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C APÍTULO

7

Funciones

Resumen del contenido En el Capítulo 7, los estudiantes aumentan su entendimiento del crecimiento lineal y de las ecuaciones observando en detalle una clase especial de relación llamada una función. Esta sección ayuda a los estudiantes a volverse más conscientes de las funciones a través de la creación, la lectura y la descripción de códigos. Los estudiantes también son introducidos a otros tipos de crecimientos no lineales: valores absolutos, cuadráticos y raíces cuadradas.

Funciones y gráficas En la conversación ordinaria, podemos decir algo como “Su paga es una función de cuánto tiempo lleva en el empleo”. En este sentido, la frase es una función de significaría depende de. En matemáticas, la dependencia se toma literalmente; si la paga fuese una función del tiempo en el empleo, entonces cualquier dos personas que han pasado la misma cantidad de tiempo en el mismo empleo ganarían exactamente la misma paga. Empleado

Tiempo en el empleo

Paga

Jack

6 meses

$8.50

Jason

12 meses

$9.00

Jim

18 meses

$9.50

Julie

24 meses

$10.00

June

12 meses

$9.00

Si considera las últimas dos columnas en la tabla anterior como una tabla de datos, ningún par de números que tiene el mismo primer número tendrá un segundo número diferente. Cuando convierte estos números en puntos con el par de números como sus coordenadas, encontrará que no hay dos puntos que caen sobre la misma recta vertical. Esto es, ninguna recta vertical cruzará la gráfica de una función más de una vez. Las ecuaciones en las cuales se expresa una variable en términos de una segunda variable pueden definir una función. En lugar de escribir y
3  5x, puede escribir f(x)
3  5x. El lado izquierdo, leído “f de x”, es el nombre que se le da a la función con x como la variable independiente. Si quiere hallar el valor de la función cuando x
7, usted escribe f(7)
3  5(7), o f(7)
38. La gráfica de esta función incluiría el punto con coordenadas (7, 38).

Funciones del valor absoluto La función del valor absoluto extiende el entendimiento de linealidad de los estudiantes. El valor absoluto (absolute value) de un número es, informalmente, su “valor positivo”. Si el número es positivo ó 0, entonces su valor absoluto es sí mismo. Si un número es negativo, entonces su valor absoluto es su opuesto, el valor positivo (continuado)

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Capítulo 7 • Funciones (continuado) correspondiente. Por ejemplo, el valor absoluto de 3, escrito 3, es 3 mismo porque 3 es positivo. El valor absoluto de 3, sin embargo, escrito 3, es 3. La gráfica de la función del valor absoluto f(x)
x consiste en dos rayos que forman la letra V, con su punto inferior en el origen. El darse cuenta de por qué la función del valor absoluto tiene esta gráfica ayuda a los estudiantes a entender tanto las funciones como los valores absolutos.

Funciones cuadráticas y raíces cuadradas Las funciones cuadráticas y raíces cuadradas también son funciones no lineales importantes que proveen un contraste con las funciones lineales. La función cuadrática simplemente cuadra un número, multiplicándolo por sí mismo. Es una función porque ningún número tiene dos cuadrados diferentes. Su grafica es una parábola que abre hacia arriba con su punto más bajo (vértice) en el origen.

Pero el intercambiar las dos columnas de la tabla de datos cuadráticos no produce una función. Por ejemplo, el número 4 en la primera columna aparecería una vez con 2 en la segunda columna y una vez con 2. Esto es porque tanto 22 como (2)2 son 4. En otras palabras, 4 tiene dos raíces cuadradas: 2 y 2. En este sentido el tomar la raíz cuadrada no es una función. Una función asociada, sin embargo, frecuentemente llamada la función raíz cuadrada, produce la raíz cuadrada positiva. El símbolo estándar para la raíz cuadrada 兹苶 significa raíz cuadrada positiva. La gráfica de la función raíz cuadrada es la mitad superior de una parábola que abre hacia la derecha. y 8 6 4

y
兹x苶

2 x 0

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2

4

6

8

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(continuado)

