3031_03_Inhalt_004_005 17.07.2006 9:50 Uhr Seite 4
4
Inhalt Info zum Buch A
B
C
D
E
F
Rechnen mit Potenzen und Wurzeln 1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten 2 Normdarstellung von Zahlen 3 Polynomdivision 4 Wurzelterme 5 Der Zusammenhang zwischen Potenzen und Wurzeln
6 8 9 11 13
Rechnen mit Logarithmen 1 Logarithmen 2 Die Logarithmusgesetze
15 16
Terme und Gleichungen 1 Potenzgleichungen 2 Wurzelgleichungen 3 Exponentialgleichungen 4 Logarithmische Gleichungen
19 20 22 25
Funktionen 1 Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten 2 Exponentialfunktionen 3 Logarithmusfunktionen
27 31 34
Wachstum und Zerfall 1 Allgemeines über Wachstums- und Zerfallsvorgänge 2 Lineare Wachstums- und Zerfallsprozesse 3 Exponentielle Wachstums- und Zerfallsprozesse 4 Begrenztes Wachstum 5 Logistisches Wachstum 6 Weitere Modelle für Wachstumsvorgänge
37 37 39 43 45 47
Kreis- und Körperberechnung 1 Kreise und Kreisteile 2 Quader, Prisma, Zylinder 3 Pyramide und Kegel 4 Die Kugel
50 52 54 57
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Inhaltsverzeichnis
G
H
5
Wahrscheinlichkeiten 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 2 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 3 Urnenmodelle und Anzahlen 4 Baumdiagramme und Pfadregeln 5 Zusammengesetzte Ereignisse
60 61 64 67 71
Test-Arbeiten Probearbeit 1 Probearbeit 2 Probearbeit 3
76 78 80
Lösungen Lösungen zu Kapitel A Lösungen zu Kapitel B Lösungen zu Kapitel C Lösungen zu Kapitel D Lösungen zu Kapitel E Lösungen zu Kapitel F Lösungen zu Kapitel G Lösungen zu Kapitel H
83 89 92 99 105 112 120 129
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6
A 1
Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
(1) an a a … a (für a r; n n) heißt n-te Potenz von a.
Wissen
Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
n-Faktoren
(2) a1 a (3) a0 1 (für a 0) (4) a–n 1n (für a 0) a
an
Exponent
Basis
Für a, b r; a 0; b 0 und m, n z gelten die Potenzgesetze: (P1) am an am n
gleiche Basen
(P2)
gleiche Exponenten (P3) an bn (a b)n (P4)
am am n an a an b bn
()
n
Potenz einer Potenz (P5) (am)n am n
Alles klar? Hier kannst du dich gleich testen! W1 Vereinfache mithilfe der Potenzgesetze und berechne. a) 32 22 (1)3 (2)3 c)
b) 33 32 (4)2 0,52
(12) (23) (94) 3
4
2
d)
(23 ) (243 ) 5
5
W2 Wende die Potenzgesetze an (a, b, x, y 0). a) x4 x5 x2
c) (a2 b3)2 a3
b) (y4)2 : y5
W3 Vereinfache so weit wie möglich (a, x 0). b) (3a2 4a3 2a1) 3a2
a) (15x5 35x4) : (5x3) Binomische Formeln: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 (a + b)(a – b) = a2 – b2
Musteraufgabe
W4 Multipliziere aus und vereinfache (u, x 0). a) (x3 y4)2
b)
(x1 x ) 4
2
c) (u2 2v) (u2 2v)
3
Vereinfache die folgenden Terme so weit wie möglich. Der Nenner sei jeweils ungleich Null. 16a 12 a) 2 3 2 4
6
27a (6 8 )
x y (4z 9) b) 2 3 2
2
(2xyz 3xy) x
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A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
a)
7
