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LECTURA 11: NOCIONES DE PROBABILIDAD (PARTE II)

REGLAS DE PROBABILIDAD Y TABLAS DE PROBABILIDAD TEMA 22: REGLAS DE PROBABILIDAD Estudiaremos la probabilidad del producto y de la suma. 1. PROBABILIDAD DEL PRODUCTO: P(A∩B) Se utiliza para calcular la probabilidad conjunta o simultánea de dos o más eventos. A

B

Ω

P(A ∩ B) Se toman en cuenta dos aspectos: a) Que los eventos A y B sean dependientes, Entonces la ocurrencia conjunta de los eventos es: P(A ∩ B) = P(A) × P(B / A) b)

Que los eventos A y B sean independientes, se debe cumplir: P(A / B) = P(A) Entonces la ocurrencia simultánea de los eventos independientes A y B es: P( A ∩ B) = P( A) × P( B)

2. PROBABILIDAD DE LA SUMA: P(A∪B) Se usa cuando se desea averiguar la probabilidad de ocurra al menos un evento. Se toma en cuenta dos aspectos: a) Que los eventos sean traslapados o unidos: P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B )

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A

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B P(A ∩ B) ≠ 0

Si A y B son independientes, entonces: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A) × P(B) b)

Que los eventos A y B sean mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra A ó B es: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) A

B

P(A ∩ B) = 0

3. PROBABILIDAD CONDICIONAL Es utilizada cuando se desea conocer la probabilidad de ocurrencia de un evento condicionado a la ocurrencia previa de otro evento. Se calcula mediante la fórmula: P( A / B) =

P(A ∩ B) con P(B) ≠ 0 P(B)

El símbolo / se lee: DADO, SI y expresa condición.

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Donde: P(A/B) se lee: Probabilidad deque ocurra el evento A, dado que el evento B ya ha ocurrido. Ejemplo 1: Se ha determinado que la probabilidad de televidentes que ven los programas A y B son respectivamente 0.40 y 0.5. Cada televidente ve los programas independientes uno del otro. Si se elige al azar uno de tales televidentes ¿Qué probabilidad hay de que vea ambos programas? Solución: A: Televidentes que ven el programa A.

P(A) = 0.4

B: Televidentes que ven el programa B.

P(B) = 0.5

A∩B: Televidentes que ven el programa ambos programas. A y B son independientes

P(B∩A) = P(A) x P(B) = 0.2

Gráficamente observamos:

P(A) = 0.4

P(B) = 0.5 0.2

P(A ∩ B)

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La probabilidad de que los televidentes vean ambos programas es 0.2. Ejemplo 2: Los alumnos del II ciclo de Ingeniería de Sistemas tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra practica en la signatura de estadística. La probabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebe la práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno no apruebe ninguno de los exámenes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno apruebe solamente la parte teórica? c) ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno apruebe al menos uno de los cursos? Solución: Sean los eventos: T : El alumno aprueba la parte teórica. C : El alumno aprueba la parte práctica. T∩C :

P(T) = 0.6 P(C) = 0.8

El alumno apruebe la parte teórica y la parte práctica. P(T∩C) = 0.5

P(A) = 0.60

P(B) = 0.80 P(A ∪ B) = 0.90

P(A − B)

0.10

0.5

0.30

P(B − A)

P(A ∩ B) P(A ∪ B) = 0.1

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a)

P(A ∪ B) = P(A ∩ B) = 0.1

b)

P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B)

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P(A − B) = 0.10 c)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) P(A ∪ B) = 0.6 + 0.8 − 0.5 P(A ∪ B) = 0.9

Ejemplo 3: Si P(A)= 3/5,

P(B) = 3/6

y P(A∩B) = 1/4

Calcular: a) P(B)

b) P(A − B)

d) P ( B ∪ A)

e) P(A / B)

c) P( A ∪ B)

Solución:

P(A) = 0.6

P(B) = 0.5 P(A ∪ B) = 0.85

P(A − B)

0.25

0.35

0.25

P(B − A) P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 0.15

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a)

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P(B) = 1 − P(B) P(B) = 1 − 0.5 P(B) = 0.5

b)

P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B) P(A − B) = 0.6 − 0.25 P(A − B) = 0.35

c)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) P(A ∪ B) = 0.6 + 0.5 − 0.25 P(A ∪ B) = 0.85

d)

