Elementos en ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES Pongo en el ciberespacio un cursillo que dicté en la Universidad Nacional de Colombia en 1984, sobre las nociones elementales en ecuaciones diferenciales parciales y estoy convecido que puede ser de gran utilidad para aquellas personas que estén estudiando las carreras de física teórica e ingeniería. § 1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 1.1. INTRODUCCIÓN. Una ecuación diferencial parcial para una función ?ÐBß Cß á Ñ con derivadas parciales ?B ß ?C ß ?BB ß ?BC ß ?CC ,á es una relación de la forma J aBß Cß á ß ?ß ?B ß ?C ß ?BB ß ?BC ß ?CC ,á b œ ! a"b donde J es una función de las variables Bß Cß á ß ?ß ?B ß ?C ß ?BB ß ?BC ß ?CC ,á en donde solamente ocurrirán un número finito de derivadas. Una función ?aBß Cß á bß es solución de a"b, si en alguna región del espacio de sus variables independientes, la función y sus derivadas satisfacen la ecuación idénticamente en Bß Cß á Se puede también considerar un sistema de ecuaciones diferenciales parciales; en este caso se consideran varias expresiones como las de arriba conteniendo una o más incógnitas y sus derivadas parciales. Como en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias una ecuación diferencial parcial es de orden 8, si las derivadas de mayor orden que ocurren en J son de orden 8. Las ecuaciones diferenciales parciales se clasifican también según el tipo de función J considerada. En particular tenemos la ecuación diferencial parcial lineal si J es lineal en la función incógnita y sus derivadas, y la ecuación diferencial parcial casi-lineal que es más general, si J es lineal en al menos una de las derivadas de más alto orden. Las ecuaciones diferenciales parciales ocurren frecuentemente y en forma enteramente natural en problemas de varias ramas de la matemática, como se presenta en los siguientes ejemplos. 1. Una condición necesaria y suficiente para que una forma diferencial Q aBß Cb.B  R aBß C b.C sea una diferencial exacta, es que cumpla la condición de integrabilidad siguiente: `Q `R `C œ `B Esta se puede considerar como una ecuación diferencial parcial en las variables desconocidas Q y R , y cuya solución general está dada por

EJEMPLO

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Q œ ``B9 ß Rœ donde 9 es una función arbitraria .

2

`9 `C

2. El problema de hallar un factor integrante para la ecuación diferencial ordinaria de primer orden Q aBß Cb.B  R aBß C b.C œ ! a#b esto es, una función .aBß Cb para la cual .Q .B  .R .C sea una forma diferencial exacta, conduce a la ecuación ` .Q ` .R a $b `C œ `B Esta es una ecuación diferencial parcial de primer orden para .. El problema de hallar la solución de la ecuación diferencial ordinaria es así reducido al de hallar una solución de la ecuación diferencial parcial a$b. EJEMPLO

3. Dadas dos funciones ? œ ?aBß C b y @ œ @aBß C b, la función ? se dice fuertemente dependiente de @, si existe una función L a@b tal que ?aBß Cb œ L a@aBß C bb # siempre y cuando @B  @C# Á !. Dos funciones serán fuertemente dependientes si su jacobiano es nulo. Esto es, ?B ?C  ` a?ß@b œ! ` aBßCb œ º @ @C º B Así para @ dado, esto indica que la ecuación diferencial parcial de primer orden para ?, ?B @C  @B ?C œ !, tiene una solución general @ œ L a@aBß C bb donde L es una función diferenciable arbitraria. Por ejemplo, supóngase @aBß C b œ B#  C # ß entonces @B œ #Bß @C œ #C y la ecuación diferencial parcial C?B  B?C œ ! tendrá por solución a ? œ L aB#  C # b. EJEMPLO

4. Dadas dos funciones diferenciables con continuidad ? aBß Cb y @aBß C b, la condición necesaria y suficiente para que ellas formen las partes real e imaginaria de una función analítica, 0 aBß C b œ ?  3@ œ 0 aB  3C b son las ecuaciones diferenciales de Cauchy-Riemann ?B œ @C ß ?C œ  @B Este es un sistema de dos ecuaciones diferenciales parciales lineales para las funciones ? y @. Ellas pueden obtenerse formalmente mediante la condición ` a?3@ßB3Cb œ! ` aBßCb EJEMPLO

esto según el ejemplo 3 y observando que ? y @ son funciones reales, se tiene ?  3@B ?C  3@C ` a?3@ßB3Cb œº B º œ 3a?B  @C b  a@B  ?C b œ ! ` aB3Cb " 3

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o,

?B œ @C ß

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3

?C œ  @ B .

5. Problema de Plateau. Para hallar la superficie D œ ?aBß C b que pase a través de una curva dada en el espacio y cuya área es mínima, está dada por la ecuación parcial siguiente: ˆ"  ?#C ‰?BB  #?B ?C ?BC  a"  ?B# b?CC œ ! Þ Esta es una ecuación diferencial parcial de segundo orden casi-lineal, la cual determina a la superficie D œ ?aBß C b. EJEMPLO

6. La ecuación diferencial parcial definida por una superficie desarrollable; esto es, una superficie que puede ser aplicada preservando las longitudes en regiones planas, es ?BB ?CC  ?#BC œ !. Esta es una ecuación diferencial no lineal para la superficie D œ ?aBß C b. EJEMPLO

7. Una ecuación diferencial parcial importante en física es la del potencial o ecuación de Laplace ?? œ ?BB  ?CC  ?DD œ !. Esta es una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden que se cumple, por ejemplo para: +Ñ expresar la velocidad potencial de un fluido, ,Ñ las componentes del campo de fuerzas de la atracción Newtoniana y -Ñ la distribución de la temperatura de los cuerpos en equilibrio térmico. EJEMPLO

8. La ecuación de la onda ?? œ ?BB  ?CC  ?DD œ -"# ?>> ß - œ -98=>+8>/. representa la aproximación acústica de la velocidad potencial de un gas homogéneo politrópico. Esta es una ecuación diferencial parcial de segundo orden lineal para el potencial ?. EJEMPLO

9. La ecuación diferencial parcial ?? œ ?BB  ?CC  ?DD œ O" ?> . llamada la ecuación del calor y se cumple para la distribución de la temperatura en un cuerpo conductor del calor, siempre que la densidad y el calor específico del material sean constantes. Ësta de nuevo es, una ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden para ?. EJEMPLO

El problema objeto de la teoría de las ecuaciones diferenciales es hallar las soluciones, las cuales, en todos los casos consisten en determinar el espacio donde ellas se verifican. Así para las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) el espacio donde ellas se verifican es un espacio funcional de dimensión finita y resolver una EDO es hallar un conjunto fundamental para representar a dicho espacio. En el caso de las

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ecuaciones diferenciales parciales (EDP) el espacio de soluciones ya no es de dimensión finita, pero de todas maneras el resolver una EDP es determinar el espacio funcional donde ellas se verifican, el cual resulta ser un espacio funcional de dimensión infinita; en el caso lineal la dificultad está en la determinación de un conjunto infinito que permita el hallazgo de este espacio, el cual por lo general es un espacio de Hilbert, en los casos más comunes y de utilidad en la física teórica, en esos casos la determinación del espacio solución se ecuentra en la localización de un conjunto ortogonal infinito que permita una generalización de los espacios vectoriales de dimensión finita. Hay muchas teorías conducentes a dicha generalización, empezando por la de independencia lineal para el caso de infinitos elementos, pero que sean numerables. En los casos más elementales se utilizan las series de Fourier, y la teoría de funciones ortogonales mediante la toría espectral. También se pueden usar técnicas de geometría diferencial o de analisis vectorial como lo podemos observar en la siguiente sección. 1.2. ECUACIONES LINEALES Y CASI-LINEALES Las ecuaciones de primer orden, en general, presentan interpretaciones geométricas interesantes. Será conveniente entonces restringir la discusión al caso de dos variables independientes, pero es claro que la teoría podrá ser extendida inmediatamente a cualquier número de variables. Consideramos entonces ecuaciones de la forma J aBß Cß ?ß ?B ß ?C b œ J aBß Cß ?ß :ß ; b œ ! a"b donde hemos usado las notaciones ?B œ :ß ?C œ ; . Una solución D œ ?aBß C b cuando la interpretamos como una superficie en el espacio tridimensional, será llamada una superficie integral de la ecuación diferencial. Comenzamos con la ecuación diferencial parcial generada por +aBß C b?B  ,aBß C b?C œ - aBß C b?  . aBß C b a#b Notamos que el lado izquierdo de esta igualdad representa la derivada de ?aBß Cb en la dirección a+aBß C bß ,aBß C bb. Por lo tanto consideremos las curvas en el Bß C -plano, cuyas tangentes en cada punto tienen estas direcciones es decir, la familia a un parámetro de curvas definidas por las ecuaciones diferenciales ordinarias ,aBßCb .C .C .B ó, a$b .B œ +aBßCb , .> œ +aBß C bß .> œ , aBß C b Así, estas curvas tendrán la propiedad de que, a lo largo de satisfacen las ecuaciones diferenciales ordinarias - aBßCb?. aBßCb .? , o, .? a%b .B œ +aBßCb .> œ - aBß C b?  . aBß C b

?aBß Cb

La familia a un parámetro de curvas definidas por la ecuación a$b serán llamadas las curvas características de la ecuación diferencial. Supóngase ahora que a ?aBß Cb se le asigna un valor inicial en el punto aB! ß C! b en el Bß C -plano. Por el problema de existencia y unicidad para

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ecuaciones diferenciales ordinarias a valores iniciales, las ecuaciones a$b definirán unívocamente las curvas características, digamos B œ BaB! ß C! ß >bß C œ C aB! ß C! ß >b a&b junto con ? œ ?aB! ß C! ß >b a'b que será únicamente determinado por la ecuación a%b. El planteo exacto de este problema, llamado problema de Cauchy con valor inicial, será dado para las ecuaciones casi-lineales más generales, un poco más adelante. Como un ejemplo consideremos la ecuación diferencial B?B  C?C œ !? con las condiciones iniciales ? œ 9aBb para C œ ". Las curvas características son dadas por la ecuación .C C .B œ B teniendo por soluciones C œ -B A lo largo de tales curvas ? debe satisfacer la ecuación .C !C .B œ B cuya solución es ? œ 5B! . Como 5 puede ser diferente de una curva característica a otra curva característica, es decir, depende de - , tenemos la solución general ? œ 5 a- bB! œ 5 ˆ BC ‰B! donde 5a † b es una función arbitraria. Si aplicamos la condición inicial para C œ ", obtenemos 9aBb œ 5 ˆ B" ‰B! o 5 a=b œ 9ˆ "= ‰=! y por lo tanto la solución requerida será ? œ 9Š BC ‹C ! . … La ecuación general casi-lineal puede ser escrita en la forma +aBß Cß ?b?B  ,aBß Cß ?b?C œ - aBß Cß ?b a(b