24 a4 (3 4)6 24 a3 36 46 16 a4 126 27a (62 83)2 33a 64 86 33 (2 3)4 (23)6 4 12
Lösungen
2 a 3 (2 ) 2 a 3 2 2 a 3 2 a 3 4 4 18 3 4 4 18 7 22 22 4
3
6
2 6
4
3 2 3 2 3
3
6
12
2
3
6
3
16
3 2
3
32
3
a6 a 32
b)
192
x3y2(2z 3) (2z 3) x3y2(4z2 9) x3y2((2z)2 32) 2 xy (2z 3) x2 (2xyz 3xy) x xy (2z 3) x2 x3 y2 (2z 3) (2z 3)
y (2z 3) (2z 3) x3 y
1. Vereinfache so weit wie möglich (a, b, c 0). 15 (3a bc) a) 2 3
2 3 2
6 9 14 b) 2 4
3
2
3
2
3
(27a b ) c) 3 3
12 21
(9ab c)
(9a b)
2. Schreibe als Produkt (n n). a) x4 8x2 16
b) x2n xn 1 2xn
c) x3n 4xn
c) 9x2n 2 6x2n 1 x2n
3. Vereinfache (x 0). Der Nenner sei jeweils ungleich Null. n2
x x a) n n1
x 4x 4 b) 2m
n
2m
x x
x
m
4
n
x 1 c) n 1x
4. Vereinfache (a, b, x, y 0). Alle Nenner seien ungleich Null. 2 3
a b a) 33 2 (2b)
a
2
(b2)
1 1 c) 2 2 a ab
ab b
b)
x y (xy (xy) ) : (xy) 2
2
2
2
2
2
a2 a5 a 14 d) 2 a2
a2
a 4
5. Bei dem Produkt x2y2 mit x 0 und y 0 werde der Faktor x um 20 % reduziert. Um wie viel Prozent muss der Faktor y erhöht werden, damit der Wert des Produktes gleich bleibt? 6. Die Abbildung zeigt eine Folge von Quadraten. Die Seitenmitten jedes Quadrates dienen als Eckpunkte des nächst kleineren Quadrates. Das größte Quadrat hat die Seitenlänge 64 cm. a) Gib die Seitenlänge des 4-ten, 5-ten, n-ten Quadrates an. b) Welches Quadrat hat einen Flächeninhalt von 1 cm2 ? 4096
Prüfungsaufgaben
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A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
8
2
Wissen
Normdarstellung von Zahlen
Bei der Normdarstellung (auch wissenschaftliche Notation genannt) wird eine Zahl als Produkt geschrieben. Dabei ist der erste Faktor eine Zahl mit genau einer (von Null verschiedenen) Ziffer vor dem Komma; der zweite Faktor ist eine Zehnerpotenz.
Alles klar? Hier kannst du dich gleich testen! W5 Schreibe als Potenz der Zahl 10 (Zehnerpotenz). a) 10 000
b) 1 000 000
c) 0,001
d) 0,000 01
W6 Schreibe in der Form z 10a, wobei 1 z 9 gelten soll. a) 4 000
0,0003 3 104 4 Nullen ➝ Exponent 4
b) 0,000 07
c) 4 0,052
d) 10 0003
c) 1
d) 33
W7 Gib in Normdarstellung an. b) 0,000 35
a) 23 500
2500
20
W8 Berechne im Kopf. Gib das Ergebnis in Normdarstellung an. b) 0,252
a) 0,022
Musteraufgabe
Lösungen
c) 3,5 103 4 105
Die mittlere Entfernung e Erde – Sonne beträgt ca. 150 000 000 km. Die Lichtgeschwindigkeit c beträgt im Vakuum ca. 3 108 m/s. a) Gib die Entfernung e in der Einheit m in Normdarstellung an. b) Wie lange benötigt das Sonnenlicht bis zur Erde? c) Die Strecke, die das Licht ungehindert innerhalb eines Jahres zurücklegt, wird ein Lichtjahr (Lj) genannt. Vergleiche diese Strecke mit der Entfernung Erde – Sonne. a) e 150 000 000 km 1,5 108 km 1,5 1011 m b) Aus c et folgt t ce.
1,5 10 m t e 5 102 s 500 s 8 min 20 s. 8 –1 11
c
3 10 m · s
Das Sonnenlicht benötigt etwa 8 Minuten bis zur Erde. c) 1 Lj 365 24 3600 s 3 108 m/s 9,4608 1015 m. 1 Lj 9,4608 105 m 63 072 63 000 e 1,5 1011 m
Ein Lichtjahr entspricht ca. dem 63 000-fachen der Entfernung Erde – Sonne.