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Capítulo 7 • Funciones (continuado) Problema de resumen Haz un código de esta manera: Cambia cada letra del alfabeto a un número entero entre 1 y 26. Cuadra el número y réstale 26 repetidamente hasta que obtengas un número entre 1 y 26. Cambia ese número nuevamente a su letra correspondiente. ¿Cómo la asignación de cada letra a otra letra se relaciona con las ideas de este capítulo? Preguntas que podría hacer, en su papel de estudiante para su estudiante, incluyen: ● ● ● ●

●

¿La asignación del código crea una función? ¿Cómo funciona la decodificación? ¿Hay algún sentido en el cual algunos números enteros del 1 al 26 son los opuestos de otros números enteros del 1 al 26? ¿Se podrían interpretar las ideas de positivo y de valor absoluto para los números enteros del 1 al 26 de manera que la raíz cuadrada positiva de un número sea el valor absoluto de cualquiera de sus raíces cuadradas? ¿Puedes hacer aritmética similar con números enteros del 1 a algún otro número entero diferente de 26?

Respuestas ejemplares Usted y su estudiante pueden comenzar con una tabla que muestra en qué se convierte cada letra en el código. Letra

A

B

C

D

E

F

G

H

I

J

K

L

M

Código

A

D

I

P

Y

J

W

L

C

V

Q

N

M

Letra

N

O

P

Q

R

S

T

U

V

W

X

Y

Z

Código

N

Q

V

C

L

W

J

Y

P

I

D

A

Z

A medida que observa la tabla y piensa de cómo funcionaría la decodificación, puede ver que para muchas letras en el mensaje codificado hay dos maneras de decodificar la palabra. La palabra codificada NAWJ podría ser NAGF, NAST, NAGT, LAST, etc. Sólo una de éstas es una palabra, así que podría ser posible decodificar un mensaje, pero sería una tarea complicada. Su estudiante podría reconocer que la segunda mitad del alfabeto es un reflejo de la primera mitad, al igual que los números enteros positivos y negativos son reflejos de cada uno alrededor del cero. Si estamos de acuerdo con el emisor en usar sólo la primera mitad o sólo la ultima mitad del alfabeto, entonces la decodificación sería única. Esto sería como usar sólo las raíces cuadradas positivas. El mismo fenómeno es cierto con los números enteros del 1 a cualquier número.

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Capítulo 7 • Ejercicios de repaso Nombre

Periodo

1. (Lección 7.1) Usa la cuadrícula de codificación

dada para contestar 1ac. a. Codifica la palabra ALGEBRA. Salida codificada

b. Decodifica la palabra KSMHSNC. c. ¿Este código es una función? Explica por qué

sí o por qué no.

2. (Lección 7.2) Determina si cada una de las

siguientes relaciones representa una función. Por cada relación que representa una función, determina el dominio y rango. a.

Entrada x

Salida y

2

b.

Fecha

Z Y X W V U T S R Q P O N M L K J I H G F E D C B A A B C D E F G H I J K L MN O P Q R S T U VW X Y Z Entrada original

c.

d.

y

Entrada x

Salida y

10

1

1

7

9

3

2

3

8

5

3

1

2

7

8

2

2

8

6

2

3

7

5

7

4

y 5

3 2 1 1

2

3

4

5

x

5

5

x

5

de pintura, compró un poco de pintura y luego manejó directo hasta su casa. La gráfica de la función y
f(x) muestra la distancia de Ted desde su casa como función del tiempo. a. ¿Qué es f(20)? ¿Cuál es el significado real de f(20)? b. ¿Cuán lejos queda la tienda de artículos de pintura de la casa de Ted? c. ¿Cuánto tiempo estuvo Ted en la tienda de artículos de pintura?