La solución general ?aBß Cb define una superficie integral D œ ?aBß C b en el Bß Cß D-espacio. La normal a la superficie tendrá por direcciones

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a?B ß ?C ß  "b; así que la ecuación a(b se puede interpretar como la condición mediante la cual la superficie integral, en cada punto, tiene la propiedad de que el vector a+ß ,ß - b es tangente a la superficie. Así la ecuación diferencial parcial define un campo de direcciones a+ß ,ß - b llamadas las direcciones características, teniendo la siguiente propiedad: la ecuación D œ ?aBß C b es una superficie integral si y sólo si en cada punto el plano tangente contiene una dirección característica. Es sugestivo entonces considerar las curvas integrales de este campo esto es, la familia de curvas del espacio cuyas tangentes coinciden con las direcciones características. Estas son llamadas las curvas características y son dadas por las ecuaciones .C .B .D a) b +aBßCßD b œ ,aBßCßD b œ - aBßCßD b

Llamando al valor común de estas razones .>, podemos también escribirlas en la forma .C .B .D .> œ +aBß Cß D bß .> œ , aBß CD bß .> œ - aBß Cß D b a*b Por cada punto aB! ß C! ß D! b pasará una curva característica B œ BaB! ß C! ß D! ß >bß C œ C aB! ß C! ß D! ß >bß D œ D aB! ß C! ß D!ß >b Una importante propiedad de las curvas características es que: Cada superficie generada por una familia a un parámetro de curvas características, es una superficie integral de a(b. Más aún, la inversa también es verdadera. En efecto, supongamos que D œ ?aBß C b es una superficie integral D dada. Consideremos la solución del sistema .C .B .> œ +aBß Cß ?aBß C bbß .> œ , aBß Cß ?aBß C bb con B œ B! ß C œ C! para > œ !. Entonces para las correspondientes curvas B œ Ba>bß C œ C a>bß D œ ?aBa>bß C a>bb también de a(b se tiene .C .D .B .> œ ?B .>  ?C .> œ +aBß Cß ?b?B  , aBß Cß ?b?C œ - aBß Cß ?b œ 6 aBß Cß D b Por esto la curva satisface la condición a*b de las curvas características y también descansan sobre D por definición. Así D contiene en cada punto una curva característica pasando a través del punto. Por lo tanto D contiene las curvas integrales. Además, si dos superficies integrales se intersectan en un punto entonces ellas se intersectan a lo largo de la curva característica a través del punto; y la curva de intersección de dos superficies integrales debe ser una curva característica. En este punto la solución del problema de Cauchy con valor inicial, esto es, el de hallar la solución ?aBß Cb de a(b satisfaciendo valores iniciales dados a lo largo de una curva en el Bß C-plano, llega a ser evidente. Podemos tomar como solución a la superficie integral formada por la familia de curvas características a través de cada punto inicial en el espacio.

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1.1 aT b œ ?a=ß >b cuyas derivadas con respecto a los parámetros =ß > son continuas y tales que ellas satisfacen las condiciones iniciales Ba=ß !b œ B! a=bß Ca=ß !b œ C! a=bß ?a=ß !b œ ?! a=b Notamos que el Jacobiano B= B> ` aBßCb .C! ‰ ! œ ˆ .B ` a=ß>b ¹>œ! œ º C .= ,  .= + Á ! C> º>œ! = esto según la condición a""b. Así por el teorema de la función implícita la ecuación a"%b puede resolverse para =ß > en términos de Bß > en una vecindad de la curva inicial > œ !, obteniendo de a"%b una expresión para la solución dada por FaBß Cb œ ?a=aBß C bß >aBß C bb FaBß Cb claramente satisface las condiciones iniciales; pues FaBß Cb¸>œ! œ ?a=ß !b œ ?! a=b. Más aún FaBß Cb satisface la ecuación diferencial a"!b. Pues +FB  ,FC œ +a?= =B  ?> >B b  , a?= =C  ?> >C b œ ?= a+=B  ,=C b  ?> a+>B  ,>C b œ ?= a=B B>  =C C> b  ?> a>B B>  >C C> b œ ?= † !  ?> † " œ puesto que de las ecuaciones = œ =aBß C b > œ >aBß C b tenemos => œ ! œ =B B>  =C C> ß >C œ " œ > B B>  > C C > .

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Además FaBß Cb es única. Pues supóngase que FaBß Cb es cualquier otra solución satisfaciendo las condiciones iniciales y aBw ß Cw b un punto arbitrario en una vecindad de la curva inicial. Consideremos la curva característica B œ Ba=w ß >bß C œ a=w ß >bß ? œ ?a=w ß >b donde =w œ =aBw ß C w b. En > œ ! estas curvas estan en ambas superficies puesto que aquí pasan a través de la curva inicial por el punto Ba=w ß !b œ B! a=w bß Ca=w ß !b œ C! a=! bß ?a=w ß !b œ ?! a=w b. Pero si una curva característica tiene un punto común con una superficie integral ella está colocada totalmente sobre la superficie. Así las curvas características se encuentran en ambas superficies y en particular para >w tenemos FaBw ß Cw b œ FaBw a=w ß >w bß C w a=w ß >w bb œ ?a=w ß >w b œ FaBw ß C w b. … Como un ejemplo consideremos la ecuación diferencial parcial ??B  ?C œ " con la condición inicial B œ =ß C œ =ß ? œ "# = para ! Ÿ = Ÿ ". Notamos que la condición a""b se satisface; pues .C .B " !Ÿ=Ÿ" .= +  .= , œ # =  " Á ! :?/= Resolviendo las ecuaciones diferenciales ordinarias .C .B .? .> œ ?ß .> œ "ß .> œ " con las condiciones iniciales Ba=ß !b œ =ß C a=ß !b œ =ß ?a=ß !b œ "# = hallamos la familia de curvas características B œ "# >#  "# =>  = C œ>= ? œ >  #= Cuando resolvemos a = y > en términos de B y C, obtenemos #

=œ

B C# " C#

ß

>œ

y finalmente la solución será ?œ

#aCBbŠB C# ‹ #C

CB " C#

#

.

… §2. ECUACIÓN GENERAL DE PRIMER ORDEN PARA FUNCIONES EN DOS VARIABLES Una ecuación diferencial parcial general de primer orden para funciones de dos variables D aBß C b y sus derivadas DB œ :ß DC œ ; , puede ser escrita en la forma J aBß Cß Dß :ß ; b œ ! a"b

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Hemos supuesto que J tiene segundas derivadas continuas con respecto a sus variables Bß Cß Dß :ß ; . Sorprendentemente al resolver una ecuación de primer orden más general el análisis se reduce a la resolución de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. La geometía, sin embargo, no necesariamente es tan simple como para las ecuaciones casi-lineales, donde se hacía referencia principalmente a las curvas integrales. En el caso general nos referiremos, como se verá, a objetos gemétricos más complicados, llamados fajas (o tiras ). Supóngase ahora que en algún punto aB! ß C! ß D! b en el espacio, consideramos una posible superfice integral D œ D aBß C b y las direcciones a:ß ;ß  "b de su plano tangente. La ecuación establece que existe una relación. J aB! ß C! ß D! ß :ß ; b œ ! entre las direcciones : y ; . Esto es, la ecuación diferencial limitará sus soluciones a aquellas superficies teniendo planos tangentes pertenecientes a familias a un parámetro.

En general esta familia de planos será la envolvente cónica (ver la gráfica) llamada el cono de Monge. Así la ecuación diferencial a"b define un campo de conos teniendo la propiedad de que una superficie será una superficie integral si y solamente si es tangente a un cono en cada punto. Notamos que en el caso casi-lineal el cono degenera en una recta. Consideremos por un momento que tenemos una familia a un parámetro de superficies integrales D œ 0 aBß Cß - b a#b donde suponemos que 0 tiene segundas derivadas parciales continuas con respecto a sus variables Bß Cß - . Como podemos suponer de la interpretación geométrica de la ecuación diferencial, la envolvente, si existe, será de nuevo una solución. Para hallar la envolvente de una familia de superficies consideramos los puntos de intersección de superficies vecinas D œ 0 aBß Cß - b, y , D œ 0 aBß Cß -  ?- b Restando y dividiendo por ?- , ! œ 0 aBßCß-b0?a-BßCß-?- b y pasando al límite cuando ?- → !, tenemos la envolvente dada por las dos ecuaciones siguientes:

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Dœ0 aBßCß- b

a$b Š !œ0 aBßCß- b ‹ Si podemos resolver para - en la segunda y eliminando en la primera, tenemos la envolvente expresada como D œ 1aBß C b œ 0 aBß Cß - aBß C bb La envolvente satisface la ecuación diferencial dada. En efecto suponiendo  !, se obtiene 0- œ 1 œ0 0 - œ0 a%b Š 1Bœ0 B 0- -B œ0B ‹ C

C

- C

C

Esto es, la envolvente tendrá las mismas derivadas que un miembro de la familia, y la ecuación diferencial es justo una relación entre aquellas derivadas como se verificará. Suponemos conocida una familia a dos parámetros de superficies integrales, digamos D œ 0 aBß Cß +ß , b a&b Entonces podemos hallar soluciones dependiendo de una función arbitraria. Pues si consideramos , œ Fa+b donde F es diferenciable, obtenemos la familia D œ 0 aBß Cß +ß Fa+bb ! œ 0+  0, Fw a+b será una superficie integral dependiendo de la función F. Esto sugiere que si damos una familia a dos parámetros de superficies integrales, podemos seleccionar una familia a un parámetro de aquellas superficies cuya envolvente contiene una curva dada en el espacio y esto es, hallar una solución para un problema de valores iniciales. Notemos que es enteramente razonable expresar la existencia de una familia a dos parámetros de soluciones. Por supuesto, podemos iniciar con una familia arbitraria de superficies, digamos D œ 0 aBß Cß +ß , b a'b Si logramos resolver para los parámetros + y , en el sistema formado por las dos derivadas parciales : œ DB œ 0B aBß Cß +ß , b ; œ DC œ 0C aBß Cß +ß Þ, b y se sustituye + y , en la ecuación a'b, se obtiene la ecuación diferencial parcial D œ 0 aBß Cß +aBß Cß :ß ; bß , aBß Cß :ß ; bb œ ! a(b teniéndose la familia dada como solución. Llamaremos a la familia a dos parámetros de soluciones, solución completa de la ecuación diferencial. Supongamos ahora que tenemos la solución completa D œ 0 aBß Cß +ß , b y deseamos hallar una envolvente conteniendo la curva inicial siguiente B œ Ba=bß C œ C a= b ß D œ D a=b con tal objeto consideremos las dos ecuaciones  D a=b  0 aBa=bß C a=bß +ß , b œ ! K= a=ß +ß ,b œ a)b

