Minkowski-Theorie & die Klassenzahl David Müßig Seminar zur Kommutativen Algebra SoSe 2012

Bemerkung 1. Wir betrachten im Folgenden stets endliche Körpererweiterungen K|Q vom Grade n (K ist also ein algebraischer Zahlkörper).

1 Minkowski-Theorie 1.1 Definitionen / Wiederholung Je nach dem, welche der Begriffe im ersten Vortrag erläutert wurden, wird hier gekürzt. Einiges wird auch nur mündlich wiederholt. Definition 1 (Einbettung). Eine Q-Einbettung von K nach C ist ein Q-linearer Körperhomomorphismus τ : K → C (= K). Wir setzen HomQ (K, C) := {τ | τ ist Q-Einbettung von K nach C}. Wir nennen τ reell, wenn τ (K) ⊆ R und komplex (manchmal auch nicht-reell ), wenn τ (K) ⊆ C. Bemerkung 2. Es gilt [K : Q] = |HomQ (K, C)|. Definition 2. OK := {a ∈ K | a ist ganz über Z} heißt der ganze Abschluss von Z in K. Bemerkung 3. Man kann sich den Körper K als eine Art Verallgemeinerung der rationalen Zahlen vorstellen. Der Ring OK nimmt hierbei die Rolle der ganzen Zahlen ein. Insgesamt kann man unser Setup im folgenden Diagramm darstellen: Z

,→

↓ OK

Q ↓

,→

1

K

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1

MINKOWSKI-THEORIE

Bemerkung 4. Über OK können wir folgende Aussagen machen: 1. OK ist ein s.g. Dedekindring, d.h. • OK ist noethersch, • OK ist ein ganzabgeschlossener Integritätsbereich, • jedes von Null verschiedene Primideal ist ein maximales Ideal. 2. Der Körper K ist der Quotientenkörper von OK . Definition 3 (Gebrochenes Ideal). Ein gebrochenes Ideal von K ist ein endlich erzeugter OK -Untermodul a 6= 0 von K. Bemerkung 5. Die gebrochenen Ideale bilden eine abelsche Gruppe, die so genannte Idealgruppe JK von K. Das Einselement ist (1) = OK und das inverse zu einem Ideal a ist a−1 = {x ∈ K | xa ⊆ OK }. Zudem ist jedes gebrochene Ideal a eindeutig als Produkt von Primidealen Y a= pνp p

mit νp ∈ Z und νp = 0 für fast alle p darstellbar. Das heißt: JK ist die von den Primidealen p 6= 0 erzeugte freie abelsche Gruppe. Die gebrochenen Hauptideale (a) = aOK , a ∈ K ∗ bilden eine Untergruppe der Idealgruppe JK . Sie wird mit PK bezeichnet. Bemerkung 6. Jeder endlich erzeugte OK -Untermodul a von K ist gleichzeitig ein freier Z-Modul vom Rang [K : Q]. Definition 4 (Diskriminante eines Ideals). Sei a ein gebrochenes Ideal von K und sei α1 , . . . , αn eine Z-Basis von a. Wir definieren die Diskriminante d(α1 , . . . , αn ) der Basis α1 , . . . , αn wie folgt: d(α1 , . . . , αn ) := det(τi (αj ))2 , mit τi ∈ HomQ (K, C), i = 1, . . . , n. Bemerkung 7. Die Diskriminante d(α1 , . . . , αn ) ist unabhängig von der Wahl der Basis des Ideals a, daher können wir auch von der Diskriminante des Ideals d(a) := d(α1 , . . . , αn ) sprechen. Definition 5 (Ganzheitsbasis). Unter einer Ganzheitsbasis von OK über Z versteht man ein System von Elementen ω1 , . . . , ωn ∈ OK , derart, dass sich jedes b ∈ OK in eindeutiger Weise als Linearkombination b = a1 ω1 + · · · + an ωn mit Koeffizienten ai ∈ Z darstellen lässt.

2

Satz (2.10) im Neukirch.

