Formelsammlung Mathematik

1 Inhaltsverzeichnis

1.

Inhaltsverzeichnis

1. 2. 2.1. 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.1.4. 2.1.5. 2.1.6. 2.1.7. 2.1.8. 2.2. 2.2.1. 2.2.2. 2.2.3. 2.2.4. 2.2.5. 2.2.6. 2.2.7. 2.2.8. 2.3. 2.3.1. 2.3.2. 2.3.3. 2.3.4. 2.3.5. 2.3.6. 2.3.7. 2.3.8. 2.3.9. 2.3.10. 2.3.11. 2.3.12. 2.3.13. 2.3.14. 2.3.15. 2.4. 2.4.1. 2.4.2. 2.4.3. 2.4.4. 2.4.5. 2.4.6. 2.4.7. 2.4.8. 2.4.9.

Inhaltsverzeichnis ...................................................................................................2 Mathematik..............................................................................................................4 Allgemeines.............................................................................................................4 Wichtige Winkel.......................................................................................................4 Allgemeine Rechengesetze....................................................................................4 Rechenregeln e-Funktion u. Potenzen...................................................................4 Rechenregeln Logarithmus ....................................................................................5 2er Potenzen ...........................................................................................................5 „Mitternachtsformel“ zum Lösen von quadratischen Gleichungen........................5 Wurzelrechnung ......................................................................................................5 Trigonometrische Funktionen .................................................................................6 Vektorrechnung.......................................................................................................8 Normieren eines Vektors ........................................................................................8 Addition und Subtraktion von Vektoren..................................................................8 Skalarprodukt (inneres Produkt).............................................................................8 Kreuzprodukt (nur bei 3 dimensionalen Vektoren möglich) ..................................8 Spatprodukt (Volumen des Parallelepipeds) .........................................................8 Projektion eines Vektors auf einen anderen ..........................................................8 Lineare Abhängigkeit bei Vektoren ........................................................................9 Bildung Orthonormalsystem (Gram-Schmidt) ........................................................9 Matrizen.................................................................................................................10 Addition und Subtraktion von Matrizen ................................................................10 Multiplikation von Matrizen mit Skalaren..............................................................10 Matrizenmultiplikation: ..........................................................................................10 Symmetrie von Matrizen .......................................................................................10 Determinanten.......................................................................................................11 Direktes Bestimmen (bis maximal 3x3 Matrix).....................................................11 Ausrechnen mit Gauß ...........................................................................................11 Transponierte einer Matrix....................................................................................11 Einheitsmatrix........................................................................................................12 Orthogonale Matrix..........................................................................................12 Inverse Matrix bilden .......................................................................................12 Reguläre/Singuläre Matrix...............................................................................12 Rang einer Matrix ............................................................................................12 Umformungen die den Rang nicht ändern .....................................................12 Lineare Gleichungssysteme............................................................................13 Komplexe Zahlen ..................................................................................................18 Komplexe Zahl im Nenner ....................................................................................18 Multiplikation von komplexen Zahlen ...................................................................18 Konjugiert komplexe Zahl .....................................................................................18 Gaußsche Zahlenebene .......................................................................................19 Betrag einer komplexen Zahl................................................................................19 Darstellung von komplexen Zahlen ......................................................................19 Umrechnung der Darstellungen ...........................................................................19 Rechenregeln Exponentialform ............................................................................20 Potenzierung von komplexen Zahlen...................................................................20

2

1 Inhaltsverzeichnis 2.4.10. Radizieren von komplexen Zahlen .................................................................20 2.4.11. Logarithmus von komplexen Zahlen...............................................................20 2.5. Analysis .................................................................................................................21 2.5.1. Nullstellen..............................................................................................................21 2.5.2. Symmetrie .............................................................................................................21 2.5.3. Monotonie..............................................................................................................21 2.5.4. Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte...............................................................22 2.5.5. Periodizität.............................................................................................................22 2.5.6. Umkehrfunktion .....................................................................................................22 2.5.7. Koordinatentransformation ...................................................................................22 2.6. Gebrochenrationale Funktionen ...........................................................................23 2.6.1. Nullstellen..............................................................................................................23 2.6.2. Polstellen ...............................................................................................................23 2.6.3. Asymptotisches Verhalten im Unendlichen..........................................................23 2.7. Differentialrechnung..............................................................................................28 2.7.1. Ableiten mit Differentialquotient............................................................................28 2.7.2. Grundableitungen .................................................................................................28 2.7.3. ......................................................................................................................................28 2.7.4. Ableitungsregeln ...................................................................................................28 2.7.5. Logarithmische Ableitung .....................................................................................29 2.8. Integralrechnung ...................................................................................................30 2.8.1. Grundintegrale ......................................................................................................30 2.8.2. Integration durch Substitution...............................................................................31 2.8.3. Produktintegration .................................................................................................31 2.8.4. Uneigentliche Integrale .........................................................................................32 2.8.5. Volumen von Rotationskörpern ............................................................................32 2.8.6. Bogenlänge ...........................................................................................................32 2.8.7. Mittelwert ...............................................................................................................32 2.9. Grenzwerte............................................................................................................33 2.9.1. Rechenregeln für Grenzwerte ..............................................................................33 2.9.2. Beispiele Grenzwerte............................................................................................33 2.9.3. Regel von L´Hôpital ..............................................................................................33 2.10. Reihen..............................................................................................................34 2.10.1. Potenzreihen....................................................................................................34 2.10.2. Konvergenzradius von Potenzreihen..............................................................34 2.10.3. Potenzreihenentwicklung (Mac Laurinsche Reihe)........................................35 2.10.4. Taylorreihe.......................................................................................................35

3

2 Mathematik

2.

Mathematik

2.1.

Allgemeines

2.1.1.

Wichtige Winkel

α x

0 0

30°  6

45°  4

60°  3

sin x

0

1 2

2 2

cos x

1

3 2

tan x

0

1

2 2 1

3 2 1 2

2.1.2.

90°  2 1 0



3

120° 2 3

135° 3 4

150° 5 6

180°

3 2 1  2

2 2

1 2

0



 3

2 2 -1





3 2

-1



1

0

3

3

Allgemeine Rechengesetze

Bruchrechnen

a c a*d  b*c   b d b*d a c a*d  b*c   b d b*d a c a*c *  b d b*d a c a*d :  b d b*c

Addition: Subtraktion: Multiplikation: Division:

Binomische Formeln

 Hauptnenner bilden  zusammenfassen  mit dem Kehrwert multiplizieren

 a  b 2  a 2  2ab  b 2  a  b 2  a 2  2ab  b 2  a  b a  b  a 2  b2

Erste binomische Formel: Zweite binomische Formel: Dritte binomische Formel: 2.1.3.

 Hauptnenner bilden

Rechenregeln e-Funktion u. Potenzen

e a * e b  e ab

ea eb

 e a b

1 ea

 e a

e 

a b

 e a*b

a * b n  a n * bn

4

2 Mathematik 2.1.4.

Rechenregeln Logarithmus

a ln    ln(a )  ln(b) b

ln( a * b)  ln( a )  ln(b)

2.1.5.

2er Potenzen

2^0=1 2^4=16 2^8=256 2^12=4096 2^16=65536

2.1.6.

ln(a b )  b * ln( a)

2^1=2 2^5=32 2^9=512 2^13=8192 2^17=131072

2^2=4 2^6=64 2^10=1024 2^14=16384

„Mitternachtsformel“ zum Lösen von quadratischen Gleichungen

x1 / 2  

2

pq-Formel (Gleichung in Form: x + px + q = 0):

abc-Formel (Gleichung in Form: ax + bx + c = 0): x1 / 2  2

2.1.7.

2^3=8 2^7=128 2^11=2048 2^15=32768

p  2

p2 q 4

 b  b 2  4ac 2a

Wurzelrechnung

allgemein: wenn a n  b , dann heißt a  n b  bei a  0  b  0 1

Umwandlung in Potenz:

n

b  b n zu schreiben n m

a * n a  a n* m 

Wurzeln multiplizieren:

n

Wurzeln aus Wurzeln ziehen:

n m

Wurzeln aus Produkten ziehen:

n

a*b  n a *n b

Wurzeln aus Brüchen ziehen:

n

a  b

Rationalmachen des Nenners:

b a



nm

an m

a  n*m a

b* a a* a

n

a

n

b



b* a a

 b0

Bsp :

10 5



10 * 5  2* 5 5

5

2 Mathematik

2.1.8.

