Formelsammlung elektrische Messtechnik 1. Allgemein Bauelementgleichungen Lautheit

𝑢𝑅 (𝑡) = 𝑅 ∙ 𝑖𝑅 (𝑡)

𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑁 = 𝑐 ∙ 𝑝0,6

𝑢𝐿 (𝑡) = 𝐿 ∙

𝑖𝐶 (𝑡) = 𝐶 ∙

𝑑𝑢𝐶 (𝑡) 𝑑𝑡

2. Logarithmierte Größenverhältnisse

𝑈1 𝑎 = 𝛽 ∙ 𝑙𝑔 � � 𝑚𝑖𝑡 𝛽 = 10 (𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒)𝑜𝑑𝑒𝑟 𝛽 = 20 (𝐹𝑒𝑙𝑑) 𝑈0 𝑈𝐴 𝑈𝐸 𝑎𝑈𝑉 = 20 ∙ 𝑙𝑔 = −20 ∙ 𝑙𝑔 = −𝑎𝑈𝐷 𝑈𝐸 𝑈𝐴 𝐴𝑈 = √2 → 𝑎𝑈 ≈ 3𝑑𝐵; 2 → 6𝑑𝐵; 10 → 20𝑑𝐵; 20 → 26𝑑𝐵 Bezogen auf feste Größe z.B.: dBm(1mW); dBV(1V); dBA(A-Filter)

Allgemein Verstärkung und Dämpfung Bekannte Paarungen Pegel

3. Strukturen von Messeinrichtungen a. Statische und Dynamische Eigenschaften von Messgliedern xa=f(xe) = statische Übertragungskennlinie; xa = Ausgangsgröße; xe = Eingangsgröße; Emp�indlichkeit k eines Messgliedes: 𝒌 = 𝑥�𝐴 (𝑓→0)

𝑑𝑥𝐴 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 ∆𝑥𝐴 𝑝𝑟𝑜𝑝. 𝑥𝐴 ����� ���� 𝑑𝑥𝐸 𝑥𝐸 ∆𝑥𝐸

𝑏𝑧𝑤. 𝑎𝑋𝑎 �𝑓 = 𝑓𝑔 � = 𝑎𝑋𝑎 (𝑓→0) − 3 𝑑𝐵 √2 Verzögerungszeit tV Zeit nach Sprung Eingang bis Ausgang bei 10% vom Endwert Anstiegszeit tA Zeit um von 10% auf 90% des Endwertes anzusteigen Einstellzeit tE Zeit nach Sprung Eingang bis Ausgang innerhalb Toleranzband (z.B. 1%) b. Kettenstruktur 𝑥�𝐴 �𝑓 = 𝑓𝑔 � =

xE=xE1

k1

xA1=xE2

xA2=xE3

k2

k3

xA3=xA

dXA dxA3 dxA2 dxA1 = �∙ �∙ = k3 ∙ � k2 ∙ � k1 → wenn rückwirkungsfrei dXE dxE3 dxE2 dxE1 Dynamische Näherung für Nicht-Gauß-Tiefpässe: 1 1 1 1 𝑙𝑛9 𝟐 = + + ⋯+ ; 𝒕𝑨 = 𝑅𝐶 ∙ 𝑙𝑛9; 𝑓𝑔 ∙ 𝑡𝐴 = ;𝒕 = 𝑡𝐴1 2 + ⋯ + 𝑡𝐴𝑛 2 2𝜋 𝑨,𝒈𝒆𝒔 𝑓𝑔𝑛 2 𝒇𝒈,𝒈𝒆𝒔 𝟐 𝑓𝑔1 2 𝑓𝑔2 2 c. Parallel- oder Differenzstruktur k ges =

Proportional:

xA1-xA2=k(xE1-xE2)

Nichtlinear:

dxA=k(dxE1-dxE2)

Es können störende Nullpunkte und Gleichtaktstörungen unterdrückt werden!

