Logarithmusfunktionen und weil sie zusammen gehören auch

ec

Grundeigenschaften

d.

de

Exponentialfunktionen

at h

Wie man ihre Schaubilder zeichnet und wie man aus dem Schaubild ihre Gleichung erkennt.

.m

Dieser Text ist einmalig in seiner Art!

w

w

Behandlung ohne Ableitungen

Datei Nr. 18150

Stand: 23. März 2016

D

em

o-

Te

xt f

ür w

Ein Trainingsheft für Klasse 9/10 und Oberstufe

Friedrich Buckel

INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK www.mathe-cd.de

Friedrich Buckel

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18150

Logarithmusfunktionen

2

Inhalt 3

Vorkenntnisse zu Logarithmen – Wiederholungen

5

Testaufgaben dazu

6

2

Wiederholung elementarer Exponentialfunktionen

8

3

Bedeutung von Umkehrfunktionen

1

de

Übersicht über die behandelten Funktionen

12

16

d.

Trainingsaufgaben 1

Verschobene Exponential- und Logarithmuskurven 4.1

Wie verschiebt man Punkte?

4.2

Wie verschiebt man Kurven?

4.3

Verschobene Exponentialkurven

22

Zeichenmethode

26

Verschobene Logarithmuskurven

27

.m

Charakteristisches Trapez für Exponentialkurven

w

31

An der y-Achse gespiegelte Logarithmuskurven

36

Zeichenmethoden: Wertetafel zur Umkehrfunktion

37

Identifizierung einer verschobenen Logarithmuskurve

41

ür w

Charakteristisches Trapez für Logarithmuskurven

Logarithmusfunktionen zur Basis e

45

Trainingsaufgabe 3

48

Gestreckte Logarithmuskurven

49

Aufgabensammlung:

o-

6

31

xt f

5

27

Identifizierung einer verschobenen Logarithmuskurve

Te

4.5

24 26

Zeichenmethode: Wertetafel zur Umkehrfunktion

4.5

23

Identifizierung einer verschobenen Exponentialkurve

w

4.4

21 21

at h

4

20

ec

Trainingsaufgaben 2

29 Aufgaben, erstellt aus Beispielen dieses Heftes mit Angaben,

D

em

auf welchen Seiten die Lösungen nachzulesen sind.

7

Friedrich Buckel

Wichtig für Lehrer als Sammlung und für Schüler zum Wiederholen. Hier bekommt man auch eine Übersicht über den Stoff.

52

Lösungsteil Lösungen zur Trainingsaufgabe 1

56

Lösungen zur Trainingsaufgabe 2

58

Lösungen zur Trainingsaufgabe 3

59

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Logarithmusfunktionen

3

Übersicht über die behandelten Funktionen

Umkehrfunktionen y  log2 x

und y  2x

13

y  log3 x

und y  3 x

15

und y  0,5 x 

y  log 1 x   log3 x  log3

 1x 

und y 

3

 31 

x



 21  1 3x

x

 2 x

18

de

 1x 

y  log0,5 x   log2 x  log2

 3 x

20

f  x   log4 x

und y  4 x

f  x   log2,5 x

und y  2,5 x

f  x   log1,5 x

und y  1,5 x

f  x   ln x

und y  e x

f  x   log0,25 x bzw. y   log4 x

und y  0,25 x bzw. y  4  x

58

f  x   log2/ 3 x

und y   32 

58

3

x

d. ec at h

57

.m

ür w

y  1,5

y  2x  2  2

y  2x  2

y  3 x 1 x2

w

y  2x  2

56

57

w

Verschobene Exponentialkurven Zeichnen:

56

23 24 25

y  1,5 x

xt f

Aus der Abbildung identifizieren:

y  1,5 x  2  3

y  4 x 1  1

26

Te

Verschobene Logarithmuskurven

o-

Zeichnen:

27

f  x   log2 (x  3)

28

f  x   log2 (x  1)  2

29

f  x   log0,5 (x  1)  4 bzw. f(x)   log2  x  1  4

30

D

em

f  x   log2 x  3

Aus der Abbildung identifizieren: y  log6  x  4 

31

y  log2  x  2,5   1

32

y  log1,5  x  1,5   1

33

y  log0,25  x  4   1 bzw. y   log4  x  4   1

34

y   log3  x  2   2 bzw. y  log 1  x  2   2

35

3

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Logarithmusfunktionen

4

Gespiegelte Logarithmuskurven Zeichnen: f  x   log4   x 

37

f  x   log0,25   x 

bzw.

f  x    log4   x 

38 39

f  x   log2   x  1  2

40

de

f  x   log3   x  2 

d.