Trigonometrische Funktionen

allgemein:

a: Gegenkathete b: Ankathete c: Hypothenuse

c

a

b Sinus: Kosinus:

Sinus:

a sin   c b cos   c

tan  

Tangens:

a sin   b cos 

Kotangens:

cot  

b cos  1   a sin  tan 

sin  x  y   sin x  sin y

sin x  y   cos y * sin x  cos x * sin y sin 2 x   2 * sin x * cos x

Kosinus:

cos x  y   cos x * cos y  sin x * sin y

cos x  y   cos x * cos y  sin x * sin y

cos 2 x  cos2 x  sin 2 x cos 2 x  sin 2 x  1  cos 2 x  1  sin 2 x

 cos x  1  sin 2 x

6

2 Mathematik 2.1.9.

Horner Schema

Beispiel Berechnung des Funktionswertes der Funktion f ( x)  5 x3  10 x 2  20 x  100 an der Stelle x=4 berechen. Werte der Koeffizienten in Tabelle schreiben

2

Hinweis: Bei „leeren“ Koeffizienten, z.B. 0x muss eine 0 eingetragen werden. 1. Schritt

2. Schritt

3. Schritt – der Funktions kann nun direkt abgelesen werden  500 Horner Schema für Polynomdivision Beispiel: Nullstellenberechung für Funktion y  x 3  2 x 2  5 x  6 Erste Nullstelle raten Horner Schema erstellen

x1 =1

1

1 1

-2 -1

-5 -6

6 0

2

 neue Funktion: y=x -x-6 Bleibt im letzten Feld ein anderer Wert als eine 0 stehen, so handelt es sich um den Rest der Division.

7

2 Mathematik 2.2.

Vektorrechnung

2.2.1.

Normieren eines Vektors

2    r  3  1    2.2.2.

 2 1     3 r   1 

 r  2 2  3 2  12 (Betrag des Vektors)

Addition und Subtraktion von Vektoren

1   2   3          1   2   3 

 2  1  1           2  1  1 

(Komponentenweise)

2.2.3.

Skalarprodukt (inneres Produkt)

 2    a  3 1   

 2    b  3 1   

2.2.4.

Kreuzprodukt (nur bei 3 dimensionalen Vektoren möglich)

a  b  a x b x  a y b y  a z bz  2 * 1  3 * 3  1 * 5  16     oder: a  b  a * b * cos( )

1   2  2 * 1  3 * 3  2  9   7           2    3   3 * 2  1*1   6  2    4   3  1  1 * 3  2 * 2  3  4    1          1   2        2  3  2.2.5.

 a

- entstehender Vektor steht senkrecht auf den Vektoren - Betrag = Fläche des aufgespannten Parallelogramms

Spatprodukt (Volumen des Parallelepipeds)

 ax   det  a y a  z

( a  b)  c

2.2.6.

  a b cos( )   a *b

bx by bz

cx   cy  c z 

Projektion eines Vektors auf einen anderen   a projiziert auf b

 b

    ab    ab    2  * b    b   

8

2 Mathematik 2.2.7.

 b

Lineare Abhängigkeit bei Vektoren  b   a a linear unabhängig

 b

 a

parallel (linear abhängig)

 Vektoren sind linear unabhängig, wenn der Rang der Matrix (S. 12) Rg A = n (Anzahl der Vektoren) Beispiel 1  3   2  5    

1  3      0  0  2.2.8.

1  2  1  0

3  det  1 * 5  3 * 2  1  linear unabhänig 5  3  det  1* 0  3 * 0  0  linear abhänig 0 

Bildung Orthonormalsystem (Gram-Schmidt)

Alle Vektoren in einem Orthonormalsystem stehen senkrecht aufeinander und sind normiert. v u v u v u u1  v1 u 2  v 2  2 1 *u1 u 3  v 3  3 1 * u1  3 2 * u 2 u1  u1 u1  u1 u2  u2 Beispiel:

 2 1   1          v1   0  v 2  1 v 3   2   0 1  0       

 2     u1  v1   0   0  

1  1  2 2 0   0  0    2       2   2       u 2  1   *  0   1  *  0   * 1   1  u3   2   1  4  0    1   0  4  0  2 1    1               Die Vektoren müssen abschließend noch normiert werden (S. 8)!

9

2 Mathematik

2.3.

Matrizen

2.3.1.

Addition und Subtraktion von Matrizen  

 1 1   3 2   4 3          2 2   2 3   4 5 2.3.2.

wie Vektoren komponentenweise müssen gleich groß sein

Multiplikation von Matrizen mit Skalaren 

1 2   3 6      3 *   3 4   9 12  2.3.3.

bei Skalar wie Vektor

Matrizenmultiplikation:

 1 2   2 1  8 9     *      4 7   3 5   29 31 Berechnung mit Tabelle: 2 -1

+ 1

2

3

5

8

9

 1* 2  2 * 3  8 Schnittstelle der Matrizen muss passen: A( m,n ) * B( n, p )  C (m, p ) Schnittstelle n muss passen (Zeilen, Spalten)

4 7 29 31 Hinweis: nicht kommutativ A * B  B * A 2.3.4.

Symmetrie von Matrizen

A A  Matrix ist symmetrisch t

 1 4 2    Bsp.: A   4 1 3   2 3 1   

- symmetrisch zur Hauptdiagonalen

A  t A  Matrix ist schiefsymmetrisch

4 2   0   Bsp.: A    4 0 3  2 3 0   

 

bei Spiegelung an der Diagonalen ändern sich die Vorzeichen der Elemente Hauptdiagonalelemente müssen verschwinden

10

2 Mathematik 2.3.5.

Determinanten

   

Matrix muss quadratisch sein bei Zeilentausch ändert sich das Vorzeichen Multiplikation oder Division einer Zeile  Det. mult. bzw. div. mit Faktor keine Änderung, wenn Zeile/Spalte (mit Vielfachem) zu einer anderen addiert wird

Ausrechnen mit Laplace Entwicklung nach einer Zeile/Spalte, Vorzeichen entsprechend dem „Schachbrettmuster“ Beispiel Entwicklung nach Zeile 1:

 1   6   7 

  

2 8 5

2.3.6.

5  8 9 6 9 6 8 9   1*  2*  5*  det( 61) 5 3 7 3 7 5    3  Unterdeterminanten bestimmen 



Direktes Bestimmen (bis maximal 3x3 Matrix)

Hauptdiagonalen jeweils multiplizieren und addieren, Nebendiagonalen multiplizieren und addieren und von den Hauptdiagonalen subtrahieren. 2-reihig: 1 2    1 * 4  2 * 3  2 3 4 3-reihig:

2.3.7. 

 a11   a 21 a  31

a12 a 22 a 32

a13   a 23  a 33 

D  (a11 * a 22 * a 33



a12 * a 23 * a 31



a13 * a 21 * a 32 )

 (a13 * a 22 * a 31



a12 * a 21 * a 33



a11 * a 23 * a 32 )

Ausrechnen mit Gauß

obere oder untere Dreiecksmatrix auf 0 bringen (durch Zeilenumformungen, siehe 2.3.5), dann Hauptdiagonale multiplizieren.

Beispiel: 1 2    3 4  2.3.8.

1 2     1 * (2)  2  0  2

erste Zeile (-3) * zu zweiter Zeile addieren, Hauptdiagonale multiplizieren

Transponierte einer Matrix

 1 3  1 7 8     7 4  Zeilen und Spalten werden vertauscht, Beispiel:  3 4 2  8 2  

t

11

2 Mathematik 2.3.9.

Einheitsmatrix

Die Einheitsmatrix besitzt auf ihrer Hauptdiagonalen jeweils den Wert 1, restliche Elemtente 0. Es gilt: A * E  A 2.3.10.

1 0 0   E   0 1 0 0 0 1  

Orthogonale Matrix

Matrix ist orthogonal, wenn A 1  A t bzw. A * A t  E (transponierte ist gleichzeitig die inverse Matrix). 2.3.11.