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A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
9
7. Berechne und gib das Ergebnis in Normdarstellung an. a) 0, 00 000 225 5
5,4 10 3 d) 3 8,1 10
4
b) (202)3 5
c) (2 102)3
0,04 103 0,000 25 0, 09
e) 0,075 104 (4 102)2
8. Die USA umfassen eine Fläche von ungefähr 9,364 108 ha. 1995 lebten ca. 263 Millionen Menschen in den USA. Berechne die zugehörige Einwohnerdichte in Einwohner je km2. 9. Die Erde hat eine ungefähre Masse von 5,98 1021 t und ein Volumen von etwa 1,08 1012 km3. Die Sonnenmasse beträgt ca. 1,98 1030 kg, ihr Volumen etwa 1,41 1027 m3. a) Wie viele Erdkugeln ergäben zusammen die Masse der Sonne, wie viele Erdkugeln das Volumen der Sonne? b) Vergleiche die mittleren Dichten von Erde und Sonne. ca. 6,0221 1023
10. Die Stoffmenge 1 mol besteht aus Atomen bzw. Molekülen. Ein Silberatom wiegt etwa 1,7912 1022 g. a) Wie viele g Silber ergeben 1 mol? b) Ein Würfel aus Silber, der eine Kantenlänge von 1 cm hat, wiegt ca. 10,5 g. Wie viele Silber-Atome enthält solch ein Würfel? Welches Volumen (in m3) steht jedem Silber-Atom darin zur Verfügung?
3
Prüfungsaufgaben
Eingabe von 3 · 104 am Taschenrechner:
3 EE 4
Vor- Symbol Potenz silbe Giga Mega Kilo Hekto Deka Dezi Zenti Milli Mikro Nano
G M k h da d c m µ n
Polynomdivision
Terme der Form anxn an 1xn 1 … a2x2 a1x a0 mit an, an 1, …, a1, a0 r, an 0 heißen Polynome n-ten Grades. Wird ein Polynom durch ein anderes dividiert, so spricht man von einer Polynomdivision. Da man nicht durch Null dividieren darf, sind alle Belegungen von x auszuschließen, für die das DivisorPolynom Null würde. Geht eine Polynomdivision ohne Rest auf, so kann man das Ausgangspolynom als Produkt aus dem DivisorPolynom und dem Ergebnis-Polynom darstellen.
Alles klar? Hier kannst du dich gleich testen! W9 Für welche Belegungen der Variablen x nehmen die folgenden Polynome den Wert Null an? a) x2 9 e) 5x2 3
b) x2 2 f) x3 8
c) 2x 3 g) x4 5x2 4
d) 2x2 8x 6 h) 0,3x 0,1 x2
Wissen
109– 106– 103– 102– 101– 10–1 10–2 10–3 10–6 10–9
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A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
10
W10 Multipliziere aus und ordne nach absteigenden Potenzen. a) (2x2 3x 4) (3 x)
b) (0,5x3 0,4x2) (2x2 5x)
c) (3a2b 2ab 4ab2) (2a2b 3ab2)
Musteraufgabe
Führe eine Polynomdivision durch und gib etwaige Einschränkungen an. a) (2x3 3x2 8x 3) : (2x 1)
a 4 6a b) 3
a2
c) (x5 x2 4x 2) : (x2 2)
Alle Belegungen, für welche der Divisor Null wird, müssen ausgeschlossen werden.
a) (2x3 3x2 8x 3) : (2x 1) x2 2x 3 (für x 0,5) (2x3 x2) 4x2 8x (4x2 2x)
Da der Divisor (2x 1) für die Belegung x 0,5 zu Null wird, muss x 0,5 gefordert werden.
