zadanie 10. W jakim punkcie i pod jakim kątem krzywa y = 41−x przetnie styczną do wykresu f (x) = xlogx 2 wytyczoną w punkcie (666, f (666))? Zadanie 11. W punkcie (0, f (0)) wyznaczamy styczną do wykresu f (x). Jaki jest jej współczynnik kierunkowy,   d4 sin x gdy f (x) = 4 ? dx ex Zadanie 12.    π Gdzie i po co styczna do wykresu funkcji f (x) = (cos x)sin(x+ 2 ) wyznaczona w punkcie π3 , f π3 przetnie oś 0x? Zadanie 13. W którym z punktów przecięcia krzywych y = tg x i y = sin(2x) (−π < 6x < 3π) kąt pomiędzy nimi jest ostrzejszy i ile wynosi? Zadanie 14. Prosta y = ax+b jest styczna do wykresu funkcji f (x) w punkcie (π, f (π)). Wyznacz jej współczynnik d7 g(x) kierunkowy, gdy f (x) = dla g(x) = (x2 + x + 1) sin x. dx7 Zadanie 15. 2 W jakim punkcie przetną się styczne do wykresu funkcji f (x) = xln x wytyczone w punktach (e, f (e)) i (e−1 , f (e−1 )).

2

Zadanie 16. Wyznacz współrzędne punktów, w których wytyczono styczne do wykresu funkcji f (x) =

1 logx2 −x+1 e

,

gdy są one (a) równoległe; (b) prostopadłe do prostej x + y = 2. Zadanie 17. Wyznacz współrzędne punktów, w których wytyczono styczne do wykresu funkcji f (x) = arctg(1 − 2x), gdy są one (a) równoległe; (b) prostopadłe do prostej y − 5x = 4. Zadanie 18.   Dla jakich wartości B prosta y = 2x + B jest styczna do wykresu funkcji f (x) = ln x2 − 3x + 32 ? Zadanie 19. Oblicz przybliżoną wartość podanego wyrażenia (a) (tg 440 )sin 88

0

0)

(b) (cos 620 )sin(−28 ln 1, 02 (c) √ 1, 96 (d) (0, 51)0,49

Zadanie 20. Oszacuj błąd przybliżenia: 



π (a) 3 sin x cos x cos(2x) ≈ 3x − 8x3 dla x ∈ − 16 ,0

(b) cos x ≈ ex (1 − x) dla 0 < 3x < 1 oraz dla 0 < x < 1 Zadanie 21. Przybliż podaną funkcję trójmianem kwadratowym i oszacuj błąd przybliżenia: 2

(a) f (x) = e−x dla − 12 < x < 0 

(b) f (x) = ln sin 2x +

π 3





π dla x ∈ 0, 12



3

Zadanie 22. 2 Wyznacz współczynnik przy x13 dla rozwinięcia funkcji f (x) = e−x według wzoru Maclaurina z resztą Rn z n > 13. Zadanie 23. Wyznacz współczynnik przy x17 dla rozwinięcia funkcji f (x) = (x2 − x) cos(2x) według wzoru Maclaurina z resztą Rn z n > 17. Zadanie 24. Korzystając ze wzoru Maclaurina wyznacz równanie prostej przybliżającej łuk wykresu y = na przedziale 0 < x < 0, 1.

ln(x + 1) ex

Zadanie 25. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne funkcji f (x) = 2x − 1 + ln(x2 + 4x + 4) oraz przedziały I o własności: x1 , x2 ∈ I ⇐⇒ odcinek łączący punkty (x1 , f (x1 )) i (x2 , f (x2 )) leży poniżej łączącego je łuku wykresu funkcji f (x). Zadanie 26. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne i przedziały monotoniczności funkcji f (x) =

ln(x3 − 3x) . 3

Zadanie 27. Przy pomocy metod rachunku różniczkowego oblicz odległość punktu (0, 1) od krzywej xy = x2 +x+1. Zadanie 28. x4 + A 3 w jej ekstremach wynosi A 2 . Wyznacz A liczbowo; znajdź punkty, w których 2 x f (x) ma ekstrema, i określ rodzaj ekstremów. Wartość f (x) =

Zadanie 29. Określ przedziały monotoniczności oraz punkty przegięcia funkcji f (x) =

1 ecos x

dla |x| < π.

Zadanie 30. a Określ przedziały monotoniczności oraz granicę lim f (x) dla f (x) = axe x w zależności od paramex→0+ tru a. Zadanie 31. h i Wyznacz zbiór wartości funkcji f (x) = xx na przedziale 13 , 3 . Zadanie 32. Wyznacz wszystkie ekstrema lokalne i punkty przegięcia funkcji f (x) = ln(x3 ) − ln3 x. Zadanie 33. h i Wyznacz zbiór wartości funkcji f (x) = 2arctgx + x na przedziale 0, π3 .

4

Zadanie 34. W ostrosłup prawidłowy o podstawie kwadratu, polu powierzchni bocznej równym S i maksymalnej objetości wpisano kulę. Oblicz jej objętość. Zadanie 35. Określ przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji f (x) = x2 ln(−x). Zadanie 36. √ √ Określ przedziały monotoniczności oraz punkty przegięcia funkcji f (x) = 3 3 x + 1 − x + 1. Zadanie 37. Określ wszystkie ekstrema lokalne funkcji f (x) = log2 x+logx 2. Podaj równanie wyznaczające punkty przegięcia tej funkcji (bez rozwiazywania tego równania). Zadanie 38. √ Wyznacz zbiór wartości funkcji f (x) = x x na przedziale [2−4 , 2−2 ].

5