Universidad de los Andes Facultad de Ciencias Departamento de F´ısica

Notas de Clase Electromagnetismo Nelson Pantoja Semestre B-2006

´Indice General 1 Teor´ıa electromagnetica de Maxwell 1.1 El campo electromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Los potenciales electromagn´eticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Electrost´ atica ~ y potencial el´ectrico Φ . 2.1 Campo el´ectrico E 2.2 El problema de contorno en electrost´atica. . 2.3 El m´etodo de las imagenes . . . . . . . . . . 2.4 Expansi´on en funciones ortogonales . . . . . 2.4.1 La ecuaci´on de Laplace . . . . . . . . 2.4.2 La ecuaci´on de Poisson. Funciones de

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Green

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3 Expansi´ on Multipolar. Electrost´ atica en medios materiales 3.1 Expansi´on multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Expansi´on multipolar de la energ´ıa de una distribuci´on de cargas campo externo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Electrost´atica en medios materiales . . . . . . . . . . . . . . . .

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. . . . en un . . . . . . . .

4 Magnetost´ atica ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1 Magnetost´atica. El campo B ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 El potencial vector A ~ ~ de algunas distribuciones de corriente 4.3 El potencial A y el campo B 4.4 Momentos magneticos de una distribuci´on de corrientes localizadas 4.5 Ecuaciones de la magnetost´atica en medios materiales . . . . . . . . 4.6 Problemas de contorno en magnetost´atica . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Uso del potencial vector A 4.6.2 Uso del potencial escalar magn´etico ΦM (J~ ≡ ~0) . . . . . . . ~ dado y J~ ≡ ~0) . . . . . . . . . . . 4.6.3 Ferromagnetos duros (M

3 3 5 7 7 10 13 16 16 24 30 30 33 34

. . . . . . . . .

37 37 39 40 43 45 47 48 48 48

5 Campos que var´ıan en el tiempo. Leyes de conservaci´ on ~ y la ecuaci´on de onda . . . . . . . . . . . . . . . 5.1 Los potenciales Φ y A 5.2 Funciones de Green para la ecuaci´on de onda . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Teorema de Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50 50 52 55

1

. . . . . . . . .

6 Ondas electromagneticas. Propagaci´ on 6.1 La ecuaci´on de onda en medios materiales . . . . . . . . 6.2 Ondas planas en un medio no conductor . . . . . . . . . 6.3 Ondas electromagneticas en la interfaz entre dielectricos. 6.4 Ondas en un medio disipativo . . . . . . . . . . . . . . . 6.5 Ondas en un medio dispersivo . . . . . . . . . . . . . . .

2

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57 57 58 60 63 64

Cap´ıtulo 1 Teor´ıa electromagnetica de Maxwell 1.1

El campo electromagnetico

La teor´ıa electromagn´etica de Maxwell es una teor´ıa cl´asica de campos, en la cual la interaci´on electromagn´etica est´a mediada a trav´es de campos que se suponen medibles en todo punto (~x, t) del espacio-tiempo. En regiones sin materia (en el vac´ıo) denotaremos por ~ x, t), ~ x, t) E(~ B(~ a los campos el´ectrico y magn´etico respectivamente. En presencia de materia, a´ un cuando estos siguen siendo fundamentales, se suele introducir otros campos en la descripci´on de los fen´omenos electromagneticos para tomar en cuenta el hecho de que la materia es susceptible de interactuar con los campos electromagneticos y modificarlos, cosa que haremos mas adelante. ~ x, t) y B(~ ~ x, t) son campos vectoriales bajo rotaciones en 3 dimenLos campos E(~ ~ x, t) → −E(−~ ~ x, t). Por otro siones. Bajo inversi´on espacial ~x → −~x se tiene que E(~ ~ x, t) → B(−~ ~ x, t) y se dice que B ~ es un campo pseudo-vectorial.1 lado, B(~ ~ yB ~ pueden ser medidos usando la interacci´on entre part´ıculas carLos campos E 1

Un vector es un objeto que transforma bajo transformaciones arbitrarias de coordenadas en la misma forma en que lo hace el vector ~x 0

0

0

~x = xi eˆi = xi eˆi0 ,

0

xi = ai xj

0

con aij =

∂xi . ∂xj

~ = V i eˆi = V i0 eˆi0 con V i0 = ai0 V j entonces V ~ es un campo vectorial. Por otro lado, se dice que Si V j i ~ B = B eˆi es un campo pseudovectorial si sus componentes transforman de la forma 0

0

B i = det|a|aij B j , donde det|a| es el determinante de los coeficientes de la transformaci´on; si la transformaci´on es una inversi´on o una rotaci´ on impropia entonces det|a| = −1. Un ejemplo familiar de pseudovector lo ~ =A ~×B ~ ≡ εijk Ai Bj eˆi ; i, j, k = x, y, z; donde εijk es el tenemos en el producto vectorial en E3 , C simbolo totalmente antisim´etrico de Levi-Civita.

3

gadas y el campo electromagnetico   d 1 ~ , ~ + ~v × B p~ = q E dt c

(1.1)

p~ = γm0~v ,

(1.2)

 v − 12 γ ≡ 1 − ( )2 . (1.3) c El miembro derecho de (1.1) es la fuerza de Lorentz sobre una part´ıcula cargada de ~ yB ~ y puede utilizarse para definir carga q que se mueve bajo la acci´on de los campos E el campo electromagnetico. Por otro lado, los campos mismos evolucionan en el espaciotiempo con ecuaciones ~ · E(~ ~ x, t) = 4πρ(~x, t), ∇

Ley de Gauss

1 ~ ~ ~ ×B ~ = −4π J(~ ~ x, t), ∂t E(x, t) − ∇ c ~ · B(~ ~ x, t) = 0, ∇

Ley de Ampere

@ monopolos magn´eticos

~ x, t) = ~0, ~ × E(~ ~ x, t) + 1 ∂t B(~ ∇ c

Ley de Faraday

(1.4)

(1.5) (1.6) (1.7)

~ x, t) son las densidades de carga y corriente, respectivamente, fuendonde ρ(~x, t) y J(~ tes de los campos electromagn´eticos. Las ecuaciones (1.4-1.5) se conocen como las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial. A primera vista parecer´ıa que partiendo de las ecuaciones de (1.4) a (1.7) junto con ~ ~ + 1 J~ × B, f~ = ρE c

(1.8)

generalizaci´on evidente de (1.1) con f~ la densidad de fuerza de Lorentz, se podr´ıan cal~ x, t) y los campos E(~ ~ x, t) y B(~ ~ x, t) cular las distribuciones de carga ρ(~x, t) y corriente J(~ dadas las condiciones iniciales. Sin embargo, apartando la dificultad matem´atica, es todavia un problema abierto como los autocampos afectan el movimiento de las fuentes. De aqu´ı que nos limitaremos a algo menos ambicioso y calcularemos los campos producidos por una distribuci´on de cargas y corrientes dada o la distribuci´on de cargas y corrientes a partir de una configuraci´on particular de los campos. Veamos a continuaci´on algunas consecuencias importantes de las ecuaciones (1.41.7). De (1.5) se sigue que   1 ~ ~ ~ ~ ~ · J~ ∇· ∂t E − ∇ × B = −4π ∇ (1.9) c 1 ~ ~ ~ · (∇ ~ × B) ~ = −4π ∇ ~ · J~ ⇒ ∂t (∇ · E) − ∇ c 4

y usando la ecuaci´on (1.4), se obtiene 1 ~ · J(~ ~ x, t) = 0. ∂t ρ(~x, t) + ∇ c

(1.10)

La ecuaci´on (1.10) se conoce como ecuaci´on de continuidad y expresa la conservaci´on de la carga. Usando el teorema de la divergencia se tiene Z Z Z 1 3 3 ~ ~ d x ∂t ρ = − d x ∇ · J = − J~ · d~s. c Ω Ω δΩ As´ı, si la distribuciones de carga y corriente est´an confinadas en alg´ un volumen, tomando Ω lo suficientemente grande la integral de superficie ser´a cero y se tendr´a Z d Q = ∂t d3 x ρ = 0 → Q = const. dt Ω

1.2

Los potenciales electromagn´ eticos

Consideremos a continuaci´on el ansatz ~ =∇ ~ × A, ~ B

(1.11)

~ es un campo vectorial, entonces la ecuaci´on (1.6) se verifica trivialmente. De donde A ~ en la forma (1.11). aqu´ı que busquemos soluciones a las ecuaciones de Maxwell con B No es sin embargo evidente que toda soluci´on de (1.6) deba ser de la forma (1.11) y ~ depende de la topolog´ıa de la regi´on en la cual se supone de hecho, la existencia de A v´alida (1.6). Por los momentos ignoremos estas dificultades. Sustituyendo (1.11) en (1.7) se tiene ~ ×A ~ = ~0 ~ ×E ~ + 1 ∂t ∇ ∇ c y de aqu´ı que ~ × (E ~ + 1 ∂t A) ~ = ~0. ∇ c

(1.12)

A continuaci´on, con ~ + 1 ∂t A ~ = −∇Φ, ~ E c donde Φ(~x, t) es un campo escalar, es claro que (1.12) se satisface inmediatamente. De aqu´ı que si buscamos soluciones al sistema de ecuaciones (1.4-1.7) de la forma ~ x, t) = ∇ ~ × A(~ ~ x, t), B(~

(1.13)

~ x, t) = −∇Φ(~ ~ x, t) − 1 ∂t A(~ ~ x, t), E(~ c

(1.14)

~ habremos resuelto automaticamente las ecuaciones homogeneas (1.6) y (1.7). Φ y A se conocen como los potenciales escalar y vectorial, respectivamente. 5

Finalmente, sustituyendo (1.14) en (1.4) y (1.5) se tiene   1 1 1 ~ ·A ~ + ∂t Φ , ∆Φ − 2 ∂t ∂t Φ = −4πρ − ∂t ∇ c c c   1 1 ~ − ∂t ∂t A ~ = −4π J~ + ∇ ~ ∇ ~ ·A ~ + ∂t Φ , ∆A c2 c

(1.15)

(1.16)

~ en ecuaciones que en principio determinan los potenciales electromagn´eticos Φ y A ~ t´erminos de la fuentes ρ y J.. ~ 0 , soluciones a (1.15) y (1.16) Ahora bien, supongase que hemos encotrado Φ0 y A y que por lo tanto ~ 0. ~0 = ∇ ~ ×A ~0 ~ 0 = −∇Φ ~ 0 − 1 ∂t A B E c Es f´acil ver que los potenciales transformados 1 Φ ≡ Φ0 − ∂t χ c

(1.17)

~≡A ~ 0 + ∇χ ~ A

(1.18)

y ~0 y E ~ 0 , esto es reproducen los mismos B ~ ×A ~=∇ ~ × (A ~ 0 + ∇χ) ~ =∇ ~ ×A ~0 + ∇ ~ × ∇χ ~ =B ~0 ∇ y ~ = −∇Φ ~ 0 + 1∇ ~ (∂t χ) − 1 ∂t A ~ 0 − 1 ∂t (∇χ) ~ ~ 0 − 1 ∂t A ~0 = E ~ 0. ~ − 1 ∂t A = −∇Φ −∇Φ c c c c c ~ ecuaciones (1.17) y (1.18), tambi´en satisfacen (1.15) y (1.16) (se Los nuevos Φ y A, propone como ejercicio). Hemos descubierto entonces una simetr´ıa o invariancia de la ~ yB ~ y las ecuaciones de movimiento (1.4) a teor´ıa electromagn´etica. Los campos E (1.7) son invariantes bajo las transformaciones 1 Φ → Φ − ∂t χ , c

~→A ~ + ∇χ. ~ A

Dichas transformaciones se conocen como transformaciones de calibre y se dice que la teor´ıa presenta invariancia de calibre. Este tipo de invariancia es de importancia fundamental en f´ısica y est´a intimamente ligada a la noci´on de interacci´on. Tenemos entonces que el campo electromagnetico viene descrito por toda una familia de potenciales que difieren entre s´ı por transformaciones de calibre.

6

Cap´ıtulo 2 Electrost´ atica 2.1

~ y potencial el´ Campo el´ ectrico E ectrico Φ

Nos restringiremos en este y el proximo cap´ıtulo a considerar distribuciones de carga y campos independientes del tiempo. En este caso las ecuaciones de Maxwell se reducen a ~ · E(~ ~ x) = 4πρ(~x) ∇ (2.1) y ~ × E(~ ~ x) = ~0. ∇

(2.2)

La ecuaci´on (2.1) es la ley de Gauss en forma diferencial y puede llevarse a la forma integral usando el teorema de la divergencia. As´ı, integrando (2.1) sobre un volumen Ω se tiene Z Z 3 ~ ~ (2.3) d x ∇ · E(~x) = 4π d3 x ρ(~x), Ω

Ω

y con Z

~ · E(~ ~ x) = d x∇ 3

Ω

I

~ · d~s, E

∂Ω

se sigue que I

~ · d~s = 4π E

∂Ω

Z

d3 x ρ(~x),

(2.4)

Ω

donde ∂Ω es la frontera del volumen Ω. Volviendo a las ecuaciones (2.1) y (2.2), la ecuaci´on (2.2) se integra de manera ~ es derivable de un potencial inmediata si E ~ x) = −∇Φ(~ ~ x) E(~

(2.5)

∆Φ(~x) = −4πρ(~x),

(2.6)

y de (2.5) y (2.1) se sigue que

que reconocemos como una ecuaci´on de Poisson. Para ρ(~x) = 0, esto es, para el caso en el cual no hay distribuciones de carga en todo el espacio, el potencial escalar Φ(~x) satisface la ecuaci´on de Laplace ∆Φ(~x) = 0. (2.7) 7

En problemas de electroest´atica que involucran distribuciones de carga localizadas sin condiciones de contorno para Φ, salvo la condici´on m´ınima Φ(~x) → 0 para |~x| → ∞, la soluci´on general de (2.6) viene dada por Z ρ(x~0 ) d3 x0 , (2.8) Φ(~x) = |~x − x~0 | R3 como se puede verificar facilmente,   Z Z 1 3 0 ∆x Φ(~x) = d x ρ(x~0 )∆x = d3 x0 ρ(~x)(−4πδ(~x − x~0 )) = −4πρ(~x). 0 ~ |~x − x | Arriba hemos usado el hecho de que 1/|~x − x~0 | es la funci´on de Green para el operador ∆ en R3 ,   1 ∆ = −4πδ 3 (~x − x~0 ), (2.9) 0 ~ |~x − x | que satisface la condici´on 1/|~x − x~0 | → 0,

|~x| → ∞

(2.10)

y δ es por supuesto la distribuci´on δ de Dirac. La distribuci´on δ de Dirac nos permite, por otro lado, describir distribuciones de carga tanto discretas como continuas. Por ejemplo, ρ(~x) =

N X

qi δ(~x − ~x0 )

(2.11)

i=1

representa una distribuci´on de N cargas puntuales qi localizadas a los puntos ~xi . Si sustituimos (2.11) en (2.8) se tendr´a Z Z N X 1 x0 ) 3 0 3 0 ρ(~ Φ(~x) = dx = d x qi δ(~x − ~x0i ) |~x − ~x0 | |~x − ~x0 | i=1 Z N N X 1 δ(~x − ~x0i ) X = q (2.12) = qi d3 x0 i 0| |~ x − ~ x |~ x − ~ x | i i=1 i=1 que es obviamente el potencial creado en ~x por N cargas puntuales qi localizadas en los puntos ~xi . ~ x) se obtiene a partir de (2.5) de manera inmediata El campo el´ectrico E(~   Z Z 1 ~x − ~x0 3 0 0 ~ 3 0 ~ ~ E(~x) = −∇x Φ(~x) = − d x ρ(~x )∇x = d x ρ(~ x ) |~x − ~x0 | |~x − ~x0 |3 ! Z N N X X ~x − ~x0 qi ~x − ~xi 3 0 = dx qi δ(~x − ~xi ) = , (2.13) 0 3 2 |~ x − ~ x | |~ x − ~ x | |~ x − ~ x | i i i=1 i=1 y que reconocemos como el campo electroest´atico producido por N cargas puntuales qi localizadas en los puntos ~xi . Veamos a continuaci´on algunos ejemplos de distribuciones de carga continuas. 8

1. En coordenadas cilindricas (ρ, ϕ, z) una carga λ por unidad de longitud uniformemente distribuida sobre una superficie cilindrica de radio b. Tomando en cuenta las simetr´ıas de la distribuci´on de cargas considerada se propone C (2.14) ρ(~x) = δ(ρ − b), r donde C es una constante a ser ajustada. A continuaci´on, exigiendo Z 2π Z l Z ∞ dz dρ ρ dϕ ρ(~x) (2.15) λl = 0

0

0

se encuentra C=

λ . 2π

2. En coordenadas esfericas (r, θ, ϕ), una carga Q uniformemente distribuida sobre una concha esferica de radio R. Se propone C δ(r − R), r2

ρ(~x) =

(2.16)

y exigiendo Z Q=

d3 x ρ(~x)

se encuentra C=

(2.17)

Q . 4π

3. En coordenadas cilindricas, una carga Q uniformemente distribuida sobre un disco circular plano de espesor despreciable y radio R. ρ(~x) =

Q δ(z)Θ(R − ρ). πR2

4. La misma distribuci´on de cargas anterior pero en coordenadas esfericas. Partiendo de la expresi´on encontrada anteriormente y pasando a coordenadas esf´ericas se encuentra ρ(~x) =

C π δ(θ − )Θ(R − r), r sin θ 2

donde hemos usado δ(f (x)) =

X i

C=

1 δ(x − xi ) |f 0 (xi )|

y donde los xi son las raices de f (x), esto es, f (xi ) = 0.

