Anhang A

Existenz der reellen Zahlen Die reellen Zahlen wurden in diesem Buch als Dezimalzahlen ohne NeunerEnden eingefuhrt, wobei ein strenger Beweis, dass sie zum Beispiel den ¨ Korperaxiomen genugen, nicht gefuhrt wurde. Dies ist in der Tat moglich, ¨ ¨ ¨ ¨ aber sehr muhsam und nicht besonders lehrreich. Wenn man die reellen ¨ Zahlen effektiv konstruieren mochte, geht man daher meist einen anderen ¨ Weg. Eine gebr¨auchliche Methode ist die der sogenannten Dedekindschen Schnitte. Hierbei nutzt man aus, dass eine reelle Zahl x durch die rationalen Zahlen, die großer als x sind, eindeutig festgelegt ist, die Zahl x ist also ¨ durch die Menge (x, ∞) ∩ Q bestimmt. Diese Konstruktion von R wird in diesem Kapitel ausgefuhrt, gefolgt von dem Beweis, dass der Korper der ¨ ¨ reellen Zahlen durch die Eigenschaft, ein Dedekind-vollst¨andiger Korper zu ¨ sein, eindeutig festgelegt ist. Am Ende wird schließlich aus den Axiomen gefolgert, dass reelle Zahlen Dezimalentwicklungen haben.

A.1

Existenz der reellen Zahlen

Ausgehend von der Menge der rationalen Zahlen Q wird hier eine Konstruktion des Korpers der reellen Zahlen angegeben, die es ermoglicht, die ¨ ¨ Korperaxiome und die Vollst¨andigkeit leicht nachzuweisen. Die Konstrukti¨ on beginnt mit dem angeordneten Korper der rationalen Zahlen. Es werden ¨ also im folgenden die Intervalle (a, b) als Teilmengen von Q aufgefasst. Zur besseren Unterscheidung schreibt man dann (a, b)Q fur ¨ die Menge aller rationalen Zahlen r ∈ Q mit a < r < b. Definition A.1.1. Ein Dedekindscher Schnitt ist eine Teilmenge ∅  S  Q, die kein Minimum hat und fur ¨ die unter der Anordnung nach oben abge407 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2017 A. Deitmar, Analysis, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-662-53352-9

408

ANHANG A. EXISTENZ DER REELLEN ZAHLEN

schlossen ist, d.h., es gilt x ∈ S, x < y

⇒

y ∈ S.

Beispiele A.1.2. • Fur ¨ jede rationale Zahl r ∈ Q ist das offene Intervall Sr = (r, ∞)Q ein Dedekindscher Schnitt. Hingegen ist das abgeschlossene Intervall [r, ∞)Q kein Dedekindscher Schnitt, da es ein Minimum hat. • Sei T = {x ∈ Q : x > 0, x2 > 2}. Es ist leicht einzusehen, dass T ein √ Dedekindscher Schnitt ist. Dieser wird die Rolle von 2 spielen. Sei R die Menge aller Dedekindschen Schnitte. Die Abbildung φ : Q → R, die r ∈ Q auf Sr abbildet, ist injektiv, also kann man Q als Teilmenge von R auffassen. Es wird im Folgenden gezeigt, dass R ein Dedekind-vollst¨andiger angeordneter Korper ist und dass Q ein angeordneter Unterkorper von R ¨ ¨ ist. Lemma A.1.3. Sind S, T ⊂ Q zwei Dedekindsche Schnitte, so ist   S + T = s + t : s ∈ S, t ∈ T ein Dedekindscher Schnitt. Die Menge R wird mit dieser Verknupfung ¨ eine abelsche Gruppe. Das neutrale Element ist S0 . Fur ¨ zwei rationale Zahlen r, s ∈ Q gilt Sr + Ss = Sr+s . Beweis. Das Assoziativgesetz S + (T + U) = (S + T) + U und das Kommutativgesetz S + T = T + S gelten fur ¨ Elemente und damit auch fur ¨ Dedekindsche Schnitte. Um einzusehen, dass das Element S0 neutral ist, muss man fur ¨ einen beliebiges S ∈ R zeigen, dass S + S0 = S gilt. Sei hierzu s ∈ S und r ∈ S0 , also r > 0, dann ist s + r > s ∈ S, also s + r ∈ S und so S + S0 ⊂ S. Sei umgekehrt s ∈ S. Da S kein Minimum hat, gibt es s ∈ S mit s < s, also s = s + r mit r > 0, so dass S + S0 ⊃ S folgt, insgesamt also S + S0 = S. Damit ist S0 neutral in R.