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Definition 6 (Diskriminante eines Zahlkörpers). Es sei ω1 , . . . , ωn eine Ganzheitsbasis von OK über Z. Die Diskriminante des Zahlkörpers K definieren wir wie folgt: dK := d(OK ) = d(ω1 , . . . , ωn ). Definition 7 (Gitter, Grundmasche). Sei V ein n-dimensionaler R-Vektorraum. Ein Gitter in V ist eine Untergruppe von V der Form Γ = Zv1 + · · · + Zvm mit linear unabhängigen Vektoren v1 , . . . , vm ∈ V . Das m-Tupel (v1 , . . . , vm ) heißt Basis von Γ und die Menge Φ = {x1 v1 + · · · + xm vm | xi ∈ R, 0 ≤ xi < 1} heißt Grundmasche des Gitters. Wir nennen das Gitter vollständig (oder auch eine Z-Struktur von V ), wenn m = n ist. Definition 8 (Volumen). Es seien v1 , . . . , vn ∈ V unabhängige Vektoren und Ψ = {x1 v1 + · · · + xn vn | xi ∈ R, 0 ≤ xi < 1} das von ihnen aufgespannte Parallelepiped. Wir definieren das Volumen von Ψ vol(Ψ) := | det A|, wenn A = (aik ) die Übergangsmatrix der Orthonormalbasis e1 , . . . , en zu v1 , . . . , vn ist. Weiter definieren wir vol(Γ) := vol(Φ), wenn Φ eine Grundmasche von Γ ist. Bemerkung 8. Wegen vi =

n X

aik ek

k=1

und wegen   X aik ajl hek , el i = (hvi , vj i) =  k,l

! X

aik ajk

= AAt

k

können wir auch vol(Φ) = | det hvi , vj i| /2 1

schreiben.

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MINKOWSKI-THEORIE

1.2 Minkowski-Theorie Betrachte die Abbildung j : K → KC a 7→ j(a) := (τ a) welche Q durch die n komplexen Einbettungen τ : K → C gegeben wird und wobei KC := τ C ist. So entsteht der C-Vektorraum KC , welchen wir mit dem Hermiteschen Skalarprodukt X hx, yi = xτ y τ τ

ausstatten. Bemerkung 9. Für ein Hermitesches Skalarprodukt h , i muss gelten: 1. hx1 + x2 , yi = hx1 , yi + hx2 , yi, hcx, yi = chx, yi, 2. hx, y1 + y2 i = hx, y1 i + hx, y2 i, hx, cyi = chx, yi, 3. hx, yi = hy, xi. Beweis nur auf Nachfrage: 1. & 2. klar. 3. X X X hx, yi = xτ yτ = xτ y τ = yτ xτ = hy, xi τ

τ

τ

Wir unterscheiden bei den Einbettungen τ nun zwischen komplexen und reellen: ϕ1 , . . . , ϕr : K → R σ1 , σ 1 , . . . , σs , σ s : K → C

σ(α) := σ(α)

Damit ist n = r + 2s. Es sei AR := {ϕi | i = 1, . . . , r} die Menge der reellen Einbettungen. Wir wählen nun aus jedem Paar komplexer Einbettungen eine aus und definieren AC := {σj | j = 1, . . . , s} als die Menge der ausgesuchten komplexen Einbettungen. Nun können wir den Minkowski-Raum definieren:  Definition 9. KR = (xτ ) ∈ KC | xϕi ∈ R, xσj = xσj heißt Minkowski-Raum. Bemerkung 10. Das oben definierte Hermitesche Skalarprodukt h , i wird auf KR zu einem „normalen“ Skalarprodukt, da in KR gilt: hx, yi = hy, xi =

X τ

yτ xτ =

X τ

y τ xτ =

X

yτ xτ = hy, xi.

τ

Der folgende Satz gibt uns eine Struktur auf dem Minkowski-Raum.