9

Q , πR2

Cabe destacar que a´ un cuando el campo el´ectrico es la cantidad f´ısicamente relevante en la descripci´on cl´asica que estamos considerando, el potencial escalar Φ(~x) admite una interpretaci´on f´ısica interesante. Consideremos el trabajo hecho por un agente externo sobre una carga de prueba q al transportarla desde una punto A hasta un punto B a lo largo de una trayectoria ΓB atico A en presencia de un campo electroest´ ~ x). La fuerza que act´ E(~ ua sobre la carga viene dada por ~ x) F~ (~x) = q E(~

(2.18)

y por lo tanto Z W =−

F~ · d~l = −q

ΓB A

Z

~ · d~l E

(2.19)

ΓB A

(el - aparece porque estamos calculando el trabajo hecho en contra de la acci´on del campo) y de (2.5) se tiene Z Z ~ ~ dΦ = q(ΦB − ΦA ), (2.20) (−∇Φ) · dl = q W = −q ΓB A

ΓB A

lo que nos dice que qΦ puede interpretarce como la energ´ıa potencial de la carga q en ~ x). De (2.19) y (2.20) se desprende que presencia del campo electroest´atico E(~ Z I ~ ~ ~ · d~l = 0, E · dl = −(ΦB − ΦA ) ⇒ E (2.21) ΓB A

c

que es perfectamente consistente con lo que se obtiene del Teorema de Stokes Z Z I ~ ~ ~ × (−∇Φ) ~ ~ ~ ~ · d~s = 0. ∇ × E · dl = − ∇ E · dl = C

S

S

Se sigue entonces el resultado bien conocido de que las “fuerzas derivables de un potencial son conservativas “.

2.2

El problema de contorno en electrost´ atica.

En problemas de electrost´atica sin condiciones de contorno y con distribuciones de carga discretas o continuas, la soluci´on general de (2.8) viene dada por Z ρ(~x0 ) Φ(~x) = d3 x0 , |~x − ~x0 | R3 que reconocemos como el producto de convoluci´on de la distribuci´on de cargas ρ(~x) con la funci´on de Green (2.9), donde ´esta u ´ltima satisface las condiciones de contorno (2.10). En problemas de electrost´atica en una regi´on finita del espacio, con o sin carga en su interior, y con condiciones de contorno prescritas sobre la superficie frontera de dicha regi´on , el potencial electrost´atico viene dado por una expresi´on diferente 10

que contiene, adem´as de la convoluci´on de la distribuci´on de cargas con la funci´on de Green apropiada al problema de contorno, un termino que involucra a las condiciones de contorno espec´ıficas prescritas para el potencial. Dicha expresi´on puede ser deducida con facilidad empleando las denominadas identidades de Green. Las identidades de Green, arriba mencionadas, se obtienen facilmente a partir del teorema de la divergencia Z I 3 ~ ~ d x∇ · V = V~ · d~s. (2.22) Ω

∂Ω

~ Sea V~ = ϕ∇ψ, en cuyo caso ~ · V~ = ∇ ~ · (ϕ∇ψ) ~ ~ · ∇ψ ~ ∇ = ϕ∆ψ + ∇ϕ y sustituyendo (2.23) en (2.22) se obtiene la primera identidad de Green, I Z 3 ~ · d~s. ~ ~ ϕ∇ψ d x (ϕ∆ψ + ∇ϕ · ∇ψ) =

(2.23)

(2.24)

∂Ω

Ω

Intercambiando ϕ y ψ y restando lo obtenido a (2.24) se obtiene la segunda identidad de Green, Z I 3 ~ − ψ ∇ϕ) ~ · d~s. d x (ϕ∆ψ − ψ∆ϕ) = (ϕ∇ψ (2.25) Ω

∂Ω

La soluci´on a la ecuaci´on de Poisson en un volumen finito Ω ∆x0 Φ(~x0 ) = −4πρ(~x0 ),

~x ∈ Ω,

con condiciones de contorno para Φ prescritas sobre la frontera ∂Ω de Ω se puede obtener usando (2.25). Supongamos que existe G(~x; ~x0 ), tal que ∆x0 G(~x; ~x0 ) = −4πδ(~x − ~x0 ),

~x, x~0 ∈ Ω.

(2.26)

Partiendo de (2.25), escogiendo ψ = G, ϕ = Φ y a ~x0 como variable de integraci´on se tendr´a Z I 3 0 0 0 0 0 d x [−4πδ(~x − ~x )Φ(~x ) + 4πρ(~x )G(~x; ~x )] = (Φ(~x0 )∂n0 G(~x; ~x0 ) − G(~x; ~x0 )∂n0 Φ(~x0 ))da0 , Ω

∂Ω

de donde se sigue que Z I 1 3 0 0 0 Φ(~x) = d x ρ(~x )G(~x; ~x ) + [G(~x; ~x0 )∂n0 Φ(~x0 ) − Φ(~x0 )∂n0 G(~x; ~x0 )] da0 , (2.27) 4π Ω ∂Ω ~ 0 Φ(~x0 ) · d~s0 = ∇ ~ 0 Φ(~x0 ) · n donde hemos reescrito ∇ ˆ 0 da0 = ∂n0 Φ(~x0 )da0 . x x Como es sabido la soluci´on a la ecuaci´on de Poisson con Φ y ∂Φ especificados de ∂n manera arbitraria sobre ∂Ω no existe. Sin embargo, existen soluciones u ´nicas para ∂Φ condiciones de Dirichlet (Φ se especifica sobre ∂Ω) o Neumann ( ∂n se especifica sobre ∂Ω). La libertad que se tiene en la definici´on de G, ecuaci´on (2.32), nos permite hacer 11

que la integral de supeficie en (2.27) dependa solamente de las condiciones de contorno escogidas. As´ı para condiciones de Dirichlet exigiremos G(~x; ~x0 ) | ∂Ω = 0

(2.28)

y de (2.27) se tendr´a Z

I

1 Φ(~x) = d x ρ(~x ) G(~x; ~x ) − 4π Ω 3 0

0

0

Φ(~x0 ) ∂n0 G da0 .

(2.29)

∂Ω 1

Para condiciones de contorno de Neumann es conveniente hacer ∂n0 G(~x; ~x0 ) | ∂Ω = −

4π , As

(2.30)

donde As es el ´area total de la superficie ∂Ω frontera de Ω. La soluci´on viene en este caso dada por Z Z Z 1 1 3 0 0 0 0 0 0 Φ(~x) = d x ρ(~x )G(~x; ~x ) + ∂n0 Φ(~x ) G(~x; ~x ) da + Φ(~x0 )da0 . (2.31) 4π ∂Ω As ∂Ω Ω Notese que el u ´ltimo t´ermino es una constante igual al valor promedio del potencial sobre la superficie ∂Ω. Esta constante, por otro lado, es irrelevante toda vez que solo la diferencia de potencial admite interpretaci´on f´ısica. Por u ´ltimo, de (2.9) se sigue que la soluci´on elemental G(~x; ~x0 ) de (2.26) debe ser de la forma 1 + F (~x, ~x0 ), (2.32) G(~x; ~x0 ) = |~x − ~x0 | con ∆ F (~x, ~x0 ) = 0. (2.33) As´ı, puesto que |~x − x~0 |−1 puede interpretarse como el potencial creado en ~x por una carga unidad localizada en x~0 , la funci´on F (~x; ~x0 ) que aparece en (2.32), soluci´on a la ecuaci´on de Laplace en el interior de Ω, puede ser interpretada como el potencial de una distribuci´on de cargas externa al volumen Ω y que se escoge de forma tal que se satisfaga (2.28) ´o (2.30). Sobre la base de esta interpretaci´on descansa el denominado m´etodo de las imagenes. 1

Note que Z Ω

d3 x∆x G(~x; ~x0 ) =

Z

~ · ∇G(~ ~ x; ~x0 ) = d3 x∇

Ω

I

~ x G(~x; ~x0 ) · n ∇ ˆ da =

s

y puesto que ∆x G(~x; ~x0 ) = −4πδ(~x − ~x0 ) es claro que no es posible escoger ∂n G = 0.

12

I ∂n Gda s

2.3

El m´ etodo de las imagenes

La idea del m´etodo es tratar de llevar el problema de contorno en la regi´on Ω a uno sin condiciones de contorno que sea equivalente en Ω. En el nuevo problema, el potencial deber´a tomar sobre la frontera de Ω valores id´enticos a los prescritos por las condiciones de contorno del problema original, para lo cual se colocan distribuciones de carga “imagen“ fuera de Ω. Es claro, esto va a ser posible solo en aquellos casos en los que la geometr´ıa del problema presente muchas simetr´ıas. Un ejemplo muy sencillo es el de una carga puntual localizada a una distancia a de un plano infinito conductor, tal que Φ sobre el plano sea cero. Es f´acil ver que este problema es equivalente en la regi´on de interes al problema de la carga original y una igual pero de signo contrario localizada en el punto imagen especular detras del plano conductor. En este caso se tiene, suponiendo que la superficie z = 0 define al plano conductor, q q − Φ(~x) = ˆ ˆ |~x − ak| |~x + ak| ! 1 1 = q p −p , (2.34) x2 + y 2 + (z − a)2 x2 + y 2 + (z + a)2 que obviamente satisface Φ|z=0 = 0. A partir del resultado anterior es f´acil calcular la densidad de carga sobre el plano conductor. Para ello basta utilizar la ley de Gauss y el hecho de que el campo el´ectrico sobre la superficie de un conductor es normal a la misma y que dentro del conductor es cero, de donde se desprende que     q z−a z+a 1 ∂Φ =− − + σ(x, y) = − 4π ∂z z=0 4π (x2 + y 2 + (z − a)2 )3/2 (x2 + y 2 + (z + a)2 )3/2 z=0 2a q (2.35) = − 2 4π (x + y 2 + a2 )3/2 Ve´amos a continuaci´on un caso ligeramente m´as complicado. Consideremos el problema de una carga puntual q0 localizada en ~x0 , de forma tal que el origen del sistema de referencia es a su vez es el centro de una esfera conductora de radio a < |x~0 | y sobre cuya superficie Φ = 0. Vamos a emplear el m´etodo de las imagenes. Por simetr´ıa es claro que la carga imagen q00 estar´a sobre la linea que une al origen con la carga q0 . Si q0 esta fuera de la esfera, ~x00 que es la posici´on de la carga imagen estar´a dentro de la esfera. El potencial debido a las cargas q0 y q00 en el punto ~x ser´a Φ(~x) =

q0 q00 + . |~x − ~x0 | |~x − ~x00 |

(2.36)

Ahora, debemos fijar q00 y ~x00 de forma tal que Φ(|~x| = a) = 0. Para hacer esto m´as f´acil reescribiremos Φ como Φ(~x) =

q0 q00 + |xˆ n − x0 n ˆ 0 | |xˆ n − x00 n ˆ0| 13

(2.37)

donde x = |~x|, x0 = |x~0 | y x00 = |x~00 |. Sobre la superficie |~x| = a se tendr´a Φ(|~x = a|) =

q0 1 1 q00 + , x0 0 0 0 a |ˆ n− an ˆ | x0 |ˆ n − xa0 n ˆ|

(2.38)

0

lo que nos lleva a escoger q0 q0 = − 00 a x0

y |ˆ n−

x0 0 a x0 a n ˆ | = |ˆ n0 − 0 n ˆ| ⇒ = 0. a x0 a x0

(2.39)

De aqu´ı que a a2 q0 , x00 = . (2.40) x0 x0 Una vez que la carga imagen ha sido encontrada, podemos entonces volver al problema original y calcular varias cosas interesantes. Por ejemplo la densidad de carga sobre la superficie conductora esf´erica viene dada por   1 − ( xa0 )2 q0 a 1 ∂Φ |x=a = − , (2.41) σ=− 4π ∂x 4πa2 x0 (1 + ( xa0 )2 − 2 xa0 cos γ)3/2 q00 = −

donde

~x · ~x0 . (2.42) x x0 Tambi´en podemos calcular la fuerza que actua sobre q0 . La manera m´as sencilla es obviamente calcular la fuerza entre q0 y q00 que est´an separadas una distancia x0 − x00 = 2 x0 (1 − xa2 ) 0  2 !−2  3 2 q a a |F~ | = 2 1− . (2.43) a x0 x0 cos γ =

N´otese tambi´en que es posible colocar una segunda carga q 00 en el centro de la esfera sin destruir la equipotencial. La magnitud de q 00 es arbitraria y puede ser ajustada para satisfacer condiciones de contorno diferentes a la homog´enea. Por ejemplo si queremos que Φ|s = V entonces q 00 = V a, si queremos que la carga total del conductor sea cero entonces q 00 = −q 0 , etc. No es dificil darse cuenta (como fu´e sugerido antes) que el potencial debido a la carga unidad y su(s) imagen(es), escogida(s) de forma tal que se satisfagan condiciones de frontera homogeneas es justamente la funci´on de Green apropiada al problema de Dirichlet. As´ı con q0 = 1 y ~x0 = ~x0 , de (2.37) y (2.40) se tiene que G(~x, ~x0 ) =

a 1 − ; 0 0 |~x − ~x | x |~x − xa022 ~x0 |

|~x|, |x~0 | > a,

(2.44)

satisface ∆x G(~x, ~x0 ) = −4πδ(~x − ~x0 ),

(2.45)

G(~x, ~x0 ) |~x|=a = 0.

(2.46)

y la condici´on de contorno

14

G dada por (2.44) es la funci´on de Green apropiada al problema de Dirichlet exterior a la esfera. Notese que a (2.47) F (~x, ~x0 ) = − 2 0 x |~x − xa02 ~x0 | 2

2

satisface ∆F = 0, ya que | xa02 ~x0 | = |~ax0 | = a |~xa0 | < a . La soluci´on al problema de Dirichlet para la ecuaci´on de Poisson involucra adem´as de G a ∂G/∂n0 . En este caso n ˆ 0 = −~x0 /x0 (ˆ n0 es la normal externa al volumen de interes) " # 1 ∂G ∂G ∂ 1 |S = − 0 |x0 =a = − 0 − ∂ n0 ∂x ∂ x (x2 + x02 − 2xx0 cos γ)1/2 ( x2ax202 + a2 − 2xx0 cos γ)1/2 0 x =a = −

x 2 − a2 , a(x2 + a2 − 2ax cos γ)3/2

(2.48)

con

~x · ~x0 (2.49) xx0 As´ı, la soluci´on a la ecuaci´on de Laplace para el exterior a una esfera con condiciones de Dirichlet viene dada por Z a(x2 − a2 ) 1 dΩ0 2 Φ(a, θ0 ϕ0 ), (2.50) Φ(~x) = 4π (x + a2 − 2ax cos γ)3/2 cos γ =

donde cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos (ϕ − ϕ0 ).

(2.51)

dΩ0 = sin θ0 dθ0 dϕ0 .

(2.52)

y Por u ´ltimo consideremos un problema que involucra cargas imagenes no puntuales. Sean dos l´ıneas cargadas infinitas y paralelas, con cargas λ y −λ por unidad de longitud. El potencial en un punto cualquiera viene dado por p x2 + y 2 (2.53) ϕ(x, y) = −2λ [ln r1 − ln r2 ] = −2λ ln p . 2 2 (x + 2d) + y Es claro las superficies equipotenciales del problema vienen dadas por p x2 + y 2 p = C = const. (x + 2d)2 + y 2

(2.54)

La superficie equipotencial C = 1 es el plano perpendicular a la l´ınea que une a las dos cargas y pasa justo a mitad de camino entre ambas. En general, las superficies equipotenciales tienen por ecuaci´on para C 6= 1  2  2 2dC 2 2dC 2 x− +y = , (2.55) 1 − C2 1 − C2 15

que es claro la ecuaci´on de un cilindro en R3 , con eje en el punto de coordenadas   2dC 2 ,0 (2.56) 1 − C2 y radio 2dC . (2.57) 1 − C2 Es posible entonces resolver problemas que involucran conductores cilindricos valiendonos del ejemplo citado. Por ejemplo, podemos atacar el problema de un plano y un cilindro conductores cuya disposici´on es la indicada por las l´ıneas punteadas de la figura.

2.4

Expansi´ on en funciones ortogonales

La representaci´on de soluciones a los problemas de contorno para las ecuaciones de Laplace y de Poisson como una expansi´on en funciones ortogonales es una t´ecnica ampliamente usada, dependiendo la escogencia del conjunto ortogonal de las simetrias del problema particular. La manera m´as sencilla de obtener estas expansiones para las soluciones a la ecuaci´on de Laplace consiste en usar el m´etodo de separaci´on de variables.

2.4.1

La ecuaci´ on de Laplace

La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas cartesianas Como un primer ejemplo consideremos el caso en el cual Ω es la regi´on con forma de paralelep´ıpedo, localizada como se indica en la figura, con dimensiones (a, b, c) en las direcciones (x, y, z). Todas las superficies del paralelep´ıpedo est´an a potencial cero, excepto la superficie z = c que se encuentra a potencial V (x, y). Queremos encontrar el potencial en su interior suponiendo que no hay cargas en el mismo. El problema que nos ocupa consiste entonces en encontrar Φ soluci´on al problema de contorno para la ecuaci´on de Laplace ∆Φ = 0,

0 < x < a,

0 < y < b,

Φ(0, y, z) = Φ(a, y, z) = 0, Φ(x, 0, z) = Φ(x, b, z) = 0, Φ(x, y, 0) = 0, Φ(x, y, c) = V (x, y),

0 < z < c;

0 ≤ y ≤ b, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ x ≤ a,

0 ≤ z ≤ c; 0 ≤ z ≤ c; 0 ≤ y ≤ b;

(2.58)

(2.59)

La ecuaci´on de Laplace en coordenadas cartesianas viene dada por ∆Φ = ∂x2 Φ + ∂y2 Φ + ∂z2 Φ = 0.

16

(2.60)

Proponiendo una soluci´on de la forma Φ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z),

(2.61)

se tiene Y (y)Z(z)

d2 X(x) d2 Y (y) d2 Z(z) + X(x)Z(z) + X(x)Y (y) =0 dx2 dy 2 dz 2

y dividiendo entre (2.61) 1 d2 X(x) 1 d2 Y (y) 1 d2 Z(z) + + = 0. X(x) dx2 Y (y) dy 2 Z(z) dz 2

(2.62)

De (2.62) se desprende que 1 d2 X(x) = α; X(x) dx2

(2.63)

1 d2 Y (y) = β; Y (y) dy 2

(2.64)

1 d2 Z(z) = −(α + β), Z(z) dz 2

(2.65)

donde hasta ahora α y β son arbitrarias. Por otro lado, de las condiciones de contorno homog´eneas se sigue que Φ(0, y, z) = Φ(a, y, z) = 0 , 0 ≤ y ≤ b , 0 ≤ z ≤ c

⇒ X(0) = X(a) = 0,

(2.66)

Φ(x, 0, z) = Φ(x, b, z) = 0 , 0 ≤ x ≤ a , 0 ≤ z ≤ c

⇒ Y (0) = Y (b) = 0.

