Modelle und Methoden der Linearen Optimierung (Die Thesen zur Vorlesung 1)

das Thema der Vorlesung

Grundlagen der Methode der linearen Optimierung (Grundlegende Annahmen der linearen Programmierung)

Prof. Dr. Michal Fendek Institut für Operations Research und Ökonometrie Wirtschaftsuniversität Bratislava Dolnozemská 1 852 35 Bratislava, Slowakei

Universität Hamburg - Oktober 2004

Gliederung der Vorlesungen A. Grundlagen der Methode der linearen Optimierung -

Das lineare Optimierungsproblem Grundlegende Annahmen der linearen Programmierung Die analytische Formulation der linearen Optimierungsaufgabe Graphische Darstellung der Lösung des linearen Optimierungsproblems

B. Lösung der Simplexverfahren

linearen

Programmierungsprobleme:

Das

Das Grundprinzip der Simlexmethode Der Simplexalgorithmus Das allgemeine lineare Programm und Sonderfälle der Lösung Duale Optimierungsprobleme Wirtschaftliche Interpretation der Dualität in der linearen Optimierungsaufgabe Fallstudie 1: Lineares Optimierungsmodell Produktionsstrategie des Unternehmens

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der

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Wahl

der

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Gliederung der Vorlesungen

C. Ganzzahlige Lineare Optimierung -

Problemstellung Modelierungsmöglichkeiten mit ganzzahligen Variablen Modelierungsmöglichkeiten mit binären Variablen Das Branch and Bound Algorithmus zur ganzzahligen Programmierung

Fallstudie 2: Das Modell für Lineare Optimmierung der Fertigungsstrategie des Unternehmens - Gewinnmaximierung (ganzzahlig) Fallstudie 3: Optimierung der Investitionsexpansion und der Produktionsstrategien der expandierenden Divisionen des Konzerns

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Gliederung der Vorlesungen

D. Verfahren zur Lösung des Transportproblems -

Allgemeine Darstellung des klassischen Transportproblems Beispiel zum klassischen Transportproblem Matematische Formulierung der Optmierungsaufgabe des Transportproblems Lösungsalgorithmen zum Transportproblem

Fallstudie 4: Das Modell der Minimalisierung der Transportkosten des Transportunternehmens

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Gliederung der Vorlesungen

E. Die Anwendung der Methoden der Mehrkriterienoptimierung bei der Lösung der ökonomischen Entscheidungsprobleme -

Methodologische Aspekte der Konstruktion des Modells für die Mehrkriterien-optimierung bei der Lösung der ökonomischen Entscheidungsprobleme.

-

Optimierung bei mehrfacher Zielsetzung. Grundlagen der Methode der lexikographischen Zieloptimierung

-

Mathematisches Modell eines Jahresproduktionsplanes

-

Programmsysteme für die Lösung von großen Problemen der lexikographischen Zieloptimierung

Fallstudie 5: Die Anwendung der Methoden der Mehrkriterienoptimierung in Produktions-plannungsmodell des Unternehmens

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Folie Nr.:5

Gliederung der Vorlesungen Literaturhinweise: Dantzig, G.B.: Linear Programming. Springer –Verlag, New York 1997. Fendek, M.: Nelineárne optimalizacné modely a metódy, Ekonóm, Bratislava 1998. Hillier, F.S./Lieberman, G.J.: Operations Research, 5. Auflage, R. Oldenbourg Verlag, 1997. Nemhauser, G.L. - Todd, M.J.: Optimization. North-Holland Publishing Company, Amsterdam 1991. Williams, H.P.: Model Building in Mathematical Programming. John Wiley and Sons, London 1999.

Klausurtermin: Mittwoch, 17.11.2004 / 16.00 Uhr

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Die Grundlage der Methode der linearen Optimierung

Allgemeine Struktur des Pozesses der Lösung der Witschaftsentscheidungsprobleme mit der quantitativen Modellen und Methoden Gesamtes Prozeß hat 4 Phasen 1. Phase: Konstruktion eines ökomisch-matematischen Modells für die Anwendung der Methoden des Operations Research

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Die Grundlage der Methode der linearen Optimierung

2. Phase: Vorbereitung der Datenbasis für Konstruktion das ökomisch-matematische Modell • Probleme bei der Datenbereitstellung hängen nicht nur mit einen Informationsmangel zusammen, sondern auch mit den Möglichkeiten der Nutzung vorhandener Daten.

• Eine positive Rolle bei der Lösung dieses Problems spielte die Rechentechnik, die die Vorauszetzungen für das Entstehen von Datenbanken und anderen Informationsystemen geschaffen hat.

• Dadurch gibt es heute gute Voraussetzungen für die Bereitstellung realer Daten für ökonomisch-mathematische Modelle.