6x 3 (6x 3) 0
b) Wir schreiben den Bruchterm in eine Divisionsaufgabe um und ordnen dabei nach absteigenden Potenzen. (a3 6a 4) : (a 2) a2 2a 2 (für a 2) (a3 2a2) 2a2 6a (2a2 4a) 2a 4 ( 2a 4) 0 4 c) (x5 x2 4x 2) : (x2 2) x3 2x 1 22 x (x5 2x3)
Lösungen
2x3 x2 4x (2x3 x2 4x)
Rest
x2 2 (x2 2)
(für x 2 ; x 2 )
4 In Fall c) handelt es sich um eine Polynomdivision mit Rest.
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A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
11
11. Führe die Polynomdivision durch. Gib die Einschränkungen an. 8x3 14x2 7x 6 4x2 x 2
a) (x2 4x 5) : (x 1)
b)
c) (3u3 2u2 2u 1) : (3u 1)
d) (a4 1) : (a 1)
e) (0,6a3 1,4a2 0,4a) : (0,5a 1)
f)
Prüfungsaufgaben
x3 x2 2 x2 2x 2
12. a) Dividiere (x3 4x2 4x 16) : (x 4) für x 4. b) Zerlege den Term x3 4x2 4x 16 in Linearfaktoren.
Ein Linearfaktor ist ein Faktor der Form (x – Zahl).
13. Führe die Polynomdivision durch. Ordne die Glieder zuvor in geeigneter Weise. a) (15x 3x3 10 2x2) : (5 x2) b) (15x 5x3 10 4x2) : (5x 4) 14. Führe die Polynomdivision durch. a) (a3 b3) : (a b)
b) (a4 b4) : (a b)
15. Berechne den fehlenden Faktor durch eine Polynomdivision. a) x4 2x3 5x 10 (…) (x 2) b) x5 x3 x2 1 (x3 1) (…) c) a3 a2b 2ab2 (…) (a b) 16. Prüfe, ob man ganz oder teilweise kürzen kann.
4
a)
x3 2x2 5x 6 (x 2) (x 3)
b)
u3 4u2 31u 70 (u2 3u 10) (u 3)
für x 3; x 2 für u 5; u 2; u 3
Wurzelterme n
Wissen
Es seien a r, a 0 und n n, n 2. Dann ist a diejenige nicht negative Zahl,deren n-te Potenz a ergibt.Man nennt diese Zahl die 2 n-te Wurzel aus a. Statt a schreibt man meist nur a. Es gelten folgende Wurzelgesetze (a, b 0; n, m n; n, m 2): n
n
n
(W1) a b a· b n
m
n
a (W2) n b
m n
n
(W3) ( a )
am
(W4)
n
b a
n m
(b 0)
a a
Wurzelexponent n
m·n
a
a
Radikand
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A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
12
2
a = a heißt auch
Alles klar? Hier kannst du dich gleich testen!
3
W11 Ziehe teilweise die Wurzel (u 0).
Quadratwurzel aus a,
a heißt auch
3
a) 8
Kubikwurzel aus a.
b) 54
c) 50 u2
3
32 u3
d)
e)
500 1
f) 0, 32 a3
W12 Vereinfache mithilfe der Wurzelgesetze und berechne. 5
3
3
n
0,5
6
3
d) 12 0 30 12 5
n
3
32 c) 3
48 · 4
3
Für a 0 gilt
5
b) 5
a) 4 2 1 6
3
8 3
1
7
e) 2 0, 25 32 1
W13 Fasse so weit zusammen wie möglich (x 0). a) 4x 2
n
an ( a) a
(
3
4x
b) x x 2 x4
9 2
3
)(
)
3
c) 4 16 4 2 2
Musteraufgabe
Vereinfache die gegebenen Terme (x, y 0).
