Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis 1 Beweistechniken 1.1 Pr¨adikatenlogik . . . . . . 1.2 Direkter Beweis . . . . . 1.3 Indirekter Beweis . . . . . 1.4 Beweis durch Widerspruch 1.5 Induktionsbeweis . . . . .

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1 Beweistechniken

1 Beweistechniken 1.1 Pr¨ adikatenlogik Oftmals ist es schwierig einen Sachverhalt direkt zu folgern oder zu beweisen. Zudem ist es praktisch unm¨oglich f¨ur Dritte L¨osungswege nachzuvollziehen, die allein auf der intuitiven L¨osung Einzelner beruhen. Aus diesem Grund ist es notwendig Beschreibungen sinnvoll in mathematischen Objekten fassen zu k¨onnen. Ein Pr¨adikat ist im Allgemeinen eine Beschreibung eines Umstands, der geeignet auf eine mathematische Aussage projeziert wird. Beispiel: Ein Student, der Mathe kann, wird keine Probleme mit linearer Algebra haben. Ein Student, der DS kann, sollte normalerweise Mathe k¨onnen. Wer Mathe kann, schafft sein Informatikstudium. ¨ Dieser allgemein formulierte Text l¨asst sich hervorragend in ein Pr¨adikatenlogisches Aquivalent transformieren: Dazu f¨uhrt man folgende Bezeichnungen ein: Sei M(x) eine boolsche Aussagenfunktion(d.h M : X → B), die den Umstand bezeichne, dass x Mathe kann. Sei dazu im Folgenden x ∈ S mit S = {s|s ist Student}. In dieser Definition sieht man bereits zwei Anwendungen von Pr¨adikaten: (1) als boolsche Funktion M, (2) zur mengentheoretischen Beschreibung von S. Um das Beispiel zu vervollst¨andigen werden noch DS : S → B, PLA : S → B und Inf : S → B eingef¨uhrt, wobei deren Bedeutung sei  0 wenn x DS nicht kann DS(x) = 1 wenn x DS kann analog dazu PLA, Inf. Die textuellen Aussage lassen sich somit auf drei boolsche Ausdr¨ucke projezieren: M(s) ⇒ P LA(s) DS(s) ⇒ M(s) M(s) ⇒ Inf (s)

(1) (2) (3)

Dem aufmerksamen Leser wird schon an dieser Stelle aufgefallen sein, dass ein Student der DS kann, sein Informatikstudium schaffen wird, sowie keine Probleme mit linearer Algebra haben wird. Dem liegt das Prinzip einer Folgerungskette zu Grunde: (DS(s) ⇒ M(s) ∧ M(s) ⇒ Inf (s)) ⇒ (DS(s) ⇒ Inf (s)) In der bisherigen logischen Denkweise hat sich jedoch noch ein kleiner Denkfehler eingeschlichen. So wurde zwar bereits DS(s) ⇒ Inf(s) gefolgert, dies ist allerdings nur bedingt korrekt. Dies liegt daran, da bislang noch keinerlei Aussagen dar¨uber getroffen wurden f¨ur welche s z.B. DS(s) erf¨ullt ist. In der Logik gibt es daf¨ur 3 M¨oglichkeiten:

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1 Beweistechniken Ausdruck ∀x : A(x)

∃x : A(x) ∃!x : A(x)

Bedeutung f¨ur alle x ist die Aussage A(x) g¨ultig. Ist nur angegeben, dass A(x) gilt, so ist (i.A.) anzunehmen, dass ∀x : x : A(x) erf¨ullt ist. Typische Fomulierungen f¨ur allgemeing¨ultige Aussagen sind sei x beliebig, es gelte A(x) oder f¨ur x gelte A(x). F¨ur alle x gilt A(x) ist demnach gleichbedeutend mit f¨ur ein beliebiges x gilt A(x). f¨ur mindestens ein (bestimmtes) x ist Aussage A(x) g¨ultig. Typische Fragestellung: Gibt es ein x mit der Eigenschaft A(x)? es gibt genau ein(und nur maximal ein) x f¨ur das A(x) erf¨ullt ist.

Ferner gilt ¬(∃x : A(x)) ⇔ ∀x : A(x) sowie ¬(∀x : A(x)) ⇔ ∃x : A(x) Auf das obige Studentenbeispiel bezogen sind s¨amtliche Aussagen allgemeing¨ultig und sollten dementsprechend mit einem Allquantor(∀) formuliert werden.

1.2 Direkter Beweis Jedem Beweis liegt zu Grunde, dass es eine These(d.h. eine Aussage, deren Wahrheitsgehalt gezeigt werden soll) gibt, die es zu beweisen gilt. Dazu kann man sich ein oder mehrer Pr¨amissen(Vorraussetzungen) bedienen, die im Allgemeinen entweder schon bewiesene Thesen darstellen oder Axiome (d.h. als wahr definierte Sachverhalte). Um einen Sachverhalt direkt zu beweisen, nimmt man also eine Pr¨amisse an und folgert deren G¨ultigkeit die Hypothese. Beispiel: Zu beweisen: Das Quadrat einer ungeraden nat¨urlichen Zahl ist eine gerade nat¨urliche Zahl. Der erste Schritt besteht darin erst einmal den zu beweisenden Sachverhalt zu erkennen, sowie dessen Richtung. Umformuliert bedeutet die Aufgabenstellung soviel wie: Wenn x eine ungerade nat¨urliche Zahl sei, dann ist x2 eine ungerade nat¨urliche Zahl. Es ist dabei wichtig, die korrekte Beweisrichtung zu erkennen, denn die Aufgabenstellung bedeutet nicht Wenn x2 eine ungerade nat¨urliche Zahl sei, dann ist x eine ungerade nat¨urliche Zahl. In dem Beispiel wollen wir also direkt A(x) ⇒ B(x) zeigen, wobei A(x) gleichbedeutend mit der Aussage x ist eine ungerade nat¨urliche Zahl und B(x) bedeute, dass x2 eine ungerade nat¨urliche Zahl sei. A(x) ⇔ (∃k ∈ N) [x = 2k + 1]   B(x) ⇔ (∃k ∈ N) x2 = 2k + 1

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1 Beweistechniken Der Beweis erfolgt nun mittels einer Folgerungskette:   A(x) ⇔ (∃k ∈ N) [x = 2k + 1] ⇒ (∃k ∈ N) x2 = (2k + 1)2   ⇒ (∃k ∈ N) x2 = 4k 2 + 4k + 1 



2 ⇒ (∃k ∈ N) x2 = 2(2k + 2k}) + 1 | {z :=l

  ⇒ (∃l ∈ N) x2 = 2l + 1

Man beachte hierbei, dass ⇔ und = zwar im Grunde diesselbe Bedeutung haben, aber dennoch ¨ unterschiedlich verwendet werden sollten. So wird ⇔ verwendet um logische Aquivalenzen zu zeigen und = vor allem, wenn es um ¨aquivalente Umformungen geht. So ist z.B. klar was 1