Zur Konstruktion des Inversen: sei S ein Dedekindscher Schnitt. Sei S die Menge aller s ∈ Q so dass es ein ε(s ) > 0 in Q gibt mit der Eigenschaft dass s + s > ε(s ) fur ¨ jedes s ∈ S gilt. Es ist nun zu zeigen, dass S ein Die Inklusion S + S ⊂ S0 Dedekindscher Schnitt ist, der S + S = S0 erfullt. ¨ ist nach Definition klar. Sei also r ∈ S0 , also r > 0. Ist s ∈ S und ist auch s − r ∈ S, so ersetze s durch s − r und wiederhole diesen Vorgang. Da S  Q, bricht dieses Verfahren ab und man erh¨alt ein s ∈ S, so dass s − r  S. Wegen r = s + (r − s) reicht es zu zeigen, dass r − s in S liegt. Sei also s1 ∈ S, so ist zu

A.1. EXISTENZ DER REELLEN ZAHLEN

409

zeigen, dass s1 + (r − s) > 0 ist. Dies ist aber gleichbedeutend mit s1 > s − r, was wegen s − r  S klar ist. Insgesamt folgt also S + S = S0 , so dass S das Inverse zu S ist. Es bleibt zu zeigen, dass S auch ein Dedekindscher Schnitt ist. Die Eigenschaft y > x ∈ S ⇒ y ∈ S ist nach Definition klar. Dass S nichtleer und ungleich Q ist, ist leicht einzusehen und soll dem ¨ Leser als Ubungsaufgabe uberlassen bleiben. Bleibt zu zeigen, dass S kein ¨ Minimum hat, dies folgt allerdings daraus, dass mit s ∈ S und einem ε(s ) gew¨ahlten ε(s ) > 0 das Element t = s − 2 ebenfalls in S liegt. Man kann  in diesem Fall ε(t) = ε(s )/2 w¨ahlen. Als n¨achstes sei die Anordnung auf R definiert durch S≤T

⇔

S ⊃ T.

Fur ¨ r, t ∈ Q ist dann r ≤ t a¨ quivalent zu Sr ≤ St . Aus der Definition Dedekindscher Schnitte folgt sofort, dass R mit dieser Ordnung linear geordnet ist, d.h., fur ¨ zwei Dedekindsche Schnitte S, T gilt stets S ≤ T oder S ≥ T. Die Multiplikation wird zun¨achst auf der Teilmenge R+ aller S > S0 definiert. Seien also S, T > 0 Dedekindsche Schnitte, also insbesondere S, T  S0 . Setze   ST = st : s ∈ S, t ∈ T .

Analog zum Fall der Addition stellt man fest, dass R+ mit dieser Multiplikation eine Gruppe bildet, das neutrale Element ist S1 und das Inverse zu S ∈ R+ ist S−1 = {s−1 : s ∈ S}. Da Multiplikation und Addition elementweise distributiv sind, gilt fur ¨ S, T, U ∈ R+ , S(T + U) = ST + SU. Hieraus ergibt sich leicht, dass man die Multiplikation auf ganz R eindeutig zu einer assoziativen Verknupfung fortsetzen kann, die das Distributivge¨ setz auf ganz R erfullt. ¨ Satz A.1.4. Mit diesen Verknupfungen ¨ ist R ein Dedekind-vollst¨andiger K¨orper.

Beweis. Die Korperaxiome und die Anordnungsaxiome sind klar. Es ist nur ¨ die Vollst¨andigkeit zu beweisen. Ist M  ∅ eine nach unten beschr¨ankte Menge von Dedekindschen Schnitten, dann ist  S= T T∈M

410

ANHANG A. EXISTENZ DER REELLEN ZAHLEN

ebenfalls ein Dedekindscher Schnitt, der eine untere Schranke zu M ist. Ist S eine zweite untere Schranke, dann enth¨alt S jedes T ∈ M, also folgt S ≤ S, damit ist S die großte untere Schranke, also das Infimum. Es hat also jede ¨ nach unten beschr¨ankte Menge ein Infimum und durch Multiplikation mit (−1) folgt, dass jede nach oben beschr¨ankte Menge  ∅ ein Supremum hat, damit ist R ein Dedekind-vollst¨andiger Korper.  ¨

A.2

Eindeutigkeit

Satz A.2.1. Seien K und L zwei Dedekind-vollst¨andige K¨orper, dann existiert eine eindeutig bestimmte bijektive Abbildung η : K → L so dass η(a + b) = η(a) + η(b),

und η(ab) = η(b)η(b),

sowie η(1) = 1 und a≤b

⇔

η(a) ≤ η(b).

