TALLER DE ELECTROMAGNETISMO PRIMER CORTE

Departamento De F´ısica y Geolog´ıa, Universidad De Pamplona

TEMAS: Todos los referentes al primer corte. Los ejercicios est´an clasificados en tres categor´ıas as´ı: X Problemas conceptuales: Estos problemas est´an encaminados a desarrollar la competencia interpretativa en los estudiantes, partiendo de los conceptos conocidos en problemas cualitativos. Para una exitosa resoluci´on de los ejercicios el estudiante deber´a darle una correcta interpretaci´on al problema, formularse interrogantes y responderlos de manera simultanea, logrando as´ı un desarrollo considerable en su capacidad anal´ıtica. X Problemas de desarrollo simb´olico y num´erico: Estos problemas se dan con la finalidad de que el estudiante ponga en practica su comprensi´on conceptual, adem´as de fortalecer las capacidades y conocimientos en el area de las matem´aticas, un pilar importante en la formaci´on de todo ingeniero. X Problemas de aplicaci´on: Estos ejercicios tiene la finalidad de mostrarle al estudiante la importancia de la f´ısica en las ingenier´ıas. Desarrollando una gran variedad de problemas donde aplique la parte conceptual num´erica y simb´olica.

1. PROBLEMAS CONCEPTUALES 1. Exam´ınese las siguientes reacciones hipot´eticas, del choque de un prot´on de alta energ´ıa, producido en un acelerador, contra un prot´on estacionario, en el n´ucleo de un a´ tomo de hidr´ogeno, que sirve como blanco: a) p + p → n + n + π + . b) p + p → n + p + π 0 . c) p + p → n + p + π + . d) p + p → p + p + π 0 + π 0 . e) p + p → n + p + π 0 + π − . 2. En la reacci´on Ni2+ + 4H2 O → Ni O42− + 8H + + electrones. Cuantos electrones se liberan? 3. En cada una de las siguientes reacciones de decaimiento de part´ıculas elementales, hay una part´ıcula que falta. Cual es su carga el´ectrica? a) n → p + e+?. b) Λ++ → p + π 0 +?. c) Λ+ → n+?. d) π − → µ− +? 4. Considere una bola de boliche inicialmente neutra. Que debe hacerse para que adquiera una carga de 1×10−6 C? 5. Si un a´ tomo pierde dos electrones, cual es la carga el´ectrica que gana el ion? Y si pierde 3? 6. ¿Es posible que un cuerpo tenga una carga el´ectrica de 2 × 10−19 C, o una de 3,2 × 10−19 C. Explique. 7. Se tienen dos esferas met´alicas, con cargas de 1 × 10−7 C y −3 × 10−7 C. Si se ponen en contacto, cual sera la carga en cada esfera? 8. Una cantidad de carga el´ectrica se ha depositado sobre una pelota de Ping-Pong. ¿C´omo se puede saber si la

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PROBLEMAS CONCEPTUALES

carga es positiva o negativa? 9. Los planetas del sistema solar ejercen entre si grandes fuerzas de gravedad, pero peque˜nas fuerzas el´ectricas. Los electrones en un a´ tomo ejercen grandes fuerzas el´ectricas pero insignificantes fuerzas de gravedad. Explique porque sucede esto. 10. Dos esferas separadas por cierta distancia, tienen cargas el´ectricas iguales y se ejercen entre ellas una fuerza de repulsi´on. Si se transfiere una fracci´on de la carga de una esfera a la otra; aumentara o disminuir´a la fuerza el´ectrica? 11. Si la fuerza de interacci´on entre dos cargas el´ectricas es de atracci´on, que se puede decir de sus polaridades? 12. Dos esferas peque˜nas con cargas positivas 3q y q est´an fijas en los extremos de una varilla aislante horizontal de longitud d. Como se puede observar en la figura 1, existe una tercera esfera peque˜na con carga que puede deslizarse con libertad sobre la varilla. Puede la tercera esfera estar en equilibrio? Es estable este equilibrio? Explique.

Figura 1. Cargas en una barra.