P(B ∪ A) = P(A ∪ B) P(A ∪ B) = 1 − P(A ∪ B) P(A ∪ B) = 1 − 0.85 P(A ∪ B) = 0.15

e)

P(A / B) =

P(A ∩ B) P(B)

P(A / B) =

0.25 0.5

P(A / B) = 0.50

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Ejemplo 4: Si P(A) = 1/5 y P(B) = 1/4 y los eventos A y B son independientes, hallar: a) P(A ∩ B)

b) P( A ∪ B)

d) P(B − A)

e) P ( A ∩ B)

c) P(A / B)

Solución:

P(A) = 0.2

P(B) = 0.25 P(A ∪ B) = 0.45

P(A − B)

0.05

0.15

0.20

P(B − A) P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 0.55

a)

b)

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) P(A ∩ B) = 0.2 × 0.25 P(A ∩ B) = 0.05 P(A ∪ B) = 1 − P(A ∪ B) P(A ∪ B) = 1 − 0.45 P(A ∪ B) = 0.55

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c)

P(A / B) =

P(A ∩ B) P(B)

P(A / B) =

0.05 0.2

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P(A / B) = 0.25

d) P(B − A) = P(B) − P(A ∩ B) P(B − A) = 0.25 − 0.05 P(B − A) = 0.20 e) P(A ∩ B) = P(A ∪ B) = 1 − P(A ∪ B) P(A ∪ B) = 1 − 0.45 P(A ∪ B) = 0.55 Ejemplo 5: En la Escuela de Administración de Empresas, 3 de 4 estudiantes saben informática, el 50% saben manejar Windows y el 30% saben manejar Linux. a) ¿Que porcentaje saben manejar los dos sistemas? b) ¿Que porcentaje sabe manejar solamente Windows? c) ¿Que porcentaje sabe manejar solamente Linux? d) ¿Que porcentaje no saben informática? Solución: Análisis: i) Se sabe que 3 de 4 estudiantes saben informatica, lo que quiere decir que: P(A ∪ B) = 0.75

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ii) Entonces 1 de 4 estudiantes no saben informática, lo que quiere decir: P(A ∪ B) = 0.25 iii) El 50% saben manejar windows, lo que quiere decir: P(A) = 0.5

iii) El 30% saben manejar linux, lo que quiere decir: P(B) = 0.3 iv) ¿Cuántos manejan ambos programas? P(A ∩ B) = ? Sabemos que: P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) P(A ∩ B) = 0.5 + 0.3 − 0.75 P(A ∩ B) = 0.05 P(A) = 0.5

P(B) = 0.3 P(A ∪ B) = 0.75

P(A − B)

0.05

0.45

0.25

P(B − A)

P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 0.25

a)

P(A ∩ B) = P(A) + P(B) − P(A ∪ B) P(A ∩ B) = 0.5 + 0.3 − 0.75 P(A ∩ B) = 0.05

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El 5% de los estudiantes saben manejar los dos sistemas. b)

P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B) P(A − B) = 0.5 − 0.05 P(A − B) = 0.45 El 45% de los estudiantes saben manejar solamente windows.

c) P(B − A) = P(B) − P(A ∩ B) P(B − A) = 0.3 − 0.05 P(B − A) = 0.25 El 25% de los estudiantes saben manejar solamente linux. d)

P(A ∪ B) = 0.25 El 25% de los estudiantes no saben informática.

Ejemplo 6: El 40% de las empresas de una ciudad realizan su publicidad a través de la TV. el 20% a través de Internet y el 15% en ambos medios de comunicación. a) ¿Cuál es la probabilidad que una empresa realice su publicidad en al menos uno de los medios de comunicación? b) ¿Cuál es la probabililidad de que una empresa haga su publicidad solamente en la TV.? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una empresa no realice publicidad en ninguno de los medios de comunicación? d) ¿Son los dos eventos mutuamente excluyentes? e) ¿Son los dos eventos independientes estadísticamente? f) ¿Son los eventos colectivamente exhaustivos?