Man sagt dazu, dass K und L als angeordnete K¨orper isomorph sind. Es hat zur Folge, dass K und L in der Theorie der angeordneten K¨orper nicht mehr unterscheidbar sind.

Beweis. Zun¨achst zur Existenz. Sei a ∈ K . Das Intervall (−∞, a) ist nach oben beschr¨ankt. Also ist auch die Menge Ma = (−∞, a) ∩ Q nach oben beschr¨ankt. Da es zwischen a und a + 1 rationale Zahlen gibt, existiert auch obere Schranke fur der rationalen Zahlen liegt ¨ M, die in Q liegt. Der Korper ¨ kanonisch sowohl in K als auch in L. Die Menge M kann also auch als Teilmenge von L aufgefasst werden und da sie obere Schranken in Q hat, ist sie auch in L nach oben beschr¨ankt. Damit ist die folgende Definition einer Abbildung η : K → L sinnvoll: η(a) = sup (Q ∩ (−∞, a)) . L

Da a ≤ b ⇔ Ma ⊂ Mb , folgt a ≤ b ⇔ η(a) ≤ η(b). Zu jedem a ∈ K existiert eine monoton wachsende Folge (an ) in Q, die in K gegen a konvergiert und fur ¨ jede solche Folge gilt η(a) = η(limn an ) = limn η(an ). Hiermit folgt wegen Satz 3.1.16, dass η(a + b) = η(a) + η(b) und η(ab) = η(b)η(b) gilt. Damit ist die Existenzaussage des Satzes bewiesen. Zum Beweis der Eindeutigkeit sei ψ eine weitere solche Abbildung, dann stimmen η und ψ wegen der Additivit¨at auf Z und dann wegen der Multiplikativit¨at auch auf Q uberein. ¨

A.3. DEZIMALZAHLEN

411

  Da ψ bijektiv und ordnungstreu ist, gilt sup ψ(M) = η(sup M) fur ¨ jede nach oben beschr¨ankte Menge M und damit folgt ψ = η. 

A.3

Dezimalzahlen

Die Menge R der reellen Zahlen wird hier als die Menge aller Dedekindschen Schnitte wie in Abschnitt A.1 betrachtet. Dann ist R ein Dedekindvollst¨andiger Korper. ¨

Satz A.3.1. Fur ¨ jede reelle Zahl a ≥ 0 gibt es genau eine regul¨are Dezimalzahl N ∞ j (a j ) j≤N so dass die Reihe j=−∞ a j 10 = j=−N a−j 10−j gegen a konvergiert.

Beweis. Sei a ≥ 0 in R gegeben. Fur ¨ jedes k ∈ N ist die Gauß-Klammer [10k a] eine ganze Zahl, die sich in der Form [10k a] =

∞ 

ak, j 10 j

j=0

mit eindeutig bestimmten Koeffizienten ak, j ∈ {0, . . . , 9}, die fast alle Null sind, schreiben l¨asst. Es wird nun gezeigt, dass fur ¨ jedes ν ∈ N und j ≥ 1 gilt ak+ν, j+ν = ak, j . Hierzu beachte, dass fur ¨ jedes x ≥ 0 gilt x − [x] ∈ [0, 1). Indem man dies fur ¨ x = 10ν a anwendet und dann durch 10ν dividiert, erh¨alt man [10ν a] a − 10ν ∈ [0, 10−ν ). Es folgt    [10ν a] [10ν a] − [a] = a − [a] − a − ∈ (−10−ν , 1). 10ν 10ν

Nun ist

[10ν a] 10ν

=

∞

j=−ν ak+ν, j+ν 10

j.