13. Tres cargas puntuales id´enticas en los v´ertices de un tri´angulo equil´atero. Una cuarta, carga puntual id´entica se coloca en el punto medio de un lado del tri´angulo. Como resultado de las tres contribuciones fuerza el´ectrica de las cargos en los v´ertices, que se puede decir con respecto a la fuerza sobre la cuarta carga? 14. Una barra muy larga y delgada tiene carga Q distribuida uniformemente en toda su longitud. Hay una carga puntual −Q a un metro de la barra. Trace las l´ıneas de campo el´ectrico que produce este conjunto en un plano que las contenga. 15. Dos cargas positivas Q est´an en los vertices de un tri´angulo equil´atero, en el tercer v´ertice hay una carga negativa −Q. Trace las l´ıneas de campo en el plano del tri´angulo. 16. Tres cargas positivas Q est´an en los vertices de un tri´angulo equil´atero. Trace las l´ıneas de campo en el plano del tri´angulo. 17. Trace las l´ıneas de campo para una fila infinita de cargas puntuales q, separadas una cierta distancia entre si. 18. Para las cargas de la figura 2, explique si es posible encontrar un punto distinto de infinito en el cual el campo el´ectrico es igual a cero. 19. Dos part´ıculas con carga se encuentran sobre el eje x. La primera es una carga Q en x = −a. La segunda es una carga desconocida ubicada en x = 3a. El campo el´ectrico neto que estas cargas producen en el origen tiene un valor de 2k aQ2 . Explique cuantos valores son posibles para la carga desconocida. 2

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PROBLEMAS CONCEPTUALES

Figura 2. Campo para dos cargas puntuales.

20. La figura 3 muestra las l´ıneas de campo el´ectrico correspondientes a dos part´ıculas con una peque˜na separaci´on. ¿Cu´ales son los signos de q1 y de q2 ?

Figura 3. Campo para dos cargas puntuales.

21. El campo el´ectrico a una distancia de 1m de una lamina infinita y uniformemente cargada tiene el valor E = E0 . Cual es el valor de E a una distancia de 2m? y a 4m. 22. En los vertices de un cuadrado hay cuatro cargas positivas id´enticas. Cuanto vale el campo el´ectrico en el centro del cuadrado? 23. En la figura 4 se muestran l´ıneas de campo el´ectrico de fuentes de carga est´aticas. Cual es el error en cada caso?

Figura 4. L´ıneas de campo el´ectrico.

24. Si una part´ıcula cargada se mueve en linea recta, se puede asegurar que no hay presencia de campo el´ectrico? 25. Si una superficie cerrada tiene un flujo neto cero, que se puede decir acerca de la carga encerrada? 26. Cuatro cargas se distribuyen en las esquinas de un cuadrado. Se puede aplicar la ley de gauss en este caso para calcular el campo el´ectrico? 27. En la figura 5 se muestran cuatro superficies cerradas, S1 a S4 , as´ı como las cargas en ellas. (Las l´ıneas de color son las intersecciones de las superficies con el plano de la p´agina). Determine el flujo el´ectrico a trav´es de cada superficie. 28. Suponga que existe en el espacio un campo el´ectrico. Si se introduce una esfera de cobre sin carga en dicho campo, se ven afectadas las l´ıneas de campo?

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´ ´ PROBLEMAS DE DESARROLLO SIMBOLICO Y NUMERICO

Figura 5. Flujo el´ectrico a trav´es de superficies cerradas.

´ ´ 2. PROBLEMAS DE DESARROLLO SIMBOLICO Y NUMERICO 1. Calcule el n´umero de electrones que contiene un peque˜no alfiler ecl´ecticamente neutro, hecho de plata con g una masa de 10g. La plata tiene 47 electrones por a´ tomo, y su masa molar es de 107,87 mol . b) Se le agregan electrones al alfiler hasta que la carga neta negativa sea igual a 1mC. ¿Cu´antos electrones es necesario a˜nadir por cada 109 electrones ya presentes? 2. Suponga que una nube de electrones esta confinada en una region entre 2 esferas de radios 2cm y 5cm. Tiene 3 × 10−8 cos2 φ. Calcular la carga total contenida en esta region. una densidad de carga ρ = − r4 3. Dos peque˜nas trozos de pl´astico de masas 5 × 10−5 g se separan por una distancia de 1mm. Supongamos que llevan cargas iguales y opuesta. Cual debe ser la magnitud de la carga para que la atracci´on el´ectrica entre ellos sea igual a su peso? 4. Dos esferas peque˜nas id´enticas tienen una masa m. Cuando se les coloca en un taz´on de radio R y de paredes no conductoras y libres de fricci´on, las esferas se mueven, y cuando est´an en equilibrio se encuentran a una distancia R (ver figura 6). Determine la carga de cada esfera.