1

d. xE

+

Kreisstruktur 𝑘𝑉 → ∞ ist ideal da: - Kges nicht mehr von kV abhängt und damit störende Eigenschaften unterdrückt werden können - Ausgangsgröße xA eingeprägt ist und nachfolgender Eingang nicht kR xA belastet wird. 𝑑𝑥𝐴 1 1 = = ������� 𝑘 = 𝑓ü𝑟 𝑘𝑉 → ∞ 𝑑𝑥𝐸 𝑘 + 1 𝐼𝑑𝑒𝑎𝑙𝑓𝑎𝑙𝑙 𝑔𝑒𝑠,𝑖𝑑𝑒𝑎𝑙 𝑘𝑅 𝑅 𝑘𝑉 xA

kV

-

𝑘𝑔𝑒𝑠

4. Temperatursensoren a.

Metall-Thermistoren 𝑅(𝜗) = 𝑅0 ∙ (1 + 𝛼𝜗) 𝑚𝑖𝑡 𝛼 =

Widerstand

Allgemein: Eigenschaften: b. Widerstand Eigenschaften: c. Gleichung Empfindlichkeit:

𝑦(𝑥) = 𝑦0 ∙ �1 + 𝛼𝑎𝑙𝑙𝑔 𝑥� 𝑚𝑖𝑡 ∆𝑦 𝑦(𝑥) − 𝑦(0) 𝑟𝑒𝑙. Ä𝑛𝑑𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑑. 𝑏𝑒𝑖𝑛𝑓𝑙𝑢𝑠𝑠𝑡𝑒𝑛 𝐺𝑟öß𝑒 𝑦 𝛼𝑎𝑙𝑙𝑔 = = = 𝑦∙𝑥 ∆𝑥 𝑎𝑏𝑠. Ä𝑛𝑑𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑑. 𝑏𝑒𝑒𝑖𝑛𝑓𝑙𝑢𝑠𝑠𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛 𝐺𝑟öß𝑒 Linear (Pt100), großer Temperaturmessbereich, Langzeitstabilität Heißleiter 1 1 𝑏� − �

𝑅(𝑇) = 𝑅0 ∙ 𝑒 𝑇 𝑇0 Low Cost, höchste Empfindlichkeit, vielfältige Bauformen und Widerstandsgrundwerte, höchste Nichtlinearität, Exemplarstreuung Thermoelement 𝑈𝑡ℎ = 𝑘𝐴𝐵 ∙ (𝑇𝑋 − 𝑇𝑉 ) KAB = kAPt - kBPt -

Eigenschaften:

d. Kaltleiter: SiliziumWiderstand: Sperrschicht:

𝑅(𝜗) − 𝑅0 ∆𝑅/𝑅0 = 𝑅0 ∙ 𝜗 ∆𝜗

-

Empfindlichkeit wird aus der thermoelektrischen Spannungsreihe ermittelt Geringe Empfindlichkeit Mit Schutzrohr träge, ohne schnell Nur Temperaturdifferenzen Großer Temperaturmessbereich

Sonstige Einfache Überwachungsaufgaben, Widerstand steigt in kleinem Bereich stark an Hoher Temperaturkoeffizient, kleine Bauformen  kurze Ansprechzeit gute Reproduzierbarkeit der Kennlinien  Sensoren gut austauschbar 𝑘𝑇 𝐼𝐷1 𝑈𝐷1 − 𝑈𝐷2 = 𝑚 ∙ ∙ 𝑙𝑛 � � → 𝑇𝑒𝑚𝑝. 𝐴𝑏ℎ𝑔. 𝐼𝑆 (𝑇)𝑓ä𝑙𝑙𝑡 𝑟𝑎𝑢𝑠; 𝑒 𝐼𝐷2 gute Linearität, integrierter Sensor mit Verstärker 2

5. Hallsensor B

UH

-

1 𝐼𝑆𝑡 ∙ 𝐵 ∙ 𝐼 ∙ 𝐵 = 𝑐𝐻 ∙ 𝑛 ∙ 𝑞 ∙ 𝑑 𝑆𝑡 𝑑 1 = 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑚𝑖𝑡 𝑐𝐻 = 𝑛𝑒

𝑈𝐻 =

b d

+

ISt

Stromzange Durch farbige Ergänzung Kompensation der Nichtlinearitäten des Eisens.