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Solución: Sean los eventos: A : La empresas realizan su publicidad en la TV. P(A) = 0.4 B : La empresas realizan su publicidad por Internet. P(B) = 0.2 A∩B :

La empresas realizan su publicidad en ambos medios de comunicación. P(A∩Β) = 0.15

P(A) = 0.4

P(B) = 0.2 P(A ∪ B) = 0.45

P(A − B)

0.15

0.25

0.05

P(B − A)

P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 0.55

a)

b)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) P(A ∪ B) = 0.4 + 0.2 − 0.15 P(A ∪ B) = 0.45 P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B) P(A − B) = 0.4 − 0.15 P(A − B) = 0.25

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c)

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P(A ∪ B) = 1 − P(A ∪ B) P(A ∪ B) = 1 − 0.45 P(A ∪ B) = 0.55

d) Para que los eventos sean mutuamente excluyentes se debe cumplir lo siguiente: P(A ∩ B) = 0 pero P(A ∩ B) = 0.15 ≠ 0 e) Para que los eventos sean independientes estadísticamente se debe cumplir lo siguiente: P(A ∩ B) = P(A) × P(B) P(A ∩ B) = 0.4 × 0.2 P(A ∩ B) = 0.08 pero P(A ∩ B) = 0.15 ≠ 0.08 P(A ∩ B) = 0.05 Por lo tanto los eventos no son independientes estadísticamente. f) Para que los eventos sean colectivamente exhautivos: A∪ B = Ω pero Ω = A ∪ B ∪ (A ∪ B) por lo tan to : A∪ B ≠ Ω Los eventos A y B no son colectivamente exhautivos.

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Ejemplo 7: Se sabe que la probabilidad de que una persona viaje al Perú en la linea aérea TACA es de 0.7 y de que viaje en la linea aérea STARPERU de 0.5. (Eventos Independientes). a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona viaje al Perú en ambas líneas aéreas. b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona viaje solo en la linea aérea TACA. c) ¿Cuál es la probabilidad de una persona viaje en al menos una de las líneas aéreas? Solución: Sean los eventos: A : Las personas viajan al Perú en la linea aérea TACA. P(A) = 0.7 B : Las personas viajan al Perú en la linea aérea STARPERU. P(B) = 0.5 A∩B :

Las personas viajan al Perú en ambas lineas aéreas. P(A∩Β) = 0.35

P(A) = 0.7

P(B) = 0.5 P(A ∪ B) = 0.85

P(A − B)

0.35

0.35

0.05

P(B − A)

P(A ∩ B)

P(A ∪ B) = 0.15

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a)

P(A ∩ B) = P(A) × P(B) P(A ∩ B) = 0.7 × 0.5 P(A ∩ B) = 0.35

b)

P(A − B) = P(A) − P(A ∩ B) P(A − B) = 0.7 − 0.35 P(A − B) = 0.35

c)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) P(A ∪ B) = 0.7 + 0.5 − 0.35 P(A ∪ B) = 0.85

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TEMA 23: TABLAS DE PROBABILIDAD 1. TABLAS DE PROBABILIDAD.- Son aquellas que se obtienen a través de las tablas de contingencia aplicando los criterios dados. La siguiente Tabla N° 34 de probabilidades muestra las probabilidades conjuntas y marginales para una Tabla de Contingencia de manera general: Tabla N° 34 P(Bj)

P(B1)

P(B2)

P(Ai) P(A1) P(A2) . . .

P(A1∩B1) P(A2∩B1) . . .

P(A1∩B1) P(A2∩B2) . . .

P(Ar) Total

P(Ar∩B1) P(B1)

P(Ar∩B2) P(B2)

......

P(BK)

Total

...... ...... . . . ...... ......

P(A1∩BK) P(A2∩BK) . . .

P(A1) P(A2) . . .

P(Ar∩BK) P(BK)

P(Ar) 1

Ejemplo 1: Se llevó acabo una encuesta con respecto a la preferencia del consumidor respecto a tres marcas competitivas de computadoras (A, B y C) y la modalidad de Speedy para el uso del Internet en su hogar, los resultados se muestran en la siguiente tabla:

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Tabla N° 35 MODALIDAD SPEEDY MARCA DE COMPUTADORA A B C TOTAL

SPEEDY 200

SPEEDY 400

SPEEDY 600

100 300 200 600

200 250 300 750

300 400 450 1150

TOTAL 600 950 950 2500

Si se elige un consumidor al azar, calcular la probabilidad de que a) Prefieran la modalidad Speedy 400. b) Prefiere la computadora de marca A. c) Prefiera computadora de marca B y la modalidad Speedy 600. d) Prefiera la computadora de marca C, si la modalidad Speedy 200 e) Prefieran la modalidad Speedy 200, si la computadora es de marca A. f) Prefiera la computadora de la marca A o B. Solución: Tabla N° 36 MARCA DE COMPUT. P(A) P(B) P(C) TOTAL