A* A

1

Inverse Matrix bilden

 E (Einheitsmatrix)

bis 2x2 Matrix: a b   A   c d 

A 1 

 d b  1  * a * d  b * c   c a 

Ansonsten Gauß-Jordan-Verfahren:  Einheitsmatrix an Matrix anhängen 3 4 5 1 0 0   Zeilenumformungen bis vorne die Einheitsmatrix   1 2 3 0 1 0   steht, dann steht hinten die inverse Matrix und kann 5 0 2 0 0 1 abgelesen werden  Nur Zeilenumformungen möglich  Vorgehen: zuerst untere Dreiecksmatrix erzeugen, dann obere  inverse nur bei regulären Matrizen möglich 2.3.12.

Reguläre/Singuläre Matrix

reguläre Matrix: singuläre Matrix 2.3.13.

det  0 det = 0

Rang einer Matrix

- Zeilenanzahl der größten Unterdeterminante von A  0 2.3.14.   

Umformungen die den Rang nicht ändern

2 Zeilen / Spalten vertauschen Zeile / Spalte mit 0 multiplizieren Vielfaches einer Zeile / Spalte zu einer anderen addieren

Beispiel:

1 2 5    A   7 4 3  7 * I 0 8 0  

2 5  5 2  1 1       0  10  32    0  32  14   Rang  3 0 8 0 0  0 8   

12

2 Mathematik 2.3.15.

Spur einer Matrix

Summe der Diagonalelemente einer Matrix a  a Beispiel: A   11 12  Sp( A)  a11  a22  a21 a22  2.3.16. Lineare Gleichungssysteme   A* x  c a11 x1  a 12 x 2  a13 x 3  c1

a 21 x 2  a 22 x 2  a 23 x 3

 c2

a 31 x 3  a 32 x 2  a 33 x 3

 c3

In Form bringen (untere Dreiecksmatrix herstellen): a11 a12 a13 c1

0

a 22

a 23

c2

0

0

a 33

c3

Lösungen: 1

2

5

3

0

1

7

5

1.Variante:

0

0

0

0

Variable frei wählbar (0=0)

2.Variante:

0

0

1

7

eindeutige Lösung (x3=7)

3.Variante:

0

0

0

8

keine Lösung für LGS

Ermittelte Variable in nächste Ebene einsetzen und nächste Variable berechnen. Hinweis: Nur Zeilenumformungen sind erlaubt, Tausch und Addition einer Zeile mit Faktor!

13

2 Mathematik 2.3.17.

Eigenwerte und Eigenvektoren

 2 5  Beispiel Berechnung Eigenwerte und Eigenvektoren: A    4 1 1. Aufstellen der charakteristischen Gleichung Auf Hauptdiagonale  subtrahieren. 2   5 0 1 4 

 (2   ) * (4   )  (5*1)  0   2  2  3  0

( 2  Sp ( A) *   det( A)  0)

2. Lösen der charakteristischen Gleichung

b  b 2  4ac 2  4  12 2  4 1,2    2a 2 2 1  3

Die charakteristische Gleichung muss gelöst werden, die Nullstellen des Polynoms sind die Eigenwerte der Matrix.

 2  1 3. 1 einsetzen in das LGS  2  3 5   v11   0   *     4  3   v12   0   1  5 5   v11   0   5* 2.Zeile   *      1 1   v12   0   0 0   v11   0   *      1 1   v12   0 

Eigenwerte jeweils in A einsetzen und das LGS lösen. Matrix ist immer det(0), das LGS daher unterbestimmt, eine Variable frei wählbar (S. 13)

v11  v12  0

v12 wird als Parameter  gesetzt.

v11  v12

v12   setzen

v11   4. Eigenvektor normieren 1  1 v1    2 1 

Bei der Normierung verschwindet der Parameter.

5. Probe Sp ( A)  1   2

Anschließend den zweiten Eigenvektor mit 2 analog bestimmen.

det( A)   1 * 2

14

2 Mathematik 2.3.18. – –

Diagonalmatrix

alle Elemente außerhalb der Diagonale sind 0 Berechnung der Inversen: Diagonalmatrix ist genau dann invertierbar, wenn kein Eintrag der Hauptdiagonale 0 ist. Inverse Matrix berechnet sich dann wie folgt: 1  1 1  2 0   2 0   2 0      0 41   0 1  0 4    4 Eigenwerte von Diagonalmatrizen: die Eigenwerte von Diagonalmatrizen sind die Elemente der Hauptdiagonalen: 1 0 A   1    3  0 3

–

1  Eigenvektoren : v1    0 2.3.19.

 0 v2    1 

Matrizen potenzieren mit Eigenwerten

Es gelten folgende Zusammenhänge:

A15  V * 15 * V 1 (inverse) bzw. wenn A symmetrisch und die Eigenvektoren normiert sind: 15

A

 V *  * V ' (transponierte) 15

Beispiel: 15

A15

 5 2     6 2 

Eigenwerte: 1  1 ;  2  2

1   2 Eigenvektoren: v1   v2     2 3  1 2   115 A15    *  2 3   0

A15 

0   3 2  *  215   2 1

131.069 65.534 196.602 98.300

V = Matrix der Eigenvektoren  = Matrix der Eigenwerte in Form:

115

0

0

 215

 15

1. Schritt Berechnung der Eigenwerte und Eigenvektoren (S. 14). Diese müssen nicht normiert werden, da sich die Normierung durch Multiplikation mit der inversen wieder herauskürzt. Eigenvektoren in Matrix 15 schreiben, multipliziert mit  , multipliziert mit der inversen Matrix der Eigenvektoren (S. 12). Matrixmultiplikation durchführen (S. 10).

15

2 Mathematik 2.3.20.

Hauptachsentransformation

Ziel: Durch Überführung einer Funktion in die Normalform, soll eine Klassifizierung erfolgen um welchen Typ von Fläche es sich handelt. Beispiel:

a11 x 2  a22 y 2  a12,21xy  b1x  b2 y  d  0

6 x 2  9 y 2  4 xy  40 x  30 y  55  0   a11 ( x, y )    a12,21   2

a12,21   2  x      y a12    6 2  x  ( x, y )       2 9  y 

  10 v1 

V

1 1    5  2

1  1 2    5 2 1 

 2  5 v2 

1. Matrix aufstellen

1  2    5 1 

 10 0     0 5

    ( , )       (b1 , b2 )  V     d  0       10 0    1  1 2    ( , )        ( 40, 30)        55  0 5  2 1     0 5   

2. Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix bestimmen (S. 14) mit anschließender Normierung 3. Matrizen V und  aufstellen Hinweis: det(V) = 1, bei det(V)=-1 muss die Reihenfolge der Eigenvektoren vertauscht werden. Reihenfolge in  beliebig 4. Einsetzen in Gleichung

 10 0      1.) ( , )        10  5  0 5    1  1 2    100 50  2.) (40, 30)       5  2 1    5 5 ergibt:

100 50   55  0 / : 5 5 5 20 10   11  0 2 2    5 5

10   5  

16

2 Mathematik

2 2    

20 5



10 5

5. Verschiebung durch quad. Ergänzung beseitigen

 11  0

2 2     4 5  2 5  11  0





2   2 5







 2 5



Formel für quad. Ergänzung:

 11  0

2(  5)2  10  (   ) 2  5  11  0

2

b  b2  a  x2  b  x  a   x    2 a 4a  

2(  5)2  (   ) 2  4 v    Einsetzen :

w   5

2v 2  w 2  4

/:4

v 2 w2  1  2 4

v2 2

2



6. Einführung neuer Koordinaten und Ablesen der neuen Funktion  hier Ellipse.

w2 22

1

17

2 Mathematik 2.4.

Komplexe Zahlen

1  i

 1 

2

  1

 Alle Rechnungen wie gewohnt aber i 2  1 . Komplexe Zahl: 5  3i (Realteil, Imaginärteil)

2.4.1.

Komplexe Zahl im Nenner

2 2 * (1  i) 2  2i 2  2i     1 i 1  i (1  i )(1  i) 12  i 2 2 2.4.2.

Erweiterung mit dem konjugiert komplexen Term.

Multiplikation von komplexen Zahlen

( a  bi) * (c  di)  ( ac  bd )  ( ad  bc )i Bsp : (3  4i ) * (2  3i)  (6  12)  (9  8)i   6  17i 2.4.3.

z  a  bi

Konjugiert komplexe Zahl

z  a  bi

(Vorzeichen des Imaginärteils ändert sich)

18

2 Mathematik 2.4.4.

Gaußsche Zahlenebene Darstellung der komplexen Zahl im zweidimensionalen Raum.  Dadurch keine Vergleichbarkeit von komplexen Zahlen, da sich diese nicht anordnen lassen, wie auf einen Zahlenstrahl.