Figura 6. Cargas que alcanzan equilibrio.

5. Una part´ıcula con carga A ejerce una fuerza de 2,62mN hacia la derecha sobre una part´ıcula con carga B cuando las part´ıculas est´an separadas 13,7mm. La part´ıcula B se mueve recta y lejos de A para hacer que la distancia entre ellas sea de 17,7mm. ¿Qu´e vector de fuerza se ejerce en tal caso sobre A? 6. Dos peque˜nas esferas conductoras id´enticas se colocan de forma que sus centros se encuentren separados 0,3m. A una se le da una carga de 12nC y a la otra una carga de −18nC. a) Determine la fuerza el´ectrica que ejerce una esfera sobre la otra. b) ¿Qu´e pasar´ıa si? Las esferas est´an conectadas mediante un alambre conductor. Determine la fuerza el´ectrica entre ellas una vez que alcanzan el equilibrio. 7. Dos part´ıculas con carga se encuentran sobre el eje x. La primera es una carga Q en x = −a. La segunda es una carga desconocida ubicada en x = 3a. El campo el´ectrico neto que estas cargas producen en el origen tiene un valor de 2ke aQ2 . Encuentre los valores posibles para la carga desconocida. 4

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´ ´ PROBLEMAS DE DESARROLLO SIMBOLICO Y NUMERICO 8. Tres cargas puntuales positivas Q se colocan en tres esquinas de un cuadrado, y una carga puntual negativa −Q se coloca en la cuarta esquina (ver figura 7). El lado del cuadrado es L. Calcular la fuerza el´ectrica neta que las cargas positivas ejercen en la carga negativa.

Figura 7. Cargas en un cuadrado.

9. Dos cargas iguales Q est´an en dos v´ertices de un tri´angulo equil´atero de lado a; una tercera carga −q est´a en el otro v´ertice. Una cuarta carga q0 esta situada a una distancia a2 fuera del tri´angulo a lo largo del la bisectriz perpendicular alas cargas Q (ver figura 8). Las cuarta carga experimenta una fuerza neta nula. Encuentre el q valor de la relaci´on Q .

Figura 8. Cargas en un cuadrado.

10. Dos cargas puntuales q1 = 5µC, q2 = −4µC est´an localizadas en (3, 2, 1) y (−4, 0, 6) respectivamente. Determine la fuerza el´ectrica sobre q1 . 11. Tres esferas id´enticas de masa m est´an suspendidas por hilos sin masa de longitud l de un punto com´un. Una carga Q esta dividida en partes iguales sobre las esferas. Las esferas alcanzan el equilibrio en las esquinas de  −1/2 2 un tri´angulo equil´atero de lados d. Demuestre que: Q2 = 12π0 mgd3 l2 − d3 . 12. Una linea de carga forma un semic´ırculo de radio R como se muestra en la figura (9), la carga por unidad de longitud esta dada por λ = λ0 cos θ. Calcule la fuerza sobre una carga q colocada en el centro de la curvatura.

13. Dos esferas peque˜nas con cargas positivas 3q y q est´an fijas en los extremos de una varilla aislante horizontal de longitud d. Como se puede observar en la figura (10), existe una tercera esfera peque˜na con carga que puede deslizarse con libertad sobre la varilla. ¿En qu´e posici´on deber´a estar la tercera esfera para estar en equilibrio?

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´ ´ PROBLEMAS DE DESARROLLO SIMBOLICO Y NUMERICO

Figura 9. Linea de carga en forma semic´ırculo.

