Modelle und Methoden der Linearen Optimierung (Die Thesen zur Vorlesung 4)

das Thema der Vorlesung

Die Anwendung der Methoden der Mehrkriterienoptimierung bei der Lösung der ökonomischen Entscheidungsprobleme

Prof. Dr. Michal Fendek Institut für Operations Research und Ökonometrie Wirtschaftsuniversität Bratislava Dolnozemská 1 852 35 Bratislava, Slowakei

Universität Hamburg - November 2004

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung

Ziele derVorlesung: • In der Vorlesung wird man basische Kenntnisse aus dem Bereich der Mehrkriterienoptimierungstheorie präsentieren. • Auf einem kleinen hypothetischen Beispiel aus dem Bereich der Optimierung der Produktionsstrategie des Unternehmens wird die Differenz zwischen dem Begriff „die optimale Lösung“ und „die Pareto - optimale Lösung“, bzw. „die effektive Lösung“ erklärt . • Erklären sich ausgewählte numerische und graphische Methoden für die Lösung der Mehrkriterienoptimierungsmodelle.

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:2

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung Allgemeine Formulierung des Mehrkriterienoptimierungsmodell n

f (x)= ∑c pj x j → extp ∈{min,max} p

j=1

p = 1,K, k

(1)

unter den Bedingungen n

∑a

ij

j=1

xj ≥ 0

x j { ≥ , ≤ ,=} bi i = ,K , m j = 1,K , n

( 2) (3)

wo k – Zahl der Zielfunktionen des Problems, m – Zahl der Nebenbedingungen des Problems, n – Zahl der Variablen des Problems, cjp – Koeffizienten der p-ten Zielfunktion, j=1,...,n, p=1,...,k bi – Koeffizienten der rechten Seite, i=1,...,m, aij – Koeffizienten der Matrix des Systems der Nebenbedingungen, Nebenbedingungen, i=1,...,m, j=1,...,n, xj - Entscheidungsvariablen, j=1,...,n

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:3

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung Beispiel (aus der Vorlesung 2) BEKÜRZTE DISPOSITION: • Unternehmen kann zwei Produkte herstellen • Für die Fertigung einer Mengeneinheit des Produktes P1 werden benötigt: 3 Maschinenstunden von Maschine M und 3 Mengeneinheiten des Rohstoffes R

• Für die Fertigung einer Mengeneinheit des Produktes P2 werden benötigt: 2 Maschinenstunden von Maschine M und 5 Mengeneinheiten des Rohstoffes R • Maschine M hat Kapazität 1200 Stunden • Aus des Rohstoffes R ist 1500 Einheiten zur Verfügung • Die Marketingabteilung des Unternehmens hat eine Marktanalyse gemacht und jetzt sie wissen, daß sie auf den Markt maximal 200 Stücke des Produktes P2 plazieren können. Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:4

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische)Zieloptimierung

Das Unternehmen muß bei seiner Entscheidung über die optimale Produktionsstrategie zwei Ziele verfolgen: Ziel 1: Das Unternehmen will den maximalen Gesamterlös erreichen. Die Marktpreise der Produkte sind p1 = 80 Geldeinheiten pro Stück p2 = 100 Geldeinheiten pro Stück

Ziel 2: Das Unternehmen hat ein eminentes Interesse der Anzahl der Arbeiter im Produktionsprozeß zu erhöhen. Deshalb das zweite Ziel des Unternehmens ist auch die Gesamtanwendung der Arbeitskraft maximieren. Für die Fertigung einer Mengeneinheit des Produkts P1, bzw. P2 werden benötigt 100 Arbeitsstunden für das Produkt P1 und 250 Arbeitsstunden für das Produkt P2

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:5

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische)Zieloptimierung

Für dieses Produktionsplanungsproblem wir können folgende mathematische Mehrkriterienoptimierungsmodell (MOP) formulieren: Die Zielfunktionen

f 1 ( x1 , x2 ) = 80 x1 + 100 x2 → max

f 2 ( x1 , x2 ) = 100 x1 + 250 x2 → max Unter den Nebenbedingungen

(MOP)

3 x1 + 2 x2 ≤ 1200 3 x1 + 5 x2 ≤ 1500 x2 ≤ 200 x1 , x2 ≥ 0 Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:6