Aus der Abbildung identifizieren: y  log5   x 

41

y  log2,5   x   2

ec

42

y  log3   x  4   1 y   log6   x   2

43

bzw.

y  log 1   x   2

44

at h

6

Logarithmen zur Basis e

.m

Zeichnen: y  ln x

Aus der Abbildung identifizieren:

y   ln   x  4 

47

ür w

y  ln(  x)  3 und

46

w

y   ln x  2

w

y  ln x  3 und

45

Trainingsaufgaben zur Basis e

48

xt f

Aus der Abbildung identifizieren

Te

Gestreckte Logarithmuskurven Zeichnen:

o-

y  log2 (2x) bzw. y  1  log2 x

49

y  2  log3 (x)

D

em

y  4  log4  x  2  ,

50 y  log4   x  4  1 2

y  2  log3  3x 

und

y  2  log3  3x 

Große Aufgabensammlung aus allen Funktionen/Kurven dieses Textes zusammengestellt:

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51

52

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Logarithmusfunktionen

1.

5

Vorkenntnisse zu Logarithmen Wiederholungen

Dieser Text setzt voraus, dass man Grundkenntnisse über Logarithmen hat. Diese sollen hier kurz wiederholt werden.

de

Um Potenzen nach dem Exponenten umstellen zu können, hat man die Logarithmen erfunden.

In der Potenzgleichung 23  8

a)

d.

Beispiele:

nennt man 2 die Basis und 3 ihren Exponenten.

ec

Man kann aber auch sagen:

Oder derselbe Satz kürzer formuliert:

at h

„3 ist der Exponent, den die Basis 2 braucht, damit man das Ergebnis 8 erhält.

„3 ist der Logarithmus zur Basis 2 von 8“. 2  8 ist also gleichbedeutend zu log2 8  3

b)

In der Potenzgleichung

42  16

nennt man 4 die Basis und 2 ihren Exponenten.

w

w

Man kann aber auch sagen:

.m

3

„2 ist der Exponent, den die Basis 4 braucht, damit man das Ergebnis 16 erhält.

ür w

Oder derselbe Satz kürzer formuliert:

„2 ist der Logarithmus zur Basis 4 von 16“.

4  16 ist also gleichbedeutend zu log4 16  2 2

In der Potenzgleichung 21 

xt f

c)

1 2

nennt man 2 die Basis und -1 ihren Exponenten.

Te

Man kann aber auch sagen:

„-1 ist der Exponent, den die Basis 2 braucht, damit man das Ergebnis

1 2

erhält.

o-

Oder derselbe Satz kürzer formuliert: 1

em

2 

D

d)

1 2

„-1 ist der Logarithmus zur Basis 2 von 1 2 2

ist also gleichbedeutend zu log

1 2

“.

 1

1

In der Potenzgleichung 9 2  3

nennt man 3 die Basis und

1 2

ihren Exponenten.

Man kann aber auch sagen: „ 21 ist der Exponent, den die Basis 9 braucht, damit man das Ergebnis 3 erhält. Oder derselbe Satz kürzer formuliert: „ 21 ist der Logarithmus zur Basis 9 von 3“. 1 2

9  3 (d. h.

Friedrich Buckel

9  3 ) ist also gleichbedeutend zu log9 3 

1 2

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Logarithmusfunktionen

6

Übungen zum Umstellen von Gleichungen: a  bn

ist gleichwertig zu

logb a  n

y  2x

ist gleichwertig zu

log2 y  x

3 x  z

ist gleichwertig zu

log3 z   x

Merke:

Das Ergebnis der Potenzierung steht hinter dem Logarithmus und heißt

logu v  m

log4 64  3

denn es ist

log2 3  8

ist falsch, denn es ist 23  8 und nicht 28  3 .

43  64 !

.m

b)

bedeutet

at h

um  v

ec

d.

sein „Argument“. Und der Exponent ist dessen Logarithmus.

de

a)

bedeutet

y  logb x

bedeutet

z  bm

ür w

m  logb z

w

w

Richtig: log2 8  3 , log2 3 ist keine natürliche Zahl!

xt f

x  by .

