Modelos de probabilidad

Modelos de probabilidad

Proceso de Bernoulli

Objetivos del tema:

Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución Geométrica

Al final del tema el alumno será capaz de:

Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial


Comprender las hipótesis de las distintas distribuciones presentadas Distribución Normal La Normal como aproximación de otras distribuciones


Seleccionar la distribución discreta o continua correcta en aplicaciones específicas

Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher


Calcular probabilidades, determinar medias y varianzas para las distribuciones más comunes

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2

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Modelos de probabilidad

Proceso de Bernoulli

Proceso de Bernoulli Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución Geométrica

Cuando un experimento tiene las siguientes características: Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A) Defectuoso (D)

Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial

La proporción de A y D es constante en la población y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada

Distribución Normal La Normal como aproximación de otras distribuciones

Pr( D) = p Pr( A) = q = 1 − p

Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher

Las observaciones son independientes

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3

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4

Proceso de Bernoulli

Proceso de Bernoulli

Cuando un experimento tiene las siguientes características: Ejemplos Sólo hay dos resultados posibles: Aceptable (A) Defectuoso (D)

Observar el resultado al lanzar una moneda

La proporción de A y D es constante en la población y no se modifica cualquiera que sea la cantidad observada

Si una pieza es defectuosa o no en un proceso de fabricación Observar el sexo de un recién nacido

Pr( D) = p Pr( A) = q = 1 − p

Si se transmite correctamente un bit a través de un canal digital

Las observaciones son independientes 5

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6

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Proceso de Bernoulli

Proceso de Bernoulli

Distribución de Bernoulli

Distribución Binomial

0 si el suceso no ocurre A → q = 1 − p = Pr( X = 0) X = si el suceso ocurre A → p = Pr( X = 1) 1



Si se repite un número fijo de veces, n, un experimento de Bernoulli con parámetro p, el número de éxitos sigue una distribución Binomial de parámetros (n,p). X = Número de veces que ocurre un suceso en las n pruebas

La función de probabilidad es:

p ( x) = p x (1 − p )1− x

X ~ B ( n, p )

x = 0,1

X toma valores 0,1,2,…,n

µ = E [ X ] = 0 × (1 − p ) + 1× p = p σ = Var [ X ] = (0 − p) 2 (1 − p) + (1 − p) 2 p = p(1 − p) Estadística, Profesora. María Durbán

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Proceso de Bernoulli

Proceso de Bernoulli n=5

La función de probabilidad es:

n P( X = r ) =   p r (1 − p) n − r , r = 0,1,K , n r n=25

E [ X ] = np

p=0.75

p=0.5

p=0.2

Var [ X ] = np (1 − p ) 9

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Proceso de Bernoulli

Proceso de Bernoulli

Ejemplo

Ejemplo

Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.

Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.

¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?

¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?

X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato

X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato

Pr( X = 0)

Experimento: Observar si un circuito es defectuoso o no. Se repite 40 veces Son independientes La probabilidad de ser defectuoso es constante, 0.01

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Proceso de Bernoulli

Proceso de Bernoulli

Ejemplo

Distribución Geométrica Cuando un experimento tiene las siguientes características:

Un aparato electrónico contiene 40 circuitos integrados. La probabilidad de que un circuito sea defectuoso es 0.01 y los circuitos son independientes. El producto funciona sólo si no hay ningún circuito defectuoso.

Sólo hay dos resultados posibles La probabilidad de éxito se mantiene constante

¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?

Las observaciones son independientes

X = Número de circuitos defectuosos en los 40 de un aparato

Se repite el experimento hasta que ocurre el primer éxito

X ~ B(40, 0.01)

X = Número de veces que hay que repetir el experimento hasta conseguir el primer éxito

 40  Pr( X = 0) =   0.010 (1 − 0.01) 40 = 0.669 0

X ~ Ge( p ) 13

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Proceso de Bernoulli

Proceso de Bernoulli

Distribución Geométrica

Distribución Geométrica

X i i = 1,.....n son Bernoulli X1

X2

X3

X4 L

↓ 1

↓

↓

↓

0

1

0 0

0 0

1 0

1

X i i = 1,.....n son Bernoulli X

X1

X2

X3

X4 L

↓ 1

↓

↓

↓

⇒

↓ X =1

⇒

X =2

0

1

0 0

0 0

⇒ ⇒

Pr ( X = 1) = p

Pr ( X = 2 ) = qp

X = 3 Pr ( X = 3) = qqp X = 4 Pr ( X = 4 ) = qqqp

1 0

1

X ⇒

↓ X =1

⇒

X =2

⇒ ⇒

Pr ( X = 1) = p

Pr ( X = 2 ) = qp

X = 3 Pr ( X = 3) = qqp X = 4 Pr ( X = 4 ) = qqqp

E [ X ] = 1/ p

La función de probabilidad es:

P( X = r ) = (1 − p ) r −1 p, r = 1, 2, K Estadística, Profesora. María Durbán

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Var [ X ] = (1 − p ) / p 2 15

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Proceso de Bernoulli

Proceso de Bernoulli

Distribución Geométrica

Ejemplo

p ( x ) = Pr ( X = x ) = (1 − p) x −1 p

La probabilidad de que un bit transmitido a través de un canal de transmisión digital sea recibido como un error es 0.1. Si las transmisiones son independientes, ¿Cuál es el número medio de transmisiones que hemos de observar hasta que ocurre el primer error? X = Número de transmisiones que hay que observar hasta encontrar el primer error

E [ X ] = 1/ p = 1/ 0.1 = 10 17

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Modelos de probabilidad

Proceso de Poisson

Proceso de Bernoulli

Cuando un experimento tiene las siguientes características:

Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución Geométrica

Se observa la ocurrencia de sucesos en un intervalo

Proceso de Poisson

La probabilidad de que ocurra un suceso en un intervalo

Distribución de Poisson Distribución Exponencial

Es la misma para los intervalos del mismo tamaño Es proporcional a la longitud del intervalo

Distribución Normal La Normal como aproximación de otras distribuciones

Los sucesos ocurren de forma independiente. El número de sucesos que ocurren en un intervalo es independiente del número de sucesos que ocurren en otro intervalo

Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher

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Proceso de Poisson

Proceso de Poisson

Distribución de Poisson

Distribución de Poisson

La función de probabilidad es:

X = Número de sucesos en un intervalo de longitud fija La distribución de Poisson se puede obtener como límite de una Binomial cuando n → ∞ y p → 0

λ = np →

P( X = r ) = ∞

Número medio de sucesos en ese intervalo

e− λ λ r , r = 0,1, K r!

E[X ] = λ → E[X ] = ∑r Var [ X ] = λ

0

∞ e−λ λ r λ r −1 = λ e−λ ∑ =λ r! 1 ( r − 1)!

X ~ P(λ1 ) Y ~ P(λ2 ) independientes X + Y ~ P(λ1 + λ2 ) 21

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Proceso de Poisson

Proceso de Poisson Distribución de Poisson

Ejemplos Número de defectos en un milímetro de cable. Número de llamadas de teléfono que se reciben en una centralita en una hora. Número de erratas por página en un documento

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Proceso de Poisson

Proceso de Poisson

Ejemplo

Ejemplo

El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto.

El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto.

¿Cuál es la probabilidad de que no lleguen clientes en 3 minutos?

Mantener el citado puesto de servicio abierto 8 horas al día cuesta 6000 euros diarios. ¿Cuál debe ser el precio mínimo que se cobre a cada cliente para que sea rentable?

X = Número de clientes por minuto → X ~ P (λ = 1)

Y = Número de clientes en 8 horas → Y ~ P (λ = 60 × 8 = 480)

Y = Número de clientes en 3 minutos → Y ~ P (λ = 3)

Beneficio = Tarifa x Y -6000

Pr(Y = 0) =

−3 0

e 3 = e−3 0!

Beneficio Esperado = Tarifa × E [Y ] − 6000 > 0 = Tarifa × 480 − 6000 > 0 25

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Proceso de Poisson

Distribución de exponencial

Distribución de exponencial X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo X ~ P (λ )

Tiempo entre llamadas telefónicas Tiempo entre llegadas a un puesto de servicio Tiempo de vida de un componente eléctrico

T = Tiempo hasta que ocurre el primer suceso

M

Podemos calcular su función de distribución:

P (T > t0 ) = P(cero sucesos en (0,t 0 ))

Cuando el número de sucesos sigue una distribución de Poisson, el tiempo entre sucesos sigue una distribución exponencial

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26

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Proceso de Poisson

La distribución exponencial se puede utilizar para modelizar

Tarifa > 12.5

X= Número de sucesos en una unidad de tiempo X ~ P (λ ) Y = Número de sucesos en (0,t0) Y ~ P (λt0 )

27

P (T > t0 ) = Pr(Y = 0) = e − λt0 F (t0 ) = P (T ≤ t0 ) = 1 − e − λt0 Estadística, Profesora. María Durbán