IX = n ∙ IA Unterscheide: Bei einer Gleichstromzange (DCKopplung) können Gleich- und Wechselströme gemessen werden. Bei einer Wechselstromzange (AC) nur Wechselströme.

6. Kraftaufnehmer a. Piezoelektrischer Effekt Wird ein polarisiertes, piezoelektrisches Material durch eine Kraft F belastet (Dipole sind überall ausgerichtet), so entsteht im Dielektrikum eine elektrische Feldstärke. Die Spannung der Platten wird kurzgeschlossen und der Leerlaufstrom gemessen. b. Beschleunigungsaufnehmer Masse Kraftaufnehmer vernachlässigbar gegenüber seismischer Masse: Q = kF ∙ m ∙ a Hersteller gibt Empfindlichkeit ka an: 𝑑𝑈 𝑘𝑎 = 𝑑𝑎

Fließende Ladung: Q=kF ∙ F kF Materialkonstante wird vom Hersteller angegeben

seismische Masse

m

Kraftaufnehmer

Beschleunigtes Teil

7. Weg- und Winkelaufnehmer

a. Ohmsche Weg- und Winkelaufnehmer Der Schleifer eines linearen Potentiometers ist mit dem bewegten Objekt verbunden. Wegaufnehmer → Schiebepotentiometer; Winkelaufnehmer → Drehpotentiometer Eigenschaften: einfach, verschleißanfällig, Stellkräfte durch Reibung b. Kapazitive Wegaufnehmer Zylinderkondensator (-½ < x < ½) DifferentialZylinderkondensator (-½ < x < ½)r

𝐶(𝑥) = 𝐶0 + 𝑚𝑥 = 𝐶0 (1 +

𝑥

𝑙/2

)  führt zu nichtlinearem

Verhalten 𝑥 𝑥 𝐶1 (𝑥) = 𝐶0 �1 + � ; 𝐶2 (𝑥) = 𝐶0 �1 − �; 𝑙/2 𝑙/2 Führt in Brückenschaltung zu streng linearem Verhalten. 3

c.

Induktive Wegaufnehmer

L( x) ≈

TauchankerAufnehmer

DifferentialTauchankerAufnehmer

L1 ( x) ≈

L( x = 0) L( x = 0) und L2 ( x) ≈ 2x 2x 1− 1+ l l

L( x) ≈

QuerankerAufnehmer

DifferentialQuerankerAufnehmer

L1 ( x) ≈

L( x = 0) 2x 1+ l

L( x = 0) x 1+ x0

L( x = 0) x 1+ x0 und L2 ( x) ≈

L( x = 0) x 1− x0

8. Messbrücken a.

Spannungs- und stromgespeiste Brücke 𝑅2 𝑅4 𝑈𝑑0 = 𝑈2 − 𝑈4 = 𝑈0 ∙ � − � 𝑅1 + 𝑅2 𝑅3 + 𝑅4 𝑅𝑖 =

𝑅1 𝑅2 𝑅3 𝑅4 + 𝑅1 + 𝑅2 𝑅3 + 𝑅4

𝑨𝒃𝒈𝒍𝒆𝒊𝒄𝒉:

𝑈𝑑0 = 𝐼0 ∙

𝑅𝑖 = 𝐼0 b. ∆Rx oder x

Empfindlichkeit von Messbrücken Messbrücke

Udo

𝑅1 𝑅3 = 𝑅2 𝑅4

𝑅2 ∙ 𝑅3 − 𝑅1 ∙ 𝑅4 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4

(𝑅2 + 𝑅3 ) ∙ (𝑅1 + 𝑅4 ) 𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅4

𝑨𝒃𝒈𝒍𝒆𝒊𝒄𝒉:

mit Empfindlichkeit

𝑅1 𝑅3 = 𝑅2 𝑅4

k RX =

∂U do ∂R X

bzw. k X =

c. Phasenselektive Gleichrichtung Mit Instrumentenverstärker und Inverter der jede negative Halbwelle der Trägerspannung bei der Ausgangsspannung invertiert. Dadurch kann aus einer gemessenen Wechselspannung Ud0 eine vorzeichenrichtige Größe gemacht werden. 4