Es folgt, dass die Zahl

∞ −1   (ak+ν, j+ν − ak,j )10 j + ak+ν, j+ν 10 j j=0

j=−ν

im Intervall (−1, 1) liegt, was fur ¨ j ≥ 1 die Behauptung ak+ν, j+ν = ak, j impliziert. Man kann nun die Koeffizienten a j aus dem Satz definieren. Zu gegebenem j ∈ Z und k ∈ N so dass j + k ≥ 1 gilt, h¨angt der Ausdruck a j = ak, j+k nicht

412

ANHANG A. EXISTENZ DER REELLEN ZAHLEN

von der Wahl von k ab. Ferner gilt a j = 0, falls j ≥ N, wobei N ∈ N mit a < 10N gew¨ahlt ist. Es ist nun zu zeigen, dass a=

N 

a j 10 j

j=−∞

gilt. Da die Koeffizienten beschr¨ankt sind, konvergiert die Reihe in R. Fur ¨ beliebiges k ∈ N gilt       N ∞ ∞          a − a j 10 j  = a − a j 10 j  = 10−k 10k a − a j 10 j+k        j=1−k j=1−k j=1−k     ∞ ∞       = 10−k 10k a − a j−k 10 j  = 10−k 10k a − ak, j 10 j      j=1 j=1   = 10−k 10k a − [10k a] + ak,0  ≤ 101−k . Der Beweis, dass die so definierte Dezimalzahl regul¨ar ist und eindeutig ¨ bestimmt sei dem Leser zur Ubung gelassen. 

Anhang B

Vollst¨andigkeit In manchen Lehrbuchern findet sich statt der Dedekind-Vollst¨andigkeit der ¨ reellen Zahlen die Forderung, dass Cauchy-Folgen konvergieren, also Folgenvollst¨andigkeit. Dieser Vollst¨andigkeitsbegriff hat den Vorteil, im Wesentlichen mit dem analogen Begriff fur ¨ metrische R¨aume ubereinzustimmen, ¨ aber den Nachteil, dass man das archimedische Prinzip als separates Axiom fordern muss.

B.1

Cauchy-Vollst¨andigkeit

Ein angeordneter Korper K heißt Cauchy-vollst¨andig, wenn jede Cauchy¨ Folge in K konvergiert. Beispiele B.1.1. • Der Korper der reellen Zahlen ist Cauchy-vollst¨andig, wie in Satz ¨ 3.1.30 bewiesen wurde. • Der Korper Q ist nicht Cauchy-vollst¨andig. Um dies einzusehen w¨ahle ¨ √ eine reelle Zahl a ∈ R, die nicht in Q liegt, etwa a = 2. Nach Satz 3.1.8 existiert eine Folge (rn ) in Q, die in R gegen a konvergiert. Dann ist (rn ) eine Cauchy-Folge nach Satz 3.1.30. Sie konvergiert aber nicht in Q, da ihr eindeutig bestimmter Limes in R  Q liegt. Definition B.1.2. Sei K ein angeordneter Korper. Dann kann man die Menge ¨ N der naturlichen Zahlen als eine Teilmenge von K auffassen. Man sagt, K ¨ ist archimedisch oder archimedisch angeordnet, falls in K die Menge N nach oben unbeschr¨ankt ist, falls es also zu jedem x ∈ K ein n ∈ N mit n > x gibt. 413 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2017 A. Deitmar, Analysis, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-662-53352-9

¨ ANHANG B. VOLLSTANDIGKEIT

414

Nach Satz 2.5.5 ist R und damit auch Q archimedisch angeordnet. Beispiel B.1.3. Zur Vervollst¨andigung des Weltbildes hier nun ein Beispiel eines nicht-archimedisch angeordneten Korpers. Sei Q[x] die Menge aller ¨ De in der Unbestimmten x. Man kann De addieren und multiplizieren und es gelten die Korperaxiome bis auf die Tatsache, dass nicht jedes Element  0 ¨ invertierbar ist. Man sagt in diesem Fall, dass Q[x] ein Ring ist. Fur ¨ diesem Ring definiert man eine Anordnung in der x großer ist als jede rationale ¨ Zahl. Genauer sei p(x) = a0 + a1 x + · · · + an xn ein D mit an  0, so definiert man p(x) > 0 ⇔ an > 0. Fur ¨ zwei De p, q setzen wir p(x) > q(x)

⇔

p(x) − q(x) > 0.