c) Lösungen
3
a) 4 3 12 75 x y y x xy
3
b) 4(x 2x +y) 2+4xy+2y2
y (für x y) xy
x y
· 3 25 a) 4 3 12 75 4 3 4 · 3 4 3 4 3 25 3 4 3 2 3 5 3 3 3
3
b) 4(x +y) 2x2+4xy+2y2 3
3
3
4(x )2 4(x · 2(x )2 +y) 2(x +y +y) +y 3
3
3
3
4(x · 2(x )2 8 (x )3 8 (x )3 +y) +y +y +y 2(x y) c) Zunächst bringen wir alle Summanden auf den Nenner x – y. Dazu erweitern wir den mittleren Summanden mit x – y und den hinteren Summanden mit x – y. x y y x xy
y
x y y x xy
xy
x y
y (x y)
· (x y)
xy
x y
x y x y
x y y x y (x y) xy · ( x y ) xy
y x y y x x y y y x y y x xy
x y y y xy
(x y) y xy
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A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
13
17. Vereinfache die folgenden Terme. a) 24 3 2
2 6
6
6 2
Prüfungsaufgaben
b) 24 3 2
2 6
6
6 2
18. Vereinfache so weit wie möglich (a, b, c > 0). b) 8c 15 15 c2 · 8 c c2
4
a) 81 a4 (b 4)2
19. Berechne mithilfe des Näherungswertes 2 1,414 folgende Ausdrücke näherungsweise (ohne Hilfe des Taschenrechners). 3
c) 2 8
1 b)
a) 8
2
4
4
d) (1 2 ) (1 2 )
20. Mache den Nenner rational und vereinfache (a, b > 0; a b). a)
6 1 2
b)
ab a b
c)
a b b a b a
d)
1 3 (1 +a)2
21. Bestimme die Definitionsmenge D des Terms und gib anschließend durch Vereinfachen einen äquivalenten Term an. 3
b)
x a) 2
x1
x
5
(x 1)3
9 x2
c)
Nichtrationale Nenner kann man häufig durch – Quadrieren, – Potenzieren, – Anwenden der 3. binomischen Formel rational machen.
3 x
Der Zusammenhang zwischen Potenzen und Wurzeln
Potenzen können beliebige rationale Exponenten aufweisen. m
n
Dabei gilt: a n = a m für m z, n n, n 2 und a r, a > 0. Die Potenzgesetze (P1) bis (P5) sowie die Wurzelgesetze (W1) bis (W4) gelten weiterhin.
Alles klar? Hier kannst du dich gleich testen! W14 Schreibe als Wurzel (p, q > 0). 1
a) 3 2
3
2
b) 6
c) 50,75
d) p1,2
2 c) 5
d)
W15 Schreibe als Potenz. a) 5
3
b) 52
3
5
1 3 2
5
3
e) q 3
e) 4
Wissen
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A Rechnen mit Potenzen und Wurzeln
14
Musteraufgabe
Vereinfache die folgenden Terme (x > 0). 5
x2
a)
1 x
x
1
1
2
56
5
Lösungen
3
x3+x5 b) x2 x4
56
1 a) x 2 x x 5 x 2 x 6 x
12155 30
x
3
3
x3
1 4 x3
( ) 6
c) 1
15
x 15 x 1 3
3
(1 + x2) x2 ) x · 1 1 x3 (1 x2 b) 1 6 2) 2 x x · 1 1 2 x2 x2(1 x4 x2 x2 (1 + x )
+x5
Prüfungsaufgaben
4
( ) ( ) ( ) () 6
c)
6
1 4 x3
1 3 x
12
1 4 3 x
12
12
1 4 3 x
1 12 x
1 x
Vereinfache die folgenden Terme (a, b > 0, n n). 3
6
22. a) a 2 a3 a7 2
( ) 2
23. a) a0,2 a 5 3
3
(2a )
1
3
a
24. a) a 4b 2 a2 b
b) a3 a
2 3
2
n
n
1 3 a2
4 3
2n
b)
a3
6
)
c) (a0,5 a2 )2
b) a 6 a 3 : a 4
2
( ) 2 2 a b
(
3
a · a c) 4
4
1 a
( ) · (a) c) ( ) 5
1 3 a2
5 3
25. Für welche Werte von x ist der Term definiert? a) x
1
2
1
1
b) (x 1) 3 · (2 x) 2
1
3
c) (2 x2)
· x3
26. a) Vereinfache mittels Polynomdivision: (a3 1) : (a 1). 1 b) Mache den Nenner rational: . 3 3 1
Nutze dazu die Ergebnisse von Aufgabenteil a).
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15
B Rechnen mit Logarithmen 1
Logarithmen
Unter dem Logarithmus von a zur Basis b (a, b > 0) versteht man diejenige Zahl x, für die bx = a gilt. Man schreibt x = logb a. Sind a und b (a, b > 0) bekannt, so kann man aus der Gleichung bx = a den Wert von x durch Logarithmieren gewinnen. Der Logarithmus einer Zahl a zur Basis 10 wird der Zehnerlogarithmus von a genannt und als lg a (oder log a) geschrieben.