Figura 10. Cargas en una barra.

14. Dos cargas puntuales Q, −2Q esta dispuestas como se muestra en la figura (11). Calcular la fuerza el´ectrica sobre la carga q.

Figura 11. Interacci´on entre cargas.

15. Tres cargas Q est´an dispuestos en los v´ertices de un equil´atero tri´angulo de lado L como se muestra en la figura 12. Calcular el campo el´ectrico que estas cargas producen en el centro del tri´angulo. 16. Considere la distribuci´on de cargas que se muestra en la figura 13. a) Demuestre que la magnitud del campo el´ectrico en el centro de cualquiera de las caras del cubo tiene un valor de 2,18k sq2 . b) ¿Cu´al es la direcci´on del campo el´ectrico en el centro de la cara superior del cubo? 17. En la figura 14, determine el punto (distinto del infinito) en el cual el campo el´ectrico es igual a cero. 18. Cargas puntuales q1 y q2 est´an en (4, 0, −3) y (2, 0, 1) respectivamente. Si q2 = 4nC encuentre q1 tal que: 6

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´ ´ PROBLEMAS DE DESARROLLO SIMBOLICO Y NUMERICO

Figura 12. Cargas en un tri´angulo.

Figura 13. Cargas en un cubo.

Figura 14. Campo para dos cargas puntuales.

~ en (5, 0, 6) no tiene componente κ a) E ˆ. b) La fuerza sobre una carga de prueba en (5, 0, 6) no tiene componente ˆι. 19. Tres cargas puntuales −Q, 2Q y −Q esta dispuestas como se muestra en la figura (15). Calcular el campo el´ectrico en el punto P .

Figura 15. Campo el´ectrico de cargas.

20. La distancia entre el n´ucleo del ox´ıgeno y cada uno de los n´ucleos de hidr´ogeno en una mol´ecula de agua (H2 O) es 9,58 × 10−11 m. El a´ ngulo entre las l´ıneas de los dos n´ucleos de hidr´ogenos es 105◦ como se muestra en la figura (16). Calcule el campo el´ectrico producido por los n´ucleos en el punto P a una distancia de 1,2 × 10−10 m.

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´ ´ PROBLEMAS DE DESARROLLO SIMBOLICO Y NUMERICO

Figura 16. N´ucleos en una mol´ecula de agua.

21. Una pelota de corcho cargada de masa m est´a suspendida de un hilo muy ligero en un campo el´ectrico uniforme, ~ = Aˆı + Bˆ como se observa en la figura (17). Cuando E N umeros positivos, la pelota C , donde A y B son n´ est´a en equilibrio cuando el a´ ngulo es igual a θ. Determine la carga sobre la pelota y la tensi´on en el hilo.

Figura 17. Carga en un campo el´ectrico en el plano.

22. Tres varillas de vidrio delgadas llevan cargas Q, Q, y −Q, respectivamente. La longitud de cada barra es l, y la carga es uniformemente distribuida a lo largo de cada varilla. Las varillas forman un tri´angulo equil´atero. Calcular el campo el´ectrico en el centro del tri´angulo. 23. Una esfera de radio R y densidad de carga de volumen uniforme ρ permanece estacionaria (levita) cuando se coloca encima de un plano infinito con densidad de carga superficial uniforme σ. Cual es la masa de la esfera? 24. A lo largo del eje x existe una l´ınea de carga continua que se extiende desde x = x0 hasta infinito positivo. La l´ınea tiene una densidad de carga lineal uniforme λ0 . ¿Cu´al es la magnitud y la direcci´on del campo el´ectrico en el origen? Realice el calculo si λ = λ0xx0 , con λ0 y x0 constantes. 25. a) Considere un cilindro con una pared delgada uniformemente cargada con una carga total Q, radio R y una altura h. Determine el campo el´ectrico en un punto a una distancia d del lado derecho del cilindro, como se muestra en la figura 18. b) ¿Qu´e pasar´ıa si? Piense ahora en un cilindro s´olido de las mismas dimensiones y con la misma carga distribuida. 26. Por integrales calcular el campo el´ectrico de un disco, un anillo y un plano infinito. 27. Calcule el campo el´ectrico de las configuraciones mostradas en la figura (19) si: a) Dos l´ıneas con distribuci´on de carga λ. Calcular E en P . b) Dos planos cruzados con distribuci´on de carga σ. Calcular E en P . c) Dos l´ıneas con distribuci´on de carga λ que se cruzan formando un a´ ngulo α. Calcular E en puntos a los argo de una bisectriz del a´ ngulo. 8