(2.67)

As´ı, (2.63,2.66) definen un problema de autovalores con autofunciones Xn (x) = sin

nπx a

(2.68)

y autovalores α=−

 nπ 2

, n = 1, 2, . . . (2.69) a De la misma manera, el problema (2.64,2.67) admite como u ´nicas soluciones las autofunciones mπy Ym (y) = sin (2.70) b con autovalores  mπ 2 , m = 1, 2, . . . (2.71) β=− b Ahora, de la condici´on de contorno Φ(x, y, 0) = 0 se sigue que Z(0) = 0 y de aqu´ı que la soluci´on de (2.65) venga dada por     nπ 2  mπ 2 Znm (z) = sinh + z (2.72) a b 17

La soluci´on de (2.60) y que satisface las condiciones de contorno homog´eneas es por superposici´on   ∞ X ∞ X nπ 2 mπ 2 1/2 mπy nπx Φ(x, y, z) = amn sinh ( ) + ( ) sin . (2.73) z sin a b a b n=1 m=1 Por u ´ltimo, de la condici´on de frontera no homog´enea Φ(x, y, c) = V (x, y) se desprende que   ∞ X nπ 2 mπ 2 1/2 mπx nπx V (x, y) = amn sinh ( ) + ( ) sin , (2.74) c sin a b a b n,m=1 de donde se sigue que los coeficientes de la serie son los coeficientes de la expansi´on de V (x, y) en la serie de Fourier doble   Z Z nπ 2 mπ 2 1/2 2 a nπx 2 b mπy ) c = dx sin dy sin V (x, y) amn sinh ( ) + ( a b a 0 a b 0 b y de aqu´ı que amn = ab sinh

h

( nπ )2 + ( mπ )2 a b

a

Z

4
1/2

c

i

0

nπx dx sin a

Z

b

dy sin 0

mπy V (x, y). b

(2.75)

Si la caja rectangular tiene condiciones de contorno no homog´eneas sobre las seis caras, la soluci´on para el potencial en el interior del paralelepipedo ser´a la superposici´on lineal de las soluciones a los seis problemas, equivalentes a (2.73) (2.75), en los cuales solo una de las caras tiene una condici´on de contorno no-homog´enea. El potencial electrost´atico con una distribuci´on de cargas en el interior de la caja y con condiciones de contorno sobre su superficie requiere la construcci´on de la funci´on de Green apropiada, cuesti´on que atacaremos despu´es de discutir la ecuaci´on de Laplace en coordenadas esfericas y cilindricas. Adelantaremos sin embargo que (2.70) y (2.75) son equivalentes a la integral de superficie que aparece en la soluci´on al problema de contorno para la ecuaci´on de Poisson en t´erminos de la funci´on de Green. La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas esfericas Consideremos a continuaci´on el problema de encontrar el potencial electrost´atico en el interior de una esfera de radio a, sin cargas en su interior y con el potencial especificado sobre su superficie. En este caso, el potencial Φ viene dado por la soluci´on al problema interior de Dirichlet con simetria esferica para la ecuaci´on de Laplace ∆Φ =

1 1 1 ∂r (r2 ∂r Φ) + 2 ∂θ (sin θ∂θ Φ) + 2 2 ∂ϕ ∂ϕ Φ = 0 2 r r sin θ r sin θ 0 ≤ r < a,

0 < θ < π,

0 ≤ ϕ ≤ 2π,

Φ(a, θ, ϕ) = f (θ, ϕ). 18

(2.76)

(2.77)

Se propone una soluci´on de la forma Φ(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ)

(2.78)

y sustituyendo (2.78) en (2.76) se tiene   1 Y (θ, ϕ) 1 d 2d R(r)] + R(r) 2 ∂θ (sin θ ∂θ Y (θ, ϕ)) + ∂ϕ ∂ϕ = 0. Y (θ, ϕ) 2 [r r dr dr r sin θ sin θ Dividiendo la expresi´on anterior entre (2.78) y multiplicando por r2     1 d 2d 1 Y (θ, ϕ) r R(r) + ∂θ (sin θ ∂θ Y (θ, ϕ)) + ∂ϕ ∂ϕ = 0, R(r) dr dr Y (θ, ϕ) sin θ de donde se sigue que   d 2d R(r) = λR(r) r dr dr

(2.79)

y 1 1 ∂θ (sin θ ∂θ Y (θ, ϕ)) + ∂ϕ ∂ϕ Y (θ, ϕ) = −λY (θ, ϕ), sin θ sin2 θ donde λ es una constante se separaci´on. A continuaci´on, proponiendo una soluci´on para (2.80) de la forma Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Ψ(ϕ),

(2.80)

(2.81)

se tiene 1 d Ψ(ϕ) sin θ dθ



dΘ(θ) sin θ dθ

 + Θ(θ)

1 d2 Ψ(ϕ) = −λΘ(θ)Ψ(ϕ) sin2 θ dϕ2

de donde se sigue que d sin θ dθ



dΘ(θ) sin θ dθ



+ λ sin2 θΘ(θ) = m2 Θ(θ)

(2.82)

y d2 Ψ(ϕ) + m2 Ψ(ϕ) = 0, 2 dϕ

(2.83)

donde m2 es otra constante de separaci´on. La soluci´on general de (2.83) es Ψ(ϕ) = A eimϕ + B e−imϕ

(2.84)

y exigiendo Ψ(ϕ) = Ψ(ϕ + 2π),

Ψ0 (ϕ) = Ψ0 (ϕ + 2π),

(2.85)

se tendr´a Ψ(ϕ) = c eimϕ ,

con m = 0, ±1, ±2, . . . 19

(2.86)

Ahora, puesto que la ecuaci´on (2.79) es del tipo de Euler, la soluci´on debe ser de la forma R(r) ∝ rl (2.87) y sustituyendo (2.87) en (2.79) se tiene l(l + 1) − λ = 0.

(2.88)

La soluci´on general de (2.79) es entonces Rl (r) = D rl + E r−(l+1) .

(2.89)

Para resolver (2.82) es conveniente hacer el cambio x = cos θ con −1 ≤ x ≤ 1 y (2.82) se reescribe como     d m2 2 dΘ (1 − x ) + l(l + 1) − Θ = 0, (2.90) dx dx 1 − x2 que reconocemos como la ecuaci´on de Legendre generalizada. (2.90) admite como soluciones las conocidas funciones de Legendre Plm (x) de grado l y orden m, con |m| ≤ l, l entero ≥ 0. N´otese que (2.90) admite tambi´en como soluciones a las funciones de Legendre de segundo tipo Qm estas no estan acotadas en x = ±1 y de aqu´ı l (x), pero ´ que no sean consideradas. La soluci´on de (2.90) es entonces Θ(θ) = Plm (cos θ).

(2.91)

La soluci´on de (2.80) viene dada por 

2l + 1 (l − m)! Yl (θ, ϕ) = 4π (l + m)! m

1/2 (−1)m eimϕ Plm (θ, ϕ) ,


∗ Ylm (θ, ϕ) = (−1)m Yl−m (θ, ϕ) ,

|m| ≤ l, m > 0 m < 0.

(2.92) (2.93)

Las funciones Ylm se conocen como los armonicos esfericos, donde el coeficiente de (2.92) se ha escogido de forma tal que dichas funciones sean ortonormales Z 2π Z π 0 ∗ m dϕ dθ sin θ Ylm (2.94) 0 (θ, ϕ) Yl (θ, ϕ) = δm,m0 δl,l0 . 0

0

y la soluci´on a la ecuaci´on de Laplace (2.76) viene dada entonces por ∞ X l X   Φ(r, θ, ϕ) = Alm rl + Blm r−(l+1) Ylm (θ, ϕ).

(2.95)

l=0 m−l

Exigiendo que Φ(0, θ, ϕ) < ∞ tendremos que Blm = 0 y de (2.77) se desprende que f (θ, ϕ) =

∞ X l X l=0 m=−l

20

Alm al Ylm (θ, ϕ).

(2.96)

Usando (2.94) se sigue que Alm

1 = l a

2π

Z

Z

2π

dθ sin θ Ylm (θ, ϕ)∗ f (θ, ϕ)

dϕ 0

(2.97)

0

y la soluci´on al problema (2.76), (2.77) viene dada por Z ∞ X l X

2π

π

  r l m dθ sin θ Yl (θ , ϕ ) f (θ , ϕ ) Yl (θ, ϕ). Φ(r, θ, ϕ) = dϕ a 0 0 l=0 m=−l (2.98) Es conveniente resaltar el hecho de que, en general, la soluci´on al problema de contorno en coordenadas esfericas puede ser dada como expansi´on en armonicos esfericos y potencias de r del tipo (2.95). M´as adelante veremos la conexi´on entre (2.98) y la soluci´on obtenida via funciones de Green. Para finalizar, consideremos el caso particularmente importante en el cual el problema presenta simetria azimutal y que llevado a nuestro problema particular se traduce en una condici´on de contorno de la forma 0

Z

0

0

0

m

0 ∗

0

0

f (θ, ϕ) = g(θ). De (2.98) y (2.99) se tiene entonces "Z ∞ π X dθ0 sin θ0 g(θ0 ) Φ(r, θ, ϕ) = l=0

Z l X

0

m=−l

(2.99)

!#

2π 0

m

∗

dϕ Yl (θ, ϕ)

 r l a

0

Ylm (θ, ϕ) (2.100)

y usando (2.92) se tiene Z

2π 0

m

0



0

dϕ Yl (θ , ϕ ) = 0

(2l + 1) (l − m)! 4π (l + m)!

1/2 (1)

m

Plm (cos θ0 )

Z

2π

0

dϕ0 eimϕ

0

1/2



(2l + 1) (l − m)! (1)m Plm (cos θ0 )2πδm0 4π (l + m)!  1/2 2l + 1 = Pl (cos θ0 )2πδm0 , 4π =

(2.101)

con Pl0 = Pl y donde los Pl son los polinomios de Legendre, soluciones de (2.90) con m = 0. De (2.100) y (2.101) se desprende que Φ(r, θ, ϕ) =

∞ Z X l=0

0

π

 2l + 1  r  dθ sin θ g(θ )Pl (cos θ ) Pl (cos θ). 2 a 0

0

0

0

(2.102)

En general, para aquellos problemas con simetria azimutal el potencial vendr´a dado como una expansi´on en polinomios de Legendre.

21

La ecuaci´ on de Laplace en coordenadas cilindricas Como un u ´ltimo ejemplo del uso de expansiones para representar potenciales en electroest´atica que satisfacen la ecuaci´on de Laplace, consideremos el problema de determinar el potencial en el interior de una regi´on cilindrica sin cargas en su interior y con los valores del potencial prescritos sobre la superficie de dicha regi´on. Un problema t´ıpico viene dado por 1 1 ∆Φ(ρ, θ, z) = ∂ρ ∂ρ Φ + ∂ρ Φ + 2 ∂ϕ ∂ϕ Φ + ∂z ∂z Φ = 0, ρ ρ 0 ≤ ρ < a,

0 ≤ ϕ < 2π,

(2.103)

0≤z≤l

y las condiciones de contorno Φ(a, ϕ, z) = 0, Φ(ρ, ϕ, l) = 0,

0 ≤ ϕ ≤ 2π,

Φ(ρ, ϕ, 0) = V (ρ, ϕ),

0≤z≤l

0 ≤ ρ ≤ a,

0 ≤ ϕ ≤ 2π,

(2.104) (2.105)

donde por consistencia V (a, ϕ) = 0. Proponiendo la soluci´on de la forma Φ(ρ, ϕ, z) = R(ρ)Q(ϕ)Z(z)

(2.106)

y sustituyendo en (2.103) se tiene 1 Q00 Z 00 R00 + ρ−1 R0 + 2 =− =λ R ρ Q Z

(2.107)

de donde se desprende que Z 00 + λZ = 0.

(2.108)

De la misma manera se tiene ρ2 R00 + ρR0 Q00 − ρ2 λ = − =µ R Q y por lo tanto ρ2 R00 + ρR0 − (λρ2 + µ)R = 0, Q00 + µ Q = 0.

(2.109) (2.110)

Ahora, puesto que ϕ = 0 y ϕ = 2π no son fronteras reales, imponemos condiciones de contorno peri´odicas Q(0) = Q(2π) ,

Q0 (0) = Q0 (2π).

(2.111)

As´ı, (2.110, 2.111) define un problema de autovalores con autofunciones y autovalores Qn (ϕ) = An cos nϕ + Bn sin nϕ µ = n2 , n = 0, 1, 2 . . . 22

(2.112) (2.113)

Suponiendo λ = −β 2 con β > 0, la condici´on u(r, ϕ, `) = 0 implica que Z(`) = 0 y la soluci´on de (2.108) apropiada viene dada por Z(z) = C sinh β(` − z).

(2.114)

A continuaci´on, haciendo βρ = x en (2.109) se tiene d2 R 1 dR n2 + (1 − + )R = 0, dx2 x dx x2

(2.115)

que es la ecuaci´on de Bessel de orden n y cuya soluci´on general viene dada por Rn (x) = DJn (x) + ENn (x),

(2.116)

donde Jn y Nn son las funciones de Bessel de primer y segundo tipo (Nn se conoce tambi´en como la funci´on de Neumann). Exigiendo que limρ→0 Φ(ρ, ϕ, z) < ∞ llegamos a la conclusi´on de que E = 0, ya que Nn no est´a acotada en el origen. Por otro lado, Φ(a, ϕ, z) = 0 implica que R(a) = 0 y de aqu´ı que Jn (βa) = 0, de donde se sigue que β = βnm = αnm /a, donde los {αnm } son las ra´ıces de Jn , esto es, Jn (αnm ) = 0. Por lo tanto se tendr´a que Rn (ρ) = Jn (αnm ρ/a)

(2.117)

La soluci´on de (2.103) que satisface las condiciones de contorno homog´eneas que aparecen en (2.104) viene dada por ∞ X ∞ X

  (` − z) ρ (2.118) Jn (αnm )[ anm cos nϕ + bnm sin nϕ ] sinh αnm Φ(ρ, ϕ, z) = a a n=0 m=1 y de la condici´on de contorno no homog´enea se desprende que f (ρ, ϕ) =

∞ X ∞ X n=0 m=1

Jn



  ` r [ anm cos nϕ + bnm sin nϕ ] sinh αnm , αnm a a

(2.119)

que reconocemos como una serie de Fourier en ϕ y una serie de Fourier-Bessel en ρ para f (ρ, ϕ). Usando2 Z a  ρ  ρ  a0 dρ ρJn αnm0 Jn αnm = [Jn+1 (αnm )]2 δm0 m , (2.120) a a 2 0 2

Las funciones Jn (αnm x) son las autofunciones del problema de autovalores   d d n2 x u − u = λ x u, u(0) = u(1) = 0 dx dx x

2 asociadas a los autovalores λ = −αnm y de aqu´ı que sean ortogonales con peso x si est´an asociadas a autovalores diferentes.

23

de (2.119) se sigue   Z a Z  a2 ρ  2π ` 2π [J1 (α0m )]2 , dρ ρJ0 α0m dϕf (ρ, ϕ) = a0m sinh α0m a 0 a 2 0 de donde obtenemos a0m =

a

Z

1 πa2 sinh α0m a [J1 (α0m )]2
`

2π

Z

 ρ dϕ ρJ0 α0m f (ρ, ϕ). a

dρ 0

0

(2.121)

De la misma manera obtenemos anm

2 = πa2 sinh (αnm `/a) [Jn+1 (αnm )]2

Z

2 = 2 πa sinh (αnm `/a) [Jn+1 (αnm )]2

Z

a

2π

Z dρ 0

0

 ρ dϕ ρJn αnm cos nϕ f (ρ, ϕ) a (2.122)

y a

Z

2π

ρ bnm sin nϕ f (ρ, ϕ). dρ dϕ ρJn αnm a 0 0 (2.123) En general, en problemas de electrost´atica con condiciones de contorno sobre superficies cilindricas es usual encontrar los potenciales como una expansi´on en terminos de funciones de Bessel. Es claro que la forma expl´ıcita de la expansi´on (2.118), apropiada para intervalos finitos en ρ, obedece a la condici´on de que el potencial se anule en z = 0, ∀ρ ∈ [0, a] y en ρ = a, ∀ z ∈ [0, `]. Por supuesto, para condiciones de contorno diferentes, la expansi´on tomar´a formas diferentes. Una expansi´on util para ρ ∈ [0, ∞) y z ≤ 0, tal que limz→∞ Φ = 0, viene dada por Φ(r, ϕ, z) =

∞ Z X m=0



∞

dk e−kz Jm (kr) [Am (k) sin mϕ + Bm (k) cos mϕ],

(2.124)

0

donde al igual que antes los coeficientes Am y Bm se determinan a partir de las condiciones de contorno espec´ıficas del problema.

2.4.2

La ecuaci´ on de Poisson. Funciones de Green

Ya antes habiamos encontrado que la soluci´on a aquellos problemas de contorno con distribuciones de carga en la regi´on de inter´es, esto es, a los problemas de contorno para la ecuaci´on de Poisson, requiere el conocimiento de la funci´on de Green apropiada. Si el problema de contorno para la ecuaci´on de Laplace es separable en alg´ un sistema de coordenadas, hemos visto que su soluci´on se puede obtener como una expansi´on en una base de funciones dada. Mostraremos que en el problema de contorno para la ecuaci´on de Poisson es conveniente proponer una expansi´on para la funci´on de Green en ese mismo conjunto base de funciones.

24

Expansi´ on de la funci´ on de Green en coordenadas esfericas Supongase que estamos interesados en encontrar la funci´on de Green en coordenadas esfericas para el problema interior de Dirichlet ∆Φ = −4πρ(~x),

0 < r < a,

0 < θ < π,

0 ≤ ϕ ≤ 2π,

(2.125)

con la condici´on de contorno Φ(a, θ, ϕ) = V (θ, ϕ).

(2.126)

La funci´on de Green buscada es la soluci´on elemental del problema ∆r,θ,ϕ G(r, θ, ϕ, r0 , θ0 , ϕ0 ) = −

r2

4π δ(r − r0 )δ(θ − θ0 )δ(ϕ − ϕ0 ), sin θ

(2.127)

con G|r=0 = 0.