Wissen logb a
Numerus
Basis
Alles klar? Hier kannst du dich gleich testen! W1 Gib jeweils den Exponenten x an. a) 2x 32 3
e) 2x 8
b) 3x = 1
c) 4x 1
d) 5x 5
f) 3x 1
g) 4x 16
h) 1x = 1
4
3
Bestimme im Kopf. W2 a) log2 8 W3 a) lg 103
c) log4 1
b) log3 3
16
b) lg 1
c) lg 0,01
d) log5 (25) e) log 1 8 5
e) lg 10 3
d) lg 0,012
W4 Gib an, welches Vorzeichen der Wert des Logarithmus hat. a) log2 1,2
b) log0,5 3
y
y = log 2 x
2
c) log0,5 0,3
1 2
-1
4
6 x
y = log 1 x 2
d) lg 0,9
Bestimme x durch Anwendung der Definition des Logarithmus. 3
a) x log2 16
b) log5 x 0,5
c) logx 1 2
d) 2log25 x
4
3
a) x log 2 16 ist nach der Definition des Logarithmus
Musteraufgabe
3
gleichbedeutend mit 2x 16 . 3
1
1
4
4
Es ist: 16 (16) 3 (24) 3 2 3 . Somit ist 2x 2 3 . Ein Vergleich der Exponenten zeigt schließlich: x 4.
Lösungen
3
1
b) log5 x 0,5 ⇔ x 50,5 5 2 5 2,236 c) logx 1 2 ⇔ x2 1 mit x > 0 ⇔ x 4
4
4 2 12. 1
d) log2 5 ist diejenige Zahl y, für die 2y 5 gilt. Demzufolge gilt: 2log2 5 2y 5, also x 5.
1
2
zu c)
x = – 41 ist als Lösung nicht zulässig.
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B Rechnen mit Logarithmen
16
Prüfungsaufgaben
1. Schreibe die Logarithmen- in eine Exponentialgleichung um. a) log4 0,25 x b) logx 8 3 c) log7 x 5 d) lg 0,1 x Bestimme x.
logb a = c ⇔ bc = a für a, b r+; b ≠ 1.
2. a) log2 x = 128
b) logx 64 = 3
c) log5 0,2 = x
3. a) logx 5 = 2
b) logx 3 = 0,25
c) log7 x = 0
4. a) log27 x = 2
b) log125 1 = x
c) logx 13 = 1
5. a) lg 108 = x
b) lg 0,000 001 = x
c) lg x = 6
6. a) lg 10 3 = x
b) lg x = 0,1
c) lg (100) = x
7. a) lg (lg x) = 1
b) log2 (log2 x) = 3
c) log4 2x = 4
3
5
2
8
8
8. Berechne: a) lg 108 · lg 108 b) log3 3 log3 27
2
Wissen
Die Logarithmengesetze
Für das Rechnen mit Logarithmen (a, b, c, u, v r+; b, c ≠ 1) gelten die folgenden Logarithmengesetze: (L1) logb (u · v) = logb u + logb v (L2) logb u = logb u – logb v v
(L3) logb ur = r · logb u (r r) logc a (L4) logb a = (b, c ≠ 1) logc b
Alles klar? Hier kannst du dich gleich testen! Vereinfache mithilfe der Logarithmengesetze (b, u r+; b ≠ 1). Für alle b r+; b ≠ 1 gilt: logb 1 = 0, denn b0 = 1.
W5 a) lg 4 + lg 25
b) log2 48 – log2 3
c) 3 · log8 4
W6 a) logb u + logb 2u
b) logb 2u – logb u
c) logb u–1
W7 a) logb 1
b) logb 1
W8 a) logb 3b – logb 3
u
c) 2 · logb u
1 b) logb u + logb
u
d) lg 10 u
c) 2 · logb b 3
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B Rechnen mit Logarithmen
17
Vereinfache so weit wie möglich (a, b > 0; b ≠ 1). a) log3 5 – log3 15 + log3 1
log2 10
1 c) 2 logb (ab) – logb b 3 + logb 2
d) log4 8 – log16 32
a
e) logb
(b2
Musteraufgabe
log2 a b) lg 10a2 – 2
9
– 9) – logb (b + 3) – logb (b – 3) + logb b (b > 3)
a) log3 5 – log3 15 + log3 1 = log3 5 + log3 12 9
=
log3 1 3
+
log3 12 3
= log3
15
3–1
+ log3
Lösungen
3
3–2
= –1 + (–2) = –3
log2 a log2 a = lg 10 + lg a2 – 2 b) lg 10a2 – 2 log2 10
log2 10
log a2 2 log2 10
= 1 + lg a2 –
= 1 + lg a2 – log10 a2 = 1 + lg a2 – lg a2 = 1
1 c) 2 logb (ab) – logb b + logb 2 a
3 2
= logb a2b2 – logb b + (logb 1 – logb a2)
logb 1 = 0 für b 0, b ≠ 1.