Man verifiziert nun leicht die Anordnungsaxiome fur ¨ Q[x]. Sei Q(x) der p(x) Korper aller rationaler Funktionen q(x) wobei p und q De sind und q nicht ¨ das NullD ist. Formal ist Q(x) die Menge aller Paare (p, q) in Q[x]×(Q[x]{0}) ¨ modulo der Aquivalenzrelation (p, q) ∼ (α, β)

⇔

pβ = αq. p

Man schreibt die Elemente von Q(x) in der Form q statt (p, q) und verifiziert, p

dass Q(x) ein Korper ist und Q[x] ein Unterring. Da stets gilt q = ¨ man stets q > 0 annehmen. Unter dieser Maßgabe definiert man p α < q β

⇔

(−1)p (−1)q ,

kann

pβ < αq.

Dann ist Q(x) ein angeordneter Korper. Da x > r fur ¨ ¨ jedes r ∈ Q gilt, ist insbesondere x > n fur also nicht archimedisch ¨ jedes n ∈ N, der Korper ¨ angeordnet.

Satz B.1.4. Sei K ein angeordneter K¨orper. Dann sind a¨ quivalent: (a) K ist Dedekind-vollst¨andig, (b) K ist Cauchy-vollst¨andig und archimedisch.

Nach Satz A.2.1 sind beide Eigenschaften dann auch a¨ quivalent dazu, dass K isomorph zu R ist.

¨ B.1. CAUCHY-VOLLSTANDIGKEIT

415

Beweis. Ist K Dedekind-Vollst¨andig, so ist K isomorph zu R und damit archimedisch nach Satz 2.5.5 und Cauchy-vollst¨andig nach Satz 3.1.30. Sei nun umgekehrt K Cauchy-vollst¨andig und archimedisch. Es ist zu mussen zeigen, dass K Dedekind-vollst¨andig ist. Sei also ∅  M ⊂ K ¨ nach oben beschr¨ankt und sei b0 eine obere Schranke. Sei a0 ∈ M beliebig. Man konstruiert nun eine Folge von Intervallen [an , bn ] so dass [an+1 , bn+1 ] ⊂ [an , bn ], dass jedes bn eine obere Schranke fur ¨ M ist und je1 des an in M liegt. Es gilt 0 ≤ bn − an ≤ 2n (b0 − a0 . Ferner sind beide Folgen Cauchy-Folgen mit einem gemeinsamen Limes, der ein Supremum fur ¨ M ist. n Die Konstruktion ist induktiv. Sei [an , bn ] bereits konstruiert. Sei α = an +b 2 das arithmetische Mittel. Ist α eine obere Schranke zu M, so setze an+1 = an und bn+1 = α. Andernfalls setze an+1 = α und bn+1 = bn . Es ist nun an ≤ an+1 ≤ bn+1 ≤ bn und 0 ≤ bn+1 − an+1 ≤ 12 (bn − an ) so dass induktiv 0 ≤ bn − an ≤ 21n (b0 − a0 ) folgt. Da nach dem archimedischen Prinzip die Folge 21n eine Nullfolge ist, folgen die Behauptungen. Der Korper K ist also ¨ Dedekind-vollst¨andig. 

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417 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2017 A. Deitmar, Analysis, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-662-53352-9

Index C1 -invertierbar, 228 O(n), 227 N, 3 N0 , 4 Q, 6 T, 94 Z, 4 ε-δ-Kriterium, 81 η-messbar, 306 d dx j f , 192 ∂ ∂x j

f , 192 µ-Nullmenge, 313 µ-fast uberall, 313 ¨ µ-singul¨arer Teil, 349 σ-Algebra, 295 σ-additiv, 302 σ-endlich, 318, 349 τ-positive Menge, 339 ek (x) = e2πikx , 160 k-mal partiell differenzierbar, 193 k-mal stetig partiell differenzierbar, 193 k-te Wurzel, 84 n-Sph¨are, 368 C, 87 ¨ Aquivalenzklasse, 14 ¨ Aquivalenzrelation, 13 a¨ quivalent, 14, 187 a¨ ußeres Maß, 305 Abbildung, 7 abelsche Gruppe, 29 abgeschlossen, 170 abgeschlossene Abbildung, 256 abgeschlossene Intervall, 37 abgeschlossenen Ball, 170 Ableitung, 99 Abschluss, 171, 255 absolut gleichm¨aßig, 146 absolut konvergent, 62, 90