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y

K= a=ß +ß ,b œ D w a=b  0B Bw a=b  0C C w a=b œ ! a*b de donde se obtiene una relación entre +ß ,ß digamos en términos del parámetro =: + œ +a=bß , œ ,a=b. La envolvente D œ 0 aBß Cß +a=bß , a=bb ! œ 0+ +w a=b  0, ,w a=b contendrá la curva inicial. Pues ambas ecuaciones se cumplen idénticamente en = por Ba=bß Ca=bß D a=b; la primera como una consecuencia directa de la ecuación a)b, y la segunda por la derivabilidad de la primera D w a=b œ 0B Bw a=b  0C C w a=b  0, , w a=b o ! œ 0+ +w a=b  0, ,w a=b donde hemos usado la ecuación a*b. Como un ejemplo, consideremos la familia a dos parámetros del plano que están a una distancia unitaria del origen, es decir, los planos respecto a la esfera unitaria. Ellos estan dados por las ecuaciones D œ È"+ B  È"a,+# ,# b C  È"a"+#,# b a+# ,# b y se puede demostrar que es una solución completa de la ecuación diferencial parcial aD  :B  ;C b#  a"  :#  ; # b œ ! si deseamos hallar una supercifie integral conteniendo a la curva inicial, dada, digamos por el círculo de radio "# alrededor del eje D, de ecuación D œ "ß B œ "# cos)ß C œ "# sin)ß ! Ÿ ) Ÿ #1 se obtiene la familia de planos dada por las ecuaciones Ka) ß +ß ,b œ È"  a+#  , # b  +# cos)  #, sin)  " œ ! K) a) ß +ß ,b œ + sin)  ,cos) œ ! de donde se concluyen las relaciones + %$ cos) ß , œ %$ sin)ß o , +#  , # œ "' #& la superficie integral requerida es entonces la envolvente de la familia D œ  %$ Bcos)  %$ C sin)  &$ Todo está bien si ya tenemos una familia a dos parámetros de superficies integrales. Continuamos por consiguiente con un ataque más sistemático con el fin de escribir un sistema de ecuaciones ordinarias de soluciones con las cuales deseamos una solución, de la ecuación diferencial parcial dada. Demos una superficie integral D œ D aBß C b teniendo segundas derivadas parciales continuas con respecto a B y a C . En cada punto la superficie será tangente a un cono de Monge (ver la figura)

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Las lineas de contacto entre los planos tangentes a la superficie y los conos definen un campo de direcciones en superficie, llamado el campo de direcciones características y las curvas integrales de este campo definen una familia de curvas características. Con el objeto de describir las curvas características, obtenemos primero una expresión analítica para el cono de Monge en algún punto aB! ß C! ß D! b. Este es la envolvente de una familia a un parámetro de planos D  D! œ :aB  B! b  ; aC  C! b donde : y ; satisfacen J aB! ÞC! ß D! ß :ß ; b œ !ß o, ; œ ; aB! ÞC! ß D! ß :ß ; b a""b y por lo tanto puede ser dada por las ecuaciones Œ

DD! œ:aBB! b; aB! ÞC! ßD! ß:bˆCC! ‰ .; !œaBB! b; aCC! b .:

De las ecuaciones a""b obtenemos .; .J .: œ J:  J; .: œ !



a"#b

a"$b

así que puede ser eliminada de a"#b, y las ecuaciones, definiendo el cono de Monge, se escriben J aB! ÞC! ß D! ß :ß ; b œ ! Î Ñ D  D! œ :aB  B! b  ; aC  C! b a"%b CC! BB! Ï Ò J: œ J; .; .:

Notemos que dando : y ; las dos últimas ecuaciones definen la línea generatriz del cono, es decir, la línea de contacto entre el plano tangente y el cono. Así en nuestra superficie integral dada, donde cada punto :! œ :aB! ß C! b y ;! œ ; aB! ß C! b son conocidos, el plano tangente estará dado por D  D! œ :! aB  B! b  ;! aC  C! b juntamente con la ecuación CC! BB! J: œ J; determinándose la línea de contorno con el cono de Monge CC! BB! DD! J: œ J; = :J: ;J;

o la dirección característica aJ: ß J; ß :J:  ;J; b Se sigue entonces que las curvas características estan determinadas por el sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias .C .B .D a"&b J: œ J; œ :J: ;J;

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o

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.C .D œ J: ß a"'b .> œ J; ß .> œ :J:  ;J; Si la superficie integral es todavía desconocida, es claro que las tres ecuaciones a"&b o a"'b no serán todavía suficientes para determinar las curvas características comprendiendo la superficie. Sin embargo, se puede obtener mayor información sobre el comportamiento de : y ; a lo largo de las curvas características .B .>

Œ

.C .: .B .> œ:B .> :C .> œ .C .; .B .> œ;B .> ;C .> œ

:B J: :C J; ;B J: ;C J; 

a"(b

Retornando a la ecuación a"b y diferenciando primero con respecto a B y luego con respecto a C, tenemos JB  J D :  J : : B  J ; ; B œ ! JC  JD ;  J : : C  J ; ;C œ ! Así que las ecuaciones a"(b pueden escribirse en la forma a")b

Œ .; œJC JD ;  .: .> œJB JD : .>

donde hemos usado que :C œ ;B . Tenemos entonces asociado con la superficie integral dada, D œ D aBß C b una familia de curvas características en la superficie, tal que las coordenadas Ba>bß Ca>bß D a>b, a lo largo de la curva y los números :a>bß ; a>b estan relacionados mediante el sistema de cinco ecuaciones dadas en a"'b y a")b. Estas cinco ecuaciones diferenciales ordinarias son llamadas ecuaciones características relativas a la ecuación diferencial parcial a"b . Supóngase ahora que la superficie está aún por determinar. La discusión previa nos permite considerar la ecuación diferencial parcial a"b junto con el sistema de ecuaciones características a"'b y a")b como un sistema de seis ecuaciones J aBßCßDß:ß; bœ!ß .C .> œJ; ß Œ .B œJ: ß .D œ:J: ;J; ß .> .>

.: .> œJB JD : .; .> œJC JD ;



a"*b

para las cinco funciones desconocidas Ba>bß Ca>bß D a>bß :a>bß ; a>b. Este sistema es sobredeterminado, sin embargo la primera ecuación J aBß Cß Dß :ß ; b œ ! no es superflua, y no constituye una restricción. Pues, a lo largo de una solución de las cinco últimas y mediante la regla de la cadena se sigue .C .: .; .J .B .D .> œ JB .>  JC .>  JD .>  J: .>  J; .> œ œ JB J:  JC J;  :JD J;  J: JB  J: JD :  J; JC  J; JD ;  ;JD J; œ !. Siguiéndose que J =-98=> constituye una integral de las cinco ecuaciones restantes. Es claro entonces que si J œ ! se satisface en un punto inicial digamos B! ß C! ß D! ß :! ß ;! para > œ !, las cinco ecuaciones características determinan una única solución Ba>bß Ca>bß D a>bß :a>bß ; a>b pasando también por el punto y justo con J œ ! se satisface para todo >.

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Una solución de a"*b puede ser interpretada como una tira (o franja, o cinta). Esto es, un espacio de curvas B œ Ba>bß C œ C a>bß D œ D a>b junto con una familia de planos tangentes determinados por las direcciones a:ß ;ß  "b. Para >! fijo, los cinco números B! ß C! ß D! ß :! ß ;! se determinan definiendo un elemento de la tira, es decir, un punto de la curva y el correspondiente plano tangente. Note que ningún conjunto de cinco funciones puede ser determinado como una tira. En efecto se requiere que los planos sean tangentes a la curva, lo cual se da por la condición .D a>b .Ba>b .Ca>b a#!b .> œ :a>b .>  ; a>b .> llamada la condición de faja. En nuestro caso la condición de faja se garantiza por las primeras cinco ecuaciones características. Llamaremos a las tiras que son solución de a"*b tiras características y sus curvas correspondientes, curvas características. 2.1. Si las tiras características tienen un elemento B! ß C! ß D! ß :! ß ;! en común con la superficie integral D œ ?aBß Cb, entonces se hallan completamente sobre la superficie. TEOREMA

En efecto, dada una solución ?, considérense las dos ecuaciones diferenciales ordinarias Œ

.B .> œJ: aBßCß?aBßC bß?B aBßC bß?C aBßC bb .C .> œJ; aBßCß?aBßC bß?B aBßC bß?C aBßC bb



a#"b

para las variables Ba>bß Ca>b con condiciones iniciales Ba!b œ B! ß C a!b œ C! . Por los teoremas de existencia y unicidad para ecuaciones diferenciales ordinarias ellas serán unívocamente determinadas por las curvas B œ Ba>b, C œ C a>b junto con la correspondiente curva sobre la superficie integral B œ Ba>bß C œ C a>bß D œ ?aBa>bß C a>bb a##b Además se satisfacen las siguientes ecuaciones .C .C .B a#$b .> œ ?B .>  ?C .> œ ?B J:  ?C J; .?B a#%b .> œ ?BB J:  ?BC J; y .?C a#&b .> œ ?CB J;  ?CC J; donde ?a!b œ ?aB! ß C! b œ D! ß ?B a!b œ ?B aB! ß C! b œ :! , y , ?C œ ?C aB! ß C! b œ ;! . Suponiendo por otro lado que J aBß Cß ?B aBß C bß ?C aBß C bb œ ! a#'b y así JB  J? ?B  J?B ?BB  J?C ?CB œ !