3
= logb a2 + logb b2 – logb b 2 + logb 1 – logb a2 3
= logb b2 – logb b 2 + logb 1 = 2 – 3 + 0 = 1. 2
2
d) log4 8 = x ⇔ 4x = 8 ⇔ (22)x = 23 ⇔ 22x = 23 ⇔ x = 1,5 log16 32 = y ⇔ 16x = 32 ⇔ 24y = 25 ⇔ 4y = 5 ⇔ y = 1,25 ⇒ log4 8 – log16 32 = 1,5 – 1,25 = 0,25 e) logb (b2 – 9) – logb (b + 3) – logb (b – 3) + logb b
(b + 3)(b – 3) = b2 – 9
= logb [(b + 3)(b – 3)] – [logb (b + 3) + logb (b – 3)] + logb b
1 2
1
= logb [(b + 3)(b – 3)] – logb [(b + 3)(b – 3)] + logb b 2 1
= logb b 2 = 1 2
9. Vereinfache so weit wie möglich (a, b > 0; a ≠ 1). a) log6 4 + 2 log6 3 – log4 48 + log4 3 b) log3 a + log3
a – 3 log 9 b b3
3
c) lg 0,1a + lg a2 + lg 1 – 2 lg a a
d) loga
(ba)
2
3
lg a + loga ab + 4 loga b – lg a
4
e) log4 2 2 + loga a – lg 25 – lg 4
Prüfungsaufgaben
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B Rechnen mit Logarithmen
18
Logarithmen zu einer positiven Basis b (b ≠ 1) können mithilfe einer speziellen Form des Gesetzes (L4) berechnet werden: lg a lg b
logb a =
10. Gib für folgende Logarithmen einen auf drei Dezimalen gerundeten Näherungswert an. a) log3 5
b) log5 1
c) log 0,5 9
7
d) log π 3
11. Berechne mithilfe des Näherungswertes log2 9 3,170 die folgenden Logarithmen näherungsweise (ohne Hilfe des TR). a) log2 1 9
b) log2 18
c) log2 3
d) log2 2,25
12. Es sei bekannt, dass logb a = 2.Vereinfache damit den folgenden Ausdruck (a, b > 0; b ≠ 1) so weit wie möglich: logb ab + logb a – logb (b2)b + logb b2 . b
a
13. Vereinfache so weit wie möglich (x > 3). a) lg (x2 + 6x + 8) – lg (x2 + 4x) + lg 1 + lg x x+2
1 b) lg (0,1x5 – 2,5x) + lg – lg (x2 + 5) 3 x – 5x
14. Berechne: (lg 300)2 – 2 lg 3 · lg 300 + (lg 3)2 Monotoniegesetz für Zehnerlogarithmen
15. Zeige: alg b = blg a für a, b > 0.
Für alle u, v 0 gilt: Ist lg u lg v, so gilt auch u v und umgekehrt.