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung

MOPO

Maschinenkapazität

Rohstoffbeschränkung

700

x1=(333,3;100) f1(x1)=36664=f1* f2(x1)=58330

600

x2=(166,6;200) f2(x2)=66630=f2* f1(x2)=33304

500

Isoerlöslinie f1=0

Marketingbeschränkung

400

Produkt 2

f1 f2 NB1

300

NB2 NB3 200

∇f2 100

D

∇f1

0 -100

0

100

200

300

400

500

-100 Produkt 1

Isoarbeitskraftlinie f2=0

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:7

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung

• Aus diese Lösungen zwei Einkriterienoptimierungsprobleme, die hatten verschiedene optimale Lösungen, wir können sehen, daß es nicht einfach muß sein, die gemeinsame Lösung dieses Zweikriterienoptimierungsproblems zu finden. • Wenn ich wäre ein Manager unseres Unternehmens und meine kurzfristige Priorität wäre der höchste Erlös erreichen, dann ich werde ganz bestimmt die basische Lösung in dem Gipfel x1 akzeptieren. Aber wenn mein Interesse ist in der ersten Linie hohe Anwendung der Arbeitskraft in Unternehmen zu erlangen, dann ich werde natürlich die Lösung im Gipfel x2 auswählen. • Aber beide diese Alternative sind die Grenzsituationen. In realem Entscheidungsprozeß sind für uns aber diese Grenzalternativen, bzw. optimale Lösungen für einzelne Zielfunktionen praktisch unannehmbar.

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:8

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung

• Wie können wir eigentlich nur eine gemeinsame Lösung für diese zwei Zielfunktionen finden? • Und was für eine Eigenschaft muß solche gemeinsame Lösung haben? Kucken wir noch einmal achtsam auf graphische Darstellung der Lösung unseres Optimierungsproblems. • Auf Abbildung wir haben außerdem zwei partiellen optimalen Lösungen x1, x2 noch drei weitere zulässige Lösungen x3, x4, x5 dargestellt.

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:9

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung

MOPO

x2=(166,6;200) 700 f1(x2)=33 304 f2(x2)=66 630=f2*

x3=(200;180) f1(x3)=34 000 f2(x3)=65 000

x4=(0;200) f1(x4)=20 000 f2(x4)=50000

600

x1=(333,3;100) f1(x1)=36 664=f1* f2(x1)=58 330

500

x5=(100;100) f1(x5)=10 800 f2(x5)=26 000

Produkt 2

400

f1 f2 NB1

300

NB2 NB3 200

D

100

MEL

0 -100

0

100

200

300

400

500

-100 Produkt 1

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:10

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung • Wir werden jetzt untersuchen der Änderungen der Werte beider Zielfunktionen bei der Verschiebung zwischen einzelnen zulässigen Lösungen. Beginnen wir mit dem Punkt x5= (100,100). (Bemerken wir nur, daß dieser Punkt ein innerer Punkt der Menge der zulässigen Lösungen ist. ) • Wir sehen, zu diesem Punkt andere Punkte existieren, in den beide Zielfunktionen schlechtere Werte haben, z. B. Punkt (0,0), aber zugleich existieren auch Punkte, in den beide Zielfunktionen bessere Werte haben, z. B. Punkt x3=(200,180). • Ähnliche Eigenschaft hat auch weitere zulässige Lösung unseres Optimierungsproblems und zwar Punkt x4 = (0,200). Zu dieser Lösung ist aus dem Aspekt der Werte der Zielfunktionen besser z. B. Punkt x2=(166,200) aber auch die Punkte x2=(200,180) und x1=(333,100). Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:11

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung • Jetzt werden wir der Eingeschaften des Punkts x2 ausführlicher untersuchen. (1) Wir sehen, daß zu diesem Punkt sehr viel Punkte existieren, in den beide Zielfunktionen schlechtere Werte haben (z. B. Punkt x3). Für weitere Punkte, z. B. Punkte x3, x1 wir können zwar den Wert der Zielfunktion f1 zu verbessern aber zugleich der Wert der Zielfunktion f2 schlechter, genauer niedriger wird. (2) Also, wir können sehen und das ist wesentlich, daß zu dem Punkt x2 nur solche Punkte existieren, die entweder die Werte beide Zielfunktionen niedrigere haben, oder der Wert erster Zielfunktion zwar höher ist aber zugleich der Wert zweiter Zielfunktion niedriger ist. (3) Die zulässige Lösung mit dieser Eigenschaft ist so genannte effektive oder Pareto – optimale Lösung. Es ist klar, daß auch zulässige Lösungen x3 und x1 diese Eigenschaft haben. Die Menge allen Lösungen mit dieser Eigenschaft wir nennen Menge der effektiven Lösungen des Mehkriterienoptimierungsproblems. Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:12

