Funciones para las caracolas ROSARIO NOMDEDEU*

Estructararé mi intervención en cuatro partes: una introducción, donde hablaré de las conchas como símbolo de la fertilidad y de su relación con las arquitecturas de los observatorios primitivos y de los laberintos, que nos llevan al estudio de algunas nociones de topología, grafos y matrices. En la segunda parte analizaré la morfología de las conchas, comenzando con una actividad de análisis de analogías y diferencias entre las formas de diversas conchas y otros objetos y seguiré con la observación de la presencia de curvas como las que se hallan en los arrollamientos, otras como las cuádricas, y también las sinusoides. Luego mostraré los resultados obtenidos en una actividad que tiene como objetivo estudiar cuáles son las superficies aptas para formar conchas, en este proceso son útiles objetos matemáticos como el gnomon y el cono y las nociones como la de género de una superficie. Por último, trataré el cómo diseñar conchas mediante programas de ordenador, cuyo lenguaje requerirá activar recursos como los movimientos en el espacio y su expresión matricial, así como ciertas nociones elementales de cálculo diferencial.

Foto frontal de la caracola en polares: ρ = kθ Gráfica en cartesianas de la anterior ecuación

y = kx

Foto de perfil de la caracola: y = x·sen(π/x) para x > 0

Esta ponencia pretende mostrar el trabajo realizado recientemente en las aulas de 4.° de ESO y 1.° de Bachillerato y otros anteriores realizados en los niveles de 2.° y 3.° de BUP. Se toma como elemento motivador la concha de las caracolas y se proponen las siguientes tareas de inicio: 1.

Observa y di, ¿en qué se parecen las formas y figuras de la siguiente exposición? (exposición que se ha preparado previamente con objetos variados entre los que hay conchas de moluscos diversos).

X JAEM. Ponencia P44, pp. 405-410

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Esta tarea permite que desarrollen una interesante actividad de clasificación. Llegan incluso a clasificar superficies de géneros superiores a cero, aunque no se manejen con el vocabulario técnico. 2. Modela un caracol en plastilina, intentando construirlo teniendo en cuenta la estructura geométrica de la concha.

Es curioso comprobar las dificultades con que se encuentran alumnos incluso aventajados para encontrar la forma más eficaz de simular un caracol en plastilina. Tienen serias dificultades para descubrir que deben trabajar con un «churro» de forma cónica, y descubierto esto, todavía tienen dificultades para acertar el ángulo, suelen trabajar con un ángulo excesivamente cerrado y les salen caracolas o caracoles defectuosos, con enormes «ombligos». 3. ¿Qué superficies crees que pueden albergar a un caracol, para que crezca sin mudar su exoesqueleto?

En esta actividad se comienza recabando información acerca de términos como autosemejanza y gnomones, con lo que se desarrollan actividades de apoyo relacionadas con los números y con la semejanza en el plano. Se termina concluyendo que las pirámides y los conos son capaces, pero, que la superficie cónica es la óptima después de conocer la leyenda de la reina Dido. 4. ¿Qué forma de concha crees que puede proporcionar al caracol mayor ahorro energético en su estilo de vida?

Esta cuestión se plantea para ayudar a descubrir que el arrollamiento es la forma que permite mayor eficacia a los moluscos en general, al extraer el alimento, trasladarse, aprovechar el espacio… 5. ¿Qué curvas están relacionadas con la concha del caracol?

Para estimular la actividad se ha pedido el día anterior que traigan conchas. Se forma una pequeña colección en la clase, que pueden manipular, observar y comentar. Surge una lista de curvas: circunferencia, elipse, hipérbola, parábola (cónicas por la presencia del cono en la estructura de la concha las posibles formas del borde o de las eventuales roturas), espirales (que relacionan con la foto de frente, en dirección al eje del arrollamiento), seno (que relacionan con la foto del perfil, sobre todo en las caracolas del tipo turritela).

Tareas de desarrollo ¿Cómo enviaríais la información sobre estas formas a un amigo o amiga, habitante de otro planeta, teniendo muy en cuenta el ahorro en un envío por autopistas de la información saturadas cuyo precio es elevadísimo?