∂U do ∂x

9. Zeitfunktionen

Gleichricht- oder Gleichrichtmittelwert

< | u (t ) |> =

Kurvenformfaktor

kF =

Spitzenfaktor oder crest factor

kC =

Gleichanteil einer Mischspannung

Sinus Rechteck Dreieck /Sägezahn (verallgemeinert)

û⋅δ

Für Wechselanteil uW(t) gilt: UW û ⋅ δ ⋅ (1 − δ)

2û⋅δ⋅(1-δ)

U u ( t ) max U

T

1 ⋅ u (t )dt T ∫0

u(t) = U0 + uW(t)

U = U 02 + U W2 U û

√2 û û √3

Für gesamte Mischspannung u(t) gilt: U U0 kF

û⋅ δ

T

1 ⋅ | u (t ) | dt T ∫0

U 0 = < u (t ) > =

Mischspannung Zusammenhang zwischen den einzelnen Effektivwerten Zeitfunktion

T

1 2 u ( t) ⋅ dt T ∫0

U = < u 2 ( t) > =

Effektivwert oder RMS-Wert

2 û π û 1 û 2

1

2√2 2

√3

kC

δ

kF

kC

1

≈ 1,111 1

≈1,155

kC √2 1

√3

1

δ

2 ⋅ δ ⋅ (1 − δ)

kF

π

Max (

1− δ δ ; ) δ 1− δ

10. Multimeter a.

Allgemein Echte Effektivwertmessung AC Messbereich UAnz = UW (AC-Kopplung) AC+DC Messbereich UAnz = U (DC-Kopplung) GleichspannungsMessbereich

Sinuskalibrierte Effektivwertmessung

UAnz = kF,Sinus⋅ = 1,11⋅ UAnz = kF,Sinus⋅ = 1,11⋅ UAnz = = U0

5

b.

Messbereichserweiterung nach Ayrton 𝑅𝐴 =

Konsequenzen für Strommessung

𝑈𝐴,𝑚𝑎𝑥 𝐼𝐴,𝑚𝑎𝑥

UA,max typ. bei ≈0,2V 𝑅𝑉 𝑘Ω 𝑟𝑚 = 𝑡𝑦𝑝. 20 𝑈𝑚𝑎𝑥 𝑉 bei DMM RV=const

Konsequenzen für Spannungsmessung

11. Impedanz- und LCR-Messgeräte Komplexe Spannungen

Mittels zweier Referenzspannungen U0 und U90 wird Real und Imaginärteil der Spannung ermittelt.

Komplexe Widerstände

Spannung und Strom (über bekannten Widerstand R) werden komplex gemessen, durch OPV wird Rückwirkungsfehler bei Messung eliminiert.

12. Einfache Ersatzschaltungen technischer Verbraucher

Q=

ωL RP ;D= P ωLP RP

Q=

ωLS RS

;D=

RS ωLS

Q = ωRP C P ; D =

Umrechnung induktive Verbraucher

RP = RS ⋅ (1 + Q 2 );

LP = LS ⋅ (1 +

1 ωRP C P

Q=

1 ; D = ωRS CS ωRS CS

Umrechnung kapazitive Verbraucher

RP = RS ⋅ (1 + Q 2 ); C P = CS ⋅

1 ) Q2

Resonanzfrequenz Wenn Imaginärteil von Admittanz oder Impedanz gleich Null

1 (1 +

1 ) Q2

Grenzfrequenz Wenn Winkel von Admittanz oder Impedanz gleich 45° und Q=D=1

13. Leistungsmessgeräte Definitionen Realisierung Beschaltung

𝑝 =< 𝑢(𝑡) ∙ 𝑖(𝑡) >; 𝑆 = 𝑈 ∙ 𝐼; 𝑄 = �𝑆 2 − 𝑃 2 verbraucherstromrichtig PV = PAnz – PI PQ=PAnz + PU

Verbraucherspannungsrichtig PV = PAnz – PU PQ=PAnz + PI

14. Einkopplung von dynamischen Störungen auf Messleitungen Spannung UGal verfälscht UE aufgrund hoher Ausgleichsströme über die Massenverbindung. Abhilfe: Differenzielle Messanordnung mit Differenzverstärker