4

d.h. σj (x) σj (x) = σj (x)

=

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MINKOWSKI-THEORIE

Satz 10. Durch f : KR →

Y

R = Rr+2s

τ

(zτ ) 7→ (xτ ) erhlaten wir einen Isomorphismus, wobei xϕ = zϕ , xσ = Re(zσ ), xσ = Im(zσ ). Die kanonische Metrik h , i wird in das Skalarprodukt X (x, y) = ατ xτ yτ τ

überführt, wobei ατ = 1, falls τ reell und ατ = 2, falls τ komplex ist. Beweis. A. Zunächst zeigen wir die Isomorphie: Es seien z = (zτ ), z 0 = (zτ0 ) ∈ KR und r ∈ R. Dann ist f (z + z 0 ) = f (z) + f (z 0 ) sowie f (r · z) = r · f (z) nach Definition von f , welches somit R-linear ist. Es sei nun f (z) = (xτ ) = 0 ∈ Rr+2s . Dann ist zϕ = xϕ = 0 für alle reellen ϕ und Re(zσ ) = Re(zσ ) = xσ = 0

)

Im(zσ ) = −Im(zσ ) = xσ = 0

für alle σ, σ

Damit ist (zτ ) = 0 ∈ KR für alle τ und f somit injektiv. Sei nun (xτ ) ∈ Rr+2s . Dann ist für (zτ ) ∈ KR mit zϕ = xϕ für alle ϕ ∈ AR und zσ = xσ + ixσ bzw. zσ = xσ − ixσ für alle σ ∈ AC f ((zτ )) = (xτ ) und somit ist f auch surjektiv. B. Wir zeigen nun die Behauptung über das Skalarprodukt: Es seien nun z = (zτ ) = (xτ +Piyτ ), z 0 = (zτ0 ) = (x0τ + iyτ0 ) ∈ KR . Wir betrachten nun das Skalarprodukt hz, z 0 i = τ zτ z 0τ von z und z 0 . Es ist zϕ z 0ϕ = xϕ x0ϕ = xϕ x0ϕ

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MINKOWSKI-THEORIE

und wegen yσ = xσ bzw. yσ0 = x0σ gilt außerdem zσ z 0σ + zσ z 0σ = zσ z 0σ + z σ zσ0 = 2Re (zσ z 0σ ) = 2 (xσ x0σ + xσ x0σ ) .

Beweis durch nachrechnen.

Damit ist hz, z 0 i =

X

zτ z 0τ =

τ

X

zϕ z ϕ +

ϕ∈AR

=

X

=

(zσ z 0σ + zσ z 0σ )

σ∈AC

xϕ xϕ +

X

2 (xσ x0σ + xσ x0σ )

σ∈AC

ϕ∈AR

X

X

ατ xτ x0τ

τ



wie gewünscht. Durch die Abbildung j : K → KR entstehen die folgenden Gitter in KR :

Satz 11. Ist a 6= 0 ein Ideal von OK , so ist Γ = j(a) ein vollständiges Gitter in KR mit dem Grundmaschenvolumen p vol(Γ) = |dk |(OK : a). Bevor wir diesen Satz beweisen können, benötigen wir noch folgendes Lemma 12. Sind a ⊆ a0 zwei von Null verschiedene, endlich erzeugte OK -Untermoduln von K, so ist der Index (a0 : a) endlich und es gilt d(a) = (a0 : a)2 d(a0 ). Beweis des Satzes. Sei α1 , . . . , αn eine Z-Basis von a (existiert nach Bemerkung 6), so dass Γ = Zj(α1 ) + · · · + Zj(αn ) ist. Wir nummerieren die Einbettungen τ : K → C, τ1 , . . . , τn und bilden die Matrix A = (τl (αi ))l,i . Dann gilt 2

2

2

d(a) = d(α1 , . . . , αn ) = (det (A)) = (OK : a) d(OK ) = (OK : a) dK . Außerdem gilt (hj(αi ), j(αk )i)i,k =

n X l=1

! τl (αi )τ l (αk )

t

= AA . i,k

Damit folgt nun (unter Benutzung von Bem. 8)   1 p 1/2 t /2 vol(Γ) = |det (hj(αi ), j(αk )i)| = det AA = | det (A)| = |dK | (OK : a) . Die Vollständigkeit des Gitters folgt aus der Dimension der Z-Basis von a. 