2.4.5.

Betrag einer komplexen Zahl

a  bi

z  a 2  b 2  Re( z ) 2  Im( z ) 2

2.4.6.

Darstellung von komplexen Zahlen

kartesische Darstellung:

z  a  bi

 im Betrag taucht die komplexe Zahl i nicht auf

z.B. 5  3i

trigonometrische Darstellung: z  r * (sin   i * cos  ) (in Praxis nicht verwendbar) Exponentialform:

2.4.7.

z  5  e i (geeignet für Multiplikation, Division und Potenzierung von komplexen Zahlen)

Umrechnung der Darstellungen

Polar nach Kartesisch a  r * cos

b  r * sin 

Kartesisch nach Polar

r  a2  b2 b   arctan a (Winkel ist mehrdeutig!) tan ist  periodisch z.B.: 1  z  1  i   arctan   45 1 4 1   z  1  i   arctan 1 4  überlegen wo der Winkel liegt!

19

2 Mathematik 2.4.8.

Rechenregeln Exponentialform

z1 r  1 * e i (1 2) z 2 r2

z1 * z 2  r1 * r2 * e i ( 1 2)

2.4.9.

9

Potenzierung von komplexen Zahlen

(0  1i) 9  (1* e i 90 ) 9  (1* e

i9

z b  (r * e i )  r b * e i *b

i

 2 )9

 19 * e

 i *9 2

 1* e

 9 i 2

 = mehrmaliges Umrunden des Zeigers (2 = eine Umdrehung) 2

Ergebnis: 1 * e 2.4.10.

i

 2

 i (Zeiger hat 4-mal umrundet)

Radizieren von komplexen Zahlen

 Jede n-te Wurzel hat n-Lösungen!

z  (r * e i (  2 k ) )1 / b  r 1 / b * e Beispiel 1: b

4  (4 * e i*0 )1 / 2  4 * e

i*0*

4  (4 * e i*2 )1 / 2  4 * e

1 2

i

 *2 k b

 b r *e

 2 k i(  ) b b

 2 * e i*0  2

i *2 *

1 2

 2 * e i*   2 Beispiel3:

Beispiel 2: 3

1  (1 * e i*0 ) 1 / 3  3 1 * e

 (1* e i*2 )1 / 3  3 1 * e  (1* e i*4 )1 / 3  3 1 * e 2.4.11.

 1* e i *0  1

i  (1* e

 i* 2 )1 / 2

i*2 *

1 3

 1* e120 

i  (1* e

 i*  2 2 )1 / 2

i*4 *

1 3

 1* e 240

i*0*

1 3

 1 *e

 i* 4

 1 *e

 2 i*  4 2

 1* e

Logarithmus von komplexen Zahlen

 Rechenregeln für Logarithmen siehe S. 5.

ln(1)  ln(1 * e i*0 )  ln(1)  ln(e i*0 )  0  i * 0  ln(1* e i*2 k )  ln(1)  ln(e i*0 2 k )  0  i * 2 k

kZ

 unendlich viele Lsg.

0 = Hauptwerk, Imaginärteil [0,2[ Beispiel:

ln( e)  ln(e)  ln(e i*(  2 k ) )  1  i (  2 k )

20

i 5 4

2 Mathematik 2.5.

Analysis

2.5.1.

Nullstellen

y  x 2

y  0 setzen 0  x 2  2

y  x2  2

y  0 setzen 0  x 2  2 x 2  2

2

Mitternachtsformel:

2.5.2.

x 2  2 x   2  keine reelle Nullstelle

 b  b 2  4ac 2a x1  1,41 x 2  1,41 x1,2 

x1,2 

 0  0  4 *1* (2) 2



 8 2,83  2 2

Symmetrie

f(-x)=f(x)  Achsensymmetrisch 2 2 2 Bsp.: f(x)=x -2 =4 2 =4

-f(x)=f(-x)  punktsymmetrisch im Ursprung 3 3 3 Bsp.: f(x)=x -2 =-8 2 =8

2.5.3.

Monotonie

Streng monoton wachsend: Streng monoton fallend: Monoton wachsend:

f x   0 f x   0 f x   0

Streng monoton, wenn Funktion immer ansteigt, d.h. keine Sattelpunkte

21

2 Mathematik 2.5.4.

Hochpunkte, Tiefpunkte, Wendepunkte

Vorgehen: Ableiten, Gleichung lösen und mit Bedingung überprüfen. Hochpunkt: f x   0 und f  x0   0

f x   0 und f  x0   0

Tiefpunkt:

f  x  0 und f x0   0  Hinweis: einfache Nullstelle

Wendepunkt: 2.5.5.

Periodizität

f(x  p) = f(x) 2.5.6.

Beispiel: sin(x + 2) = sin(x)

Umkehrfunktion

Vorgehen:

- x und y vertauschen und nach y auflösen - Definitionsbereich und Wertebereich vertauschen sich

Beispiel: y = 2x + 1 (f(x)) Umkehrung: x = 2y + 1 / -1 x-1 = 2y / :2 0.5x-0.5 = y (g(x))

 

Periode: p = 2

f(x)

f(x)=x

g(x)

Umkehrfunktion wird an f(x) = x gespiegelt jede streng monoton wachsende oder fallende Funktion ist umkehrbar

2.5.7.

Koordinatentransformation

Bei Umwandlung Kartesisch nach Polar: x  r * cos

y  r * sin 

r2  x2  y2

22

2 Mathematik 2.6.

Gebrochenrationale Funktionen

Beispiel:

2.6.1. 

x2  4

Nullstelle wo das Zählerpolynom den Wert 0 annimmt, aber Nennerpolynom von 0 verschieden ist Polstellen

Nullstellen des Nennerpolynoms kann die Nullstelle über Linearfaktoren mit Zähler gekürzt werden, so kann Definitionslücke behoben werden, ansonsten Polstelle

2.6.3.   

x 3  6 x 2  12 x  8

Nullstellen

2.6.2.  

f ( x) 

Asymptotisches Verhalten im Unendlichen

zuerst Definitionslücken beheben anschließend Polynomdivision Zähler/Nenner es entstehen Lineare Funktion + Rest  lineare Funktion  Asymptote

Beispiel 1 (Behebung der Definitionslücken):

f ( x) 

x 3  6 x 2  12 x  8

x2  4 1. Nullstellen ermitteln Zähler x1 =2 (raten, weitere durch Polynomdivision)

( x 3  6 x 2  12 x  8) : ( x  2)  x 2  4 x  4  (x 3  2x 2 )

4  16  16 4  0  2 2 2  doppelte Nullstelle x 2,3 

 4 x 2  12 x  (4 x 2  8 x ) 4x  8  (4 x  8) 0 2. Nullstellen ermitteln Nenner

x2  4  0

x1  2 , x 2  2

3. Zerlegung in Linearfaktoren ( x  2)( x  2)( x  2) ( x  2)( x  2) behebbar bei x=2

4. Behebung - einsetzen von x=2 in die gekürzte Formel: (2  2)(2  2) 0  0 f (2)  0 (2  2) 4

23

2 Mathematik Beispiel 2 (Asymptote im Unendlichen) Restfunktion aus Beispiel 1  Polynomdivision

( x  2)( x  2)  ( x 2  4 x  4) : ( x  2)  ( x  2)

x6 

 Asymptote im unendlichen

16 x2

 ( x 2  2x)  6x  4  (6 x  12) 16

2.7.

Mehrdimensionale Extremwertberechnung

2.7.1.