Kleine Testaufgaben:

Forme in eine Logarithmusgleichung um: 62  36

o-

a)

Te

(1)

b)

121 

e)

y  3x

1

em

d)

D

(2)

(3)

25 2  5

1 12

c)

34  81

f)

y  2 x 1

Forme in eine Exponentialgleichung (Potenzrechnung) um (und versuche x zu berechnen):

a)

log3 x  5

b)

logx 8  3

c)

log2 161  x

Berechne diese Logarithmen. Verwende dazu Potenzen! a)

log6 6

b)

log4 2

c)

log3 81

d)

log8 64

e)

log3 ( 3)

f)

loga 1

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Logarithmusfunktionen

7

Lösungen der Testaufgaben

62  36



log6 36  2

b)

121 



log12 121  1

c)

34  81



log3 81  4

1

d)

25 2  5



log25 5 

e)

y  3x



log3 y  x

f)

y  2 x 1



log2 y   x  1

d. ec

1 2

at h

1 12

de

a)

.m

Forme in eine Exponentialgleichung (Potenzrechnung) um (und versuche x zu berechnen): a)

log3 x  5



x  35  3  3  3  3  3  243

b)

logx 8  3



x3  8

c)

log2 161  x



2x 

1 16

also

x38 2

w

(2)

Forme in eine Logarithmusgleichung um:

Man schreibt um:

w

(1)

1 1   24 16 24

Berechne diese Logarithmen. Verwende dazu Potenzen! log6 6  x



6x  6

mit x = 1.

b)

log4 2  x



4x  2

mit x  21 , denn 4 2  4  2 .

em

d)

D

e)

f)

Friedrich Buckel

1

log3 81  x



3 x  81

mit x = 4,

log8 64  x



8 x  64

mit x = 2, denn 82  64 .

log3 ( 3)  x



3 x  3

keine Lösung, da 3 durch Potenzieren

o-

c)

xt f

a)

Te

(3)

ür w

Aus 2x  24 erkennt man dann x = -4.

denn 3 4  81 .

nie negativ wird! loga 1  x



ax  1

mit x = 0, denn für jedes a gilt aO  1

!

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Logarithmusfunktionen

2.

8

Wiederholung elementarer Exponentialfunktionen

Dieser Text setzt voraus, dass man Grundkenntnisse Exponentialfunktionen hat. Diese sollen hier wiederholt werden. (1)

Die Schaubilder der Funktionen f  x   a x mit einer Basis a > 1 haben einen ähnlichen

d.

de

Verlauf, wie dieses Schaubild zeigt:

f ( x) = 5 x

ec

f ( x) = 4 x f ( x) = 3 x

at h

f ( x) = e x

.m

f ( x) = 2x

Die Zahl e heißt Eulersche Zahl. Es ist e  2,71828.

w

xt f

ür w

Tangentensteigung m = 1.

w

Die Kurve y=e x hat in Q  0 | 1 die

f ( x) = 1,5 x

Punkte Punkte zu x  2 zu x  1

Man berechnet einige Punkte mittels Wertetafel un zeichnet sie ein. Mit rot sind die Punkte zu x = 1

Te

eingetragen: 1,51  1,5, 21  2 usw. Mit blau sind die Punkte zu x = 2 markiert: 1,52  2,25, 22  4 1 2

 0,5 , 22 

1 22

 41  0,25

o-

usw. Im negativen Bereich wird die Kopfrechnung schwieriger: 21 

Man sollte folgende Eigenschaften WISSEN: (Es sei jetzt a > 1) Alle Kurven y = ax gehen durch Q  0 | 1 , weil ao = 1 ist.

(2)

ax sind stets positive Werte, also hat jede dieser Funktionen die Wertmenge W  R  .

(3)

Für x   gehen die Werte gegen 0,

D

em

(1)

(4)

also ist die negative x-Achse waagrechte Asymptote. Diese Funktionen wachsen streng monoton, d.h. nach rechts werden die Werte stets größer, was man so beschreiben kann: Wenn x1 > x2 ist, dann ist auch a x1 > a x2

(5)

Für x   gehen die Werte gegen Unendlich.

(6)

Die Kurven habe alle Linkskrümmung.

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