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´ ´ PROBLEMAS DE DESARROLLO SIMBOLICO Y NUMERICO

Figura 18. Cilindro cargado.

d) Dos planos cruzados perpendiculares con distribuci´on de carga σ. Calcular E en un punto (x, y) de cualquier cuadrante. e) Un plano con distribuci´on de carga σ atravesado por una linea infinita con distribuci´on de carga λ. Calcular E sobre la lamina a una distancia d de la linea. f) Tres laminas paralelas con distribuci´on de carga σ. Calcular E en todos los puntos. g) Un plano con un agujero de radio R. Calcular el campo el´ectrico en puntos sobre el eje del agujero.

Figura 19. Combinaci´on de distribuciones de carga.

28. Se proyectan protones con una rapidez inicial v0 = 9,55 km on donde est´a presente un campo s en una regi´ ~ = 720 N ,˙ como se muestra en la figura (20). Los protones deben alcanzar un objetivo el´ectrico uniforme E C que se encuentra a una distancia horizontal de 1,27mm del punto por donde los protones atraviesan el plano y entran en el campo el´ectrico. Determine a) el a´ ngulo de inclinaci´on θ que logre el resultado esperado y b) el tiempo de vuelo del proton sobre el plano.

Figura 20. Protones en un campo el´ectrico.

´ ngulo de 35◦ con respecto 29. Suponga que se lanzan electrones con una velocidad inicial v0 = 4 × 106 m s con un a N a la placa inferior. Si el campo el´ectrico es E = 3000 C . Calcule la distancia a la cual chocan los electrones sobre la placa inferior. Ver figura (21) 9

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´ ´ PROBLEMAS DE DESARROLLO SIMBOLICO Y NUMERICO

Figura 21. Carga en un campo el´ectrico.

30. Considere una caja triangular cerrada en reposo dentro de un campo el´ectrico horizontal con una magnitud ectrico a trav´es de cada una de las caras. E = 7,80×104 N C , como se muestra en la figura (22). Calcule el flujo el´

Figura 22. Flujo el´ectrico a trav´es de una caja.

~ = (3ˆι + 2ˆ 31. Un campo el´ectrico uniforme viene dado por E −κ ˆ) N es de un plano de C . Cual es el flujo a trav´ a´ rea 4m2 que se encuentra en el plano yz? Suponga que esa misma a´ rea esta en un lugar de manera que la normal es n ˆ = √13 (ˆι + ˆ + κ ˆ ), cual es el flujo el´ectrico en este caso? ~ = 2ˆι − ˆ + 3ˆ 32. La magnitud y la direcci´on de un campo el´ectrico constante est´an dadas por el vector E κ, donde el campo se mide en N . Cual es el flujo el´ e ctrico que este campo produce a trav´ e s de la superficie mostrada C en la figura 23, que consta de tres caras de dimensiones 0, 2m × 0, 2m.

Figura 23. Flujo el´ectrico a trav´es de una superficie.

33. En un campo el´ectrico uniforme se hace girar una espira de 40cm de di´ametro hasta encontrar la posici´on en 2 la cual existe el m´aximo flujo el´ectrico. El flujo en esta posici´on tiene un valor de 5,2 × 105 NCm . ¿Cu´al es la magnitud del campo el´ectrico? 34. Una pir´amide tetra´edrica esta formada por tri´angulos equil´ateros de lado a. La pir´amide descansa con una cara sobre un plano infinito con distribuci´on de carga σ. Calcule el flujo el´ectrico a trav´es de la cara que descansa sobre el plano. Cual es el flujo a trav´es de cada una de las otras caras? Ver figura (24)

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´ ´ PROBLEMAS DE DESARROLLO SIMBOLICO Y NUMERICO

Figura 24. Flujo el´ectrico a trav´es de una pir´amide.