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JC  J? ?C  J?B ?BC  J?C ?CC œ ! por lo tanto las ecuaciones a#$b y a#%b pueden escribirse en la forma .?B a#(b .> œ  JB  JD ?B y .? a#)b .> œ  JC  JD ?C donde se supone que ?BC œ ?CB . Examinemos ahora las cinco funciones B œ Ba>bß C œ C a>bß D œ ?aBa>bß C a>bb, : œ ?B aBa>bß C a>bb, ; œ ?C aBa>bß C a>bb. Ellas determinan las tiras características pues satisfacen las cinco ecuaciones características a#"bß a##bß a#$bß a#(bß y a#)b, además de la ecuación finita a#'b. Y ellas determinan una única tira característica para el elemento inicial B! ß C! ß D! ß :! ß ;! . Pero las tiras deseadas están sobre la superficie por definir, así el teorema está probado. … Es claro ahora, que con las consideraciones previas, podemos proceder a resolver el problema de Cauchy con valor inicial y el auxilio de estas tiras características. TEOREMA

parcial

2.2. (PROBLEMA DE CAUCHY). Consideremos la ecuación diferencial J aBß Cß Dß :ß ; b œ !

a#*b

donde J tiene segundas derivadas parciales con respecto a sus variables Bß Cß Dß :ß ; . Supongamos que junto con la curva inicial B œ B! a=bß C œ C! a=bß ! Ÿ = Ÿ ", los valores iniciales D œ D! son asignados por B! ß C! ß D! teniendo segundas derivadas continuas. Supóngase aún que las funciones contínuamente diferenciables :! a=bß ;! a=b han sido definidas satisfaciendo las dos ecuaciones Œ

J aB! a=bßC! a=bßD! a=bß:! a=bß;! a=bbœ! .D! .B! .C!  .= œ :! .=  ;! .=

a$!b

Finalmente, supóngase que las cinco funciones B! ß C! ß D! ß :! ß ;! satisfacen la condición .B! .= J; aB! ß C! ß D! ß :! ß ;! b



.C! .= J: aB! ß C! ß D! ß :! ß ;! b

Á!

a$"b

Entonces en alguna vecindad de la curva inicial existirá una y solamente una solución D œ ?aBß Cb de a#*b conteniendo la faja inicial, es decir tal que D aB! a=bß C! a=bb œ D! a=bß DB aB! a=bß C! a=bb œ :! a=bß DC aB! a=bß C! a=bb œ ;! a=b. DEMOSTRACIÓN. Consideremos el sistema de ecuaciones características Œ

.C .B .> œJ: ß .> œJ; ß .D .> œ:J: ;J; ß

.: .> œJB :JB .; .> œJC ;JB



a$#b

con la familia de condiciones iniciales B œ B! a=bß C œ C! a=bß D œ D! a=bß : œ :! a=bß ; œ ;! a=b para >  !. Del teorema de existencia y unicidad, del problema de valores iniciales para ecuaciones diferenciales ordinarias, podemos obtener una familia de soluciones dependiendo del parámetro inicial =

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B œ \ a=bß C œ ] a=bß D œ ^ a=bß : œ T a=bß ; œ Ua=b a$$b donde \ß ] ß ^ß T y U tienen derivadas continuas con respecto a = y a >, y además que satisfacen las condiciones iniciales \ a=ß !b œ B! a=bß ] a=ß !b œ C! a=bß ^ a=ß !b œ D! a=bß T a=ß !b œ :! ß Ua=ß !b œ ;! a=b a$%b determinándose así las tiras características surgidas de los elementos iniciales, debemos demostrar que las curvas características de estas franjas B œ \ a=ß >bß C œ ] a=ß >bß D œ ^ a=ß >b necesariamente forman una superficie. En particular si resolvemos las dos primeras ecuaciones para = y > en términos de B y C, y luego sustituyendo en la última, se obtiene la superficie D œ ^ a=aBß C bß >aBß C bb œ D aBß >b como una función de las variables B y C. Esto se puede dar para alguna vecindad R a0ß ( b alrededor de cada punto Ð0ß (Ñ en la curva inicial puesto que, a lo largo de la curva inicial el Jacobiano \= \> ` a\ß] b .C! .B a$&b º œ .=! J;  .= J: Á ! ` a=ß>b ¹>œ! œ º ] ] > = >œ! esto por la condición a$$b, dada por hipótesis. Tenemos entonces definido, en R a0ß (b, las ecuaciones  a=aBßC bß>aBßC bb =œ=aBßC bß >œ>aBßC bß Bœ\ a=aBßC bß>aBßC bbß Cœ] Š Dœ^  a=aBßC bß>aBßC bbß :œT  a=aBßC bß>aBßC b bß ;œU  a=aBßC bß>aBßC bb ‹ a$'b

Debemos probar que D aBß C b es una solución de la ecuación diferencial parcial a#*b, es decir, de la ecuación J aBß Cß D aBß C bß DB aBß C bß DC aBß C bb œ ! Pero se sabe, que para las tiras características se tiene J aBß Cß Dß :ß ; b œ ! sólo nos resta probar que : œ DB ß y, ; œ DC Con este objeto consideremos la expresión  ^=  T \=  U]= Y a=ß >b œ a$(b Para > œ ! .C! .B! ! Y a=ß !b œ .D .=  :! .=  ;! .= œ ! por la condición de tira, para los elementos iniciales a$!b. Mostremos que  ! para todo >, lo cual expresa el hecho, de que las tiras características Y œ quedan suavemente juntas. Para hacer esto, consideremos la derivada de Y con respecto a >. `Y `> œ ^=>  T> \=  T \=>  U]=> ` œ `= a^>  T \>  U]> b  T= \>  U= ]>  U> ]=  T> \= œ !  J: T=  J; U=  aJB  JD T b\=  aJC  JD Ub]= donde hemos usado las ecuaciones características a$#b. Tenemos además por adición y sustracción de JD J= y luego reagrupando términos tenemos `Y `> œ JB \=  JC ]=  JD ^=  J: T=  J; U=  JD a^=  T \=  U]= b œ J=  J D Y œ  J D Y

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 ! en = y >. Ahora para = fijo, la función Y satisface la puesto que J= œ ecuación diferencial ordinaria .Y .> œ  JD Y cuya solución dada por > Y œ Y a!b/'! JD .>  ! para todo >ß es decir Puesto que para > œ !ß se sigue que Y œ Z= œ T \=  U]= Observemos ahora las cuatro ecuaciones Z= œ T \=  U]= ^= œ ^B \ =  ^ C ]= ^> œ T \>  U]> ^ > œ ^ B \ >  ^ C ]> . La primera se sigue de la discusión previa, la segunda es justo la tercera ecuación característica, y las últimas dos por diferenciación de las identidades a$'b. Las cuatro cantidades T ß Uß ^B ß ^C pueden ser consideradas como dos soluciones, para dos ecuaciones lineales en dos variables desconocidas. Sin embargo, puesto que cerca de a0ß (b el determinante \= \> Á! º] ]> º = en virtud de la ecuación a$&b las dos soluciones son necesariamente idénticas, es decir; T a=ß >b œ ^B aBa=ß >bß C a=ß >bb Ua=ß >b œ ^C aBa=ß >b ß C a=ß >bb 0 :aBßC bœ^ aBßC b a$)b Š ; aBßCbœ^BaBßCb ‹ C

como queríamos demostrar. Las soluciones ^ œ ^ aBß C b contienen la tira inicial. Pues

^ aB! ß C! b œ ^ aBa=ß !bß C a=ß !bb œ ^ a=ß !b œ ^! a=b ^B aB! ß C! b œ :aB! ß C! b œ :aBa=ß !bß C a=ß !bb œ :a=ß !b œ :! a=b ^C aB! ß C! b œ ; aB! ß C! b œ ; aBa=ß !bß C a=ß !bb œ ; a=ß !b œ ;! a=b

esto en virtud de las ecuaciones a$%bß a$'b y a$)b. Para demostrar que ^ œ ^ aBß C b así determinado, es única, supongamos que existe otra solución ^ œ ^ w aBß C b definida en R Ð0ß (Ñ y contenida en una tira inicial. Escojamos un punto arbitrario aBw ß Cw b en R Ð0ß (Ñ y resolviendo para =w y >w en las ecuaciones asociadas se tiene =w œ =aBw ß C w b >w œ >aBw ß C w b Consideremos ahora los elementos iniciales B! a=w bß C ! a=w bß D! a=w bß :! a=w bß ;! a=w b. Por lo que se ha supuesto estos elementos están todos colocados sobre la superficie integral. Así la unicidad de la tira característica determinada, brinda para estos elementos las ecuaciones B œ \ a=w ß >bß C œ ] a=w ß >bß D œ ^ a=w ß >bß : œ T a=w ß >bß ; œ Ua=w ß >b

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y es preciso también considerarlas en ambas superficies. Esto es ^ w a\ a=w ß >bß ] a=w ß >bb œ ^ a=w ß >b œ ^ a\ a=w ß >bß ] a=w ß >bb y en particular para >w tenemos ^ w aBw ß Cw b œ ^ w a\ a=w ß >w bß ] a=w ß >w bb œ ^ a=w ß >w b ^ a\ a=w ß >w bß ] a=w ß >w bb œ ^ aBw ß C w b. Note que tan sólo tenemos una única solución construida en una vecindad R Ð0ß (Ñ alrededor de un punto Ð0ß (Ñ en la curva inicial. Debemos tener la solución extendida para incluir la curva completa. Esto puede darse mediante un recubrimiento apropiado de la curva inicial formado por vecindades R Ð0ß (Ñ en donde vale la unicidad. Supongamos entonces que la región próxima a la curva inicial es aplicada homeomórficamente sobre alguna de un ?ß @-plano tal que la curva inicial quede aplicada en una porción > de la línea ? œ !. El sistema de vecindades R a?ß @b que tiene por restricción propia, el tamaño de R Ð0ß (Ñ suponiéndolas circulares. Consideremos ahora un recubrimiento finito W de > por R a?ß @b. Esto se puede tener, dado que la curva inicial y también su imagen > son compactas. Las intersecciones de este cubrimiento tendrán un diámetro mínimo, digamos cubierta con un segundo recubrimiento X de vecindades R a?ß @b teniendo diámetro máximo de #< Þ