P(200) 100/2500=0.04 300/2500=0.24 200/2500=0.08 600/2500=0.24

MODALIDAD SPEEDY P(400) 200/2500=0.08 250/2500=0.12 300/2500=012 750/2500=0.30

TOTAL

P(600)

300/2500=0.12 600/2500=0.24 400/2500=0.16 950/2500=038 450/2500=0.18 950/2500=0.38 1150/2500=0.46 1.00

a) P(400)=0.30 El 30% de los consumidores prefieren la modalidad Speedy 400. b) P(A)=0.24 El 24% de los consumidores prefieren la computadora de la marca A. c) P(B∩600)=0.16 El 16% de los consumidores prefieren la computadora de la marca B y la modalidad Speedy 600.

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d) P(C / 200) =

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P(C ∩ 200) 0.08 = = 0.33 P(200) 0.24

El 33% de los consumidores que prefieren la modalidad Speedy 200, prefieren la computadora la computadora de la marca C. e) P(200 / A) =

P( 200 ∩ A) 0.04 = = 0.17 P( A ) 0.24

El 17% de los consumidores que prefieren la computadora de la marca A prefieren la modalidad Speedy 200. f)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) = 0.24 + 0.38 = 0.62 El 62% de los consumidores prefieren la computadora de la marca A o marca B.

Ejemplo 2: Una empresa que fabrica cámaras de video produce un modelo básico y un modelo de lujo. El año pasado, 40% de las cámaras vendidas han sido del modelo básico. De los compradores del modelo básico, 35% compran una garantía ampliada, mientras que 50% de los compradores de lujo también lo hacen así. Se pide: a) Construir la tabla de probabilidad. b) Si elige un comprador al azar, calcular la probabilidad de que: b.1) Tenga una cámara de video de un modelo de lujo. b.2) Tenga una cámara de video de un modelo de lujo, si tiene una garantía ampliada. b.3) Tenga una cámara de video de un modelo de básico y compre una garantía ampliada. b.4) Compre una garantía ampliada, si la cámara de video es de modelo de lujo. Solución: a) Construyendo la tabla de probabilidad: B: El comprador compra una cámara de video de modelo básico. P(B)=0.40 L: El comprador compra una cámara de video de modelo de lujo. P(L)=0.60 A: El comprador compra una garantía ampliada. ____________________________________________ Elaborado por Fecha Versión

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A : El comprador no compra una garantía ampliada. Además i) P(A / B) = 0.35 P(A / B) =

P(A ∩ B) P(B)

Entonces : P(A ∩ B) = P(B) × P(A / B) P(A ∩ B) = 0.40 × 0.35 P(A ∩ B) = 0.14

ii)

P(A / L) = 0.50 P(A / L) =

P(A ∩ L) P(L)

Entonces : P(A ∩ L) = P(L) × P(A / L) P(A ∩ L) = 0.60 × 0.50 P(A ∩ L) = 0.30

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A través de las operaciones realizadas se obtiene la siguiente tabla de probabildad: Tabla N° 37 Modelo P(B) P(L) Garantía Total P(A) 0.14 0.30 0.44 P( A )

0.26

0.30

0.56

Total

0.40

0.60

1.00

b) Hallando las probabilidades de los eventos dados: b.1.)

P(L) = 0.60 El 60% de los compradores tienen una cámara de lujo.

b.2.)

P(L / A) =

P(L ∩ A) P(A)

P(L / A) =

0.30 = 0.68 0.44

El 68% de los compradores que compran una garantía ampliada tiene una cámara de video de lujo. b.3.)

P(L ∩ A) = 0.30

El 30% de los compradores compran una garantía ampliada y tienen una cámara de video de lujo. b.4.)

P(A / L) =

P(A ∩ L) P(L)

P(A / L) =

0.30 = 0.50 0.60

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El 50% de los compradores que tienen una cámara de video de lujo, han comprado una garantía ampliada. Ejemplo 3: La siguiente tabla corresponde a 1000 turistas peruanos según la forma de pago que acostumbran en sus viajes de vacaciones y el tipo de ciudad que eligieron para pasar sus vacaciones: Tabla N ° 38 Forma de Pago Ciudad Total Cuzco Huaraz Efectivo 200 150 350 Tarjeta crédito 300 200 500 Cheques de viajero 100 50 150 Total 600 400 1000

a) b) b.1) b.2) b.3) b.4) b.5)

Construya la tabla de probabilidad. Si se elige un turista al azar calcular la probabilidad de que : Pague en efectivo y elija la ciudad del Cuzco para viajar. Elija viajar al Cuzco. Pague con tarjeta de crédito. Pague con tarjeta de crédito, si elige viajar a Huaraz. No viaje al Cuzco, ni pague en efectivo.