(2.128)

La soluci´on de (2.127) y (2.128) es f´acil de conseguir usando el hecho de que los armonicos esfericos son un conjunto ortogonal completo, con una relaci´on de cierre dada por l ∞ X X 1 Ylm (θ0 , ϕ0 )∗ Ylm (θ, ϕ) = δ(θ − θ0 )δ(ϕ − ϕ0 ) (2.129) sin θ l=o m−l y de aqui que podamos proponer la expansi´on G(~x, ~x0 ) =

l ∞ X X

Glm (r; r0 , θ0 , ϕ0 )Ylm (θ, ϕ).

(2.130)

l=0 m=−l

Sustituyendo (2.130) y (2.129) en (2.127)   ∞ X l X 1 d 2 l(l + 1) (r Glm ) − Glm Ylm (θ, ϕ) = 2 dr 2 r r l=0 m=−l ∞ X l X δ(r − r0 ) m 0 0 ∗ m Yl (θ , ϕ ) Yl (θ, ϕ), −4π r2 l=0 m=−l

(2.131)

donde hemos usado (2.80) y (2.88). Multiplicando (2.131) por Ylm (θ, ϕ)∗ sin θ e integrando en los ´angulos θ y ϕ se tiene, usando la relaci´on de ortogonalidad (2.94),   l(l + 1) 4π 1 d 2 d r Glm − Glm = − 2 δ(r − r0 )Ylm (θ0 , ϕ0 )∗ (2.132) 2 2 r dr dr r r y con Glm (r; r0 , θ0 , ϕ0 ) = gl (r, r0 ) Ylm (θ0 , ϕ0 )∗ 25

(2.133)

se tiene

d dr



d r gl dr 2



− l(l + 1)gl = −4πδ(r − r0 ).

(2.134)

Por otro lado, de (2.128) se desprende que gl |r=a = 0

(2.135)

gl |r=0 < ∞.

(2.136)

y adicionalmente exigiremos que Se sigue que gl es la funci´on de Green para el operador d/dr(r2 d/dr) − l(l + 1) que satisface las condiciones de contorno en dos puntos (2.135,2.136). La soluci´on de (2.134) y (2.135,2.136) viene dada por
4π l 0−(l+1) r r − a−(2l+1) r0l 2l + 1
4π 0l −(l+1) + Θ(r − r0 ) r r − a−(2l+1) rl 2l + 1

gl (r, r0 ) = Θ(r0 − r)

(2.137)

o bien

 4π l  −(l+1) l r< r> − a−(2l+1) r> , 2l + 1 donde r< ≡ min{r, r0 } y r> ≡ max{r, r0 }. De (2.130), (2.133) y (2.138) se sigue gl (r, r0 ) =

0

G(~x, ~x ) =

l ∞ X X l=0

4π l Ylm (θ0 , ϕ0 )∗ Ylm (θ, ϕ) r< 2l + 1 m=−l



1 l+1 r>

l r> − 2l+1 a

(2.138)

 .

(2.139)

A continuaci´on veamos algunos ejemplos en los que es u ´til el empleo de (2.139). Consideremos el problema (2.76) con la condici´on de contorno (2.77), que ya fue resuelto (vease (2.98)). De acuerdo a (2.29) se tiene I 1 Φ(~x0 ) ∂n0 G da0 Φ(r, θ, ϕ) = − 4π s Z Z 2π 1 2 π 0 ∂G 0 dθ sin θ dϕ0 V (θ0 , ϕ0 ) 0 (~x, ~x0 ) |r0 =a = − a 4π ∂r 0 0 y con r0 |s = a = r> ,   ∞ X l X ∂G 4π (2l + 1) m 0 0 ∗ m 0 0 l |r0 =a = − Yl (θ , ϕ ) Yl (θ , ϕ ) r ∂r0 2l + 1 al+2 l=0 m=−l y por lo tanto Φ(r, θ, ϕ) =

Z ∞ X l X l=0 m=−l

0

π

dθ

0

Z 0

2π

  r l m dϕ sin θ Yl (θ , ϕ ) V (θ , ϕ ) Yl (θ, ϕ), a (2.140) 0

0

26

m

0

0 ∗

0

0

que es la soluci´on dada en (2.98). Veamos a continuaci´on otra aplicaci´on de (2.139). Consideremos el problema de encontrar el potencial electrost´atico Φ en el interior de una regi´on esferica sobre cuya superficie imponemos Φ = 0 y en cuyo interior se encuentra un anillo de radio b y carga total Q uniformemente distribuida. La densidad de carga del anillo en coordenadas esf´ericas viene dada por ρ(~x) =

π Q δ(r − b)δ(θ − ) sin θ 2

2πb2

(2.141)

y de acuerdo a (2.29) Z Φ(r, θ, ϕ) = d3 x0 ρ(~x0 )G(~x, ~x0 ) =

Ω ∞ X

l X

4π Ylm (θ, ϕ) 2l + 1 m=−l

l=0 2π

a

Z

0 02

Z

dr r 0

π

dθ0 sin θ0

0

  l r> π m 0 0 ∗ l Q 1 0 0 dϕ δ(r − b)δ(θ − ) Yl (θ , ϕ ) r< − 2l+1 l+1 2πb2 sin θ0 2 a r> 0   Z 2π ∞ X l l X r> π 1 4π m l dϕ0 Ylm ( , ϕ)∗ . Yl (θ, ϕ)r< = − 2l+1 l+1 2l + 1 a 2 r> 0 l=0 m=−l Z

0

donde ahora r< ≡ min{r, b} y r> ≡ max{r, b}. Usando (2.101), finalmente obtenemos Φ(r, θ, ϕ) = Q

∞ X

l Pl (0) r
− 2l+1 a

 Pl (cos θ).

(2.142)

La soluci´on en este caso viene dada como una expansi´on en potencias de r y polinomios de Legendre, cosa que hubiera podido ser adelantada al observar que el problema posee simetria azimutal. Expansi´ on de la funci´ on de Green en coordenadas cilindricas Veamos a continuaci´on como obtener expansiones para la funci´on de Green en coordenadas cilindricas. Como ejemplo, busquemos la funci´on de Green del problema de contorno   1 1 4π ∂ρ ∂ρ + ∂ρ + 2 ∂ϕ ∂ϕ + ∂z ∂z G(ρ, ϕ, z; ρ0 , ϕ0 , z 0 ) = − δ(ρ − ρ0 )δ(ϕ − ϕ0 )δ(z − z 0 ); ρ ρ ρ (2.143) donde 0 < ρ, ρ0 < a; 0 < ϕ, ϕ0 < 2π y 0 < z, z 0 < `; con G|∂Ω = 0,

(2.144)

siendo ∂Ω la superficie de un cilindro de radio a y altura ` con base en el plano XY . 27

Haciendo uso de ∞ ∞ 2 1 X −im(ϕ−ϕ0 ) X 1 0 0 δ(ρ − ρ )δ(ϕ − ϕ ) = e J (αmn ρ) Jm (αmn ρ0 ), 0 2 m ρ 2π m=−∞ [J (α )] mn m n=1 (2.145) con 0 < ρ, ρ0 < 1 y 0 < ϕ, ϕ0 < 2π, donde Jm es la funci´on de Bessel de orden m, J−m = (−1)m Jm y {αmn } son las raices de Jm , Jm (αmn ) = 0, se propone 0

0

0

G(ρ, ϕ, z; ρ , ϕ , z ) =

∞ ∞ X X

ρ Gmn (z; ρ0 , ϕ0 , z 0 ) e−imϕ Jm (αmn ) a m=−∞ n=1

y de (2.143) se sigue  ∞ ∞  2 X X αmn d2 ρ − 2 Gmn + 2 Gmn e−imϕ Jm (αmn ) = a dz a m=−∞ n=1 0 ∞ ∞ 4π X X 2e−im(ϕ−ϕ ) ρ ρ0 − J (α ) J (α )δ(z − z 0 ), m mn m mn 0 (α 2 2πa2 m=−∞ n=1 [Jm a a mn )]

esto es, 1 αmn 4 imϕ0 d2 ρ0 0 2 0 G − G = − e J (α mn mn m mn )[Jm (αmn )] δ(z − z ). dz 2 a2 a2 a Definiendo 1 ρ0 0 0 Gmn (z; ρ0 , ϕ0 , z 0 ) = gmn (z; z 0 ) 2 eimϕ Jm (αmn )[Jm (αmn )]−2 a a tenemos que gmn satisface 2 d2 αmn 0 g (z; z ) − gmn = −4δ(z − z 0 ) mn 2 2 dz a y de las condiciones de contorno para G

⇒

G|z=0 = G|z=` = 0,

(2.146)

(2.147)

(2.148)

(2.149)

se sigue que gmn satisface a su vez las condiciones gmn |z=0 = gmn |z=` = 0. La soluci´on elemental de (2.148) y (2.150) se encuentra viene dada por α  4a αmn mn 0 gmn (z; z ) = sinh( z< ) sinh (` − z> ) αmn sinh(αmn `/a) a a

(2.150)

(2.151)

Finalmente, tenemos que G(~x, ~x0 ) =

∞ ∞ X X

0

4a e−im(ϕ−ϕ ) ρ0 ρ J (α )J (α ) m mn m mn 2 [J 0 (α 2 α sinh(α `/a)a )] a a mn mn mn m m=−∞ n=1 α  α  mn mn × sinh z< sinh (` − z> ) . (2.152) a a 28

Es conveniente se˜ nalar que (2.152) no es la u ´nica expansi´on posible para la funci´on de Green soluci´on de (2.143) y (2.144). Por ejemplo, si utilizamos δ(ϕ − ϕ0 ) =

∞ 1 X −im(ϕ−ϕ0 ) e , 2π m=−∞

0 < ϕ, ϕ0 < 2π;

(2.153)

y  ∞  nπz 0 1 1X nπz nπz 0 nπz + cos cos + sin sin , δ(z − z ) = 2` ` n=1 ` ` ` ` 0

0 < z, z 0 < `;

(2.154) proponiendo una expansi´on para G en esa base de funciones y dejando por u ´ltimo la busqueda de la soluci´on elemental en la variable ρ obtendremos   ∞ ∞  nπz  4 X X im(ϕ−ϕ0 ) nπz 0 Im (nπρ< /`) G(~x, ~x ) = e sin sin ` m=−∞ n=1 ` ` Im (nπa/`) h nπa nπρ> nπa nπρ> i × Im ( )Km ( ) − Km ( )Im ( ) , (2.155) ` ` ` ` 0

donde

π m+1 (i) [Jm (im) + iNm (ix)], 2 son las funciones de Bessel modificadas, soluciones de   m2 d2 R 1 dR + − 1 + 2 R = 0. dx2 x dx x Im (x) = (i)−m Jm (ix),

Km (x) =

29

(2.156)

Cap´ıtulo 3 Expansi´ on Multipolar. Electrost´ atica en medios materiales Este cap´ıtulo tiene dos objetivos principales: 1. La obtenci´on de la expansi´on en multipolos de una distribuci´on de cargas localizada 2. La derivaci´on de las ecuaciones de la electroest´atica en una medio material

3.1

Expansi´ on multipolar

Una distribuci´on de cargas localizada es por definici´on una densidad de carga ρ(~x) que se anula fuera de una regi´on R (esto es, una distribuci´on de soporte acotado). Es claro, cualquiera que sea la distribuci´on localizada de cargas ρ(~x), siempre es posible proponer la expansi´on Φ(~x) =

l ∞ X X l=0

4π Ylm (θ, ϕ) qlm 2l + 1 rl+1 m=−l

(3.1)

para el potencial electroest´atico en el exterior de la regi´on R. El problema a resolver es la determinaci´on de los coeficientes qlm en (3.1), que es claro, dependen de ρ(~x) ya que Z ρ(~x) Φ(~x) = d3~x0 . (3.2) |~x − ~x0 | Ahora bien, ∞ X l l X r< 4π 1 m 0 0 ∗ m = Y (θ , ϕ ) Y (θ, ϕ) l l+1 |~x − ~x0 | 2l + 1 l r> l=0 m=−l

(3.3)

como puede verse haciendo a → ∞ en (2.139) y con G(~x, ~x0 ) = |~x − ~x0 |−1 la funci´on de Green para el problema de contorno con la u ´nica condici´on lim|~x|→∞ G = 0. Puesto 30

que estamos interesados en el potencial fuera de R, r< = r0 y r> = r, y se tendr´a "∞ l # Z Z 0 0l X X 4π ρ(~ x ) r Φ(~x) = d3 x0 = d3 x0 ρ(~x0 ) (Ylm (θ0 , ϕ0 ))∗ Ylm (θ, ϕ) l+1 |~x − ~x0 | 2l + 1 r l=0 m=−l Z  m ∞ X l X 4π Y (θ, ϕ) 3 0 0l m 0 0 ∗ = d x r (Yl (θ , ϕ )) ρ(~x) l l+1 (3.4) 2l + 1 r l=0 m=−l y de (3.4) y (3.1) se desprende Z qlm =

d3 x0 r0l Ylm (θ0 , ϕ0 )∗ ρ(~x0 ).

(3.5)

Los coeficientes qlm se conocen como los momentos multipolares de la distribuci´on de cargas ρ(~x). Para facilitar la interpretaci´on f´ısica de los mismos escribamos unos cuantos qlm en coordenadas cartesianas. As´ı Z 1 1 d3 x0 ρ(~x) = √ q, (3.6) q00 = √ 4π 4π donde

Z q≡

d3 x0 ρ(~x0 )

(3.7)

es la carga total de ρ(~x). A q00 se le denomina t´ermino monopolar de la distribuci´on ρ(~x). Por otro lado, para l = 1 se tiene r Z r 3 3 d3 x0 (x0 − iy 0 )ρ(~x0 ) = − (px − ipy ), q11 = − 8π 8π r Z r 3 3 3 0 0 0 q10 = pz , d x z ρ(~x ) = 4π 4π r Z r 3 3 q1−1 = d3 x0 (x0 + iy 0 )ρ(~x0 ) = (px + ipy ), 8π 8π donde

Z p~ ≡

define al momento dipolar Para l = 2 tenemos r Z 1 15 q22 = 4 2π r Z 15 q21 = − 8π r Z 1 5 q20 = 2 4π

d3 x0 ~x0 ρ(~x0 ),

(3.8)

el´ectrico de la distribuci´on ρ(~x). 1 d x (x − iy ) ρ(~x ) = 12

r

15 (Q11 − 2iQ12 − Q22 ) 2π r 1 15 d3 x0 z 0 (x0 − iy 0 )ρ(~x0 ) = − (Q13 − iQ23 ) 3 8π r 1 5 3 0 02 02 0 d x (3z − r )ρ(~x ) = Q33 , 2 4π 3 0

0

0 2

0

31

(3.9)

∗ y donde hemos definido las cantidades con ql,−m = (−1)m qlm Z Qij ≡ d3 x0 (3x0i x0j − r02 δij )ρ(~x0 ).

(3.10)

Al tensor (de traza nula) Q = Qij eˆi ⊗ eˆj ; i, j = x, y, z; con Qij dado por (3.10) se le conoce como el tensor momento cuadrupolar el´ectrico. De lo anterior se desprende que los momentos multipolares qlm para un l dado son combinaciones lineales de los correspondientes multipolos en coordenadas cartesianas, en t´erminos de los cuales se tiene Z ρ(~x0 ) Φ(~x) = d3 x0 |~x − ~x0 | ! Z X 1 ~ x 1 1 = d3 x0 ρ(~x0 ) + · ~x0 + (3x0i x0j − r02 δij )xi xj + · · · |~x| |~x|3 2 |~x|5 i,j p~ · ~x 1 X q xi yj + + + ··· (3.11) = Q ij |~x| |~x|3 2 i,j |~x|5 con q, p~ y Qij dados por (3.7), (3.8) y (3.10), respectivamente. A partir de (3.4) ´o (3.11) es f´acil obtener el campo el´ectrico debido a un multipolo dado. Por ejemplo de (3.11) se tiene que el campo el´ectrico en un punto ~x debido a un dipolo p~ localizado en el origen viene dado por   p~ · ~x ~ ~ E(~x) = −∇ . |~x|3 Ahora    pj xj δij 1 p~ · ~x = pj + pj xj ∂i = ∂i ∇ 3 3/2 3/2 |~x| (xk xk ) (x − kxk ) (xk xk )3/2 i δij xi − 3pj xj , = pj 3/2 (xk xk ) (xk xk )5/2 (3.12) de donde se sigue x − p~ ~ x) = − p~ + 3(~p · ~x)~x = 3(~p · xˆ)ˆ E(~ . 3 5 3 |~x| |~x| |~x|

(3.13)

En particular, para un dipolo p~ a lo largo del eje z el potencial en coordenadas esf´ericas viene dado por 1 X 4π Y m (θ, ϕ) Φ(~x) = q1m 1 2 3 r m=−1 y el campo el´ectrico correspondiente es Er =

2p cos θ , r3

Eθ = 32

p sin θ , r3

Eϕ = 0,

cuya verificaci´on se deja como ejercicio. Es necesario recalcar que los momentos multipolares qlm en (3.1) dependen de la elecci´on del origen del sistema de coordenadas. Como un ejemplo trivial, considerese una carga puntual q localizada en (r0 , θ0 , ϕ0 ), la distribuci´on de cargas viene dada por q δ(r − r0 ) δ(θ − θ0 ) δ(ϕ − ϕ0 ). ρ(~x) = 2 r0 sin θ0 y los momentos multipolares son en este caso qlm = q r0l Ylm (θ0 , ϕ0 )∗ , obviamente no nulos ∀ l, m . Comentario: El campo el´ectrico debido a un dipolo, (3.13), ha sido obtenido derivando el potencial en el sentido de la teor´ıa de funciones. De una derivaci´on en el sentido de las distribuciones obtenemos x(~p · xˆ) − p~ 4π ~ x) = 3ˆ E(~ − p~ δ(~x), |~x|3 3 expresi´on que sugiere que los dipolos pueden ser tratados como objetos puntuales. En efecto, un dipolo el´ectrico con momento dipolar p~, localizado en ~x0 , tiene asociada la distribuci´on de cargas ~ x − ~x0 ), ρ(~x) = −~p · ∇δ(~ la cual, a trav´es de (3.2), genera el potencial Φ(~x) = p~ · (~x − ~x0 )/|~x − ~x0 |3 asociado a un dipolo p~ localizado en ~x0 .