Para comenzar la actividad se muestra el tamaño de dos ficheros, un fichero de imagen y el correspondiente fichero logo que simula la misma imagen. La comparación entre 1K y varios miles de K deja zanjada la cuestión de elegir el modo de transporte. Claro que ello supone un análisis minucioso de la imagen, el descubrimiento de sus propiedades caracterizadoras y su traducción al lenguaje matemático y luego al Logo, o a otros lenguajes, incluso sólo al lenguaje matemático en el supuesto de que en el otro planeta dispongan de calculadoras gráficas.

FUNCIONES

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PARA LAS CARACOLAS

Circunferencia a) Para circunferencia Repite 360 [gd 1 av 1] Fin

Esta solución tarda en aparecer, debido a que ha quedado fijada en su memoria la definición como lugar geométrico de los puntos equidistantes del centro. Pero cuando se percatan de que el ordenador trabaja discretamente y que realmente va a dibujar un polígono de muchos lados muy pequeños, se quedan con este método como el más claro y sencillo para ordenárselo a la máquina. b) OP = r (se les pide que representen esta misma ecuación en cartesianas, para que observen la recta horizontal asociada ala función cte en cartesianas). c) x2+y2 = r2 (tendrán que despejar la y para poder manejar la calculadora gráfica). d) x/r = cos a y/r = sen a

Estas tres formas permiten al alumnado aprender a manejar la calculadora gráfica en coordenadas cartesianas y modo explícito o en paramétricas o en coordenadas polares. Así pueden comprender mejor el concepto de coordenadas, y ver que según el momento interesa más una u otra forma. La primera facilitará la obtención de ecuaciones para espirales con una ligerísima modificación (hacer creciente el radio), la segunda permite una clara comprensión del significado de ecuación como la expresión algebraica de la propiedad que caracteriza a la curva. En este caso ven que esta ecuación no es más que el teorema de Pitágoras que cumplen el radio como hipotenusa y las coordenadas x e y como catetos. La tercera permitirá, al «estirarla» (sumando a la y el valor de z = ka) construir una hélice (muelle) en la pantallita de la calculadora. Es una sorpresa agradable, para las alumnas y alumnos del nivel de 1.° de bachillerato, ver una representación en 3D en su calculadora a partir de un truco tan simple. La cizalladura no es necesaria en este nivel, aunque depende de la demanda. Podría introducirse en caso de que alguien quisiera entrar en la explicación del truco, hecho que ocurre alguna vez. 7. Seno a) to seno :t pu make “t :t-400 setxy :t 40*sin :t pd repeat 1000[make “t :t+1 setxy :t 60*sin :t] end b) Representar y = sen x en diversas escalas y comparar con las gráficas en pantalla de ay =sen bx para diversos valores de a y b resulta una actividad rica, que además permite plantear la siguiente tarea. c) ¿Cuáles de las siguientes filas producen dos gráficas idénticas? A

Escala 1:1

y = sen x

Escala 5:2

y = 2·sen 5x

B

Escala 5:1

y = sen x

Escala 1:2

y = 2·sen 5x

C

Escala 5:1

y = sen x

Escala 1:2

2·y = sen 5x

D

Escala 5:2

y = sen x

Escala 1:1

y = 2·sen 5x

E

Escala 5:2

y = sen x

Escala 1:1

2·y = sen 5x

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d) Representar en polares la ecuación del seno de un múltiplo del ángulo (por ejemplo ρ = sen 5θ). Las flores que obtienen les compensan del esfuerzo realizado al cambiar el punto de vista.

8. Espirales a) Realizar un programita para que la tortuga de Logo dibuje espirales es una tarea sencilla si se enfoca como modificación de la circunferencia expresada en polares. b) Las ecuaciones r=ka y r=ka interpretadas en cartesianas permiten ver rectas y curvas exponenciales, con las que tratar temas de crecimiento lineal, típico de la producción de alimentos y el biológico. y’ = ky

y’/y = k

lny = kx

y = ekx

Estas ecuaciones y sus correspondientes gráficas permiten hacer un análisis de la tesis de Malthus comparádola con la actual crisis de superpoblación y/o escasez de alimentos. d) Otra extensión adecuada en este punto consiste en clasificar las ecuaciones y sus curvas en polares. Pronto ven, con ayuda de las caculadoras gráficas, que las formas sinusoidales, en polares dan «flores» y las demás dan espirales. e) Por último es fácil ver la modificación adecuada en paramétricas que deja preparada la situación para un futuro “estiramiento” to espiral :t if :t> 1440 [stop] make “x (:t/10)*cos :t make “y (:t/10)*sin :t setxy :x :y espiral :t+0.01 end f)