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DIE KLASSENZAHL

Der nun folgende Satz wird uns im nächsten Abschnitt über die Klassenzahl sehr hilfreich sein, sein Beweis benutzt allerdings mehrere Ergebnisse aus vorhergehenden Kapiteln des Buches (unter anderem den s.g. Minkowskischen Gitterpunktsatz), daher zitieren wir ihn an dieser Stelle lediglich beweislos. Satz 13. Sei a 6= 0 ein Ideal von OK und seien cτ > 0 (τ ∈ Hom(K, C)) reelle Zahlen mit cτ = cτ und Y cτ > A(OK : a), τ


2 s π

wobei A = τ ∈ Hom(K, C).

p

|dK |. Dann gibt es ein a ∈ a, a 6= 0, mit |τ (a)| < cτ für alle

Ohne Beweis. Bemerkung 11. Es existiert auch eine multiplikative Version der Minkowski-Theorie. Hierbei wird von der multiplikativen Gruppe K ∗ des Körpers K ausgegangen und der Übergang zu den Gittern wird mit Hilfe der Logarithmusfunktion geschaffen. Uns genügt an dieser Stelle allerdings die additive Variante.

2 Die Klassenzahl Definition 14. Es sei a 6= 0 ein Ideal von OK . Wir definieren die Absolutnorm von a wie folgt: N(a) := (OK : a). Bemerkung 12. Für den Spezialfall, dass a = (α) ein Hauptideal ist, stimmt diese Definition der Absolutnorm eines Ideals mit dem Betrag der Norm seines erzeugenden Elements α ∈ K überein. Es ist NK|Q (α) := det (Tα ) wobei Tα : K → K, Tα (x) = α · x. Nun ist | det (Tα )| = (OK : (α)) = N((α)). Satz 15. Ist a = pν11 · · · pνrr die Primzerlegung eines Ideals a 6= 0 von OK , so gilt N(a) = N(p1 )ν1 · · · N(pr )νr . Beweis. Nach dem Chinesischen Restsatz gilt OK /a = OK /p1ν1 ⊕ · · · ⊕ OK /prνr , daher können wir annehmen, dass das Ideal a = pν eine Primidealpotenz ist. Betrachte die Kette p ⊇ p2 ⊇ · · · ⊇ pν .

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DIE KLASSENZAHL

Wegen der Eindeutigkeit der Primzerlegung (OK ist Dedekindring) gilt pi 6= pi+1 und der Quotient pi /pi+1 ist ein OK /p-Vektorraum der Dimension 1 für alle i: Ist a ∈ pi \ pi+1 und b := (a) + pi+1 , so gilt pi ⊇ b ⊃ pi+1 6=

und somit pi = b, da sonst b0 := bp−i ein echter Teiler von p = pi+1 p−i wäre. Damit bildet a ≡ a (mod pi+1 ) eine Basis des OK /p-Vektorraums pi /pi+1 . Damit ist pi /pi+1 ∼ = OK /p und folglich

N(pν ) = (OK : pν ) = (OK : p) p : p2 · · · pν−1 : pν = N(p)ν  Aus diesem Satz können wir nun die Multiplikativität der Absolutnorm N(ab) = N(a)N(b) folgern. Damit können wir nun einen Homomorphismus auf den gebrochenen Q Idealen a = p pνp , νp ∈ Z definieren: N : JK → R∗+ Lemma 16. In jedem Ideal a 6= 0 von OK gibt es ein a ∈ a, a 6= 0, mit  s p NK|Q (a) ≤ 2 |dK |N(a). π Beweis. Zu gegebenem ε > 0 wählen wir positive reelle Zahlen cτ , τ ∈ HomQ (K, C), mit cτ = cτ und  s Y p 2 |dK |N(a) + ε. cτ = π τ Nach Satz 13 finden wir nun ein Element a ∈ a, a 6= 0, mit |τ (a)| < cτ für alle τ ∈ Hom(K, C) und somit  s Y p Y 2 NK|Q (a) = |τ (a)| < cτ = |dK |N(a) + ε. π τ τ Da diese Ungleichung für alle ε > 0 gilt und da NK|Q ∈ N, muss auch ein a ∈ a existieren, so dass  2 p NK|Q (a) ≤ 2 |dK |N(a). π  Satz 17. Die Idealklassengruppe ClK = JK /PK ist endlich.