35. Una carga puntual q se coloca a una distancia perpendicular d2 desde el centro de un cuadrado de tama˜no d × d (ver figura 25). Calcule el flujo el´ectrico a trav´es del cuadrado. Suponga que el cuadrado se hace infinito, en este caso cuanto seria el flujo el´ectrico?

Figura 25. Carga puntual cerca de un plano.

36. Una esfera de radio R rodea una part´ıcula con carga Q, ubicada en su centro. a) Demuestre que el flujo el´ectrico a trav´es de un casquete circular de semi´angulo θ (figura 26) es Φ = 2Q0 [1 − cos(θ)]. ¿Cu´al es el flujo para b) θ = 90◦ y c) θ = 180◦ ?

Figura 26. Flujo el´ectrico a trav´es de un casquete esf´erico.

37. Una carga puntual Q est´a localizada sobre el eje de un disco de radio R una distancia b del plano del disco. Demuestre que √ en el caso de que una cuarta parte del flujo el´ectrico de la carga pasara a trav´es del disco, R ser´ıa igual a 3b. Ver figura (27).

Figura 27. Flujo el´ectrico de una carga a trav´es de un disco.

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´ ´ PROBLEMAS DE DESARROLLO SIMBOLICO Y NUMERICO

38. Una carga puntual positiva Q est´a en el centro de un cubo de arista L. Adem´as, otras seis cargas puntuales negativas id´enticas q est´an colocadas sim´etricamente alrededor de Q como se muestra en la figura (28). Determine el flujo el´ectrico a trav´es de una de las caras del cubo.

Figura 28. Cargas encerradas dentro de un cubo.

39. Considere una carga puntual q situada en el v´ertice de un cubo como se muestra en la figura 29. Cual es el flujo el´ectrico a trav´es de cada cara del cubo?

Figura 29. Carga en el v´ertice de un cubo.

40. Una esfera maciza de radio R tiene una carga Q distribuida uniformemente en su volumen. Se hace un orificio de radio R2 , tal que el centro de hueco este ha una distancia R2 del centro de la esfera maciza ver figura (30). Demuestre que el campo el´ectrico a una distancia r > R del centro de la esfera maciza es: ! Q 1 1 E= −
4π0 r2 8 r − R 2 2

Figura 30. Esfera con un hueco esf´erico.

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´ ´ PROBLEMAS DE DESARROLLO SIMBOLICO Y NUMERICO 41. Calcule el campo el´ectrico de un plano infinito por medio de la ley de Gauss. 42. Una placa de material aislante con dos de sus tres dimensiones infinitas tiene una densidad de carga uniforme positiva ρ. Una vista lateral de la placa se muestra en la figura (31). Demuestre que la magnitud del campo ρx el´ectrico a una distancia x de su centro y en el interior de la placa es E = 0

Figura 31. Plano semiinfinito.

43. Una esfera aislante y s´olida, de radio a, tiene una densidad de carga uniforme ρ y una carga total Q. Colocada en forma conc´entrica a esta esfera existe otra esfera hueca, conductora pero descargada, de radios interno y externo b y c, respectivamente, como se observa en la figura 32. a) Determine la magnitud del campo el´ectrico en todas las regiones. b) Determine la carga inducida por unidad de superficie en las superficies interna y externa de la esfera hueca.

Figura 32. Esferas conc´entricas.