«Estirando» se obtiene la hélice cónica, que ya simula un sencillo caracol en «alambre». Es espectacular la cara que ponen cuando consiguen ese caracol en la pantalla de su calculadora, o cuando consiguen que la tortuga obedezca sus órdenes: to caracolalambre :t :u if :t> 1440 [stop] make “x (:t/10)*cos :t make “y ((:t/10)*sin :t)+(15*:u*:t) setxy :x :y caracolalambre :t+0.01 :u end

FUNCIONES

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PARA LAS CARACOLAS

9. Caracol = Toro modificado por expansión y torsión: X = (d + r·(cos c))·cos f Y = (d + r·(cos c))·sen f Z = u·(f/180) + r·(sen c) Con d y r variando en progresión geométrica a medida que crecen los ángulos f y c. Donde u define el «paso de rosca» de las espiras. to caracol :u :p :q :f :k Cs (local “d “r “c ) make “c 0 make “d 1 make “r 1 pu make “x (:d +:r*(cos :c)) *cos :f make “y (:d +:r*(cos :c)) *sin :f make “z (:u*:f/180)+(:r*(sin :c)) setxy :x :y +:z repeat :k*360[ make “f :f+2 make “d :d*:p make “r :r*:q pu make “x (:d +:r*(cos :c)) *cos :f make “y (:d +:r*(cos :c)) *sin :f setxy :x :y+ :z pd repeat 72 [ make “c :c+2 make “x (:d +:r*(cos :c)) *cos :f make “y (:d +:r*(cos :c)) *sin :f make “z (:u*:f/180)+(:r*(sin :c)) setxy :x :y+:z]] end Este programa genera, en alambre, las figuras siguientes, para los valores de los parámetros indicados: Caracol, Vaqueta, Caracol Moro,Fósil u = 1,5; p = 1,005; q = 1,005; f = 60; k = 2,125

Caracola, Turritela u = 6; p = 1,0006; q = 1,0006 f = 60; k = 9,5

Cuerno u = 50; p = 1,005; q = 1,005 u = 60; k = 2

Pechina, Almeja u = 1,5; p = 1,05; q = 1,05 f = –45; k = 0,3

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El programita prueba de modo simple el parentesco que existe entre las formas de las conchas de distintos moluscos, tal como se ve en la siguiente imagen, además de ser una herramienta que resuelve el problema del envío de un archivo pequeño con mucha información gráfica sobre las caracolas, tal como nos habíamos propuesto al comenzar las tareas de desarrollo.

Contracciones y dilataciones

 x'    y'

=

a  0

0  x  ⋅  b   y

Giros

 x'    y'

=

 cosα   senα

Simetrías

−senα   x  ⋅  cosα   y

Desplazamientos (x', y') → (a , b) + (x, y)

 x'    y'

=

 −1  0

 x'    y'

=

0  1

1  x  ⋅  0   y

 x'    y'

=

1  0

0   x  ⋅  −1  y

Alumnado Sanja Dabic´ David Serrano Tamara Herrero Daniel Fernández Javier Juan Raúl Roca

Siniöa Mrkonjic Mireia Ballester José Mª Cano Carmen Moreda María Jiménez Estela Ventura

Manuel Linares Anna Ballester Carolina Baena Paqui Pérez Raquel Ruiz Cristina Hurtado

Bibliografía LOGO: www.Softronix.com L-SYSTEM: http://www.csu.edu.au/complex_systems/tutorial2.html ISOGEOMETRÍA: http://www.i-b-r.org/ir00013.htm#Titles1 FRACTAL: http://www.lactamme.polytechnique.fr/Mosaic/images/ESCA.51.g.D/display.html CONCHAS: http://www.conchology.uunethost.be/cyberconchology/gastropoda.html http://www.conchology.uunethost.be/cyberconchology/bivalvia.html OTRAS CURVAS FAMOSAS: http://www-groups.dcs.st-andrews.ac.uk/%7Ehistory/Curves/Curves.html

Notas *

IES Álvaro Falomir, Almazora (Castellón) OECOM Ada Byron.

0   x  ⋅  −1  y