3.2

Expansi´ on multipolar de la energ´ıa de una distribuci´ on de cargas en un campo externo

Si una distribuci´on localizada de cargas ρ(~x) se coloca en un potencial electroest´atico externo Φ(~x), la energ´ıa electroest´atica del sistema es Z W = d3 x ρ(~x) Φ(~x). (3.14) Si el potencial Φ cambia levemente sobre la regi´on R donde ρ(~x) tiene su soporte, entonces es posible expandir Φ en torno de alg´ un origen apropiado 1X ~ xi xj ∂i ∂j Φ(0) + · · · (3.15) Φ(~x) = Φ(0) + ~x · ∇Φ(0) + 2 i,j 1X ~ = Φ(0) − ~x · E(0) − xi xj ∂i Ej (0) · · · 2 i,j 1X ~ = Φ(0) − ~x · E(0) − (3xi xj − r2 δij ) ∂i Ej (0) + · · · , 6 i,j 33

~ ·E ~ = 0 ∀~x ∈ donde hemos usado el hecho de que ∇ / R y de aqu´ı que 1X ~ W = q Φ(0) − p~ · E(0) − Qij ∂i Ej + · · · 6 i,j

(3.16)

expansi´on que muestra la forma caracteristica en la cual los momentos multipolares de una distribuci´on de cargas localizada interactuan con un campo externo.

3.3

Electrost´ atica en medios materiales

Hasta el momento solo hemos considerado potenciales electrost´aticos y campos en el vacio. Sin embargo es claro que si estamos interesados en el mismo problema pero esta vez en un medio material debemos entonces tomar en cuenta la respuesta el´ectrica del medio. Lo anterior nos lleva a considerar el valor promedio de los campos sobre regiones macroscopicamente peque˜ nas pero microscopicamente grandes (si no el analisis cl´asico es deficiente) para obtener las ecuaciones de Maxwell apropiadas. Dentro del marco de un enfoque netamente cl´asico haremos a continuaci´on una discusi´on muy elemental sobre la polarizaci´on de los medios materiales y la contribuci´on de ´esta al potencial y campo el´ectricos. En primer lugar tenemos que la ecuaci´on ~ ×E ~ = ~0 ∇

(3.17)

sigue siendo valida, ya que la misma es independiente de las fuentes, lo que implica que el campo el´ectrico es todavia derivable de un potencial Φ(~x). Por otro lado, la aplicaci´on de un campo el´ectrico a un medio constituido por un gran n´ umero de moleculas har´a que la densidad de carga de las mismas se distorsione y sus momentos multipolares ser´an distintos de los presentes en el caso de campo aplicado nulo. Suponiendo que el momento multipolar molecular dominante con el campo aplicado sea el dipolar, se tendr´a que el potencial dΦ en ~x tiene entonces dos contribuciones. Una proveniente de la carga ρ(~x0 )d3 x0 contenida en el volumen d3 x0 en torno del punto ~x0 y la otra generada por la configuraci´on de momentos dipolares el´ectricos localizados en ese mismo volumen (vease (3.11))   (~x − ~x0 ) ρ(~x0 ) 0 0 ~ d3 x0 , (3.18) + P (~x ) · dΦ(~x, ~x ) = |~x − ~x0 | |~x − ~x0 |3 donde P~ (~x) es el momento dipolar por unidad de volumen y que denominaremos polarizaci´on el´ectrica. De (3.18) se sigue que   Z ρ(~x0 ) (~x − ~x0 ) 3 0 0 ~ Φ(~x) = dx + P (~x ) · |~x − ~x0 | |~x − ~x0 |2 Z   1 0 ~ 0 · P~ (~x0 ) , = d3 x0 ρ(~ x ) − ∇ (3.19) |~x − ~x0 | 34

donde hemos integrado por partes para llegar a la u ´ltima expresi´on y usado el hecho ~ de P es de soporte acotado. N´otese que (3.19) es la expresi´on del potencial creado por ~ · P~ (~x). As´ı, con E(~ ~ x) = −∇Φ(~ ~ x) una distribuci´on de cargas efectiva ρef. (~x) ≡ ρ(~x) − ∇ se tiene entonces h i ~ ~ ~ ~ ∇ · E(~x) = 4π ρ(~x) − ∇ · P (~x) . (3.20) ~ Definiendo el desplazamiento el´ectrico D ~ x) ≡ E(~ ~ x) + 4π P~ (~x), D(~

(3.21)

~ ·D ~ = 4πρ. ∇

(3.22)

(3.20) se transforma en1 Las ecuaciones (3.17) y (3.22) son las ecuaciones de Maxwell para la electroest´atica en medios materiales. De manera de obtener soluciones para los potenciales y/o campos electroest´aticos ~ y E. ~ Sua partir de (3.17) y (3.22) es necesario dar relaciones constitutivas entre D poniendo que la respuesta del material al campo el´ectrico aplicado es lineal y que el medio es is´otropo, entonces ~ x), P~ (~x) = χe (~x)E(~ (3.23) donde χe es la suceptibilidad el´ectrica del medio. As´ı se tendr´a ~ x) = ε(~x)E(~ ~ x), D(~

(3.24)

ε(~x) = 1 + 4πχe (~x)

(3.25)

donde es la denominada constante diel´ectrica o permitividad el´ectrica relativa. Si el medio no solo es is´otropo si no tambi´en uniforme, χe y por lo tanto ε ser´an independientes de la posici´on. En caso de que el medio sea anis´otropo, una generalizaci´on obvia de (3.24) es (suponiendo respuesta lineal) Di = εij Ej ,

(3.26)

donde las εij son las componentes del tensor permeabilidad el´ectrica. Es conveniente hacer notar que en general ε depende de la estructura molecular y cristalina del material, de la densidad y la temperatura. Ahora, suponiendo el espacio lleno de diferentes medios, no necesariamente lineales en sus respuestas, debemos entonces encarar el problema de las condiciones de contorno ~ yD ~ en la interfaz entre medios. De (3.22) tenemos para E Z Z 3 ~ ~ = 4π d x∇ · D d3 x ρ V I V ~ ·n ~1 − D ~ 2) · n = D ˆ da = (D ˆ 21 A, S 1

Si incluimos la densidad de momentos cuadrupolares el´ectricos, se define entonces Di = Ei + 4π(Pi − ∂j Qij ).

35

donde n ˆ 21 es la normal a la superficie interfaz, dirigida del medio 2 al medio 1, se ha utilizado el teorema de la divergencia y la superficie gausiana S escogida tiene la forma de una cajita de p´ıldoras, cuya altura tiende a cero y con caras circulares paralelas a ~ tome el mismo la superficie y de ´area A lo suficientemente peque˜ na como para que D valor sobre toda la superficie de dichas caras. Por otro lado, si la densidad de carga es singular sobre la interfaz entonces Z 4π ρd3 x = 4πσ A, V

donde σ es la densidad de carga superficial en la interfaz y de aqu´ı que ~1 − D ~ 2) · n (D ˆ 21 = 4πσ.

(3.27)

De la misma manera podemos escoger convenientemente un contorno C rectangular y emplear el teorema de Stokes para determinar las discontinuidades de las componen~ Con los lados de C perpendiculares a la superficie interfaz tes tangenciales de E. tendiendo a cero y los lados paralelos a la misma de longitud l se tiene Z Z ~ ~ ~ · d~l = (E ~2 − E ~ 1 )|| l, 0= ∇×E·n ˆ da = E S

C

esto es, ~1 − E ~ 2 ) = 0. n ˆ 21 × (E

(3.28)

Las ecuaciones (3.27) y (3.28) nos dan las condiciones de contorno que deben satisfacer ~ yE ~ en la interfaz entre medios diel´ectricos. D

36

Cap´ıtulo 4 Magnetost´ atica En las discusiones precedentes hemos estudiado algunos aspectos de la interacci´on entre distribuciones de carga estacionarias, el papel de ´estas como fuentes de los campos electrost´aticos y los problemas de contorno mas usuales asociados al potencial electrost´atico. Ahora volcaremos nuestra atenci´on al estudio de los fen´omenos magn´eticos en estado estacionario.

4.1

~ Magnetost´ atica. El campo B

~ producido en ~x por el elemento de corriente Como es sabido, el campo magnetico dB 0 ~ Idl de un hilo a trav´es del cual fluye una corriente I (d~l0 apunta en la direcci´on del flujo de corriente) viene dado por ~ = dB

~x − ~x0 1 ~0 I dl × , c |~x − ~x0 |3

(4.1)

donde ~x0 es la posici´on del elemento de corriente Id~l0 , expresi´on que se usa en los cursos elementales para obtener el campo magn´etico de distribuciones de corriente sencillas. Como una aplicaci´on muy sencilla de (4.1), consideremos el campo magn´etico producido por un alambre recto infinito a trav´es del cual fluye una corriente I. Suponiendo que el hilo de corriente define al eje z tendremos d~l0 = dz 0 eˆz , ~x0 = z 0 eˆz y con ~x = ρ eˆρ +z eˆz , de (4.1) obtenemos Z Z dz 0 2I Iρ ∞ ~ ~ eˆϕ = eˆϕ , B(ρ, ϕ, z) = dB = 2 0 2 3/2 c −∞ (ρ + (z − z ) ) cρ donde ρ es la distancia desde el hilo de corriente hasta el punto de observaci´on, en la direcci´on perpendicular al hilo. La ecuaci´on (4.1) puede reescribirse en forma muy general en terminos de la den~ x) sidad de corriente J(~ Z 0 1 ~ ~ x0 ) × ~x − ~x , B(~x) = d3~x0 J(~ (4.2) c |~x − ~x0 |3 37

ecuaci´on que es el analogo magnetico de la expresi´on que d´a el campo electrico en terminos de la densidad de carga ρ(~x) Z ~x − ~x0 ~ E(~x) = d3~x0 ρ(~x0 ) , |~x − ~x0 |3 cuya forma diferencial hemos visto viene dada por ~ · E(~ ~ x) = −4πρ(~x). ∇ Otra expresi´on conocida de los cursos elementales, es la que nos da la fuerza que experimenta un elemento de corriente IdI~ en presencia de una campo magnetico externo ~ B 1 ~ dF~ = Id~l × B, c que admite la generalizaci´on evidente dF~ (~x) =

1 3 ~ ~ x). d x J(~x) × B(~ c

Ahora, si nos restringimos a considerar situaciones en las que se tienen distribuciones de corriente y campos magn´eticos independientes del tiempo, as´ı como distribuciones de carga y campos el´ectricos independientes del tiempo, las ecuaciones de Maxwell (1.4,1.5,1.6,1.7) se reducen a ~ · E(~ ~ x) = 4πρ(~x), ∇

~ × E(~ ~ x) = ~0, ∇

(4.3)

~ ×B ~ = 4π J(~ ~ x), ~ · B(~ ~ x) = 0, ∇ ∇ (4.4) ~ yB ~ se desacoplan en el caso est´atico. As´ı tenemos de donde se sigue que los campos E que los fen´omenos electrost´aticos y magnetost´aticos lucen entonces independientes. Vamos a demostrar que la expresi´on (4.2) satisface las ecuaciones (4.4). Para ello notemos que   Z Z 1 ~x − ~x0 1 1 3 0~ 0 3 0~ 0 ~ ~ =− B(~x) = d ~x J(~x ) × d ~x J(~x ) × ∇ c |~x − ~x0 |3 c |~x − ~x0 |   Z Z Z ~ x0 ) ~ ~ x0 ) 1 1 J(~ 1 1 3 0~ 0 3 0 3 0 ∇ × J(~ ~ x)= ∇ ~ × d ~x d ~x ∇ × J(~ d ~ x = − c |~x − ~x0 | c |~x − ~x0 | c |~x − ~x0 | Z ~ x0 ) 1~ J(~ = ∇ × d3~x0 , (4.5) c |~x − ~x0 | de donde se sigue de inmediato que ~ · B(~ ~ x) = 0. ∇

(4.6)

~ = ~0, calculemos ∇ ~ × B. ~ ~ ×E Ahora, por analog´ıa con la electrostatica, donde ∇ ~ Con B dado por (4.2) se tiene que Z ~ x0 ) 1~ J(~ ~ ~ ~ ∇ × B = ∇ × ∇ × d3~x0 , c |~x − ~x0 | 38

~ × (∇ ~ × A) ~ = ∇( ~ ∇ ~ · A) ~ − ∆A, ~ obtenemos y usando ∇     Z Z 1 1~ 1 1 3 0~ 0 3 0~ 0 ~ ~ ~ − . d ~x J(~x )∆ ∇ × B = ∇ d ~x J(~x ) · ∇ c |~x − ~x0 | c |~x − ~x0 | A continuaci´on, con ~ ∇



1 |~x − ~x0 |



~0 = −∇



1 |~x − ~x0 |



y  ∆

1 |~x − ~x0 |



= −4πδ(~x − ~x0 )

encontramos que  1 4π ~ 0 ~ x) · ∇ ~ d ~x J(~ + J(~x ) |~x − ~x0 | c " ! #! Z ~ x0 ) 1~ J(~ 1 4π ~ ~ · ~ 0 · J(~ ~ x0 ) = − ∇ d3~x0 ∇ − ∇ + J(~x) c |~x − ~x0 | |~x − ~x0 | c Z ~ 0 · J(~ ~ x0 ) 4π 1~ ∇ ~ x), = ∇ d3~x0 + J(~ c |~x − ~x0 | c

~ × B(~ ~ x) = − 1 ∇ ~ ∇ c

Z

3 0

0



donde hemos usado el teorema de la divergencia y el hecho de que J~ es localizada. ~ · J~ + c−1 ∂t ρ = 0 y con ∂t ρ = 0 en el estado estacionario, finalmente Ahora bien, ∇ encontramos ~ x). ~ × B(~ ~ x) = 4π J(~ (4.7) ∇ c Hemos entonces demostrado que (4.2) satisface las ecuaciones de Maxwell de la magnetost´atica dadas por (4.4). Por u ´ltimo, de (4.7) se sigue que Z Z 4π ~ ×B ~ · d~s = ∇ J~ · d~s c S S y empleando el teorema de Stokes I Z 4π ~ ~ B · dl = J~ · d~s, c S C expresi´on que se conoce como la Ley de Ampere.

4.2

~ El potencial vector A

Una estrategia general para resolver el problema que involucra a las ecuaciones (4.6) ~ ·B ~ = 0 en todo el espacio, entonces y (4.7) es la de explotar el hecho de que si ∇ ~ x) = ∇ ~ × A(~ ~ x), B(~ 39

(4.8)

~ recibe el nombre de potencial vector. Comparando (4.8) y (4.5) se desprende donde A ~ viene dado por que A ~ x) = 1 A(~ c

Z

~ x0 ) J(~ ~ x), + ∇χ(~ d ~x |~x − ~x0 | 3 0

(4.9)

~ reconocemos la libertad en la elecci´on de calibre para el donde en el termino ∇χ potencial, esto es, ~ x) = ∇ ~ × A(~ ~ x), B(~ para χ(~x) arbitrario! Ahora, sustituyendo (4.8) en (4.7) tendremos ~ × (∇ ~ × A) ~ = 4π J~ ∇ c ~ × (∇ ~ × A) ~ = ∇( ~ ∇ ~ · A) ~ − ∆A, ~ encontramos y usando ∇ ~ ~ ∇ ~ · A) ~ − ∆A ~ = 4π J. ∇( c ~ ecuaci´on (4.9), podemos hacer Debido a la libertad de calibre en la elecci´on de A, ~ ·A ~ = 0 (calibre de Coulomb) y tendremos que A ~ satisface entonces ∇ ~ x) = − ∆A(~

4π ~ J(~x) c

(4.10)

~ A ~ = 0. que es claro tendr´a a (4.9) como soluci´on en R3 , con χ fijado por la condici´on ∇·

4.3

~ y el campo B ~ de algunas distriEl potencial A buciones de corriente

Un hilo recto de corriente infinitamente largo Para el campo magn´etico producido por un hilo recto infinito a trav´es del cual fluye una corriente I, suponiendo que el hilo de corriente define al eje z, encontramos anteriormente la expresi´on en coordenadas cilindricas ~ ϕ, z) = 2I eˆϕ . B(ρ, cρ Aqu´ı puede ser instructivo revisar la derivaci´on de este resultado, particularmente ~ En este caso A ~ debe satisfacer (4.10) con simple, a partir del potencial vector A. ~ x) = Jz eˆz , J(~

Jz = I

40

δ(ρ) . 2πρ

(4.11)

Ahora, es claro que el sistema considerado es invariante bajo traslaciones a lo largo del eje z y por lo tanto el problema es efectivamente un problema bi-dimensional, esto ~ x) = Az eˆz con Az = Az (ρ, ϕ). As´ı, de (4.10-4.11) se sigue es, A(~ ∆(2) Az = −4πJz y por lo tanto Az (ρ, ϕ) viene dado por Z Z p 2 ∞ 0 0 2π 0 Az (ρ, ϕ) = − dρ ρ dϕ Jz (ρ0 , ϕ0 ) ln (ρ cos ϕ − ρ0 cos ϕ0 )2 + (ρ sin ϕ − ρ0 sin ϕ0 )2 c 0 0 (4.12) 2 donde hemos usado el hecho de que en R se tiene ∆(2) ln |~x|−1 = −2πδ(~x), con ∆(2) el operador laplaciano en 2 dimensiones. De (4.11) y (4.12) se sigue que 2I ln ρ c

(4.13)

~ =∇×A ~ = 2I eˆϕ , B cρ

(4.14)

Az (ρ, ϕ) = − y finalmente encontramos

que es el resultado esperado. Un anillo circular de corriente Consideremos a continuaci´on la siguiente distribuci´on de corriente: un anillo circular de radio a que se encuentra en el plano xy, centrado en el origen y a trav´es del cual fluye una corriente I. En este caso la densidad de corriente J~ viene dada por J~ = Jϕ (− sin ϕ eˆx + cos ϕ eˆy ), con Jϕ = I δ(z) δ(ρ − a) en coordenadas cil´ındricas o bien Jϕ =

I π δ(θ − ) δ(r − a), a 2

en coordenadas esfericas. Partiendo de (4.9) tenemos Z 0 1 ˆx + cos ϕ0 eˆy ) Jϕ (~x0 ) 3 0 (− sin ϕ e ~ dx , A(~x) = c |~x − ~x0 |