44. Una esfera aislante y s´olida, de radio R, tiene una carga total Q. Colocada en forma conc´entrica a esta esfera existe otra esfera hueca, conductora pero descargada, de radios interno y externo d y D, respectivamente. a) Determine la magnitud del campo el´ectrico en todas regiones. b) Determine la carga inducida por unidad de superficie en las superficies interna y externa de la esfera hueca. 45. Suponga que se tiene una esfera hueca conductora de carga q y radios interno y externo R1 y R2 respectivamente. a) Calcule el campo el´ectrico en todas las regiones. b) Si se introduce una carga puntual q dentro de la esfera hueca, calcular en este caso el campo el´ectrico en todas las regiones y la carga inducida sobre la superficie interna de la esfera. 46. Una esfera se taladra dejando un hueco cil´ındrico de radio b a lo largo de su eje como se muestra en la figura (33). Suponga que la esfera tiene una densidad de carga ρ y radio a. Calcular el campo el´ectrico en el punto P . 13

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´ PROBLEMAS DE APLICACION

Figura 33. Esfera con agujero cil´ındrico.

47. Una c´ascara esf´erica de pl´astico tiene un radio interior a y el radio exterior b como se muestra en la figura 34. La carga el´ectrica se distribuye uniformemente sobre la regi´on entre a y b. La cantidad de carga por unidad de volumen es ρ. Encuentre el campo el´ectrico en todas las regiones. Que pasa si la esfera es conductora?

Figura 34. Esfera hueca.

48. Considere un cilindro macizo de radio R carga Q y longitud l. El cilindro se taladra de tal forma que se realiza un hueco cil´ındrico de radio R4 , el eje del hueco esta a una distancia R2 del eje del cilindro original. Calcular el campo el´ectrico sobre el eje del hueco. 49. Un cilindro aislante de longitud infinita y de
radio R tiene una densidad de carga volum´etrica que var´ıa en funci´on del radio de la forma ρ = ρ0 a − rb . Siendo ρ0 , a y b constantes positivas y r la distancia al eje del cilindro. Utilice la ley de Gauss para determinar la magnitud del campo el´ectrico dentro y fuera del cilindro. ´ 3. PROBLEMAS DE APLICACION 1. El premio Nobel Richard Feynman dijo en alguna ocasi´on que si dos personas se colocaban a la distancia de sus brazos una de la otra y cada una de ellas tuviera 1 % m´as electrones que protones, la fuerza de repulsi´on entre ambos ser´ıa suficiente para levantar un “peso”equivalente al de toda la Tierra. Efect´ue un c´alculo de magnitudes para sustentar esta afirmaci´on. 2. Un electroscopio simple, sirve para detectar y medir cargas el´ectricas. Se compone de dos peque˜nas esferas de corcho, cubiertas con laminas met´alicas, cada una de masa m y est´an colgadas de un hilo de longitud l, como se muestra en la figura (35). Cuando cargas el´ectricas iguales se colocan sobre las bolas, la fuerza de repulsi´on el´ectrica las empuja, logrando que los hilos formen un a´ ngulo θ entre ellos. a) Encontrar una funci´on para la carga en cada esfera. b) Calcule la carga si m = 1,5 × 10−4 kg, l = 10cm y θ = 60◦ . 3. El brazo de balanza de torsi´on de Coulomb fue una varilla con una bola cargada bola en un extremo y un contrapeso en el otro (ver (36)). La longitud del brazo de la balanza es l. Suponga que el sensor est´a a una 14

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´ PROBLEMAS DE APLICACION

Figura 35. Representaci´on del electroscopio.

distancia d en una direcci´on perpendicular al brazo. Si la pelota y el sensor tienen la misma carga q, encuentre una funci´on para el torque sobre la balanza. Si l = 15cm, d = 3cm y q = 2 × 10−9 C cual es el torque?

Figura 36. Brazo de torsion de Coulomb.