Berechnung von Extremalstellen mehrdimensionaler Funktionen

Beispiel:

f ( x, y)  3xy  x3  y 3

Partiell Ableiten (siehe S. 29)

f x  3 y  3x2 f y  3x  3 y 2 f xx  6 x

f xy  3

f yy  6 y Erste Ableitungen gleich 0 setzen

f yx  3

0  3 y  3x 2

/ :3

0  3x  3 y 2

/ :3

0  y  x2 0  x  y2 Es entsteht ein Gleichungssystem welches zu lösen ist durch entsprechende Umformungen: 0  x  y2  x  y2 Einsetzen in erste Gleichung :

 

0  y  y2

2

 0  y  y4



 0  y 1  y3



Lösungen : y1  0 x1  0 y2  1 x2  1 Ermittelte Punkte untersuchen ob Extremstelle

Notwendiges Kriterium:

D  f xx ( x0 , y0 )  f yy ( x0 , y0 )  [ f xy ( x0 , y0 )]2  0 (einsetzen x und y Wert in zweite Ableitungen) Ist dieses erfüllt, dann bedeutet:

24

2 Mathematik

f xx ( x0 , y0 )  0  relatives Maximum f xx ( x0 , y0 )  0  relatives Minimum Im Falle D > 0 liegt ein Sattelpunkt vor, bei D = 0 ist keine Entscheidung möglich. Beispiel: x1  0 , y1  0

D  0  0  9  9  kein Extrempunkt

x2  1 , y2  0

D  (6)  (6)  9  27

 Extrempunkt

f xx (1,1)  6  Hochpunkt Extrempunkt:

f (1,1)  z  3 1 1  13  13  1 P1=(1,1,1)

25

2 Mathematik 2.8.

Extremwertberechnung mit Nebenbedingungen

2.8.1. –

Direktes Auflösen der Nebenbedingung

Hinweis: direktes Auflösen ist nur bei einfachen Problemen möglich und beinhaltet in der Regel eine Menge Rechenarbeit Maximum der Funktion f ( x, y )  xy unter der

Beispiel:

Nebenbedingung x  y  1 Auflösen der NB nach x

x  1 y

Einsetzen in Funktion

f ( y )  (1  y ) y  y  y 2 Funktion ist nur noch von einer Variable abhängig. f '( y )  1  2 y f ''( y )  2

Ableiten der Funktion und erste Ableitung gleich 0 setzen

0  1 2 y 2 y  1 / 2 1 y 2 Einsetzen von y in NB

1 1  1 / 2 2 1 x 2 x

Die zweite Ableitung ist negativ für alle Y  Maximum. 2.8.2.

Lagrange-Multiplikatoren

Methode der Lagrange-Multiplikatoren ist eleganter las das direkte Einsetzen, es basiert auf den Ansatz: L ( x, y )  f ( x, y )    g ( x , y ) Man bildet die partiellen Ableitungen fx,fy,gx,gy und löst das folgende homogene Gleichungssystem: fx   gx  0

fy   g y  0

26

2 Mathematik Beispiel:

Funktion : T ( x, y )  1  xy Nebenbedingung : g ( x, y )  x2  y 2  1

Partiell ableiten

Tx  y

gx  2x

Ty  x

g y  2y

Txx  0

Txy  1

Tyy  0

Tyx  1

Lagrange-Gleichungen

0  y  2 x 0  x  2 y

Gleichungssystem lösen

–

erste Gleichung nach  auflösen: 0  y  2 y /  y

 y  2 y

–

/ x

y   2 /  2 x y   2x in zweite Gleichung einsetzen:

0 x

y2 x

y2  x / x x yx In Nebenbedingung einsetzen

y2  x2

x2 

1 2

/

x 2  x2  1  0 2 x2  1 /  2 x

Nun Maxima bestimmen



1 2

 y

1 2

Punkte in T(x,y) einsetzen, Maximum ist T max=1,5 für die Punkte:  1  1 1  1  , ,   und   2 2 2 2    Bsp.:  1 1  T ( x, y )  1       1, 5 2 2 

 T ( x, y )  1     T ( x, y )  1   

1    1, 5 2 2 1 1     0,5 2 2 1



27

2 Mathematik 2.9.

Differentialrechnung

2.9.1.

Ableiten mit Differentialquotient

Bsp.: y  x 2

f ' ( x)  lim

x 0

 lim

 x 0

2.9.2.

y'  2 x f ( x   x)  f ( x) ( x   x) 2  x 2 x 2  2xx  x 2  x 2  lim  lim 0 0  x   x  x x x

2xx  x 2  2x x Grundableitungen f’(x) n-1 n*x

f(x) n x

1 x2 x e

x

e

1 x sin(x) cos(x)

x2 cos(x) -sin(x)

tan(x)

1



f’(x) 1

f(x) -1 tan (x)

1

x

x

a ln(x)

(ln a)*a 1 x

loga(x)

1 (ln a ) * x

2

cos x -1

sin (x)

Ableitung Sinus-Kosinus: sin(x) cos(x )

1 1 x 2

-1

cos (x)



1

-sin(x)

1 x 2 2.9.3.

-cos(x)

Ableitungsregeln

Produktregel:

 f ( x) * g ( x) ' 

f ( x) * g ' ( x)  f ' ( x) * g ( x) Bsp : ( x * sin( x))'  x * cos( x )  sin( x) Für das Produkt dreier Funktionen:

f x * g x * h( x)   f  x * g x * h( x)  f x * g  x * h( x)  f x * g x * h' ( x) Quotientenregel:

'

 f ( x)  g ( x ) * f ' ( x )  f ( x) * g ' ( x)     g ( x)   g ( x) 2 '

 x 2  3 x  (5 x 2  2 x ) * (2 x  3)  ( x 2  3 x ) * (10 x  2)   Bsp :   5x 2  2x  (5 x 2  2 x ) 2  

28

2 Mathematik Kettenregel:

äußere Ableitung mal innerer Ableitung  f g x   f  g x * g  x 

Bsp : e sin(  

e sin(

ln x )

ln x ) 

'

sin(   e

ln x )

* cos( ln x ) *

1 2 ln x

*

1 x

* cos( ln x )

2 x ln x Trick: Ableitung von e hoch roter Kasten, mal Ableitung von roter Kasten, mal Ableitung von grüner Kasten … 2.9.4.

Logarithmische Ableitung

Bsp.:

f ( x)  x x

/* ln

ln( f ( x))  ln( x x )

 Differenzierung beider Seiten mit Ketten-/Produktregel

1 1 * f '( x)  x *  ln( x ) /* f ( x ) f ( x) x f '( x )  f ( x ) *(1  ln( x ))  x x *(1  ln( x )) 2.9.5.

Differentiation mit mehreren Variablen

Partielle Ableitung: Jeweils nach einer Variablen ableiten, die anderen als Konstante ansehen. Beispiel: Höhere Ableitungen: f ( x, y )  2 xy  5 x 2 y  7 xy

f x  2 y  10 xy  7 y f y  2 x  5x 2  7 x

Gradient:   Nabla Operator

  fx   f ( x, y )     fy  Gradientenvektor liefert immer die größte Steigung: P1 (1,1)  2 y  10 xy  7 y   x,y einsetzen   f ( P1) 2  2 x  5x  7 x  höchste Steigung in P1  2*1  10 *1  7 *1  19     2  2*1  5*1  7 *1  14  Totales Differential: Komplette Ableitung der Funktion nach allen Variablen.

29

2 Mathematik Steigung in Richtung bestimmen Bsp.: P1(1,1) in Richtung P2(5,3) 1. Vektor von P1 nach P2 bestimmen  5  1  4  P2  P1      3  1  2 

2. Betrag des Vektors 1 1 1   r 16  4 20 4 3. Einheitsvektor in Richtung 1  4  1  *     4  2   0, 5 

  1   2  10  7   19  f      0,5  1  2, 5  3,5   7 

(Steigung in Richtung P2)

2.10. Integralrechnung 2.10.1. f(x) n-1 n*x n x cos(x) sin(x) x e 1 x

1

Grundintegrale F(x) n x +C

x n 1 C n 1 sin(x) + C -cos(x) + C x e +C ln(x) + C

b

 f ( x) dx a

 F (b)  F (a ) Hinweis: nicht über Polstellen und Definitionslücken integrieren!

tan(x) + C

cos 2 x

30

2 Mathematik 2.10.2.

Integration durch Substitution

Beispiel 1:  x * cos( x 2 )dx

Einsetzen:

  x * cos( u )

1 du 1 cos( u )du  sin( u )  C  2 x 2  2

Beispiel 2:  3 1  t dt

1. Substitution durchführen: du u  1 t  dt 1  anschließend Rücksubstitution durchführen: 3 3   (1  t ) 4 / 3  C   3 (1  t ) 4  C 4 4

Einsetzen:

   u 1 / 2 du  

2.10.3.