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung

In unserem Beispiel diese Menge der effektiven Lösungen bilden alle lineare Konvexkombinationen der Punkte x1 und x2, also für alle effektive Lösungen gilt

x ef = λx1 + (1 − λ )x 2 , λ ∈ 0,1 333 166 166 + 167λ  x = λ   + (1 − λ )  =  , λ ∈ 0,1  100 200 200 − 100λ  ef

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:13

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung Formulieren wir endlich die Definition der effektiven Lösung des Mehrkriterienoptimierungsproblems. Untersuchen wir folgenden Mehrkriterienoptimierungsproblem

f p (x) → max

p = 1, K k

x ∈ D ⊂ Rn

(MOP)

f : Rn → R

Definition: Vektor xef, der zulässige Lösung des Problems MOP (xef ∈ D) ist, ist effektive Lösung des Problems MOP genau dann, wenn zugleich existiert keine andere zulässige Lösung x ∈ D, xef ≠ x für die gilt

f p (x) ≥ f p (x ef ) ∧

∃

für ∀p = 1,K, k

f r (x) > f r (x ef )

r∈ 1, p

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:14

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung

• Unsere Aufgabe ist jetzt eine konkrete Lösung aus der Menge der effektiven Lösungen auszuwählen. • Es ist erkenntlich, daß wahrscheinlich jede Lösung aus der Menge MEL gleiche Eigenschaft hat und jede Lösung ist deshalb für uns gleich annehmbar. • Für die Wahl der konkreten Lösung aus der Menge MEL wir werden wahrscheinlich bestimmtes Ergänzungskriterium anwenden müssen. Auf dem Grund dieses Ergänzungskriteriums dann wir können so genannte Kompromißlösung wählen. • Es gibt verschiedene Schemen für die Konstruktion des Verfahrens für die Ableitung der Kompromißlösung. Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:15

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung

Jetzt wir werden das Verfahren für die Lösung der Zieloptimierungsaufgabe, das ist aus zwei Aspekten effektiv und annehmbar, präsentieren. 1. Bei Anwendung dieser Methode wir definieren für jede Zielfunktion konkreten Zielwert. Es ist klar, daß diese Idee für die Lösung praktischen ökonomischen Entscheidungsproblemen sehr große Nützlichkeit hat. 2. Bei der Applikation dieser Methode das Problem der Mehrkriterienoptimierung auf das klassische Einkriterienoptimierungsproblem transformiert. Und für Lösung solches Problem wir können natürlich übliches Standardsoftware für Lösung der Optimierungsprobleme anwenden. Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:16

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung

• Die praktische Realisation dieses Verfahrens wir werden auf die Lösung unseres Beispiels demonstrieren. Wir schlagen zum Beispiel vor, daß folgende Zielwerte sind für unsere zwei Zielfunktionen definiert (z1 =55 000) ..... Gesamterlös f1(x1, x2) ≥ z1 f2(x1, x2) ≥ z2 (z1 =100 000) ..... Anwendung der Arbeitskraft • Die Menge der Punkten, die zulässige für diese zwei Bedingungen sind, ist so genannte Entscheidungsraum der Zielfunktionen (Z). •Die Menge der Punkten, die sind zulässig für ursprüngliche Bedingungen des Problems bildet so genannte Entscheidungsraum der Nebenbedingungen (D).

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:17

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung • Jetzt es ist noch notwendig, daß die Zielfunktionen des Mehrkriterienoptimierungsproblems MOP mindestens die definierte Zielwerte z1 und z2 erreichen. • Diese Förderungen dann werden wir deshalb als neue Nebenbedingungen des Problems formuliert. • Wir bekommen folgende Formulierung der Nebenbedingungen unseres Problems

f 1 ( x1 , x 2 ) = 80 x1 + 100 x 2 ≥ z1 f

2

(x1 , x 2 ) = 100 x1 + 250 x 2 ≥ z 2

(z1 = 55000 ) (z 2 = 100000 )