Este recubrimiento X tendrá entonces la propiedad de que las intersecciones de cualquiera de sus vecindades estará completamente dentro de al menos una de las vecindades del recubrimiento W . Se consideran las soluciones ^X aBß Cb que han sido construidas por las vecindades del cubrimiento X . Es claro que ellas definirán una solución del problema de Cauchy para la curva completa. Todo lo que tenemos que mostrar es que los ^X concuerdan a lo largo de las intersecciones de sus respectivas vecindades. Pero esto es claro por la prueba de unicidad para las vecindades del primer recubrimiento W . Hemos visto anteriormente que podemos resolver el problema de Cauchy con auxilio de una integral completa. Existe sin embargo otro tipo de soluciones que es también conveniente para este propósito. A saber, en cada punto aB! ß C! ß D! b en el espacio, existe una familia a un parámetro de elementos B! ß C! ß D! ß :! a=bß ;! a=b por medio de cada una de las cuales podemos pasar a las tiras características. Esta familia, a un parámetro de tiras, formará en

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general, cierta superficie cónica con una singularidad en el punto aB! ß C! ß D! b, para más detalles ver [2]. … .C

.D §3. METODO DE SOLUCIONES DE LA ECUACION .B T œ U œ V

3.1. METODO DE LAS PROPORCIONES

Las curvas integrales del conjunto de soluciones de las ecuaciones diferenciales de la forma .C .B .D a" b T œ U œ V $ donde T ß Uß V son funciones definidas en un conjunto abierto H § d , continuas y diferenciables aT ß Uß V À H Ä d b, dan origen a una familia de curvas a dos parámetros en el espacio tridimensional. Si podemos obtener de la ecuación a"b dos relaciones de la forma ?" aBß Cß D b œ -" à ?# aBß Cß D b œ -# a#b involucrando dos constantes arbitrarias, entonces variando estas dos constantes obtenemos una familia a dos parámetros cumpliendo la ecuación a"b. En particular, para hallar las funciones ?" y ?# se observa que para cualquier dirección tangencial a través del punto aBß Cß D b a la superficie ?" aBß Cß D b œ -" se satisface la relación `?" `?" `?" `B .B  `C .C  `D .D œ ! Si ?" œ -" es un adecuado sistema de superficies a un parámetro, la dirección tangencial a la curva integral a través de cualquier punto aBß Cß D b es también una dirección tangencial a esta superficie. Por lo tanto `?" `?" " T `? `B  U `C  V `D œ ! Para hallar ?" (y, análogamente ?# Ñ experimentamos con un buen número de funciones T w ß Uw ß y , V w de tal manera que se cumpla T T w  UUw  VV w œ ! a$b y tales que exista una función ?" con la propiedad " " " T w œ `? Uw œ `? V w œ `? a%b `B ß `C ß `D es decir, tal que a&b T w .B  Uw .C  V w .D sea una forma diferencial exacta .?" . EJEMPLO.

Hallar las curvas integrales de las ecuaciones .C .B .D CaBCb+D œ BaBCb+D œ D aBC b

En este caso tenemos, en la notación anterior T œ C aB  C b  +Dß U œ BaB  C b  +Dß V œ D aB  C b Si por tanteo tomamos T w œ "D ß Uw œ D" ß V w œ  BC D#

a' b

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Entonces la condición a$b es evidentemente verificada y la función ?" de la ecuación a%b tomará la forma ?" œ BC D Análogamente si tomamos T w œ Bß Uw œ  Cß Vw œ  + de nuevo la condición a$b se cumple, y la función correspondiente es ?# œ "# aB#  C # b  +D Por lo tanto las curvas integrales de la ecuación diferencial son los miembros de la familia a dos parámetros B  C œ -" Dß B#  C #  #+D œ -# a(b Otro camino para obtener estas ecuaciones, es haciendo uso de las propiedades de las razones aritméticas, así la ecuación a'b puede escribirse en la forma .B.C .D œ D aBC b aBCb# Esta es una ecuación diferencial ordinaria en la variables B  C y D cuya solución es a)b B  C œ -" D Análogamente se pueden hacer combinaciones como ésta B.BC.C .D +aBCbD œ D aBCb la cual es equivalente a B.B  C.C  +.D œ ! de donde sale de la derivación implicita, que . ˆ "# B#  "# C #  +D ‰ œ ! obteniéndose la otra solución B#  C #  #+D œ -# Las ecuaciones a)b y a*b son justamente las mismas de a(b. …

a*b

3.2 FORMA Y ECUACIONES DE PFAFFIAN

La expresión

! J3 aB" ß B# ß á ß B8 b.B3 8

donde los J3 a3 œ "ß #ß á ß 8b son funciones de algunas o todas las 8 indeterminadas B" ß B# ß á B8 , es llamada forma diferencial de Pfaffian. Análogamente la relación 8 ! J3 aB" ß B# ß á ß B8 b.B3 œ ! 3œ"

3œ"

es llamada ecuación diferencial de Pfaffian. Para el caso de dos variables se tiene, el estudio de las ecuaciones diferenciones exactas y se conoce el siguiente resultado.

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TEOREMA. Una ecuación diferencial de Pfaffian en dos variables siempre posee un factor integrante.

Los siguientes lemas son de gran utilidad y las pruebas son rutinarias y fáciles de hacer.

Una condición necesaria y suficiente para que exista entre dos funciones ?aBß Cb y @aBß Cb una relación de la forma J a?ß @b œ ! no conteniendo explícitamente a B o, a C es que LEMA 1.

` a?ß@b ` aBßCb

ϼ

?B @B

?C œ !. @C º

Si \ es un vector tal que \ † \ œ ! y . es una función arbitraria de Bß Cß D entonces a.\ b † a.\ b œ !. LEMA 2.

Note que aquí \ − d $ y \ es el rotacional de \ . 8 Sea H §  d un dominio abierto, una condición necesaria y suficiente para que la ecuación diferencial

TEOREMA FUNDAMENTAL.

! J3 aB" ß B# ß á ß B8 b.B3 œ \ † .< œ ! 8

3œ"

sea integrable es que \ † \ œ !.

Siendo \ œ aJ" ß J# ß á ß J8 b, y , .< œ a.B" ß .B# ß á ß .B8 bß J3 − G " ÐHÑ. La demostración la hacemos para el caso de tres variables Bß Cß D . Se desprende de esta demostración un método para calcular la solución de una ecuación diferencial de Pfaffian en tres variables. BREVES DE LA DEMOSTRACIÓN.

La condición necesaria se obtiene de los lemas anteriores. Para la condición suficiente, considérese D constante, en ese caso obtenemos la ecuación diferencial T aBß Cß D b.B  UaBß Cß D b.C œ ! que es una ecuación diferencial en dos variables la cual por el teorema de existencia siempre tiene solución, que será de la forma ?aBß Cß D b œ -" donde -" es una constante dependiente posiblemente de D . Así debe existir una función . tal que `? `? `B œ .T ß `C œ .U teniéndose estonces que `? `? `? `? ‰ ˆ `B .B  `C .C  `D .D  .V  `D .D œ ! la cual podemos escribir en la forma .?  O.D œ ! siendo O œ .V  `? `D

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De la hipótesis se tiene que \ † a\ b œ !, así tenemos que a.\ b † a.\ b œ ! Ahora `? `? .\ =a.T ß .Uß .V b œ Š `? `B ß `C ß `D  O ‹ œ f?  a!ß !ß O b Por lo tanto `? `? `O .\ † a.\ b œ Š `? `B ß `C ß `D  O ‹ † Š `C ß  así se obtiene que

` a?ß5 b ` aBßCb

`O `B ß !‹

œ

`? `O `B `C



`? `O `C `B

œ!

Del lema 1, se sigue que existe una relación entre ? y O independiente de B y C pero no de D . En otras palabras, O puede ser expresada como una función O a?ß D b de ? y D solamente y de tal forma que `? `D  O a?ß D b œ ! es una ecuación diferencial de variable separable cuya solución es dada por Fa?ß D b œ con - constante. Como ? es función de B y C tenemos que la solución será J aBß Cß D b œ demostrándose que la ecuación T .B  U.C  V.D œ ! es integrable. … EJEMPLO. Verifiquemos que la ecución diferencial aC#  CD b.B  aBD  D # b.C  aC #  BC b.D œ ! es integrable y halle la solución. 1. Integrabilidad: aC #  CDß BD  D # ß C #  BC b œ a#C  #B  #Dß #Cß  #C b y aC#  CDß BD  D # ß C #  BC b † a#C  #B  #Dß #Cß  #C b œ ! 2. Cálculo de la solución: Si mantenemos D constante tenemos CaC  D b.B  D aB  D b.C œ ! donde .C .C .B D .B BD  CaCD b .C œ !ß si y sólo si, BD  C  CD œ ! de donde C P8aB  D b  P8Š CD ‹ œ P8Gß si y sólo si, Así existe . tal que `? " `B œ .T implica que, .= T se sigue entonces que O œ .V  `? `D œ

C# BC aCD b#



C CD

`? `B



œ

CaBD b CD

C " C# CD CD

CaBD b aCD b#

œ ?aBß C b œ -"

œ

" aCD b#

œ!

luego O œ ! y como .?  O.D œ ! se sigue que .? œ ! o sea ? œ - donde la solución será CaBD b CD œ -ß si y sólo si, C aB  D b œ - aC  D b donde - es una constante.

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…

Para resolver la ecuación diferencial parcial 0 aBß Cß Dß :ß ; b œ ! a"b `D `D donde como siempre : œ `B y ; œ `C , Charpit introduce una segunda ecuación diferencial parcial de primer orden 1aBß Cß Dß :ß ;ß +b œ ! a#b la cual contiene una constante arbitraria + y tal que, a+b Las ecuaciones a"b y a#b pueden resolverse para dar : œ :aBß Cß Dß +bß ; œ ; aBß Cß Dß +b a,b La ecuación .D œ :aBß Cß Dß +b.B  ; aBß Cß Dß +b.C a$b es integrable. Cuando tal función 1 ha sido determinada, la solución de la ecuación a$b J aBß Cß Dß +ß , b œ ! conteniendo dos funciones arbitrarias +ß , será la solución de la ecuación a"b. El principal problema entonces es la determinación de la segunda ecuación a#b, para esto veamos el siguiente lema. Pero antes se dice que dos ecuaciones diferenciales 0 aBß Cß Dß :ß ; b œ ! y 1aBß Cß Dß :ß ; b œ ! son cuando toda solución de comparables 0 aBß Cß Dß :ß ; b œ ! es también solución de 1aBß Cß Dß :ß ; b œ !. 3.3 METODO DE CHARPIT.

Sea 0 aBß Cß Dß :ß ; b œ ! y 1aBß Cß Dß :ß ; b œ ! dos ecuaciones diferenciales  ` a0 ß1b Á !. Una condición para que de primer orden tales que N œ ` a:ß; b LEMA.