41

(4.15)

~ donde hemos ignorado el termino ∇χ. En coordenadas esfericas, con |~x − ~x0 | = (r2 + r02 − 2rr0 cos γ)1/2 , donde cos γ = cos θ cos θ0 + sin θ sin θ0 cos(ϕ − ϕ0 ), se tendr´a ~ θ, ϕ) = Ia A(r, c

Z 0

2π

dϕ0

(− sin ϕ0 eˆx + cos ϕ0 eˆy ) . (r2 + a2 − 2ar sin θ cos(ϕ − ϕ0 ))1/2

(4.16)

~ Ahora, es claro que el sistema considerado posee simetria azimutal y evaluando A en ϕ = 0 encontramos Z 2π cos ϕ0 Ia ~ θ, 0) = dϕ0 2 eˆy (4.17) A(r, c 0 (a + r2 − 2ar sin θ cos ϕ0 )1/2 ~ = Aϕ (− sin ϕ eˆx + cos ϕ eˆy ) con de donde se sigue que A Z Ia 2π 0 cos ϕ0 Aϕ (r, θ) = dϕ 2 . c 0 (a + r2 − 2ar sin θ cos ϕ0 )1/2

(4.18)

En lugar de la expresi´on integral (4.18), es posible obtener Aϕ como una expansi´on en funciones de Legendre, resultado que muestra a su vez de manera expl´ıcita diferencias importantes entre los campos magnetost´aticos y los electrost´aticos. Partiendo de (4.15), sustituyendo |~x − ~x0 | por su expansi´on en arm´onicos esfericos, ecuaci´on (3.3), y evaluando en ϕ = 0 encontramos ∞ l 1 4πI X X Y m (θ, 0) × ca l=0 m=−l 2l + 1 l Z ∞ Z π Z 2π l r< π 0 02 0 0 dr r dθ sin θ dϕ0 l+1 cos ϕ0 δ(θ0 − )δ(r0 − a)Ylm (θ0 , ϕ0 )∗ 2 r> 0 0 0 ∞ l 8π 2 Ia X Yl1 (θ, 0) r< π = Yl1 ( , 0)∗ , l+1 c l=1 2l + 1 r> 2

Aϕ (r, θ) =

con r< = min(r, a), r> = max(r, a) y donde hemos usado Z 2π dϕ cos ϕ0 Ylm (θ0 , ϕ0 )∗ = 2π Yl1 (θ0 , 0)∗ δm1 . 0

Ahora bien,   0, l = 2n  s    π 2l + 1 Yl1 ( , 0)∗ = Pl1 (0) = s  2 4π(l + 1) 2l + 1 (−1)n+1 Γ(n + 3/2)     4π(l + 1) Γ(n + 1)Γ( 3 ) , 2

42

l = 2n + 1

y con √ 3 1 1 1 1 π Γ(n + ) = Γ(n + + 1) = (n + )Γ(n + ) = (n + ) n (2n − 1)!! , 2 2 2 2 2 2 √ π 3 Γ(n + 1) = n! , Γ( ) = 2 2 obtenemos ∞

2n+1 (2n − 1)!! r< πIa X 1 Aϕ (r, θ) = − (−1)n n 2n+2 P2n+1 (cos θ), c n=0 2 (n + 1)! r>

(4.19)

donde (2n − 1)!! = (1)(3)(5)(· · · )(2n − 3)(2n − 1). ~ =∇ ~ ×A ~ podemos evaluar el campo magnetico B. ~ Haciendo A partir de (4.19) y B uso de d √ (4.20) [ 1 − x2 Pl1 (x)] = l(l + 1)Pl (x), dx se encuentra ∞ 2π Ia X (−1)n (2n + 1)!! r

Bθ

∞ π 2 X (−1)n (2n + 1)!! Ia c 2n (n + 1)! n=0     1  a 2n 2n + 2 1  r 2n 1 − Θ(r − a) 3 × Θ(a − r) P2n+1 (cos θ)(4.22) 3 2n + 1 a a r r

=

y por supuesto Bϕ = 0. Notamos aqu´ı una diferencia importante entre este problema, que obviamente tiene simetria azimutal, y la simetr´ıa azimutal en electrostatica. En la soluci´on (4.21-4.22) aparecen los polinomios de Legendre ordinarios as´ı como los ~ asociados, esto debido al caracter vectorial del potencial A.

4.4

Momentos magneticos de una distribuci´ on de corrientes localizadas

Consideremos ahora propiedades de una distribuci´on de corrientes general localizada ~ se tendr´a en una regi´on del espacio. Partiendo de (4.9) e ignorando el termino ∇χ,   Z Z 0 ~ x0 ) J(~ 1 1 ~ x · ~ x 1 0 3 0 3 0 ~ x) ~ x) = dx = d x J(~ + + ··· A(~ c |~x − ~x0 | c |~x| |~x|3 Z Z 1 1 xj 3 0~ 0 ~ x0 ) + · · · d3 x0 x0j J(~ = d x J(~x ) + c |~x| c|~x|3

43

(4.23)

El primer t´ermino es la contribuci´on al potencial vector del momento monopolar de ~ · J~ = 0. la distribuci´on de corriente J~ y puede demostrarse facilmente que es cero si ∇ Para ello, partimos de ~ · (xi J) ~ = xi ∇ ~ · J~ + J~ · ∇(x ~ i ), ∇ ~ · J~ = 0 se tendr´a y de aqu´ı que con ∇ ~ · (xi J) ~ = Ji . ∇ A continuaci´on, apelando al teorema de la divergencia, encontramos Z Z   Z 3 0 0 3 0 ~ 0~ 0 ~ x0 ) · d~s → 0 d x Ji (~x ) = d x ∇ · xi J(~x ) = x0i J(~ Ω

Ω

∂Ω

para Ω → R3 y por lo tanto no hay contribuci´on monopolar. Consid´erese a continuaci´on la contribuci´on proveniente del segundo t´ermino, para lo cual lo re-escribimos en la forma   Z Z 1 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 3 0 1 (x Ji (x~0 ) + xi Jj (~x )) + (xj Ji (~x ) − xi Jj (~x )) . d x xj Ji (~x ) = d x 2 j 2 Ahora bien ~ · (xi xj J) ~ = xi xj ∇ ~ · J~ + J~ · ∇(x ~ i xj ), ∇ ~ · J~ = 0 se sigue del teorema de la divergencia y con ∇ Z Z   Z 3 0 0 0 0 3 0~ 0 0 ~ 0 0 ~ d x (xj Ji (x ) + xi Jj (~x )) = d x ∇ · xi xj J(~x ) = Ω

Ω

~ x0 ) · d~s → 0 x0i x0j J(~

∂Ω

para Ω → R3 . Por lo tanto Z Z
1 3 0 0 xj d x xj Ji (~x) = xj d3 x0 x0j Ji (~x0 ) − x0i Jj (~x0 ) 2 Z 1 = − εijk xj d3 x0 εklm x0l Jm (~x0 ) 2   Z 1 3 0 0 0 ~ x )) . = − ~x × d x (~x × J(~ 2 i

(4.24)

~ (~x) Definiendo la densidad de momentos magneticos o magnetizaci´on M ~ (~x) ≡ 1 ~x × J(~ ~ x) M 2c y al momento magnetico m ~ de la distribuci´on de corriente J~ como Z 1 ~ 0 ), m ~ ≡ d3 x0 ~x0 × J(x 2c

44

(4.25)

(4.26)

de (4.23) se desprende que el vector potencial tiene como primer termino no nulo a la cantidad ~ × ~x ~ m (~x) = m A . (4.27) |~x|3 El campo magnetico asociado a (4.27) es n(ˆ n · m) ~ −m ~ ~ =∇ ~ ×A ~ = 3ˆ , B 3 |~x|

(4.28)

donde n ˆ ≡ ~x/|~x|, expresi´on que deber´a ser comparada con la obtenida para el campo elecrost´atico (3.13) producido por un dipolo el´ectrico p~. As´ı, lejos de cualquier distribuci´on de corriente localizada y estacionaria, el campo magnetico es el de un dipolo magnetico m ~ dado por (4.26). Por u ´ltimo se puede demostrar que, como en el caso de la electrost´atica, una deri~ en el sentido de las distribuciones arroja como resultado vaci´on de A 8π n(ˆ n · m) ~ −m ~ ~ x) = ∇ ~ × A(~ ~ x) = 3ˆ + m ~ δ(~x), B(~ 3 |~x| 3 cuesti´on que no abordaremos aqu´ı.

4.5

Ecuaciones de la magnetost´ atica en medios materiales

Hasta ahora hemos estudiado situaciones en las que se desea conocer el campo magnetico producido por distribuciones de corriente estacionarias en regiones en las que no hay materia. No proponemos a continuaci´on encontrar cuales modificaciones deben hacerse a las ecuaciones de la magnetost´atica en el vac´ıo para incluir en la descripci´on la interacci´on de los campos magn´eticos con la materia. Lo primero que notamos es que la ecuaci´on ~ ·B ~ = 0, ∇ (4.29) al ser independiente de las fuentes, sigue siendo valida y de aqu´ı que siga siendo util ~ x), a partir del cual obtenemos B ~ via B ~ =∇ ~ × A. ~ el concepto de potencial vector A(~ Ahora, supongase que queremos incluir en la descripci´on unicamente el efecto de los momentos dipolares del medio material. Entonces " # Z ~ x0 ) ~ (~x0 ) × (~x − ~x0 ) J(~ M 1 ~ x) = d3 x0 +c , (4.30) A(~ c |~x − ~x0 | |~x − ~x0 |3 ~ es la densidad de momentos magneticos por unidad de volumen del material donde M considerado. Ahora,   Z Z ~ x0 ) × (~x − ~x0 ) 1 3 0 M (~ 3 0 ~ 0 0 ~ d ~x = d ~x M (~x ) × ∇ |~x − ~x0 |3 |~x − ~x0 | ! Z ~0×M ~ (~x) Z ~ (~x) ∇ M ~0× = d3~x0 − d3~x0 ∇ |~x − ~x0 | |~x − ~x0 | 45

y dado que Z

3 0~ 0

d x∇ × Ω

~ (~x) M |~x − ~x0 |

!

Z =− ∂Ω

se tendr´a ~ x) = 1 A(~ c

Z

d3 x0

~ (~x) × d~s M → 0 para Ω → R3 , 0 |~x − ~x |

~ x 0 ) + c∇ ~0×M ~ (~x0 ) J(~ . |~x − ~x0 |

(4.31)

Como puede verse de (4.31), la magnetizaci´on del medio contribuye con una corriente efectiva ~ ×M ~ J~M = c∇ (4.32) y de aqu´ı que ~ ×M ~. ~ ×B ~ = 4π J~ + 4π ∇ (4.33) ∇ c ~ ×M ~ puede ser combinado con ∇ ~ ×B ~ para definir el campo magnetico El termino ∇ ~ H ~ ≡B ~ − 4π M ~ H (4.34) y las ecuaciones de Maxwell de la magnetost´atica en medios materiales vienen dadas por ~ ×M ~ = 4π J, ~ ∇ (4.35) c ~ ·B ~ = 0. ∇ (4.36) ~ como campo macroscopico es completamente analoga a la La introducci´on de H ~ para el campo electrost´atico. De nuestra derivaci´on es claro que los introducci´on de D ~ yB ~ y los campos D ~ yH ~ son una definici´on que permite campos fundamentales son E tomar en cuenta (en promedio) las contribuciones a ρ y J~ de las cargas y corrientes ~ y at´omicas. Por otro lado, es com´ un reservar el nombre campo magnetico para H ~ denominar a B densidad de flujo magnetico o inducci´on magnetica. Por supuesto, la descripci´on macrosc´opica completa de un sistema magnetost´atico ~ y H. ~ En general dicha relaci´on constiturequiere de una relaci´on constitutiva entre B tiva puede ser sumamente complicada, del tipo ~ = F~ (H). ~ B

(4.37)

La ecuaci´on (4.37) refleja el comportamiento de algunos sistemas ferromagneticos con respuestas tan interesantes como el que ilustra la figura (fen´omeno de histeresis), en ~ ni siquiera es una funci´on monovaluada. Para el caso ilustrado, F~ (H) ~ los que F~ (H) depende de la historia del material. En materiales isotropos con respuesta lineal sencilla se cumple ~ = χm H, ~ M

(4.38)

donde χm es un escalar denominado suceptibilidad magnetica. Si χm es positivo el material se denomina paramagnetico, por el contrario si χm es negativo el material es 46

~ no es diamagnetico. Si el material es anisotropo, entonces Mi = χij Hj y en general M ~ Por otro lado, es conveniente resaltar el hecho de que χm es funci´on de paralelo a H. la temperatura. De (4.38) y (4.34) se tiene ~ = (1 + χm )H ~ ≡ µH, ~ B

(4.39)

donde µ se define como como la permeabilidad magn´etica del medio. Es claro, antes de poder resolver problemas de magnetost´atica en medios materiales, ~ yH ~ en la interfaz entre debemos conocer las condiciones de frontera que satisfacen B dos medios. De (4.28) se tiene I Z 3 ~ ~ ~ · d~s ⇒ (B ~1 · n ~2 · n d x∇ · B = 0 = B ˆ 21 − B ˆ 21 )a = 0, Ω

∂Ω

esto es, ~1 − B ~ 2) · n (B ˆ 21 = 0.

(4.40)

Por otro lado, de (4.35) y del teorema de Stokes se sigue que Z Z Z 4π ~ ~ ~ ~ · d~l J · d~s = ∇ × H · d~s = H c S S C y por lo tanto ~1 − H ~ 2 ) · ˆl0 ∆l = 4π K ~ · (ˆ (H n21 × ˆl0 )∆l c 4π ~ = (K × n ˆ 21 ) · ˆl0 ∆l c ~ es la densidad de corriente superficial en la interfaz. Ahora, puesto que K ~ es donde K perpendicular a n ˆ 21 , tendremos que i 4π h ~ ~1 − H ~ 2 )|| = 4π n ~ ×n ~ n21 , n ˆ 21 × (H ˆ 21 × K ˆ 21 = K − (ˆ n21 · K)ˆ c c esto es, ~1 − H ~ 2 ) = 4π K. ~ n ˆ 21 × (H (4.41) c Por supuesto, las ecuaciones (4.40) y (4.41) deben emplearse al resolver las ecuaciones de Maxwell en diferentes regiones para acoplar las soluciones en la interfaz entre dichas regiones.

4.6

Problemas de contorno en magnetost´ atica

Como ya hemos visto, las ecuaciones b´asicas de la magnetost´atica en medios materiales ~ y son (4.35) y (4.36), donde se debe adem´as dar alguna relaci´on constitutiva entre B ~ La gran variedad de situaciones que pueden ocurrir en la pr´actica hace posible el H. empleo de t´ecnicas diferentes que en alguna medida permiten simplificar los calculos. 47

4.6.1

~ Uso del potencial vector A

~ =∇ ~ ×A ~ y de (4.35) se tendr´a Debido a (4.36), siempre es posible proponer B ~ ×H ~ = 4π J, ~ ∇ c ~ = H( ~ B), ~ resultando una ecuaci´on diferencial extremamente complicada. Si donde H ~ = µH ~ entonces B ~ × (1∇ ~ ∇ ~ · A) ~ − ∆A ~ = 4πµ J~ ~ × A) ~ = 4π ⇒ ∇( ∇ µ c c

(4.42)

~ ·A ~ = 0. Por supuesto, que puede ser resuelta fijando el calibre al calibre de Coulomb ∇ las soluciones de (4.42) deben ser acopladas en la interfaz entre los diferentes medios usando las condiciones de frontera (4.40) y (4.41).

4.6.2

Uso del potencial escalar magn´ etico ΦM (J~ ≡ ~0)

~ ×H ~ = ~0 y por lo tanto es posible buscar Para el caso J~ = ~0, de (4.35) se tiene ∇ soluciones de la forma ~ = −∇Φ ~ M. H (4.43) ~ = µH ~ y ΦM satisface Si es posible suponer respuesta lineal, entonces B ∆ΦM = 0,

(4.44)

si µ es constante a trozos.

4.6.3

~ dado y J~ ≡ ~0) Ferromagnetos duros (M

~ Uso de A Para aquellos ferromagnetos cuya magnetizaci´on es esencialmente independiente de los campos aplicados (por supuesto estos u ´ltimos debiles), es posible hacer el tratamiento como si la magnetizaci´on fuese fija. En este caso, de (4.35) se sigue que ~ ×H ~ =∇ ~ × (B ~ − 4π M ~ ) = ~0, ∇ ~ =∇ ~ × A, ~ encontramos que A ~ satisface en el calibre de Coulomb y con B ~=− ∆A

4π ~ JM , c

(4.45)

donde J~M viene dado por (4.32). En ausencia de superficies frontera, la soluci´on de (4.45) viene dada por Z ~0×M ~ (~x0 ) ∇ ~ A(~x) = d3 x0 . (4.46) |~x − ~x0 | R3 48

Un caso particularmente interesante es el de una magnetizaci´on que se hace cero abruptamente fuera de un volumen Ω, en cuyo caso ~ x) = A(~

Z

dx Ω

~0×M ~ (~x0 )

3 0∇

|~x − ~x0 |

Z + ∂Ω

M (~x0 ) × d~s0 , |~x − ~x0 |

(4.47)

expresi´on que asumiremos v´alida sin demostraci´on. Uso de ΦM ~ = −∇Φ ~ m . Ahora, con Puesto que J~ = ~0, entonces proponemos H ~ =H ~ + 4π M ~, B se tendr´a que ~ ·B ~ =∇ ~ · (H ~ + 4π M ~) 0=∇ y por lo tanto ~ ·M ~. ∆ΦM = 4π ∇

(4.48)

~ es diferente de cero solo en un volumen Ω, entonces la soluci´on de (4.48) viene Si M dada por Z ~ (~x0 ) · d~s0 ~ 0 ~ x0 ) Z M 3 0 ∇ · M (~ + . (4.49) ΦM (~x) = − d x |~x − ~x0 | |~x − ~x0 | ∂Ω Ω

49

Cap´ıtulo 5 Campos que var´ıan en el tiempo. Leyes de conservaci´ on En las discuciones anteriores nos hemos centrado en aquellos problemas que involucran distribuciones de carga y corriente estacionarias, empleando t´ecnicas matem´aticas similares, aunque la descripci´on de los fen´omenos el´ectricos y magn´eticos se hizo esencialmente independiente una de la otra. La naturaleza casi independiente de dichos fen´omenos desaparece cuando consideramos problemas dependientes del tiempo. Campos magn´eticos que varian en el tiempo dan lugar a campos el´ectricos y viceversa.