3 x1 + 2 x 2 ≤ 1200 3 x1 + 5 x 2 ≤ 1500 x 2 ≤ 200 x1 , x 2 ≥ 0 Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:18

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung

MOPO 700

x1=(333,3;100)

f1≥ z1=55 000

600

Z 500

X2=(166,6;200)

Entscheidungsraum der Zielfunktionen

f2≥ z2=100 000

400

Produkt 2

f1 f2 NB1

300

NB2 NB3 200

D Entscheidungsraum der Nebenbedingungen MEL

100

0 -100

0

100

200

300

400

500

-100 Produkt 1

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:19

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung • Graphische Darstellung des Entscheidungsraums der Zielfunktionen (Z) und des Entscheidungsraums der Nebenbedingungen (D) ist auf der Abbildung abgebildet. Wir aber sehen, daß Schnittmenge von dieser zwei Entscheidungsräume ist leere Menge. Es zeigt, daß kein Punkt existiert, der dem Element der Menge Z und zugleich dem Element der Menge D ist. • Wir müssen eine Kompromißlösung unseres Problems suchen. Es ist ersichtlich, daß die Kompromißlösung in jedem Punkt aus der Menge der effektiven Lösungen MEL befinden sich kann. Deshalb in unserem Fall existiert kein Punkt aus der Schnittmenge der Mengen D und Z, wir solchen Punkt aus der Menge der effektiven Lösungen MEL auswählen werden, der ist am nächstens von dem Entscheidungsraum der Zielfunktionen (Z), wie ist es auf der Abbildung demonstriert. • Und jetzt schließlich die letzte Frage: Wie können wir den Betriff „Punkt ist nicht weit von der Menge“ interpretieren aber vor allem quantifizieren. Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:20

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung

• Selbstverständlich sehr oft haben die Menge MEL und die Menge Z leere Schnittmenge. Aber Kompromißlösung muß natürlich aus der Menge MEL, die Teilmenge von Menge D ist, sein. Dann aber dieser Punkt kann nicht aus der Menge Z sein und deshalb kann nicht die Restriktionen dieser Menge genügen. Diese Diskrepanz wir müssen im Rahmen der Nebenbedingungen der Menge Z lösen. • In jede Nebenbedingung der Menge Z wir anwenden zwei neue Variablen yk+, yk-, die gewünschte und unerwünschte Abweichungen von den Werten der einzelnen Zielfunktionen ausdrücken. • Außerdem wir definieren so genannte nichtnegative Gewichtsfaktoren φk+, φk-, die Priorität einzelner Zielfunktionen auszudrücken. Diese Gewichtsfaktoren einzelnen Abweichungsvariablen zugeordnet sind.

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:21

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische )Zieloptimierung Das Mehrkriterienoptimierungsproblem ist auf das

Zieloptimierungsproblem in der folgenden Form transformiert (ZOP):

(

)

ψ 1− y1−

F y1− , y2− =

+ψ 2− y2−

→ min

80 x1 + 100 x2 + y1− − y1+ 100 x1 + 250 x2 3 x1

+ 2 x2

3 x1

+ 5 x2

= 55000 + y2− − y2+

= 100000

+ s1

= 1200

+ s2

= 1500

+ s3 = 200

x2

x1 , x2 , s1 , s2 , y1+ , y1− , y2+ , y2− ≥ 0

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:22

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische )Zieloptimierung

• Das Optimierungsproblem (ZOP) repräsentiert eine Archimedian Konzeption des generellen Zieloptimierungsproblems. Auf dem Grund der Archimedian Konzeption des Zieloptimierungsproblems wir also konnten ein mathematischen Modell der Optimierung der Produktionsstrategie des Unternehmens formulieren.

• Optimale Lösung dieses Zieloptimierungsproblems wir können mit dem Standardsoftware für Optimierungsprobleme finden.

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:23

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische )Zieloptimierung

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:24

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische )Zieloptimierung

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:25

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische )Zieloptimierung

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:26

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische )Zieloptimierung

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:27

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische )Zieloptimierung

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:28

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische )Zieloptimierung

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:29

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung Das Problem der Vektoroptimierung wir können als das Problem der Zieloptimierung in folgender genereller Form präsentieren:

Ziel1 ....

1 f ( x ) = c1T x ≥ z1

Ziel 2 ....

2 f ( x ) = c2T x ≤ z 2

Ziel 3 ....

3 f ( x ) = c3T x = z 3

Ziel 4 ....