0 aBß Cß Dß :ß ; b œ ! y 1aBß Cß Dß :ß ; b œ ! sean compatibles es que Ò0 ß 1Ó œ ! donde  ` a0 ß1b  : ` a0 ß1b  ` a0 ß1b  ; ` a0 ß1b Þ Ò0 ß 1Ó œ ` aBß:b ` aDß:b ` aCß; b ` aCß; b PRUEBA:

Como N Á ! podemos resolver las ecuaciones 0 aBß Cß Dß :ß ; b œ ! y 1aBß Cß Dß :ß ; b œ ! para obtener expresiones explicitas para : y ; dadas por (en una variable) : œ 9aBß Cß D b ; œ œ 0 ww a?b?#C  1ww a@b@C#  0 w a?b?CC  1w a@b@CC  ACC Ahora tenemos cinco ecuaciones involucrando cuatro funciones arbitrarias, 0 w ß 0 ww ß 1w ß 1ww . Si eliminamos estas cuatro cantidades de las cinco ecuaciones obtenemos â :A ?B @ B ! ! ââ B â â ;A ?C @C ! ! ââ C â â<  A ?BB @BB ?#B @B# ââ œ ! a $b â BB â=A â ? @ ? ? @ @ â BC BC BC B C B Câ â â ?#C @C# â â >  ACC ?CC @CC la cual envuelve solamente las derivadas :ß ;ß y funciones dependientes de B e C. Es por lo tanto una ecuación diferencial parcial de segundo orden. Además si expandemos el determinante en el lado izquierdo de la ecuación a$b en términos de la primera columna, obtenemos una ecuación de la forma V<  W=  X >  T :  U; œ [ a%b donde Vß Wß X ß T ß Uß [ son funciones conocidas de B e C . Por lo tanto la relación a"b es solución de la ecuación diferencial parcial lineal de segundo orden a%b. Notamos que la ecuación a%b es de un tipo particular: La variable D no interviene en ella. Como ejemplo del procedimiento del último parágrafo, suponemos que D œ 0 aB  +C b  1aB  +C b a&b donde 0 y 1 son funciones arbitrarias y + es una constante. Si diferenciamos a&b dos veces con respecto a B obtenemos la relación < œ 0 ww  1ww mientras que si derivamos dos veces con respecto a C, obtenemos la relación > œ +# 0 ww  +# 1ww así que las funciones D las cuales pueden ser expresadas en la forma a&b deben satisfacer la ecuación diferencial parcial > œ +# < a'b Métodos análogos se aplican en el caso de ecuaciones de mayor orden. Es fácilmente demostrable que cualquier relación del tipo 8 D œ ! 0< a@< b a( b œ L Š;" ß ;# ß á ß ;8 ß `;" ß `;# ß âß `;8 ‹ œ !

asignada al Hamiltoniano L a;" ß ;# ß á ß ;8à :" ß :# ß á ß :8 b de un sistema dinámico de 8 generalizadas ;" ß ;# ß á ß ;8 y el momento conjugado :" ß :# ß á ß :8 . Esta es una ecuación en la cual la variable que depende de W está ausente, vemos que las ecuaciones características están dadas por .;" .;8 .:" .:8 .> a#b " œ `LÎ`:" œ â œ `LÎ`:8 œ a`LÎ`;" b œ â œ a`LÎ`;8 b es decir, ellas son equivalentes a las ecuaciones Hamiltonianas del movimiento .;3 .:3 `L `L 3 œ "ß #ß á ß 8 a$b .> œ `:3 ß .> œ  `;3 Una forma modificada de la ecuación a"b se obtiene escribiendo W œ  [ >  W" entonces hallamos que `W" " L Š;" ß ;# ß á ß ;8 à `W a%b `;" ß á ß `;8 ‹ œ [ Suponiendo, por ejemplo, que un sistema con segundo orden de libertad, tiene Hamiltoniano T :B# U;C# 0 ( L œ #a\] a&b b  \]

donde T ,\ ,0 son funciones de solamente Bß Cà Uß ] ß ( son funciones solamente de C. Entonces la ecuación a%b llega a ser " # aT :B  U;C b  a0  ( b  [ a\  ] b œ ! Entonces una de las ecuaciones características toma la forma .:B .B T :B  " T w : 0w [ \ w œ ! tiene por solución

#

B

:B œ e#a[ \  0  +bf # donde + es una constante arbitraria. Análogamente podemos demostrar que " ;C œ e#a[ ]  (  ,bf # "

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donde , es una constante arbitraria, teniendo la misma propiedad. Así puesto que :B es una función de B solamente, y ;C es función de C solamente, tenemos " " W œ  [ >  ' e#a[ \  0  +bf # .B  ' e#a[ ]  (  , bf # .C demostrando que una solución de la ecuación de Hamilton-Jacobi puede ser algunas veces determinada de un Hamiltoniano de la forma a&b. Las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden también surgen frecuentemente en la teoría de procesos de probabilidad. Una tal ecuación es la ecuación de Fokker-Planck dada por `T ` ` #T a' b `> œ " `B aT Bb  H `B# en el caso particular H œ !ß se tiene la ecuación diferencial parcial; `T `T `> œ " B `B  " T La interpretación física de las variables en esta ecuación; T la probabilidad de que una variable casual tome el valor B en el tiempo >. Por ejemplo T puede ser la distribución de probabilidad de la posición de una partícula en el movimiento Browniano limitado armónicamente (o armónico limitado ) o la distribución de probabilidad de retención B del sonido de una señal eléctrica en un tiempo >. Observamos que la ecuación a'b es válida solamente si la ventaja del proceso tiene una distribución Gaussiana y es un proceso de Markoff. Probablemente la más importante ocurrencia de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, es en la teoría de nacimientos y procesos de muerte conectada con bacterias. Supóngase, por ejemplo, que en un tiempo > hay exactamente 8 bacterias vivas y que a+b La probabilidad de bacterias moribundas en un tiempo a>ß >  $ >b es .8 $ > a,b La probabilidad de reprodución bacterial en un tiempo a>ß >  $ >b es -8 $ > a- b La probabilidad de número de bacterias permaneciendo constantes en un tiempo a>ß >  $ >b es a"  -8 $ >  .8 $ >b a. b La probabilidad de que algunas nazcan o mueran ocurriendo en el tiempo a>ß >  $ >b es cero. Si suponemos que T8 a>b es la probabilidad de que se tengan 8 bacterias en un tiempo >, entonces esta suposición nos lleva a la ecuación T8 a>  $ >b œ -8" T8" a>b$ >  .8" T8" a>b$ >  e"  -8 $ >  .8 $ >fT8 a>b la cual es equivalente a `T8 a) b `> œ -8" T8" a>b  .8" T8" a>b  a-8  .8 bT8 a>b En el caso general -8 ß .8 dependerán de 8 y >; si suponemos que la posibilidad de la natalidad bacteriológica es proporcional al número presente, escribimos - 8 œ 8- ß . 8 œ 8. a*b donde - y . son constantes y la ecuación a)b se reduce a `T8 `> œ -a8  "bT8" a>b  a-  .b8T8 a>b  .a8  "bT8" a>b y si inducimos una función generada FaDß >b definida por la relación FaDß >b œ ! T8 a>bD 8 _

8œ!

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Vemos que esta última ecuación es equivalente a la ecuación lineal de primer orden `F `F F> œ aD  "ba-D  .b `D cuya solución es demostrada por el lector y se tiene -D a-.b> F œ 0 Š ."D / a"!b ‹ de donde se sigue que 7 0 0 a0b œ Š .- ‹ 0

Por consiguiente en el tiempo > .ˆ"/a-.b> ‰D ˆ-./a-.b> ‰ F œ š .-/a-.b> -D a"/a-.b> b ›

T8 a>b es el coeficiente de D 8 en la expansión en serie de potencias de esta función. Si -  . entonces F Ä " cuando > Ä _, así que la probabilidad de la última expresión es única. 5.2. ECUACIÓN DE SEGUNDO ORDEN EN FíSICA. Las ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden surgen frecuentemente en física. En efecto es por esta razón que el estudio de tales ecuaciones son de gran valor práctico. Por el momento nos limitaremos a mostrar estas ecuaciones cuando surgen considerando que el flujo es unidimensional así que la corriente 3 y el voltaje I en cualquier punto en el cable puede ser completamente determinada por una coordenada espacial B y un tiempo variable >. Si consideramos la caída de potencial en un elemento lineal de longitud $B situado en el punto B, hallamos que `3 -$ I œ 3V $ B  P$ B `> a"b donde V es la serie de resistencias por unidad de longitud y P es la inductancia por unidad de longitud. Si hay una capacitancia a tierra de G por unidad de longitud y una conductancia K por unidad de longitud entonces  $ 3 œ KI $ B  G $ B `I a#b `> Las relaciones a"b y a#b son equivalentes al par de ecuaciones diferenciales parciales `I `3 a$b `B  V3  P `> œ ! `3 `I a%b `B  KI  G `> œ ! Diferenciando a$b con respecto a B, obtenemos ` #I `3 ` #3 a&b `B#  V `B  P `B`> œ ! y análogamente diferenciando a%b con respecto a >, obtenemos ` #3 `I ` #I a'b `B`>  K `>  G `># œ ! `3 ` #3 Eliminando `B y `B`> de a%bß a&b y a'b se tiene ` #3 ` #I P `B`>  PK `I `>  PG `># œ ! y # ` #3 `3 P `B`> œ  ``BI#  V `B

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así

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`3 ` I `3 `I - ``BI#  V `B  PK `V `> +PG `># œ !ß y ,  `B œ IK  G `> por lo tanto # `I ` #I - ``BI#  VKI  VG `V `>  PK `>  PG `># œ ! lo cual es equivalente a `I ` #I ` #I `> eVG  PK f  PG `>#  VKI œ `B# Hemos así hallado que I satisface la ecuación diferencial parcial de segundo orden ` #F ` #F `F a(b `B# œ PG `>#  aVG  PK b `>  VK F Análogamente si diferenciamos a$b con respecto a >, a%b con respecto a B y eliminamos ` #I `I `B`> y `B de la ecuación restante y a$b hallamos que 3 es también una solución de la ecuación a(b La ecuación a(b, es llamada la ecuación telegráfica de Poincaré y otros. Si la corriente que sale de tierra es pequeña, se sigue que K y P pueden tomarse como cero y la ecuación a(b toma la forma reducida ` #F " `F a )b `B# œ O `> " donde O œ aVG b es una constante. Esta ecuación es llamada ecuación telegráfica; nos referimos a ella como a la ecuación uno dimensional de #

#

difusión.