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Proceso de Poisson

Proceso de Poisson

f ( x ) = λ e−λ x

Distribución de exponencial X = Numero de sucesos en la unidad de tiempo X ~ P (λ ) T = Tiempo entre dos sucesos consecutivos f ( x) = 2e −2 x

dF (t ) = λ e − λt , t ≥ 0 dt

f (t ) = E [ X ] = 1/ λ

f ( x) = 0.5e −0.5 x

f ( x ) = 0.1e −0.1x

Si hay λ sucesos por término medio en un intervalo de tiempo

Var [ X ] = 1/ λ 2

El tiempo medio entre dos sucesos es 1/λ 29

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Proceso de Poisson

Proceso de Poisson

Ejemplo

Propiedad

El proceso de llegadas de clientes a un puesto de servicio se produce de manera estable e independiente. Por término medio llega un cliente cada minuto.

Pr(T > t1 +t 2 | T > t1 ) = Pr( T > t 2 )

¿Cuál es la probabilidad de que pasen más de 3 minutos entre la llegada de dos clientes? X = Número de clientes por minuto → X ~ P (λ = 1) T = Tiempo entre dos clientes

Pr(T > t1 +t 2 I T > t1 ) Pr( T > t1 +t 2 ) e − λ (t1 +t 2 ) = − λ t1 = e − λt2 = e Pr( T > t1 ) Pr( T > t1 )

→ T ~ Exp (λ = 1)

Pr(T > 3) = 1 − Pr(T ≤ 3) = 1 − F (3) = 1 − (1 − e

−1×3

)=e

−3

Pr(Y > 7 | Y > 4) = Pr(Y > 3) = 1 − F (3) = e−3

= Pr(No haya clientes en 3 minutos) Estadística, Profesora. María Durbán

Si no ha habido clientes en 4 minutos, ¿cuál es la probabilidad de que no haya clientes en los próximos 3 minutos?

31

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32

Modelos de probabilidad

Distribución Normal

Proceso de Bernoulli Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución Geométrica

La distribución Normal describe gran cantidad de procesos aleatorios

Proceso de Poisson Distribución de Poisson Distribución Exponencial

Errores de medida Ruido en una señal digital Corriente eléctrica en un trozo de cable …

Distribución Normal La Normal como aproximación de otras distribuciones Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher

En muchas situaciones otras distribuciones se pueden aproximar a una Normal Es la base para la inferencia estadística

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Distribución Normal

Distribución Normal Tiene forma de campana y es simétrica respecto de la media

Está caracterizada por dos parámetros: La media, µ, y la desviación típica, σ. N ( µ , σ )

f ( x) Toma valores en toda la recta real La media, mediana y moda coinciden

Su función de densidad es:

1 f ( x) = e 2π σ E[ X ] = µ

− ( x − µ )2 2σ 2

−∞ < x < ∞

µ

Var[ X ] = σ 2 0.5

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0.5 36

Distribución Normal

Distribución Normal

El efecto de µ y σ ¿Cómo afecta la deviación típica la forma de f(x)?

La probabilidad es el área bajo la curva

Es un factor de escala

σ= 2

Pr(c ≤ X ≤ d)

σ =3 σ =4

f(x)

No es posible calcular la probabilidad de un intervalo simplemente usando la integral de la función de densidad

¿Cómo afecta el valor esperado a la posición de f(x)? µ = 10 µ = 11 µ = 12 Es un factor de traslación

c 37

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X → Z =

X −µ

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Distribución Normal

Densidad de (X-µ)/σ

σ

x

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Distribución Normal Todas las distribuciones normales se pueden transformar en N(0,1)

d

X ~ N (3, 2) Densidad de X-µ

Densidad de X 3

6

Pr( X ≤ 6) Z ~ N (0,1) Mismoº área

σ

1 µ

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0

39

1.5 6−3 0  Pr  Z ≤ Pr( 1.5) = Z ≤  2   Estadística, Profesora. María Durbán

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40

Distribución Normal

Distribución Normal Ejemplo

La función de distribución de la Normal estándar tiene una notación propia:

El tiempo de vida de un semiconductor sigue una distribución Normal con media 7000 horas y desviación típica 600 horas

F ( x) = Pr( X ≤ x) = φ ( x)

¿Cuál es la probabilidad de que el semiconductor falle antes de 6000 horas?

Q( x) = Pr( X > x) = 1 − φ ( x)

¿Qué tiempo de vida en horas es excedido por el 95.05% de los semiconductores?