5.1

~ y la ecuaci´ Los potenciales Φ y A on de onda

Para el caso de campos y fuentes dependientes del tiempo se hace necesario emplear el conjunto de ecuaciones acopladas ~ ·E ~ = 4πρ, ∇

(5.1)

~ ·B ~ = 0, ∇ (5.2) ~ = ~0, ~ ×E ~ + 1 ∂t B (5.3) ∇ c ~ ×B ~ − 1 ∂t E ~ = 4π J, ~ ∇ (5.4) c c que son la ley de Gauss, la inexistencia de monopolos magneticos libres, la ley de Faraday y la ley de Ampere, respectivamente. Estas son la ecuaciones de Maxwell en el vacio y la versi´on apropiada en un medio material es la que resulta de cambiar ~ y B ~ en las ecuaciones no homogeneas (5.1) y (5.4) por D ~ y H, ~ respectivamente E (asumiendo que el medio material est´a en reposo). Por los momentos restringiremos nuestra atenci´on al caso en que no hay medios materiales. Como hemos visto en el Cap´ıtulo 1, las ecuaciones (5.1) y (5.4) escritas en terminos ~ vienen dadas por de los potenciales Φ y A   1 1 1 ~ ~ ∆Φ − 2 ∂t ∂t Φ = −4πρ − ∂t ∇ · A + ∂t Φ , (5.5) c c c 50

  1 4π 1 ~ − ∂t ∂t A ~ = − J~ + ∇ ~ ∇ ~ ·A ~ + ∂t Φ , ∆A c2 c c

(5.6)

las cuales, en el calibre de Lorentz ~ ·A ~ + 1 ∂ Φ = 0, ∇ c ∂t

(5.7)

se reducen a ecuaciones de onda no homogeneas con ρ y J~ como fuentes ∆Φ −

1 ∂2Φ = −4πρ, c2 ∂t2

(5.8)

~ 1 ∂2A 4π ~ ~ ∆A − 2 2 = − J. (5.9) c ∂t c Revisemos a continuaci´on las consecuencias de escoger otro calibre. Consid´erese la elecci´on de calibre ~ ·A ~ = 0. ∇ (5.10) De (5.5) se sigue que Φ satisface la ecuaci´on de Poisson ∆Φ(~x, t) = −4πρ(~x, t),

(5.11)

cuya soluci´on viene dada por Z Φ(~x, t) =

d3 x0

ρ(~x0 , t) . |~x − ~x0 |

(5.12)

Tenemos entonces que el potencial escalar Φ es el potencial ”instantaneo”de Coulomb producido por la distribuci´on de cargas ρ(~x, t) y de aqu´ı que al calibre (5.10) se le denomine calibre de Coulomb. Por otro lado, de (5.6) se tiene que el potencial vector ~ satisface la ecuaci´on de onda no-homogenea A ~− ∆A

1 ~ = − 4π J~ + 1 ∇∂ ~ t Φ, ∂t ∂t A 2 c c c

(5.13)

donde el u ´ltimo t´ermino del miembro derecho de (5.13) puede ser calculado a partir de (5.12). Para resolver (5.13) es conveniente considerar la descomposici´on J~ = J~L + J~T ,

(5.14)

~ × J~L = 0 ∇

(5.15)

~ · J~T = 0. ∇

(5.16)

con y

51

Las partes longitudinal J~L y transversa J~T de J~ pueden ser construidas explicitamente a partir de J~ (vease el teorema de Helmholtz) 1 ~ J~L = − ∇ 4π

Z

d3 x0

1 ~ ~ × J~T = ∇×∇ 4π

Z

~ 0 · J(~ ~ x0 ) ∇ |~x − ~x0 |

d3 x0

(5.17)

~ x0 ) J(~ . |~x − ~x0 |

(5.18)

A continuaci´on, de la ecuaci´on de continuidad 1 ~ · J~ = 0 ∂t ρ + ∇ c

(5.19)

se sigue que 1 ~ · J~l = 0. ∂t ρ + ∇ c De este resultado y de (5.12) y (5.17) se desprende que ∇∂t Φ = 4π J~l

(5.20)

1 ~ = − 4π J~T . ∂t ∂t A 2 c c

(5.21)

y por lo tanto (5.13) se reduce a ~− ∆A

~ es solo para la parte transSe encuentra entonces que en este calibre la fuente para A versa J~T de J~ y al calibre (5.10) se le denomina calibre transverso. N´otese que en este calibre, el potencial escalar Φ satisface la ecuaci´on de Poisson (5.11), la cual es una ecuaci´on del tipo el´ıptico donde t aparece solo como un par´ametro y de aqu´ı que ~ su soluci´on, (5.12), realmente no se ”propague”. Por otro lado, el potencial vector A ~ se propaga con velocidad satisface una ecuaci´on de onda (5.21) lo que implica que A finita. Sin embargo, debe tenerse presente que en la descripci´on cl´asica de la interac~ yB ~ y no los potenciales Φ y A ~ las cantidades ci´on electromagn´etica son los campos E f´ısicamente relevantes.

5.2

Funciones de Green para la ecuaci´ on de onda

Las ecuaciones (5.8), (5.9) y (5.21) tienen todas la estructura b´asica de una ecuaci´on de onda. Consideraremos en lo que sigue el problema sin condiciones de contorno (∂t ∂t − ∆)Ψ(~x, t) = F (~x, t),

−∞ < t < ∞,

~x ∈ R3 ,

(5.22)

donde ∆ es el operador laplaciano 3-dimensional, con condiciones iniciales en el “pasado remoto” lim Ψ(~x, t) → Ψ0 (~x, t), (5.23) t→−∞

52

con Ψ0 la soluci´on al problema homog´eneo (F = 0) y donde hemos hecho c = 1. Supondremos adem´as que Ψ est´a acotada en todas partes, esto es, |Ψ(~x, t)| < ∞ ∀~x ∈ R3 , y que F (~x, t) es de soporte acotado. Puesto que (5.22) es lineal, la soluci´on de (5.22, 5.23) es la suma de la soluci´on al problema homog´eneo Ψ0 m´as la soluci´on particular al problema no homog´eneo (∂t ∂t − ∆)Ψp (~x, t) = F (~x, t),

−∞ < t < ∞,

~x ∈ R3 ,

(5.24)

que satisface las condiciones lim Ψp (~x, t) = 0,

t→−∞

lim ∂t Ψp (~x, t) = 0.

(5.25)

t→−∞

La soluci´on de (5.24, 5.25) viene dada por Z Ψp (~x, t) = d3 x0 dt0 Gret (~x, t; ~x0 , t0 )F (~x0 , t0 ),

(5.26)

donde la funci´on de Green Gret satisface (∂t ∂t − ∆)Gret (~x, t; ~x0 , t0 ) = δ(~x − ~x0 )δ(t − t0 );

~x, ~x0 ∈ R3 ;

−∞ < t, t0 < ∞, (5.27)

y las condiciones lim Gret = 0,

lim Gret = 0.

t→−∞

(5.28)

|~ x|→−∞

En ausencia de condiciones de contorno que rompan la simetr´ıa bajo traslaciones se tiene que Gret (~x, t; x~0 , t0 ) = Gret (~x − x~0 , t − t0 ), (5.29) donde (∂t ∂t − ∆)Gret (~x, t) = δ(~x)δ(t).

(5.30)

Una manera de encontrar G es empleando transformadas de Fourier 4-dimensionales Z 1 ~ d3 k dω ei(k.~x−ωt) G(~k, ω), (5.31) G(~x, t) = 4 (2π) Z ~ ~ G(k, ω) = d3 x dt e−i(k.~x−ωt) G(~x, t), (5.32) donde

1 δ(~x)δ(t) = (2π)4

Z

~

d3 kdω ei(k.~x−ωt) .

(5.33)

Sustituyendo (5.31) y (5.33) en (5.30) se sigue que G(~k, ω) =

1

(5.34)

~k 2 − ω 2

y por lo tanto 1 G(~x, t) = (2π)4

Z

~

d3 k dω ei(k.~x−ωt) 53

1 ~k 2 − ω 2

.

(5.35)

N´otese que G(~k, ω) depende de ~k solo a trav´es de |~k|. As´ı, pasando a coordenadas esf´ericas, rotando los ejes en el espacio ~k de forma tal que ~k.~x = |~k| |~x| cos θ con θ el ´angulo polar e integrando en las variables angulares se tiene Z ∞ Z ∞ 1 1 G(~x, t) = − 3 , (5.36) dk k sin kr dωe−iωt 4π r 0 (ω − k)(ω + k) −∞ donde k = |~k| y r = |~x|. Ahora, la evaluaci´on expl´ıcita de (5.36) requiere de alguna prescripci´on para manejar los polos en ω = ±|~k|, la cual viene determinada por el tipo de causalidad impuesta en (5.28). Para obtener Gret para t > 0, desplazamos los polos de forma tal que ω = −k → −k − iε y ω = k → k − iε, con ε → 0+ . Entonces Z ∞ Z ∞ 1 1 Gret (~x, t) = −Θ(t) 3 dk k sin kr dω e−iωt 4π r 0 (ω − (k − iε))(ω + (k + iε)) −∞ (5.37) Considerando ω como variable compleja, cerrando el contorno de integraci´on por debajo del eje real (si se cierra por encima la integral diverge) y usando el teorema del residuo se tiene    Z ∞ exp(−iωt) 1 dk k sin kr −2πi Res Gret (~x, t) = Θ(t) 3 4π r 0 (ω − (k − iε))(ω + (k + iε)) Z ∞ 1 dk sin kr sin kt, (5.38) = Θ(t) 2 2π r 0 de donde se obtiene finalmente Gret (~x, t) = Θ(t)

1 δ(t − r). 4πr

(5.39)

De (5.39) se sigue que Gret (~x − x~0 , t − t0 ) = Θ(t − t0 )

1 4π|~x − x~0 |

δ(t − t0 −

|~x − x~0 | ) c

(5.40)

donde hemos reinsertado c para facilitar la interpretaci´on f´ısica. Esta funci´on de Green se denomina retardada porque propaga el efecto de una fuente en el punto (~x0 , t0 ) al punto (~x, t), siempre y cuando t − t0 > 0, esto es, solo para t posterior a t0 con t − t0 = |~x − ~x0 |/c, lo que nos dice que dicho efecto se propaga con velocidad c. N´otese que es posible encontrar otras funciones de Green para el operador (∂t ∂t −∆) que propagan con una causalidad diferente. Por ejemplo, para t < 0, si desplazamos los polos del eje real a˜ nadiendo una peque˜ na parte imaginaria positiva y cerramos el contorno por encima del eje real, c´alculos an´alogos a los de arriba nos proveen la funci´on de Green avanzada Gav (~x − x~0 , t − t0 ) = Θ(t0 − t)

1 4π|~x − x~0 |

54

δ(t − t0 +

|~x − x~0 | ), c

(5.41)

que propaga con velocidad c para t − t0 = −|~x − x~0 |/c < 0. Como hemos visto, en el calibre de Lorentz (5.7) los potenciales electromagn´eticos ~ satisfacen las ecuaciones (5.8) y (5.9), respectivamente, y empleando la funci´on ΦyA de Green retardada (5.40) obtenemos las soluciones particulares |~x − x~0 | ρ(~x0 , t0 ) 0 0 Θ(t − t ) δ(t − t + ) |~x − ~x0 | c Z ρ(~x0 , t − |~x − ~x0 |/c) = d3 x0 |~x − ~x0 | Z

Φ(~x, t) =

d3 x0 dt0

(5.42)

y ~ x, t) = 1 A(~ c

Z

d3 x0

~ x0 , t − |~x − ~x0 |/c) J(~ |~x − ~x0 |

(5.43)

en ausencia de condiciones de contorno. Estos potenciales se conocen comunmente con el nombre de potenciales retardados.

5.3

Teorema de Poynting

Nos proponemos a continuaci´on establecer la ley de conservaci´on de la energ´ıa para los campos electromagneticos (Teorema de Poynting). El incremento en la energ´ıa de una ~ yB ~ viene dada por carga puntual q bajo la acci´on de campos electromagn´eticos E ~ dt, dW = q ~v · E

(5.44)

donde ~v es la velocidad de la carga (los campos magneticos no hacen trabajo ya que F~mag ⊥ ~v ), cuya generalizaci´on al caso de una distribuci´on cont´ınua de carga y corriente es Z dW ~ d3 x J~ · E. (5.45) = dt Ω Ahora bien, partiendo de (5.45) y usando la versi´on en medios materiales de (5.4) se obtiene Z Z   1 3 ~ ~ ~ ·∇ ~ ×H ~ −E ~ · ∂t D ~ . d xJ · E = d3 x cE (5.46) 4π Ω Ω A continuaci´on, empleando la identidad ~ · (E ~ × H) ~ =H ~ ·∇ ~ ×E ~ −E ~ ·∇ ~ ×H ~ ∇ encontramos Z ~ = d3 xJ~ · E Ω

1 4π

Z

h i ~ · (E ~ × H) ~ + cH ~ ·∇ ~ ×E ~ −E ~ · ∂t D ~ d3 x −c∇ ΩZ h i 1 ~ · (E ~ × H) ~ +H ~ · ∂t B ~ +E ~ · ∂t D ~ , = − d3 x c∇ 4π Ω

55

(5.47)

donde hemos usado la ley de Faraday en el u ´ltimo paso. Ahora, definiendo u≡

1 ~ ~ ~ · H), ~ (E · D + B 8π

(5.48)

~ ·∂t D ~ = 1 ∂t (E ~ · D) ~ y suponiendo que el medio material es lineal y no disipativo, esto es E 2 ~ · ∂t B ~ = 1 ∂t (H ~ · B), ~ (5.47) puede ser reescrita como yH 2 Z Z h i c ~ 3 ~ ~ × H) ~ . d x J · E = − d3 x ∂t u + ∇ · (E (5.49) 4π Ω Ω Finalmente, puesto que Ω es arbitrario, de (5.49) obtenemos la ley de conservaci´on ~ ·S ~ = −J~ · E, ~ ∂t u + ∇ donde

(5.50)

~ × H) ~ ~ ≡ c (E (5.51) S 4π recibe el nombre de vector de Poynting. M´as adelante veremos que u dado por (5.48) admite la interpretaci´on de densidad de energ´ıa asociada a los campos elec~ representa un tromagn´eticos. Asumiendo v´alida esta interpretaci´on, se sigue que S flujo de energ´ıa. As´ı, la interpretaci´on f´ısica de (5.50) es la siguiente: la rata de cambio de la energ´ıa electromagn´etica en una cierta regi´on del espacio ∂t u m´as el flujo de ~ ·S ~ es energ´ıa a trav´es de la superficie frontera de esa regi´on por unidad de tiempo ∇ igual a menos el trabajo total hecho por los campos sobre las fuentes en dicha regi´on.

56

Cap´ıtulo 6 Ondas electromagneticas. Propagaci´ on A continuaci´on estudiaremos algunos fen´omenos relacionados a la propagaci´on de radiaci´on electromagn´etica en medios materiales.

6.1

La ecuaci´ on de onda en medios materiales

Consideremos ahora las ecuaciones de Maxwell en su versi´on para medios materiales ~ ·D ~ = 4πρ, ∇

(6.1)

~ ·B ~ = 0, ∇

(6.2)

~ = ~0, ~ ×E ~ + 1 ∂t B ∇ c 1 ~ ~ ×H ~ = − 4π J~ ∂t D − ∇ c c y supongamos que en la regi´on de interes ρ ≡ 0 y que

(6.3) (6.4)

~ = εE ~ D

(6.5)

~ = µH, ~ B

(6.6)

donde ε y µ son constantes independientes de las coordenadas y del tiempo. Entonces de (6.3), (6.4), (6.5) y (6.6) se sigue que ~ × (∇ ~ × E) ~ = −1∇ ~ × ∂t B ~ ∇ c   1 4π ~ 1 ~ = − ∂t µJ + µε ∂t E c c c  µ  ~ ~ . = − 2 ∂t 4π J + ε ∂t E c 57

(6.7)

Por otra parte, ~ × (∇ ~ × E) ~ = ∇( ~ ∇ ~ · E) ~ − ∆E, ~ ∇

(6.8)

~ ·E ~ = 0, tendremos entonces y dado que ∇ ~ = ∆E

4π ~ + µε ∂t ∂t E. ~ µ ∂ J t c2 c2

(6.9)

~ finalmente A continuaci´on, suponiendo que se satisface la condici´on de Ohm, J~ = σ E, de (6.9) se tendr´a ~ − 4πσµ ∂t E ~ = 0. ~ − µε ∂t ∂t E (6.10) ∆E 2 c c2 La ecuaci´on (6.10) es una ecuaci´on de onda generalizada. Usualmente el segundo o tercer t´ermino pueden despreciarse llevando a una situaci´on particular determinada. En un medio no conductor el tercer t´ermino es nulo (σ = 0) y se obtiene una ecuaci´on √ de propagaci´on de ondas que viajan con velocidad v = c/ µε. En un medio conductor el segundo t´ermino suele despreciarse y (6.10) se reduce a una ecuaci´on de difusi´on. Ahora, asumiendo una dependencia temporal arm´onica, esto es, −iωt ~ x, t) = E(x)e ~ E(~ ,

(6.11)

se tiene de (6.10)   2 µω i4πσ ~ ~ x) + E(x) = 0. (6.12) ∆E(~ ε+ c2 ω Con frecuencia es u ´til atribuir todas las propiedades del medio a la ”constante diel´ectrica” ε(ω) definida como i4πσ ε(ω) ≡ ε + (6.13) ω y de esta manera se tiene una constante diel´ectrica que es en general compleja, cuya parte imaginaria puede ser despreciada para materiales aislantes pero para materiales conductores no. ~ son homogeneas debido a que N´otese que la ecuaci´on (6.12) y la an´aloga para B fueron derivadas suponiendo ρ = 0. Para investigar la relaci´on entre los campos y sus fuentes es conveniente el introducir potenciales. Nos restringiremos por los momentos a considerar solo aquellos aspectos de la propagaci´on de ondas electromagn´eticas que pueden ser discutidos independientemente del origen de los campos y su relaci´on con los potenciales.