16. Weise ohne Taschenrechner nach, dass log3 2 – log2 3 < 0. 17. Zeige ohne Taschenrechner: log11 4 · log2 10 < 2. 18. Zeige durch Logarithmieren, dass 6 5000 > 7 4600. 19. Wie viele Stellen haben die folgenden Zahlen? a) 1023
b) 825
c) 5(55)
3031_19_LoesH_129_135 16.07.2006 17:24 Uhr Seite 131
Lösungen zu Kapitel H
131
zu Probearbeit 2
Seite 78
Aufgabe 1 3a 2a a a · a(a 1) a 1 a) … 3an 2an an · n n 2 n n n 4
a4
3
4 2
a
a a
an 1
(
n
4
a ·a
)
a4
(
… n 3 2 n n a
a
3·3·2
18
a
18
4
a
an 1
an
4
a
a
)
an an
n
a
a4
2 a4 2n an
18
b) … 49 49 (2 2)9 218 2 c) 4x 2 2x 3 12 · 2x ⇔ 42 · 4x 23 · 2x 12 · 2x ⇔ 16 · 4x 4 · 2x 0 ⇔ 4x 1 · 2x 0 ⇔ (2x)2 1 · 2x 0 4
⇔
2x
·
(2x
1 ) 4
0 ⇔
2x
1 4
4
22
2x wird niemals 0, sondern ist für alle x r stets positiv.
⇔ x 2
⇒ L {2} Aufgabe 2 a) Oberfläche einer Halbkugel mit Radius r sowie Mantelfläche eines Zylinders mit Radius r und Höhe 2r A 1 · 4πr2 2πr · 2r 6πr2 294π cm2 ≈ 924 cm2 2
Die verchromte Innenwand des Bechers hat eine Fläche von etwa 9,2 dm2. b) Volumen des Kegelstumpfes: VS 1π · (2r)2 · 6r 1πr2 · 3r 3
3
1π · 21r3 7πr3
s1
3
r
Bechervolumen: VB 1 · 4πr3 πr2 · 2r 8πr3 2
3r
3
3
s2
3r
Isolierschaum: VIso VS VB 13 πr3 ≈ 4,67 dm3
2r
3
Es wurden zirka 4,7 dm3 Isolierschaum benötigt. c) Mantel des Kegelstumpfes: MS π · (2r) · s1 π · r · s2 π · (2r) · 40 · r π · r · 10 · r 310 · πr2 Fläche des Blechs: A G MS π(2r)2 310 · πr2 2 2 A (4 310 ) · πr ≈ 20,8 dm Die Hülle samt Boden besteht aus etwa 21 dm2 Blech.
4 0 = 4 · 1 0 = 21 0
3031_19_LoesH_129_135 16.07.2006 17:24 Uhr Seite 132
Lösungen zu Kapitel H
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d) VWasser 1 · 4πr3 πr2 · 0,2r 13 πr3 ≈ 0,934 dm3 0,934 l 2
3
15
In dem Becher befinden sich ungefähr 0,93 Liter Wasser. e) Volumen der Eiswürfel: VEis 7 · (3,0 cm)3 189 cm3 Eisvolumen unter Wasser: V 0,9 · VEis 170,1 cm3 Der Wasserspiegel im Sektkühler steigt durch die Eiswürfel in dem Maße an, x wie er durch das Hinzugießen von V 170,1 cm3 Wasser ansteigen würde. V entspricht dem Volumen eines Zylinders mit Radius r und Höhe x, wobei x zugleich die Höhenzunahme des Wasserspiegels ist: V πr2 · x ⇒ x V2 ≈ 1,1 cm πr
neue Höhe des Wasserspiegels: 1,2r 1,1 cm 9,5 cm Das Wasser steht nun etwa 9,5 cm hoch über dem Boden. Aufgabe 3 a) Lichtintensität in % in t Metern Tiefe: I(t) 100 · 0,89t Druck in kPa in t Metern Tiefe: D(t) 10 · t 100 lg 0,5 b) I(t*) 100 · 0,89t* 50 ⇔ t* ≈ 5,95 lg 0,89
Gute Aufnahmen sind bis in ca. 6 m Wassertiefe möglich. c) D(t**) 10 · t** 100 350 ⇔ t** 25 Kunstlicht-Aufnahmen sind bis in 25 m Tiefe möglich. d) Lichtintensität in % in t Metern Tiefe: L(t) 100 · at mit 0 < a < 1 3 L(3) 100 · a3 61 ⇔ a 0, 61 0 ,6 1 = 0,61 3
1 3
L(t*) 100 · ⇔ t* 3 ·
3
(0, 61 )t*
lg 0,5 lg 0,61
t* 3
100 · 0,61
50
≈ 4,2
In dem See sind gute Aufnahmen bis in ca. 4,2 m Tiefe möglich.