4. Suponga que durante una tormenta el´ectrica, la descarga de corona de un pararrayos disipativo en el aire circundante asciende a 1 × 10−4 C de carga positiva por segundo. Si esta descarga pasa m´as o menos de forma constante durante una hora, cu´anta carga el´ectrica fluye fuera de la pararrayos? ¿Cu´antos electrones fluyen en el pararrayos del aire circundante? 5. El experimento de Millikan mide la carga elemental e por la observaci´on del movimiento de peque˜nas gotitas de aceite en un campo el´ectrico. Las gotitas de aceite est´an cargadas con una o varias cargas elementales, y si el de campo el´ectrico tiene la magnitud correcta, la fuerza el´ectrica sobre la gotita equilibrar´a su peso, y la mantiene suspendida en el aire. Suponer que una gotita de aceite de radio de 1 × 10−4 cm lleva una sola carga g elemental, cual es el campo el´ectrico para equilibrar el peso? La densidad del aceite es 0, 80 cm 3. 6. Una aver´ıa el´ectrica (chispas) se produce en el aire si el campo el´ectrico alcanza 3 × 106 N C . En esta intensidad de campo, los electrones libres presente en la atm´osfera se aceleran r´apidamente a altas velocidades, tal que al chocar con los a´ tomos liberan electrones. De ese modo se generan una avalancha de electrones. A que distancia debe moverse un electron libre bajo la influencia del campo el´ectrico, para alcanzar una energ´ıa cin´etica de 3 × 10−19 J (que es suficiente para producir ionizaci´on)? 7. En un tubo de rayos cat´odicos, un haz de electrones (el rayo cat´odico) es desviado en una regi´on de campo el´ectrico en su camino hacia una pantalla fluorescente, como se muestra en la figura (37). Considere la disposici´on de placa paralela en la figura, y suponga que el campo el´ectrico E = 400 N C es uniforme entre las placas y que E = 0 fuera de las placas. El haz de electrones se inyecta horizontalmente con velocidad v0 = 5 × 106 m s . Si la anchura de la placas es L = 40cm. ¿que distancia vertical y1 se desv´ıa el haz a salir de las placas? Si la distancia desde el final de las placas a la pantalla es D = 12cm, ¿cu´al es la total desviaci´on vertical al llegar a la pantalla? 8. El tubo de un contador Geiger consiste en un fino alambre conductor de radio r ubicado a lo largo del eje de un cascaron cil´ındrico de radio R ver figura (38). El alambre y el cilindro tienen cargas iguales y opuestas de q distribuida a lo largo de su longitud l. Encontrar una f´ormula para el campo el´ectrico en el espacio entre el 15

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´ PROBLEMAS DE APLICACION

Figura 37. Tubo de rayos cat´odicos.

alambre y el cilindro. Si r = 1,3 × 10− cm, q = 7,2 × 10−10 C y l = 9cm cual es la magnitud del campo el´ectrico en la superficie del alambre?

Figura 38. Tubo de un contador Geiger.

9. De acuerdo a un modelo tosco, el neutron consiste en un n´ucleo de carga positiva rodeado por una c´ascara de carga negativa. Supongamos que la carga positiva tiene una magnitud e y esta distribuida uniformemente sobre una esfera de radio 0,50 × 1015 m; adem´as que la carga negativa tiene una magnitud −e y esta distribuida uniformemente sobre una concha conc´entrica de radio interior 0,5 × 10−15 m y radio exterior 1 × 10−15 m (figura 39). Encuentra la magnitud y direcci´on del campo el´ectrico en r = 1 × 10−15 m, r = 0, 75 × 10−15 m, r = 0, 5 × 10−15 m y r = 0, 25 × 10−15 m del centro.

Figura 39. Modelo de un neutr´on.

10. Para medir la magnitud de un campo el´ectrico horizontal, un experimentador fija una peque˜na bola de corcho a una cadena y suspende este dispositivo en un campo el´ectrico. La fuerza el´ectrica empuja la pelota hacia un lado, y la pelota alcanza el equilibrio cuando la cadena forma un a´ ngulo θ con la vertical (v´ease la figura 40). La masa de la bola es m, y la carga en la pelota es Q. Encuentre una expresi´on para el campo el´ectrico. Suponga que m = 3 × 10−5 kg, θ = 30◦ y Q = 4 × 10−7 C, cual es la magnitud del campo el´ectrico?

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´ BIBLIOGRAFIA

Figura 40. M´etodo para medir campo el´ectrico.

4. Bibliograf´ıa 1. F´ısica de Alonso y Finn. Tomo 2. Campos y Ondas 2. F´ısica para ingenier´ıas Serway. Volumen 2. 7 edici´on. 3. F´ısica para ingenier´ıas Hans Ohanian. Volumen 2. 3 edici´on. ´ EXITOS

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