1. Substitution durchführen: du u  x2  2 x /* dx / : 2 x dx du  dx 2x  anschließend Rücksubstitution durchführen: 1  sin( x 2 )  C 2

3 4/3 u C 4

Produktintegration

 u( x) * v' ( x)dx  u( x) * v( x)   u' ( x) * v( x)dx Bsp. 1:

 x *e

x

dx

u=x u’=1

x

v’=e x v=e

Einsetzen:

 x * e x   1 * e x dx  x * e x  e x  C  e x ( x  1)  C Bsp. 2:

 x * ln( x)dx

u  ln( x ) v '  x 1 1 u'  v  x2 2 x

Einsetzen:



1 1  1 1 1 x2 1 1 1 1 1 2 dx  x 2 * ln( x )  * x 2  x 2  ln( x )   x * ln( x )   * x 2 dx  x 2 * ln( x )   2 2  2 2 2 x 2 2 2 x 2

31

2 Mathematik 2.10.4.

Uneigentliche Integrale

Bsp.: 



1

 x3

dx

1

 1  F ( x)   2   2x  1

 1  lim   x   2 x 2

  1     2 * 12  

  1 1 1 1   lim      0   2 x   2 2 2 x 2 *   

Bsp.:

 

2

e

x

dx

2 x

F ( x)  e

x  







2.10.5.



 lim e 2  e x  e 2  0  e 2

Volumen von Rotationskörpern

b

V    * f ( x) 2 dx a

2.10.6.

Bogenlänge

Länge des „Weges“ auf der Funktion. b

l   1  ( f ' ( x)) 2 dx a

2.10.7.

Mittelwert

b

 f ( x)dx a

ba

2.10.8.

Mantelfäche berechnen b

Amantel  2   f ( x )  1  f '( x )2 dx a

32

2 Mathematik 2.11. Grenzwerte Begriffe: - konvergent, wenn Folge einen Grenzwert besitzt - divergent, wenn Folge keinen Grenzwert besitzt

1 1 0   0     unbestimmt

Beispiel:

21n  2 an  3n  3

2.11.1. 1.)

    21  7  3  

Rechenregeln für Grenzwerte

lim ( f ( x )  g ( x))  lim f ( x)  lim g ( x)

x x0

2.)

  2 2   n  21     21  n  21n  2    n   lim  lim   lim   n   3 n 3n  3  n  n  3  3    3  n  n    

x x0

x x0

lim (C * f ( x))  C *  lim f ( x)   x x0 

x x 0

3.)

lim ( f ( x ) * g ( x ))  lim f ( x ) * lim g ( x )

x x0

4.)

x x0

2.11.2.

x x0

x x 0

lim ( n f ( x ) )  n lim f ( x) x x0

Beispiele Grenzwerte

1 1  lim   2     2 x x  1  lim   2    2    x 0  x lim  2 x  x    x 0

x 

2.11.3.

sin( x) 1 x sin( x) 0 x sin( x)  x2

Regel von L´Hôpital

Grenzwert weist folgende Eigenschaft auf:

lim f  x 

x 0

dann gilt: lim

x x0

f ( x) f ' ( x)  lim g ( x ) x x 0 g ' ( x )

0  oder lim f x   x 0 0 

Beispiel: lim

x 0

sin( x ) cos( x )  lim 1 x 0 x 1

33

2 Mathematik

2.12. Reihen 2.12.1.

Potenzreihen

P( x)  a 0  a1 x  a 2 x 2  a 3 x 3  a n x n 

2.12.2.



 an x n

n0

Konvergenzradius von Potenzreihen

 a  r  lim  n  n   a n  1  1 2 1 3 1 4 1 5 x  x  x  x  2 3 4 5  1 1 n * 1    n 1 1  n  r  lim n   1  1 0 n  1 n n n n 1 (bei  ist Konvergenzradius = R) Bsp.: P( x)   x 

 Konvergenzradius = 1

Anschließend Überprüfung ob 1 und -1 im Konvergenzradius enthalten sind. 1 1 1 1 P(1)  1       Konvergiert 2 3 4 5  1  r  1 1 1 1 1 P(1)  1       divergiert 2 3 4 5

34

2 Mathematik

2.12.3.

Potenzreihenentwicklung (Mac Laurinsche Reihe)

Zweck: Annäherung einer Funktion f(x) mit Polynomen in einem Punkt

f ( x) 





n0

f

(0) n *x n!

Beispiel: f(x)=sin(x) f(0) f (x)=sin(x) 0 f '(x)=cos(x) 1 f ''(x)=-sin(x) 0 f '''(x)=-cos(x) -1 f (4)(x)=sin(x) 0 f (5)(x)=cos(x) 1 f (6)(x)=-sin(x) 0 f (7)(x)=-cos(x) -1 f (8)(x)=sin(x) 0 f (9)(x)=cos(x) 1 2.12.4.

 Näherung um x = 0

( n)

! 0! 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7! 8! 9!

x x^0 x^1 x^2 x^3 x^4 x^5 x^6 x^7 x^8 x^9



1 3 1 5 1 7 1 9 x  x  x  x  3! 5! 7! 9! Die Reihe ist unendlich lang, allerdings ist die Reihe nach einigen Termen bereits hinreichend genau. f ( x)  x 

Taylorreihe

Wie MacLaurinsche Reihe, aber Entwicklung um einen beliebigen Punkt.  Näherung um x = 0  f (n ) ( x ) 0 f ( x)   * ( x  x0 ) n n! n 0 Beispiel: f ( x)  x

x0  0

f ( x)  x  x 1 / 2 1 1 / 2 x 2 1 f ' ' ( x)   x 3 / 2 4 3 5 / 2 f ' ' ' ( x)  x 8 15  7 / 2 f ' ' ' ' ( x)   x 16 f ' ( x) 

f ( x)  1 

f(x) 1 1 2

! 0! 1!

x 1 x

1 4

2!

x

3!

x

4!

x

 3 8 

15 16

2

3

4

1 1 3 15 ( x  1)  ( x  1) 2  ( x  1) 3  ( x  1) 4 2 4 * 2! 8 * 3! 16 * 4!

 Berechnung Konvergenzradius ganz normal möglich  Konvergenzradius um Punkt x0

35

2 Mathematik 2.13. Differentialrechnung 2.13.1.

Trennung der Variablen

y '  f ( x) * g ( y) 1  g ( y ) dy   f ( x)dx Beispiel 1: x y' sin( y )

sin( y ) * y '  x

/* sin( y ) y' 

dy dx

dy  x /* dx dx sin( y )dy  x dx / 

Vorgehensweise:  beide Variablen auf je eine Seite bringen dy für y’ einsetzen  dx  integrieren

sin( y )

1 2 x C 2 1  cos( y )  x 2  C 2  cos( y)   1 x2  C / cos1 2  1  1 2 y  cos   x  C   2  sin( y )dy 

Beispiel 2: y' y

Anfangswertproblem: y (0)  1

dy  y / : y /* dx dx 1 dy  dx /  y 1  y dy   dx ln( y )  x  K / e ^

1  C * e0  C *1 C 1

y  exk y  C * ex „allgemeine Lösung“

36

2 Mathematik 2.13.2.

Lineares DGL 1. Ordnung (Variation der Konstanten)

Allgemeine Form: 1. Schritt:

y ' f ( x) * y  g ( x ) (y’ u. y müssen linear sein) Bsp.: x  3 x  t * et Lösen des homogenen Gleichungssystems:

x  3 x  0 Lösungsformel: y  C * e Trennung der Variablen:



 f ( x ) dx

x  e3t * K 2. Schritt Variation der Konstanten

x  K (t ) * e3t

(für K wird K(x) gesetzt)

x (t )  K (t ) * e3t *3  K (t ) * e3t (ableiten mit Produktregel)  einsetzen in Ursprungsformel: K (t ) * e3t *3  K (t ) * e3t  3* K (t ) * e3t  t * et  2 Terme müsse sich herauskürzen K (t ) * e3t  t * et / : e3t

K (t )  t * e2t K (t )   t * e

/

2t

1 (2t  1)e 2t  C 4  einsetzen in homogene Lösung K (t )  

x  e3t * K  1  x (t )  e3t   (2t  1)e 2t  C   4 

37

2 Mathematik 2.14. System linearer Differentialgleichungen 2.14.1.

Eulerscher Lösungsansatz

Beispiel: Lösung DGL 3. Ordnung y ''' 5 y '' 17 y ' 13 y  0 Charakterisches Polynom bilden (Ableitung wird zu Potenz) und Nullstellen des Polynoms finden