absolut stetig, 348 Absolutbetrag, 36 Abstandsfunktion, 163 abz¨ahlbar, 56 abz¨ahlbar subadditiv, 305 abz¨ahlbar-coabz¨ahlbar, 296 Addition, 29 Additionstheoreme, 92 Algebra, 272, 316 allgemeine Potenz, 85 Allquantor, 7 am Ende konstant, 47 angeordneter Korper, 33 ¨ archimedisch, 413 archimedisch angeordnet, 413 assoziativ, 11 asymptotisch gleich, 138 axiomatische Darstellung, 27, 28 Axiome, 28 Baire-Raum, 282 Ball, 168 Banach-Raum, 185, 270, 346 Basis, 267 Basis der Topologie, 262 beschr¨ankt, 37, 49, 177 beschr¨ankte Funktion, 80, 118 Bestimmten Divergenz, 48 Betrag, 89 bijektiv, 9 Bild, 9 Binomialkoeffizient, 18 Binomialkoeffizienten, 20 Borel-σ-Algebra, 296 Borel-Maß, 303 Borel-messbar, 298 Borel-messbare Mengen, 296 Cantor-Diskontinuum, 313

418 © Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2017 A. Deitmar, Analysis, Springer-Lehrbuch, DOI 10.1007/978-3-662-53352-9

INDEX Cauchy-Folge, 54, 90, 164 Cauchy-Schwarz-Ungleichung, 276 Cauchy-vollst¨andig, 413 charakteristische Funktion, 8, 316 Co-endlich-Topologie, 172, 254 de Rham Kohomologie, 400 Dedekind-vollst¨andig, 39 Dedekindscher Schnitt, 407 dicht, 282 Dichte, 73 dichte Teilmenge, 165 Diffeomorphismus, 370 Differential, 194 Differentialgleichung, 239 differenzierbar, 99, 194 Dirac-Folge, 224 Dirac-Kamm, 332 disjunkt, 5 diskrete Metrik, 163 diskrete Topologie, 172, 254 divergent, 48 divergiert gegen +∞, 48 dominierte Konvergenz, 326 Dreiecksungleichung fur ¨ Integrale, 122 Dreieckszahlen, 46 Durchmesser, 177 Durchschnitt, 4 Dynkin-System, 355 Einbettungssatz von Whitney, 384 einfache Funktion, 302 Einheitskreis, 164 Einpunktkompaktifizierung, 271 einschließendes Oder, 1 einseitige Limiten, 77 einseitigen Ableitung, 100 Elemente, 3 endliche Schnitteigenschaft, 258 endliche Teiluberdeckung, 176 ¨ endliches Maß, 303 ersten Abz¨ahlbarkeitsaxiom, 262 erweiterten reellen Zahlen, 48 erzeugte σ-Algebra, 296 erzeugte Dynkin-System, 356 erzeugte Topologie, 261 euklidische Abstand, 184 euklidische Norm, 184

419 Eulersche Zahl, 70 Existenzquantor, 7 Exponentialreihe, 69 Fakult¨at, 17 Faltung, 222 Faltungsprodukt, 161 Familie, 5 fast uberall, 313 ¨ fast alle, 90 Feinheit, 124 Fibonacci-Zahlen, 22, 46 Final-σ-Algebra, 363 Final-Topologie, 265 Fixpunkt, 114, 208 Folge, 45 Folgenglieder, 45 Folgenvollst¨andigkeit, 413 Folgerung, 1 Fourier-Koeffizienten, 156 Fourier-Reihe, 156 Fourier-Transformierte, 159 Funktion, 8, 75 Funktional-Matrix, 195 ganze Zahlen, 6 Gauß-Klammer, 41 geometrische Reihe, 60 gerechte Teilung, 236 gerichtet, 285 glatt, 140, 153 glatte Abbildung, 370 glatte Karte, 369 gleich, 4 gleichgradig stetig, 181 gleichm¨aßig, 143, 174 gleichm¨aßig beschr¨ankt, 182 gleichm¨aßig stetig, 82, 180 globales Maximum, 105 globales Minimum, 105 Grad, 52 Gradient, 198 Grenzwert, 47 H¨aufungspunkt, 72, 187, 318 Holder-Ungleichung, 344 ¨ halbstetig von unten, 140 Hausdorff-Raum, 254 Hesse-Matrix, 202