4 4 , z 4og > f ( x ) = c4T x ∈ < z ug

x∈D

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:30

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung

Die Interpretation der Zielen sind folgende: • Ziel_1 ... Die Zielfunktion f1(x) muß mindestens ihren erwünschtlichen Wert z1 erreichen. • Ziel_2 ... Die Zielfunktion f2(x) darf meistens ihren erwünschtlichen Wert z2 erreichen. • Ziel_3 ... Die Zielfunktion f3(x) muß genau ihren erwünschtlichen Wert z3 erreichen. • Ziel_4 ... Die Zielfunktion f4(x) muß ihren Wert aus dem zulässigen Intervall 〈z4ug, z4og〉 erreichen.

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:31

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung Für die generellen Formulierung des mehrkriterien Optimierungsproblems resultiert daraus die folgende analytische Formulierung des linearen Zielprogrammierungsproblems: +

+

-

-

-

+

f( y+ , y- ) = φ1 y1- + φ 2 y +2 + φ 3 y +3 + φ 3 y 3- + φ 4 y 4- + φ 4 y +4 → min bei Nebenbedingungen T c1 x + y1 T

c2 x T

c3 x T

c4 x T

c4 x

≥ z1

+

≤ z2

- y2

-

+

= z3

+ y3 - y3

+ y -4

≥ z 4ug +

- y 4 ≤ z 4og x ∈ D, y ≥ 0

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:32

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung Bei der Lösung des oben beschriebenen Problems wurde als geeignetes Kompromissprinzip der Zielprogrammierung gewählt. Als Ausgangsformulierung des Problems betrachten wir die folgende:

(

−

F y ,y

+

) = ∑φ p

k =1

− k

yk− − φk+ yk+ → min

unter den Bedingungen

fk + y k− − y k+ = z k

k = 12 , ,..., p

x ∈D

y k− , y k+ ≥ 0

k = 12 , ,..., p

• Wir setzen voraus, dass alle betrachteten Kennziffern von Maximierungstyp

+ − sind, dann y k ist die unerwünschte Abweichung vom k-ten Ziel, y k ist die gewünschte Abweichung vom k-ten Ziel, und φk− ,φ k+ sind diesen Abweichungen zugeordnete nichtnegative Gewichtsfaktoren.

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:33

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung

Noch drei Bemerkungen zu der Interpretation der Abweichungsvariablen: (1) Als die Abweichungsvariable y1- ist positive, dann die Variable drückt aus, das Erlös des Unternehmens war in dem Vergleich mit dem Zielwert gerade um den Wert dieser Variable unerfüllt. (2) Als die Abweichungsvariable y1+ ist positive, dann die Variable drückt aus, das Erlös des Unternehmens war in dem Vergleich mit dem Zielwert gerade um den Wert dieser Variable übererfüllt. (3) Als beide Abweichungsvariablen y1-, y1- gleich Null werden, dann das Erlös des Unternehmens war in dem Vergleich mit dem Zielwert pünktlich erfüllt.

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:34

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische) Zieloptimierung • Das Verfahren der Aggregation der Zielfunktionen für die Lösung des Mehrkriterienoptimierungsmodell n

f (x)= ∑ c pj x j → m ax p

j=1

p = 1,K, k

(1)

unter den Bedingungen n

∑a

ij

j=1

x j { ≥ , ≤ ,=} bi i = ,K , m

xj ≥ 0

j = 1,K , n

( 2) (3)

Das Mehrkriterienoptimierungsmodell (1), (2), (3) wir können auf folgendes Einkriterienoptimierungsmodell transformieren n

k

(

)

F(x)= ∑ ∑ ψ p c jp x j → max j=1 p =1

unter den Bedingungen

(1) k

x ∈ D ≡ (2), (3), ψ p ∈ 0,1 , ∑ψ p = 1 p =1

wo Ψ1, Ψ2 sind die Koeffizienten der Priorität für die einzelne Zielfunktionen Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:35

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische )Zieloptimierung

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:36

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische )Zieloptimierung

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:37

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische ) Zieloptimierung

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:38

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische )Zieloptimierung

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:39

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische )Zieloptimierung

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:40

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Die Grundlage der Methode der (lexikographische )Zieloptimierung

Prof. Dr. Michal Fendek: Modelle und Methoden der Linearen Optimierung

Folie Nr.:41