Distancia (mi)

3. (Lecciones 7.2–7.4) Ted manejó directo hasta la tienda de artículos 4 3 2 1 0

4

8 12 16 20 Tiempo (min)

24

d. En el camino a la tienda, todas las luces de tráfico estaban verdes.

¿Cuántas luces de tráfico rojas encontró Ted en su camino a casa? ¿Cuánto tiempo estuvo Ted detenido en cada luz roja? 4. (Lecciones 7.4, 7.6) Considera la función f(x)
x  2  1. a. Grafica la función. b. Halla los valores f(1) y f(4). ¿Qué puntos estos valores dan en la

gráfica de f(x)? c. Halla todos los valores de x para los cuales f(x)
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S O LU C I O N E S A LO S E J E R C I C I O S D E R E PA S O D E L C A P Í T U LO 7

1. a. Halla cada letra en la parte inferior de la cuadrícula y sube por la columna hasta el cuadrado sombreado. Entonces sigue a la izquierda del cuadrado para hallar la letra codificada. ALGEBRA codifica en GLYSJHG. b. Halla cada letra codificada en la izquierda de la cuadrícula y sigue horizontalmente hasta el cuadrado sombreado. Entonces baja desde el cuadrado para hallar la letra de entrada. KSMHSNC decodifica en SECRETO. c. Sí, es una función. Cada letra de entrada está asignada a sólo una letra codificada. Esto es, sólo hay un cuadrado sombreado en cada columna. 2. El dominio es el conjunto de todos los posibles valores de entrada, o los valores de x; y el rango es el conjunto de todos los posibles valores de salidas, o los valores de y. a. No es una función. El valor de x 2 corresponde a dos valores de y diferentes, 10 y 7. b. Ésta es una función. Cada valor de x corresponde a un sólo valor de y. Dominio: {1, 2, 3, 5, 7, 8}; Rango: {1, 2, 3, 4}. c. Ésta es una función. Cada valor de x corresponde a un sólo valor de y. Cualquier línea vertical cruza la gráfica de la función sólo una vez. Dominio: 0 ⱕ x ⱕ 4; Rango: 1 ⱕ y ⱕ 3. d. No es una función. El valor x
0 corresponde a más de un valor de y. Una línea vertical a través de 0 cruza la gráfica de la función más de una vez. 3. a. Observa cuál punto en la gráfica tiene 20 como su primera coordenada. El punto (20, 2) está en la gráfica, así que f(20)
2. b. Nota de la gráfica que lo más lejos que Ted llegó desde su casa fue 4 millas. Por lo tanto, la tienda está a 4 millas de la casa de Ted. c. Ted estuvo en la tienda desde la marca de 8 minutos hasta la marca de 15 minutos, así que él estuvo allí por 7 minutos. d. Las partes de la gráfica que son planas indican que Ted no está en movimiento. Hay tres de éstas en su camino a casa y duran un minuto cada una.

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4. a.

y 6

6

6

x

3

f(1)
1  2  1 Sustituye 1 por x. f(1)
3  1 Suma. f(1)
3  1 Toma el valor absoluto. f(1)
2 Resta. f(4)
4  2  1 Sustituye 4 por x. f(4)
2  1 Suma. f(4)
2  1 Toma el valor absoluto. f(4)
1 Resta. Los puntos (1, 2) y (4, 1) están en la gráfica de la función. c. x
4 y x
0. Puedes resolver esto gráficamente hallando la intersección de la gráfica de f(x) con la recta horizontal y
1. La solución simbólica se muestra a continuación. b.

x  2  1
1

Ecuación a resolver.

x  2  1  1
1  1

Suma 1 a ambos lados.

x  2
2

Suma.

x  2
2 or x  2
2

Halla dos números cuyo valor absoluto es 2.

x  2  2
2  2 or x  2  2
2  2

Resta 2 de ambos lados de cada ecuación. Resta.

x
0 or x
4

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