 3  5 2  17  13  0 Nullstellen: 1  1 ,  2  2  3i

Lösungsschema für Fundamentalsystem: 1-fache reelle Nullstelle:   e t m-fache reelle Nullstelle (Nullstelle mehrfach vorhanden): 1-fache komplexe Nullstelle:

  e t , t  e t , t 2  e t ,...

m-fache komplexe Nullstelle (Nullstelle mehrfach vorhanden):

  e t  cos( t ), e t  sin( t )

e t  cos( t ) e (  i )t   t e  sin( t )

Fundamentalsystem:

et , e 2t  cos(3t ) , e 2t  cos(3t ) Allgemeine Lösung:

e t  t  cos( t ), e t  t  sin( t ) .... Fundamentalsystem aus Nullstellen bilden

y  c1  et  c2  e 2t  cos(3t )  c3  e 2t  cos(3t )

38

2 Mathematik 2.14.2.

Überführung DGL n-ter Ordnung in n Differentialgleichungen 1. Ordnung

Durch Substitution lässt sich das obige DGL in ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung überführen. y '' 5 y ' 6 y  0 Substitution und einsetzen in ursprüngliche Gleichung Gleichung u. Matrixschreibweise allgemein

y  z1 , y '  z1 '  z 2 , y ''  z 2 '  z3 , y '''  z3 '  z2 ' 5 z 2  6 z1  0

z n ' a1 zn  a2 zn 1  ...  an 1 z2  an z1  0  z1 '     0  z2 '   0  ...       ...  zn 1 '       an  zn ' 

1 0 0 1 ... ... an 1  an  2

 z1  ... 0      z2  ... 0    ...   ... 1     zn 1  ... a1     zn 

Gleichungssystem für Beispiel

 z1 '   0 1   z1       z2 '   6 5   z2 

Eigenwerte der Koeffizientenmatrix bestimmen Eigenvektoren der Matrix bestimmen

1  2 2  3

Aufstellen des Fundamentalsystems

1  1  e 2t    , e3t    2  3

Allgemeine Lösung DGL

 z1   y  2t 1  3t  1        C1  e     C2  e    ' 2 z y    3  2   Ergebnis von y wie beim Eulerschen Lösungsansatz, jedoch liefert diese Methode auch die Lösung von y’. Durch ableiten von y lässt sich eine Rechenprobe durchführen

1  1  v1    , v2    2    3

39

2 Mathematik 2.14.3.

Allgemeine Systeme linearer DGLn (ohne Störterm)

1. Fall, es existieren n verschiedene reelle Eigenwerte Beispiel: x '  13 x  30 y

y '  9 x  20 y Vektordifferentialgleichung aufstellen

 x '   13 30   x        y '   9 20   y 

Eigenwerte und Eigenvektoren bestimmen

  5   2

Aufstellen des Fundamentalsystems

5 2 e5t    , e 2t    3 1 

Allgemeine Lösung des DGL-Systems

x 5t  5  2t  2     C1  e     C2  e    y 3     1 

 5 2 v1    v2     3 1 

40

2 Mathematik 2. Fall, es existieren weniger als n verschiedene reelle Eigenwerte  Beispiel: x '  2x  4 y

y '  x  2y Vektordifferentialgleichung aufstellen

 x'  2 4   x       y '   1 2   y 

Eigenwert und Eigenvektoren bestimmen

 2  v1    1  – doppelter Eigenwert  Hauptvektor bilden 4   u1   2  2         1 2     u2   1  

Hauptvektor bilden – lineares Gleichungssystem aufstellen mit Matrix abzgl. Eigenwert – Ergebnisvektor = Eigenvektor

  0

 2 4   u1   2         1 2   u2  1  Lin. Gleichungssystem ist linear abhängig  Parameter frei wählbar. u2   

2u1  4u2  2 u1  4  2

/ 4

2u1  6

/:2

u1  3  3   Hauptvektor u    1  Aufstellen Fundamentalsystem

 2   3  2t  e 0t    , e 0t   1   1  t  Der zweite Termin berechnet sich wie folgt:

e  u  t  v  Allgemeine Lösung des DGLSystems

x 0t  2  0t  3  2t     C1  e     C2  e    y 1     1  t  x  2   3  2t     C1     C2     y 1  1  t 

 e0t  1

Allgemeine Lösung in der Regel nicht eindeutig, da Eigenvektoren und Hauptvektoren nicht eindeutig sind. Eindeutige Lösung erst nach Einsetzen von Anfangswerten, bzw. Lösung des Anfangswertproblems (AWP).

41

2 Mathematik 2.15. Numerik 2.15.1.

Nullstellenberechnung durch Bisektion

In Intervall [a,b] ist eine Nullstelle  y(a) < 0 und y(b) > 0 Mitte bestimmen (a+b) / 2 = c Funktionswert von y(c) ermitteln. Ist y(c) < 0 neue Grenze [c,b], ist y(c) > 0 neue Grenze Funktionswert bei c ist kleiner 0  neue Grenze für Bisektion ist von c bis b Berechnung Interval [a,b] dies wird solange wiederholt bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist  y(c) < Genauigkeit

Funktionswert bei c > 0  neue Grenze für Bisektion ist von a bis c Beispiel: gesucht ist eine Nullstelle im Intervall [0,2] mit Genauigkeit 0,1

y  3x3  4 x2  2x  3 f (0)  3 f (2)  9 Schritt 1 2 3 4

a 0 1 1 1,25

b 2 2 1,5 1,5

c 1 1,5 1,25 1,375

y -2 1,125 -0,89 -0,013

 Grenze [c,b]  Grenze [a,c]  Grenze [c,b]  Genauigkeit erreicht y < 0,1

 Nullstelle bei ca. 1,375

42

2 Mathematik

2.15.2.

Nullstellenberechnung mit dem Newton-Verfahren

Nullstelle wird über Steigungstangente von einem Startpunkt (x0) aus immer weiter angenähert. Schnittpunkt der Tangente mit X-Achse wird neuer Punkt (x1), von diesem wird erneut Steigungstangente erstellt. Dies wird solange durchgeführt bis gewünschte Näherung erreicht ist. Iterationsvorschrift:

xk 1  xK 

f ( x) f '( x)

Für die Konvergenz sind folgende Bedingungen notwendig für alle Punkte xk und die Lösung:

f '( x )  0 f ( x)  f ''( x )  f '( x )  Beispiel:

2

1

Schnittpunkt der Funktionen:

f ( x)  x 2  2 g ( x)  e x Gleichsetzen der beiden Gleichungen und umformen, Nullstelle der neuen Funktion = x-Wert des Schnittpunktes. Anschließend wird noch die Ableitung der neuen Funktion aufgestellt.

h ( x)  x 2  2  e x h '( x )  2 x  e x Startwert x0=1.5 Überprüfen ob Punkt geeignet ist:

h '(1, 5)  2  1, 5  e1.5  1, 48 h (1, 5)  h ''(1,5)  h '(1, 5) Iteratives Annähern

2



(0, 23)  ( 2, 48)  1, 48

2

 0, 26  erfüllt

x1  x0 

f ( x0 ) , 23  1,5   1,3436 f '( x0 ) 1, 48

x2  x1 

f ( x1 )  1,3195 f '( x1 )

x3  1,3190

43

2 Mathematik 2.15.3.

Regula Falsi

Interationsvorschrift: bk 1  ak 1  f (ak 1 ) x*  ak 1  f (bk 1 )  f (bk 1 ) 1. Schritt: a und b Startpunkte mit unterschiedlichen Vorzeichen, x* ist der Schnittpunkt der Sekante mit der x-Achse. Zum x* Wert wird der dazugehörte y* Wert berechnet. Haben a und x* das gleiche Vorzeichen wird x* zum neue a. Haben b und x* das gleiche Vorzeichen wird x* zum neuen b. 2. Schritt: Verfahren wird wiederholt bis gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

Beispiel: Bereich festlegen 1. Schritt:

2

 f ( x)  x 2  2

a = 0 ; b= 2 a  0 f (a )  2

b2

2. Schritt:  Wiederholung bis gewünschte Genauigkeit erreicht ist

f (b)  2 20 2 x*  0   (2)    ( 2)  1 2  (2) 4 f ( x*)  1  f(x*) hat gleiches Vorzeichen wie f(a), daher wird x* zum neuen a a  1 f (a )  1 b  2 f (b)  2 x*  1 