Si miramos a las ecuaciones a$b y a%b, esto es equivalente a tomar K y V como cero en las ecuaciones a(b en cuyo caso ésta se reduce a ` #F " ` #F a *b `B# œ - # `>#

donde - œ aPG b # . Esta ecuación es al mismo tiempo referida, en este contexto, a la ecuación del radio; referiéndonos al caso de la ecuación de onda en una dimensión. Una ecuación diferencial parcial de segundo orden, diferente en caracter de cualquiera de las ecuaciones a)b o a*b, surgidas en electrostática tiene por solución el modelo de los operadores de Fourier conocido ampliamente en los cursos de ingenieria y de física (lo mostraremos en §6). Por las leyes de Gauss de electrotécnia conocemos al flujo del vector electricidad I fuera de una superficie W limitada a un volumen Z y es %1 veces la carga contenida en Z . Así si 3 es la densidad de la carga eléctrica, tenemos ' I.= œ %1' 3. 7 "

Z

W

Usando el teorema de Green en la forma ' I.= œ ' [email protected] W

Z

y recordando que el volumen Z es arbitrario, vemos que la ley de Gauss es equivalente a la ecuación .3@I œ %13 a"!b

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Ahora es probable demostrar que el campo electrónico es caracterizado por el hecho de que I es derivable de una función potencial F por la ecuación I œ  1 En el desarrollo de la teoría general de la EDP lineal homogénea, estas suelen clasificarse como hiperbólicas, parabólicas o elíptica de acuerdo al esquema usado en el estudio de las secciones cónicas. hiperbólicas si F #  %EG > ! parabólicas si F #  %EG œ ! elípticas si F #  %EG  !. 6.4. CASO DE LOS COEFICIENTES CONSTANTES Un importante caso se tiene cuando la ecuación a#b toma la forma E?BB  F?BC  G?CC œ ! donde E,F , y G son constantes. Para tales ecuaciones, podemos siempre hallar soluciones generales. Para hallar tales soluciones introducimos la siguiente transformación < œ +B  ,C = œ -B  .C suponiendo + , +.  ,- œ º Á! - .º conocida como una transformación conforme, donde +ß ,ß - y . son constantes por determinar. De la regla de la cadena hallamos ?B œ ?< b œ X8 a>b\8 aBb œ ˆE8 cosÈ-8 >  F8 sinÈ-8 >‰\8 aBb ß 8 œ "ß #ß $ß á Por el principio de superposición de soluciones se obtiene _ ?aBß >b œ ! ˆE8 cosÈ-8 >  F8 sinÈ-8 >‰\8 aBb a#b 8œ"

Para obtener la solución deseada se supone incialmente que la serie y la serie derivada son uniformemente convergentes, entonces se cumple GM y se recibe _ _ ?aBß !b œ ! E8 \8 aBb œ :! aBbß • ß ?> aBß !b œ ! È-8 F8 \8 aBb œ :" aBb 8œ"

8œ"

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Para obtener los coeficientes E8 y F8 multiplicamos los miembros de las igualdades anteriores por 3 aBb\8 aBb y luego integrando con respecto a B en el intervalo ! a ", obtenemos " " E8 œ '! 3aBb:! aBb\8 aBb.Bß F8 œ È"- '! 3aBb:" aBb\8 aBb.B Reemplazando en a#b los valores que hemos hallado para los coeficientes, obtenemos la solución de nuestro problema … NOTA : En los cálculos de E8 y F8 hemos supuesto que las funciones propias son ortonormales, es decir que Ø\8 aBbß \8 aBbÙ œ ". 8

6.6. OTROS METODOS DE SOLUCION PARA EDPH. Consideremos el caso unidimensional del calor donde la distribución de la temperatura en B œ ! se mantiene en X" Á ! mientras que la temperatura en B œ : es X# Á ! donde X" y X# son constantes (X" Á X# ), se plantea entonces un problema de EDP del siguiente tipo: ?BB œ +# ?> , ! < B < : , > > ! GÞJ : ?a!ß >b œ X" , ?a:ß >b œ X# , > > ! GÞM : ?aBß !b = 0 aBb , !b pueda ser expresada como una suma de funciones de la forma ?aBß >b œ =aBb  @aBß >b donde @aBÞß >b es una función que se va acabando cuando el tiempo crece. Nos referimos a @aBß >b como a la solución TRANSITORIA mientras que =aBb es llamada ESTADO ESTABLE o solución de equilibrio. En esta forma ?BB œ =ww  @BB ß ?> œ @BB por lo tanto se tendría =ww  @BB œ +# @> , !  B  : , >  ! GÞJ : =a!b  @a!ß >b œ X" , =a:b  @a:ß >b œ X# GÞM : =aBb  @aBß !b œ 0 aBb , !  B  : Pasando al límite cuando > Ä _, vemos que @aBß >b Ä !, @> aBß >b Ä ! , para todo B entonces obtenemos el problema de Ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) para el estado estable =ww œ !ß =a!b œ X" ß =a:b œ X# Por integración sucesiva obtenemos que =aBb œ -" B  -# , = a!b œ X" , =a:b œ X# así >Ä_

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luego

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X" œ -# , =a:b œ X# œ -" :  -# Í X"  X# œ -:

" -" œ X# X : ß -# œ X" En esta forma para el estado estable tenemos " =aBb œ Š X# X : ‹B  X"

Ahora para el estado transitorio se plantea el siguiente problema de EDP @BB œ +# @> , !B:,>! " GÞJ : X"  @a!ß >b œ X" , X# X : :  X"  @ a:ß >b œ X# " GÞM : Š X# X : ‹B  X"  @aBß !b œ 0 aBb

Por lo tanto vemos que @aBß >b es solución de un problema del calor unidimensional homogéneo, el cual se puede resolver por el método de separación de variables, dado por @BB œ +# @> , !B:, >! GÞJ : @a!ß >b œ ! , @a:ß >b œ ! , >! B GÞM : @aBß !b œ 0 aBb  X" aX#  X" b : , !  B  : … 6.7. PROBLEMAS NO HOMOGENEOS Un problema es clasificado como no homogéneo, si la EDP y/o las condiciones de frontera, son no homogéneas. Algunos casos especiales de condiciones en la frontera no homogéneas, independientemente del tiempo fueron considerados en 6.6, mientras que aquí consideraremos un problema más general involucrando EDP no homogéneas y condiciones de frontera, caracterizadas, en el caso unidimensional del calor, por el problema ?BB œ +# ?>  ; aBß >b, !  B  : , >  ! F" Ò?Ó œ +"" ?a!ß >b  +"# ?B a!ß >b œ ! a>b, >  ! GÞJ : œ F# Ò?Ó œ +#" ? a:ß >b  +## ?B a:ß >b œ " a>b GÞM : ?aBß !b œ 0 aBb , !B: donde ; aBß >b es proporcional al origen de la fuente del calor. Para resolver problemas de esta naturaleza de generalidad consideraremos dos casos especiales. 6.8. TERMINOS NO HOMOGENEOS INDEPENDIENTES DEL TIEMPO. Cuando el origen del calor no cambia con el tiempo es llamado caso estable y en este caso se tiene que ; aBß > b œ :aBb Si las condiciones de frontera son también independientes del tiempo, es decir si F" Ò?Ó œ X" ß F# Ò?Ó œ X# donde X" y X# son constantes, entonces el problema es formalizado por ?BB œ +# ?>  :aBb , !  B  : , >  ! GÞJ : F" Ò?Ó œ X" , F# Ò?Ó œ X# , >  ! a"b

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GÞM : ?aBß !b œ 0 aBb , !B: Para hallar la solución, usamos la misma conjetura formulada en 6.6, afirmando que ? puede ser expresada como la suma ?aBß >b œ =aBb  @aBß >b donde =aBb denota la solución estable y @aBß >b es la solución transitoria. La sustitución en a"b nos conduce a =ww  @aBß >b œ +# @>  :aBb , !  B  :, >  ! GÞJ : F" Ò=Ó  F" Ò@Ó œ X" , F# Ò=Ó  F# Ò@Ó œ X# , >  ! GÞM : =aBb  @aBß !b œ 0 aBb ß !B: de donde se deduce que =aBb es una solución del problema de EDO =ww œ  :aBbß F" Ò=Ó œ X" ß F# Ò=Ó œ X# y @aBß >b satisface el problema de EDPH @BB œ +# @> , !  B  : , >  ! GÞJ : F" Ò@Ó œ ! , F# Ò@Ó œ !, >  ! GÞM : @aBß !b œ 0 aBb  =aBb , !  B  : entonces ?aBß >b œ =aBb  @aBß >b es la solución verdadera del problema original. Una vez más tenemos el problema reducido a un conjunto de soluciones de ecuaciones cuya técnica de solución realmente ya es conocida. 6.9. METODO DE EXPANSION DE FUNCIONES PROPIAS. Cuando el origen del calor cambia con el tiempo tenemos el caso no estable, para hallar la solución se generaliza el método de variación del parámetro utilizado para obtener la solución particular de una EDLO no homogénea, cuando se obtiene la famosa fórmula de Green. Para ilustrar el método hallemos la solución del problema unidimensional del calor no homogéneo siguiente ?BB œ +# ?>  ; aBß >b , !  B  : , >  ! 5 ?a!ß >b  5# ?B a!ß >b œ ! GÞJ : œ " 6" ?a:ß >b  6# ?B a:ß >b œ ! GÞM : ?aBß !b œ 0 aBb , !  B  : Por el método de separación de variables se halla la solución de la ecuación homogénea ?BB œ +# ?> suponiendo como es conocido que ?aBß >b œ J aBbKa>b es la forma de la solución, de aquí se deduce que J aBb satisface al problema S-L siguiente J ww  -J œ ! 5 " J a !b  5 # J w a ! b œ ! a"b 6" J a:b  6# J w a:b œ ! Del estudio de los problemas de Sturm-Lioville se deduce la obtención _ del conjunto de valores propios e-8 f_ 8œ" y un conjunto e98 f8œ" de

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funciones propias ortogonales en el intervalo !  B  :, y tales que 98ww œ  -8 98 , 8 œ "ß #ß á . Como en el caso de variación del parámetro afirmamos que _ ?aBß >b œ ! I8 a>b98 aBb 8œ"

es solución de prueba para ?BB œ +# ?>  ; aBß >b donde las funciones de >, I8 a>b deben ser determinadas, así ?> aBß >b œ ! I8w a>b98 aBb _

y

8œ"