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p−1 := {x ∈ K | xp ⊆ OK }

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DIE KLASSENZAHL

Beweis. Behauptung (1). N(a) ∈ a für jedes Ideal a 6= 0 von OK . Da N(a) = (OK : a) = OK /a , gilt für das 1-Element, dass N(a) · 1 = 0 in OK /a, d.h. N(a) ∈ a. X Behauptung (2). Jede natürliche Zahl m ist nur in endlich vielen Idealen enthalten. Sei a ein Ideal und m ∈ a, d.h. a (m). Schreibe das Hauptideal (m) als endliches Produkt von Primidealen. Da a ein Teiler von (m) ist, ist a ein Produkt aus einer Teilmenge dieser Primideale. X Behauptung (3). Es existieren nur endlich viele Ideale a, mit N(a) ≤ N für jedes vorgegebene N . Wegen Behauptung 2 gilt N(a) ∈ a. Setze nun m = N(a) und folgere mit Behauptung 2. X Es bleibt also zu zeigen, dass jede Klasse [a] ∈ ClK ein ganzes Ideal a1 enthält, für welches gilt  s p 2 |dK |. N(a1 ) ≤ M = π Dazu wählen wir einen beliebigen Repräsentanten a der Klasse und ein γ ∈ OK , γ 6= 0, mit b := γa−1 ⊆ OK . Nach Lemma 16 existiert nun ein α ∈ b, α 6= 0, mit NK|Q (α) · N(b)−1 = N((α)b−1 ) = N(αb−1 ) ≤ M. Das Ideal a1 := αb−1 = αγ −1 a ∈ [a] hat demnach die gewünschte Eigenschaft.  Definition 18. Die Ordnung der Idealklassengruppe hK = (JK : PK ) heißt Klassenzahl von K. Die Endlichkeit der Klassenzahl deutet darauf hin, dass der Übergang von den Zahlen zu den Idealen nicht unkontrolliert verläuft. Besonders interessant scheinen die Fälle zu sein, in denen hK = 1 gilt, da in hier OK ein Hauptidealring ist und somit der Satz der eindeutigen Primzerlegung gilt. Wie zu erwarten gilt √ jedoch meistens hK > 1. Für die immaginär-quadratischen Zahlkörper der Form Q( d), d quadratfrei und kleiner Null, ist bekannt, dass nur für die folgenden Werte von d hK = 1 gilt: d = −1, −2, −3, −7, −11, −19, −43, −67, −163. √ Für d > 0 wird vermutet, dass unendlich viele der Q( d) hK = 1 erfüllen. Bewiesen ist die aber noch nicht.

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BEGLEITENDE BEISPIELE

3 Begleitende Beispiele 3.1 Q(i)|Q Welche Einbettungen haben wir? σ : Q(i)

→ C

1

7→ 1

i

7→

±i

Damit haben wir 2 komplexe und keine reelle Einbettung, da in jedem Fall σ(Q(i)) = C gilt. Es ist: • AR = ∅, r = 0 • AC = {id}, s = 1 • Q(i)C = C2 , mit j : Q(i) → C2 , a + bi 7→ (a + bi, a − bi). Für den Minkowski-Raum ergibt sich:  Q(i)R = z = (z1 , z2 ) ∈ C2 z2 = z 1 ∼ =C∼ = R2 Mit der Abbildung Q(i)R

∼

R2

− →

7→ (Re(z1 ), Im(z1 ))

(z1 , z 1 ) und dem Skalarprodukt

(x, y) = 2x1 y1 + 2x2 y2

√ 3.2 Q( 2)|Q Die Einbettungen sehen wie folgt aus: √ σ : Q( 2) √

→ C

1

7→ 1

2

7→

±

√

2

Wir haben also 2 reelle und keine komplexe Einbettung. Folglich ist • AC = ∅, s = 0 • AR = {σ1 , σ2 }, r = 2 √ √ √ √
• j : Q( 2) → C2 , mit a + b 2 7→ a + b 2, a − b 2

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BEGLEITENDE BEISPIELE

Damit ist √  Q( 2)R = x = (x1 , x2 ) ∈ C2 x1 , x2 ∈ R ∼ = R2 und √ Q( 2)R (x1 , x2 )

∼

− → 7→

R2 (x1 ,x2 )

mit dem Skalarprodukt (x, y) = x1 y1 + x2 y2 .

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