Galvanische Einkopplung

zwei beliebige, getrennten metallischen Körper  Streukapazität

Kapazitive Einkopplung

𝑑𝑈

Spannungsänderung:  kapazitiver Strom 𝐼𝐶𝑠𝑡𝑟𝑒𝑢 = 𝐶𝑠𝑡𝑟𝑒𝑢 𝐶𝑠𝑡𝑟𝑒𝑢 𝑑𝑡 Abhilfe: Gleiche Widerstände auf beiden Messleitungen, geschirmte Leitungen, HV Leitungen weit entfernt von Messleitung

6

zeitlich veränderliche Magnetfelder der Flussdichte B durchdringen den Messkreis mit 𝑑𝐵 der Fläche  Störspannung 𝑈𝐼𝑛𝑑 = 𝑛⋅𝐴⋅ 𝑑𝑡 Abhilfe: Fläche A kleiner (verdrillen), Abstand der Messleitung von Störung, magn. Schirmung (teuer), DUT als Stromquellen wählen

Induktive Einkopplung

15. Oszilloskope Wichtig: Außenleiter beider Kanäle an gleichen Punkt anschließen und nicht-referenzierte (erdfreie) Spannungsquelle verwenden Vorteile: geringerer Rückwirkungsfehler, Messung höherer Spannungen Nachteile: Zusatzfehler, Empfindlichkeitsverlust, ev. eingeschränkte Bandbreite

X-Y-Betrieb Tastköpfe Dynamische Kenngrößen

Korrektur wenn 𝑡𝐸𝐴,𝑔𝑒𝑠 ≈ �𝑡 𝑇𝐾𝐴 2 + 𝑡𝐸𝐴 2 > Sequentiell:

ET-Sampling

tMA 5

𝑡𝑀𝐴 = �𝑡𝑈𝐴 2 + 𝑡𝐾𝐴 2 + 𝑡𝐸𝐴 2

k∙Δt ab Trigger, ein Abtastwert pro Triggerpuls, Signal wird zusammengesetzt, kein Pretrigger möglich Abtastung mit fester Frequenz, Zeit ab Trigger wird gemessen, Signal dann zusammengesetzt

Random:

16. Spektrumanalysatoren Abtasttheorem nach Shannon

𝑓𝑎𝑏𝑡 > 2𝑓𝑠,𝑚𝑎𝑥 𝑏𝑧𝑤. 𝑓𝑠,𝑚𝑎𝑥
=

Linearer Mittelwert: Standardabweichung: b. Analoge Messgeräte: Digitale Messgeräte:

Totales Differential

und

und

e

=

µ = lim < x > = xr n →∞

σ = lim s s = n →∞

1 n 2  ⋅ ∑ ( xi ) − n⋅ < x > 2  n − 1  i =1 

Garantiefehlergrenzen

δg =

c.

1 n ⋅ ∑ xi n i =1

n 1 ⋅ ∑ ( xi − < x >) 2 n − 1 i =1

s=

δ=

Relativer Fehler:

eg xi

= K% ⋅

Mb xi

eg =

≥ K%

K ⋅ Mb = K% ⋅ Mb 100

z.B.:eg = 0,2% v.A. + 0,1% v.E. + 1 Digit  in Aufgaben immer besten Messbereich annehmen (Stufung, 0,2;2;20;200) Fehlerfortpflanzung n

egy ≈ ∑ (| i =1

7

∂y | ⋅ egi ) ∂ xi xi

Toleranzwerte so einsetzen, dass Funktionswert max. bzw.min bei symmetrischen egy ≈ ymax - yi bzw. egy ≈ yi - ymin Fehlerintervallen gilt: Beachten: Es kann jeweils nur Min ODER Max Wert einer Größe vorkommen, evt durch ausprobieren oder umformen entscheiden.