6.2

Ondas planas en un medio no conductor

Las m´as simples y fundamentales de las ondas electromagneticas son las ondas planas transversas. Veamos como obtener dichas soluciones en medios simples no conductores descritos por ε y µ constantes. En este caso, de (6.10) tenemos que cada componente ~ satisface la ecuaci´on cartesiana Ei , i = x, y, z, de E ∆Ei (~x) −

1 √ 2 ∂t ∂t Ei (~x) = 0 (c/ µε) 58

(6.14)

~

cuyas soluciones son las bien conocidas ondas planas eik·~x−iωt , con ω √ ω k = |~k| = = µε . v c

(6.15)

~ satisfacen una ecuaci´on Puede demostrarse que las componentes cartesianas de B an´aloga. Si v no es funci´on de k, esto es, si el medio es no dispersivo y por lo tanto µε es independiente de la frecuencia,1 la soluci´on general de (6.14) que se propaga (digamos) en la direcci´on x es de la forma n(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt),

(6.16)

con f y g funciones arbitrarias y donde v es la velocidad de fase de la onda. Nos restringiremos en lo que sigue a analizar la propagaci´on de ondas electromagn´eticas en un medio no dispersivo. Mas adelante, en la secci´on 6.5, consideraremos el caso de medios dispersivos. Con la convenci´on de que los campos electricos y magneticos f´ısicos se obtienen de tomar partes reales de cantidades complejas, por simplicidad supondremos que los campos son de la forma ~ x, t) = E~ ei~k·~x−iωt , E(~ (6.17) ~ x, t) = B~ ei~k·~x−iωt , B(~

(6.18)

con E~ y B~ vectores constantes en el espacio y en el tiempo. Ahora bien, ~ ·E ~ = 0 ⇒ ~k · E~ = 0, ∇ ~ ·B ~ = 0 ⇒ ~k · B~ = 0, ∇ ~ yB ~ deben ser perpendiculares a la direcci´on de propagaci´on definida y por lo tanto E por ~k. A dicha onda se le denomina transversa. De las restantes ecuaciones se desprende que ~k √ ~ × E. B~ = µε |~k| 1

(6.19)

~ yE ~ (o entre B ~ y H) ~ puede ser no local. En general se tiene que La relaci´ on lineal entre D Z Z Di (~x, t) = d3 x0 dt0 εij (~x0 , t0 )Ej (~x − ~x0 , t − t0 ),

donde se sobreentiende que hay una suma sobre j. As´ı, introduciendo transformadas de Fourier Z Z ~ 3 ~ f (k, ω) ≡ d x dt e−i(k·~x−ωt) f (~x, t), se tiene Di (~k, ω) = εij (~k, ω)Ej (~k, ω) ~ H. ~ Los tensores ε y µ son en general funci´on de las frecuencia y del y una relaci´ on similar entre B, vector de onda. Para la luz visible y en el infrarrojo es permisible despreciar la no-localidad en el espacio, entonces µ y ε son solo funciones de la frecuencia.

59

A continuaci´on, introduciendo un conjunto ortonormal de vectores {ˆ e1 , eˆ2 , ~k/|~k|, las cantidades E~ y B~ pueden ser escritas como √ (6.20) E~ = eˆ1 E0 , B~ = eˆ2 µε E0 o bien como E~ = eˆ2 E00 ,

√ B~ = eˆ1 µε E00 ,

(6.21)

con E0 y E00 constantes (que pueden ser complejas). La onda descrita por (6.17), (6.18) y (6.20) es una onda transversa que se propaga en la direcci´on ~k. La misma representa un flujo de energ´ıa por unidad de tiempo dado por la parte real del vector de Poynting complejo ~≡1 c E ~ ×B ~∗ = c S 2 4π 8π

r

ε |E0 |2 µ

~k , |~k|

(6.22)

siendo la densidad de energ´ıa 1 u= 16π



~ ·B ~∗ ~ ·E ~∗ + 1 B εE µ

 =

ε |E0 |2 . 8π

(6.23)

La onda (6.17), (6.18) y (6.20) es una onda con el vector campo electrico siempre en la direcci´on eˆ1 . Se dice que dicha onda est´a linealmente ploarizada en la direcci´on eˆ1 . Otro tanto puede decirse de (6.17), (6.18) y (6.21). Las dos ondas ~ 1 = eˆ1 E1 ei~k·~x−iωt , E ~ 2 = eˆ2 E2 ei~k·~x−iωt , E ~ ~ ~ j = √µε k × Ej , B |~k|

(6.24)

pueden ser combinadas para dar la onda plana m´as general que se propaga en la direcci´on ~k ~ ~ x, t) = (ˆ E(~ e1 E1 + eˆ2 E2 ) eik·~x−iωt . (6.25) Las amplitudes E1 y E2 , siendo en general complejas, permiten la posibilidad de elegir fases diferentes para ondas de diferentes polarizaciones. Si E1 y E2 tienen la misma fase, (6.25) representa una onda linealmente polarizada. Si E1 y E2 tienen diferentes fases, (6.25) es elipticamente polarizada.

6.3

Ondas electromagneticas en la interfaz entre dielectricos.

A continuaci´on derivaremos una serie de propiedades cin´eticas y din´amicas de la reflexi´on y refracci´on de la luz en la interfaz entre dos medios con propiedades dielectricas diferentes. Para ello convendremos en identificar 60

1. onda incidente ~ =E ~ 0 ei~k·~x−iωt ; E

~ ~ ~ = √µε k × E . B k

2. onda refractada ~0 = E ~ 0 ei~k0 ·~x−iωt ; E 0

~0 = B

p

µ0 ε 0

~k 0 × E ~0 k0

(6.26)

(6.27)

3. onda reflejada ~ 00 = E ~ 00 ei~k00 ·~x−iωt ; E 0

~ 00 √ ~k 00 × E 00 ~ . B = µε k 00

(6.28)

Los vectores de onda tienen como magnitud √ ω √ ω |~k 0 | = k 0 = µε , (6.29) |~k| = |~k 00 | = k = µε , c c √ y es usual definir µε = n como el ´ındice de refracci´on del medio. Ahora bien, la existencia de condiciones de frontera en la interfaz, que supondremos definida por la superficie z = 0, con condiciones de contorno que deben satisfacerse en todos los puntos de dicha superficie ∀ t, implica que la variaci´on de los campos (espacial y temporal) debe ser id´entica all´ı. En consecuencia todas las fases deben ser iguales en z = 0, esto es, ~k · ~x|z=0 = ~k 0 · ~x|z=0 = ~k” · ~x|z=0 , (6.30) independientemente de las ecuaciones de contorno. La ecuaci´on (6.30) contiene los aspectos cinematicos de la reflexi´on y refracci´on. De (6.30) se sigue que k sin i = k 0 sin r = k” sin r0 (6.31) y con k” = k tenemos entonces que r0 = i, esto es, el ´angulo de incidencia es igual al ´angulo de reflexi´on. As´ı mismo, s k0 n0 sin i µ0 ε 0 = = = , (6.32) sin r k µε n expresi´on conocida como la ley de Snell y que da cuenta, entre otras cosas, del fen´omeno conocido como reflexi´on total interna. Para n > n0 se tiene que r > i y en consecuencia tendremos r = π/2 si i = i0 = arcsin(n0 /n) < π/2. As´ı, para ondas incidentes a i = i0 , la onda refractada se propaga paralela a la superficie interfaz, no hay flujo de energ´ıa a trav´es de la superficie y tendremos reflexi´on total. Para ´angulos i > i0 , la onda refractada se propaga solo paralela a la superficie interfaz, atenu´andose exponencialmente m´as all´a de la misma. Por otro lado, las propiedades din´amicas estan contenidas en las condiciones de contorno que deben satisfacer los campos en la interfaz. Consideremos el caso en el cual el campo el´ectrico es paralelo al plano de incidencia, definido este u ´ltimo como

61

el plano que contiene al vector ~k y al vector normal a la superficie interfaz n ˆ . Las condiciones de contorno en z = 0 son ~ 00 ) · n ~0 + E ~ 000 ) − ε0 E ˆ = 0, (ε(E ~0 + E ~ 00 − E ~0) × n (E ˆ = 0, 0

0

de donde se desprende que (E0 − E000 ) cos i − E00 cos r = 0

(6.33)

y 

 1 ~ ~ 1 ~0 ~ 0 00 00 ~ ~ (k × E0 + k × E0 ) − 0 (k × E0 ) × n ˆ=0 µ µ

de donde se desprende que r

ε (E0 + E000 ) − µ

s

ε0 0 E = 0. µ0 0

(6.34)

Las amplitudes relativas de los campos refractados y reflejados vienen dadas por E00 = E0

2nn0 cos i p µ 02 n cos i + n n02 − n2 sin2 i 0 µ

(6.35)

E000 = E0

µ 02 n µ0

p cos i − n n02 − n2 sin2 i p . µ 02 02 − n2 sin2 i n cos i + n n 0 µ

(6.36)

De (6.35) y (6.36) podemos ver que la onda reflejada se anula si el ´agulo de incidencia es igual al ´angulo de Brewster, definido por tan iB =

n0 n

(6.37)

(donde hemos supuesto que µ0 = µ, lo que en general es valido en el visible). Esto nos dice que si una onda plana de polarizaci´on mixta incide sobre un plano con ´angulo de incidencia igual al ´angulo de Brewster, la radiaci´on reflejada tendr´a como vector de polarizaci´on un vector perpendicular al plano de incidencia. Hasta ahora la permeabilidad y la susceptibilidad se han supuesto indenpendientes de la frecuencia. Esta ausencia de dispersi´on trae como consecuencia que los trenes de onda se propaguen sin distorsi´on. Aunque en realidad todo medio presenta alguna distorsi´on, es posible sobre un intervalo finito de frecuencias suponer la velocidad de propagaci´on como constante con la frecuencia. Por u ´ltimo, es conveniente resaltar aqu´ı que la distinci´on entre dielectricos y conductores es un tanto artificial para frecuencias ω muy diferentes de cero. En general, si el medio posee electrones libres entonces es conductor a baja frecuencia y en caso contrario es aislante.

62

6.4

Ondas en un medio disipativo

Hemos visto que la constante dielectrica de un medio es en general compleja. Para aislantes la parte imaginaria puede despreciarse dependiendo del caso, pero para conductores no. Veamos a continuaci´on el comportamiento de ondas electromagn´eticas que se propagan en un medio conductor. Si los campos en el conductor varian como ~

eik·~x−iωt

(6.38)

entonces el n´ umero de onda k viene dado por ω2 4πσ ω2 ), (6.39) = µε (1 + i 2 2 c c ωε donde el primer t´ermino corresponde a la corriente de desplazamiento y el segundo a la corriente de conducci´on. Ahora, suponiendo σ, µ y ε reales, encontramos k 2 = µε(ω)

i k = β + α, 2

(6.40)

con √

s



2

1/2

ω 1  4πσ √ + 1 , 1+ c 2 ωε 1/2 s  2 α √ ω 1  4πσ − 1 . = µε √ 1+ 2 c 2 ωε

β=

µε

(6.41)

p √ As´ı, para un mal conductor (4πσ/ωε  1) tenemos k ∼ ( µε ω +i2π µ/ε σ)/c y para p un buen conductor (4πσ/ωε  1) tenemos k ∼ (1 + i) 2πωµσ/c. ~ Las ondas que se propagan como eik·~x−iωt son ondas transversas amortiguadas. Los campos pueden escribrise como ~ =E ~ 0 e− α2 κˆ·~x eiβˆκ·~x−iωt , E

~ =B ~ 0 e− α2 κˆ·~x eiβˆκ·~x−iωt , B

(6.42)

donde κ ˆ es un vector unitario en la direcci´on de propagaci´on. De la ley de Faraday se sigue que ~ 0 = c (β + i α ) κ ~ 0, H ˆ×E (6.43) µω 2 ~ yE ~ no estan en fase en un conductor. Por otro lado, las ondas dadas por por lo que H (6.42) muestran un amortiguamiento con la distancia. As´ı, una onda electromagnetica que penetra en un conductor es amortiguada en un factor e−1 de su amplitud inicial al haber recorrido una distancia 2 cp δ= = 2πµωσ. (6.44) α δ se denomina profundidad de penetraci´on. En general δ es una funci´on decreciente con la frecuencia lo que implica a su vez que en los circuitos de corriente de alta frecuencia la corriente solo fluye sobre la superficie de los conductores. 63

6.5

Ondas en un medio dispersivo

En todo lo anterior hemos considerado solo ondas monocromaticas, idealizaci´on claramente imposible de realizar. Ahora bien, puesto que las ecuaciones son lineales, es directo en principio tomar la superposici´on apropiada de soluciones con frecuencias diferentes. Sin embargo, es conveniente resaltar aqu´ı algunas de las situaciones que pueden aparecer. 1. S´ı el medio es dispersivo (esto es, la constante dielectrica del medio es funci´on de la frecuencia), la velocidad de fase no es la misma para cada componente de Fourier de la onda. En consecuencia diferentes componentes de la onda viajaran con diferentes velocidades y tenderan a desfasarse unas con respecto a las otras. 2. En un medio dispersivo la velocidad del flujo de energ´ıa puede diferir de la velocidad de fase. Para ilustrar las ideas anteriores consideraremos un modelo especifico para las dependencia con la frecuencia del n´ umero de onda y calcularemos sin aproximaciones la propagaci´on de un pulso en este medio. Consideremos el caso unidimensional por simplicidad. Supongase que como condiciones iniciales tenemos x2

u(x, 0) = e− 2σ2 cos k0 x, Entonces

1 1 u(x, t) = √ 2 2π

Z

∂t u(x, 0) = 0.

(6.45)

∞

dk eikx−iω(k)t A(k) + c c

(6.46)

−∞

donde A(k) = = = =

Z ∞ 1 √ dx e−ikx u(x, 0) 2π −∞ Z ∞ x2 1 √ dx e−ikx e− 2σ2 cos(k0 x) 2π −∞ Z ∞
x2 1 1 √ dx e−ikx e− 2σ2 eik0 x + e−ik0 x 2 2π −∞ Z ∞ h i 1 x 1 x 1 2 σ2 2 2 σ2 2 √ dx e− 2 ( σ +iσ(k−k0 )) − 2 (k−k0 ) + e− 2 ( σ +iσ(k+k0 )) − 2 (k+k0 ) (6.47) 2 2π −∞

Calculemos la primera de las integrales. Haciendo z = σx − iσ(k − k0 ), encontramos Z ∞ Z ∞+iσ(k−k0 ) 2 x 1 2 − 21 [ σ +iσ(k−k0 )] − 21 σ 2 (k−k0 )2 − 21 σ 2 (k−k0 )2 dx e e → σe dz e− 2 z . −∞

−∞+iσ(k−k0 ) 1 2

Ahora bien, la funci´on e− 2 z es holomorfa lo que nos permite cambiar el contorno de integraci´on, Z ∞+iσ(k−k−0) Z −X Z X Z X+iσ(k−k0 ) ! ⇒ = lim + + , −∞+iσ(k=k0 )

X→∞

−X+iσ(k−k0 )

64

−X

X

donde X = Re{z} = x/σ. Las integrales 1era y 3era tienden a cero para X → ∞, Z X+iλ Z λ 1 2 1 2 −y 2 )−2iπXy − − z (X = ≤ |λ|e− 12 X 2 2 2 (idy) dz e e X

0

y por lo tanto − 21 σ 2 (k−k0 )2

Z

∞+iσ(k−k0 )

− 21 z 2

dz e

e

=

−∞+iσ(k−k0 )

=

− 12 σ 2 (k−k0 )2

Z

X

lim e

X→∞

√

1 2

dz e− 2 z

−X − 12 σ 2 (k−k0 )2

2π e

.

Procediendo en forma an´aloga con la segunda integral de (6.47) encontramos que A(k) viene dado por i 1 h − 1 σ2 (k−k0 )2 − 12 σ 2 (k+k0 )2 2 (6.48) A(k) = σ e +e 2 que no es mas que la superposici´on de dos gausianas. Para determinar la forma de la onda para t > 0 debemos especificar ω(k). Supondremos que a2 k 2 ) (6.49) ω(k) = ν(1 + 2 la cual es una aproximaci´on a la ecuaci´on de dispersi´on de una plasma tenue y que nos permitir´a evaluar u(x, t) de manera exacta (aqu´ı ω(k) y k son reales, de manera que no estamos considerando efectos disipativos). Tenemos entonces que u viene dado por Z ∞  1 2  σ ikx−iνt(1+a2 k2 /2) − 2 σ (k−k0 )2 − 12 σ 2 (k+k0 )2 dk e e +e , (6.50) u(x, t) = √ < 2 2π −∞ integral que puede resolverse completando cuadrados como antes y pasando a variable compleja. El resultado es " # 1 (x − νa2 k0 t)2 ik0 x−iν(1+ a2 k02 )t 1 2 )e + cc (6.51) u(x, t) = Re 1 exp(− 2 2 2 2σ 2 (1 + iaσ2νt ) (1 + ia 2νt ) 2 σ

Observese que aunque la envolvente sigue teniendo la forma de una gausiana, el ancho de la misma aumenta con el tiempo σ(t) =

σ2 +



a2 vt σ

2 !1/2

y que los efectos son mayores para σ → 0. Por u ´ltimo, si A(k) tiene soporte en un entorno peque˜ no de k0 , entonces dω ω(k) = ω(k0 ) + (k − k0 ) + · · · dk k0 65

(6.52)

(6.53)

y se define la velocidad de grupo como dω . vg = dk k0

(6.54)

vg = va2 k0

(6.55)

En el caso considerado y los picos de los pulsos que aparecen en (6.51) viajan con esta velocidad. El problema de la propagaci´on de un paquete de ondas en una medio disipativo y dispersivo es bastante mas complicado. En un medio disipativo, un pulso de radiaci´on se atenuar´a a medida que se propaga con o sin distorsi´on, dependiendo de si los efectos disipativos son o no sensitivos a la frecuencia. Este tipo de situaciones no ser´a considerado aqu´ı.

66