420 Hilbert-Raum, 276 holomorphe Funktion, 395 homoomorph, 256 ¨ Homoomorphismus, 256 ¨ homogenes System, 248 Identit¨at, 8 Imagin¨arteil, 88 indefinit, 204 Indexmenge, 5 Indikatorfunktion, 8, 76 Infimum, 40 inhomogenes System, 248 Initial-σ-Algebra, 363 Initialtopologie, 263 injektiv, 8 Integral, 116, 319, 320 Integral uber K, 231 ¨ integrierbar, 324 inverse Abbildung, 12 invertierbar, 12 isolierter Punkt, 77 isoliertes lokales Maximum, 204 Isometrie, 165 isomorph, 410 Isomorphismus metrischer R¨aume, 165 Jacobi-Matrix, 195 Korper, 29 ¨ kartesische Produkt, 13 Kegel, 325 Koeffizienten, 51 kommutatives Diagramm, 11 kompakt, 176, 258 Kompakt-Offen-Topologie, 290 kompakter metrischer Raum, 176 kompaktes Intervall, 80 Kompaktifizierung, 271 Komplement, 21 komplexe Konjugation, 88 komplexe Zahlen, 87 komplexwertiges Maß, 338 Komposition, 10 konkav, 108 konstante Folge, 45 Kontraktion, 209 konvergent, 46, 90 konvergent gegen z ∈ C, 89

INDEX Konvergenzradius, 149 konvergiert, 285 konvergiert gegen +∞, 48 konvex, 108, 236 Koordinatenableitungen, 372 kritischen Streifen, 135 L¨ange, 37 Lagrange-Form, 151 Laplace-Operator, 405 Laurent-Polynom, 289 Lebesgue, Satz von, 326 Lebesgue-σ-Algebra, 309 Lebesgue-integrierbar, 324 Lebesgue-Maß, 303 Lebesgue-messbar, 309 Lebesgue-Nullmenge, 313 Lebesgue-Zerlegung, 350 Lebesguesche a¨ ußere Maß, 308 Limes, 47 Limes inferior, 72, 300 Limes superior, 72, 300 linear geordnet, 266 linear unabh¨angig, 267 lineare Abbildung, 174 Lipschitz-Bedingung, 242 Lipschitz-Konstante, 172 Lipschitz-Konstanten, 242 Lipschitz-stetig, 172 logarithmisch konvex, 136 lokal gleichm¨aßig, 188 lokal-endlich, 332 lokal-gleichm¨aßige Konvergenz, 180 lokale Koordinaten, 372 lokalen Lipschitz-Bedingung, 242 lokales Extremum, 105, 204 lokales Maximum, 105, 203 lokales Minimum, 105, 203 lokalkompakt, 259 lokalkonstant, 243 Maßraum, 303 maximales Element, 266 Maximum, 36, 38, 80 Menge, 3 Mengendifferenz, 6 messbare Abbildung, 297 messbare Funktion, 299

INDEX messbare Mengen, 296 Messraum, 296 Metrik, 163 metrischer Raum, 164 Minimum, 38 Minkowski-Ungleichung, 344 monoton, 53, 304 monoton fallend, 53 monoton wachsend, 53 nach oben beschr¨ankt, 37, 49 naturlichen Zahlen, 3, 6, 27 ¨ negativ, 34 negativ definit, 204 negativ semidefinit, 204 Negativteil, 122 Netz, 285 nimmt ihr Maximum an, 80 nirgends dicht, 318 Norm, 183, 276 normierter Vektorraum, 183 Nullfolge, 49 Nullfunktion, 313 Nullmenge, 313, 338 Nullstelle, 79 obere Schranke, 37, 266 Oberintegral, 118 ¨ offene Uberdeckung, 176 offene Abbildung, 256 offene Intervall, 37 offene Teilmenge, 168 offene Umgebung, 169, 254 offenen Mengen, 172, 253 offenen Rechtecke, 264 offenen Umgebungsbasis, 262 offener Ball, 169 ONB, 277 ONS, 277 orthogonal, 227 Orthogonalraum, 278 Orthonormalbasis, 277, 279 Orthonormalsystem, 277 paarweise disjunkt, 5 Parit¨at, 13 Partialsummen, 59 partiell differenzierbar, 191 partielle Ableitung, 191