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Die Grundlage der Methode der linearen Optimierung

3. Phase: Auf Grund des ökomisch-matematischen Modells und auf Grund des Charakters der Datenbasis eine mathematische Enscheidungsaufgabe zu definieren • Lineare Optimierung • Nichtlineare Optimierung • Ganzzahlige und bivalente Optimierung • Dynamische Optimierung • Stochastische Optimierung • Netzwerkanalyse • Spieltheorie • Input – Output Analyse • Simulation • Wartenschlagentheorie • Lagerhaltungstheorie • Prognosenverfahren

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Die Grundlage der Methode der linearen Optimierung Phase 4: Die Lösung des mathematischen Entscheidungsproblems mit der konkreten Methode des Operations Research ? In dieser Phase spielt wichtige Rolle die Rechentechnik ? Die begrenzten Möglichkeiten der Rechentechnilk und ihrer Software ? In der Vergangenheit konnte der Mengel an Rechentechnik sowie ihre ungenügenden Parameter die Möglichkeiten der Anwendung ökonomischmathematischer Modelle beeinflussen. Wir können zum Beispiel diese Aspekte einführen: • zu geringe Speichergröße, oder • niedrige Rechengeschwindigkeit der Computer. • Gegenwärtig hat sich die Schwerpunkt der Probleme schon vor allem in dem Bereich der Softwarebereitstellung verschoben. Die Entwicklung in diesem Bereich geht von den Einzweckprogrammen zu universellen Programmsystemen, z. b. SOLVER FOR EXCELL, MINOS, GAMS

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Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens

• Wir werden ein Unternehmen untersuchen. Das Unternehmen hat in seinem Produktionsprogramm fünf Produkte P1, P2, P3, P4 a P5,. Für die Erzeugung diese fünf Produkte die Firma benutzt 3 Produktionsfaktoren.

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Folie Nr.:11

Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens

Disposition des Modells: a) Wir haben zur Verfügung: • die Angaben über die Verbrauchsnormen Produktionsfaktoren für die einzelne Produkte Produktionsprogramms aij, i = 1, 2, 3; j = 1, 2, ..., 5

der des

• die Angaben über Produktionsfaktoren bi, i = 1, 2, 3

der

die

verfügbare

Menge

• die Angaben über die Preise pj und die gesamte Produktionskosten kj der einzelnen Produkte des Produktionsprogramms, j = 1, 2, ..., 5 Diese Angaben über das Produktionsprogramm Unternehmens sind in Tabelle 1 präsentiert.

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des

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Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens Tabelle 1. verfügbare Menge der Produktionsfaktoren

Verbrauchsnormen der Produktionsfaktoren

Produktionsfaktor

P1

P2

P3

P4

P5

F1

-1

2

3

7

2

1110

F2

2

5

2

-2

3

1250

F3

2

-1

2

11

-1

950

Individuelle Produktionskapazitäten der Maschine

125

200

200

250

500

100%

Staatliche Bestellung

-

-

-

-

50

-

Export

40

60

-

-

-

-

Preis

6

10

6

7

8

-

Gesamtkosten

3

8

2

2

3

-

Gewinn

3

2

4

5

5

-

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Folie Nr.:13

Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens

b) Zwischen dem Produktionsumfang der einzelnen Produkte auf der einen Seite und zwischen dem Verbrauch der Produktionsfaktoren, dem Erlös aus dem Verkauf der Produkte und der Gesamtkosten der Produktion auf der anderen Seite gilt die Beziehung der linearen Abhängigkeit.

c) Das Unternehmen benutzt bei der Erzeugung seine Produkte eine Produktionsanlage (die Maschine, die Herstellungslinie, bzw. Fertigungsstraße) mit der beschränkten Kapazität, dabei wir kennen die Produktionskapazitäten der Maschine für die individuelle Erzeugung der einzelnen Erzeugnisse.

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Folie Nr.:14

Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens

d) Auf Grund der Marketinguntersuchung des Markts hat die Firma folgende Informationen über die realen Möglichkeiten des Verkaufs ihrer Produkte:

- der Produktionsumfang der einzelnen Produkte P1, P2, die sind für den inländisschen, bzw. heimischen Markt hergestellt, - der Produktionsumfang der einzelnen Produkte P3, P4, die sind für den ausländischen Markt hergestellt, - der Produktionsumfang des Produkts P5, der ist für die staatliche Bestellung hergestellt.