?BB aBß >b œ ! I8 a>b98ww aBb œ  ! -8 I8 a>b98 aBb _

_

8œ"

8œ"

Por otra parte la ecuación dada toma la forma +# ; aBß >b œ ?>  +# ?BB y sustituyendo obtenemos _ _ +# ; aBß >b œ ! I8w a>b98 aBb  ! +# -8 I8 a>b98 aBb +# ; aBß >b œ ! cI8w a>b  +# -8 I8 a>bd98 aBb 8œ" _

8œ"

a#b

Para un > fijo, podemos interpretar a#b como un desarrollo generalizado de Fourier de +# ; aBß >b, cuyos coeficientes estarán dados por : I8w a>b  +# -8 I8 a>b œ +# l98 l# '! ; aBß >b98 aBb.B a$b donde : l98 l# œ '! c98 aBbd# .B, 8 œ ",#,$,á Denotemos con : U8 a>b œ l98 l# '! ; aBß >b98 aBb.B, 8 œ ",#,$,á Entonces la ecuación I8w a>b  +# -8 I8 a>b œ +# U8 a>b es una ecuación diferencial lineal de primer orden cuya solución es dada por > # # I8 a>b œ ’-8  +# '! /+ -8 7 U8 a7 b. 7 “/+ -8 > , 8 œ ",#,$,á 8œ"

(suponiendo -8 Á ! , 8 œ ",#,á ) donde los -8 son constantes arbitrarias. Finalmente, al sustituir I8 a>b obtenemos la solución formal ?aBß >b œ ! ’-8  +# '! /+ -8 7 U8 a7 b. 7 “98 aBb/+ -8 > _

>

#

#

8œ"

Las constantes -8 , 8 œ ",#,á son determinadas haciendo uso de la condición inicial aGÞM b, así ?aBß !b œ 0 aBb œ ! -8 98 aBb _

y por consiguiente

8œ"

-8 œ l98 aBbl# '! 0 aBb98 aBb.B , 8 œ ",#,$,á :

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… EJERCICIOS ". Verificar que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación de Laplace ?BB  ?CC œ ! +) ? œ #BC ,) ? œ B$  $BC # - ) ? œ /B sinC . ) ? œ sin Bsin C /) ? œ arctanaCÎBb 0 ) ? œ B%  'B# C #  C % #. Demostrar que ? œ "ÎÈB#  C #  D # es solución de la ecuación ?BB  ?CC  ?DD œ ! 3. Verificar que ?aBß Cb œ +lnaB#  C # b  , satisface la ecuación de Laplace ?BB  ?CC œ ! y determinar + y , de manera que ? satisfaga las condiciones de frontera ? œ ! sobre el círculo B#  C# œ " y ? œ & sobre el círculo B#  C # œ *. %. Verificar que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación ?> œ - # ?BB , determinando en cada caso el valor de la constante - # +) ? œ /#> cos B ,) ? œ /> sin $B - ) ? œ /%> cos:B 5. Verificar que las siguientes funciones son soluciones de la ecuación ?>> œ - # ?BB , determinando en cada caso el valor de la constante - # +) ? œ B#  %># ,) ? œ B$  $B># - ) ? œ sin :-> sin :B '. Demostrar que ?aBß >b œ @aB  ->b  AaB  ->b , donde @ y A son funciones cualesquiera diferenciables dos veces, es una solución de la ecuación ?>> œ - # ?BB .

Si una ecuación diferencial parcial contiene derivadas con respecto a una de las variables independientes únicamente, puede resolverse como una ecuación diferencial ordinaria, tratando las otras variables independientes como parámetros. 7. Resolver las ecuaciones siguientes, donde ? œ ?aBß C b +) ?BB  %? œ ! ,) ?C  #C? œ ! - ) ?B œ #BC? . ) ?BC œ ! /) ?BC œ ?B 0 ) ?BC  ?B œ ! 8. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales parciales +) ?B  C œ ! ,) ?C œ #BC - ) ?C  #? œ /C . ) ?BB œ )BC #  " /) ?CC  sinBC œ ! 0 ) ?BC œ " B 1) ?BC œ #B  %C 3) ?BC  ?C œ 'B/ 4) ?BC  #C?B œ %BC # %C 5 ) ?CC  B ? œ B/ 6) ?BB  C # ? œ C sin#B 9. Determine si el método de separación de variables es aplicable a las ecuaciones dadas. Si lo es, obtenga las soluciones en forma de producto +Ñ ?B œ ?C ,Ñ ?B  $?C œ ! -Ñ ?B œ ?C  ? ,Ñ ?B  ?C œ ? /Ñ B?B œ C?C 0 Ñ C?B  B?C œ ! 1Ñ ?BB  ?BC  ?CC œ ! 2Ñ C?BC  ? œ ! 3Ñ ?BB  ?CC œ ! 4Ñ 5?BB  ? œ ?> ,5  ! 5Ñ 5?BB œ ?> ß 5  ! 6Ñ +# ?BB œ ?>> 7Ñ +# ?BB œ ?>>  #5?> , 5 >! 8Ñ B# ?BB  ?CC œ ! 9Ñ ?BB  ?CC œ ?

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:Ñ +# ?BB  ?CC œ ? ;Ñ +# ?BB  1? œ ?>> , 1 es constante. 10. Resuelva las ecuaciones dadas sujetas a las condiciones indicadas. +Ñ ?BB œ 'B ; ?a!ß C b œ C , ?a"ß C b œ C #  " ,Ñ C?CC  ?C œ ! ; ?aBß "b œ B# , ?aBß /b œ ". 11. Obtenga la ecuación unidimensional de onda. 12. Halle la solución del problema siguiente ` #? # ` #? !b œ ! para todo t GM : ?aBß !b œ 0 aBb , ?> aBß !b œ ! 13. Halle la solución del flujo unidimensional de calor dado por el problema `? # ` #? !b œ ! para toda t GÞM : ?aBß !b œ 0 aBb 14. Hallar el flujo de calor en una barra infinita. 15. Deducir la ecuación bidimensional de onda o de la membrana vibrante. 16. Halle la solución del problema siguiente ` #? ` #? # ` #? `># œ - Š `B#  `C# ‹ GÞJ : ? œ ! sobre la frontera de la membrana para toda >   ! GÞM : ?aBß Cß !b œ 0 aBß C b , `? œ 1aBß C b. `> ¹ >œ!

Halle la solución a los siguientes problemas 17) ?BB œ +# ?> , ! < B < ", > > ! GÞJ : ?a!ß >b œ ! , ?a"ß >b œ ! GÞM : ?aBß !b œ $sin 1B  &sin %1B 18) ?BB œ +# ?> , ! < B < :, > > ! GÞJ : ?a!ß >b œ ! , ?a:ß >b œ ! GÞM : ?aBß !b œ B a:  Bb 19) ?BB œ +# ?> , ! < B < "! , > > ! GÞJ : ?a!ß >b œ "!, ?a"!ß >b œ $! , > > ! GÞM : ?aBß !b œ !, ! < B < "! 20) ?BB œ +# ?> , ! < B < " , >  ! GÞJ : ?a!ß >b œ X" , ?a"ß >b  ?B a"ß >b œ X# , > > ! GÞM : ?aBß !b œ X" , !  B  !. 21) ?BB =+# ?> , ! < B < ", > > ! GÞJ : ?a!ß >b œ ", ? a"ß >b œ ! GÞM : ? aBß !b œ X! 22) ?BB =+# ?> , ! < B < # , > > ! GÞJ : ?a!ß >b œ X" , ?a#ß >b œ X# GÞM : ?aBß !b œ X!

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23) ?BB =+# ?> , ! < B < : , > > ! GÞJ : ?B a!ß >b œ ! , ?B a:ß >b œ ! GÞM : ?aBß !b œ X! sin# a1BÎ:b 24) ?BB =+# ?> , ! < B < :, > > ! GÞJ : ?B a!ß >b œ !, ?a:ß >b œ X! GÞM : ?aBß !b œ X! 25) ?BB =+# ?> , ! < B < ", > > ! GÞJ : ?a!ß >b œ X! , ?a"ß >b œ X! GÞM : ?aBß !b œ X!  Ba"  Bb 26) ?BB =+# ?> , ! < B < ", > > ! GÞJ : ?a!ß >b œ X" , ?B a"ß >b œ ! GÞM : ?aBß !b œ B 27) ?BB =+# ?> ,  1 < B > ! GÞJ : ?a  1ß >b œ ?a1ß >b , ?B a  1ß >b œ ?B a1ß >b GÞM : ?aBß !b œ |B|. 28) ?BB =+# ?>  ", !b œ ! GÞM : ?aBß !b œ B# 29) ?BB œ ?>  E, ! < B < :, > > ! (E constante) GÞJ :?aBß !b œ X" , ?a"ß >b œ X" ( X" constante) GÞM :?aBß !b œ X! ( X! constante). 30) ?BB œ +# ?>  'B, ! < B < ", > > ! GÞJ : ?B a!ß >b œ !, ?a"ß >b œ ! GÞM : ?aBß !b œ /B  ". 31) ?BB œ +# ?>  +cosA>, ! < B < 1, >  ! GÞJ : ?B a!ß >b œ !, ?B a1ß >b œ ! GÞM : ?aBß !b œ ! 32) ?BB œ ?>  /> , ! < B < ", > > ! GÞJ : ?B a!ß >b œ !, ?B a"ß >b œ ! GÞM : ?aBß !b œ !. 33) ?BB œ ?>  E/,B , !  B b œ ! GÞM : ?aBß !b œ ˆ"  /,B ‰ ,E# . 34) ?BB œ - # ?>> , ! < > < ", > > ! GÞJ : ?a!ß >b œ !, ?a"ß >b œ ! GÞM : ?aBß !b œ ! , ?> aBß !b œ @! ( @! constante) 35) ?BB = - # ?>> , ! < > > ! GÞJ : ?B a!ß >b œ !, ?B a1ß >b œ ! GÞM : ?aBß !b œ "  #cos $B , ?> aBß !b œ &cos #B 36) ?BB = - # ?>> , ! < > < ", > > ! GÞJ : ?a!ß >b œ !, ?a"ß >b œ ! GÞM : ?aBß !b œ Ba"  Bb , ?> aBß !b œ !

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Darío Sánchez H.

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§ (. EL LAPLACIANO Y EL POTENCIAL 7.1. EN COORDENADAS POLARES Sean < y ) las coordenadas polares para

un punto :aBß C b entonces se tiene : B =