Max/MinMethode Verallgemeinerte Summe

n

n

i =1

i =1

y = a1 ⋅ x1 + a2 ⋅ x2 + ⋅ ⋅ ⋅ + ai ⋅ xi + ⋅ ⋅ ⋅ + an ⋅ xn = ∑ (ai ⋅ xi ) ⇒ egy = ∑ ( ai ⋅ egi )

Verallgemeinertes Produkt: !!Keine Methode darf auf berechnete Zwischengrößen angewendet werden!! d. Systematische Fehler linearer Messglieder Nullpunktfehler en Differenz zwischen Ist- und Sollwert am unteren Messbereichsende Steigungsfehler es Unterschied der Steigung zwischen Ist und Soll an bel. Punkt Linearitätsfehler Vorzeichenrichtige Abweichung der Istgerade von Bezugsgerade

18. Digitale Messtechnik a.

Quantisierun gsEffektive Auflösung von ADC Digitale Zeitmessung

Allgemeines -fehler: 𝑒𝑔𝑞 =

∆𝑈

2

=

𝑈𝑚𝑎𝑥 −𝑈𝑚𝑖𝑛 2∙2𝑛

-rauschen(Δ): 𝑈𝑄𝑅 =

𝑒𝑔𝑞 √3

=

𝑈𝑚𝑎𝑥 −𝑈𝑚𝑖𝑛 √3∙2∙2𝑛

𝑈𝑆 𝑃𝑆 𝑆𝑁𝑅𝑚𝑎𝑥 = 20 ∙ 𝑙𝑔 = 10 ∙ 𝑙𝑔 𝑆𝑖𝑛𝑢𝑠 𝑓𝑢𝑙𝑙 𝑠𝑐𝑎𝑙𝑒: 𝑆𝑁𝑅𝑚𝑎𝑥 = 1,76𝑑𝐵 + 𝑛 ∙ 6,02𝑑𝐵 𝑈𝑄𝑅 𝑃𝑄𝑅 𝑆𝑁𝑅𝑚𝑒𝑠𝑠 = 1,76𝑑𝐵 + 𝑛𝑒𝑓𝑓 ∙ 6,02𝑑𝐵  Effektivwert der Auflösung des ADC

𝑁𝑥 1 1 ;𝑒 = 1 𝑏𝑧𝑤. 𝛿𝑔𝑁𝑥 = → 𝛿𝑔𝑇𝑥 = + 𝛿𝑔𝑓𝑇 𝑓𝑇 𝑔𝑁𝑥 𝑁𝑥 𝑁𝑥 b. Digital-Analog-Converter (DAC) R/2R-Netzwerk Dualzahl wird mittels Addition von Strömen dargestellt. Differentielle Linearitätsfehler: Wenn alle Bits kippen (1000  0111) Fehler von DAC wirken sich Toleranzen der Widerstände am stärksten aus. c. Analog-Digital-Converter (ADC) Spannung wird über Kondensator gehalten und als Gleichspannung ohne Abtast-Halteglied du/dt abgetastet. FET schaltet Kondensator mit fAbt. Höchster Schaltungsaufwand  höchste Umsetzraten (bis 500MS/s), Parallelumsetzer geringste Auflösung (8 Bit) Sukzessive Umsetzraten bis 1 MS/s bei 16Bit und mehrere MS/s bei 12Bit  Einsatz bei Approximation mittleren dynamischen Anforderungen (DAQ Karten) Dual-Slope Delta-Sigma

𝑡𝑥 = 𝑁𝑥 𝑇𝑇 =

Langsame Umsetzung dafür sehr hohe Auflösung, Einsatz in DMM zur Gleichspannungsmessung, Wechselstörungen werden durch Mittelwertbildung unterdrückt, es können günstige Bauteile verwendet werden Auflösungen typ 16 bis 24 Bit, Umsetzrate fAbt bei 16 Bit ca. 1Mhz Low Cost, Low Bandwidth, High Resolution, wird vorrangig in Audiotechnik eingesetzt

19. Messverfahren für regenerative Energien Schalenkreuzanemometer Solarstrahlung

𝑣𝑤 = 𝑣𝑢 ∙

1+�

𝑐𝑤1 𝑐𝑤2

= 𝑣𝑢 ∙ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑐𝑤1 𝑐𝑤2 2 Pyranometer und Pyrheliometer messen Bestrahlungsstärke in W/m zur Standortwahl und zur Beurteilung der Effizienz von Solaranlagen 8

1−