Cap´ıtulo 4 Distribuciones de probabilidad ”Hay una fuerza motriz m´ as poderosa que el vapor, la electricidad y la energ´ıa at´ omica: la voluntad”.

Variable aleatoria. Distribuciones de probabilidad discretas y continuas. Caracter´ısticas de una distribuci´on. Valores atipicos. Tipificar una variable. Distribuciones de probabilidad importantes. Aproximaciones de la distribuci´on binomial. Ejercicios.

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4. Distribuciones de probabilidad

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4.1.

Variable aleatoria. Distribuci´ on de probabilidad.

Si el fen´omeno real que se observa est´a gobernado por el azar, su modelo es el espacio de probabilidad (Ω, A, P ) asociado. A partir de aqu´ı, y puesto que nuestro inter´es se suele centrar en el estudio de cierta caracter´ıstica de dicho fen´omeno, la expresamos mediante una funci´on num´erica X : Ω −→ R w −→ x cuyos valores dependen del azar y, por ello, la llamamos variable aleatoria. Definici´ on: Una variable aleatoria (v.a.) es una funci´on que asigna un n´ umero real a cada uno de los resultados de un experimento aleatorio. Ejemplo 4.1.1. Si el experimento aleatorio consiste en ”lanzar dos monedas” y X describe el n´ umero de caras obtenidas, entonces w X

CC CX XC XX 2

1

1

0

Sin embargo, no toda funci´on X : Ω −→ R puede ser una v.a. Para ello es suficiente que cualquier informaci´on relativa a X se corresponda, en definitiva, con alg´ un suceso asociado al experimento aleatorio en estudio, es decir, ∀a, b ∈ R / a ≤ b

[a ≤ X ≤ b] = {w ∈ Ω / a ≤ X(w) ≤ b} = A ∈ A

porque s´olo as´ı, ser´a posible determinar la probabilidad de que dicha v.a. X tome valores en dicho intervalo. En efecto,
∈A ⇒ [a ≤ X ≤ b] = A ∈ /A ⇒

∃P [a ≤ X ≤ b] = P (A)
P [a ≤ X ≤ b] = P (A)

Ejemplo 4.1.2. Sea (Ω, P(Ω), P ) con Ω = {CC, CX, XC, XX}, el espacio de probabilidad del experimento ”lanzar dos monedas” y X la funci´ on que describe el n´ umero de caras obtenidas, Alicia M. Juan Gonz´ alez Enfermer´ıa GD A Curso 2013/14

4.1. Variable aleatoria. Distribuci´ on de probabilidad w X

CC CX

3

XC XX

2

1

1

0

[X = 0] = {XX} ∈ P(Ω)

⇒

∃P [X = 0] = P ({XX}) =

[X = 1] = {CX, XC} ∈ P(Ω)

⇒

∃P [X = 1] = P ({CX, XC}) =

entonces 1 4 2 4

1 4 y as´ı, X es una v.a. sobre dicho espacio de probabilidad. Sin embargo, si el espacio de [X = 2] = {CC} ∈ P(Ω)

⇒

∃P [X = 2] = P ({CC}) =

probabilidad fuese (Ω, A, P ) con A = {∅, Ω, {CC}, {CX, XC, XX}} y X describiese nuevamente el n´ umero de caras obtenidas, entonces [X = 0] = {XX} ∈ /A

⇒


P [X = 0]

y, por tanto, X no ser´ıa una v.a. sobre dicho espacio de probabilidad. Se tiene, en definitiva, que si X es una v.a. sobre (Ω, A, P ), entonces ∀x ∈ R

[X ≤ x] = {w ∈ Ω / X(w) ≤ x} = A ∈ A

Una vez definida una v.a. X sobre el espacio de probabilidad (Ω, A, P ) asociado al fen´omeno aleatorio en estudio, para describirla o conocerla no es suficiente saber qu´e valores toma, debemos saber adem´as la probabilidad con que lo hace. Cuando ´este es el caso, conocemos el comportamiento probabil´ıstico de la v.a. X, y decimos que conocemos su ley o distribuci´ on de probabilidad, L(X). Con este objetivo, se introduce la siguiente Definici´ on: Dada una v.a. X sobre un espacio de probabilidad (Ω, A, P ), su funci´ on de distribuci´ on de probabilidad (f.d.p.) es la funci´on FX : R −→ R mon´otona no decreciente, cont´ınua a la derecha y acotada entre 0 y 1, definida por ∀x ∈ R