Solución: a) Construyendo la tabla de probabilidad: Tabla N° 39 Forma de Pago Ciudad P(B1) P(A1) 0.20 P(A2) 0.30 P(A3) 0.10 Total 0.60

Total 0 0.50 0 1.00

P(B2) 0.15 0.20 0.05 0.40

b) b.1)

P(A1 ∩ B1 ) = 0.20

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El 20% de los turistas pagan en efectivo y eligen la ciudad del Cuzco para viajar. b.2)

P(B1 ) = 0.60

El 60% de los turistas eligen la ciudad del Cuzco para viajar.

b.3)

P(A 2 ) = 0.50

El 50% de los turistas pagan con tarjeta de crédito.

b.4) P(A 2 / B2 ) =

P(A 2 ∩ B2 ) P(B2 )

P(A 2 / B2 ) =

0.20 0.40

P(A 2 / B2 ) = 0.50 El 50% de los turistas que eligen viajar a Huaraz, pagan con tarjeta de crédito. b.5) P(B1 ∩ A1 ) = P(A 2 ∩ B 2 ) + P(A 3 ∩ B 2 ) P(B1 ∩ A1 ) = 0.20 + 0.05 P(B1 ∩ A1 ) = 0.25

El 25% de los turistas no viajan al Cuzco, ni pagan en efectivo. ____________________________________________ Elaborado por Fecha Versión

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Ejemplo 4: El 35% de los créditos de un banco es para vivienda, el 50% para industrias y el 15% para consumo diverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias y el 70% para créditos para consumo. a) Construir la tabla de probabilidad. b) Si se elige un crédito al azar, calcular la probabilidad de que: b.1) resulte exitoso y sea para vivienda. b.2) resulte exitoso, si es para industria. b.3) resultoso exitoso. b.4) sea para vivienda o industria

Solución: Determinado los eventos: V: Los crédito son para vivienda.

P(V) = 0.50

I: Los créditos son para industria.

P(I) = 0.35

C: Los créditos son para consumo diverso.

P(C) = 0.15

E: Los créditos son éxitosos.

P(E) = ?

F : Los créditos son fallidos.

P(F) = ?

Además: i) Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda:

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P(F / V) = 0.2 Entonces : P(F ∩ V) P(V)

P(F / V) =

0.2 =

P(F ∩ V) 0.35

P(F ∩ V) = 0.07

ii) Resultan fallidos el 15% de los créditos para industria: P(F / I) = 0.15 Entonces : P(F / I) =

0.15 =

P(F ∩ I) P(I)

P(F ∩ I) 0.5

P(F ∩ I) = 0.075 iii) Resultan fallidos el 70% de los créditos para consumo diverso:

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P(F / C) = 0.7 Entonces : P(F / C) =

0.7 =

P(F ∩ C) P(C)

P(F ∩ C) 0.15

P(F ∩ V) = 0.105 a) Construyendo la tabla de probabilidad: Tabla N° 39 Resultado de crédito

b) b.1)

b.2)

Tipo de crédito P(I)

P(C)

P(E)

P(E∩V)=0.28

P(E∩I)=0.425

P(E∩C)=0.045

0.75

P(F)

P(F∩V)=0.07

P(F∩I)=0.075

P(F∩C)=0.105

0.25

Total

0.35

0.50

0.15

1.00

P(E ∩ V) = 0.28

P(E / V) =

P(E ∩ V) P(V)

P(E / V) =

0.28 0.35

P(E / V) = 0.8

b.3)

Total

P(V)

P(E) = 0.75

____________________________________________ Elaborado por Fecha Versión

: Mg. Carmen Barreto R. : Agosto 2010 :2

23

Universidad Católica Los Ángeles de Chimbote

b.4)

CURSO ESTADÍSTICA

P(V ∪ I) = P(V) + P(I) P(V ∪ I) = 0.35 = 0.50 P(V ∪ I) = 0.85

____________________________________________ Elaborado por Fecha Versión

: Mg. Carmen Barreto R. : Agosto 2010 :2

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