421 partielle Differentialgleichungen, 239 partielle Ordnung, 284 Partition, 318 perfekt, 318 Periode, 156 periodisch, 156 Permutation, 13 Picard-Lindelof-Methode, 246 ¨ Poissonsche Summenformel, 160 Polarkoordinaten, 95, 229 Polynomfunktion, 51 positiv, 34 positiv definit, 204 positiv orientiert, 387 positiv semidefinit, 204 positive Maße, 338 positives Funktional, 220 positives lineares Funktional, 331 Positivteil, 122 Potenzmenge, 4 Potenzreihe, 148 Pr¨a-Hilbert-Raum, 276 Prinzip der guten Mengen, 361 Produkt, 13 Produktmaß, 358 Produkttopologie, 263 Produktzeichen, 17 Punktderivationen, 372 Punktmaß, 303 punktweise, 143 punktweise Limes, 300 Quotiententopologie, 265 Radon-Maß, 333 Radon-Nikodym-Dichte, 350 rationale Funktion, 75 rationalen Zahlen, 6, 27 Realteil, 88 Regelfunktion, 162 regul¨ar von außen, 311 regul¨ar von außen , 333 regul¨ar von innen, 311 Reihe, 59 Relation, 13 relativ kompakt, 260 relativ zu T disjunkt, 175 Richtungsableitung, 198

422 Riemann Hypothese, 135 Riemann-integrierbar, 118 Riemannsche Summe, 124 Riemannsche Zeta-Funktion, 134 Ring, 414 Russelsche Antinomie, 23 Sattelpunkt, 205 Satz von Lebesgue, 326 schnell fallend, 157 schnittstabil, 355 schwach regul¨ar von innen , 333 Schwartz-Funktion, 159 Skalarprodukt, 276 stuckweise stetig differenzierbar, 280 ¨ Stammfunktion, 127 starke Cauchy-Folge, 166 stetig, 91, 256 stetig differenzierbar, 129, 197, 233 stetig im Punkt, 76 stetig im Punkt x, 257 stetig in a ∈ X, 172 stetig partiell differenzierbar, 191 stetig von oben, 304 stetig von unten, 304 stetige Abbildung, 172, 173 stetige Funktion, 76 streng cofinal, 286 strenges lokales Maximum, 107 strikt negativ, 34 strikt positiv, 34 subadditiv, 73 Summenzeichen, 17 summierbar, 66 Supremum, 38 Supremumsaxiom, 40 Supremumsnorm, 146, 184 surjektiv, 9 symmetrische Differenz, 21 System von Differentialgleichungen, 240 Tangens, 95 Tangentialraum, 370 Taylor-Reihe, 153 Teilfolge, 58 Teilmenge, 4 Teilnetz, 286 Teilraumtopologie, 255

INDEX Topologie, 171, 253 Topologie-Basis, 262 topologischer Raum, 172, 253 Torus, 368 Totalvariation, 339 Tr¨ager, 218 translatierte Funktion, 219 translationsinvariant, 220 Treppenfunktion, 115 triviale Topologie, 172, 253 Umgebung, 169, 254 Umgebungsbasis, 262 Umkehrabbildung, 12 umkehrbar, 12 Umordnung, 65 Unteralgebra, 272 Unterintegral, 118 Urbild, 21, 173 Urysohn’s Lemma, 260 Vektorfeld, 232, 374 Vereinigung, 5 Verfeinerung, 115 Verklebung, 265 verschwindet im Unendlichen, 269 Vertretersystem, 310 Vervollst¨andigung, 165, 315 vollst¨andig, 90, 164 vollst¨andiges ONS, 277 Volumen, 231 von zweiter Kategorie, 282 Wahrheitstafeln, 2 Weg, 175 wegzusammenh¨angend, 175 wesentliche Schranke, 345 wohlgeformte Formeln, 23 wohlgeordnet, 22 Wurzelkriterium, 73 Z¨ahlmaß, 303 zentriert, 374 Zerlegung, 115 Zuruckziehung, 381 ¨ zusammenh¨angend, 175 Zusammenhangskomponente, 188 zweimal partiell differenzierbar, 193 zweiten Abz¨ahlbarkeitsaxiom, 262