Pr( X < 6000)

Q(− x) = 1 − Q( x) Existen ciertas cotas para la función Q que se utilizan para calcular cotas en error de probabilidad de varios sistemas de comunicaciones 1 − x2

Pr( X > a ) = 0.9505

2

Q( x) ≤ e 2

x≥0 2

Q( x)
30

N 15, 10.5

npq > 5

)

0.00 5.000

7.625

10.250 12.875 15.500 18.125 20.750 23.375 26.000 x

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60

La Normal como aproximación de otras distribuciones

La Normal como aproximación de otras distribuciones

Factor de corrección

Ejemplo Un fabricante de semiconductores admite que produce un 2% de chips defectuosos. Los chips se empaquetan en lotes de 2000 chips para su venta. Un comprador rechazará un lote si contiene 25 o más chips defectuosos

La distribución Normal es continua pero la Binomial es discreta. Para mejorar la aproximación introducimos un factor de corrección que consiste en añadir o substraer 0.5 al valor al que le queremos calcular la probabilidad.

¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote?

 x + 0.5 − np  Pr( X ≤ x) = Pr( X ≤ x + 0.5) ≅ Pr  Z ≤   np (1 − p )    x − 0.5 − np  Pr( x ≤ X ) = Pr( x − 0.5 ≤ X ) ≅ Pr  ≤Z  np (1 − p )   

n > 30 np = 40 np (1 − p) = 39.2 61

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Pr ( X ≥ 25)

X ~ B(2000, 0.02)

La Normal como aproximación de otras distribuciones

X ≈ N (40, 6.26)

↓ 25 − 40 − 0.5   Pr Z ≥  6.26   = Pr (Z ≥ −2.47 ) = Pr (Z ≤ 2.47 ) = 0.9932 62

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La Normal como aproximación de otras distribuciones

Poisson-Normal

Poisson-Normal

La distribución de Poisson surge como límite de la Binomial cuando el número de experimentos tiende a infinito. Aproximamos a una Normal cuando λ grande (λ > 5)

X ~ P (λ )

(

X ≈ N λ, λ

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) 63

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Modelos de probabilidad

La Normal como aproximación de otras distribuciones

Proceso de Bernoulli

Ejemplo

Distribución de Bernoulli Distribución Binomial Distribución Geométrica

El número de defectos en la superficie de un material por metro cuadrado sigue una distribución de Poisson con media 100.

Proceso de Poisson

Si se analiza un metro cuadrado de dicho material, ¿Cuál es la probabilidad de encontrar 95 defectos o más?

Distribución de Poisson Distribución Exponencial Distribución Normal La Normal como aproximación de otras distribuciones

Pr ( X ≥ 95)

Distribuciones relacionadas con la Normal Distribución χ2 de Pearson Distribución t de Student Distribución F de Fisher

↓ 95 − 100 − 0.5   Pr  Z ≥  = Pr (Z ≥ −0.55) = Pr (Z ≤ 0.55) = 0.7088 10  

65

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Distribuciones relacionadas con la Normal

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Distribuciones relacionadas con la Normal

χ g2

χ g2 Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.

La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos.

La función de densidad es asimétrica positiva. Sólo toma valores positivos.

La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el número de grados de libertad.

La función de densidad se hace más simétrica cuando aumenta el número de grados de libertad.

g  X −µ  2 Y = ∑ i =1  i  ~ χg  σ  2

E [Y ] = g

0.4 0.3

Var [Y ] = 2 g

0.0

0.1

independientes

σ

2 grados de libertad 3 grados de libertad 4 grados de libertad 5 grados de libertad

f(x)

X i ~ N (µ ,σ )

 Xi − µ  2   ~ χ1  σ  2

~ N (0,1)

0.2

Xi − µ

0.5

Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad.

0

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5

10

15 x

20

25

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Distribuciones relacionadas con la Normal

Distribuciones relacionadas con la Normal

t de Student

t de Student Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. La función de densidad es simétrica positiva respecto al 0. Toma valores en toda la recta real. La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el número de grados de libertad. 0.4

Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. La función de densidad es simétrica respecto al 0. Toma valores en toda la recta real. La función de densidad se aproxima a una N(0,1) cuando aumenta el número de grados de libertad.

5 grados de libertad 20 grados de libertad 100 grados de libertad

Z ~ N (0,1) Y ~ χ g2

f(x)

Z Y/g

0.0

0.1

tg =

0.2

0.3

Se obtiene como el cociente entre dos variables:

69

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Distribuciones relacionadas con la Normal F de Fisher Tiene un dos parámetros denominados grados de libertad. La función de densidad es asimétrica. Sólo toma valores positivos.

Se obtiene como el cociente entre dos variables:

Fg1 , g2 =

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X / g1 Y / g2

X ~ χ g21 Y ~ χ g22

71

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-10

-5

0 x

5

70