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Folie Nr.:15

Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens Aufgabe: Bestimmen Sie die optimale Produktionsstrategie des Unternehmens bei der Erfüllung folgende Anforderungen: a) Das Ziel des Unternehmen ist es, bei gegebenen Bedingungen eine Produktionsstrategie zu ermitteln, bei der das Unternehmen den maximal Gewinn erreicht. b) Der Verbrauch jedes Produktionsfaktors ist kleiner oder gleich seiner Kapazität, bzw. seine verfügbare Menge, c) Die Produktionskapazität der Maschine wird zu 100% benutzt, d) Die Produktionsstrategie wird die Resultäte Marketingforschung des Unternehmens akzeptiert.

der

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Folie Nr.:16

Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens Lösung Für die Bestimmung der optimalen Produktionsstrategie des Unternehmens wir benutzen das linerae Optimierungsproblem in der folgenden Form: n

f(x) = ∑ c j x j → min

(1)

j=1

unter den Bedingungen n

∑a

ij

x j { ≥ , ≤ ,=} bi i = ,K , m

( 2)

j=1

xj∈Dj

j = 1,K , n

(3)

wo m – Zahl der Nebenbedingungen des Problems, n – Zahl der Variablen des Problems, cj – Koeffizienten der Zielfunktion, j=1,...,n, bi – Koeffizienten der rechten Seite, i=1,...,m, aij – Koeffizienten der Matrix des Systems der Nebenbedingungnen, i=1,...,m, j=1,...,n, xj - Entscheidungsvariablen, j=1,...,n, Dj – Die Menge der zulässigen Werte der einzelnen Entscheidungsvariablen, j=1,...,n. 1.11.2004

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Folie Nr.:17

Lineares Optimierungsmodell der Wahl der Produktionsstrategie des Unternehmens

Beispiel - Die analytische Formulierung des linearen Optimierungsproblems f ( x1 , x2 , K, x5 ) = 3 x1 + 2 x2 + 4 x3 + 5 x4 + 5 x5 → max unter den Nebenbedingungen

− 1x1 + 2 x2 + 3 x3 + 7 x4 + 2 x5 ≤ 1110 2 x1 + 5 x2 + 2 x3 − 2 x4 + 3 x5 ≤ 1250 2 x1 − 1x2 + 2 x3 + 11x4 − 1x5 ≤ 950

1 1 1 1 1 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 125 200 200 250 500

0 ≤ x1 ≤ 40, 0 ≤ x2 ≤ 60 x3 ≥ 0, x4 ≥ 0

x5 = 50

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Folie Nr.:18

Die Grundlage der Methode der linearen Optimierung Allgemeine Formulierung des lineraen Optimierungsproblems n

f(x) = ∑ c j x j → min

(1)

j=1

unter den Bedingungen n

∑a

ij

x j { ≥ , ≤ ,=} bi i = ,K , m

( 2)

j=1

xj∈Dj

j = 1,K , n

(3)

wo die Beziehungen (1), (2), (3) haben folgende Bedeutung (1)

– die Ziefunktion des linearen Optimerungsaproblems

f (x) = c1 x1 + c2 x2 + L + cn xn (2)

– das System der funktionalen, bzw. strukturelen Nebenbedingungen des linearen Optimerungsproblems mit ≥, oder ≤ Ungleichungen, bzw. = Gleichungen

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Folie Nr.:19

Die Grundlage der Methode der linearen Optimierung • Nebenbedingungn in Ungleichungsform

ai1 x1 + ai 2 x 2 + L + ain x n ≤ bi

ai1 x1 + ai 2 x2 + L + ain xn ≤ bi

für einige i

für einige i

• Nebenbedingungn in Gleichungsform

ai1 x1 + ai 2 x2 + L + ain xn = bi

für einige i

(3) – das System der trivialen Nebenbedingungen, die für jede Entscheidungsvariable

xj ∈ Dj

für ∀ j = 1, K , n

die Menge der zulässigen Werte definieren, wobei die Menge Dj kann z.B. folgende Form hat

D j = 0; ∞ ) Dj = u j;oj

für einige j für einige

j; u j − untere Grenze, o j − obere Grenze

D j = 0; ∞ ) ∧ ganzzahlig D j = {0,1} für einige j

für einige j

etc. 1.11.2004

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Folie Nr.:20

Die Grundlage der Methode der linearen Optimierung In diesem Teil der Vorlesungen wir werden uns ausschließlich mit der linearen Optimierungproblemen mit nichtnegativen Entscheidungsvariablen beshäftigen. Es bedeutet, daß für alle Entscheidungsvariablen gilt:

x j ∈ D j = 0; ∞ )

für ∀ j

Allgemeine Formulierung des lineraen Optimierungsproblems dann hat folgende Form n

f(x) = ∑ c j x j → min

(1)

j=1 unter den Bedingungen

n

∑a

ij

x j { ≥ , ≤ ,=} bi i = ,K , m

( 2)

j=1

xj ≥ 0

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j = 1,K , n

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(3)

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