2 1 1 1 3  (1)  1   ( 1)  1   2  (1) 3 3 4

f ( x*)  0, 22  f(x*) hat gleiches Vorzeichen wie f(a), daher wird x* zum neuen a

44

2 Mathematik 2.15.4.

Numerische Differentiation

Verfahren ersten Grades

1)

y  yk 1 dy y (k )  r  k dx xk  xk 1 xr

y y y dy 2) (k )  v  k 1 k dx xv xk 1  xk

Rückwärtsdreieck

Beispiel f(x)=x2 ; Steigung bei x=2 Vorwärtssteigung:

Vorwärtsdreieck

dy y 22  1, 92 (k )  r   3,9 dx xr 2  1, 9 Rückwärtssteigung:

dy y 2,12  22 (k )  v   4,1 dx xv 2,1  2 Verfahren zweiten Grades Es wird der Mittelwert zwischen der Vorwärtssteigung und der Rückwärtssteigung gebildet dy 1  y y  1) (k )    r  v  dx 2  xr xv  Bei gleichem Abstand der vorwärts und Rückwärtswerte nimmt die Formel eine einfache Form an: 1 dy (k )    yk 1  yk 1  2  x dx

Beispiel:

dy 1 (k )   3, 9  4,1   4 dx 2 Beispiel:





dy 1 0,8 (k )   2,12  1,9 2  4 2  0,1 0, 2 dx

45

2 Mathematik 2.15.5.

Numerische Integration

Trapez-Formel Intervall wird in n Teilbereiche aufgeteilt, die Stützstellen werden jeweils verbunden, es bilden sich Trapeze. Die Flächen der Trapeze entsprechend je nach Auflösung näherungsweise der Fläche unter der Funktion.

Trapezformel

b

1



 f ( x)dx   2  ( y0  yn )  ( y1  y2    yn1   h a

1      1  2   h 2   yk: Stürzwerte der Funktion y=f(x), xk  a  k  h h: Streifenbreite, bzw. Schrittweite h 

ba n

n: Anzahl der Schritte 1 : Summe der beiden äußeren Stützwerte

2

Beispiel

2

: Summe der inneren Stützwerte

1

 x dx ; n=4 1

2 1 1   0, 25 4 4 x0  1

h

x1  1  1  h  1  1  0, 25  1, 25 x2  1  2  0, 25  1,5 x3  1, 75 xn  2 2

1

 1 1

1

1

1

1 

 x dx   2   1  2   1, 25  1,5  1, 75   0, 25 1

 0, 69702

46

2 Mathematik Simpson Formel – Aufteilung der Flächen in gerade Anzahl von Gebieten, ähnlich Trapezformel – jedoch Annäherung durch Parabeln Simpsonsche Formel

b

 f ( x)dx  a

  ( y0  y2n  4( y1  y3    y2 n 1 )  2( y2  y4    y2n  2 )  

 1

 4  2  2  3

  h3

h 3

ba 2n yk: Stürzwerte der Funktion y=f(x), xk  a  k  h h

h: Streifenbreite, bzw. Schrittweite h 

ba 2n

n: Anzahl der Schritte 1 : Summe der beiden äußeren Stützwerte

2 3

Beispiel

2

: Summe der inneren Stützwerte mit ungeradem Index : Summe der inneren Stützwerte mit geradem Index

1

 x dx ; 2n=4 1

2 1 1   0, 25 2n 4 x0  1

h

x1  1  1  h  1  1  0, 25  1, 25 x2  1  2  0, 25  1,5 x3  1, 75 xn  2 2

1



1

 1

1 

 1   0, 25  3

 x dx   1  2   4  1, 25  1, 75   2  1, 5     1  0,693253

47

2 Mathematik 2.15.6.

Numerische Integrationsverfahren für Differentialgleichungen

Streckenzugverfahren von Euler Aufgabe: Lösung des Anfangswertproblems von y '  f ( x, y ) ; Intervall a bis b. Aufteilung Intervall in gleiche Teile der Länge h: ba h n

Anfangswert : y (0)  y0 im

x0  a ; x1  a  1  h ; x2  a  2  h  xn  b  xk  a  k  h y0  y0 ; y1  y0  h  f ( x0 ; y0 ) ; y2  y1  h  f ( x1; y1 )   yk  yk 1  h  f ( xk 1; yk 1 )

Rechenschema: k x

y

h  f ( x; y )

0

x0

y0 ( Anfangswert )

h  f ( x0 ; y0 )

1

x1  x0  1  h

y1  y0  h  f ( x0 ; y0 )

h  f ( x1; y1 )

2

x2  x1  2  h

y2  y1  h  f ( x1; y1 )

h  f ( x2 ; y2 )

3

x3  x2  3  h

. .

. .

Beispiel 1: y '  y  e x

y3  y2  h  f ( x2 ; y2 ) . .

;

h  f ( x3 ; y3 ) . .

y0  1 ; h  0, 05 y

h  f ( x; y )

k

x

0

x0  0

y0  1

h  ( y  e x )  0, 05  (1  e0 )  0,1

1

x1  0  1  0, 05  0, 05

y1  1  0,1  1,1

0,05  (1,1  e0,05 )  0,1076

2

x2  0  2  0, 05  0,1

y2  1,1  0,1076  1, 2076

0, 05  (1, 2076  e0,1 )  0,1156

3

x3  0,15

y3  1,3232

0,1243

. .

. .

. .

. .

48

2 Mathematik Beispiel 2: y '  2 x ; k

x

0

x0  0

1

x1  0  1 

2

x2  2 

3

x3 

y (0)  0 ; y(x) numerisch bestimmen in 4 Schritten; h 

y0  0

h  (2 x ) 

y1  0  0  0

x x  4 2

y2  0 

3x 4

x3  x

3

h  f ( x; y )

y

x x  4 4

xa x  4 4

x  (2  0)  0 4

x x 2 x2 x 2  (2  )   4 4 16 8

x  x  2 x2 x 2 2    4  2 8 4

x2 8

x  3x  6x 2 3x2 2    4  4  16 8

y3 

x 2 x 2 3x 2   8 4 8

y3 

3x2 3x2 6 x2 3x2    8 8 8 4

Verbessertes Eulerverfahren (Mittelpunktsregel) – es wird ein Zwischen Integrationsschritt eingefügt Aufteilung Intervall in gleiche Teile der Länge h: ba h n Beispiel 1: y '  y  e x k

x

y

0

0

1

1

0,05

1,10377

2 3

0,1 0,15

1,12155 1,3358

;

yk  1  yk 1  2

h  yk 1; xk 1 2

h yk  yk 1  h  f ( xk  1 ; yk 1  ) 2 2

y0  1 ; h  0, 05

y1 2  yk 

h  f ( yk ; xk ) 2

h h  f ( yk1 2 ; xk  ) 2



  1,10377  0, 025  1,10377  e 

y1 2  1  0, 025  1  e 0  1, 05

y1 2

 1,1576 1,127356

0,05

  0,05   1,1576  e   0,11177

0, 05  1, 05  e(0  0,25)  0,10377 0,75

0,12355

49

2 Mathematik Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung Rechenschema: k x 0 x0

y y0

f(x;y) f ( x 0 ; y0 )

x0 

h 2

y0 

k1 2

h k   f  x0  ; y0  1  2 2 

k2

x0 

h 2

y0 

k2 2

h k   f  x0  ; y0  2  2 2  

k3

f  x0  h; y0  k3 

k4

x0  h

y0  k3

K x1  x0  h

1

k=hf(x;y) k1

Beispiel 1: y '  y  e x

y1  y0  K

;

x

y

0

0

1

0, 05  0, 025 2

0, 025 0, 05

…

y0  1 ; h  0, 05

k

0

1  (k1  2k 2  2 k3  k 4 ) 6

0,1  1, 05 2 0,1037 1  1, 05188 2 1  0,1038  1,104 1

f ( x; y )  y  e x

0, 05  ( y  e x )

1  e0  2

0, 05  2  0,1

2, 075

0,1037

k2 

2, 077

0,1038

k3 

2,155

0,1077

k4

k1 

1 K   (k1  2k2  2k3  k4 )  0,10383 6 1

x1  0  0, 05  0, 05

y1  1  K  1,104

…

50