FX (x) = P [X ≤ x]

(4.1)

El significado de las propiedades que caracterizan a la f.d.p. FX es el siguiente: Alicia M. Juan Gonz´ alez Enfermer´ıa GD A Curso 2013/14

4. Distribuciones de probabilidad

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1. FX es mon´otona no decreciente porque si x < y ⇒ FX (x) ≤ FX (y) 2. FX es continua a la derecha: ∀x ∈ R FX (x+ ) = l´ımy→x+ FX (y) = FX (x) 3. ∀x ∈ R 0 ≤ FX (x) ≤ 1. De hecho, FX (−∞) = l´ım FX (x) = 0 y FX (+∞) = l´ım FX (x) = 1 x→−∞

x→+∞

Propiedad 4.1.1. ∀a, b ∈ R con a ≤ b, P [a < X ≤ b] = FX (b) − FX (a)

(4.2)

Dem. Puesto que a ≤ b, entonces [X ≤ a] ⊂ [X ≤ b]. De hecho, [X ≤ b] = [X ≤ a] ∪ [a < X ≤ b] con lo cual, P [X ≤ b] = P [X ≤ a] + P [a < X ≤ b] FX (b) = FX (a) + P [a < X ≤ b]

Como consecuencia de (4.2), se deduce P [a < X < b] = FX (b− ) − FX (a) P [a ≤ X < b] = FX (b− ) − FX (a− ) P [a ≤ X ≤ b] = FX (b) − FX (a− ) La relaci´on (4.2) establece, en definitiva, que la distribuci´on de probabilidad de la v.a. X queda determinada por su funci´on de distribuci´on FX , L(X) ⇐⇒ FX Si SX es el soporte, es decir, el conjunto de valores que puede tomar la v.a. X, distinguimos dos casos: Alicia M. Juan Gonz´ alez Enfermer´ıa GD A Curso 2013/14

4.1. Variable aleatoria. Distribuci´ on de probabilidad

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Variable aleatoria discreta, cuando SX es un conjunto finito o contable de valores distintos, SX = {x1 , x2 , . . . , xn }. Por ejemplo, el n´ umero de veces que un novato intenta golpear una pelota de golf, antes de lograrlo. Variable aleatoria continua, en caso contrario. Por ejemplo, la cantidad de lluvia ca´ıda al d´ıa sobre cierta regi´on. que dan lugar a las distribuciones de probabilidad discretas o continuas, respectivamente. Definici´ on: Dada una v.a. X, su cuantil de orden p (0 < p < 1) es el valor xp de la v.a. que verifica P [X ≤ xp ] ≥ p

P [X ≥ xp ] ≥ 1 − p

y

(4.3)

pero, dado que la primera desigualdad da lugar a FX (xp ) ≥ p y de la segunda se deduce que FX (xp ) ≤ p + P [X = xp ] se tiene, de forma equivalente que el cuantil xp de orden p verifica p ≤ FX (xp ) ≤ p + P [X = xp ]

4.1.1.

(4.4)

Distribuciones de probabilidad discretas.

Si X es una v.a. discreta sobre un espacio de probabilidad (Ω, A, P ), que toma los valores SX = {x1 , x2 , . . . , xn }, entonces la funci´on pX sobre R que nos proporciona la probabilidad de que la v.a. X tome el valor x, es decir,
pX (x) = P [X = x]

> 0 x ∈ SX =0 x∈ / SX

(4.5)

se conoce como funci´ on masa de probabilidad (f.m.p.) o funci´on de cuant´ıa de la v.a. X. Su representaci´on gr´afica es el diagrama o gr´ afico de barras. Alicia M. Juan Gonz´ alez Enfermer´ıa GD A Curso 2013/14

4. Distribuciones de probabilidad

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En consecuencia, su f.d.p. FX viene dada por FX (x) = P [X ≤ x] =



pX (xi )

(4.6)

xi ≤x xi ∈SX

y es una funci´on escalonada, cuyos saltos o puntos de discontinuidad a la izquierda son los del soporte SX , y el valor del salto en cada punto lo determina la funci´on masa. Ejemplo 4.1.3. Si X es el n´ umero de caras al lanzar dos monedas, entonces ⎧ ⎪ x pX (x) 0 x